1-2 全排列及其逆序数
全排列及其逆序数
全排列及其逆序数
全排列是指对给定的一组不同的元素，按照一定的顺序进行排列，形成所有可能的排列方式。
例如，对于3个元素a、b、c
来说，它们的全排列为6种：abc、acb、bac、bca、cab、cba。
在全排列中，逆序数是指排列中相邻两个元素逆序出现的次数。
例如，对于排列abc，其中包含两个逆序对，即bc和ac。
逆
序数越多，说明排列越混乱或越逆序。
逆序数在数学上有广泛的应用，例如在计算逆序对问题、计算排列的偏序关系等方面都有用到。
在计算逆序数时，常采用归并排序的思想，即将排列拆分成子序列，分别计算子序列的逆序数，再合并子序列的结果。
线性代数ppt课件
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
5
第一章 行列式
我们用符号
aa1211表aa示1222代数和a11a22a12a21
解： 1 3 … （2n-1） 2 4 … 2k… （2n)
D3x24x189x2x212x25x6
即x25x60
x2或x3
值得注意的是：四阶及四阶以上行列式没有像二、三阶 行列式那样的对角线法则
13
第一章 行列式 §1-2 全排列及其逆序数
[引例]用1、2、3三个数字 可以组成多少个没有重复数字的 三位数？
[解依] 次选定百位数、十位数、个位数。 百位数有3种选法 十位数有2种选法 个位数有1种选法 所以可以组成6个没有重复数字的三位数 这6个三位数是 123 132 213 231 312 321
十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。 十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。
3
第一章 行列式
莱布尼茨：历史上少见的通才，被誉为 十七世纪的亚里士多德。在数学上，他 和牛顿先后独立发明了微积分。在哲学 上，莱布尼茨的“乐观主义”最为著名 。 他对物理学的发展也做出了重大贡献 。
并称它为三阶行列式。
10
第一章 行列式
2、行列式中的相关术语
行列式的元素、行、列、主对角线、副对角线 3、三阶行列式的计算 （对角线法则或沙路法则 ）
§1-2 全排列及其逆序数
1,2,3 ；1,3,2 ； 2,1,3 ； 2,3,1 ；3,1,2 ； 3,2,1
（2）逆序：在一个排列里，如果某一个较大的数排在某一 个 较小的数前面，则称这两个数码构成一个逆序； 例3 ：5 阶排列 4,3,5,2,1 中 4,3 、4,2 、4,1 及 3,2 、 3,1
5,2 、5,1 、2,1 等均构成反序，且共8 个反序；
（3）逆序数：在一个排列 i1 , i2 , , in 里，出现的逆序 总个数称为这个排列的逆序数；并记作 i1 , i2 , , in 例4 ：例 3 中 5 阶排列 4,3,5,2,1 中，逆序数为 8 即： 4,3,5,2,1 8
逆序数的计算：在一个排列 i1 , i2 , , in 里，先看有多少
特别，称 1,2, , n 为这
例1 ：1,2,3,4,5 ； 5,4,3,2,1 ； 3,2,1,5,4 ； 3,4,5,1,2 等等，均为 1,2,3,4,5 这5 个数码的不同排列； 结论： n 个数码 1,2, , n 的所有排列共 n! 个。
例2： 3个数码的不同排列共 3! 6 个，分别为
4,7,5,1,3,6,2 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
3 5 3 0 11 0 13
（4）奇偶排列：若 i1 , i2 , , in 是奇数，则称 排列 i1 , i2 , , in 为奇排列； 排列 i1 , i2 , , in 为偶排列； 例6： 3 阶排列中 若 i1 , i2 , , in 是偶数，则称
个数排在 1 的前面，设有 m1 个，即有 m1 个数与1 构成反序； 将 1 划去；再看有多少个数排在 2 的前面，设有 m2 个，将 2 划去；‥ ‥ ‥ ，如此下去，设有 mn1 个数排在 n 1 的 前面，将 n 1 划去，最后只剩下数 n ，即 mn 0 则 i1 , i2 , , in m1 m2 mn1 mn 例5 ：7 阶排列 4,7,5,1,3,6,2 中，
线性代数1-2全排列及其逆序数1-3n阶行列式的定义1-4对换
例3 用行列式的定义计算
0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 Dn n1 0 0 0 0 0 0 0 0 n
解 Dn 1 t a1,n1a2,n2 an1,1ann
1t 1 2 n 1 n 1t n!, tn 1n 2 21n
01 2L n 3 n 2 0
1234
例3 计算
0 D
4
2
1
0056
0008
解
1234Βιβλιοθήκη 0421D 00
5
6 a11a22a a 33 44 1 4 5 8 160.
