线性代数 排列及其逆序数
第二节 排列及其逆序数
32514
1 逆序数为3
故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.
记做 (3 2 514) 5
排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 例如，在123组成的全排列中，有3个偶排列123， 231，312；有三个奇排列132，213，321 ❖一般说来，n 个数的全排列中，奇偶排列各占一半。
第二排列及其逆序数
1 全排列 2 排列的逆序数 3 逆序数的计算方法
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有几种不 同的排法？
定义1
把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列（简称排列）.
n 个不同的元素的所有排列的种数，通 常用 Pn 表示.
例如 P3 3 2 1 6.
同理 Pn n (n 1) (n 2) 3 2 1 n!.
32514 5的前面没有比5大的数,其逆序数为0; 1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3; 4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;
32514 01 031 于是排列32514的逆序数为
0 1 0 3 1 5. (从头开始法)
例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇 偶性.
1 217986354
分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即从排列中第一个元素开始，依次 算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的 逆序数之总和即为所求排列的逆序数.（从“头” 开始法） 例1 求排列32514的逆序数.
解 在排列32514中,
3排在首位,逆序数为0;
2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;
我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准排列（自然 排列）.
线性代数第一节排列及其逆序数
第一章行列式第一节 排列及其逆序数�引言�排列与逆序数一、引言我们在中学曾经学习过求解二元一次线性方程组⎩⎨⎧=+=+2221212111c x b x a c x b x a （1） 当两个方程的未知数系数不成比例，即 2121b b a a ≠时，我们有.b a b ac a c a x ,b a b ac b c b x 122112212122121121−−=−−=（2）为方便记忆，我们引入二阶行列式bc ad db ca −=（3）则（2）可以表示为.b a b ac a c a x ,b a b a b c b c x 221122112221122111==（4）即当（1）的系数行列式0b a b a 2211≠时， （1）的解可以用二阶行列式表示为（4）。
用高斯消元法，对三元一次线性方程组,333323213123232221211313212111⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a （5）我们也可以得到类似的结果。
即如果引入三阶行列式,c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c 322311332112312213322113312312332211333231232221131211−−−++=（6）则当（5）的系数行列式0a a a a a a a a a D 333231232221131211≠=（7）时，方程组（5）的解可以用三阶行列式表示为.a a a a a a a a a b a a b a a b a a x ,a a a a a a a a a a b a a b a a b a x ,a a a a a a a a a a a b a a b a a b x 333231232221131211332312222111211333323123222113121133331232211311123332312322211312113332323222131211===（8）对于n 元一次方程组，是否也有类似于上述（4）、（8）的结果呢？这就是本章要回答的问题。
1-2 全排列及其逆序数
左
3 2 32 8/2=4 4 1 31 21 41 因此，计算排列的逆序数时，对每个元素只需考虑它 与左边(或右边)的元素所构成的逆序.
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右 32 31 21 41
排列的逆序数
对于排列中的一个元素，左边比它大的数的个数， 叫做该元素的逆序数 . 排列的逆序数 = 排列中各个元素的逆序数之和. 定义 4 排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 说明 一个排列不是奇排列就是偶排列.
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作业
计算以下排列的逆序数，并判断奇偶性
①1 3 4 2 6 5 ;
②2 4 … (2n) (2n-1) (2n-3) … 1
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思考题
分别用两种方法求排列 163பைடு நூலகம்2487 的逆序数.
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思考题解答
方法 1 求出每个元素的逆序数, 并相加
t 0 011 3 2 01 8
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例 1 求排列 32514 的逆序数，并说明它的奇偶性.
分析 3： 排在首位, 逆序数为 0; 2： 前面比 2 大的数只有一个 3, 故逆序数为 1; 5： 前面没有比 5 大的数, 其逆序数为 0; 1： 前面比 1 大的数有 3 个, 故逆序数为 3; 4： 前面比 4 大的数有 1 个, 故逆序数为 1. 解 3 2 5 1 4
解
n 1 (1) nn 1n 2 3 2 1 n2 nn 1 t n 1 n 2 2 1 0 2 当 n 4k , 4k 1 (kN) 时，为偶排列, 当 n 4k 2, 4k 3 (kN) 时，为奇排列.
