全等三角形的性质
全等三角形的性质及判定(经典讲义)
全等三角形的性质及判定知识要点1、全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．2、全等三角形性质：（1）两全等三角形的对应边相等，对应角相等．（2）全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等， 对应角的平分线相等．（3）全等三角形的周长、面积相等．3、全等三角形判定方法：（1）全等判定一：三条边对应相等的两个三角形全等（SSS ）（2）全等判定二：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA ） （3）全等判定三：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) （4）全等判定四：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS ）专题一、全等图形的性质——全等图形的对应边（对应中线、角平分线、高线）、对应角、对应周长、对应面积相等例题1：下列说法，正确的是（ ）A.全等图形的面积相等B.面积相等的两个图形是全等形C.形状相同的两个图形是全等形D.周长相等的两个图形是全等形 例题2：如图1，折叠长方形ABCD ，使顶点D 与BC 边上的N 点重合，如果AD=7cm ，DM=5cm ，∠DAM=39°，则AN =____cm ，NM =____cm ，NAB ∠= .【仿练1】如图2，已知ABC ADE ∆≅∆，AB AD =，BC DE =，那么与BAE ∠相等的角是 . 【仿练2】如图3，ABC ADE ∆≅∆，则AB= ，∠E= _．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC= .、图4EDCB A图2 图3M DA NBC 图1三角形全等的判定一（SSS ）相关几何语言考点∵AE=CF ∵CM 是△的中线∴_____________( )∴____________________∴__________（ ） 或 ∵AC=EF∴____________________∴__________（ ）AB=AB （ ）在△ABC 和△DEF 中∵⎪⎩⎪⎨⎧___________________________ ∴△ABC ≌△DEF （ ）例1．如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ．△ABC 与△ADC 全等吗？为什么？例２．如图，C 是AB 的中点，AD ＝CE ，CD ＝BE ．求证△ACD ≌△CBE ．BFECAFE DCB ACMBA B A例３．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证∠A=∠D．练习1..如图，AB=CD，AD=CB，那么下列结论中错误的是（）A．∠A=∠C B．AB=AD C．AD∥BC D．AB∥CD2、如图所示，在△ABC中，AB=AC，BE=CE，则由“SSS”可以判定（）A．△ABD≌△ACD B．△BDE≌△CDEC．△ABE≌△ACE D．以上都不对3.如图，AB=AC，BD=CD，则△ABD≌△ACD的依据是（）A．SSS B．SAS C．AASD．HL4.如图,AB=AC,D为BC的中点，则△ABD≌_________.5.如图，已知AB=DE，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，那么还要需要一个条件，这个条件可以是：．6.如图，AB=AC，BD=DC，∠BAC=36°，则∠BAD的度数是°．7、.如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE，求证：△ABC≌ADE。
全等三角形的性质
全等三角形的性质背景介绍三角形是几何学中最基本的图形之一，而全等三角形是其中的一种特殊形态。
当两个三角形的对应边和对应角都相等时，我们称这两个三角形为全等三角形。
全等三角形具有一些特殊的性质，在几何学和应用数学中有着广泛的应用。
本文将介绍全等三角形的性质和相关应用。
全等三角形的定义全等三角形是指两个三角形的对应边和对应角都相等。
具体而言，如果三角形ABC和三角形DEF满足以下条件，即可说它们是全等三角形：1.边对边相等：AB = DE, AC = DF, BC = EF2.角对角相等：∠A = ∠D,∠B = ∠E, ∠C = ∠F当两个三角形满足上述条件时，我们可以使用符号≡来表示两个三角形全等。
全等三角形的性质对角定理全等三角形的一个重要性质是对角定理（Angle-Angle-Angle，简称AAA定理）。
如果两个三角形的两组对应角相等，则这两个三角形全等。
换句话说，如果∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F，则可以推断三角形ABC ≡ 三角形DEF。
边角边定理边角边定理（Side-Angle-Side，简称SAS定理）是全等三角形的另一个重要性质。
如果两个三角形的两边和夹角分别相等，则这两个三角形全等。
也就是说，如果AB = DE, ∠C = ∠F, BC = EF，则可以推断三角形ABC ≡ 三角形DEF。
边边边定理边边边定理（Side-Side-Side，简称SSS定理）是全等三角形的第三个性质。
如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。
换句话说，如果AB = DE, AC = DF, BC = EF，则可以推断三角形ABC ≡ 三角形DEF。
全等三角形的对称性全等三角形具有对称性，即如果三角形ABC ≡ 三角形DEF，则三角形DEF ≡ 三角形ABC。
这意味着全等三角形在进行图形变换时具有不变性，可以通过平移、旋转或镜像等操作得到全等的三角形。
全等三角形的应用全等三角形在几何学和应用数学中有着广泛的应用。
初中数学 全等三角形的性质有哪些
初中数学全等三角形的性质有哪些全等三角形是指具有相等的三个内角和相等的对应边的三角形。
以下是关于全等三角形的性质：1. 对应角相等性质：全等三角形的对应内角是相等的。
也就是说，如果两个三角形的一个内角相等，那么它们的对应内角也相等。
2. 对应边相等性质：全等三角形的对应边的长度是相等的。
也就是说，如果两个三角形的一个边的长度相等，那么它们的对应边的长度也相等。
3. 全等三角形只有一个解：如果两个三角形的三个内角和三条边都相等，那么它们就是全等的。
这意味着全等三角形的相等条件是唯一的，不存在其他满足条件的三角形。
4. 全等三角形的对称性：如果两个三角形是全等的，那么它们的对应边和对应角都是相等的。
也就是说，如果三角形ABC和三角形DEF是全等的，那么AB=DE，AC=DF，BC=EF，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
5. 全等三角形的面积相等：如果两个三角形是全等的，那么它们的面积也是相等的。
也就是说，如果三角形ABC和三角形DEF是全等的，那么它们的面积相等，记作∠ABC∠∠DEF。
6. 全等三角形的角平分线相等性质：如果两个三角形是全等的，那么它们的对应角的角平分线也是相等的。
也就是说，如果三角形ABC和三角形DEF是全等的，那么它们的∠A的角平分线等于∠D的角平分线，∠B的角平分线等于∠E的角平分线，∠C的角平分线等于∠F的角平分线。
7. 全等三角形的重心、垂心、外心、内心等特殊点重合性质：如果两个三角形是全等的，那么它们的重心、垂心、外心、内心等特殊点都重合。
也就是说，如果三角形ABC和三角形DEF是全等的，那么它们的重心、垂心、外心、内心等特殊点都重合。
8. 全等三角形的旁边关系：如果两个三角形是全等的，那么它们的对应边的旁边关系也是相等的。
也就是说，如果三角形ABC和三角形DEF是全等的，那么∠A的旁边边BC=∠D的旁边边EF，∠B的旁边边AC=∠E的旁边边DE，∠C的旁边边AB=∠F的旁边边CD。
全等三角形知识点
全等三角形知识点摘要：全等三角形是初中数学中的一个重要概念，它指的是两个三角形在形状和大小完全相同的情况下，它们的对应边和对应角完全相等。
