全排列与逆序数

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行列式2

此排列当 n=4k, 4k+1 时为偶排列; 当 n=4k+2, 4k+3 时为奇排列. (3) (2k)1(2k–1)2(2k–2)3(2k–3) · (k–1)(k +1)k. · · · · 解: (2k) 1 (2k–1) 2 (2k–2) 3 (2k–3) · (k–1) (k+1) k (k–1) (k–1) k 3 0 1 1 2 2 3 于是排列(2k)1(2k–1)2(2k–2) · (k–1)(k +1)k的逆序数为: · · t = 0+1+1+2+2+ · +(k–1)+(k–1)+k · · k k 1 2 k k2. 2 此排列当 k 为偶数时为偶排列, 当 k为奇数时为奇排列.
例2: 计算下列排列的逆序数, 并讨论其奇偶性. (1) 217986354. 解: 2 1 7 9 8 6 3 5 4 0 1 001 34 4 5 于是排列217986354的逆序数为: t = 0+1+0+0+1+3+4+4+5 = 18. 此排列为偶排列. (2) n(n–1)(n–2) · 21 · · · · 解: n (n–1) (n–2) · 2 1 2 (n–2) (n–1) 0 1 于是排列n(n–1)(n–2) · 21的逆序数为: · · nn 1 , t = 0+1+2+ · +(n–2)+(n–1) · · 2
方法2: 依次计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数并求和, 即算出排列中每个元素的逆序数, 则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数. 例1: 求排列32514的逆序数.

1-2线性代数

n( n 1 ) , = 2 时为偶排列；当 n = 4k ,4k + 1 时为偶排列；
t = ( n 1) + ( n 2 ) + L + 2 + 1
时为奇排列. 当 n = 4k + 2,4k + 3 时为奇排列
(4) (2k )1(2k 1)2(2k 2)3(2k 3)L (k + 1)k
于是排列32514的逆序数为 t = 0 + 1 + 0 + 3 + 1 = 5. 的逆序数为于是排列
计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性. 例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性
(1)
4132
(2) 3712456
（2））
解（1）4 1 3 2 ）
3 7 1 2 4 5 6
0 0 2 2 1 1 1
第二节全排列及其逆序数
一、排列
定义由自然数 2, , n 组成的不重复的每一由自然数1, 种有确定次序的排列, 称为一个n 种有确定次序的排列称为一个阶排列 (简称排列简称排列). 简称排列都是4 例如 1234 和4312都是阶排列都是阶排列, 24315是一个阶排列是一个5 阶排列. 是一个
t = 0 +0 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1
0 1 1 2
t = 0+1+1+ 2 = 4
此排列为偶排列此排列为偶排列. 偶排列
=7
此排列为奇排列此排列为奇排列. 奇排列
(3)
解
n(n 1)(n 2 )L 321
n 6444 74444 4 1 8 n(n 1)2 2 )L 321 1 4(n443 44 4 (n 2)

1-2全排列及其逆序数

0 1

1

2

2

0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
2 当 k 为偶数时，排列为偶排列，

k

21 k 1k 1
2 k k ,
当 k 为奇数时，排列为奇排列.
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结 n ( n 1) ( n 2) 3 2 1 n!.
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排列的逆序数我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.
定义在一个排列 i1 i 2 i t i s i n 中，若数 i t i s 则称这两个数组成一个逆序. 例如排列32514 中，逆序 3 2 5 1 4
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!. 2 排列具有奇偶性.
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思考题
求排列16352487的逆序数. 解 1 6 3 5 2 4 8 7
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0 0 1 1 3 2 0 1 8.
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LOGO 2012年秋
计算排列逆序数的方法
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分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.
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例1
解
求排列32514的逆序数.
在排列32514中,
LOGO

