置换群
近世代数课件--置换群
3
14
2 3
3 6
4 1
5 5
62 1
4 2
3
6
任一循环可以分解为若干个含有相同数字对换之
积，如
(1 2 3) (1 2)(2 3) (1 3)(1 2)
21
21
2 3
32
2 3
3 1
21 (1 2 3)
31
有两个一维与一个二维不可约表示.
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13
S4 有不变子群
H {pe, (1 2) (3 4), (1 3) (2 4), (1 4) (2 3)}
其商群为：
其中
S4 H {H, K1, K 2, K 3, K 4, K 5 } K1 (1 2) H {(1 2), (3 4), (1 3 2 4), (1 4 2 3)}
亦即 所以
5
li2 24
i1
12 12 22 l24 l52 24
故：
l24 l52 18
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15
l4 l5 3
所以 S4 的5个不可约表示分别为：两个一维表示、 一个二维表示及两个三维表示.
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14
4 1
2 3
3 6
62 1
42
3
6 (2
3
6)
1
4 32
3 6
6 2
1 4
4 1
而同一循环中的数字可作轮换而不改变该循环的结 果，如
2 3 6 (3 6 2) (6 2 3)
群论中的置换群及其应用
群论中的置换群及其应用群论是数学中非常重要的一个分支，它主要研究群的性质及其应用。
而置换群作为群论中的一个基本概念，是群论研究的一个重要方向。
置换群是指某个集合中的所有元素在不同情况下的排列和变换所构成的一种群结构。
接下来，我将从置换群的概念、性质和应用三个方面进行详细介绍。
一、置换群的概念置换群的概念来源于群上的置换操作。
在数学中，置换指的是对于一个集合中的所有元素进行排列的一种操作。
这种操作可以看做是一个把集合内的所有元素重新排列的变化。
而一个置换群就是由集合中所有可能的置换操作构成的群结构。
在置换群中，每个置换操作都是一个置换元，而群结构就是由所有置换元的集合组成的。
置换群中的元素有两种表示方法，一是环形表达式，二是秩序表达式。
环形表达式指的是将元素描绘成一个环，按照环上的顺序进行排列，而秩序表达式则是按元素的秩序进行排列。
例如，一个置换群 {1, 2, 3} 就可以表示为 {(1 2 3), (1 3 2), (2 3), (1), (2), (3)}。
置换群有许多基本的性质，如封闭性、结合律、单位元、逆元等，同时还有一些特殊的性质，如循环群、置换群的阶等。
二、置换群的性质置换群不仅有基本性质，还有一些比较特殊的性质：1、置换群的循环群如果一个置换群中的元素可以由一个或多个置换循环所表示，那么这个置换群就是一个循环群。
循环群在加密算法中有着广泛的应用，可以支持数字签名、身份验证等多种功能。
2、置换群的阶置换群的阶指的是每个置换元的阶的最小公倍数。
其中，置换元的阶是指执行该置换元所需的最小步骤数。
阶在加密算法中也有很大的作用，例如可以用于求模运算的模数选择和随机数的生成。
3、可逆性置换群中的置换元有可逆和不可逆之分。
可逆的置换元可以通过执行逆置换来回到原始状态，而不可逆的置换元则无法回到原始状态。
可逆性在密码学中也有重要的应用，例如对称加密算法中使用的置换矩阵通常是可逆的。
三、置换群的应用置换群有着广泛的应用，特别是在密码学中。
置换群
设G是Ω上一个置换群。若对任意α,β∈Ω，都可找到g∈G,使得αg=β,则称G在Ω上是传递的；否则，称G是非传递的。G是传递群当且仅当Ω是 G的一个轨道。因此，若G是传递群,则｜Ω｜是｜G｜的一个因子。若G是传递群，且｜Ω｜=｜G｜,则称G是一个正则群。正则群就是传递的半正则群。 若在一个非正则传递群G中,每个非单位元素最多保持一个文字不变，则G 称为弗罗贝尼乌斯群。在弗罗贝尼乌斯群G中,没有不变文字的置换与恒等置换一起构成一个正则群R，R是G 的一个特征子群。 若对于Ω中任意两个k元有序点组α1，α2,…,αk及β1,β2,…,βk,都有G中一个置换g使，则称G是一个 k重传递群或 k传递群。k重传递群一定是(k-1)重传递的。如果k≥2，那么k重传递群称为多重传递群，否则称为单传递群。如果G是Ω上一个传递群,那么当且仅当Gα在Ω-{α}上(K-1)重传递群时,G是k重传递的。k重传递的n元置换群G 的阶可被n(n-1)…(n-k+1)整除。若G 的阶恰等于n(n-1)…(n-k+1),则称G是一个精确 k重传递群。此时，对于Ω中任意两个k元点组α1,α2,…,αk;β1,β2,…,βk,在G中恰有一个g使α=βi,i=1，2，…，k。 对称群Sn是 n重传递的，交错群An是n-2重传递的。除去Sn及An外，有无穷多个3重传递群，但是只知道4个4重传递群，它们是法国数学家 É.L.马蒂厄在1861年及1873年先后发现的次数分别为11，12，23及24的马蒂厄群M11,M12,M23,M24，其中M12及M24是5重传递的,而且M11是M12的稳定子群，M23是M24的稳定子群，它们的阶分别是 。 M11及M12都是精确传递群。 在1981年有限单群分类的问题解决以后，所有双重传递群已被决定,并且知道没有传递重数大于或等于6的传递单群，而交错群与上述4个马蒂厄群是仅有的4重传递的单置换群。M23的稳定子群是M22,也是一个单群,这5 个马蒂厄群是最早发现的不属于有限单群的无穷系列的5个零散单群。