本文将详细介绍全等三角形的定义、性质、判定条件以及在几何题中的应用。
关键词：全等三角形、对应边、对应角、判定条件、几何应用1. 全等三角形的定义全等三角形（Congruent Triangles）指的是两个三角形在几何形状和大小上完全相同，即它们的所有对应边和对应角都相等。
在数学符号中，我们通常用“≌”来表示全等。
2. 全等三角形的性质全等三角形具有以下性质：- 对应边相等：两个全等三角形的对应边长度完全相同。
- 对应角相等：两个全等三角形的对应角度数完全相同。
- 对应边上的高相等：两个全等三角形对应边上的高（垂直于边的线段）长度也相等。
- 对应角的平分线相等：两个全等三角形对应角的角平分线长度相等。
- 对应边上的中线相等：两个全等三角形对应边上的中线（连接顶点和对边中点的线段）长度相等。
3. 全等三角形的判定条件要判定两个三角形是否全等，可以通过以下几种条件：- SSS（边边边）：如果两个三角形的三边分别相等，那么这两个三角形全等。
- SAS（边角边）：如果两个三角形有两边及它们的夹角分别相等，那么这两个三角形全等。
- ASA（角边角）：如果两个三角形有两角及它们之间的边分别相等，那么这两个三角形全等。
- AAS（角角边）：如果两个三角形有两角及其中一角的对边分别相等，那么这两个三角形全等。
- HL（直角边-直角边）：对于直角三角形，如果斜边和一条直角边分别相等，那么这两个三角形全等。
4. 全等三角形在几何题中的应用全等三角形的概念在解决几何问题时非常有用，尤其是在涉及角度和长度计算的问题中。
通过识别和证明三角形全等，我们可以得出隐藏的边长和角度关系，从而解决复杂的几何构造问题。
5. 结论全等三角形是几何学中的一个基础概念，它在解决几何问题中扮演着关键角色。
全等三角形知识点归纳
全等三角形知识点归纳
全等三角形是指两个三角形的所有对应的边和角都相等。
以下是
关于全等三角形的一些重要知识点：
1. 全等三角形的定义：两个三角形的所有对应的边和角都相等时，这两个三角形就是全等三角形。
2. 全等三角形的性质：
a. 边-边-边（SSS）判定准则：如果两个三角形的三条边相等，那
么它们是全等的。
b. 边-角-边（SAS）判定准则：如果两个三角形的一条边和夹角的
对边的长度和角度相等，那么它们是全等的。
c. 角-边-角（ASA）判定准则：如果两个三角形的两个角和他们夹
着的边的长度相等，那么它们是全等的。
d. 角-角-角（AAA）判定准则：两个三角形的三个角度分别相等，
不能确定它们是全等的。
3. 全等三角形的性质与应用：
a. 全等三角形的对应部分相等：如果两个三角形全等，则它们的
对应边长相等，对应角度相等，对应的高、中线、中位线等也相等。
b. 全等三角形的性质可用于解决实际问题，例如测量无法直接测
量的长度或角度，或在建造、设计等领域中的应用。
4. 全等三角形的判定准则：在判定两个三角形是否全等时，根
据给定的信息应选择适合的判定准则进行判断，如SSS、SAS、ASA等。
以上是关于全等三角形的一些基本知识点和性质总结。
要确定两
个三角形全等，一般需要给出足够的边长和角度信息，利用相应的判
定准则进行判断。
全等三角形及其性质
【要点分析】一、全等形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.三、对应顶点，对应边，对应角1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.2. 找对应边、对应角的方法（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.四、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是研究其它全等图形的重要工具.【典型例题】类型一、全等形和全等三角形的概念1、下列每组中的两个图形，是全等图形的为（）A． B．C．D．【变式】如图，在5个条形方格图中，图中由实线围成的图形与①全等的有______________.类型二、全等三角形的对应边，对应角2、如图，△ABN≌△ACM，∠B和∠C是对应角，AB与AC是对应边，写出其他对应边和对应角.【变式】如图，△ABD≌△ACE，AB＝AC，写出图中的对应边和对应角.类型三、全等三角形性质3、已知：如图所示，Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°.以B为中心，将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD，求∠ADB的度数.解：∵Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°，∴∠ECB＝________°.∵将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD，∴△________≌△_________.∴∠ADB ＝∠________＝________°.4、如图，把△ABC 绕C 点顺时针旋转35°，得到△A B C ''，A B ''交AC 于点D ，则AB D '∠= °．【变式】如图，将△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转20°，B 点落在B '位置，A 点落在A '位置，若A C AB ''⊥，则BAC ∠的度数是____________.5、如图，已知△ABE ≌△ACD,AB=AC ，BE=CD, ∠B=50°，∠AEC=120°，则∠DAC=（ ）A 120°B 60°C 50°D 70°6、 △''OA B 是由△OAB 绕点O 逆时针旋转60°得到的，那么△''OA B 与△OAB 是什么关系？若∠AOB=40°，∠B=30°，则∠'A 与'AOB 是多少度？【巩固提升】1.如图，△ABN ≌△ACM ，∠B 和∠C 是对应角，AB 与AC 是对应边，写出其他对应边和对应角．EDCBA A 'B 'BAO2.如图：△ABF≌△DCE，写出相等的线段．3.如图，已知△EFG≌△NMH，∠F与∠M是对应角．（1）写出相等的线段与角．（2）若EF=2.1cm，FH=1.1cm，HM=3.3cm，求MN和HG的长度．4.如图，△ABC≌△DEF，BF=3，EF=2．求FC的长5.已知如图，△ABC≌△ADE，∠B=30°，∠E=20°，∠BAE=105°，求∠BAC的度数．∠BAC= ．6.如图，△ABC≌△ADE中，BA⊥AE，∠BAC=30°，AD=5，求BD的长．7.如图，△ABC≌△DEF，△ABC的周长是40cm，AB=10cm，BC=16cm，求△DEF中，边DF的长度．8.如图，在△ABC中，BE，CF分别是AC，AB边上的高线，BE，CF相交于O，连接AO交BC 于D，且△BCF≌△CBE，∠ABC=70°，求∠1和∠2的度数．9.如图，已知△ABC≌△EFC，且CF=5，AC=12，∠EFC=50°，求∠E的度数和AB的长9.10.如图，A、D、E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE，试说明：（1）BD=DE+CE；（2）△ABD满足什么条件时，BD∥CE？11.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABC≌△BAD．求证：（1）OA=OB；（2）AB∥CD．12.已知：△DEF≌△MNP，且EF=NP，∠F=∠P，∠D=48°，∠E=52°，MN=12cm，则∠P= 度，DE= cm．13.如图，A、E、F、C在一条直线上，△AED≌△CFB，你能得出哪些结论？（答出5个即可，不需证明）14.如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度数．15.如图△ABC≌△DBC，∠A=110°，则∠D= ．16..如图，△AOC≌△BOD，试证明AC∥BD．17.如图，已知△ABD≌△ACE．求证：BE=CD．18.如图，Rt△ABC≌Rt△FDE，AB=8cm，BC=6cm，将△ABC沿射线DE的方向以2cm/秒的速度平移，在平移过程中，是否存在某个时刻t，使△AEF成为等腰三角形，若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．