1-2线性代数
n( n 1 ) , = 2 时为偶排列； 当 n = 4k ,4k + 1 时为偶排列；
t = ( n 1) + ( n 2 ) + L + 2 + 1
时为奇排列. 当 n = 4k + 2,4k + 3 时为奇排列
(4) (2k )1(2k 1)2(2k 2)3(2k 3)L (k + 1)k
于是排列32514的逆序数为 t = 0 + 1 + 0 + 3 + 1 = 5. 的逆序数为 于是排列
计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性. 例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性
(1)
4132
(2) 3712456
（2） ）
解（1）4 1 3 2 ）
3 7 1 2 4 5 6
0 0 2 2 1 1 1
第二节 全排列及其逆序数
一、排列
定义 由自然数 2, , n 组成的不重复的每一 由自然数1, 种有确定次序的排列, 称为一个n 种有确定次序的排列 称为一个 阶排列 (简称排列 简称排列). 简称排列 都是4 例如 1234 和4312都是 阶排列 都是 阶排列, 24315是一个 阶排列 是一个5 阶排列. 是一个
t = 0 +0 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1
0 1 1 2
t = 0+1+1+ 2 = 4
此排列为偶排列 此排列为偶排列. 偶排列
=7
此排列为奇排列 此排列为奇排列. 奇排列
(3)
解
n(n 1)(n 2 )L 321
n 6444 74444 4 1 8 n(n 1)2 2 )L 321 1 4(n443 44 4 (n 2)
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结线性代数知识点总结一、行列式1、N阶行列式中元素aij的第一个下标i 为行指标（横行），第二个下标j 为列指标（竖列）。
即aij位于行列式的第i 行第j 列。
2、在一个排列中，若数较大的数码排在较小的数码之前则称这两个数组成此排列的一个逆序。
一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数。
记为 (每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数)逆序数为奇数的为奇排列，偶数为偶排列。
3、上/下三角行列式主对角线以下/上元素都是0，上/下三角行列式的值为主对角线上所有元素乘积。
（详见课本p4）4、（1）行列式与它的转置行列式相等既D=D T。
(把D的各行换成同序号的列的运算就是行列式的转置行列式)（2）行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立。
（3）互换行列式的两行（列）,行列式变号。
推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。
（4）行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k等于用数k乘此行列式。
因此行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。
（5）行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。
（6）若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和那么可以把改行列式表达成两个行列式之和。
（详见课本p8）（7）把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数k 然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变。
（8）计算行列式常用方法：(1)利用定义（详见课本p3）;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．5、在n阶行列式中，把元素a ij 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素a ij 的余子式，记作M ij叫做元素a ij 的代数余子式=-M ij6、行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即7、行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零既8、一个n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除a ij 外都为零，那末这行列式等于a ij 与它的代数余子式的乘积既D=a ij A ij 二、矩阵及其运算主对角线全为1其余的位置全是0的矩阵称为单位阵()ij ji ij M A +-=144434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a D =44424134323114121123a a a a a a a a a M =()2332231M A +-=in in i i i i A a A a A a D +++=L 2211()n i ,,2,1L =.,02211j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++L ??==100010001L L L L L L L n E E（1）两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵。