0008
同理可得下三角行列式
a11
0 0 0
a21 a22 0 0
an1
an2
an3 ann
a11a22 ann .
例4 证明对角行列式
1 2
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性 . 再证一般对换的情形 .
设排列为 a1 alab1 bmbc1 cn , 现来对换 a 与b.
a1 al a b1 bm b c1 cn
m 次相邻对换 a1 al ab b1 bmc1 cn
m 1 次相邻对换 a1 al b b1 bm a c1 cn
t 0 1 0 3 1 5.
例2 计算下列排列 nn 1n 2L 321
的逆序数，并讨论它的奇偶性.
解
t 1 2 L (n 2) n 1
nn 1
,
2
当 n 4k,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
第一章 行列式
第三节 n 阶行列式的定义
一、概念的引入
1
a a t p1q1 p2q2
a pnqn
1-2排列及其逆序数
p1 p2 p3.......... pn , p N , i 1, 2, , n . 定义⒈⒉ 若在排列 p1 p2 ...... pn 中,某两数不是自然顺序
（４）标准排列是偶排列。
定义⒈⒋ 例： 定理⒈⒈
对换：将排列中某两数位置对调，其余数不动。
6372451 对 换 一 次 1372456 偶排列 奇排列
排列经一次对换，奇偶性改变。
推论 （１）：奇（偶）排列调为奇（偶）排列， 须作偶数次对换，奇偶性相同。 （２）：奇（偶）排列调为偶（奇）排列， 须作奇数次对换，奇偶性不同。 （３）：奇（偶）排列调为标准排列， 须作奇（偶）数次对换，标准排列是偶排列。
例1.2，求排列数的逆序数
(1)６３７２４５１ (2)１３７２４５６
(3) 1 2 3 …(n-1)n(2n)(2n-1)…(n+1) 解：(1) 排列 p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 6 3 7 2 4 5 1 τi 0 1 0 3 2 2 6
(6372451) i 14
i
排列的一般记法：
(即前数>后数),则称这两数构成一个逆序。 排列 p1 p2 ..... pn 的逆序总数称为逆序数。 记作：
( p1 p2 p3..... pn)
记 逆序数求法：
i 是pi 前比pi 大的数的个数，则 ( p1 p2 ... pn ) 2 3 ... n (1 0)
1 i 0 0 1 2 (n 1) (n 1)n 2 i 1
第二节 全排列及其逆序数
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个 元素的全排列（或排列）.
n 个不同的元素的所有排列的种数，通常
用 Pn表示. 由引例 P3 3 2 1 6. 同理
Pn n ( n 1) ( n 2) 3 2 1 n!.
0 0 1
3 2 5 1 4
1
∴ 逆序 t =3+1+0+1+0=5.
逆序数为3
排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列.
例如
排列32514 的逆序数为5，所以它是奇排列. 排列12345 的逆序数为0，所以它是偶排列．
例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.
第二节 全排列及其逆序数
一、概念的引入
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？ 解:
百位 十位
1
2
3 3
3种放法
2种放法
1
1 2
2
1 3
种放法.
个位
1 2 3
1种放法
共有 3 2 1 6
这六个不同的三位数是：123，132，213，231，312，321.
二、全排列及其逆序数
排列的逆序数
我们规定各元素之间有一个标准次序，n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序. 定义 在一个排列 i1i2 is it in 中，若数
is it（即排在前面的数大于后面的数），则称这
两个数组成一个逆序； 一个排列中所有逆序的总 数称为此排列的逆序数，常记作 t i1i2 is it in .
1-2全排列及逆序数
（这里暂时Байду номын сангаас把元素想象成是写有编号的小球）
3个不同的元素一共有3! = 6种不同的排法
123，132，213，231，312，321
所有6种不同的排法中，只有一种排法 （123）中的数字是按从小到大的自然 顺序排列的，而其他排列中都有大的 数排在小的数之前. 因此大部分的排列都不是“顺序”， 而是乱序的，或者说其中有“逆序”.