一、选择题1. 如图，△ABC≌△ECD，AB和EC是对应边，C和D是对应顶点，则下列结论中错误的是（）A. AB＝CEB. ∠A＝∠EC. AC＝DED. ∠B＝∠D2. 如图，△ABC≌△BAD，A和B，C和D分别是对应顶点，若AB＝6cm，AC＝4cm，BC＝5cm，则AD的长为（）A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 以上C——都不对3. 下列说法中正确的有（）①形状相同的两个图形是全等图形②对应角相等的两个三角形是全等三角形③全等三角形的面积相等④若△ABC≌△DEF，△DEF ≌△MNP，△ABC≌△MNP.A.0个B.1个C.2个D.3个4. 如图,△ABE≌△ACD,∠B＝50°,∠AEC＝120°,则∠DAC的度数等于()A.120°B.70°C.60°D.50°5. 已知△ABC≌△DEF，BC＝EF＝6cm，△ABC的面积为18平方厘米，则EF边上的高是（）A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm6. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD分别为折痕，则∠CBD的度数为（）A．60° B．75°C．90°D．95°二、填空题7. 如图，在△ABC中，AC＞BC＞AB，且△ABC≌△DEF，则在△DEF中，______＜______＜_______(填边).FE DCBA8. 如图，△ABC ≌△AED ，AB ＝AE ，∠1＝27°，则∠2＝___________.9. 已知△DEF ≌△ABC ，AB ＝AC ，且△ABC 的周长为23cm ，BC ＝4cm ，则△DEF 的边中必有一条边等于______.10. 如图，如果将△ABC 向右平移CF 的长度，则与△DEF 重合，那么图中相等的线段有__________；若∠A ＝46°，则∠D ＝________.11.已知△ABC ≌△'''A B C ，若△ABC 的面积为10 2cm ，则△'''A B C 的面积为________ 2cm ，若△'''A B C 的周长为16cm ，则△ABC 的周长为________cm ．12. △ABC 中，∠A ∶∠C ∶∠B ＝4∶3∶2，且△ABC ≌△DEF ，则∠DEF ＝______ .三、解答题13.如图，已知△ABC ≌△DEF ，∠A ＝30°，∠B ＝50°，BF ＝2，求∠DFE 的度数与EC 的长.14.已知：如图，△ABC ≌△DEF ，且B ，E ，C ，F 四点在一条直线上，∠A ＝85°,∠B ＝60°，AB ＝8，EH ＝2. （1）求∠F 的度数与DH 的长； （2）求证：AB ∥DE.15. 如图，E 为线段BC 上一点，AB ⊥BC ，△ABE ≌△ECD.判断AE 与DE 的关系，并证明你的结论.（） （2分钟）一. 选择题1. 下列说法正确的是（ ）A. 全等三角形是指形状相同的三角形B. 全等三角形是指面积相等的三角形C. 全等三角形的周长和面积都相等T ——回顾小结D. 所有的等边三角形都全等2. 如图所示，若△ABC ≌△DEF ，则∠E 等于（ ）AB C D EF30°50°第2题A. 30°B. 50°C. 60°D. 100°3. （2006年黑龙江）如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别是边AC 、BC 上的点，若△ADB ≌△EDB ≌△EDC ，则∠C 的度数为（ ）A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°4. 已知△ABC ≌△A ´B ´C ´，且△ABC 的周长为20，AB ＝8，BC ＝5，则A ´C ´等于（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 85. 如图所示，△ABC ≌△CDA ，且AB ＝CD ，则下列结论错误的是（ ）12ABCD第5题A. ∠1＝∠2B. AC ＝CAC. ∠B ＝∠DD. AC ＝BC6. 如图所示，AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝45°，把△ADC 沿AD 对折，使点C 落在点C ´的位置，则图中的一个等腰直角三角形是（ ）ABCD C'第6题A. △ADCB. △BDC ´C. △ADC ´D. 不存在7. 下图中，全等的图形有（ ）第7题A BCD E 第3题A. 2组B. 3组C. 4组D. 5组 8. △ABC 与△DFE 是全等三角形，A 与D 对应，B 与F 对应，则按标有字母的线段计算，图中相等的线段有（ ）第8题A BCDE FA. 1组B. 2组C. 3组D. 4组二. 填空题9. 已知△ABC ≌△DEF ，AB ＝DE ，BC ＝EF ，则AC 的对应边是__________，∠ACB 的对应角是__________.10. 如图所示，把△ABC 沿直线BC 翻折180°到△DBC ，那么△ABC 和△DBC______全等图形（填“是”或“不是”）；若△ABC 的面积为2，那么△BDC 的面积为__________.A BCD第10题 11. 如图所示，△ABE ≌△ACD ，∠B ＝70°，∠AEB ＝75°，则∠CAE ＝__________°.ABC DE 第11题 12. 如图所示，△AOB ≌△COD ，∠AOB ＝∠COD ，∠A ＝∠C ，则∠D的对应角是__________，图中相等的线段有__________.AB CDO第12题13. 如图所示，△APB 与△CPD 全等.A B C D P 第13题（1）相等的边是：AB ＝CD ，__________，__________； （2）相等的角是：∠A ＝∠C ，__________，__________； （3）△APB 如何变换得到△CPD ？________________________________________. 14. 下图是由全等的图形组成的，其中AB ＝3cm ，CD ＝2AB ，则AF ＝__________.A BCD EF三. 解答题15. 如图所示，已知△ABD ≌△ACE ，∠B ＝∠C ，试指出这两个三角形的对应边和对应角.ABCDEO16. 如图所示，已知△ABC ≌△FED ，且BC ＝ED ，那么AB 与EF 平行吗？为什么？AB CD EF17. 如图所示，△ABC ≌△AEC ，B 和E 是对应顶点，∠B ＝30°，∠ACB ＝85°，求△AEC 各内角的度数.ABCE18. （实际应用题）如图所示，用同样粗细，同种材料的金属构制两个全等三角形，△ABC和△DEF，已知∠B＝∠E，∠C＝∠F，AC的质量为25克，EF的质量为30克，求金属丝AB的质量的取值范围.AB CDE F19. （探究题）如图所示，△ABC绕顶点A顺时针旋转，若∠B＝40°，∠C＝30°.（1）顺时针旋转多少度时，旋转后的△AB'C'的顶点C'与原三角形的顶点B 和A在同一直线上？（原△ABC是指开始位置）（2）再继续旋转多少度时，点C、A、C'在同一直线上？A BC B'C'20. （阅读与探究）如图（1）所示，把△ABC沿直线BC移动线段BC那样长的距离可以变到△ECD的位置；如图（2）所示，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置；如图（3）所示，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置，像这样，只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换. 在全等变换中可以清楚地识别全等三角形的对应元素，以上的三种全等变换分别叫平移变换、翻折变换和旋转变换.问题：如图（4），△ABC≌△DEF，B和E、C和F是对应顶点，问通过怎样的全等变换可以使它们重合，并指出它们相等的边和角.ABC DE（1）AB CD（2）AB CD E（3）AB C（4）DE F。
全等三角形的性质及判定