1-2排列及其逆序数
p1 p2 p3.......... pn , p N , i 1, 2, , n . 定义⒈⒉ 若在排列 p1 p2 ...... pn 中,某两数不是自然顺序
（４）标准排列是偶排列。
定义⒈⒋ 例： 定理⒈⒈
对换：将排列中某两数位置对调，其余数不动。
6372451 对 换 一 次 1372456 偶排列 奇排列
排列经一次对换，奇偶性改变。
推论 （１）：奇（偶）排列调为奇（偶）排列， 须作偶数次对换，奇偶性相同。 （２）：奇（偶）排列调为偶（奇）排列， 须作奇数次对换，奇偶性不同。 （３）：奇（偶）排列调为标准排列， 须作奇（偶）数次对换，标准排列是偶排列。
例1.2，求排列数的逆序数
(1)６３７２４５１ (2)１３７２４５６
(3) 1 2 3 …(n-1)n(2n)(2n-1)…(n+1) 解：(1) 排列 p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 6 3 7 2 4 5 1 τi 0 1 0 3 2 2 6
(6372451) i 14
i
排列的一般记法：
(即前数>后数),则称这两数构成一个逆序。 排列 p1 p2 ..... pn 的逆序总数称为逆序数。 记作：
( p1 p2 p3..... pn)
记 逆序数求法：
i 是pi 前比pi 大的数的个数，则 ( p1 p2 ... pn ) 2 3 ... n (1 0)
1 i 0 0 1 2 (n 1) (n 1)n 2 i 1
线性代数 1.1 全排列及其逆序数
三、排列的奇偶性
逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 定义 把排列中两个元素位置进行对调， 称为对排列作一次对换。 定理：对换改变排列的奇偶性. 证明：先证明是相邻对换的情况，再证非 相邻对换的情况。 推论 将奇（偶）排列变成标准排列需用奇（偶）数 次对换。
第一章
行列式
§1.1 全排列及其对换
一、全排列的定义 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n
个元素的全排列，简称排列。 例 123456 是 6 个数的全排列， 53421 是 5 个数的全排列。
二排列的逆序数
对于n 个不同的元素，规定各元素之间由小 到大为标准次序. 定义 当某两个元素的先后次序与标准次序不同 时，就说有一个逆序，一个排列中所有逆序的总 数叫做这个排列的逆序数。 求逆序数的方法： t ( p1 p2 pn ) t1 t2 tn 其中 ti 是排列中与元素 pi 相关的逆序数，即位于 pi前且比 pi 大的的元素个数。
例 (1) 求排列3412中逆序数 .
2 nn 1n 2 321
(1) t (3412) 0 0 2 2 4; 解：
(2) t (n n 1 n 2 321) 0 1 2 (n 1) 1 n(n 1) 2
排列及其逆序数
排列 非自然排列
（逆序数≠0）
奇排列 （逆序数为奇数） 偶排列 （逆序数为偶数）
《线性代数》课题组
《线性代数》课题组
例6： 用两种方法求排列32514 的逆序数
方法1： (3 2 5 1 4 ) 2 1 2 0 5
方法2：
0 0
1
3 2 5 1 4
13Βιβλιοθήκη (3 2 5 1 4 ) 3 1 0 1 0 5
《线性代数》课题组
四、对
换
将一个排列中某两个数的位置互换，称为对换。 奇 偶
《线性代数》课题组
(3 4 1 2 ) 4
三、逆序数的计算方法
方法1
( i1 i 2
i n ) （ i1 后面比 i1 小的数个数）
＋（ i 2 后面比 i 2 小的数个数）＋ …… ＋（ i n 1 后面比 i n 1 小的数个数）
例5：① (1 5 4 3 2 ) 0 + 3 + 2 + 1 ＝6 ② 求逆序数. n n 1 n 2 解： 逆序数＝ (n-1)+
11阶排列
《线性代数》课题组
例3：ｎ(ｎ－1）…21是几阶排列？共有多少种排列？ 从n个元素中取定一个放在第一个 位置上有n种放法； 又从剩下的n-1个元素中任取一个放 在第二个位置上有n-1种放法 如此下去，直到最后一个元素放在 第n个位置上只有1种放法。
n ( n 1) 3 2 1 n!种
321
(n-2)+ …... +2+1
( n 1) n 2
《线性代数》课题组
方法2： 任一n阶排列 先看数1，看有多少个比1大的数排在1前面，记为 m 1 ; 再看有多少个比2大的数排在2前面，记为 m 2 ; 继续下去，最后至数n，前面比n大的数显然没有，
线性代数 1-2 第1章2讲-行列式的基本概念(2)
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
01 n 阶行列式是由n!项组成的，结果是一个数.