群论中的置换群
群论是数学中的一个重要分支，研究集合上的一种代数结构——群。
而在群论中，置换群是一类非常特殊并且重要的群。
什么是置换群？简单地说，置换群是由一组可交换的置换（即对集合元素进行全体排列的操作）所组成的群。
在数学中，置换是指将集合中元素的位置进行改变，但不改变元素的本质属性。
例如，对于集合{1, 2, 3, 4}，一个典型的置换可以是将元素1和2进行交换，元素3和4进行交换，即得到置换(12)(34)。
置换的符号表示法可以更加简洁地表示置换操作。
在置换群中，常用的表示法是使用圆括号，例如(12)表示将元素1和2进行交换，而(12)(34)则表示先将元素1和2交换，再将元素3和4交换。
另外，置换还可以表示为行列式的形式，称为矩阵表示法。
置换群的运算规则与普通群的运算规则相同，即满足封闭性、结合律、存在单位元和逆元。
对于任意两个置换，可以进行运算得到另一个置换。
例如，对于置换群S4，如果有两个置换(12)和(34)，我们可以进行运算得到(12)(34) = (14)(23)。
置换群在数学和其他领域中有广泛应用。
在数学中，置换群常常用于研究对称性和排列组合问题。
在物理学中，置换群被广泛应用于对称性和粒子对称性的研究。
在密码学中，置换群用于构造加密算法，保护信息的安全性。
置换群也有许多有趣的性质。
例如，置换群中的每个置换都可以分解为若干个不相交的循环。
循环是一种特殊的置换，它仅仅改变集合中的一部分元素的位置，保持其他元素不变。
另外，置换群的阶（元素个数）可以通过求置换的最小公倍数来计算。
总之，置换群在群论中是一类非常重要的群。
它通过对集合中的元素进行排列操作，研究群的结构和性质。
置换群在数学、物理学、密码学等领域都有广泛应用，对于理解对称性和排列组合问题具有重要意义。
通过对置换群的研究，我们可以深入了解群论的基本概念和方法，丰富数学的应用领域。
§6.3置换群(离散数学)
证明
可见，（a1…ar）必和必
出现在（2）中，同样（2）中的任意轮换
必出现在（1）中，因之，（1）和（2）一
样，最多排列方法不同，但不相杂的轮换
相乘适合交换律，所以排列的次序本来是
可以任意颠倒的。
若M已经没有另外的元素，则σ就等于这个
轮换，否则设b1不在a1，…，ar之内，则同样作 法又可得到一个轮换（b1…bs）.因为a1，…，ar 各自已有变到它的元素，所以b1，…，bs中不会 有a1，…，ar出现，即这两个轮换不相杂。若M 的元素已尽，则σ就等于这两个轮换的乘积，否
则如上又可得到一个轮换。如此类推，由于M有
往证(a1a2…atat+1)= (a1at+1) (a1a2…at) 令σ1=(a1 at+1)，σ2=(a1 a2… at)， 下面证明σ= σ1 σ2。 任取l∈M,
若l {a1,a2,…,at-1}，不妨设l=am,则 σ(l)= σ(am)=am+1，
σ1 σ2(l)= σ1 (am+1)=am+1； 若l=at，则
§6.3 置 换 群
❖ 6.3.1 置换的定义 ❖ 6.3.2 置换的轮换表法 ❖ 6.3.3 置换的顺向圈表示 ❖ 6.3.4 置换的奇偶性
6.3.1 置换的定义
❖ 定义. 设M是一个非空的有限集合，M的 一个一对一变换称为一个置换。
❖ 设M={a1,a2,…,an},则M的置换σ可简记为
σ＝
a1 b1
σ(l)=at+1 σ1σ2(l)=σ1σ2(at)=σ1(σ2(at))=σ1(a1)=at+1； 若l=at+1，则
置换群全同粒子系统的对称群
目 录
• 置换群基础概念 • 全同粒子系统基础概念 • 对称群基础概念 • 置换群全同粒子系统的对称群 • 对称群在置换群全同粒子系统中的应用
01 置换群基础概念
置换群定义
置换群定义
置换群是集合元素之间的置换所构成的群。具 体来说，设 $G$ 是集合 $S$ 的一个子集，如 果对于任意元素 $a in G$，都存在一个元素 $b in G$，使得 $a$ 和 $b$ 交换后仍属于 $G$，则称 $G$ 为一个置换群。
置换群的表示
置换群可以用矩阵或置换图来表示， 其中矩阵表示法更为常用。
置换群的性质
封闭性
置换群中的元素之间经过置换后仍属于该集 合。
结合性
置换群中的元素之间经过多次置换后仍属于 该集合。
单位元存在性
置换群中存在一个单位元，即不进行任何置 换的元素。
逆元存在性
