1.2 全排列及其逆序数
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线性代数基础
0 0 0 a44
a14a23a33a41
四个结论：
(1) 对角行列式
a11 D a22 ann
(2)
a11a22 ann
a1n D a n1 a2,n 1
(1)
n( n1) 2
a1na2,n1
an1
(3)
上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为0）
a11 0 D 0
a11a22a34a43 2 x 3
故 x 3 的系数为－1.
§1.2
代数余子式:
行列式按行(列)展开
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划后，
留下来的n－1阶行列式叫做元素 aij的余子式，记作 M ij . 把 Aij 1 子式．
例如
i j
M ij
, n) 排成的
a21
a22
am 1 am 2
a11 a21 A am 1 a12 a22 am 1
称为 m 行 n 列矩阵，简称 m×n 矩阵． 记作
a11 a21 A am 1
a12 a22 am 1
a1 n a2 n amn
§2.3 逆矩阵
§2.4 矩阵的分块 §2.5 方阵的特征值与特征向量 补充: 几个重要的矩阵
§2.1 矩阵的定义
由 m×n 个数 aij (i 1, 2, m 行 n 列的数表 a11 a12
, m; j 1, 2,
a1n a2 n amn
a1 n a2 n amn
1 0 4. 形如 0 0
2
0
0 0 记作 的方阵称为对角阵． A diag(1 , 2 , , n ) n
线性代数1-2全排列及其逆序数1-3n阶行列式的定义1-4对换
例3 用行列式的定义计算
0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 Dn n1 0 0 0 0 0 0 0 0 n
解 Dn 1 t a1,n1a2,n2 an1,1ann
1t 1 2 n 1 n 1t n!, tn 1n 2 21n
01 2L n 3 n 2 0
1234
例3 计算
0 D
4
2
1
0056
0008
解
1234Βιβλιοθήκη 0421D 00
5
6 a11a22a a 33 44 1 4 5 8 160.
0008
同理可得下三角行列式
a11
0 0 0
a21 a22 0 0
an1
an2
an3 ann
a11a22 ann .
例4 证明对角行列式
1 2
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性 . 再证一般对换的情形 .
设排列为 a1 alab1 bmbc1 cn , 现来对换 a 与b.
a1 al a b1 bm b c1 cn
m 次相邻对换 a1 al ab b1 bmc1 cn
m 1 次相邻对换 a1 al b b1 bm a c1 cn
t 0 1 0 3 1 5.
例2 计算下列排列 nn 1n 2L 321
的逆序数，并讨论它的奇偶性.
解
t 1 2 L (n 2) n 1
nn 1
,
2
当 n 4k,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
第一章 行列式
第三节 n 阶行列式的定义
一、概念的引入
1
a a t p1q1 p2q2
a pnqn
§2 全排列及其逆序数
1. 由1,2,…,n-1,n(n个数)组成的一个全排列称 个数) ( 个数 为一个n级排列. 为一个 级排列. 级排列 如:12345,54321,43512均为5级排列 12345,54321,43512均为5 均为 123…( -1)n(具有自然顺序的排列为)标准排列. 2. 123 (n-1) (具有自然顺序的排列为)标准排列.
三,排列的逆序数
我们规定各元素之间有一个标准次序, 我们规定各元素之间有一个标准次序 n 个 不同的自然数,规定由小到大为标准次序 标准次序. 不同的自然数,规定由小到大为标准次序 1. 定义 在一个排列 p1 p2 pt ps pn 中, 若数 pt > ps , 则称这两个数组成一个逆序 则称这两个数组成一个逆序. (即:大的数在小的数左边,则这两数构成一个逆序) 大的数在小的数左边,则这两数构成一个逆序) 排列32514 中, 例如 排列 逆序 3 2 5 1 4 逆序 逆序
2. 定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排
列的逆序数. 列的逆序数. 逆序数 例如 排列 32514 中,
3. 排列的奇偶性
逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 奇排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 偶排列
4.计算排列逆序数的方法 4.计算排列逆序数的方法
设排列为 p1 p2 pn , t i 为 pi 构成的逆序数 则其逆序数为 t = N ( p1 p2 pn ) = t1 + t 2 + t n1 例1 例2 的逆序数. 求排列 32514 的逆序数 计算下列排列的逆序数, 计算下列排列的逆序数,并讨论它们的 奇偶性. 奇偶性
(1) 217986354 (2) n(n 1)(n 2 ) 321
1_2排列、逆序与对换
1.2.1 排列与逆序定义1.2.1由自然数1，2，······，n 组成的一个有序数组称为一个n 元排列.例如：1，2，3，4，55，1，2，3，45，3，2，1，4都是数1，2，3，4，5的一个排列.问题：n 个数的不同排列有个.n !标准排列(自然排列).按数的大小次序，由小到大的排列称为定义n 阶排列1234…n 称为n 阶自然序排列.计算排列的逆序数的方法：分别计算出排在1,2,…,n-1,n前面比它大的数码之和即分别算出1,2,…,n-1,n这n个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数例1 求排列32514的逆序数.