02 定义式的右边每一项都是 n 个元素的乘积（称为一个乘积项）,这 n 个元素是
由行列式的不同行、不同列的元素构成的.
某一乘积项符号的确定：先把该项的 n个元素按行标排成标准顺序，然后由
03
列标所成排列的逆序数来决定这一项的符号.
当n 4k或n 4k 1时，n(n 1) 为偶数； 2
当n 4k 2或n 4k 3时，n(n 1) 为奇数. 2
6
n阶行列式
结论（3）
a11 a12 a22
a1n a2n a11a22 ann
ann
上三角行列式 对角线下方的元素全为零
解
D 中可能不为 0 的项只有 (1)N a11a22 ann ，
此项的符号为 (1)N (1)0 1 ，
所以 D a11a22 ann .
7
n阶行列式
结论（4） 结论（5）
a11 a21 a22
a11a22 ann
an1 an2
ann
a2 ( n 1)
a1n
a2n
n ( n 1)
(1) 2 a a 1n 2(n1)
an1
a a n(n1)
nn
下三角行列式 对角线上方的元素全为零
线性代数（慕课版）
第一章 行列式
第二讲 行列式的基本概念(2)
主讲教师 |
本讲内容
01 排列及其逆序数 02 二阶、三阶行列式
03 n阶行列式
n阶行列式
定义 用 n2个数aij i, j 1, 2, , n 排列成的一个 n 行 n 列的记号
线性代数知识点总结
n ( n 1) 2
将 D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为 D3 ，则 D3 D ；
；
③、上、下三角行列式（ ◥ ◣ ）：主对角元素的乘积； ④、 ◤ 和 ◢ ：副对角元素的乘积 (1) ⑤、拉普拉斯展开式：
n ( n 1) 2
；
A O A C C A O A A B 、 (1) m n A B C B O B B O B C
行阶梯形矩阵满足的条件： (1) 零 行 ( 元 素 全为 零 的 行 ) 位 于 矩阵 的 下 方 ； (2) 各 非 零行 的 首 非 零 元 ( 从 左 至右 的 第 一 个 不为 零 的 元 素 ) 的 列 标随 着 行 标 的 增大 而 严 格 增 大 ( 或 说 其列 标 一 定 不 小于 行 标 ) ； 行最简形矩阵 (1) 各 非 零行 的 首 非 零 元都 是 1 ； (2) 每 个 首非 零 元 所 在 列的 其 余 元 素 都是 零 ； 矩 阵 A 的 标 准型 D 具 有 的特 点 ： D 的 左 上角 是 一 个 单 位矩 阵 ， 其 余 元素 全 为 0 ； 定 理 1 ： 任 意一 个 矩 阵 A=(a ij ) m×n 经 过 有限 次 初 等 变 换， 可 以 化 成 下列 标 准 形 矩 阵 定 理 1’ ： 任 一矩 阵 A 总 可 以经 过 有 限 次 初等 行 变 换 化 为行 阶 梯 形 矩 阵， 并 进 而 化 为行 最 简 形 矩 阵
5. 6.