对于任意元素 $a in G$，存在一个逆元 $b in G$，使得 $a$ 和 $b$ 交换后仍属于 $G$。
对称群在科学技术进步中发挥了重要作用，通过对称群的研究，可以推 动新材料、新能源等领域的发展，为科学技术进步做出贡献。
对称群在置换群全同粒子系统中的未来发展
深入研究新型态物质的对称性
随着科学技术的不断发展，将会有更多新型态的物质被发现，深入研究这些新型态物质的对称性，将有助于揭示物质 的基本性质和推动物理学的发展。
全同粒子系统的基本特征是粒子的不 可分辨性，即无法区分系统中的任何 一个粒子与其他粒子。
全同粒子系统的性质
全同粒子系统具有平移对称性， 即在空间中移动整个系统不会改
变系统的性质。
全同粒子系统还具有旋转对称性， 即旋转整个系统也不会改变系统
4.1置换群
SR
T
1 2
2 4
3 5
4 1
53
等效算法（一）
先将S置换的各列次序进行交换，使S第一行排列次 序与R的第二行排列次序一样
S 13
2 1
3 2
4 4
55
R
1 3
2 4
3 5
4 2
15
S
3 2
4 4
5 5
2 1
13
然后用S的第二行代替R的第二行，即得到SR
l 称为轮换长度
轮换常用一行矩阵描写
a1
a2
al
a1 a2
al 1 al
al a1
b1 b1
பைடு நூலகம்
bnl bnl
2. 轮换特点
顺序变化
保持不变
用行矩阵描写轮换时，数字的排列次序不能变，但允 许开头的数字顺序变换（依次按顺序进行变换）
q a b c p a b c p q
置换的轮换结构是由一组配分数来描写的
4. 轮换乘积的计算方法 每一个置换都可分解为无公共客体的轮换的乘积 两个置换相乘时，需要计算两个有公共客体的轮换 的乘积问题
通常认为，只有把置换乘积化为无公共客体的轮换 的乘积，才算把乘积化到了最简单形式
如：先讨论只有一个公共客体的轮换乘积的计算方法
a b c dd e f
然后在余下的数中，任选一数b1，找出它的客体链 (b1,b2,...,bm)客体链，即R中包含一个长度为m的轮换
这两个轮换中无公共客体，乘积次序可交换
按此法继续下去，总能穷尽全部n个客体，从而把置换 R分解为若干没有公共客体的轮换的乘积，乘积次序可交 换
高考数学中的置换群及相关概念
高考数学中的置换群及相关概念在高考数学中，有一种抽象的数学概念叫做置换群，它是很多数学分支中常常用到的概念，包括群论、代数学、拓扑学等，而在高考数学中，它主要用于解决排列组合、概率统计等问题。
一、置换群的定义置换群是一种代数结构，它包含了一些置换的集合和一些代数运算，满足一些特定的公理。
具体来说，一个置换群G包含了一些置换{σ1, σ2, σ3, ..., σn}, 这些置换满足以下条件：1. 任意两个置换可以进行运算，得到一个新的置换。
这个运算称为群的乘法运算，通常用“.”或“×”表示。
2. 群的乘法运算满足结合律，即(σi. σj). σk = σi. (σj. σk)。
3. 存在一个置换ε，称为群的单位元，它和任何置换进行乘法运算后都不改变，即ε. σi = σi. ε = σi。
4. 对于每个置换σi，都存在一个逆置换σ^-1，满足σi. σ^-1i =σ^-1i .σi = ε。
二、置换群的应用在高考数学中，置换群主要应用于多种排列组合问题的解决。
例如，考虑一个3个元素的置换{1, 2, 3}，有六个不同的置换可以构成置换群G = {ε, σ1, σ2, σ3, σ4, σ5}。
其中，ε表示恒等置换，即保持原序的置换；σi表示对原序进行了i次置换的组合。
则G是一个由六个元素组成的置换群，它满足置换群的所有公理，即：1. 任意两个元素都可以进行乘法运算，比如σ1 × σ2 = σ4。
2. 乘法运算满足结合律。
3. 存在一个恒等元素ε，使得ε.σi = σi.ε = σi。
4. 每个元素都存在一个逆元素，比如σ2^-1 = σ2。
通过这些公理的保证，我们可以通过数学推导的方式解决很多排列组合问题。
例如，考虑一个2018个人的班级，这些学生分别有一个编号1, 2, 3, ..., 2018。
如果我们要从这些学生中选出一个5人小组，有多少种不同的选法？我们可以将每个选法表示成一个置换，即将5个人从原序列中取出来，并按照编号的大小排列。
循环群和置换群-置换群
1
置换群的元素都是一一对应的，即每个元素都有 一个唯一的逆元素。
2
置换群中的元素可以相乘，满足结合律和单位元 存在性。
3
置换群中的元素可以相逆，满足逆元存在性。
置换群的例子
01
02
03
置换群的一个简单例子 是$S_n$，即所有$n$个 元素的排列组成的群。
置换群也可以是有限集 合上的自同构群，例如 有限环上的模运算构成
定义
通过同态映射将置换群映射到另一个群或半 群上，从而将问题转化为更易于处理的形式 。
优点
能够将复杂问题简化，便于理解和分析。
缺点
同态映射的选择需要具备一定的理论基础和 实践经验，且可能引入额外的复杂性。
05
CATALOGUE
置换群的应用
在对称性物理中的应用
量子力学