练习1：求排列 453162 的逆序数. （奇排列）
解： （t 453162） 0+2+3+0+4 9
练习2： 求排列 463152 的逆序数. （偶排列）
t（463152） 0+0+2+3+1+4 10
猜想：对换一次改变排列的奇偶性？书P5
二、对换的定义
定义
在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素 不动，这种作出新排列的手续叫做对换．
将相邻两个元素对换，叫做相邻对换．
例如
a1 al a b b1 bm a1 al b a b1 bm
a1 al a b1 bmb c1 cn a1 al b b1 bma c1 cn
三、对换与排列奇偶性的关系
定理1 对换改变排列的奇偶性.
证明 先考虑相邻对换的情形．
t ta1
tal ta tb tb1
§2 全排列和对换
为了研究 n 阶行列式的定义，我们首 先来学习全排列和逆序数的概念
一、排列及其逆序数
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的
排法？
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素 的全排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn 表示.
全排列及其逆序数解读
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列（简称排列）。
n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn表 示。
例如, 引例的结果是 P3=3×2×1=6。
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计算 Pn 的公式：
首先从 n 个元素中任取一个放在第一个位置上， 有 n 种取法；
又从剩下的 n－1 个元素中任取一个放在第二 个位置上，有 n－1 种取法；
§2 全排列及其逆序数
★全排列的概念 ★逆序的概念 ★计算排列逆序数的方法
由于对角线法则只适用于二、三
阶行列式，为研究四阶及更高阶的行
列式，必须用到逆序数的概念。本节
主要介绍全排列的概念以、3三个数字，可以组成多少个没有重 复数字的三位数？ 解 总共有3×2×1= 6种放法。
这6个不同的三位数是： 123， 132， 213， 231， 312， 321。
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全排列的概念
在数学中，把考察的对象叫做元素。 于是引例可抽象成：把 3 个不同的元素排成一列， 共有几种不同的排法？ 一般地，我们可以讨论“把 n 个元素排成一列，共 有几种不同的排法”的问题。
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排列分类
奇排列：逆序数为奇数的排列 偶排列：逆序数为偶数的排列
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计算排列的逆序数的方法
不妨设 n 个元素为 1 至 n 这 n 个自然数，并
规定由小到大为标准次序。
设
p1 p2 pn
为这 n 个自然数的一个排列。
方法一 在排列 p1 p2 pn 中，直接找出次序颠 倒了的元素对的个数，这也就是该排列的逆序数。
t 0 0 0 0 0 0 2 4 6 8 20
线性代数-全排列及其逆序数
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？
解
123
百位 1 十位 1 2 个位 1 2 3
2
3
3种放法
13
2种放法 1种放法
共有 3 2 1 6 种放法.
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的 排法？
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素 的全排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn 表示.
t(32514) 0 1 0 3 1 5
练习： 求排列 453162 的逆序数.
解： t 9
并规定由小到大为标准次序.
先看有多少个比 p1 大的数排在 p1 前面，记为 t1 ； 再看有多少个比 p2大的数排在 p2前面，记为 t2 ;
……
最后看有多少个比 pn大的数排在 pn前面，记为 tn;
则此排列的逆序数为 t t1 t2 tn
例1： 解：
求排列 32514 的逆序数.
对于n 个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序. n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序.
定义 当某两个元素的先后次序与标准次序不同时， 就称这两个元素组成一个逆序.
例如 在排列32514中， 逆序
32514 逆序 逆序 思考题：还能找到其它逆序吗？ 答：2和1，3和1也构成逆序.
定义 排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.
显然 Pn n (n 1) (n 2) 3 2 1 n!
即n 个不同的元素一共有n! 种不同的排法.
Hale Waihona Puke 3个不同的元素一共有3! =6种不同的排法
123，132，213，231，312，321
【VIP专享】1-2全排列及其逆序数
一、概念的引入
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？
二、全排列及其逆序数
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有几种不 同的排法？
定义 把 n个不同的元素排成一列，叫做这 n 个
元素的全排列（或排列）.
n 个不同的元素的所有排列的种数，通常
用 Pn表示. 由引例 P3 3 2 1 6. 同理 Pn n (n 1) (n 2) 3 2 1 n!.
排列的奇偶性
逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列.