余子式和代数余子式的关系：余子式： 代数余子式： 行列式的性质： 将 行 列式 D 的 行 与列 互 换 后 得 到的 行 列 式 ， 成为 D 的 转 置行 列 式 ， 记 为 D T 或 D’ 性 质 1 ： 行 列式 与 它 的 转 置行 列 式 相 等 ； 性 质 2 ： 交 换行 列 式 的 两 行 ( 列 ) ， 行 列式 变 号 ； 推 论 1 ： 若 行列 式 有 两 行 ( 列 ） 的对 应 元 素 相 同， 则 此 行 列 式为 零 ； 性 质 3 ： 用 数 k 乘 行 列式 的 某 一 行 ( 列 ) ， 等 于用 数 k 乘 以 此行 列 式 ； 推 论 2 ： 行 列式 的 某 一 行 ( 列 ) 中 的 所有 元 素 的 公 因子 可 以 提 到 行列 式 符 号 的 外面 ； 推 论 3 ： 行 列式 中 若 有 两 行 ( 列 ) 元 素 成比 例 ， 则 此 行列 式 为 零 ； 性 质 4 ： 若 行列 式 的 某 一 行 ( 列 ) 的 元 素都 是 两 数 之 和， 则 此 行 列 式等 于 将 该 行 ( 列 ) 拆 开 的两 个 行 列 式 之 和； 性 质 5 ： 将 行列 式 的 某 一 行 ( 列 ) 的 所 有元 素 都 乘 以 数 k 后 加 到另 一 行 ( 列 ) 对 应 的位 置 的 元 素 上， 行 列 式 的值 不 变 ；
线性代数 排列与逆序
排列与逆序◼概念◼计算(1) 定义例如⚫排列及其逆序数1, 2, 3, 4可组成24=4!个不同的4阶排列.1, 2, …, n 可组成n !个不同的n 阶排列.由1, 2, ···, n 共n 个数码组成的一个有序数组称为一个n 阶排列.在4 阶排列1234 及1324 中，我们规定各元素之间有一个标准在1324 中，n 个不同的自然数，规定由小到大为1234为自然称为标准排列. 3在2之前，称这两个数字构成一个逆序.(2) 定义次序，标准次序.顺序，()n s t i i i i i 21例如定义 3 2 5 1 4逆序逆序逆序t s i i ＞，在一个排列中，则称这两个数组成一个逆序.(3) 排列的逆序数若数排列32514中，逆序逆序⚫逆序数为奇数的排列称为奇排列;⚫逆序数为偶数的排列称为偶排列.排列的奇偶性定义排列的逆序数.一个排列中所有逆序的总数称为此计算排列逆序数的方法分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.例1解在排列32514中，3排在首位，2的前面比2大的数只有一个3，于是排列32514 的逆序数为13010++++=t .5=5的前面没有比5大的数，1的前面比1大的数有3个，4的前面比4大的数有1个，求排列32514的逆序数.逆序数为0;故逆序数为1;其逆序数为0;故逆序数为3;故逆序数为1;把一个排列中某两个数字位置互换，例如定义我们把对排列所施行的这种变换排列的奇偶性发生了变化.而其余的数字位置保持不变，就构成了一个53412经过1, 5对换得到13452，τ(5341 2)=3+3+1+1=8, 这时有τ(13452)=3. 新的排列.称为排列的一个对换.一次对换改变排列奇偶性.证明1、相邻对换设…k j … （1）对换k , j 后再设…j k … （2）因为2τ⎧=⎨⎩所以，相邻对换结论成立.11τ−，11τ+，k j <当时，k j >当时；定理2、一般情形因为…k i 1i 2… i s j ……i 1i 2…i s k j ……j i 1i 2…i s k …所以，结论成立.s+1次相邻对换…………推论任何一个n阶排列都可以通过对换化成标准排列，并且所作对换的次数的奇偶性与该排列的奇偶性相同.重新考察二阶、三阶行列式每项的符号，可以得到以下规律：当行标取成标准排列，由列标排列的奇偶性决定每项前的正负号.11122122a a a a =111213212223313233a a a a a a a a a =121212()12(1)j j j j j j a a τ−∑123123123()123(1)j j j j j j j j j a a a τ−∑故二阶、三阶行列式也可以这样写：思考题排列n(n-1)⋯321的逆序数是______(1)2n n −。
线性代数1.2全排列与逆序数
的奇偶性， .
而标准排列是
0 )，因此知推论成立
推论2：n元排列中（n>1,n！个排列）奇排列偶排列 各占一半。
计算排列的逆序数的方
法 :
设 p 1 p 2 p n 为 n 个自然数的一个排列，
考虑元素 p i ( i 1、、 n )， 2 p i 前面的元素有 t i 个，
如果比 p i大的且排在
就是说 pi 这个元素的逆序数为t i .