置换群在量子力学中用于描述粒子的 对称性，例如在描述原子或分子的电 子排布时，置换群可以用来描述电子 的对称性。
在密码学中的应用
密码算法
置换群在密码学中被广泛应用于各种密码算法，例如AES、DES等对称加密算 法中都涉及到置换群的概念。
密钥管理
置换群可以用于密钥管理，例如通过对称加密算法中的置换操作来生成密钥， 保证通信的安全性。
THANKS
感谢观看
晶Hale Waihona Puke 结构在晶体物理学中，置换群被用来描述 晶体的对称性，例如空间群可以描述 晶体在三维空间中的对称性。
在组合数学中的应用
组合问题
置换群在组合数学中用于解决各种组合问题，例如排列、组合、划分等问题。
组合恒等式
置换群可以用来证明和推导组合恒等式，例如在证明帕斯卡恒等式时，置换群被用来证明组合数的对称性。
§6.3置换群(离散数学)
σ(l)= σ(at+1)= a1 σ1 σ2(l) = σ1 (σ2(at+1)) = σ1 (at+1) = a1 ；
若l {a1,a2,…,at+1}，则 σ(l)=l
ห้องสมุดไป่ตู้
11
2 2
33
一个元素不动：σ2＝
σ4＝
12
2 1
33
11
2 3
23σ 3＝
0个元素不动：σ5＝
12
2 3
31σ6＝
故，S3 = {σ1，σ2，σ3，σ4，σ5，σ6}
13
2 2
31
13
2 1
23
置换的乘法
➢ 对M中任意元素a及M的任意两个置换σ，τ， 规定στ（a）=σ（τ（a））。
➢ 例. 设σ＝
12
2 1
3 3
44，τ＝
13
2 4
3 1
24
则στ=
13
2 4
3 2
41，
τσ=
14
2 3
3 1
24
≠ στ
置换的乘法的性质
❖ 满足结合律：(στ)ρ=σ(τρ)，σ,τ,ρ∈ Sn。
❖ Sn中有单位元: n元恒等置换，设 为σ0，有：σ0τ=τσ0 ，τ∈Sn
❖ 每个n元置换在Sn 中都有逆元素:
σ1=(1)(2)(3)(4) σ2=(1 2 3 4) σ3=(1 3)(2 4)
绕中心逆时针转00； 绕中心逆时针转900； 绕中心逆时针转1800；
第六章 置换群Sn(permutation group or symmetric group)
将qi和qj再交换一次后：
q1, q2 q j ,qi ,qn q1, q2 qi ,q j ,qn
2 q1, q2 ,q j qi qn
∴
2 1, 1
=1时，波函数是{qi}的对称函数，它描写玻色子体系，该体系
的粒子的自旋为零或 的整数倍，服从玻色一爱因斯坦 统计。
1 2 n 唯一地确定了 12 n
显然: 1 2 3 n
例如： 123456
641253 163 24 5
1,1,1 3,2,1
1 2 3 1 2 3
解答： 1．(ⅰ) 122312
1 2 2 3 1 2 1 2 1 2 3 2 1 3 2 2 1 2 1 3 1 2
1 2 3 3 2 1 213 1 2 3 1 3 4 3 2 1 （ⅱ）1 2 31 3 43 2 1 2 3 1 3 4 1 2 1 3
和第j个粒子之间互作用能。
据全同性质理，当系统中某两个粒子相互对换后，系统的 ˆ 保持不变，交换两粒子后，波函数满足同一 S.E ，即 哈密顿 H (q1,q2,…qi,…qj,…qn,)和(q1,q2,… qj,…, qi …qn,)所描写的是同一 态，最多只差一常数因子：
q1 , q2 q j , qi , qn q1 , q2 q j , qi , qn
i i i i b1i b2 a1i a2 bli ali i i a a a i b i b i b i li 2 3 1 1 2 i i a1i a2 ali i i i a a a Qi i i 1 2 li a a a i 1 2 3
置换群的性质与应用举例
置换群的性质与应用举例一、引言置换群（Permutation Group）是代数学的一个分支，研究的是集合的置换的代数结构。
置换群的理论有着丰富的性质，而且在很多应用的领域中都有重要的地位。
本文将会介绍置换群的基本定义和性质、置换群的几个重要子群、以及置换群在密码学、化学等领域的应用举例。
二、基本定义和性质置换群指的是把有限个元素重新排列得到的一种群。
设S是n个元素的集合，集合S的任意一个排列可以表示成S上的一个映射：$$\rho:S \rightarrow S$$映射ρ把S的每个元素$x$映射为$\rho(x)$。
每个这样的ρ都可以看作是元素{x, ρ(x)}的置换，在这个意义下我们称它为一个置换。
我们把置换看做一个带标号的列表，列表的顺序就是初始顺序。
例如，在{1, 2, 3}上的一个置换可以表示成(1, 2, 3)、(1, 3, 2)、(2, 1, 3)、(2, 3, 1)、(3, 1, 2)或(3, 2, 1)这几种形式。
它们在列表的最左边有0个逆序对，有1个逆序对，有2个逆序对，有3个逆序对，有2个逆序对和有3个逆序对。
接下来是置换群的一些性质：（1）置换群是有限的。
