中考复习专题：中考中“将军饮马”问题的常见模型及典型例题课件(共38张PPT)
将军饮马问题(课堂PPT)
A'
M
C . .A
.B
O
.N
D .B '
.
14
（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部
• 例4变式2：如图，OMCN是矩形的台球桌面， 有黑、白两球分别位于B、A两点的位置上，
• 试问怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球台 边OM、ON后，反弹击中黑球？
C
B N
M A
O
.
15
（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部
M
N
C
C'
∵ 直线MN是点B、B’的对称轴， 点C、C’在对称轴上，∴BC=B’C，BB'C’=B’C’．
∴BC+AC = B’C+AC = B’A．
∴BC ’ +AC ’ = B’C ’ +AC ’
在△AB ’ C’中，AB ’ < AC’+B ’ C’，
∴ BC+AC < BC ’ +AC ’ ，即AC+BC最小．
例4变式2：
M
作 法 :(1)作 点 A关 于 O M 的 对 称 点 A',
点 B关 于 O N的 对 称 点 B'.
. ( 2 ) 连 结 A '和 B '， 交 O M 于 C ， 交 O N 于 D 。 A
A.'
则 点 C、 D为 所 求 。
.C
B.
.
N
.D
O
B'
.
16
将军饮马的实质： （1）求最短路线问题------
问：这位将军怎样走路程最短？
A
B
河
.
5
(二)一次轴对称：两点在一条直线同侧
2020中考数学复习 最值问题-将军饮马问题 (51张PPT)
02、将军饮马模型系列 ————“一定两动”之点到点
当P'、N、M、P''共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P'P''长，连接OP'、 OP''，可得△OP'P''为等边三角形，所以P'P''=OP'=OP=8．
02、将军饮马模型系列 ————“两定两动”之点到点
在OA、OB上分别取点M、N使得四边 形PMNQ的周长最小。
05、将军过桥
【分析】 考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可。问题 在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与 NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A 点落在A'位置。
问题化为求A'N+NB最小值，显 然，当共线时，值最小，并得出 桥应建的位置．
05、将军过桥
通过几何变换将若干段原本彼此分离线段组合到一起，是解决问题的关键~
此处M点为折点，作点P关于OA对称 的点P'，将折线段PM+MN转化为 P'M+MN，即过点P'作OB垂线分别 交OA、OB于点M、N，得PM+MN 最小值（点到直线的连线中，垂线段 最短）
03、几何图形中的将军饮马
寻找几何图形中 端点关于折点所在直线的对称点位置
03、几何图形中的将军饮马 ----正方形中的“将军饮马”
则PC+PD的最小值为（ ）
A．4
B．5 C．6
D．7
03、几何图形中的将军饮马 ----正方形中的“将军饮马”
【分析】作点C关于P点所在直线AB的对称点C'，当C'、P、D共线时， PC+PD最小，最小值为5，故选B．
2020年中考复习 将军饮马问题 讲义
将军饮马(作对称点求最短线段终极版)背景知识：早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．常用知识点：两点之间线段最短，垂线段最短，三角形三边关系，轴对称，平移；解题思路：找对称点，变折线为直线。
常见模型：一、两定点一动点型：如图：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小。
解题思路：连接AB，与直线的交点为点Q，即此时点P运动到点Q处，最小值为AB.证明：运用三角形三边关系：两边之和大于第三边，当A、P、B三点共线可取等于。
在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB的和最小.解题思路：作定点B关于直线l的对称点C,连接AC,交直线于点Q，当点P运动到点Q，最小值为AC.证明：关键是作其中一个定点的对称点，使得PB=PC，求PA+PB的最小值，即求PA+PC的最小值。
再转化为上述题型。
PA-值最大。
引申1：此题型也可以求PB解题思路：延长AB交直线l于点Q,当点P运动到点Q，PBPA-最大值为AB.证明：三角形任意两边之差小于第三边，当A、B、P三点共线可取等于.(提示：如果两定点不在直线的同侧，可以作其中一个定点关于直线l的对称点)PA-值最小。
引申2：此题型也可以求PB解题思路：连接AB，作AB的垂直平分线角l于点P.证明：垂直平分线上的点到线段的两端距离相等，可得PA=PB二.两动点一定点型（两动点在角的两边上）如图，在∠MON 的内部有一点A ，在OM 上找一点B ，在ON 上找一点C ，使得△BAC 周长最短．解题思路：作点A 关于OM 的对称点'A ，作点A 关于ON 的对称点''A ，连接'''A A ，与OM 交于点B ， 与ON 交于点C ，连接AB ，AC ，此△ABC 周长最短．证明：两点之间，线段最短变式1：如图：在∠MON 的内部有一点A ，在OM 上找一点B ，在ON 上找一点C ，使得AB ＋BC 最短．解题思路:作点A 关于OM 的对称点'A ，过点'A 作C A '⊥ON ，交OM 于点B ，交ON 于点C,即为所求。
九年级中考数学复习课件第7单元 数学文化——将军饮马
解：(1)答案依次是：CB′，C′B′，AB′；
赢在 中考
讲 练通
第一部分 教材同步复习
第七单元 图形的变化
数学
数学文化——将军饮马
数学Βιβλιοθήκη 栏目导航【模型介绍】古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位 将军，每天都要巡查河岸一侧的两个军营 A、B，他总是先去 A 营，再到河边饮马，之 后再去 B 营，如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？
(2)答案依次是：DE， 5；
图⑤：作 B 关于 CD 的对称点 E，则 E 正好在圆周上，
连接 OA、OB、OE、AE，AE 交 CD 于 P，则 AP＋BP 最短，
︵
∵∠AOD＝60°，B 为AD 的中点，
︵︵
︵
∴AB ＝BD ，且AB 的度数是 30°，
∴∠AEB＝15°(圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半)，
大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这个问题