全体元素的逆序数 即是这个排列的逆序数 之和 . t t1 t 2 t n
n 个不同元素的所有排列
的种数，通常用
Pn 表示 .
Pn n ( n 1) 3 2 1 n!
例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中， 3排在首位，逆序数为 0； 2前面比2大的数有一个（3），故逆序数为1； 5是最大数，逆序数为 0； 1前面比1大的数有三个（3、2、5）,故逆序数为3； 4前面比4大的数有一个（5），故逆序数为1； 于是这个排列的逆序数为 ( 32514 ) 0 1 0 3 1 5 .
解
n 1 n ( n 1 )( n 2 ) 321 n 2
t ( n 1) ( n 2 ) 2 1
n( n 1) 2
,
当 n 4k ,
4 k 1时为偶排列，
4 k 3时为奇排列 .
ti ,
i1
n
例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的 奇偶性.
(1 ) 217986354 ;
解
2 1 7 9 8 6 3 5 4
0 1 0 0 1 3 4 4 5
t ( 217986354 )
线性代数 排列及其逆序数
b 经对换后 a 的逆序数不变 ， 的逆序数减少1.
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 设排列为 a1 al ab1 bm bc1 cn 现来对换 a 与 b .
a1 al a b1 bm b c1 cn
m 次相邻对换
a1 al ab b1 bm c1 cn
m 1 次相邻对换 a a b b b a c c 1 l 1 m a 1 n
的逆序数.
例如
排列32514 中，
0
0
1
3 2 5 1 4
1
逆序数为3
故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.
例 1、用多种方法求排列16352487的逆序数. 2、 t (i1i2 in ) 的取值范围？ 3、求n(n-1) …21的逆序数。 4、若 ( i1i2 in ) t 求 ( in i2i1 )
对换与排列的奇偶性的关系
定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列 改变奇偶性． 证明 设排列为
对换 a 与 b
a1 al ab b1 bm
a1 al ba b1 bm ba
除 a , b 外，其它元素的逆序数不改变.
当 a b时，
经对换后 a 的逆序数增加1 ,
当 a b时，
b 的逆序数不变;
四、小结
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!. 2 排列具有奇偶性. 3 计算排列逆序数常用的方法有多种. 4 对换改变排列的奇偶性.
计算法的本质：
本质为计算排列中的每一元与其前面的元
所产生的逆序数，然后逐个相加，即得排 列的逆序数。各种方法的区别在于计算排 列中每一元的逆序数的顺序，第一种方法 是按元本身从小到大计算，而第二种方法 是按元后在的位置从右往左计算。
第二节 全排列及其逆序数
第二节 全排列及其逆序数从上节的例子我们知道，对角线法则只适用于二阶与三阶行列式，对四阶和四阶以上的行列式就不适用了.怎样计算四阶和四阶以上的行列式呢?我们先从二阶与三阶行列式的计算中找一找规律先看二阶行列式二阶行列式一共有两项，每一项均由不同行不同列的元素组成。
其组成的规律是如果行标都取自然数1，2；列标只能取1，2或2，1。
所以二阶行列式中有两项2211a a ， 。
再看三阶行列式三阶行列式一共有6项，每一项均由不同行不同列 的元素组成。
其组成的规律是如果行标都取自然数1，2，3；列标只能取1，2，3；2，3，1；3，1，2；3，2，1；2，1，3；1，3，2。
所以三阶行列式中有6项通过上述分析，我们知道了二阶行列式和三阶行列式项的组成方法。
既和排列有关。
2112a a .2112221122211211a a a a a a a a D -==333231232221131211a a a a a a a a a ,312213332112322311322113312312332211aa a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=一、全排列二阶行列式和三阶行列式项的组成方法1）行标取自然排列时，列标分别取全排列.2）项的个数就是全排列的个数。
另外，我们还发现无论二阶行列式还是三阶行列式，均有一些项的前面取“+”，一些项的前面取“-”。
怎样确定那些项的前面取“+”，那些项的前面取“-”呢？我们发现和排列的顺序有关。
定义3把n 个不同的自然数按一定次序排成一列,称为一个n 元排列.记为{p 1,…,p n }。
例如{1，2，3}是一个三元排列，{2，3，1}也是一个三元排列。