（2）置换群G的单位元为$Ident_S$，其中$Ident_S(x) = x$是S的恒等映射。
（3）置换群G中的每个元素都在S上有逆元。
（4）置换群G中的每个元素都可以表示为G中其他元素的乘积。
三、置换群的重要子群（1）置换群的置换群设G为集合S上的置换群，集合F(T)表示T的全体置换的集合。
由于置换群是可逆的，G中的元素也是F(S)中元素的乘积。
因此，G是F(S)的子群。
我们把G在F(S)中所占的位置叫做G的次数（Degree）。
G的次数表明了G在F(S)中占有的“重量”。
（2）群生成子集群生成子集是指那些由一个子集生成的群。
如果一个子集A可以通过一系列的操作（包括复合、逆运算、乘幂）得到整个群G，那么我们称群G是由子集A生成的，而称A是G的生成子集。
第9讲第2章第6节置换群
不是循环置换，但
1 2 3 4 5 3 4 5 2 1
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3 2 5 4 1 1 4 3 2 5
(135)(24)
例：将S4中的置换写成循环置换乘积的形式。 1-循环 (1) 2-循环 (12),(13),(14),(23),(24),(34) 3-循环 (123), (124 ), (132 ), (134 ), (142 ), (143)
2 3 1
4
1 2 3
3 1 2
5
1 2 3
3 2 1
三次对称群中所有置换都是循环置换
S3 {(1), (12), (13), (23), (123), (132)}
注：并不是每个置换都是循环置换。
1 2 3 4 5
3 4 5 2 1
2 3 1
5
1 2 3
3 2 1
三次对称群为： S3 0 ,1,2,3,4,5
完全类似地可有：
S1
1
1
;
1 2 1 2
S2
1
2
,
2
1
S5 , S6, L L
关于置换的运算
1.置换的乘积：
1
p1
2L p2 L
n pn
,
p1 k1
p2 k2
L L
pn
kn
1
k1
2L k2 L
n
kn
2.单位（恒等）置换：
1
1
2 2
L L
n n
3.置换的逆：
1 2 L
p1
p2 L
n pn
1
p1 1
p2 L 2L
pn
置换群
则
1
3
2 5
3 2
4 4
5 1
按(1.6.2)式,
我们还可以把
这个置换写成
2
3
1 5
4 4
3 2
5 1
5 1
3 2
1 3
4 4
2
5
8
变换关于映射的合成构成集合X 的对称群 SX , 并且
把 SX 的任一子群叫做 X的一个变换群. 如果 X 是由n
个元素组成的有限集合, 则通常把X 的一个可逆变换
叫做一个n阶置换(permutation), 把SX叫做n次对称群,
并把SX记作Sn , 同时称 Sn的子群为置换群(permutation
k1
k2
n kn
,则对任一
1
(1) (k1)
(2) (k2)
(n)
(kn
)
证 首先, 由于置换是一一对应, 所以
(1), (2), , (n)恰好包含了集合X 1,2, n
中的 n个数.又对任意的 (i) X
定义1.6.1 设是一个n阶置换 .如果存在1到n
中 r 的个不同的数i1,i2 , ir ,使
(i1) i2, (i2 ) i3, , (ir1) ir , (ir ) i1
并且 保持其余的元素不变,则称是一个长度为 r 的轮换(cycle), 简称r 轮换, 记作 (i1,i2, ir ).
置换群
3 4 1 6 2
2 1 3 6 4
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(F4) 如果 是一个 r 轮换, 则 ord r
js )是两
个不相交的轮换， a是X 中的任意一个数. (1) 如果 a ik , jl (k 1,2, 所以 (a) (a).
14
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r; l 1,2, , s), 则
(a) (a) a, (a) (a) a
4
前页
1 k1
2 k2
3 k3
n (1.6.1) kn
其中第一行表示集合X 的 n 个元素, 第二行的元索 ki 表示第一行的元素 i 在映射 以我们也可把 表示成
的作用下所对应的
象. 由于集合X 的元素的次序与映射是无关的, 所
2 k2
1 k1
5
1 2 3 4 5 按(1.6.2)式, 我们还可以把 则 3 5 2 4 1
这个置换写成
2 1 4 3 5 5 3 1 4 2 3 5 4 2 1 1 2 3 4 5
8
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由置换的定义容易知道,在n阶置换中, 恒等置换
1 2 i1 i2 k 1 k ik 1 ik k 1 ik 1 n 1 n in1 n
由(1)所证, 可表为不相交轮换的乘积. 设
1 2
r , 这里, 1 , 2 , , r为互不相交的轮换.