全等三角形的性质及判定知识要点1、全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．2、全等三角形性质：（1）两全等三角形的对应边相等，对应角相等．（2）全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等．（3）全等三角形的周长、面积相等．3、全等三角形判定方法：（1）全等判定一：三条边对应相等的两个三角形全等（SSS）（2）全等判定二：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）（3）全等判定三：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)（4）全等判定四：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）专题一、全等图形的性质——全等图形的对应边（对应中线、角平分线、高线）、对应角、对应周长、对应面积相等例题1：下列说法，正确的是（）A.全等图形的面积相等B.面积相等的两个图形是全等形C.形状相同的两个图形是全等形D.周长相等的两个图形是全等形例题2：如图1，折叠长方形，使顶点与边上的点重合，如果AD=7，DM=5，∠DAM=39°，则=____，=____，= .【仿练1】如图2，已知，，，那么与相等的角是.【仿练2】如图3，，则AB=，∠E=_．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC=.、图4EDCBA图2 图3MDN BC图1三角形全等的判定一（SSS ）相关几何语言考点∵AE=CF∵CM 是△的中线∴_____________()∴____________________ ∴__________（） 或 ∵AC=EF∴____________________ ∴__________（） AB=AB （）FECACMBA在△ABC和△DEFxx∵∴△ABC≌△DEF（）例1．如图，AB＝AD，CB＝CD．△ABC与△ADC全等吗？为什么？例２．如图，C是AB的中点，AD＝CE，CD＝BE．求证△ACD≌△CBE．例３．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证∠A=∠D．练习1..如图，AB=CD，AD=CB，那么下列结论中错误的是（）A．∠A=∠CB．AB=ADC．AD∥BCD．AB∥CD2、如图所示，在△ABCxx，AB=AC，BE=CE，则由“SSS”可以判定（）A．△ABD≌△ACDB．△BDE≌△CDEC．△ABE≌△ACED．以上都不对3.如图，AB=AC，BD=CD，则△ABD≌△ACD的依据是（）A．SSSB．SASC．AASD．HL4.如图,AB=AC,D为BC的中点，则△ABD≌_________.5.如图，已知AB=DE，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，那么还要需要一个条件，这个条件可以是：．6.如图，AB=AC，BD=DC，∠BAC=36°，则∠BAD的度数是°．7、.如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE，求证：△ABC≌ADE。
全等三角形的性质
一、全等三角形的性质1.全等三角形的对应角相等。
2.全等三角形的对应边相等。
3.全等三角形的对应边上的高对应相等。
4.全等三角形的对应角的角平分线相等。
5.全等三角形的对应边上的中线相等。
6.全等三角形面积相等。
7.全等三角形周长相等。
8.全等三角形的对应角的三角函数值相等。
二、全等图形：能够完全重合的图形叫做全等图形；全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
对应顶点、对应边、对应角：两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
1、定义：全等图形：能够完全重合的图形叫做全等图形；全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
对应顶点、对应边、对应角：两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
2、全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。
如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。
3、特征：全等图形的形状相同、大小相等。
注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
三、全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。
如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。
四、全等三角形特征：全等图形的形状相同、大小相等。
注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
全等三角形：两个全等的三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应地相等。
全等三角形是几何中全等的一种。
根据全等转换，两个全等三角形可以是平移、旋转、轴对称，或重叠等。
当两个三角形的对应边及角都完全相对时，该两个三角形就是全等三角形。
正常来说，验证两个全等三角形时都以三个相等部分来验证，最后便能得出结果。
全等三角形的性质
全等三角形的性质全等三角形是指具有完全相等的形状和大小的三角形。
在几何学中，全等三角形具有一些独特的性质和特征。
本文将探讨全等三角形的性质，包括定义、判定条件以及相关的定理和应用。
一、定义全等三角形定义为具有完全相等的形状和大小的三角形。
换句话说，如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形就是全等三角形。
全等三角形可以通过一系列变换操作来叠加在一起，如平移、旋转和翻转。
二、判定条件为了判断两个三角形是否全等，需要满足以下条件之一：1. SSS判定法：两个三角形的三条边相互对应相等。
2. SAS判定法：两个三角形的两条边和夹角相对应相等。
3. ASA判定法：两个三角形的一边和两个夹角相互对应相等。
4. RHS判定法：两个直角三角形的斜边和一个直角边相互对应相等。
三、全等三角形的性质全等三角形具有以下性质：1. 三个内角完全相等：两个全等三角形的对应内角相等，即三个内角相互对应相等。
2. 三个内角和相等：两个全等三角形的内角和分别相等。
3. 对应的边相等：两个全等三角形的对应边分别相等。
4. 周长相等：两个全等三角形的周长相等。
5. 面积相等：两个全等三角形的面积相等。
四、全等三角形的相关定理全等三角形的性质使得它们具有一些重要的应用和相关定理，如下所示：1. 位于全等三角形相等边上的等角一定相等。
2. 位于全等三角形等角上的边上的角平分线相等。
3. 全等三角形的重心、外心和内心重合。
4. 如果两个三角形的某一边与两个相对角分别相等，则这两个三角形全等。
5. 全等三角形之间的比较定理，包括大小关系和边长比例关系。
五、应用全等三角形在几何学和实际生活中具有广泛的应用，例如：1. 测量和导航：通过观测两个全等三角形的边长和角度，可以计算出距离和方向。
2. 建筑和工程：使用全等三角形的定理来设计、计算和建造各种结构和设备。
3. 图像处理：利用全等三角形的性质来进行图像变换和形状匹配。
4. 运动轨迹：通过观察全等三角形的形状和大小变化，可以描述物体的运动轨迹。
全等三角形的定义和性质
两个三角形的三个内角分别对应相等 ，且三边对应成比例，则这两个三角 形相似。
性质
相似三角形的对应角相等，对应边成 比例，对应高、中线、角平分线也成 比例，周长之比等于相似比，面积之 比等于相似比的平方。
相似三角形与全等三角形联系与区别
联系
全等三角形是相似三角形的特例，当相似比为1时，相似三角 形即为全等三角形。因此，全等三角形具有相似三角形的所 有性质。
的两个基本条件。
在解决与角度有关的问题时， 可以利用全等三角形的对应角
相等这一性质来求解。
性质应用举例
1
利用全等三角形的性质可以证明线段相等、角相 等以及求解一些与三角形有关的问题。
2