排列{1，2，…,n}称为n 元自然排列n 个不同的自然数的所有排列，称为n 元全排列, n 元全排列的个数通常用P n 表示.二阶行列式和三阶行列式项的组成方法1）行标取自然排列时，列标分别取全排列2）项的个数就是全排列的个数。
线性代数教案行列式
线性代数教学教案行列式21⋅.如果一对数的排列顺序与自然顺序相反，即排在左边的数比排在它右边的数大，i的逆序数记为那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数，排列n )i.n3.定义：逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列二．二阶、三阶行列式1.引例：解方程组1,2,3,n )排成123132333123nnn n n n nn a a a a a a a 2323331123(1)n n n n nna a a a a a =-+21222,12123231323,13133312112,1131)+(1)n n n n nn n n n n n n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a --++-+-阶行列式（递归定义）.余子式与代数余子式：由行列式D 中划去ij a 所在的第i 行和第j 列后，余下的元素按照原来的顺序构ij M ，称为元素ij a 的余子式，(1)i j ij A M +-称为元素ij a 的代数余子式D 11=n n a A a A =na ∑1,2,3,n )组成的阶行列式定义为 123132333123n nn n n n nna a a a a a a 1212)12=n n nj j j j nj j j j a a a ∑nj ∑表示对所有的列标排列12n j j j 求和.四．例题讲解1.求解二元线性方程组122321221x x x x -=⎧⎨+=.1233300n nn nn a a a a . 11121,121222,111,11,210000n n n n n a a a a a a D a a ----=，112122313233123000000n n n nn a a a a a a a a a a ， 1122330000000000nna a a a .授课序号02in jn a A =,n ，i ≠0ni nj a A =,n ，i ≠综合上一节和该推论，对于行列式和代数余子式的关系有如下重要结论：, ,0, .i j i j =≠ , =0, kj D i A ⎧⎨⎩授课序号030000000000x y yx.(Vandermonde)行列式1221231111112311n n n i j nn n n n nx x D x x x x x ≤<≤----==∏31111111n a +12(0)n a a a ≠.3434340a a x x a a a a a ++=的根.0000000003200013.12211000100000001nn n x x x a a a a x a -----+.00000000000000000000000a b a b a b c d c dc d.22231112342344，证明：()0f x '=有且仅有两个实根授课序号041222222n n n n nn n a x a x x a x +=+++=1112121222120n n n n nna a a a a a a a a ≠，122n n D D Dx x D D D==，，，, 列换成常数项所得的n 阶行列式1,111,11212,122,121,1,1j j n j j n n n j nn j nna b a a a b a a a a b a a -+-+-+112222222n n n n nn n na xb a x b x a x b +=+=++=当12,,,n b b b 全为0时，得到11112121122221122n n n n n n nn n a x a a x a x a a x a x a x a x ++⎧⎪++⎪⎨⎪⎪+++⎩335111x x =-=-=211311213313n n n n n n n n n a x a x a x a x x a x ----+=+==+=,n ).互相关联，X 公司持有股份，持有Z 股份，持有Z 公司20%持有Y 公司20%，Z 公司各自的净收入分别为万元，每家公司的联合收入是净收入加上其他公司的股份按比例的提成收入，试求各公司的联合收入及实际收入《市场营销》是商业和经贸专业学生的一门核心课程，商经类学校的所有专业都开设本课程，是一门公共基础课。
线性代数教程
林升旭、梅家斌等 主编 华中科技大学出版
主讲 吴章文 副教授
第一章 行列式
一、n元排列 n个自然数 1,2,3,, n 按一定次 序排成一排。称为n元排列。记为
i1i2 in
i1i2 in是所有n元排列中的一个
所有n元排列共有n!种； 如：三元排列有3！=6种： 123，132；213，231；312，321。 五元排列有5！=120种： 14325，15342，…，等
（一）二阶行列式的引进与计算