解在排列32514中,3排在首位,逆序数为0;2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;3 2 5 1 401031于是排列32514的逆序数为(32514)01031τ=++++.5=5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;例2 计算下列排列的逆序数()2179863541解453689712544310010(217986354)τ=18=54+0100134+++++++()()()212321n n n−−L 解()()(12321)n n n τ−−L ()()12321n n n−−L 0=000000考虑，在1，2，3 的全排列中有个偶排列：有个奇排列：123，231，312 132，213，32133一般说来，在n个数码的全排列中，奇偶排列各占一半.定义1.2.4把一个排列中的任意两个数交换位置，而其余数码不动，叫做对该排列作一次对换，简称对换.将相邻的两个数对换，称为相邻对换.ml b b a a L L 11例如b a ml b b a a a L L 11a b nm l c c b b a a L L L 111n m l c c a b b b a a L L L 111b a a 2.对换定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．证明设排列为m l b b ab a a L L 11对换与a bml b b ba a a L L 11除外，其它元素的逆序数不改变.b ,a ba a b 的逆序数不变;经对换后的逆序数增加1 ,当时，b a <当时，b a >经对换后的逆序数不变，的逆序数减少1.a b 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为nm l c bc b ab a a L L L 111现来对换与a .b 次相邻对换m nm l c c b b ab a a L L L 111次相邻对换1+m n m l c c a b b b a a L L L 111,111n m l c bc b ab a a L L L ∴次相邻对换12+m ,111nm l c ac b bb a a L L L 所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.nm l c c b b b a a a L L L 111ab2!n q p ==定理任意一个n 阶排列都可以经过一系列对换变成自然序排列，并且所作对换的次数与该排列有相同的奇偶性.证明用数学归纳证明当n=1时，结论显然成立.假设结论对n-1阶排列成立,现证对n 阶排列也成立..,,,21阶排列是任一设n j j j n L ,n j n =若.1,,,121阶排列个是一则−−n j j j n L 由假设知，121,,,−n j j j L 可经过一系列对换变成自然序排列，从而nn j j j j ,,,,121−L 可经过一系列对换变成自然序排列.),,,n n j n n j 则先作对换（若≠n n n n j j j j j j j j ′′′′−−,,,,,,,,121121L L 变成使这就归结为上面的情形，结论成立.所以任意一个n 阶排列都可以经过一系列对换变成自然序排列.由于自然序排列是偶排列，由定理1可知，对换一个改变排列奇偶性，所以将一奇排列变成自然序排列推论需要作奇数次对换，而将一偶排列变成自然序排列则需要作偶数次对换,证毕.任意两个n 阶排列都可以经过一系列对换互变，而且若这两个排列的奇偶性相同，则所作的则所作的对换次数是奇数.对换次数是偶数；若这两个排列的奇偶性相反，小结1.排列,逆序数，奇排列,偶排列,对换的定义.2.一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．思考题证明在全部阶排列中,奇偶排列各占一半. n ()2≥n 思考题解答证设在全部阶排列中有个奇排列, 个偶排列,现来证.n s t t s =将个奇排列的前两个数对换,则这个奇排列全变成偶排列,并且它们彼此不同,所以s s .t s ≤若将个偶排列的前两个数对换,则这个偶排列全变成奇排列,并且它们彼此不同,于是有t t .s t ≤故必有.t s =作业：P251（1）（5）2（1）（2）3（2）4（1）56 （1）（3）。
1-2排列及其逆序数
定义⒈⒈ ｎ个不同元素所排成的一列，称为（全）排列。 标准(自然排列):ｎ个不同自然数从小到大的排列。 例： 6 3 2, 2 5 1 3 4 2 3 6, 1 2 3 4 5
p1 p2 p3.......... pn , p N , i 1, 2, , n . 定义⒈⒉ 若在排列 p1 p2 ...... pn 中,某两数不是自然顺序
（４）标准排列是偶排列。
定义⒈⒋ 例： 定理⒈⒈
对换：将排列中某两数位置对调，其余数不动。
6372451 对 换 一 次 1372456 偶排列 奇排列
排列经一次对换，奇偶性改变。
推论 （１）：奇（偶）排列调为奇（偶）排列， 须作偶数次对换，奇偶性相同。 （２）：奇（偶）排列调为偶（奇）排列， 须作奇数次对换，奇偶性不同。 （３）：奇（偶）排列调为标准排列， 须作奇（偶）数次对换，标准排列是偶排列。
例1.2，求排列数的逆序数
(1)６３７２４５１ (2)１３７２４５６
(3) 1 2 3 …(n-1)n(2n)(2n-1)…(n+1) 解：(1) 排列 p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 6 3 7 2 4 5 1 τi 0 1 0 3 2 2 6
(6372451) i 14
i
排列的一般记法：
(即前数>后数),则称这两数构成一个逆序。 排列 p1 p2 ..... pn 的逆序总数称为逆序数。 记作：
( p1 p2 p3..... pn)
记 逆序数求法：
i 是pi 前比pi 大的数的个数，则 ( p1 p2 ... pn ) 2 3 ... n (1 0)
1 i 0 0 1 2 (n 1) (n 1)n 2 i 1
p1 p2 p3.......... pn , p N , i 1, 2, , n . 定义⒈⒉ 若在排列 p1 p2 ...... pn 中,某两数不是自然顺序
（４）标准排列是偶排列。
定义⒈⒋ 例： 定理⒈⒈
对换：将排列中某两数位置对调，其余数不动。
6372451 对 换 一 次 1372456 偶排列 奇排列
排列经一次对换，奇偶性改变。
推论 （１）：奇（偶）排列调为奇（偶）排列， 须作偶数次对换，奇偶性相同。 （２）：奇（偶）排列调为偶（奇）排列， 须作奇数次对换，奇偶性不同。 （３）：奇（偶）排列调为标准排列， 须作奇（偶）数次对换，标准排列是偶排列。
例1.2，求排列数的逆序数
(1)６３７２４５１ (2)１３７２４５６
