中考复习专题：中考中“将军饮马”问题的常见模型及典型例题课件(共38张PPT)
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聪明的你,能解决诗中提出的问题：“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”
情境激疑
【问题】如图，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走 到河边饮马后再到B点宿营。请问怎样走才能使总的路程最短？
A
九年级（下）
华东师大版中考第一轮综合复习
梳理体系
【将军饮马问题模型1】异侧两点问题 A P B
梳理体系
以节省成本。
学 （1）请你设计一下水厂应该建造在哪里？
以 （2）若AE=0.5千米，BD=1.5千米，且DE=3千米。求水厂C距离
D处有多远?
B
致
A
用
E.
C
.D
F
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【将军饮马问题模型2】同侧两点问题 A B
P B′
学以致用
例 1 如图，在菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，点E是AB的中点，
点P是对角线AC上的动点，连结PB，PE，请你求PE+PB的最小值。
D
C
P
P
D
C
M'
PP N
AEB
A MB
【变式】如图，已知菱形ABCD两条对角线的长度分别为6和8，M、N
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典例探究
例 5 如图，已知点C（1，0）,直线 y x 7与两坐标轴分别交于A、B
两点，D、E分别是AB、OA上的动点。当△CDE的周长最小值时，求： （1）点D、E的坐标； （2）△CDE的周长的最小值是多少？
的值最小。（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写画法和证明）
（2）如图2,A、B两个化工厂位于一段直线形河堤的同侧，A工厂至河堤
的距离AC为1千米，B工厂到河堤的距离BD为2千米,经测量河堤上C、D
两地间的距离为6千米.现准备在河堤边修建一个污水处理厂,为使A、B
两厂到污水处理厂的排污管道最短,污水处理厂应建在距C地多远的地方？
数学活动室
1.如图,正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在
正方形ABCD内部，在对角线AC上有一点P，使得PD+PE最小，
学
则这个最小值为（ B ）
A、3
B、2 3
C、2 6
D、 6
以
A
D
致
P
E
用
B
C
Baidu Nhomakorabea
典例探究
例 3 阅读并解答下列问题：
（1）如图1所示,直线l 的两侧有A、B两点，在l上求作一点P，使AP+BP
数学活动室
1.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线 y x 4 与x轴交于点A，过点A的抛物线 y ax2 bx与直线 y x 4 交于
另一点B，且点B的横坐标为1．
学 （1）求抛物线的解析式；
以
（2）若P是抛物线对称轴上一动点，当PB+PO最小时,求出点P的 坐标及PB+PO的最小值。
致
y
用
B
O
Ax
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数学源泉
【线段公理】两点之间，线段最短。
A
B
数学源泉
【垂线段的性质】 从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段 最短。
P
l D
情境激疑
白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。 行人刁斗风沙暗，公主琵琶幽怨多。 野营万里无城郭，雨雪纷纷连大漠。 胡雁哀鸣夜夜飞，胡儿眼泪双双落。 闻道玉门犹被遮，应将性命逐轻车。 年年战骨埋荒外，空见葡萄入汉家。
梳理体系
【将军饮马问题模型3】双动点双对称（三角形周长的最小值问题）
P1 a
M P
N b
P2
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典例探究
例 4 如图所示，抛物线 y 1 x2 3 x 2和直线 y 1 x 2 相交于A、C
22
2
两点，抛物线与x轴的另一个交点为B，在抛物线的对称轴上是否存在点P,
使得△PBC的周长最小，如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请
说明理由。
y
C
P
A
B
O
x
【技巧】此类问题有一个动点在一条直线上运动，在直线的一侧有两个 定点，先找出其中一个定点关于这条直线的对称点，然后连接这个对称 点和另一个定点，与已知直线有个交点，这个交点就是使得这个动点到 两个定点距离之和最小的点。
？ 分别为BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，求PM+PN的最小值。
学以致用
例 2 在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1，P在BD上，求PE和
PC的长度之和最小值。
A
D
A F＇ D
P P
PP
F
B
EC
BEM
C
【变式】如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F 为AB上的一点，AF=2，P为AC上一个动点，求PF+PE的最小值。
（3）通过以上解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你尝试解决
下面问题：若 y x2 1
求出这个最小值。
B．
A．
9 x2 4 ，当x为何值时，y的值最小，并
B A
图1
C
图2
D
小小设计家
1.如图所示,钱塘江的一侧有A，B两个工厂。现要在江边建造一 个水厂C，把水送到这两个工厂，要使供水管路线最短。这样可
情境激疑
【问题】如图，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走 到河边饮马后再到B点宿营。请问怎样走才能使总的路程最短？
A
九年级（下）
华东师大版中考第一轮综合复习
梳理体系
【将军饮马问题模型1】异侧两点问题 A P B
梳理体系
以节省成本。
学 （1）请你设计一下水厂应该建造在哪里？
以 （2）若AE=0.5千米，BD=1.5千米，且DE=3千米。求水厂C距离
D处有多远?