1.消元法解线性方程组，引入行列式
1.2 二阶、三阶行列式
a11 x1 a12 x2 b1 消元法 （1） a x a x b 2 21 1 22 2 ( a11a22 a12 a21 ) x1 b1a22 b2 a12 (a11a22 a12 a21 ) x2 b2 a11 b1a21
D
T
a11 a12 a1n
a21 an1 a22 a2 n an 2 ann
2013年8月9日2时30分
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证：用定义证明，参见P17。设 a11 a21 an1 b11 b12 b1n b21 b22 b2 n a12 a22 an 2 T D bn1 bn 2 bnn a1n a2 n ann 则 bij a ji i, j 1,2, , n 从而 DT (1) ( j j j ) b1 j b2 j bnj
2.定理:所有n!个n元排列中奇偶排列各半。P4 证明： 交换 j j m个奇排 取奇排A：j1 j2 jn 设m k n! ， k个偶排 得偶排B：j2 j1 jn 用这种方法，每一个不同的奇排将对应着 一个不同的偶排，故 m k 同理可证 k m n! mk 从而
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2m 1次相邻对换 a a bb b ac c , 1 l 1 m 1 n
所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性.
推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. 定理2 在全部 n 阶排列中 n 2 ,奇偶排列各 占一半.
对换与排列的奇偶性的关系
定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列 改变奇偶性． 证明 设排列为
对换 a 与 b
a1 al ab b1 bm
a1 al ba b1 bm ba
除 a , b 外，其它元素的逆序数不改变.
当 a b时，
经对换后 a 的逆序数增加1 ,
当 a b时，
b 的逆序数不变;
例如
排列32514 中，
逆序
3 2 5 1 4
逆序 逆序
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列
的逆序数.
例如
排列32514 中，
0
0
1
3 2 5 1 4
1
逆序数为3
故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.
例 1、用多种方法求排列16352487的逆序数. 2、 t (i1i2 in ) 的取值范围？ 3、求n(n-1) …21的逆序数。 4、若 ( i1i2 in ) t 求 ( in i2i1 )
b 经对换后 a 的逆序数不变 ， 的逆序数减少1.
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 设排列为 a1 al ab1 bm bc1 cn 现来对换 a 与 b .
a1 al a b1 bm b c1 cn
m 次相邻对换
a1 al ab b1 bm c1 cn
m 1 次相邻对换 a a b b a c c 1 l 1 m a 1 n
第二节
排列的逆序数
一、概念的引入 二、排列的逆序数 三、对换 四、小结、思考题
一、排列的逆序数引入说明：
我们已介绍了2、3阶行列式，我们希望将 概念推广到n阶的情况，为此，需引入逆序数 的概念来确定行列式展开式中项的符号.
二、排列的逆序数
排列的逆序数 定义 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序. 在一个排列 i1 i2 it i s in 中，若数 it i s 则称这两个数组成一个逆序.
排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列.
三、对换
定义
在排列中，将任意两个元素对调，其余 元素不动，这种作出新排列的手续叫做 对换． 将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． 例如
a1 al a b b1 bm b a1 al b a b1 bm ba
a1 ala b1 bm b c1 cn a1 al b b1 bm a c1 cn a
四、小结
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!. 2 排列具有奇偶性. 3 计算排列逆序数常用的方法有多种. 4 对换改变排列的奇偶性.
计算法的本质：
本质为计算排列中的每一元与其前面的元
所产生的逆序数，然后逐个相加，即得排 列的逆序数。各种方法的区别在于计算排 列中每一元的逆序数的顺序，第一种方法 是按元本身从小到大计算，而第二种方法 是按元后在的位置从右往左计算。