001全排列逆序数

思考题
分别用两种方法求排列16352487的逆序数的逆序数. 分别用两种方法求排列的逆序数
思考题解答
解用方法1 用方法1 1 6 3 5 2 4 8 7
t = 0+ 3+1+ 2+1+ 0+1+ 0= 8
用方法2 用方法2 由前向后求每个数的逆序数. 由前向后求每个数的逆序数
t = 0 + 0 + 1 + 1 + 3 + 2 + 0 + 1 = 8.
t = 0 + 1 + 0 + 3 + 1 = 5.
计算下列排列的逆序数，例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性. 偶性
(1) 217986354
解
2 1 7 9 8 6 3 5 4
0 10 0 1 3 4 4 5
t = 5 + 4 + 4+ 3+1+ 0+ 0+1+ 0
= 18
此排列为偶排列此排列为偶排列. 偶排列
一、概念的引入
引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没三个数字，、、三个数字有重复数字的三位数？有重复数字的三位数？解
百位十位个位
1 1 1 2 1 2 3
2 2 1 3
3 3
3种放法种放法 2种放法种放法 1种放法种放法
共有 3 × 2 × 1 = 6
种放法. 种放法
3排在首位逆序数为排在首位,逆序数为排在首位逆序数为0; 2的前面比大的数只有一个故逆序数为的前面比2大的数只有一个故逆序数为1; 的前面比大的数只有一个3,故逆序数为

行列式概念

行列式是线性代数中的重要概念，它是以可排列的逆序奇偶性为基础，由行列地位相同的不重复行列元素乘积项的代数和构成。为了深入理解行列式，需要掌握全排列和逆序数的概念。全排列是从n个元素中取出n个元素进行不重复有逆序之和，根据逆序数的奇偶性，可以将排列分为奇排列和偶排列。求逆序数的基本方法是通过逐一考察每个元素前面的逆序元素个数，并求和得到。此外，对换是排列中的一种重要操作，它可以改变排列的奇偶性。这些概念和性质对于后续学习行列式的计算和应用具有重要意义。

线性代数1-2全排列及其逆序数1-3n阶行列式的定义1-4对换

例3 用行列式的定义计算
0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 Dn n1 0 0 0 0 0 0 0 0 n
解 Dn 1 t a1,n1a2,n2 an1,1ann
1t 1 2 n 1 n 1t n!, tn 1n 2 21n
01 2L n 3 n 2 0
1234
例3 计算
0 D
4
2
1
0056
0008
解
1234Βιβλιοθήκη 0421D 00
5
6 a11a22a a 33 44 1 4 5 8 160.
0008
同理可得下三角行列式
a11
0 0 0
a21 a22 0 0
an1
an2
an3 ann
a11a22 ann .
例4 证明对角行列式
1 2
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性 . 再证一般对换的情形 .
设排列为 a1 alab1 bmbc1 cn , 现来对换 a 与b.
a1 al a b1 bm b c1 cn
m 次相邻对换 a1 al ab b1 bmc1 cn
m 1 次相邻对换 a1 al b b1 bm a c1 cn
t 0 1 0 3 1 5.
例2 计算下列排列 nn 1n 2L 321
的逆序数，并讨论它的奇偶性.
解
t 1 2 L (n 2) n 1
nn 1
,
2
当 n 4k,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
第一章行列式
第三节 n 阶行列式的定义
一、概念的引入
1
a a t p1q1 p2q2
a pnqn

1n阶行列式

0+1+0+2+4=7
故排列42531的逆序个数为7，即τ(42531)=7，
因而是奇排列.
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(2) 同理可得：
τ[135…(2n-1)246…(2n)]=0+(n-1)+(n-2)+…+2+1=
n(n 1) 2
所给排列当n=4k或4k+1时为偶排列，当n=4k+2或4k+3
时为奇排列.
把行列式
§3 行列式的性质
的行换成同序数的列,
称为行列式D的转置行列式。
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性质1 行列式与它的转置行列式相等。
证：记
即bij＝aji
(i，j＝1，2，…，n)
按行列式定义
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性质2 互换行列式的两行（列），行列式反号。证
交换第p、q两列，得行列式
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同理可证
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代数余子式的重要性质（行列式按行（列）展开公式）:
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例计算n阶行列式解法一
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例计算n阶行列式
解法二(递推法) 由行列式Dn可知
将Dn按第1列展开
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这个式子对任何n(n2) 都成立,故有
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例利用递推公式法计算解：按第一行展开
Dn＝
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例证明
上面的行列式中，未写出的元素都是0。证: 因为行列式的值为
而排列j1j2…jn只能是n(n－1)…21的排列，故逆序数