(3) 1 2 3 …(n-1)n(2n)(2n-1)…(n+1) 解：(1) 排列 p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 6 3 7 2 4 5 1 τi 0 1 0 3 2 2 6
(6372451) i 14
i
排列的一般记法：
(即前数>后数),则称这两数构成一个逆序。 排列 p1 p2 ..... pn 的逆序总数称为逆序数。 记作：
( p1 p2 p3..... pn)
记 逆序数求法：
i 是pi 前比pi 大的数的个数，则 ( p1 p2 ... pn ) 2 3 ... n (1 0)
1 i 0 0 1 2 (n 1) (n 1)n 2 i 1
全排列及其逆序数解读
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列（简称排列）。
n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn表 示。
例如, 引例的结果是 P3=3×2×1=6。
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计算 Pn 的公式：
首先从 n 个元素中任取一个放在第一个位置上， 有 n 种取法；
又从剩下的 n－1 个元素中任取一个放在第二 个位置上，有 n－1 种取法；
§2 全排列及其逆序数
★全排列的概念 ★逆序的概念 ★计算排列逆序数的方法
由于对角线法则只适用于二、三
阶行列式，为研究四阶及更高阶的行
列式，必须用到逆序数的概念。本节
主要介绍全排列的概念以、3三个数字，可以组成多少个没有重 复数字的三位数？ 解 总共有3×2×1= 6种放法。
这6个不同的三位数是： 123， 132， 213， 231， 312， 321。
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全排列的概念
在数学中，把考察的对象叫做元素。 于是引例可抽象成：把 3 个不同的元素排成一列， 共有几种不同的排法？ 一般地，我们可以讨论“把 n 个元素排成一列，共 有几种不同的排法”的问题。
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排列分类
奇排列：逆序数为奇数的排列 偶排列：逆序数为偶数的排列
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计算排列的逆序数的方法
不妨设 n 个元素为 1 至 n 这 n 个自然数，并
规定由小到大为标准次序。
设
p1 p2 pn
为这 n 个自然数的一个排列。
方法一 在排列 p1 p2 pn 中，直接找出次序颠 倒了的元素对的个数，这也就是该排列的逆序数。
t 0 0 0 0 0 0 2 4 6 8 20
线性代数-全排列及其逆序数
§2 全排列及其逆序数
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？
解
123
百位 1 十位 1 2 个位 1 2 3
2
3
3种放法
13
2种放法 1种放法
共有 3 2 1 6 种放法.
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的 排法？
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素 的全排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn 表示.
t(32514) 0 1 0 3 1 5
练习： 求排列 453162 的逆序数.
解： t 9
并规定由小到大为标准次序.
先看有多少个比 p1 大的数排在 p1 前面，记为 t1 ； 再看有多少个比 p2大的数排在 p2前面，记为 t2 ;
……
最后看有多少个比 pn大的数排在 pn前面，记为 tn;
则此排列的逆序数为 t t1 t2 tn
例1： 解：
求排列 32514 的逆序数.
对于n 个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序. n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序.
定义 当某两个元素的先后次序与标准次序不同时， 就称这两个元素组成一个逆序.
例如 在排列32514中， 逆序
32514 逆序 逆序 思考题：还能找到其它逆序吗？ 答：2和1，3和1也构成逆序.
定义 排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.
显然 Pn n (n 1) (n 2) 3 2 1 n!
即n 个不同的元素一共有n! 种不同的排法.
Hale Waihona Puke 3个不同的元素一共有3! =6种不同的排法
123，132，213，231，312，321
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？
解
123
百位 1 十位 1 2 个位 1 2 3
2
3
3种放法
13
2种放法 1种放法
共有 3 2 1 6 种放法.
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的 排法？
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素 的全排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn 表示.
t(32514) 0 1 0 3 1 5
练习： 求排列 453162 的逆序数.
解： t 9
并规定由小到大为标准次序.
先看有多少个比 p1 大的数排在 p1 前面，记为 t1 ； 再看有多少个比 p2大的数排在 p2前面，记为 t2 ;
……
最后看有多少个比 pn大的数排在 pn前面，记为 tn;
则此排列的逆序数为 t t1 t2 tn
例1： 解：
求排列 32514 的逆序数.
对于n 个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序. n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序.
定义 当某两个元素的先后次序与标准次序不同时， 就称这两个元素组成一个逆序.
例如 在排列32514中， 逆序
32514 逆序 逆序 思考题：还能找到其它逆序吗？ 答：2和1，3和1也构成逆序.