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如图②，作 B 关于直线 l 的对称点 B′，连接 AB′与直线 l 交于点 C，点 C 就是所 求的位置．请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答．
(1)理由：如图③，在直线 l 上任取一点 C′，连接 AC′，BC′，B′C′. ∵直线 l 是点 B，B′的对称轴，点 C，C′在 l 上． ∴CB＝________，C′B＝________ ∴AC＋CB＝AC＋CB′＝________. 在△AC′B′中，∵AB′＜AC′＋C′B′. ∴AC＋CB＜AC′＋C′B′.∴AC＋CB＜AC′＋C′B′即 AC＋CB 最小
将军饮马(最完整讲义)
第1讲将军饮马模型➢知识点睛“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。
一、定直线与两定点模型作法结论A、在直线l异侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA+最小.PBA、在直线l同侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA+最小.PBA、在直线l同侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA-最大.PBA、在直线l异侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA-最大.PBA、在直线l同侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA-最小.PB二、角到定点模型作法结论点P 在AOB ∠的内部，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得PCD ∆周长最小.点P 在AOB ∠的内部，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得MN PN +最小.点Q P 、在AOB ∠的内部，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得四边形PMNQ 周长最小.点M 在AOB ∠的外部，在射线OA 上找一点P ，使PM 与点P 到射线OB 的距离和最小.点M 在AOB ∠的内部，在射线OA 上找一点P ，使PM 与点P 到射线OB 的距离和最小.点Q P 、分别在AOB ∠的边OB OA 、是，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得MQ MN PN ++最小.二、两定点一定长模型作法结论如图在直线l 上找上两点N M 、（M 在左），使NB MN AM ++最小,且d MN =.如图，21//l l ，21l l 、之间的距离为d ，在21l l 、上分别找N M 、两点，使1l MN ⊥，且NB MN AM ++最小.如图，21//l l ，43//l l ,21l l 、之间的距离为1d ，43//l l 之间的距离为2d ，在21l l 、上分别找N M 、两点，使1l MN ⊥，在43l l 、上分别找Q P 、两点，使3l PQ ⊥且QB PQ NP MN AM ++++最小.如图，在⊙O 上找一点N ，在直线l 找一点M ,使得MN AM +最小.➢ 精讲精练例1：如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值．P OBAMN例2：如图，正方形ABCD 的边长是4，M 在DC 上，且DM =1， N 是AC 边上的一动点，则△DMN 周长的最小值．例3：如图，在Rt △ABO 中，∠OBA =90°，A （4,4），点C 在边AB 上，且AC :CB =1:3，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为( )A ．(2,2)B ．5(2，5)2C ．8(3，8)3D ．(3,3)第3题图 第4题图 第5题图例4：如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 在BC 上，BD =3，DC =1，点P 是AB 上的动点，则PC +PD 的最小值为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7例5：如图，在等边△ABC 中，AB =6， N 为AB 上一点且BN =2AN ， BC 的高线AD 交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值是___________． PDCBAA BCDMNNMDCBA例6：如图，在Rt △ABD 中，AB =6，∠BAD =30°，∠D =90°，N 为AB 上一点且BN =2AN ， M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值．例7：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6．AB =12，AD 平分∠CAB ，点F 是AC 的中点，点E 是AD 上的动点，则CE +EF 的最小值为( ) A ．3 B ．4 C ． D ．第7题图 第8题图 第9题图例8：如图，在锐角三角形ABC 中，BC =4，∠ABC =60°， BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，M 、N 分别是BD ，BC 上的动点，则CM +MN 的最小值是( ) A B ．2 C ．D ．4例9：如图，在菱形ABCD 中，AC =BD =6，E 是BC 的中点，P 、M 分别是AC 、AB 上的动点，连接PE 、PM ，则PE +PM 的最小值是( ) A ．6B ．C ．D ．4.5NMDBA E AFCDBNM DCBAEPDCBAM例10：如图，矩形ABOC 的顶点A 的坐标为（-4,5），D 是OB 的中点，E 是OC 上的一点，当△ADE 的周长最小时，点E 的坐标是( ) A ．4(0,)3B ．5(0,)3C ．(0,2)D ．10(0,)3第10题图 第11题图 第12题图例11：如图，在矩形ABCD 中，AB =6，AD =3，动点P 满足13PAB ABCD S S ∆=矩形，则点P 到A 、B 两点距离之和PA +PB 的最小值为( ) A ．B ．C ．D 例12：如图，矩形ABCD 中，AB =10，BC =5，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 各边上，且AE =CG ，BF =DH ，则四边形EFGH 周长的最小值为( )A ．B ．C ．D ．例13：如图，∠AOB =60°，点P 是∠AOB 内的定点且OP M 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是( )A B C ．