置换群
第九讲§置换群(pormutation group)本讲的教学目的和要求:置换群是一种特殊的变换群。
换句话说，置换群就是有限集上的变换群。
由于是定义在有限集上，故每个置换的表现形式，固有特点都是可揣测的。
这一讲主要要求：1º弄清置换与双射的等同关系。
2º掌握置换—轮换—对换之间的联系和置换的奇偶性。
3º置换的分解以及将轮换表成对换之积的基本方法要把握。
4º对称群与交错群的结构以及有限群的cayley定理需要理解。
本讲的重点与难点：对于置换以及置换群需要侧重注意的是：对称群和交错群的结构和置换的分解定理（定理2）。
注意：由有限群的cayley定理可知：如把所有置换群研究清楚了。
就等于把所有有限群都研究清楚了，但经验告诉我们，研究置换群并不比研究抽象群容易。
所以，一般研究抽象群用的还是直接的方法。
并且也不能一下子把所有群都不得找出来。
因为问题太复杂了。
人们的方法是将群分成若干类（即附加一定条件）；譬如有限群；无限群；变换群；非变换群等等。
对每个群类进行研究以设法回答上述三个问题。
可惜，人们能弄清的群当今只有少数几类（后面的循环群就是完全解决了的一类群）大多数还在等待人们去解决。
变换群是一类应用非常广泛的群，它的具有代表性的特征—置换群，是现今所研究的一切抽象群的来源，是抽象代数创始人E.Galais(1811-1832)在证明次数大于四的一元代数方程不可能用根号求解时引进的。
一．置换群的基本概念定义1.任一集合A到自身的映射都叫做A的一个变换，如果A是有限集且变换是一一变换（双射），那么这个变换为A的一个置换。
有限集合A的若干个置换若作成群，就叫做置换群。
含有n个元素的有S.限群A的全体置换作成的群，叫做n次对称群。
通常记为n明示：由定义1知道，置换群就是一种特殊的变换群（即有限集合上的变换群）S也就是有限集合A的完全变换群。
而n次对称群n现以{}321 , , a a a A =为例，设π：A →A 是A 的一一变换。
6 置换群
§6 置换群定义 一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换.定义 一个包 n 个元的集合的置换作成的群叫做n 次对称群.这个群用n S 表示. 定理1 !.n S n ={}1,,n A a a = :,1,,i ik a a i n π=以上置换可以写成1212n n k k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 以上表示与第一行的数字无关.如：2121n n k k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭例1 {}123,,A a a a =122331:,,a a a a a a π123132213231213321231312321312123132π⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭例2 3S 有6个元：123123123,,,123132213123123123,,.231231321⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭123123123,132213231123123123,213132312⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3S 不是交换群.置换还有另一种表示把： 若()()()()11111111122211,,k k n k k n k k n kk n j j j j j j j j j j j j jj j j ππ++++⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭则()()()()1112112211k k n k k n j j j j j j j j ππ++⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭. 定义 n S 的一个把1i a 变到2i a ，2i a 变到3i a ，…，1k i a -变到k i a ，k i a 变到1i a 而其余元素（如果还有的话）不变的置换，叫做一个k -循环置换.这样的置换记为()()()1223111,,,.k k k k i i i i i i i i i i -或例3 在5S 中()()()()()()()()()()()()()()12345123231312,2314512345123452345151234,2345112345245452524,143521234512345.12345⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎛⎫==== ⎪⎝⎭⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎛⎫===== ⎪⎝⎭例4 在4S 中，12342143π⎛⎫= ⎪⎝⎭不是一个循环置换.π使每一元都变动，∴若π是一循环置换，它必为4-循环置换. 在π下：121a a a ，π∴不是4-循环置换.()()123412341234.21341243π⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭定理2 每一个n 个元的置换π都可以写成若干个互相没有共同数字的（不相连的）循环置换的乘积.,n S π∀∈()()()1112.t s r i i j j k k k π=把一个置换写成不相连的循环置换的乘积是表示置换的第二种方法.4S 中的元12343412⎛⎫⎪⎝⎭表示为不相连的循环置换的乘积：()()1324.4S 中的元12342431⎛⎫⎪⎝⎭表示为不相连的循环置换的乘积:()124.例5 4S 的全体元用循环置换的方法写出来是()1；()()()()()()12,34,13,24,14,23；()()()()()()()()123,132,134,143,124,142,234,243； ()()()()()()1234,1243,1324,1342,1423,1432； ()()()()()()1234,1324,1423.定理3 每一个有限群都与一个置换群同构.作业 P55:1,2. 习题选解（P55） 1.指出所有3S 的不能和123231⎛⎫⎪⎝⎭交换的元.解 ()123123,231⎛⎫=⎪⎝⎭()()()()()(){}31,23,12,123,132,13,S =()()()()()()1123123,1231123,==()()()()()()2312312,1232313,==()()()()()()1212313,1231223,==()()()()123123123123,=()()()()()()1231321,1321231,==()()()()()()1312323,1231312,==∴不能和()123交换的元有()()()23,12,13.2.把3S 的所有元写成不相连的循环置换的乘积. 见上题3. 证明：1）两个不相连的循环置换可以交换； 2）()()11211.k k k i i i i i i --=证 1）设()112r i i i π=，()21s n j j S π=∈是两个不相连的循环置换.{}1,,k n ∀∈，则 {}1,,k k i i ∈，或{}1,,s k j j ∈，或{}{}111,,\,,,,,.r s k n i i j j ∈（ⅰ）当{}1,,r k i i ∈时，易知{}121,,,,r k i i k k ππ∈=故()()2121112121,,k k k kkk ππππππππππ====此时，1221.kk ππππ=（ⅱ）当{}1,,s k j j ∈时，同理有1221.k k ππππ=（ⅲ）当{}{}1121,,\,,,,,r k n i i j j ∈时，有12,k k k k ππ==，()()2121212121,,k k k k k k k k ππππππππππ∴======1221.k k ππππ∴=由（ⅰ）~（ⅲ）有1221.ππππ=2）()()()()()1211112111,.k k k k k k i i i i i i i i i i i i ---=∴=4.证明一个k -循环置换的阶是.k 证 设()12k i i i π=是一个k -循环置换，则 ()()1212112231,k k kk k k i i i i i i i ππππππππ----=======同理，22,,kkkk i i i i ππ==()1.k π∴=易知，当1l k ≤<时，有111ll i i i π+=≠， ()1.l π∴≠ .k π∴=补充题1 把置换()()()()()()456567671123234345写成不相连的循环置换的积. 答案：()127. 补充题2 设123456789452138796π⎛⎫= ⎪⎝⎭，把π表示为不相连的循环置换的乘积. 解：14,41ππ==； 25,53,32πππ===； 68,89,96πππ===；7π7=()()()()()()()14253689714253689.π∴==。
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置换的乘积. 二.置换的乘积.