定义 排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.
显然 Pn n (n 1) (n 2) 3 2 1 n!
即n 个不同的元素一共有n! 种不同的排法.
Hale Waihona Puke 3个不同的元素一共有3! =6种不同的排法
123，132，213，231，312，321
全排列及其逆序数
全排列及其逆序数
一、概念的引入引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解1 2 3123百位3种放法十位1231个位1 232种放法1种放法种放法.共有二、全排列及其逆序数问题定义由引例同理例如排列32514 中，定义我们规
定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.排列的逆序数3 2 5 1 4定义
一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.例如排列32514 中， 3 2 5 1 4逆序数为31故
此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.计算排列逆序数的方法方法1逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.排列的奇偶性分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序
数.方法2例1 求排列32514的逆序数.解在排列32514中,3排在首位,逆序数为0;2的前面比2大的数只有一个3,故逆
序数为1;3 2 5 1 4于是排列32514的逆序数为5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;1的前面比1大的数有3个,故
逆序数为3;4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.解此排列为偶排列.解解
2 排列具有奇偶性.
3 计算排列逆序数常用的方法有2 种.三、小结思考题分别用两种方法求排列16352487的逆序数.思考
题解答解用方法11 6 3 5 2 4 8 7 用方法2由前向后求每个数的逆序数.。
§2 全排列及其逆序数
逆序
例如 排列32514 中， 排列
3 2 5 1 4
逆序 逆序
2. 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数. 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数 逆序数. 例如: 其逆序数为5. 例如 排列 32514 , 其逆序数为 其逆序数为4. 排列 31524 , 其逆序数为 3. 排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 奇排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 偶排列
4.计算排列逆序数的方法 计算排列逆序数的方法 设排列为 p1 p2 L pn , t i 为 pi 构成的逆序数 则其逆序数为 t = t ( p1 p2 L pn ) = t1 + t 2 + Lt n−1 计算下列排列的逆序数,并讨论它们的奇偶性 并讨论它们的奇偶性. 例 计算下列排列的逆序数,并讨论它们的奇偶性.
二、排列的逆序数
规定各元素之间有一个标准次序, 规定各元素之间有一个标准次序 n 个不同的自 然数, 规定由小到大为标准次序 标准次序. 然数 …pt…ps…pn中, 若数 pt >ps, 则称这两个数组成一个逆序 逆序. 则称这两个数组成一个逆序 (即：大的数在小的数左边, 则这两数构成一个逆序） 即 大的数在小的数左边 则这两数构成一个逆序）
(1) 217986354 ( 2) n( n − 1)( n − 2)L 321
四、小结
1. n个不同的元素的所有排列总数为 个不同的元素的所有排列总数为n!. 个不同的元素的所有排列总数为 2. 排列具有奇偶性 排列具有奇偶性. 3. 计算排列逆序数. 计算排列逆序数
§2 全排列及其逆序数
一、全排列 二、排列逆序数 三、小结
例如 排列32514 中， 排列
3 2 5 1 4
逆序 逆序
2. 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数. 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数 逆序数. 例如: 其逆序数为5. 例如 排列 32514 , 其逆序数为 其逆序数为4. 排列 31524 , 其逆序数为 3. 排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 奇排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 偶排列
4.计算排列逆序数的方法 计算排列逆序数的方法 设排列为 p1 p2 L pn , t i 为 pi 构成的逆序数 则其逆序数为 t = t ( p1 p2 L pn ) = t1 + t 2 + Lt n−1 计算下列排列的逆序数,并讨论它们的奇偶性 并讨论它们的奇偶性. 例 计算下列排列的逆序数,并讨论它们的奇偶性.
二、排列的逆序数
规定各元素之间有一个标准次序, 规定各元素之间有一个标准次序 n 个不同的自 然数, 规定由小到大为标准次序 标准次序. 然数 …pt…ps…pn中, 若数 pt >ps, 则称这两个数组成一个逆序 逆序. 则称这两个数组成一个逆序 (即：大的数在小的数左边, 则这两数构成一个逆序） 即 大的数在小的数左边 则这两数构成一个逆序）
(1) 217986354 ( 2) n( n − 1)( n − 2)L 321
四、小结
1. n个不同的元素的所有排列总数为 个不同的元素的所有排列总数为n!. 个不同的元素的所有排列总数为 2. 排列具有奇偶性 排列具有奇偶性. 3. 计算排列逆序数. 计算排列逆序数
§2 全排列及其逆序数
一、全排列 二、排列逆序数 三、小结
【VIP专享】1-2全排列及其逆序数
第二节 全排列及其逆序数
一、概念的引入
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？
二、全排列及其逆序数
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有几种不 同的排法？
定义 把 n个不同的元素排成一列，叫做这 n 个
元素的全排列（或排列）.
n 个不同的元素的所有排列的种数，通常
用 Pn表示. 由引例 P3 3 2 1 6. 同理 Pn n (n 1) (n 2) 3 2 1 n!.
排列的奇偶性
逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列.
例2 计算下列排列的逆序数.
1 217986354
解
217986354
0 10 0 1 3 4 4 5
t 5 4 4310010
18
此排列为偶排列.