同济版线性代数课件--§2 全排列及其逆序数

三、排列的逆序数
我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序. 1. 定义在一个排列 p 1 p 2 p t p s p t p s , 则称这两个数组成一个逆序.
p n 中,
若数
(即：大的数在小的数左边，则这两数构成一个逆序）例如排列32514 中，逆序 3 2 5 1 4
t N(p514 的逆序数.
例2
计算下列排列的逆序数，并讨论它们的
奇偶性.
1 2
217986354 n n 1 n 2 321
逆序
逆序
2. 定义一个排列中所有逆序的总数称为此排
列的逆序数. 例如排列 32514 中，
3. 排列的奇偶性
逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列.
4.计算排列逆序数的方法
设排列为 p 1 p 2 则其逆序数为例1
pn , ti 为 pi
构成的逆序数
t1 t 2 t n 1
P3 3 2 1 6 .
P n n ( n 1 ) ( n 2 ) 3 2 1 n !.
1. 由1,2,…,n-1,n（n个数）组成的一个全排列称为一个n级排列。如：12345，54321，43512均为5级排列 2. 123…(n-1)n(具有自然顺序的排列为)标准排列。
§2 全排列及其逆序数
一、概念的引入
二、全排列
三、排列逆序数四、小结
一、概念的引入
引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
共有 3 2 1 6
种放法.
二、全排列
问题

线性代数第一章行列式第二节全排列及其逆序数

1，2显，然3叫，做百元位素上.可上以述从问1，题2就，是3三：个把数三字个中不任同选的
元一素个排，所成一以有列，3种共放有法几；种十不位同上的只排能法从？剩下的两个数字中选一个，所以有2种放法；而个位上只能放最后剩下的一个数字，所以只有1种放法. 因此，
二、全排列
对于 n 个不同的元素，也可以提出类似的问题：把 n 个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？为此先给出全排列的定义.
定义把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列（也简称排列）.
n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn 表
示. 由引例用1的，结2，果3可三知个P数3 =字3可·以2 ·组1 成= 6多. 少个没
有重复数字的三位数？
解这个问题相当于说，把三个数字分别放在
为了得出计算 Pn 的公式，可以仿照引例用1，2
进行讨论：
有重复数字的三位
从 n 个元素中任取一个放在第一个位解置上这位与个数
从剩下的 n – 1 个元素中任取一个放在显第然二，百位上
个位置上，有 n – 1 种取法；
一个，所以有3种放
这样继续下去，直到最后只剩下数一字个中元选素一放个，所
在第 n 个位置上，只有 1 种取法. 于最是后剩下的一个数
2. 计算方法
下面来讨论计算排列的逆序数的方法. 不失一般性，不妨设 n 个元素为 1 至 n 这 n 个自然数，并规定由小到大为标准次序. 设
p1 p2 pn
为这 n 个自然数的一个排列，考虑元素 pi （i = 1, 2, … , n），如果比 pi 大的且排在 pi 前面的元素有 ti 个，就说 pi 这个元素的逆序数是 ti . 全体元素的逆序数之和

线性代数 1.1 全排列及其逆序数

三、排列的奇偶性
逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 定义把排列中两个元素位置进行对调，称为对排列作一次对换。定理：对换改变排列的奇偶性. 证明：先证明是相邻对换的情况，再证非相邻对换的情况。推论将奇（偶）排列变成标准排列需用奇（偶）数次对换。
第一章
行列式
§1.1 全排列及其对换
一、全排列的定义 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n
个元素的全排列，简称排列。例 123456 是 6 个数的全排列， 53421 是 5 个数的全排列。
二排列的逆序数
对于n 个不同的元素，规定各元素之间由小到大为标准次序. 定义当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序，一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。求逆序数的方法： t ( p1 p2 pn ) t1 t2 tn 其中 ti 是排列中与元素 pi 相关的逆序数，即位于 pi前且比 pi 大的的元素个数。
例 (1) 求排列3412中逆序数 .
2 nn 1n 2 321
(1) t (3412) 0 0 2 2 4; 解：
(2) t (n n 1 n 2 321) 0 1 2 (n 1) 1 n(n 1) 2