6D ．3第13题图 第14题图 CBH FGEDCB AA BMOPN例14：如图，∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合，点P 是OA 上的一动点，点N （3,0）是OB 上的一定点，点M 是ON 的中点，∠AOB =30°，要使PM +PN 最小，则点P 的坐标为 ．例15：如图，已知正比例函数y =kx （k >0）的图像与x 轴相交所成的锐角为70°，定点A 的坐标为（0，4），P 为y 轴上的一个动点，M 、N 为函数y =kx （k >0）的图像上的两个动点，则AM +MP +PN 的最小值为___________．第15题图例16：如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点B 在原点，点A 、C 在坐标轴上，点D 的坐标为（6，4），E 为CD 的中点，点P 、Q 为BC 边上两个动点，且PQ =2，要使四边形APQE 的周长最小，则点P 的坐示应为______________．例17：如图，矩形ABCD 中，AD =2，AB =4，AC 为对角线，E 、F 分别为边AB 、CD 上的动点，且EF ⊥AC 于点M ，连接AF 、CE ，求AF +CE 的最小值．AB CD EFMx例18：如图，正方形ABCD 的面积是12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，求PD+PE 的最小值。
将军饮马(最完整讲义)
第1讲将军饮马模型➢知识点睛一、“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类问题, 会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合, 在近年的中考和竞赛中经常出现, 而且大多以压轴题的形式出现。
二、定直线与两定点模型作法结论当两定点在直线异侧时, 在直线上找上点, 使最小.当两定点在直线同侧时, 在直线上找上点, 使最小.当两定点在直线同侧时, 在直线上找上点, 使最大.当两定点在直线异侧时, 在直线上找上点, 使最大.当两定点在直线同侧时, 在直线上找上点, 使最小.二、角到定点模型作法结论点在的内部, 在上找一点, 在上找一点,使得周长最小.点在的内部, 在上找一点, 在上找一点,使得最小.点在的内部, 在上找一点, 在上找一点,使得四边形周长最小.点在的外部, 在射线上找一点, 使与点到射线的距离和最小.点在的内部, 在射线上找一点, 使与点到射线的距离和最小.点分别在的边是, 在上找一点, 在上找一点,使得最小.三、两定点一定长模型作法结论如图在直线上找上两点（在左）, 使最小,且.如图, , 之间的距离为, 在上分别找两点, 使, 且最小.如图, , ,之间的距离为, 之间的距离为, 在上分别找两点, 使, 在上分别找两点, 使且最小.如图, 在⊙上找一点, 在直线找一点,使得最小.➢精讲精练例1: 如图, 点P是∠AOB内任意一点, ∠AOB=30°, OP=8, 点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,则△PMN周长的最小值.例2: 如图, 正方形ABCD 的边长是4, M 在DC 上, 且DM=1, N 是AC 边上的一动点, 则△DMN 周长的最小值.A ．例3: 如图, 在Rt △ABO 中, ∠OBA=90°, A （4,4）, 点C 在边AB 上, 且AC:CB=1:3, 点D 为OB 的中点, 点P 为边OA 上的动点, 当点P 在OA 上移动时, 使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为 B. ,C ．,D ．第3题图 第4题图 第5题图例4: 如图, 在△ABC 中, AC=BC, ∠ACB=90°, 点D 在BC 上, BD=3, DC=1, 点P 是AB 上的动点, 则PC+PD 的最小值为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7例5：如图, 在等边△ABC 中, AB=6, N 为AB 上一点且BN=2AN, BC 的高线AD 交BC 于点D, M 是AD 上的动点, 连结BM, MN, 则BM+MN 的最小值是___________．A BCDMN例6: 如图, 在Rt △ABD 中, AB=6, ∠BAD=30°, ∠D=90°, N 为AB 上一点且BN=2AN, M 是AD 上的动点, 连结BM, MN, 则BM+MN 的最小值.例7: 如图, 在Rt △ABC 中, ∠ACB=90°, AC=6. AB=12, AD 平分∠CAB, 点F 是AC 的中点, 点E 是AD 上的动点, 则CE+EF 的最小值为 A. 3 B. 4 C.D.第7题图 第8题图 第9题图A ．例8: 如图, 在锐角三角形ABC 中, BC=4, ∠ABC=60°, BD 平分∠ABC, 交AC 于点D, M 、N 分别是BD, BC 上的动点, 则CM+MN 的最小值是B. 2C.D. 4例9: 如图, 在菱形ABCD 中, AC=, BD=6, E 是BC 的中点, P 、M 分别是AC.AB 上的动点, 连接PE 、PM, 则PE+PM 的最小值是A. 6B.C.D. 4.5E AFCDBNM DCBAEPDCBAMA ．例10: 如图, 矩形ABOC 的顶点A 的坐标为（-4,5）, D 是OB 的中点, E 是OC 上的一点, 当△ADE 的周长最小时, 点E 的坐标是B. C. D.第10题图 第11题图 第12题图例11: 如图, 在矩形ABCD 中, AB=6, AD=3, 动点P 满足, 则点P 到A.B 两点距离之和PA+PB 的最小值为A. B. C. D.例12: 如图, 矩形ABCD 中, AB=10, BC=5, 点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 各边上, 且AE=CG, BF=DH, 则四边形EFGH 周长的最小值为A. B. C. D.例13: 如图, ∠AOB=60°, 点P 是∠AOB 内的定点且OP=, 若点M 、N 分别是射线OA.OB 上异于点O 的动点, 则△PMN 周长的最小值是A. B. C. 6 D. 3第13题图 第14题图CBH FGEDCB AABMOPN例14: 如图, ∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合, 点P 是OA 上的一动点, 点N （3,0）是OB 上的一定点, 点M 是ON 的中点, ∠AOB=30°, 要使PM+PN 最小, 则点P 的坐标为 .例15：如图, 已知正比例函数y=kx （k>0）的图像与x 轴相交所成的锐角为70°, 定点A 的坐标为（0, 4）, P 为y 轴上的一个动点, M 、N 为函数y=kx （k>0）的图像上的两个动点, 则AM+MP+PN 的最小值为___________．第15题图例16: 如图, 在平面直角坐标系中, 矩形ABCD 的顶点B 在原点, 点A.C 在坐标轴上, 点D 的坐标为（6, 4）, E 为CD 的中点, 点P 、Q 为BC 边上两个动点, 且PQ=2, 要使四边形APQE 的周长最小, 则点P 的坐示应为______________.例17：如图, 矩形ABCD 中, AD=2, AB=4, AC 为对角线, E 、F 分别为边AB 、CD 上的动点, 且EF ⊥AC 于点M,连接AF 、CE, 求AF+CE 的最小值．x例18: 如图, 正方形ABCD的面积是12, △ABE是等边三角形, 点E在正方形ABCD内, 在对角线AC上有一点P, 求PD+PE的最小值。