2 nn 1 2
t n 1 n 2 2 1 nn 1,
2
排列的逆序数
我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序.
定义 在一个排列 i1i2 it is in 中，若数
it is 则称这两个数组成一个逆序.
例如 排列32514 中， 逆序
32514
逆序 逆序
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数.
例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中,
32514 01 031
于是排列32514的逆序数为
t 0 1 0 3 1 5.
计算排列逆序数的方法
分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数.
一、概念的引入
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？
二、全排列及其逆序数
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有几种不 同的排法？
定义 把 n个不同的元素排成一列，叫做这 n 个
元素的全排列（或排列）.
n 个不同的元素的所有排列的种数，通常
用 Pn表示. 由引例 P3 3 2 1 6. 同理 Pn n (n 1) (n 2) 3 2 1 n!.
排列的奇偶性
逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列.
例2 计算下列排列的逆序数.
1 217986354
解
217986354
0 10 0 1 3 4 4 5
t 5 4 4310010
18
此排列为偶排列.
2 nn 1 2
t n 1 n 2 2 1 nn 1,
2
排列的逆序数
我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序.
定义 在一个排列 i1i2 it is in 中，若数
it is 则称这两个数组成一个逆序.
例如 排列32514 中， 逆序
32514
逆序 逆序
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数.
例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中,
32514 01 031
于是排列32514的逆序数为
t 0 1 0 3 1 5.
计算排列逆序数的方法
分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数.
2004-2015年考研线代试题整理(数三)(学生复印)
）
c1， c2， c3 ， c4为任意常数，则下列向量组线性相关的是（
（A） 1 ， 2， 3 （C） 1 ， 3， 4 （B） 1 ， 2， 4 （D） 2， 3， 4
2010 年每小题 4 分(5) 设向量组Ⅰ： 1， 2， 下列命题正确的是 （A）若向量组Ⅰ线性无关，则 r s （C）若向量组Ⅱ线性无关，则 r s
2 1 0 (A) 1 1 0 . 0 0 2 2 0 0 (C) 0 1 0 . 0 0 2
1 1 0 (B) 1 2 0 . 0 0 2 1 0 0 (D) 0 2 0 . 0 0 2
*
O A | A | 2,| B | 3 ，则分块矩阵 的伴随矩阵为 B O
(A)
O 2A O 2B
* *
3B* . O 3 A* . O
2
(B)
O 3A O 3B
* *
2 B* . O 2 A* . O
(A) a , d
)
(B) a , d
(C) a , d (D) a , d
1 2 3 4 2014 年（20） （本题满分 11 分）设 A 0 1 1 1 ， E 为 3 阶单位矩阵。 1 2 0 3
4.3 向量组的秩 4.4 线性方程组的解的结构
1 1 1 1 2015 年每小题 4 分(5)设矩阵 A 1 2 a , b d .若集合 1, 2 ，则线性方程组 1 4 a 2 d2
Ax b 有无穷多解的充分必要条件为 (
1 （A） 2 1 2 （C） 1 2
c1， c2， c3 ， c4为任意常数，则下列向量组线性相关的是（
（A） 1 ， 2， 3 （C） 1 ， 3， 4 （B） 1 ， 2， 4 （D） 2， 3， 4
2010 年每小题 4 分(5) 设向量组Ⅰ： 1， 2， 下列命题正确的是 （A）若向量组Ⅰ线性无关，则 r s （C）若向量组Ⅱ线性无关，则 r s
2 1 0 (A) 1 1 0 . 0 0 2 2 0 0 (C) 0 1 0 . 0 0 2
1 1 0 (B) 1 2 0 . 0 0 2 1 0 0 (D) 0 2 0 . 0 0 2
*
O A | A | 2,| B | 3 ，则分块矩阵 的伴随矩阵为 B O
(A)
O 2A O 2B
* *
3B* . O 3 A* . O
2
(B)
O 3A O 3B
* *
2 B* . O 2 A* . O
(A) a , d
)
(B) a , d
(C) a , d (D) a , d
1 2 3 4 2014 年（20） （本题满分 11 分）设 A 0 1 1 1 ， E 为 3 阶单位矩阵。 1 2 0 3
4.3 向量组的秩 4.4 线性方程组的解的结构
1 1 1 1 2015 年每小题 4 分(5)设矩阵 A 1 2 a , b d .若集合 1, 2 ，则线性方程组 1 4 a 2 d2
Ax b 有无穷多解的充分必要条件为 (
1 （A） 2 1 2 （C） 1 2
大学线性代数最全知识点
D2
a11 a21
b1 . b2
则二元线性方程组的解为
b1
x1
D1 D
b2 a11
a21
a12 a22 , a12 a22
a11
x2
D2 D
a21 a11
a21
b1 b2 . a12 a22
例1 求解二元线性方程组
32x1x12
x2 x2
12, 1.