2全排列及其逆序数

ab
a1 ⋯ a l ab b1 ⋯ bm 对换 a 与 b a1 ⋯ a l ba b1 ⋯ bm
ba
除a
,b
外，其它元素的逆序数不改变. 其它元素的逆序数不改变
当 a < b 时，的逆序数增加1 经对换后 a 的逆序数增加 , 当 a > b时，的逆序数不变; b 的逆序数不变
b 的逆序数减少1. 经对换后 a 的逆序数不变，的逆序数减少
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 设排列为 a1 ⋯ a l ab1 ⋯ bm bc1 ⋯ c n 现来对换 a 与 b .
a1 ⋯al a b1 ⋯bm b c1 ⋯cn
m 次相邻对换
a1 ⋯ al ab b1 ⋯ bmc1 ⋯cn ab
m + 1 次相邻对换 a ⋯a b b ⋯b a c ⋯c 1 l b 1 m a 1 n
从而 D = D1 .
定义一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数逆序数. 此排列的逆序数排列的奇偶性逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列; 逆序数为奇数的排列称为奇排列逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列. 逆序数为偶数的排列称为偶排列
例1 解
求排列32514的逆序数的逆序数. 求排列的逆序数在排列32514中, 中在排列
与之对应并相等; 反之, 与之对应并相等反之对于 D1 中任意一项
(− 1)t a p 1a p 2 ⋯a p n , 也总有且仅有中的某一项也总有且仅有D中的某一项
1 2 n
(− 1) a1q a2q ⋯anq , 与之对应并相等于是与 D1 与之对应并相等, 于是D与
s

线性代数1-2

al a bb1
bm
对换 a 与 b
a1
al b ab1
bm
除a,b外，其它元素的逆序数不改变. 逆序数加1或减1，奇偶性改变.
2)
一般情形
对换a与b
a1 al a b1 bm b b c1 cn
a1 al ab1 bm bc1 cn
a1
al bb1
bm ac1
cn ,
m 次相邻对换 a 1
若将t 个偶排列的前两个数对换, 则这t 个偶排列全变成奇排列,并且它们彼此不同,于是有 t s . 故必有 s t .
本节小结
1. n元排列 2. 逆序 3. 逆序数 4. 奇偶排列 5. 对换结论1 任一排列经过一次对换奇偶性改变. 结论2 全部n元排列中,奇偶排列各占一半.
t 18
例2 讨论排列 n n 1 n 2 解
nn 1n 2321
n1 n2
321的奇偶性.
t n 1 n 2 2 1 n n 1 , 2 当n 4k ,4k 1 时为偶排列；
当n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
例3 选择i和j,使1i25j4869成为奇排列、偶排列.
1
4.对换
n元排列中, 任意对调两个元素的位置,其余元素不动,这种变换叫做对换．
奇偶
25143
偶
25413
奇
这些排列的
奇偶性呢？
2 1 6 排列经过一次对换必改变奇偶性. 证明 1) 特殊情形：相邻对换设排列为 a1
2.逆序
n元排列中,若较大的元素排在较小的元素前面，称为一个逆序. 比如 3 2 5 1 4
3.逆序数
排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.

§2 全排列及其逆序数

逆序
例如排列32514 中，排列
3 2 5 1 4
逆序逆序
2. 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数. 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数逆序数. 例如: 其逆序数为5. 例如排列 32514 , 其逆序数为其逆序数为4. 排列 31524 , 其逆序数为 3. 排列的奇偶性逆序数为奇数的排列称为奇排列逆序数为奇数的排列称为奇排列; 奇排列逆序数为偶数的排列称为偶排列逆序数为偶数的排列称为偶排列. 偶排列
4.计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法设排列为 p1 p2 L pn , t i 为 pi 构成的逆序数则其逆序数为 t = t ( p1 p2 L pn ) = t1 + t 2 + Lt n−1 计算下列排列的逆序数,并讨论它们的奇偶性并讨论它们的奇偶性. 例计算下列排列的逆序数,并讨论它们的奇偶性.
二、排列的逆序数
规定各元素之间有一个标准次序, 规定各元素之间有一个标准次序 n 个不同的自然数, 规定由小到大为标准次序标准次序. 然数 …pt…ps…pn中, 若数 pt >ps, 则称这两个数组成一个逆序逆序. 则称这两个数组成一个逆序 (即：大的数在小的数左边, 则这两数构成一个逆序）即大的数在小的数左边则这两数构成一个逆序）
(1) 217986354 ( 2) n( n − 1)( n − 2)L 321
四、小结
1. n个不同的元素的所有排列总数为个不同的元素的所有排列总数为n!. 个不同的元素的所有排列总数为 2. 排列具有奇偶性排列具有奇偶性. 3. 计算排列逆序数. 计算排列逆序数
§2 全排列及其逆序数
一、全排列二、排列逆序数三、小结