将军饮马问题课件
将军饮马问题类型一、基本模式类型二、轴对称变换得应用(将军饮马问题)２、如图所示,如果将军从马棚M出发,先赶到河ＯＡ上得某一位置Ｐ,再马上赶到河OB上得某一位置Q,然后立即返回校场N.请为将军重新设计一条路线(即选择点P与Q),使得总路程MP+PQ+QN最短.【变式】如图所示,将军希望从马棚M出发,先赶到河ＯA上得某一位置P,再马上赶到河OB 上得某一位置Q。
请为将军设计一条路线(即选择点Ｐ与Q),使得总路程MＰ＋PＱ最短.３、将军要检阅一队士兵,要求(如图所示):队伍长为a,沿河ＯB排开(从点Ｐ到点Ｑ);将军从马棚M出发到达队头P,从P至Ｑ检阅队伍后再赶到校场N、请问:在什么位置列队(即选择点P与Q),可以使得将军走得总路程MP+PQ+ＱN最短？4。
如图,点Ｍ在锐角∠AOB内部,在OB边上求作一点P,使点P到点M得距离与点P到OA 边得距离之与最小5已知∠MON内有一点P,P关于OM,ON得对称点分别就是与,分别交OＭ, ＯＮ于点Ａ、B,已知=１5,则△ＰAB 得周长为( )ﻫＡ。
15 B 7、5 C。
10 D. ２4ﻫ6、已知∠AOB,试在∠AOB内确定一点P,如图,使P到OA、OB得距离相等,并且到M、N两点得距离也相等、7、已知∠MON=４０°,P为∠ＭON内一定点,OＭ上有一点A,OＮ上有一点B,当△ＰＡB得周长取最小值时,求∠ＡPB得度数、8、如图,在四边形ＡBCＤ中,∠A=９０°,ＡD＝4,连接ＢＤ,BD⊥ＣD,∠AＤＢ=∠C、若Ｐ就是BＣ边上一动点,则DP长得最小值为_＿__＿_.ﻫ练习1、已知点在直线外,点为直线上得一个动点,探究就是否存在一个定点,当点在直线上运动时,点与、两点得距离总相等,如果存在,请作出定点;若不存在,请说明理由、2、如图,在公路得同旁有两个仓库、,现需要建一货物中转站,要求到、两仓库得距离与最短,这个中转站应建在公路旁得哪个位置比较合理？３、已知:、两点在直线得同侧, 在上求作一点,使得最小。
2.将军饮马模型-课件PPT
3
给妹妹讲初中数学
5 真题训练
2023·黑龙江省齐齐哈尔市
4
给妹妹讲初中数学
5 真题训练
2023·黑龙江省绥化市
5
给妹妹讲初中数学
5 真题训练
2023·广西
给妹妹讲初中数学 6
5 真题训练
2023·四川宜宾
给妹妹讲初中数学 7
5 真题训练
2023·湖南省邵阳市
8
给妹妹讲初中数学
5 真题训练
（2个动点不关联，转化为图形到图形的最值问题）
1个图形做对称图形，与另1个图形的最值。
点到点
图形到图形 直线到直线，垂直 直线到圆，过圆心 圆到圆，过两圆圆心
给妹妹讲初中数学 示例图
4 解题技巧
第五步：求最值。
解题技巧
找到图形中的最短值后，根据题意求解值即可。
给妹妹讲初中数学
4 解题技巧
解题技巧
2 模型探究
给妹妹讲初中数学
4 解题技巧
给妹妹讲初中数学
4 解题技巧
给妹妹讲初中数学
4 解题技巧
（2019，陕西）
给妹妹讲初中数学
4 解题技巧
给妹妹讲初中数学
4 解题技巧
给妹妹讲初中数学
4 解题技巧
（2020，云南）
给妹妹讲初中数学
4 解题技巧
（2019，沈阳）
给妹妹讲初中数学
4 解题技巧
1. 找出最值经过的所有点，标记定点和动点。
2. 画出所有动点的运动轨迹。
3. 判断最值的两个端点是动点还是定点。
4. 根据端点情况，做对称点/对称图形。
5. 求最值。
找动点 画轨迹 判两端 做对称 求最值
给妹妹讲初中数学
将军饮马专题ppt课件
第8题图
返回
1 综合训练
1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E为AB的中点，M、N是CD上的两 动点，且MN＝1，则EM＋EN的最小值为____。
1 综合训练
2. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个 动点，则下列线段的长等于AP＋EP最小值的是 ____。
之
间
，
线
段
最
短
2
用模型战试题
每一个试题都是模型，每一种模型都有方法
综合训练
针对训练1
2
1. 如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AB 边上一点，且AE＝2，则线段EF＋CF的最小值为( B ) A. 3 B. 2 3 C. 2 D. 2
第1题图
返回
2 针对训练2
两动一定型 2
例7
在∠MON的内部 有一点A，在OM上找 一点B，在ON上找一 点C，使得△BAC周长
最短．
在 OM上找一点C，在 ON上找一点D，使 得四边形ABCD周 长最短．
例9
在∠MON的内部 有一点A，在OM上 找一点B，在ON上 找一点C，使得AB ＋BC最短．
【传说】
早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学 和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程 去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．
将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去 河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短 ？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决 了它．
从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至 今．
A. 3 B. 2 3 C. 3 1 D. 3 2
初中数学-将军饮马问题-公开课课件课件全文
抽象： 如图，在直线MN上找一点P, 使得PA+PB最小？
A
M
B
P
N
思考:在前面研究几何问题的过程中，你是否遇到过与此 相类似求线段的距离最短或者线段和最小的问题？ 请举例说明.
垂线段最短 m
思考:在前面研究几何问题的过程中，你是否遇到过与此 相类似求线段的距离最短或者线段和最小的问题的 问题？请举例说明.
使AC+CD+BD+AB最短。
问题特征： 两线两定两动
解决方法：依据两点之间，线段最短,通过两次轴对称, 将三条折线段化为一条直线段.