设 A = {1 , 3}的任二个置换为 , 2 的任二个置换为
2 1 3 2 1 3 π = 2 1 , τ = 3 2 ,那么由于 π 1 3
和 τ 都是
一一变换,于是 π τ 也是 A 的一一变换.且有 的一一变换. 一一变换,
计算下列置换的乘积: 例1. 计算下列置换的乘积: (1) 解:
τ
π,
(2)
π 2,
(3)
πτ 2 .
2 2 2 1 3 1 3 1 3 τπ = 3 2 2 1 = 1 3 1 3 2 2 2 2 1 3 1 3 1 3 π = 2 1 2 1 = 3 2 3 3 1
循环置换及循环置换分解. 三 循环置换及循环置换分解.
(1)循环置换(轮换) (1)循环置换(轮换) 循环置换 前面我们已经引入了置换的记法,下面, 前面我们已经引入了置换的记法,下面,再介绍 一种记法.设有 8 一种记法.
2 4 6 8 1 3 5 7 元置换 π = 4 5 1 7 , π 3 2 6 8
πτ
: 1 → 1, 2 → 2 , 3 → 3 .
1τπ = 1 , 2τπ = 2 , 3τπ = 3 .
记为: 记为:
2 2 2 1 3 1 3 1 3 换句话说: 换句话说: πτ = 2 1 3 2 = 1 3 3 1 2
8 0
= (1) = (2 ) = (3) = ⋯ 同上,习惯写成 同上,
π 0 = (1) .
定义 2
1
Sn 中的一个将 i1 变到 i2 ， i2 变到 i3 ,⋯, ik 变回
而其余文字（如果还有其他文字） 到 i 而其余文字（如果还有其他文字）不发生变化 的置换，叫做 k —循环置换（或称 k —循环）,记为 循环置换（ 循环） 的置换， ( i , i , i ⋯i )
一个置换的方便之处是显而易见的.当然, 一个置换的方便之处是显而易见的.当然,上述的置换可记为
1 1 2 3 3 2 ， 3 1 1 3 …, 2 2
但习惯上都将第一行按自然序列排写这就可以让我们都统 一在一种表示置换的方法内进行研究工作了. 一在一种表示置换的方法内进行研究工作了.习惯上称它 为三元置换. 为三元置换.
人们的方法是将群分成若干类（即附加一定条件） ；譬如有 人们的方法是将群分成若干类（即附加一定条件） 譬如有 ； 限群；无限群； 换群； 换群等等。对每个群类进行研究， 限群；无限群；交换群；非交换群等等。对每个群类进行研究， 并设法回答上述三个问题。可惜，人们能弄清的群当今只有少 设法回答上述三个问题。可惜， 数几类（后面的循环群就是完全解决了的一类群） ， 数几类（后面的循环群就是完全解决了的一类群） 大多数还在 等待人们去解决。 等待人们去解决。
发生变化的文字的变化次序为序, 发生变化的文字的变化次序为序,表达成轮换的形 式.虽然表达形式简捷,但所含置换的原有文字的 虽然表达形式简捷, 数目可能反映不出来.这要求事先予以说明.例如. 数目可能反映不出来.这要求事先予以说明.例如.
4 3 “8 元置换 π = (1 2 5) ”
循环置换. 叫作 1—循环置换.
（2）循环置换分解
2
2 2 2 1 3 1 3 1 3 πτ = (πτ )τ = 1 3 3 2 = 3 2 = τ 2 1 1
2
注意:置换乘积中,是从左到右求变换值, 注意:置换乘积中,是从左到右求变换值,这是与过去 的习惯方法不同的（也要看各书要求） 的习惯方法不同的（也要看各书要求） 。 例 2 设 A = {1 , 3},那么 A 的全部一一变换构成的三次 ,2 对称群为
2 1
A = { , 2 , 3}.故此. π : 1 ֏ 2 , 2 ֏ 3 , 3 ֏ 1 .稍做 1 故此.
2 2 1 3 1 3 .用 π = ⇒ π = 2 1 2 1 来描述 A 的 3 3 一般地, 每个循环的表达方法不唯一, ② . 一般地 , 每个循环的表达方法不唯一 , 例 如.