例如，在证明两个三角形全等后，可以利用对应 边相等或对应角相等的性质来证明其他线段或角 的相等关系。
3
又如，在求解一些与三角形有关的问题时，可以 通过构造全等三角形来利用全等三角形的性质求 解。
根据题目给出的条件，我们可以 按照ASA判定方法来证明两个三 角形全等。首先，由已知条件可 得AB = DE，∠B = ∠E，BC = EF。因此，根据ASA判定方法， 我们可以得出△ABC ≌ △DEF。
03 2. 题目
已知△ABC中，∠C = 90°，AD平 分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于 点E。求证：△ACD ≌ △AED。
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解析
该命题不正确。根据相似三角形的判定定理，若两个三角形有两边对应成比例，且夹角相等， 则这两个三角形相似。但此命题中说的是“有一个角相等”，并未指明是夹角，因此不能判 定两个三角形相似。
06 总结回顾与课堂练习
关键知识点总结
• 全等三角形的定义：两个三角形如果三边及三角分别对应 相等，则称这两个三角形全等。
全等三角形的性质与判定
B AC D EF 第1讲 全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同； 2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（ ） A ．5对 B ．4对 C ．3对 D ．2对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90. 在△ABC 和△DCB 中AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D ⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中BE CEEF EF=⎧⎨=⎩ ∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C . 【变式题组】 01．（天津）下列判断中错误的是（ ）A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等A F C E DB D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等 02．（丽水）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.03．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ； ⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE .【解法指导】想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF 中，因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF 在△ABE 和△DCF 中, AB DCAE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C在△ABF 和△DCE 中, AB DC B C BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE【变式题组】01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5A B C D O FE A CEFBD02.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________. \ 03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .【例３】如图①，△ABC ≌△DEF ，将△ABC 和△DEF 的顶点B 和顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.【解法指导】⑴∠AFD ＝∠DCA⑵∠AFD ＝∠DCA 理由如下：由△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，BC ＝EF , ∠ABC ＝∠DEF , ∠BAC ＝∠EDF ∴∠ABC －∠FBC ＝∠DEF －∠CBF , ∴∠ABF ＝∠DEC在△ABF 和△DEC 中, AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DEC ∠BAF ＝∠DEC ∴∠BAC －∠BAF ＝∠EDF －∠EDC , ∴∠FAC ＝∠CDF∵∠AOD ＝∠FAC ＋∠AFD ＝∠CDF ＋∠DCA∴∠AFD ＝∠DCAB （E ）OC F 图③DAAFECB DAE第1题图A BCDEBCDO第2题图【变式题组】01．（绍兴）如图，D、E分别为△ABC的AC、BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C 落在AB边上的点P处.若∠CDE＝48°，则∠APD等于（）A．42°B．48°C．52°D．58°02．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中错误的是（）A．△ABC≌△DEF B．∠DEF＝90°C．AC＝DF D．EC＝CF03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上.⑴求证：AB⊥ED；⑵若PB＝BC，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD、CE分别是△ABC的边A C和AB边上的高，点P在BD的延长线，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB.求证：⑴AP＝AQ；⑵AP⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP＝AQ,也就是证△APD和△AQE，或△APB和△QAC全等,由已知条件BP＝AC，CQ＝AB，应该证△APB≌△QAC，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP⊥AQ，即证∠PAQ＝90°，∠PAD＋∠QAC＝90°就可以.证明：⑴∵BD、CE分别是△ABC的两边上的高，∴∠BDA＝∠CEA＝90°,∴∠1＋∠BAD＝90°，∠2＋∠BAD＝90°，∴∠1＝∠2.在△APB和△QAC中, 2AB QCBP CA=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠∴△APB≌△QAC，∴AP＝AQE FBACDG第2题图21ABCPQEFD⑵∵△APB ≌△QAC ，∴∠P ＝∠CAQ , ∴∠P ＋∠PAD ＝90° ∵∠CAQ ＋∠PAD ＝90°，∴AP ⊥AQ 【变式题组】01．如图，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BA ＝ED ，点F 是CD 的中点，求证：02．直距离MA 为am ，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为bm ，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（ ）A ．2a bm + B ．2a bm - C ．bm D ．am03．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ ABC ＝∠AED ＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，则五边形ABCDE 的面积为__________演练巩固·反馈提高01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°02．