例2 计算下列排列的逆序数.
1 217986354
解
217986354
0 10 0 1 3 4 4 5
t 5 4 4310010
18
此排列为偶排列.
2 nn 1 2
t n 1 n 2 2 1 nn 1,
2
排列的逆序数
我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序.
定义 在一个排列 i1i2 it is in 中，若数
it is 则称这两个数组成一个逆序.
例如 排列32514 中， 逆序
32514
逆序 逆序
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数.
例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中,
32514 01 031
于是排列32514的逆序数为
t 0 1 0 3 1 5.
计算排列逆序数的方法
分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数.
计算机网络实验基础知识1-2 全排列及其逆序数
于是排列32514的逆序数为 t 0 1 0 3 1 5.
例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇 偶性.
1 7986354
解
217986354
0 10 0 1 3 4 4 5
t 5 4 4310010
18
此排列为偶排列.
i1 前面比i1 大的数码个数； i1 i 2 i n
向前看大 向后看小
③ i1 后面比i1 小的数码个数 i2 后面比i2 小的数码个数
in 后面比in 小的数码个数； i1 i 2 in
向后看小 向前看大
例1 求排列32514的逆序数.
解 在排列32514中, 3排在首位,逆序数为0; 2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1; 5的前面没有比5大的数,其逆序数为0; 1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;
分别用两种方法求排列16352487的逆序数.
思考题解答
解 用方法1 1 63 5 2 4 8 7 t 03121010 8
用方法2 由前向后求每个数的逆序数. t 0 0 1 1 3 2 0 1 8.
2 nn 1n 2321
解 n1
nn1n 2321 n 2
t n 1 n 2 2 1 nn 1,
2 当 n 4k ,4k 1时为偶排列；
从后面向前看大
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
3 2k 12k 122k 232k 3k 1k
从前面向前看大
解
2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3k 1 k
01 1 2 2
k
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
21 k 1k 1 k k 2,
线性代数1-2全排列及其逆序数1-3n阶行列式的定义1-4对换
（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同 列的三个元素的下标排列．
例如 a a a 13 21 32 列标排列的逆序数为
t312 1 1 2, 偶排列 正号
a a a 11 23 32
列标排列的逆序数为
t132 1 0 1, 奇排列 负号,
a11 a12 a13
a21 a22 a23 (1)t a1 p1a2 p2 a3 p3 .
2、 n 阶行列式是 n! 项的代数和;
3、n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同 列 n个元素的乘积;
4、 一阶行列式 a a不要与绝对值记号混淆;
5、 a a 1 p1 2 p2 anpn 的符号为 1t .
例1 计算对角行列式
0001 0020 0300 4000
分析 展开式中项的一般形式是 a a a a 1 p1 2 p2 3 p3 4 p4
的逆序数决定.
6. 一个排列中的任意两个元素对换，排列改 变奇偶性．
7. 行列式的三种表示方法
D
1 a a L a t( p1p2L pn )
1 p1 2 p2
npn
D
1 a a L a t( p1p2L pn )
p11 p2 2
pnn
D 1 a a L a t( p1p2L pn )t(q1q2L qn )
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性 . 再证一般对换的情形 .
设排列为 a1 alab1 bmbc1 cn , 现来对换 a 与b.
a1 al a b1 bm b c1 cn
m 次相邻对换 a1 al ab b1 bmc1 cn
m 1 次相邻对换 a1 al b b1 bm a c1 cn
分析 展开式中项的一般形式是 a1 p1a2 p2 anpn . pn n, pn1 n 1, pn3 n 3, p2 2, p1 1, 所以不为零的项只有 a11a22 ann .