B
致
A
用
E.
C
.D
F
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【将军饮马问题模型2】同侧两点问题 A B
P B′
学以致用
例 1 如图，在菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，点E是AB的中点，
点P是对角线AC上的动点，连结PB，PE，请你求PE+PB的最小值。
D
C
P
P
D
C
M'
PP N
AEB
A MB
【变式】如图，已知菱形ABCD两条对角线的长度分别为6和8，M、N
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典例探究
例 5 如图，已知点C（1，0）,直线 y x 7与两坐标轴分别交于A、B
两点，D、E分别是AB、OA上的动点。当△CDE的周长最小值时，求： （1）点D、E的坐标； （2）△CDE的周长的最小值是多少？
的值最小。（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写画法和证明）
（2）如图2,A、B两个化工厂位于一段直线形河堤的同侧，A工厂至河堤
的距离AC为1千米，B工厂到河堤的距离BD为2千米,经测量河堤上C、D
两地间的距离为6千米.现准备在河堤边修建一个污水处理厂,为使A、B
两厂到污水处理厂的排污管道最短,污水处理厂应建在距C地多远的地方？
数学活动室
1.如图,正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在
正方形ABCD内部，在对角线AC上有一点P，使得PD+PE最小，
学
则这个最小值为（ B ）
A、3
B、2 3
C、2 6
D、 6
以
A
D
致
P
E
用
B
C
Baidu Nhomakorabea
典例探究
例 3 阅读并解答下列问题：
（1）如图1所示,直线l 的两侧有A、B两点，在l上求作一点P，使AP+BP
数学活动室
1.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线 y x 4 与x轴交于点A，过点A的抛物线 y ax2 bx与直线 y x 4 交于
另一点B，且点B的横坐标为1．
学 （1）求抛物线的解析式；
以
（2）若P是抛物线对称轴上一动点，当PB+PO最小时,求出点P的 坐标及PB+PO的最小值。
致
y
用
B
O
Ax
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数学源泉
【线段公理】两点之间，线段最短。
A
B
数学源泉
【垂线段的性质】 从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段 最短。
P
l D
情境激疑
白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。 行人刁斗风沙暗，公主琵琶幽怨多。 野营万里无城郭，雨雪纷纷连大漠。 胡雁哀鸣夜夜飞，胡儿眼泪双双落。 闻道玉门犹被遮，应将性命逐轻车。 年年战骨埋荒外，空见葡萄入汉家。
梳理体系
【将军饮马问题模型3】双动点双对称（三角形周长的最小值问题）
P1 a
M P
N b
P2
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典例探究
例 4 如图所示，抛物线 y 1 x2 3 x 2和直线 y 1 x 2 相交于A、C
22
2
两点，抛物线与x轴的另一个交点为B，在抛物线的对称轴上是否存在点P,
使得△PBC的周长最小，如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请
说明理由。
y
C
P
A
B
O
x
【技巧】此类问题有一个动点在一条直线上运动，在直线的一侧有两个 定点，先找出其中一个定点关于这条直线的对称点，然后连接这个对称 点和另一个定点，与已知直线有个交点，这个交点就是使得这个动点到 两个定点距离之和最小的点。
？ 分别为BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，求PM+PN的最小值。
学以致用
例 2 在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1，P在BD上，求PE和
PC的长度之和最小值。
A
D
A F＇ D
P P
PP
F
B
EC
BEM
C
【变式】如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F 为AB上的一点，AF=2，P为AC上一个动点，求PF+PE的最小值。
（3）通过以上解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你尝试解决
下面问题：若 y x2 1
求出这个最小值。
B．
A．
9 x2 4 ，当x为何值时，y的值最小，并
B A
图1
C
图2
D
小小设计家
1.如图所示,钱塘江的一侧有A，B两个工厂。现要在江边建造一 个水厂C，把水送到这两个工厂，要使供水管路线最短。这样可