8/25/ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ024
联系中考
(2019中考) 如图，∠AOB=30°,角内有一点P，PO=10cm， 两边上各有一点Q、R（均不同于点O），则 △PQR的周长的最小值是＿＿
Q A
P
O
B
R
如图所示，直线MN表示一条铁路，铁路两旁各有一 点A和B，表示两个工厂．要在铁路上建一货站，使
´
它到两厂距离之和最短，这个货站应建在何处？
P´ P
方法:在解决选择位置、求最短距离等问题时，通常 转化为“两点之间线段最短”
问题:如图,另一位将军也骑马从城堡A到城堡B，途中马 也要到小溪边饮水一次.问这位将军怎样走路程最短？
M
P
连接AP, 则PA´=PA，
A´
则PA+ PB= PA ´+ PB= A´B
在直线MN上任意取一点P´ 连接AP´,BP´,A´P´,
则AP´=A´P´，则AP´+BP´= A´P´+ BP´
△BA´P´中，A ´B < BP´+A´P´，
中考复习专题：中考中“将军饮马”问题的常见模型及典型例题 优质课件
A B′
CO
Px
B
中考复习专题：中考中“将军饮马” 问题的 常见模 型及典 型例题 优质课件
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数学活动室
1.如图，正方形ABCD中，AB=8,AC与BD交于点O，N是AO的中
点,点M在BC边上,且BM=6.P为对角线BD上一动点，求|PM-PN|
B A
图1
C
图2
D
中考复习专题：中考中“将军饮马” 问题的 常见模 型及典 型例题 优质课件
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小小设计家
1.如图所示,钱塘江的一侧有A，B两个工厂。现要在江边建造一 个水厂C，把水送到这两个工厂，要使供水管路线最短。这样可
以节省成本。
中考复习专题：中考中“将军饮马” 问题的 常见模 型及典 型例题 优质课件
梳理体系
"将军饮马问题”的模型
【将军饮马问题模型6】异侧两点差的最大值问题
A B′ l P B
|PA-PB|最大问题
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梳理体系
"将军饮马问题”的模型
【将军饮马问题模型5】同侧两点差的最值问题
A
B l
P （1）
|PA-PB|最大问题
A
B
P
l
（2）
|PA-PB|最小问题
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中考必会几何模型：将军饮马模型
将军饮马模型“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现． 模型1：直线与两定点模型作法结论lB A当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P ，使P A ＋PB 最小．lPAB连接AB 交直线l 于点P ，点P即为所求作的点．P A ＋PB 的最小值为ABl AB当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得P A ＋PB 最小．lPB'AB作点B 关于直线l 的对称点B '， 连接AB '交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．P A ＋PB 的最小值为AB 'l AB当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最大．lPAB连接AB 并延长交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．PA PB -的最大值为ABlAB当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最大．l B'AB P作点B 关于直线I 的对称点B '，连接AB '并延长交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．PA PB -的最大值为AB 'l AB当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最小．l PAB连接AB ，作AB 的垂直平分线交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．PA PB -的最小值为0模型实例例1：如图，正方形ABCD 的面积是12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，则PD ＋PE 最小值是 ．EBC ADP解答：如图所示，∵点B 与点D 关于AC 对称，∴当点P 为BE 与AC 的交点时，PD ＋PE 最小，且线段BE 的长． ∵正方形ABCD 的面积为12，∴其边长为23∵△ABE 为等边三角形，∴BE ＝AB ＝23PD ＋PE 的最小值为3例2：如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，∠BCD ＝15°，P 为CD 上的动点，则PA PB -的最大值是多少？DPPA'B解答：如图所示，作点A 关于CD 的对称点A ′，连接A ′C ，连接A ′B 并延长交CD 于点P ，则点P 就是PA PB -的值最大时的点，PA PB -＝A ′B ．∵△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC 等于4，∴∠ACB ＝90°． ∵∠BCD ＝15°，∴∠ACD ＝75°．∵点A 、A ′关于CD 对称，∴AA ′⊥CD ，AC ＝CA ′， ∵∠ACD ＝∠DCA ′＝75°，∴∠BCA ′＝60°．∵CA ′＝AC ＝BC ＝4，∴△A ′BC 是等边三角形，∴A ′B ＝BC ＝4．∴PA PB -的最大值为4． 练习1．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC ＋ED 的最小值是 ．DACB E解：解：过点C 作CO⊥AB 于O ，延长CO 到C '，使O C '=OC ，连接D C '，交AB 于E ，连接C 'B ，此时DE+CE=DE+E C '=D C '的值最小．连接B C '，由对称性可知∠C 'BE=∠CBE=45°，∴∠CB C '=90°，∴B C '⊥BC， ∠BC C '=∠B C 'C=45°，∴BC=B C '=2，∵D 是BC 边的中点，∴BD=1， 根据勾股定理可得：D C '=5，故EC+ED 的最小值是5．2．