逆序数和约瑟夫
§ 2 全排列及其逆序数一、全排列个不同元素排成一列。
可将个不同元素按1~ 进行编号，则个不同元素的全排列可看成这个自然数的全排列。
个不同元素的全排列共有种。
逆序的定义：取一个排列为标准排列，其它排列中某两个元素的次序与标准排列中这两个元素的次序相反时，则称这两个元素构成一个逆序。
通常取从小到大的排列为标准排列，即 1~ 的全排列中取123 为标准排列。
二、逆序及逆序数逆序数的定义：一个排列的逆序数的总数称为逆序数。
逆序数为偶数称为偶排列，逆序数为奇数称为奇排列，标准排列规定为偶排列。
逆序数的计算：设为的一个全排列，则其逆序数为其中为排在前，且比大的数的个数。
例：求的逆序数。
解：，逆序数算法在网上看了很多用mergesort求逆序数的代码，发觉很多都不太对，主要是在merge时求本次merge是前后两部分的逆序数过程，其实merge时由于前后两部分都是已经排好序的，假设merge的两个数组分别为a[n1],b[n2],合并时的逆序数就应该=b中所有小于a[1]的个数，小于a[2]的个数，小于a[3]的个数...小于a[n1]的个数之和=a中所有大于b[1]的个数，大于b[2]的个数，大于b[3]的个数...大于b[n2-1]的个数之和。
因此对于此次合并逆序数的个数有两种计算方法，一是以a中元素作为判断来计算，一是以b中元素作为判断来计算。
以a中元素作为为例：计算过程为，每当把a中某一个元素a[i]插入合并后的数组中时，计算b中已经插入合并后的数组中的元素个数ki，把这些所有的ki加起来即为本次合并的逆序数，具体的代码如下其中的iversion为逆序数。
int inversion=0;void merge(int* a,int p,int q,int r){int n1=r-p+1;int n2=q-r;int i,j,k;k=0;int *tmp=new int[n1+n2];for(i=p,j=r+1;i<=r&&j<=q;){if(a[i]<=a[j]){tmp[k]=a[i];inversion+=j-r;i++;k++;}else{tmp[k]=a[j];j++;k++;}}while(i<=r){tmp[k++]=a[i++];inversion+=q-r;}while(j<=q){tmp[k++]=a[j++];}for(i=p;i<=q;i++)a[i]=tmp[i-p];delete [] tmp;}如果所有人是线性排列,那我们的工作就是类似冒泡程序做的工作,,1,2,3,4,5变为5,4,3,2,1 ,耗时n(n-1)/2但是出现了环,也就是说1,2,3,4,5变为3,2,1,5,4也可满足条件我们可以把这个环等分成两个部分,每个部分看成是线性的,再把它们花的时间加起来. 当n是偶数时, 每份人数n/2 ,即(n/2-1)*(n/2)*2当n是偶数时,两份的人数分别是n/2和n-n/2,即(n/2-1)*(n/2)+ ((n-n/2)-1)*(n-n/2)/2*/int main(){int t,n,i,r,s;cin>>t;while(t--){cin>>n;if(n%2==0){r=n/2;s=(n/2-1)*(n/2);}else{r=n/2;n=n-r;s=(r-1)*r/2+(n-1)*n/2;}cout<<s<<endl;}return 0;}若是线形无环，将1-n变为n-1，求逆序数n*(n-1)/2即可(线性代数)但本题由于是环，则在1-n中取一k，将1-n 变为形如k-1，n-(k+1)也可满足条件，比如1,2,3,4,5变为3,2,1,5,4也可满足条件。
工程数学 1-2 n阶行列式的定义
a11a23a32
a11 a12 a13
列标排列的逆序数为
t (132) = 1 + 0 = 1,
∴ a21 a22 a31 a32
a23 = ∑ ( −1)t a1 p1 a2 p2 a3 p3 . a33
定义
由 n 个数组成的 n 阶行列式等于所有 取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 的代数和 ( −1)t a1 p1 a 2 p2 L a npn . ∑ a11 记作 D= a 21 M a n1 a12 a 22 M L a1 n L a2 n M
逆序数为0),因此 变化次数, 而标准排列是偶排列(逆序数为 变化次数 而标准排列是偶排列 逆序数为 因此 知推论成立. 知推论成立.
三、n阶行列式的定义 阶行列式的定义
三阶行列式
a11 D = a 21 a 31
说明
a12 a 22 a 32
a13 a 23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a 33 − a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33
排列32514 中， 例如 排列 逆序 3 2 5 1 4 逆序 逆序
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数. 逆序数 排列32514 中， 例如 排列
0
0
1
3 2 5 1 4
1 逆序数为3 逆序数为
故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5. 故此排列的逆序数为
排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列 奇排列; 逆序数为奇数的排列称为奇排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 偶排列
a11 ∴
§2 全排列及其逆序数
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第一章 行列式
例如：对于 3个不同的元素一共有3! =6种不同的排法 123，132，213，231，312，321 在所有6种不同的排法中，只有一种排 法（123）中的数字是按从小到大的自 然顺序排列的，而其他排列中都有大 的数排在小的数之前. 因此大部分的排列都不是“顺序”， 而是“逆序”.