π = (1 2 5 ) = (2 5 4 ) = (5 4 3) = ⋯ 4 3 3 1 1 2
因为, 这是 因为,每个循环置换都可视为一 个首尾相接的圆环: 个首尾相接的圆环:
由于置换群也是变换群,故必蕴含 着变换群的一切特征.譬如,不可 交换性和结合律:
，
2 2 2 1 3 1 3 1 3 1 2 2 3 = 2 1 3 1 3 2 2 2 1 3 1 3 1 3 ≠ 3 2 = 2 3 1 2 1 1 3
本讲的重点与难点： 本讲的重点与难点：对于置换以及置换群
需要特别注意的是： 需要特别注意的是： 对称群和交错群的结构和置 特别注意的是 换的分解定理。 换的分解定理。
定理可知： 注意：由有限群的 cayley 定理可知：如把所有置 换群研究清楚了。 换群研究清楚了。就等于把所有有限群都研究清楚 了，但经验告诉我们，研究置换群并不比研究抽象群 但经验告诉我们， 容易。所以，一般研究抽象群用的还是直接的方法。 容易。所以，一般研究抽象群用的还是直接的方法。 并且也不能一下子把所有群都找出来。 并且也不能一下子把所有群都找出来。因为问题太复 杂了。 杂了。
的变换过程为1 → 4 → 2 → 3 → 5 → 1,即其他元素都不改 变,若将不发生改变的文字都删掉,那么上述置换 若将不发生改变的文字都删掉, 可写成循环置换的形式: 4 3 可写成循环置换的形式: π = (1 2 5)
注意: 循环置换是置换的另一种表达形式, 注意:①循环置换是置换的另一种表达形式,它以
S 3 = {π 0 1 , π 2 , π 3 , π 4 , π 5 }.其中 ,π
2 2 2 1 3 1 3 1 3 π0 = 1 3 , π 1 = 1 2 , π 2 = 2 3 2 3 1 2 2 2 1 3 1 3 1 3 π3 = 2 1 , π 4 = 1 , π 5 = 3 1 3 2 3 2
所以 S3
= 3!= 6 .其中 π 0 是恒等变换.即 π 0 是 S 3 的单位元. 是恒等变换. 的单位元.
定理 1
证明
n 次对称群 S n 的阶是 n! .
1 2 ⋯ n 种取法,当 任意 σ = ∈ Sn , i1 有 n种取法 当 i1 i1 i2 ⋯ in
取定后, i2 只有 n-1 种取法 如此继续下去 in 只有 1 种取法,如此继续下去 如此继续下去, 取定后 种取法.因此共有 个不同的置换,所 种取法 因此共有 n( n-1)…2•1= n!个不同的置换 所 … • 个不同的置换 以 Sn = n!.
1 2 3
k
例 3 在 S 中.
5
2 4 1 3 5 2 2 1 5 = (1 3) 3 4
循环置换. 叫作 3—循环置换. 循环置换. 叫作 5—循环置换.
2 4 1 3 5 2 4 2 4 1 = (1 3 5) 3 5 2 4 1 3 5 1 3 5 = (1) 2 4
π
a1 ֏ a2 , a2 ֏ a3 , a3 ֏ a1 ,利用本
教材中特定的表示方法有： 教材中特定的表示方法有：
a1 = a2 ， a2 = a3 ， a3 = a1 .
π π
由于映射中只关心元素之间的对称关系. 由于映射中只关心元素之间的对称关系.而不在乎元素的 具体内容.故可设 具体内容.故可设 修改: 修改: π ： ↓
第 9 讲
第二章 群 论
课时) §6 置 换 群 (2课时 课时
(pormutation group)
本讲的教学目的和要求: 本讲的教学目的和要求
置换群是一种特殊的变换群。换句话说， 置换群是一种特殊的变换群。换句话说，置换群 就是有限集上的变换群。由于是定义在有限集上， 就是有限集上的变换群。由于是定义在有限集上，故 每个置换的表现形式，固有特点都是可揣测的。 每个置换的表现形式，固有特点都是可揣测的。这一 讲主要要求： 讲主要要求： 弄清置换与双射的等同关系。 1º 弄清置换与双射的等同关系。 掌握置换—轮换—对换之间的联系和置换的奇偶性。 2º 掌握置换—轮换—对换之间的联系和置换的奇偶性。 3º掌握置换的分解和将轮换表成对换之积的基本方法。 掌握置换的分解和将轮换表成对换之积的基本方法。 置换的分解 理解对称群与交错群的结构以及有限群的 4º理解对称群与交错群的结构以及有限群的 cayley 定 理。
变换群是一类应用非常广泛的群， 变换群是一类应用非常广泛的群，它的具有代表性 的特征 置换群， 的特征—置换群，是现今所研究的一切抽象群的来源 ， E.Galais(1811-1832)在证明次数大 是抽象代数创始人 E.Galais(1811-1832)在证明次数大 于四的一元代数方程不可能用根号求解时引进的。 于四的一元代数方程不可能用根号求解时引进的。
知道， 说明：由定义 1 知道，置换群就是一种特殊 的变换群（即有限集合上的变换群） 的变换群（即有限集合上的变换群）而 n 次对 的完全变换群。 称群 S 也就是有限集合 A 的完全变换群。
n
现以 A = {a , a
1
2
, a3 } 为例，设 π 为例，
： A → A 是 A 的一
一变换。 一变换。即 π :
一． 置换群的基本概念
定义 1
任一集合 A 到自身的映射都叫做 A 的一个
变换， 是有限集且变换是一一变换（双射） 变换，如果 A 是有限集且变换是一一变换（双射） ， 那么这个变换为 A 的一个置换。有限集合 A 的若干 的一个置换。 个置换若作成群，就叫做置换群。 个置换若作成群，就叫做置换群。含有 n 个元素的 的全体置换作成的群， 次对称群。 有限群 A 的全体置换作成的群，叫做 n 次对称群。 通常记为 Sn .