全排列及其逆序数

下页
标准排列在n个自然数的全排列中排列123 ⋅ ⋅ ⋅ n称为标准排列. 逆序与逆序数在一个排列中, 如果某两个元素的先后次序与标准排列的次序不同, 就说有1个逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数.
提示: 以下我们只讨论n个自然数的全排列.
下页
标准排列在n个自然数的全排列中排列123 ⋅ ⋅ ⋅ n称为标准排列. 逆序与逆序数在一个排列中, 如果某两个元素的先后次序与标准排列的次序不同, 就说有1个逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数. 逆序数的计算在排列p1p2⋅ ⋅ ⋅pn中, 如果pi的前面有ti个大于pi的数, 就说元素pi的逆序数是ti. 排列的逆序数为t=t1+t2+ ⋅ ⋅ ⋅ +tn. 举例: 在排列32514中, t1=0, t2=1, t3=0, t4=3, t5=1. 排列32514的逆序数为t=0+1+0+3+1=5. 标准排列12345的逆序数是多少字, 可以组成多少个没有重复数字的三位数？解采用先选定百位数, 再选定十位数, 最后选定个位数的步骤. 百位数有3种选法, 十位数有2种选法, 个位数有1种选法. 因为3×2×1=6, 所以可以组成6个没有重复数字的三位数. 这6个三位数是 123, 132, 213, 231, 312, 321.
下页
标准排列在n个自然数的全排列中排列123 ⋅ ⋅ ⋅ n称为标准排列. 逆序与逆序数在一个排列中, 如果某两个元素的先后次序与标准排列的次序不同, 就说有1个逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数. 奇排列与偶排列逆序数为奇数的排列叫做奇排列, 逆序数为偶数的排列叫做偶排列. 举例: 排列32514的逆序数是5, 它是奇排列. 标准排列12345的逆序数是0, 它是偶排列.

1-2 全排列及其逆序数

于是排列32514的逆序数为
t 0 1 0 3 1 5.
例计算下列排列的逆序数.
1
解
217986354
2 1 7 9 8 6 3 5 4
（由后向前求每个数的逆序数.）
0 10 0 1 3 4 4 5
t 5 4 4 31 0 01 0
18
2 nn 1n 2321
把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列（或排列）.
2. 逆序、逆序数
我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.
定义
例如
在一个排列 i1i2 it is in 中，若数 it i s 则称这两个数组成一个逆序. 排列32514 中，逆序
一、概念的引入
引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个互不相同的三位数？解
3种放法
设
2种放法
是一个三位数字，
1种放法
百位上可以从1 2 3三个数字中任选一个，所以有3种放法十位上只能从剩下的两个数字中任选一个，所以有2种放法而个位上只能放最后剩下的一个数字，所以只有1种放法共有 3 2 1 6 种放法. 这6个不同的3位数是
3 2 5 1 4 逆序逆序定义一个排列i1i2…in中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.记作 t (i1i2…in)或简记为t
计算排列逆序数的方法
分别计算出排列中每个元素前面比它大的数字个数之和. 例4 解求排列32514的逆序数.
在排列32514中,
3 2 5 1 4 0 1 0 3 1
解
n1 nn 1n 2321
t n 1 n 2 2 1

计算机网络实验基础知识1-2 全排列及其逆序数

4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1; 32514 01 031
于是排列32514的逆序数为 t 0 1 0 3 1 5.
例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.
1 7986354
解
217986354
0 10 0 1 3 4 4 5
t 5 4 4310010
18
此排列为偶排列.
i1 前面比i1 大的数码个数； i1 i 2 i n
向前看大向后看小
③ i1 后面比i1 小的数码个数 i2 后面比i2 小的数码个数
in 后面比in 小的数码个数； i1 i 2 in
向后看小向前看大
例1 求排列32514的逆序数.
解在排列32514中, 3排在首位,逆序数为0; 2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1; 5的前面没有比5大的数,其逆序数为0; 1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;
分别用两种方法求排列16352487的逆序数.
思考题解答
解用方法1 1 63 5 2 4 8 7 t 03121010 8
用方法2 由前向后求每个数的逆序数. t 0 0 1 1 3 2 0 1 8.
2 nn 1n 2321
解 n1
nn1n 2321 n 2
t n 1 n 2 2 1 nn 1,
2 当 n 4k ,4k 1时为偶排列；
从后面向前看大
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
3 2k 12k 122k 232k 3k 1k
从前面向前看大
解
2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3k 1 k
01 1 2 2
k
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
21 k 1k 1 k k 2,