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠ BCB /＝30°，则∠ACA /的度数是（ ）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40° 03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（ ）第1题图a αcca50° b72° 58°AECBA 75° C45° BNM第2题图第3题图DA ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS 04．（江西）如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（ ）A . CB ＝CD B .∠BAC ＝∠DAC C . ∠BCA ＝∠DCAD .∠B ＝∠D ＝90°05．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC 和△BDE ，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A 、B 、D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（ ）A . △ABE ≌△CBDB . ∠ABE ＝∠CBDC . ∠ABC ＝∠EBD ＝45° D . AC ∥BE06．如图，△ABC 和共顶点A ，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E . BC 交AD 于M ，DE 交AC 于N ，小华说：“一定有△ABC ≌△AED .”小明说：“△ABM ≌△AEN .”那么（ ） A . 小华、小明都对 B . 小华、小明都不对 C . 小华对、小明不对 D .小华不对、小明对07．如图，已知AC ＝EC , BC ＝CD , AB ＝ED ,如果∠BCA ＝119°，∠ACD ＝98°,那么∠ECA 的度数是___________.08．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 延长线交DE 于F ，∠B ＝25°,∠ACB ＝105°，∠DAC ＝10°，则∠DFB 的度数为_______.09．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°, DE ⊥AB 于D , BC ＝BD . AC ＝3，那么AE ＋DE ＝______10．如图，BA ⊥AC , CD ∥AB . BC ＝DE ，且BC ⊥DE ，若AB ＝2, CD ＝6，则AE ＝_____. 11．如图, AB ＝CD , AB ∥CD . BC ＝12cm ，同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发，沿CB 方向爬行，P 的速度是0.1cm /s , Q 的速度是0.2cm /s . 求爬行时间t 为多少时，△APB ≌△QDC .DA C .Q P.BA E FB DC 12．如图, △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D . ⑴求证：AE ＝CD ；⑵若AC ＝12cm , 求BD 的长.13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AD 等于AE ，AB 平分∠DAE 交DE 于点F , 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14．如图，将等腰直角三角板ABC的直角顶点C 放在直线l 上，从另两个顶点A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为D 、E .⑴找出图中的全等三角形，并加以证明； ⑵若DE ＝a ，求梯形DABE 的面积.（温馨提示：补形法）15．如图，AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F .求证：CE ＝DF .16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？ ⑴阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）； 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；已知△ABC 、△A 1B 1C 1均为锐角三角形，AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，∠C ＝∠C 1.求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1.（请你将下列证明过程补充完整）⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.ABCDA 1B 1C 1D 1D B A C EF A E B F D CAEF C DB 培优升级·奥赛检测01．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝AF ，BF 、CE 相交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则图中全等三角形有（ ） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对02．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，OC ＝OD ，下列结论中：①∠A ＝∠B ②DE ＝CE ，③连接DE , 则OE 平分∠AOB ，正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③03．如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC ＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE 的长等于（）A ．DCB . BC C . ABD .AE ＋AC04．下面有四个命题，其中真命题是（ ）A ．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B ．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C . 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D . 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等05．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于H 点,且BH ＝AC ，则∠ABC ＝_______.06．如图，EB 交AC 于点M , 交FC 于点D , AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C , AE＝AF . 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ; ③△ACN ≌△ABM ; ④CD ＝DB ，其中正确的结论有___________.（填序号）07．如图，AD 为在△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ,且有BF ＝AC ，FD ＝CD .⑴求证：BE ⊥AC ；⑵若把条件“BF ＝AC ”和结论“BE ⊥AC ”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.08．如图，D 为在△ABC 的边BC 上一点，且CD ＝AB ，∠BDA ＝∠BAD ，AE 是△ABD 的中线.求证：AC ＝2AE .09．如图，在凸四边形ABCD 中，E 为△ACD 内一点，满足AC ＝AD ，AB ＝AE , ∠BAE ＋∠BCEABE D CF第6题图2 1AB CE N M3 21ADEBC FADECOA E O BFC D 第1题图B第2题图第3题图AEBDC＝90°, ∠BAC ＝∠EAD .求证：∠CED ＝90°.10．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB ＝∠DEB ＝90°，∠A ＝∠D ＝30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F .⑴求证：AF ＋EF ＝DE ;⑵若将图①中△DBE 绕点B 顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；⑶若将图①中△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由。