如图，点C 的坐标为（3，y ），当△ABC 的周长最短时，求y 的值．xyB (2,0)A (0,3)O解：解：（1）作A 关于x=3的对称点A ′，连接A ′B 交直线x=3与点C ． ∵点A 与点A ′关于x=3对称，∴AC=A ′C ．∴AC+BC=A ′C+BC ．当点B 、C 、A ′在同一条直线上时，A ′C+BC 有最小值，即△ABC 的周长有最小值． ∵点A 与点A ′关于x=3对称，∴点A ′的坐标为（6，3）．设直线BA′的解析式y=kx+b，将点B和点A′的坐标代入得：k＝34，b＝−32．∴y=34x-32．将x=3代入函数的解析式，∴y的值为3 43．如图，正方形ABCD中，AB＝7，M是DC上的一点，且DM＝3，N是AC上的一动点，求|DN－MN|的最小值与最大值．C解：解：当ND=NM时，即N点DM的垂直平分线与AC的交点，|DN-MN|=0，因为|DN-MN|≤DM，当点N运动到C点时取等号，此时|DN-MN|=DM=3，所以|DN-MN|的最小值为0，最大值为3于D ，点C 、点D 即为所求．PB OAQ点P 、Q 在∠AOB 内部，在OB 边上找点D ，OA 边上找点C ，使得四边形PQDC周长最小．分别作点P 、Q 关于OA 、OB 的对称点P ′、Q ′，连接P ′Q ′，分别交OA 、OB 于点C 、D ，点C 、D 即为所求．PC ＋CD ＋DQ 的最小值为P ′Q ′，所以四边形PQDC 周长的最小值为PQ ＋P ′Q ′模型实例如图，∠AOB=30°，∠AOB 内有一定点P ，且10OP .在OA 上有一点Q ，OB 上 一点R ．若立△PQR 周长最小，则最小周长是多少？解答如图，作点P 分别关于OA 、OB 的对称点E 、F ，连接EF ，分别交OA 、OB 于点Q 、R ，连接OE 、OF 、PE 、PF .EQ OP =，FR RP ．△PQR 的周长的最小值为EF 的长.由对称性可得∠EOQ=∠POQ ，∠FOR=∠POR ， ∠EOF=2∠AOB=60°． △EOF 是正三角形．10EF OE OP ===．即△PQR 周长最小值为10.OBAP模型2/角与定点1．已知，40MON ，P 为MON 内一定点，A 为OM 上的点，B 为ON 上的点， 当△PAB 的周长取最小值时：(1)找到A 、B 点，保留作图痕迹；(2)求此时APB 等于多少度.如果∠MON =θ，∠APB 又等于多少度？ON1.解答（1）做点P 分别关于OM ON 、的对称点E F 、，连接EF 分别交OM ON 、于点A B 、．点A B 、即为所求，此时△PAB 的周长最小．（２）∵点E 与点P 关于直线OM 对称，点F 与点P 关于ON 对称， ∴∠E ＝∠APE ，∠F =∠BPF ，∠CPD =180°-∠MON =140°． ∴在△EFP 中，∠E +∠F =180°-140°=40°，∴∠CPA +∠BPD =40°．∴∠APB =100°．如果∠MON =θ， ∴∠CPD =180°-θ，∠E +∠F =θ． 又∵∠PAB =2∠E ，∠PBA =2∠F∴∠PAB +∠PBA =2（∠E +∠F ）=2θ ∴∠APB =180°-2θ．ON2．如图，四边形中ABCD ，110BAD ,90BD ，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小，并求此时+AMN ANM ∠∠的度数．A DBMN2．解答如图，作点A关于BC的对称点A'，关于CD的对称点A''，连接A A'''与BC、CD的交点即为所求的点M、N．此时△AMN周长最小．∵∠BAD=110°，∴∠A'+∠A''=180°-110°=70°．由轴对称的性质得：∠A'=∠A AM'，∠A''=∠A AN''，∴∠AMN+∠ANM=2(∠A'+∠A'')=2×70°=140°．3．如图，在x轴上找一点C，在y轴上找一点D，使AD CD BC最小，并求直线CD的解析式及点C、D的坐标．yxOB(3,1)A(1,3)3．解答作点A关于y轴的对称点A'，点B关于x轴的对称点B'，连接A B''分别交x轴、y轴于点C、D，此时AD CD BC++最小．由对称性可知A'（-1,3），B'（3，-1）．易求得直线A B''的解析式为2y x=-+，即直线CD的解析式2y x=-+．当0y=时，2x=，∴点C坐标为（2,0）．当0x=时，2y=，∴点D坐标为（0,2）．4．如图，20MON，A 、B 占分别为射线OM 、ON 上两定点，且2OA ，4OB ，点P 、Q 分别为射线OM 、ON 上两动点，当P 、Q 运动时，线段AQ PQ PB 的最小值是多少？ONB4．解答作A 点关于ON 的对称点A '，点B 关于OM 的对称点B '，连接A B ''，分别交OM ON 、于点P Q 、，连接OA '、OB '．则AQ PQ PB A Q PQ PB A B ''''++=++=，此时AQ PQ PB ++最小． 由对称可知，PB PB '=，AQ A Q '=，2OA OA '==，4OB OB '==，20MOB NOA MON ''∠=∠=∠=︒． 60A OB ''∠=︒．作A D '⊥OB '于点D ， 在Rt △ODA'中，∴1OD =，A D '=∴413B D '=-=，A B ''=∴AQ PQ PB ++的最小值是模型3两定点一定长模型作法结论如图，在直线l 上找M 、N 两点 (M 在左)，使得AM ＋MN ＋NB 最 小，且MN ＝d .将A 向右平移d 个单位到A ′，作A ′关于l 的对称点A "，连接A "B 与直线l 交于点N ，将点N 向左平移d 个单位即为M ，点M ，N 即为所求.AM ＋MN ＋NB 的最小值为A "B ＋d如图，l 1∥l 2，l 1、l 2间距离为d ， 在l 1、l 2分别找M 、N 两点，使 得MN ⊥l 1，且AM ＋MN ＋NB 最小．将A 向下平移d 个单位到A ，连接A ′B 交直线l 2于点N ，过点N 作MN ⊥l 1，连接AM .点M 、N 即为所求．AM ＋MN ＋NB 的最小值为A 'B ＋d .例题：在平面直角坐标系中，矩形OABC 如图所示，点A 在x 轴正半轴上，点C 在y 轴正半轴上，且OA ＝6，OC ＝4，D 为OC 中点，点E 、F 在线段OA 上，点E 在点F 左侧，EF ＝2.当四边形BDEF 的周长最小时，求点E 的坐标．ABl 2 l 1 A ′NMABl 2 l 1 BAlMNA ′A "BAld解答：如图，将点D 向右平移2个单位得到D '(2，2)，作D '关于x 轴的对称点D "(2，－2)，连接BD "交x 轴于点F ，将点F 向左平移2个单位到点E ，此时点E 和点F 为所求作的点，且四边形BDEF 周长最小. 