1.1逆序数和对换PPT课件

将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．
例如
a1 al a bb b1 bm
a1 al bbaa b1 bm
a1ala b1bm b c1cn a1al b b1bm aa c1cn
对换与排列的奇偶性的关系
定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．证明首先考虑相邻对换的情况。
设排列为
a1al abb b1bm 对换a与b a1al bbaa b1bm 除a ,b 外，其它元素的逆序数不改变.
例计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.
nn 1n 2321
解
t 12
n
2 n 1
nห้องสมุดไป่ตู้
2
1 ,
当 n 4k,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
1.1.2 排列的对换及其性质
定义在排列中，将任意两个元素对调，其
余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换．
变化次数, 而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此知推论成立.
m 1 次相邻对换 a1al bb b1bm aa c1cn
a1alab1bmbc1cn ,
2m 1次相邻对换 a1 al bb1 bmac1 cn ,
所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.
推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.
证明由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的
例如排列32514
定义一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.
问题如何计算排列逆序数？
例如排列32514 的逆序数是多少？设p1 p2 pn是元素为自然数1至n的一个排列，

1n阶行列式1

D＝aijAij
证先证i＝1，j＝1的情形
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对一般情形，只要适当交换D的行与列的位置，即可得到结论。
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定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
证
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例计算行列式解由定理3 知
注：运用定理3可适当减轻行列式的运算。
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说明： 1) 等式右边的每一项都是n个元素的乘积，这n个元素均位于不同的行和不同的列。
2) 各项的正负号与列标排列有关，偶排列为正，奇排列为负。
3) 因为1,2,…n的排列有n!个，故等式
右边共有n!项。
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例计算4阶行列式
解：根据定义，D是4！＝24项的代数和，但每一
对于D中任一项其中I为排列在D1中必有对应一项
的逆序数
其中I1为排列与
的逆序数只经过一次对换
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所以对于D中任一项，D1中必定有一项与它的符号相反而绝对值相等，又D与D1的项数相同。
交换行列式i，j两行记作r（i，j），交换行列式 i，j两列，记作c（i，j）。
推论若行列式有两行（列）元素对应相等，则行列式为零。
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性质6 把行列式某一行（列）的元素乘以数k，加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。
以数k乘以第i行(列)上的元素加到第j行(列)对应元素上，记作r（j＋i（k）），[ c（j＋i（k）]，有
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总结：三种行列式变换 1 互换两行或两列

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逆序例 312 逆序此排列的逆序数为1+1=2.
定义:逆序数为奇数的排列叫做奇排列, 逆序数为偶数的排列叫做偶排列.
§2
全排列及其逆序数
计算排列逆序数的方法
分别计算出排列中每个元素前面比它大的数
码个数之和,即算出排列中每个元素的逆序数,这
每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.
§2
全排列及其逆序数
§2
全排列及其逆序数
定义:对于n个不同的元素,规定各元素之间有一个标准次序(通常规定由小到大为标准次序).
例 123 是元素1,2,3的标准次序
定义: 在这n个元素的任一排列中,当某两个元素的先后次序与标准次序不同时就说有1个逆序. 逆序逆序例 132 213
§2
全排列及其逆序数
定义: 一个排列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数.
§2
全排列及其逆序数
主要内容：
一、全排列
二、排列的逆序数
考察的对象称为元素.例如:数字1,2,3.
定义:把n个不同的元素排成一列,叫做这n个元素的全排列(简称排列). n个元素的所有排列的种数用Pn表示.
例 123,321,132,312,213,231都是元素1,2,3的排列, P3＝3×2 ×1 ＝ 6. 由上例可推知Pn＝ n！
例求排列3241的逆序数解: 3排在首位,逆序数为0; 2的前面比2大的数有一个数3,故逆序为1; 4是最大数,逆序为0; 1的前面比1大的数有3个数3、2、4,故逆序数为3.
于是,这个排列的逆序数为t=0+1+0+3=4,
排列3241为偶排列.
§2
总结
全排列及其逆序数
1.n个不同的元素的所有排列种数为n!. 2.排列具有奇偶性. 3.计算排列逆序数常用的方法有1种.