初中数学：全等三角形的性质及判定
初中数学：全等三角形的性质及判定一、知识点概述全等三角形是初中数学中重要的概念之一，它是指两个三角形的三边和三角度数分别相等。
全等三角形具有许多重要性质，学习全等三角形的性质及判定，对于初中数学学习来说是非常重要的。
二、重点概念解释1. 全等三角形：两个三角形的三边和三角度数分别相等时，称这两个三角形为全等三角形。
全等三角形有六个对应部分相等，即三边和三角度数各有三个对应部分相等。
2. SSS全等定理：若两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。
3. SAS全等定理：若两个三角形的一边和两个夹角分别相等，则这两个三角形全等。
4. ASA全等定理：若两个三角形的两个夹角和一边分别相等，则这两个三角形全等。
5. RHS全等定理：若两个直角三角形的一个锐角和两个斜边分别相等，则这两个三角形全等。
三、典型例题分析例题1：已知三角形ABC和三角形DEF，已知AB=DE, BC=EF，∠ABC=∠DEF，判断是否全等。
如果两个三角形不完全重合，说明它们是什么关系？解答：由题意可以知道，两个三角形的两边和一个夹角分别相等，同时根据SAS全等定理可以得出这两个三角形全等。
如果两个三角形不完全重合，那么它们就是全等但不合同的。
例题2：如图所示，已知ABCD和EFGH是两个正方形，BC=EH，证明三角形ABE和FCH全等。
解答：因为两个正方形各边相等，所以BC=EH，又因为两个正方形的一条对角线分别为AC和EG，AC=EG，所以∠ACB=∠EGH。
根据ASA全等定理可以得到三角形ABE和FCH全等。
例题3：如图所示，已知三角形ABC、ADE，且∠ABC=∠ADE. BC=DE，证明三角形ABC和ADE全等。
解答：根据题意，两个三角形的一边和两个夹角分别相等，所以根据ASA全等定理可以得到三角形ABC和ADE全等。
四、结论全等三角形的性质及判定是初中数学中的重要概念，学习全等三角形可以帮助我们了解三角形的基本性质和规律，为我们解决一系列三角形相关的问题提供了基础。
(完整版)全等三角形的性质及判定
全等三角形第1节全等三角形的性质和判定【知识梳理】1、全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形．2、全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．3、全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．4、全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．【诊断自测】1、如果ΔABC≌ΔDBC，则AB的对应边是_____，AC的对应边是_____，∠DBC的对应角是_____，∠DCB的对应角是_____．2、如图，已知△ABE≌△DCE，AE＝2 cm，BE＝1.5 cm，∠A＝25°，∠B＝48°；那么DE＝_____cm，EC＝_____cm，∠C＝_____°；∠D＝_____°．3、如果△ABC和△DEF这两个三角形全等，点C和点E，点B和点D分别是对应点，则另一组对应点是，对应边是，对应角是，表示这两个三角形全等的式子是．【考点突破】类型一：全等形例1、由同一张底片冲洗出来的两张五寸照片的图案_____全等图案，而由同一张底片冲洗出来的五寸照片和七寸照片____全等图形。
（填“是”或者“不是”）类型二：全三角形的定义和性质例2、如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE=（）A．∠B B．∠A C．∠EMF D．∠AFB例3、如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠BAC：∠ABC：∠BCA=28：5：3，则∠α的度数为（）A．90°B．85°C．80°D．75°类型三：全等三角形的判定（SSS）例4、用直尺和圆规作一个角等于己知角的作图痕迹如图所示，则作图的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS例5、已知：如图2－1，△RPQ中，RP＝RQ，M为PQ的中点．求证：RM平分∠PRQ．分析：要证RM平分∠PRQ，即∠PRM＝______，只要证______≌______证明：∵ M 为PQ 的中点（已知），∴______＝______在△______和△______中，⎪⎩⎪⎨⎧===),______(____________,),(PM RQ RP 已知 ∴______≌______（ ）．∴ ∠PRM ＝______（______）．即RM ．例6．已知：如图，AD ＝BC ．AC ＝BD ．试证明：∠CAD ＝∠DBC .类型四：全等三角形的判定（SAS ）例7. 已知：如图3－1，AB 、CD 相交于O 点，AO ＝CO ，OD ＝OB ．求证：∠D ＝∠B ．分析：要证∠D ＝∠B ，只要证______≌______证明：在△AOD 与△COB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=),______(),______(______),(OD CO AO∴ △AOD ≌△______ （ ）．∴ ∠D ＝∠B （______）．例8、小红家有一个小口瓶（如图所示），她很想知道它的内径是多少？但是尺子不能伸在里边直接测，于是她想了想，唉！有办法了．她拿来了两根长度相同的细木条，并且把两根长木条的中点固定在一起，木条可以绕中点转动，这样只要量出AB的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少，你知道这是为什么吗？请说明理由．（木条的厚度不计）例9、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，AB=CB，EB=DB，∠ABC=∠EBD=90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．类型五：全等三角形的判定（AAS和ASA）例10、某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，同学小明知道只要带③去就行了，你知道其中的道理是（）A．SAS B．SSA C．ASA D．HL例11. 如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是例12、已知：如图，PM＝PN，∠M＝∠N．求证：AM＝BN．分析：∵PM ＝PN ，∴ 要证AM ＝BN ，只要证PA ＝______，只要证______≌______．证明：在△______与△______中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠),______(______),______(______),______(______ ∴ △______≌△______ （ ）．∴PA ＝______ （ ）．∵PM ＝PN （ ），∴PM －______＝PN －______，即AM ＝______．例13、已知：AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∠E=∠B ，DE=CB ．