全等三角形的性质与判定(经典讲义)

全等三角形的性质及判定
知识要点
1、全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．
2、全等三角形性质：（1）两全等三角形的对应边相等，对应角相等．
（2）全等三角形的对应边上的高相等，
对应边上的中线相等， 对应角的平分线相等．
（3）全等三角形的周长、面积相等．
3、全等三角形判定方法：
（1）全等判定一：三条边对应相等的两个三角形全等（SSS ）
（2）全等判定二：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA ） （3）全等判定三：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) （4）全等判定四：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS ）
专题一、全等图形的性质——全等图形的对应边（对应中线、角平分线、高线）、对应角、对应周长、对应面积相等
例题1：下列说法，正确的是（ ）
A.全等图形的面积相等
B.面积相等的两个图形是全等形
C.形状相同的两个图形是全等形
D.周长相等的两个图形是全等形 例题2：如图1，折叠长方形ABCD ，使顶点D 与BC 边上的N 点重合，如果AD=7cm ，DM=5cm ，∠DAM=39°，则AN =____cm ，NM =____cm ，NAB ∠= .
【仿练1】如图2，已知ABC ADE ∆≅∆，AB AD =，BC DE =，那么与BAE ∠相等的角是 . 【仿练2】如图3，ABC ADE ∆≅∆，则AB= ，∠E= _．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC= .
、
图4
E
D
C
B A
图2 图3
M D
A N
B
C 图1
三角形全等的判定一（SSS ）
相关几何语言考点
∵AE=CF ∵CM 是△的中线
∴_____________( )
∴____________________
∴__________（ ） 或 ∵AC=EF
∴____________________
∴__________（ ）
AB=AB （ ）
在△ABC 和△DEF 中
∵⎪⎩
⎪
⎨⎧___________________________ ∴△ABC ≌△DEF （ ）
例1．如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ．△ABC 与△ADC 全等吗？为什么？
例２．如图，C 是AB 的中点，AD ＝CE ，CD ＝BE ．
求证△ACD ≌△CBE ．
B
F
E
C
A
F
E D
C
B A
C
M
B
A B A
例３．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证∠A=∠D．
练习
1..如图，AB=CD，AD=CB，那么下列结论中错误的是（）
A．∠A=∠C B．AB=AD C．AD∥BC D．AB
∥CD
2、如图所示，在△ABC中，AB=AC，BE=CE，则由“SSS”可以判定（）
A．△ABD≌△ACD B．△BDE≌△CDE
C．△ABE≌△ACE D．以上都不对
3.如图，AB=AC，BD=CD，则△ABD≌△ACD的依据是（）
A．SSS B．SAS C．AAS
D．HL
4.如图,AB=AC,D为BC的中点，则△ABD≌_________.
5.如图，已知AB=DE，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，那么还要需要一个条件，这个条件可以是：．
6.如图，AB=AC，BD=DC，∠BAC=36°，则∠BAD的度数是°．
7、.如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE，求证：△ABC≌ADE。

作业：
1、如图，已知AB=AD，需要条件（用图中的字母表示），可得△ABC≌△ADC，根据是．
2、如图，已知B、E、F、C在同一直线上，BF=CE，AF=DE，则添加条件，可以判断△ABF≌△DCE．
9题图
3、如图，AC=AD，BC=BD，则△ABC≌△；应用的判定方法是（简
写）．
4、.如图，已知AE=DF、EC=BF，添加，可得△AEC≌△DFB．
5、．如图，已知AB=DE，BC=EF，AF=DC，求证∠EFD=∠BCA，
三角形全等的判定二（SAS ）
相关的几何语言
∠1=∠2 （ ） ∠A=∠A （ ）
∵∠EAB=∠DAC
∴____________________
在△ABC 和△DEF 中
∵⎪⎩
⎪
⎨⎧___________________________ ∴△ABC ≌△DEF （ ）
∴__________ 或
∵∠EAC=∠DAB
∴____________________ ∴__________
例1．如图，AC 和BD 相交于点O ，OA =OC ，OB =OD ．求证DC ∥AB ．
2
1
A
1E
D C
B
A F
E D C B
A
例2．已知：如图，AD ∥BC ，AD=CB ，求证：△ADC ≌△CBA ．
例3．已知：如图AD ∥BC ，AD=CB ，AE=CF 。