解
n1 nn 1n2321 n 2
t n 1 n 2 2 1
n n 1 , 2 当 n 4k ,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3时为奇排列.
1212
第一章 行列式
三、小结
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!.
2 排列具有奇偶性.
3 计算排列逆序数常用的方法有2 种.
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1313
第一章 行列式
思考题
分别用两种方法求排列16352487的逆序数.
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1414
第一章 行列式
思考题解答
解 用方法1 1 6 3 5 2 4 8 7
t 0 31 21 01 0 8
用方法2
由前向后求每个数的逆序数.
t 0 0 1 1 3 2 0 1 8.
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4 4
第一章 行列式
1_2排列、逆序与对换
1.2.1 排列与逆序定义1.2.1由自然数1，2，······，n 组成的一个有序数组称为一个n 元排列.例如：1，2，3，4，55，1，2，3，45，3，2，1，4都是数1，2，3，4，5的一个排列.问题：n 个数的不同排列有个.n !标准排列(自然排列).按数的大小次序，由小到大的排列称为定义n 阶排列1234…n 称为n 阶自然序排列.计算排列的逆序数的方法：分别计算出排在1,2,…,n-1,n前面比它大的数码之和即分别算出1,2,…,n-1,n这n个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数例1 求排列32514的逆序数.解在排列32514中,3排在首位,逆序数为0;2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;3 2 5 1 401031于是排列32514的逆序数为(32514)01031τ=++++.5=5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;例2 计算下列排列的逆序数()2179863541解453689712544310010(217986354)τ=18=54+0100134+++++++()()()212321n n n−−L 解()()(12321)n n n τ−−L ()()12321n n n−−L 0=000000考虑，在1，2，3 的全排列中有个偶排列：有个奇排列：123，231，312 132，213，32133一般说来，在n个数码的全排列中，奇偶排列各占一半.定义1.2.4把一个排列中的任意两个数交换位置，而其余数码不动，叫做对该排列作一次对换，简称对换.将相邻的两个数对换，称为相邻对换.ml b b a a L L 11例如b a ml b b a a a L L 11a b nm l c c b b a a L L L 111n m l c c a b b b a a L L L 111b a a 2.对换定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．证明设排列为m l b b ab a a L L 11对换与a bml b b ba a a L L 11除外，其它元素的逆序数不改变.b ,a ba a b 的逆序数不变;经对换后的逆序数增加1 ,当时，b a <当时，b a >经对换后的逆序数不变，的逆序数减少1.a b 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为nm l c bc b ab a a L L L 111现来对换与a .b 次相邻对换m nm l c c b b ab a a L L L 111次相邻对换1+m n m l c c a b b b a a L L L 111,111n m l c bc b ab a a L L L ∴次相邻对换12+m ,111nm l c ac b bb a a L L L 所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.nm l c c b b b a a a L L L 111ab2!n q p ==定理任意一个n 阶排列都可以经过一系列对换变成自然序排列，并且所作对换的次数与该排列有相同的奇偶性.证明用数学归纳证明当n=1时，结论显然成立.假设结论对n-1阶排列成立,现证对n 阶排列也成立..,,,21阶排列是任一设n j j j n L ,n j n =若.1,,,121阶排列个是一则−−n j j j n L 由假设知，121,,,−n j j j L 可经过一系列对换变成自然序排列，从而nn j j j j ,,,,121−L 可经过一系列对换变成自然序排列.),,,n n j n n j 则先作对换（若≠n n n n j j j j j j j j ′′′′−−,,,,,,,,121121L L 变成使这就归结为上面的情形，结论成立.所以任意一个n 阶排列都可以经过一系列对换变成自然序排列.由于自然序排列是偶排列，由定理1可知，对换一个改变排列奇偶性，所以将一奇排列变成自然序排列推论需要作奇数次对换，而将一偶排列变成自然序排列则需要作偶数次对换,证毕.任意两个n 阶排列都可以经过一系列对换互变，而且若这两个排列的奇偶性相同，则所作的则所作的对换次数是奇数.对换次数是偶数；若这两个排列的奇偶性相反，小结1.排列,逆序数，奇排列,偶排列,对换的定义.2.一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．思考题证明在全部阶排列中,奇偶排列各占一半. n ()2≥n 思考题解答证设在全部阶排列中有个奇排列, 个偶排列,现来证.n s t t s =将个奇排列的前两个数对换,则这个奇排列全变成偶排列,并且它们彼此不同,所以s s .t s ≤若将个偶排列的前两个数对换,则这个偶排列全变成奇排列,并且它们彼此不同,于是有t t .s t ≤故必有.t s =作业：P251（1）（5）2（1）（2）3（2）4（1）56 （1）（3）。
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左
3 2 32 8/2=4 4 1 31 21 41 因此，计算排列的逆序数时，对每个元素只需考虑它 与左边(或右边)的元素所构成的逆序.