解
3 D
2
3 (4) 7 0,
21
12 D1 1
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 b1 a13
得
D2 a21 b2 a23 ,
a31 b3 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
(2)
(1)a22:
a11a22x1 + a12a22x2 = b1a22,
(2)a12:
a12a21x1 + a12a22x2 = b2a12,
两式相减消去x2, 得 (a11a22 – a12a21) x1 = b1a22 – b2a12;
（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2;
线性代数
第一章 行列式 第二章 矩阵及其运算 第三章 矩阵的初等变换及线性方程组 第四章 向量组的线性相关性 第五章 相似矩阵及二次型
第一章 行列式
§1.1 二阶与三阶行列式
一、二元线性方程组与二阶行列式
用消元法解二元(一次)线性方程组:
线性代数全排列与逆序数
第二节（1） 全排列和逆序数
一、全排列及其逆序数
定义 由n 个不同数码1,2,…,n 组成的有序数组 i1i2…in，称为一个全排列。 –例如, 1234及2341都是4级全排列, 25413是一
个5级全排列.
n个不同数码有n！种全排列。
定义 在一个全排列i1i2…in中，如果有较大的 数it排在较小的数is前面(is<it)，则称it与is构成一 个逆序。一个全排列中逆序的总数, 称为它的逆 序数，记为
例 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇 偶性.
1 217986354
解
217986354
0 10 0 1 3 4 4 5
t 5 4 4310010
18
此排列为偶排列.
2 nn 1n 2321
解 n1
nn1n 2321 n 2
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.
设排列为 a1 alab1 bmbc1 cn 现来对换 a 与b.
a1al a b1bm b c1cn
m 次相邻对换 a1 al ab b1 bmc1cn m 1 次相邻对换 a1al bb b1bm a c1cn
a1alab1bmbc1cn ,
21, 31 31, 32 21,31,32
逆序数 0 1 1 2 2 3
奇偶性 偶排列 奇排列 奇排列 偶排列 偶排列 奇排列
证 设在全部 n 阶排列中有 s 个奇排列, t 个偶 排列,现来证 s t .
将s 个奇排列的前两个数对换,则这 s个奇排 列全变成偶排列,并且它们彼此不同,所以 s t.
方法2
分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数.
一、全排列及其逆序数
定义 由n 个不同数码1,2,…,n 组成的有序数组 i1i2…in，称为一个全排列。 –例如, 1234及2341都是4级全排列, 25413是一
个5级全排列.
n个不同数码有n！种全排列。
定义 在一个全排列i1i2…in中，如果有较大的 数it排在较小的数is前面(is<it)，则称it与is构成一 个逆序。一个全排列中逆序的总数, 称为它的逆 序数，记为
例 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇 偶性.
1 217986354
解
217986354
0 10 0 1 3 4 4 5
t 5 4 4310010
18
此排列为偶排列.
2 nn 1n 2321
解 n1
nn1n 2321 n 2
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.
设排列为 a1 alab1 bmbc1 cn 现来对换 a 与b.
a1al a b1bm b c1cn
m 次相邻对换 a1 al ab b1 bmc1cn m 1 次相邻对换 a1al bb b1bm a c1cn
a1alab1bmbc1cn ,
21, 31 31, 32 21,31,32
逆序数 0 1 1 2 2 3
奇偶性 偶排列 奇排列 奇排列 偶排列 偶排列 奇排列
证 设在全部 n 阶排列中有 s 个奇排列, t 个偶 排列,现来证 s t .
将s 个奇排列的前两个数对换,则这 s个奇排 列全变成偶排列,并且它们彼此不同,所以 s t.
方法2
分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数.
线性代数1.2
a1 al a b1 bm b c1 cn
m 次相邻对换
a1 al ab b1 bm c1 cn
m 1 次相邻对换 a a b b b a c c 1 l 1 m 1 n
a1 al ab1 bm bc1 cn ,
2m 1次相邻对换 a a bb b ac c , 1 l 1 m 1 n
1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;
4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1; 3 2 5 1 4 0 1 0 3 1 于是排列32514的逆序数为
t 0 1 0 3 1 5.
例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇 偶性.
1 217986354
解
2 1 7 9 8 6 3 5 4
方法2 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数. 例1 解 求排列32514的逆序数. 在排列32514中,
3排在首位,逆序数为0;
2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;
5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;
将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．
例如
a1 al a b b1 bm a1 al b a b1 bm
a1 al a b1 bm b c1 cn a1 al b b1 bm a c1 cn
定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列 改变奇偶性． 证明 设排列为
对换 a 与 b
a1 al ab b1 bm
n 个不同的元素的所有排列的种数，通常
用 Pn表示. 利用乘法原理,有
Pn n ( n 1) ( n 2) 3 2 1 n!.
计算机网络实验基础知识1-2 全排列及其逆序数
4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1; 32514 01 031
于是排列32514的逆序数为 t 0 1 0 3 1 5.
例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇 偶性.
1 7986354
解
217986354
0 10 0 1 3 4 4 5
t 5 4 4310010
18
此排列为偶排列.
i1 前面比i1 大的数码个数； i1 i 2 i n
向前看大 向后看小
③ i1 后面比i1 小的数码个数 i2 后面比i2 小的数码个数
in 后面比in 小的数码个数； i1 i 2 in
向后看小 向前看大
例1 求排列32514的逆序数.
解 在排列32514中, 3排在首位,逆序数为0; 2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1; 5的前面没有比5大的数,其逆序数为0; 1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;
分别用两种方法求排列16352487的逆序数.