理由：∵四边形BDEF 的周长为BD ＋DE ＋EF ＋BF ，BD 与EF 是定值. ∴BF ＋DE 最小时，四边形BDEF 周长最小， ∵BF ＋ED ＝BF ＋FD '＝BF ＋FD "＝BD "设直线BD "的解析式为y ＝kx ＋b ，把B (6，4)，D "(2，－2)代入，得6k ＋b ＝4，2k ＋b ＝－2，解得k ＝32，b ＝－5，∴直线BD "的解析式为y ＝32x －5．令y ＝0，得x ＝103，∴点F 坐标为(103，0)．∴点E 坐标为(43，0)．练习1．在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A (3，0)，B (0，4)，D 为边OB 的中点． (1)若E 为边OA 上的一个动点，求△CDE 的周长最小值；(2)若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF ＝1，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标．解答：(1)如图，作点D 关于x 轴的对称点D '，连接CD '与x 轴交于点E ，连接DE ，由模型可知△CDE 的周长最小．∵在矩形OACB 中，OA ＝3，OB ＝4，D 为OB 的中点， ∴D (0，2)，C (3，4)，D '(0，－2).设直线CD '为y ＝kx ＋b ，把C (3，4)，D '(0，－2)代入， 得3k ＋b ＝4，b ＝－2，解得k ＝2，b ＝－2， ∴直线CD '为y ＝2x －2. 令y ＝0，得x ＝1，学如逆水行舟,不进则退 11 ∴点E 的坐标为(1，0).∴OE ＝1，AE ＝2.利用勾股定理得CD ＝13，DE ＝5，CE ＝25，∴△CDE 周长的最小值为13＋35．(2)如图，将点D 向右平移1个单位得到D '(1，2)，作D '关于x 轴的对称点D ″(1，－2)，连接CD ″交x 轴于点F ，将点F 向左平移1个单位到点E ，此时点E 和点F 为所求作的点，且四边形CDEF 周长最小．理由：∵四边形CDEF 的周长为CD ＋DE ＋EF ＋CF ，CD 与EF 是定值，∴DE ＋CF 最小时，四边形BDEF 周长最小，∴DE ＋CF ＝D 'F ＋CF ＝FD ″＋CF ＝CD ″， 设直线CD ″的解析式为y ＝kx ＋b ，把C (3，4)，D (1，－2)代入，得3k ＋b ＝4，k ＋b ＝－2，解得k ＝3，b ＝－5．∴直线CD ″的解析式为y ＝3x －5，令y ＝0，得x ＝53，∴点F 坐标为(53，0)，∴点E 坐标为(23，0)．2．村庄A 和村庄B 位于一条小河的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，桥址应如何选择，才使A 与B 之间的距离最短？解答：设l 1和l 2为河岸，作BD ⊥l 2，取BB '等于河宽，连接AB '交l 1于C 1，作C 1C 2⊥l 2于C 2， 则A →C 1→C 2→B 为最短路线，即A 与B 之间的距离最短.为大家整理的资料供大家学习参考，希望对大家能有帮助，非常感谢大家的下载，以后会为大家提供更多实用的资料。
中考复习专题：中考中“将军饮马”问题的常见模型及典型例题 课件(共38张PPT)
（2）点P、Q分别是x轴、y轴上的动点,当四边形PABQ的周长取最小值时.
①求直线PQ的解析式；②求四边形PABQ周长的最小值。
y
y
B．
A
Q
PO
x
B ． B′
A
Q
PO
x
A′
中考复习专题：中考中“将军饮马” 问题的 常见模 型及典 型例题 课件(共38张PPT)
中考复习专题：中考中“将军饮马” 问题的 常见模 型及典 型例题 课件(共38张PPT)
典例探究
例7
如图，已知点A（
1 2
，y1），B（2，y2）为反比例函数
y
1 的图 x
象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当AP-BP最大时，点
P的坐标是（ D ）
A、（ 1 ，0） B、（ 1 ，0） 2
C、（ 3 ，0） 2
D、（ 5 ，0） 2
y
A
y x 5 2
B
O
P
P
x
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梳理体系
【将军饮马问题模型5】同侧两点差的最值问题
A
B l
P （1）
|PA-PB|最大问题
A
B
P
l
（2）
|PA-PB|最小问题
中考复习专题：中考中“将军饮马” 问题的 常见模 型及典 型例题 课件(共38张PPT)
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y A
D E OC B x
y
A
C
D
E
C′O C
将军饮马课件
几何最值问题的解决 ——将军饮马
P'N为PM+MN最小值（依据：垂线段最短）
秒杀技巧
对 称一定点，垂 直出最短
模型巧记
将军饮马问题难， 两定一动一直线。 对称转化是关键， 勾股定理帮忙算。
转化思想
模型梳理
B A
A'
对 称一定点 连 接出最短
模型特征： 两个定点，一个动点在一条直线上， 且两个定点在直线的同侧
（简记为：两定一动）
解题步骤：
1.以动点所在直线为对称轴，作一个 定点关于直线的对称点。
2.连接对称点和另一个定点。
则连线即为线段之和的最小值，连线 与动点所在直线的交点即为取得最值 时动点的位置。
x=3
（0,4）
P
4
四边形APCO的周长 =CO+OA+AP+PC =5+AP+PC
四边形APCO周长最小值 =5+BC
1
（1,0）
（5,0）
模型拓展 将军饮马模型系列 ——“一定两动”之点到点
在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小。 NhomakorabeaP'
思路：此处M、N均为动点，分别作点P关于OAP（'' 动点M所在 直线）、OB（动点N所在直线）的对称点，化折线段 PM+MN+NP为P'M+MN+NP''，当P'、M、N、P''共线时， △PMN周长最小。
中考复习专题：中考中“将军饮马”问题的常见模型及典型例题 课件
使得△PBC的周长最小，如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请
说明理由。
y
C
P
A
B
O
x
【技巧】此类问题有一个动点在一条直线上运动，在直线的一侧有两个 定点，先找出其中一个定点关于这条直线的对称点，然后连接这个对称 点和另一个定点，与已知直线有个交点，这个交点就是使得这个动点到 两个定点距离之和最小的点。
y A
D E OC B x
y
A
C
D
E
C′O C
B
x
数学活动室
1.一次函数 y kx b 的图象与x、y轴分别交于点A（2，0）、B
（0，4）.