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右 32 31 21 41
排列的逆序数
对于排列中的一个元素，左边比它大的数的个数， 叫做该元素的逆序数 . 排列的逆序数 = 排列中各个元素的逆序数之和. 定义 4 排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 说明 一个排列不是奇排列就是偶排列.
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作业
计算以下排列的逆序数，并判断奇偶性
①1 3 4 2 6 5 ;
②2 4 … (2n) (2n-1) (2n-3) … 1
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思考题
分别用两种方法求排列 163பைடு நூலகம்2487 的逆序数.
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思考题解答
方法 1 求出每个元素的逆序数, 并相加
t 0 011 3 2 01 8
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例 1 求排列 32514 的逆序数，并说明它的奇偶性.
分析 3： 排在首位, 逆序数为 0; 2： 前面比 2 大的数只有一个 3, 故逆序数为 1; 5： 前面没有比 5 大的数, 其逆序数为 0; 1： 前面比 1 大的数有 3 个, 故逆序数为 3; 4： 前面比 4 大的数有 1 个, 故逆序数为 1. 解 3 2 5 1 4
解
n 1 (1) nn 1n 2 3 2 1 n2 nn 1 t n 1 n 2 2 1 0 2 当 n 4k , 4k 1 (kN) 时，为偶排列, 当 n 4k 2, 4k 3 (kN) 时，为奇排列.
定义 3 一个排列中所有逆序的总数，称为此排列的 逆序数. 说明 标准排列中没有逆序，其逆序数等于 0.
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在一个排列(a1a2 ai a j an )中，若 ai 与右边的 a j 构成逆序，则 a j 与其左边的 ai 也构成逆序. 【讨论】四元排列 3241 的逆序数 元素 逆序
0 1 0 3 1 (元素的逆序数) 于是排列 32514 的逆序数为 t 0 1 0 3 1 5.
此排列为奇排列.
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例 2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性 .
(1) nn 1n 22 1
( 2) 2k 12k 122k 232k 3k 1k
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㈡ 全排列的逆序数
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对 n 个不同元素，规定各元素间有一个标准次序. 对 n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序. 定义 2 在由自然数构成的排列(a1a2 ai a j an )中, 若数 ai a j , 则称这两个数组成一个逆序.
逆序 例如， 3 2 5 1 4 逆序 逆序
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0
1
2
3
k 1
(2)
2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3 k 1 k
1 2
3
k
t (1 2 k ) (0 1 2 k 1)
k k 1 k k 1 2 2
方法 2 求出每个元素右边比它小的数的个数，并相 加 t 0 41 2 0 01 0 8
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k2
当 k 为偶数时，排列为偶排列， 当 k 为奇数时，排列为奇排列.
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小结 思考题 作业
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小结
1. n 个不同的元素构成 n 元排列，排列种数为 n! . 2. 概念：逆序、元素的逆序数，排列的逆序数. 3. 排列具有奇偶性. 4. 如何计算排列的逆序数(两种方法). (方法1)计算出每个元素的逆序数，然后求和. (方法2)求出每个元素右边比它小的数的个数，然 后求和.
第一章 行列式
第二节 全排列及其逆序数
㈠ 全排列 ㈡ 全排列的逆序数 小结 思考题 作业
㈠ 全排列
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定义 1 n 个不同的元素排成的一列，称为 n 个元素 的全排列(简称 n 元排列). 例如，32514 是一个五元排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn 表示. Pn n ( n 1) 3 2 1 n!