思考题解答
解 用方法1 1 63 5 2 4 8 7 t 03121010 8
用方法2 由前向后求每个数的逆序数. t 0 0 1 1 3 2 0 1 8.
2 nn 1n 2321
解 n1
nn1n 2321 n 2
t n 1 n 2 2 1 nn 1,
2 当 n 4k ,4k 1时为偶排列；
从后面向前看大
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
3 2k 12k 122k 232k 3k 1k
从前面向前看大
解
2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3k 1 k
01 1 2 2
k
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
21 k 1k 1 k k 2,
于是排列32514的逆序数为 t 0 1 0 3 1 5.
例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇 偶性.
1 7986354
解
217986354
0 10 0 1 3 4 4 5
t 5 4 4310010
18
此排列为偶排列.
i1 前面比i1 大的数码个数； i1 i 2 i n
向前看大 向后看小
③ i1 后面比i1 小的数码个数 i2 后面比i2 小的数码个数
in 后面比in 小的数码个数； i1 i 2 in
向后看小 向前看大
例1 求排列32514的逆序数.
解 在排列32514中, 3排在首位,逆序数为0; 2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1; 5的前面没有比5大的数,其逆序数为0; 1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;
分别用两种方法求排列16352487的逆序数.
思考题解答
解 用方法1 1 63 5 2 4 8 7 t 03121010 8
用方法2 由前向后求每个数的逆序数. t 0 0 1 1 3 2 0 1 8.
2 nn 1n 2321
解 n1
nn1n 2321 n 2
t n 1 n 2 2 1 nn 1,
2 当 n 4k ,4k 1时为偶排列；
从后面向前看大
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
3 2k 12k 122k 232k 3k 1k
从前面向前看大
解
2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3k 1 k
01 1 2 2
k
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
21 k 1k 1 k k 2,
§2 全排列及其逆序数
3 3
© §2 2009, Henan Polytechnic University 全排列及其逆序数
第一章 行列式
例如：对于 3个不同的元素一共有3! =6种不同的排法 123，132，213，231，312，321 在所有6种不同的排法中，只有一种排 法（123）中的数字是按从小到大的自 然顺序排列的，而其他排列中都有大 的数排在小的数之前. 因此大部分的排列都不是“顺序”， 而是“逆序”.
解
n1 nn 1n2321 n 2
t n 1 n 2 2 1
n n 1 , 2 当 n 4k ,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3时为奇排列.
1212
第一章 行列式
三、小结
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!.
2 排列具有奇偶性.
3 计算排列逆序数常用的方法有2 种.
© §2 2009, Henan Polytechnic University 全排列及其逆序数
1313
第一章 行列式
思考题
分别用两种方法求排列16352487的逆序数.
© §2 2009, Henan Polytechnic University 全排列及其逆序数
1414
第一章 行列式
思考题解答
解 用方法1 1 6 3 5 2 4 8 7
t 0 31 21 01 0 8
用方法2
由前向后求每个数的逆序数.
t 0 0 1 1 3 2 0 1 8.
© §2 2009, Henan Polytechnic University 全排列及其逆序数
4 4
第一章 行列式
© §2 2009, Henan Polytechnic University 全排列及其逆序数
第一章 行列式
例如：对于 3个不同的元素一共有3! =6种不同的排法 123，132，213，231，312，321 在所有6种不同的排法中，只有一种排 法（123）中的数字是按从小到大的自 然顺序排列的，而其他排列中都有大 的数排在小的数之前. 因此大部分的排列都不是“顺序”， 而是“逆序”.
解
n1 nn 1n2321 n 2
t n 1 n 2 2 1
n n 1 , 2 当 n 4k ,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3时为奇排列.
1212
第一章 行列式
三、小结
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!.
2 排列具有奇偶性.
3 计算排列逆序数常用的方法有2 种.
© §2 2009, Henan Polytechnic University 全排列及其逆序数
1313
第一章 行列式
思考题
分别用两种方法求排列16352487的逆序数.
© §2 2009, Henan Polytechnic University 全排列及其逆序数
1414
第一章 行列式
思考题解答
解 用方法1 1 6 3 5 2 4 8 7
t 0 31 21 01 0 8
用方法2
由前向后求每个数的逆序数.
t 0 0 1 1 3 2 0 1 8.
© §2 2009, Henan Polytechnic University 全排列及其逆序数
4 4
第一章 行列式
线性代数1-2全排列及其逆序数1-3n阶行列式的定义1-4对换
所以，a23a31a42a56a14a65 前边应带正号.
(2) a32a43a14a51a66a25 行标排列341562的逆序数为
t1 0 0 2 0 0 4 6 ,
列标排列234165的逆序数为
t2 0 0 0 3 0 1 4 , t1 t2 10 ,
所以，a32a43a14a51a66a25 前边应带正号.
t 0 1 0 3 1 5.
例2 计算下列排列 nn 1n 2L 321
的逆序数，并讨论它的奇偶性.
解
t 1 2 L (n 2) n 1
nn 1
,
2
当 n 4k,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
第一章 行列式
第三节 n 阶行列式的定义
一、概念的引入
定理2 n阶行列式也可定义为
D
1 t a p11a p2 2 a pnn
其中 t 为行标排列 p1 p2 pn 的逆序数.