求证：△AFD ≌△CEB ．
例4．已知，如图，AB=AC ，AD=AE ，∠1=∠2。

求证：△ABD ≌△ACE ．
例5．已知:如图,点B,E,C,F 在同一直线上,AB ∥DE,且AB=DE,BE=CF. 求证:AC ∥DF ．
例6．已知:如图,AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE ．求证:BE ∥CF ．
A
E B C
F
D A B
C D 2 A
C B E
D 1
例7.已知：如图，正方形ABCD，BE=CF，求证：(1)AE=BF；
（2）AE⊥BF.
练习
1.如图，点E、F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，
还需要添加一个条件是（）
A．AD∥BC B．DF∥BE C．∠D=∠B D．∠A=∠C
2.如图，若已知AE=AC，用“SAS”说明△ABC≌△ADE，还需要的一个条件是（）
A．BC=DE B．AB=AD C．BO=DO D．EO=CO 3.如图，AB=CD，AB∥CD，判定△ABC≌△CDA的依据是（）
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
4.如图所示，AB=BD，BC=BE，要使△ABE≌△DBC，需添加条件（）
A．∠A=∠D B．∠C=∠E C．∠D=∠E D．∠ABD=∠CBE 5.如图，AD∥BC，AD=CB，要使△ADF≌△CBE，需要添加的下列选项中的一个条件是（）
A．AE=CF B．DF=BE C．∠A=∠C D．AE=EF
6.如图，点A、D、C、E在同一条直线上，AB∥EF，AB=EF，AD=EC，AE=10，AC=6，则CD的长为．
7.如图，点F、C在线段BE上，且∠1=∠2，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，则还须补充一个条件．（只要填一个）
8.如图，△ABC中，AB=AC，点D，E在BC边上，当时，△ABD≌△ACE．（添加一个适当的条件即可）
9.如图，已知AC=AE，∠1=∠2，要使△ABC≌△ADE，还需添加的条件是（只需填一
个）．
10.如图，△ABC与△AEF中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，AB交EF于D，下列结论：
①∠EAB=∠FAC；②∠C=∠EFA；③AD=AC；④AF=AC．
其中正确的结论是（填写所有正确结论的序号）．
11.如图所示，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC，求证：△ABC≌△DEC．
12如图，在△ABD和△FEC中，点B，C，D，E在同一直线上，且AB=FE，BC=DE，∠B=∠E．求证：∠ADB=∠FCE．
13、如图，AC=DF，AC//DF，AE=DB，求证：BC//EF
三角形全等的判定三、四（ASA 、AAS ）
在△ABC 和△DEF 中
∵⎪⎩
⎪
⎨⎧___________________________
∴△ABC ≌△DEF （ ）
在△ABC 和△DEF 中
∵⎪⎩
⎪
⎨⎧___________________________ ∴△ABC ≌△DEF （ ）
例1．如图，点B ，F ，C ，E 在一条直线上，FB =CE ，AB ∥ED ，AC ∥FD ．求证AB =DE ，AC =DF ．
例2已知：如图 , 四边形ABCD 中 , AB ∥CD , AD ∥BC ．求证：△ABD ≌△CDB
F
E D
C
B A
F
E D
C
B A
A
E
D
B
例3如图, AD=EB,AC∥DF,BC∥EF.求证:ABC DEF
∆≅∆
1.如图，已知：∠A=∠D，∠1=∠2，下列条件中能使△ABC
A．∠E=∠B B．ED=BC C．AB=EF D．AF=CD
2.如图：AB=AC，∠B=∠C，且AB=5，AE=2，则EC的长为（）
A．2 B．3 C．5 D．2.5
3.如图，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，依据ASA，应添加的一个条件是．
4.如图，∠1=∠2，∠3=∠4，BC=5，则BD= ．
5、.如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB=FC，∠A=∠F，∠EBC=∠FCB．求证：BE=CD．。