学 （1）求该函数的解析式；
（2）O为坐标原点，设OA的中点为C，D、P分别为AB、OB上一
以 动点，求△PCD的最小值，并求取得最小值时P点坐标。
y
致
B
用
D P
O CA
x
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梳理体系
【将军饮马问题模型4】双动点双对称（四边形周长的最小值问题）
P1
M
a
A
B b
N
P2
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数学活动室
1.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线 y x 4 与x轴交于点A，过点A的抛物线 y ax2 bx与直线 y x 4 交于
另一点B，且点B的横坐标为1．
几何模型-将军饮马模型(将军饮马、将军遛马、造桥选址等)-中考数学第二轮总复习课件(全国通用)
是OC上的一点,当△ADE的周长最小时,点E的坐标是( B )
A.(0，4 ) B.(0，5 ) C.(0,2) D.(0，10 )
3
3
3
河边
y
A
C
E E
B
DO
D´ x
针对训练
将军饮马---两定一动
知识点二
如图:已知⊙O的直径CD为2,︵AC的度数为60º,点B是A︵C的中点,在直
径CD上作出点P,使BP＋AP的值最小,则BP＋AP的最小值为__2___
A
B CP
B＇
D O 河边
知识点
01 线段之差最短(长)
02
将军饮马
03
将军遛马
04
造桥选址
05
垂线段最短
情境导入
将军遛马---两定两动
知识点三
【引例1】如图,A,B均为驻地,将军某 B´
一天要从驻地A出马,先到草地边某处 M 牧马,再到河边饮马,然后回到驻地B,
这位怎样走路程最短？
图形特征：两定两动； 适用模型：将军遛马(台球两次碰壁)； 基本策略：同侧化异侧、折线化直线； 基本方法：N个动点N条河,N次对称跑不脱； 基本原理：两点之间线段最短； 解题关键：根据结论抓点、线.
D 河流 N
草地
C
A´
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以节省成本。
学 （1）请你设计一下水厂应该建造在哪里？
以 （2）若AE=0.5千米，BD=1.5千米，且DE=3千米。求水厂C距离
D处有多远?
B
致
A
用
E.
C
.D
F
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梳理体系
【将军饮马问题模型3】双动点双对称（三角形周长的最小值问题）
P1 a
M P
N b
P2
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典例探究
例 5 如图，已知点C（1，0）,直线 y x 7与两坐标轴分别交于A、B
两点，D、E分别是AB、OA上的动点。当△CDE的周长最小值时，求： （1）点D、E的坐标； （2）△CDE的周长的最小值是多少？
（3）通过以上解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你尝试解决
下面问题：若 y x2 1
求出这个最小值。
B．
A．
9 x2 4 ，当x为何值时，y的值最小，并
B A
图1
C
图2
D
小小设计家
1.如图所示,钱塘江的一侧有A，B两个工厂。现要在江边建造一 个水厂C，把水送到这两个工厂，要使供水管路线最短。这样可
数学活动室
1.如图,正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在
正方形ABCD内部，在对角线AC上有一点P，使得PD+PE最小，
学
则这个最小值为（ B ）
A、3
B、2 3
C、2 6
D、 6
以
B
C
典例探究
例 3 阅读并解答下列问题：
（1）如图1所示,直线l 的两侧有A、B两点，在l上求作一点P，使AP+BP
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的值最小。（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写画法和证明）
（2）如图2,A、B两个化工厂位于一段直线形河堤的同侧，A工厂至河堤
的距离AC为1千米，B工厂到河堤的距离BD为2千米,经测量河堤上C、D
两地间的距离为6千米.现准备在河堤边修建一个污水处理厂,为使A、B
两厂到污水处理厂的排污管道最短,污水处理厂应建在距C地多远的地方？
聪明的你,能解决诗中提出的问题：“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”
情境激疑
【问题】如图，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走 到河边饮马后再到B点宿营。请问怎样走才能使总的路程最短？
A
九年级（下）
华东师大版中考第一轮综合复习
梳理体系
【将军饮马问题模型1】异侧两点问题 A P B
梳理体系
？ 分别为BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，求PM+PN的最小值。
学以致用
例 2 在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1，P在BD上，求PE和
PC的长度之和最小值。
A
D
A F＇ D
P P
PP
F
B
EC
BEM
C
【变式】如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F 为AB上的一点，AF=2，P为AC上一个动点，求PF+PE的最小值。
数学活动室
1.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线 y x 4 与x轴交于点A，过点A的抛物线 y ax2 bx与直线 y x 4 交于
另一点B，且点B的横坐标为1．
学 （1）求抛物线的解析式；
以
（2）若P是抛物线对称轴上一动点，当PB+PO最小时,求出点P的 坐标及PB+PO的最小值。
【将军饮马问题模型2】同侧两点问题 A B
P B′
学以致用
例 1 如图，在菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，点E是AB的中点，
点P是对角线AC上的动点，连结PB，PE，请你求PE+PB的最小值。
D
C
P
P
D
C
M'
PP N
AEB
A MB
【变式】如图，已知菱形ABCD两条对角线的长度分别为6和8，M、N
典例探究
例 4 如图所示，抛物线 y 1 x2 3 x 2和直线 y 1 x 2 相交于A、C
22
2
两点，抛物线与x轴的另一个交点为B，在抛物线的对称轴上是否存在点P,
使得△PBC的周长最小，如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请
说明理由。
y
C
P
A
B
O
x
【技巧】此类问题有一个动点在一条直线上运动，在直线的一侧有两个 定点，先找出其中一个定点关于这条直线的对称点，然后连接这个对称 点和另一个定点，与已知直线有个交点，这个交点就是使得这个动点到 两个定点距离之和最小的点。
数学源泉
【线段公理】两点之间，线段最短。
A
B
数学源泉
【垂线段的性质】 从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段 最短。
P
l D
情境激疑
白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。 行人刁斗风沙暗，公主琵琶幽怨多。 野营万里无城郭，雨雪纷纷连大漠。 胡雁哀鸣夜夜飞，胡儿眼泪双双落。 闻道玉门犹被遮，应将性命逐轻车。 年年战骨埋荒外，空见葡萄入汉家。
致
y
用
B
O
Ax
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