证明 按行列式定义有
D
1 ta1 p1a2 p2 anpn
记
D1
1 ta p11a p2 2 a pnn
对于 D 中任意一项 1 t a1 p1a2 p2 anpn , 总有且仅有 D1 中的某一项 1 s aq1 a1 q2 2 aqnn ,
三阶行列式
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
说明
（1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．
例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中,
(2) a32a43a14a51a66a25 行标排列341562的逆序数为
t1 0 0 2 0 0 4 6 ,
列标排列234165的逆序数为
t2 0 0 0 3 0 1 4 , t1 t2 10 ,
所以，a32a43a14a51a66a25 前边应带正号.
t 0 1 0 3 1 5.
例2 计算下列排列 nn 1n 2L 321
的逆序数，并讨论它的奇偶性.
解
t 1 2 L (n 2) n 1
nn 1
,
2
当 n 4k,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
第一章 行列式
第三节 n 阶行列式的定义
一、概念的引入
定理2 n阶行列式也可定义为
D
1 t a p11a p2 2 a pnn
其中 t 为行标排列 p1 p2 pn 的逆序数.
证明 按行列式定义有
D
1 ta1 p1a2 p2 anpn
记
D1
1 ta p11a p2 2 a pnn
对于 D 中任意一项 1 t a1 p1a2 p2 anpn , 总有且仅有 D1 中的某一项 1 s aq1 a1 q2 2 aqnn ,
三阶行列式
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
说明
（1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．
例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中,
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1. 定义
定义
对于 n 个不同的元素，规定各元素
之间有一个标准次序（例如 n 个不同的自然数，可 规定由小到大为标准次序）。对于 n 个元素的一个 排列，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时， 就说这个 n 阶排列有 1 个逆序. 一个排列中所有逆 序的总数叫做这个排列的逆序数.
【注】在一个n 阶排列中,任一数对不是构成 逆序就是构成顺序. 如果我们把顺序的个数称为顺 序数, 则一个 n 阶排列的顺序数与逆序数的和为 n(n -1)/2. 逆序数为奇数的排列叫做奇排列,逆序数为偶 数的排列叫做偶排列.
二、全排列
对于 n 个不同的元素，也可以提出类似的问 题： 把 n 个不同的元素排成一列，共有几种不同 的排法？ 为此先给出全排列的定义.
定义
把 n 个不ห้องสมุดไป่ตู้的元素排成一列，叫做这
n 个元素的全排列（也简称排列）.
无重复的排列
n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn 表 示，则 Pn = n!
三、排列的逆序数
2. 逆序数的计算方法 例 求排列32541的逆序数。
有4种方法都能做到不重复不遗漏！
第二节
一、引例
全排列及其逆序数
用1，2，3三个数字可以组成多少个没有重复 引例 用1，2，3三个数字可以组成多少个没 数字的三位数？ 有重复数字的三位数？
解 这个问题相当于说，把三个数字分别放在
在数学中，把考察的对象，例如引例中的数字 百位、十位与个数上，有几种不同的放法？
显然，百位上可以从1，2，3三个数字中任选 1，2，3叫做元素. 上述问题就是：把三个不同的 一个，所以有3种放法； 十位上只能从剩下的两个 元素排成一列，共有几种不同的排法？ 数字中选一个，所以有2种放法；而个位上只能放
定义
对于 n 个不同的元素，规定各元素
之间有一个标准次序（例如 n 个不同的自然数，可 规定由小到大为标准次序）。对于 n 个元素的一个 排列，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时， 就说这个 n 阶排列有 1 个逆序. 一个排列中所有逆 序的总数叫做这个排列的逆序数.
【注】在一个n 阶排列中,任一数对不是构成 逆序就是构成顺序. 如果我们把顺序的个数称为顺 序数, 则一个 n 阶排列的顺序数与逆序数的和为 n(n -1)/2. 逆序数为奇数的排列叫做奇排列,逆序数为偶 数的排列叫做偶排列.
二、全排列
对于 n 个不同的元素，也可以提出类似的问 题： 把 n 个不同的元素排成一列，共有几种不同 的排法？ 为此先给出全排列的定义.
定义
把 n 个不ห้องสมุดไป่ตู้的元素排成一列，叫做这
n 个元素的全排列（也简称排列）.
无重复的排列
n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn 表 示，则 Pn = n!
三、排列的逆序数
2. 逆序数的计算方法 例 求排列32541的逆序数。
有4种方法都能做到不重复不遗漏！
第二节
一、引例
全排列及其逆序数
用1，2，3三个数字可以组成多少个没有重复 引例 用1，2，3三个数字可以组成多少个没 数字的三位数？ 有重复数字的三位数？
解 这个问题相当于说，把三个数字分别放在
在数学中，把考察的对象，例如引例中的数字 百位、十位与个数上，有几种不同的放法？
显然，百位上可以从1，2，3三个数字中任选 1，2，3叫做元素. 上述问题就是：把三个不同的 一个，所以有3种放法； 十位上只能从剩下的两个 元素排成一列，共有几种不同的排法？ 数字中选一个，所以有2种放法；而个位上只能放