求证：AD=AC ．．例14、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE 于点E ．AD ⊥CE 于点D ．求证：△DEC ≌△CDA ．类型六：全等三角形的判定（HL ） 例15.已知在△ABC 和△DEF 中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC 和△DEF 全等的是( )A.AB=D E,AC=DFB.AC=EF,BC=DFC.AB=DE,BC=EFD.∠C=∠F,BC=EF例16、如图所示，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点D，BD=BC,若AC=6，则AE+DE=_____【易错精选】1、如图所示，△ABC≌△DEC，则不能得到的结论是（）A．AB=DE B．∠A=∠D C．BC=CD D．∠ACD=∠BCE2、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，且MB=MC，若AD=4，AB=6，BC=8，则梯形ABCD的周长为（）A．22 B．24 C．26 D．283、如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE=__________度A CBED【精华提炼】判定三角形全等的基本思路：SAS SS HLSSS →⎧⎪→⎨⎪→⎩找夹角已知两边 找直角 找另一边 AAS ASA SA AASSAS ⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩边为角的对边→找任意一角→ 找这条边上的另一角→已知一边一角 边就是角的一条边 找这条边上的对角→ 找该角的另一边→ ASA AA AAS →⎧⎨→⎩找两角的夹边已知两角 找任意一边 备注：寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式：⑴ 平移全等型⑵ 对称全等型⑶ 旋转全等型【本节训练】训练【1】如图，E为线段BC上一点，AB⊥BC，△ABE≌△ECD，判断AE与DE的关系，并证明你的结论．训练【2】如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．求证：BC∥EF．训练【3】已知图中的两个三角形全等，则∠1等于度．【训练4】．如图，∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，AB=AC．求证：BD=CE．基础巩固一、选择题1、下列说法：①有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等；③有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等；④有一条边相等的两个等腰直角三角形全等．其中正确的有（）．A、1个B、2个C、3个D、4个2、如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D、E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出 [ ]．A．2个 B．4个 C．6个 D．8个3、下列说法正确的是（）A、全等三角形是指周长和面积都一样的三角形;B、全等三角形的周长和面积都一样 ;C、全等三角形是指形状相同的两个三角形;D、全等三角形的边都相等4、下列两个三角形中，一定全等的是（）A. 两个等边三角形B. 有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形C. 有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形D. 有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形5、如图，△ABC与△BDE都是等边三角形，AB<BD，若△ABC不动，将△BDE绕点B旋转，则在旋转过程中，AE与CD的大小关系为 ( )A．AE=CD B．AE>CD C．AE<CD D．无法确定6、如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90°二、填空题6、如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与B E相交于点F，若BF=AC，则∠ABC=_______7、如图，等腰直角三角形ABC的直角顶点B在直线PQ上，AD⊥PQ于D，CE⊥PQ 于E，且AD=2cm，DB=4cm，则梯形ADEC的面积是 _____．A8、（动手操作实验题）如图所示是小明自制对顶角的“小仪器”示意图：（1）将直角三角板ABC的AC边延长且使AC固定；（2）另一个三角板CDE•的直角顶点与前一个三角板直角顶点重合；（3）延长DC，∠PCD与∠ACF就是一组对顶角，已知∠1=30°，∠ACF为多少？三、简答题9、如图，已知AB=AC，∠1=∠2，AD=AE，求证：∠C=∠B．10、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高线，求证：AD⊥EF。
李文文 全等三角形及其性质
A
B DC
B DA
C
F
3、如图，若△AOC≌△BOD， ∠AOC的对应角是∠__B__O_D__， AC的对应边是_B__D__；
A
D
O
C
B
探索交流：请拿一张纸对折，再任意画一个三角
形，在重叠的纸上剪下所画的三角形，你剪出的两个
∵∠ DAF＝ ∠ BAD－∠ BAF=90 °－60 ° ＝30 °
又∵ △AEF是由△AED折叠来的
∴△AEF≌△AED
1
1
∴ ∠ DAE＝ ∠FAE＝ 2 ∠ BAF＝ 2 ×30 °＝15 °
分层运用 巩固提高：
1、选一选：下列与图1所示图形不全等的是：（C）
图1
A
B
C
D
2、如图 △ABC≌△DEF, ∠A 和 ∠ D， ∠B 和 ∠ E是对应角，试找出它们的对应 边和另一组对应角。
解:∵ △ABC≌△AED(已知)
A
∴∠E= ∠B= 35°(全等三角形对应角相等)
B
C
AE=AB=3cm(全等三角形对应边相等)
D
E
练习：如图所示，长方形ABCD A 沿AE折叠，使点D落在BC边上 的F点处，如果∠BAF=60°， 则∠DAE为多少度？
B
D E FC
解:在长方形ABCD中，∠BAD=90 °
细心观察
细心观察
能够完全重合的两个图形叫作 全等图形
把全等形用线连起来：
①
a
②
b
③
c
④
d
⑤
e
两个全等图形的形状和大小都相同
全等三角形的性质
全等三角形的性质
全等三角形是指有三个完全相等的边和三个完全相等的角的三角形。
它们之间有许多特性和性质。
以下是关于全等三角形的一些重要性质的详细介绍：
1. 边-角-边全等性质（SSS全等性质）：如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。
2. 角-边-角全等性质（ASA全等性质）：如果两个三角形的一个角和两个边分别相等，则这两个三角形全等。
3. 边-边-边全等性质（SSS全等性质）：如果两个三角形的一个边和两个对应边分别相等，则这两个三角形全等。
4. 直角三角形的全等性质：如果两个直角三角形的斜边和一个锐角分别相等，则这两个直角三角形全等。
5. 全等三角形的对应部分相等：如果两个三角形全等，则它们的对应边和对应角都相等。
6. 全等三角形的边长比较：如果两个三角形全等，则它们的对应边的比例相等。
7. 三角形全等的判定：如果两个三角形的两边的对应角相等，则这两个三角形全等。
8. 三角形的全等性质的传递性：如果三个三角形中第一个三角形全等于第二个三角形，同时第二个三角形全等于第三个三角形，则第一个三角形全等于第三个三角形。
9. 全等三角形的唯一性：如果两个三角形全等，则它们的三个对应角都相等。
10. 全等三角形的共边性：如果两个三角形全等且有一
条共边，则这两个三角形的另一条边也一定重叠。
总结：全等三角形具有许多重要的性质，包括SSS、ASA、SAS、直角三角形的全等性质等。
它们可以用于判断三角形全等的条件，并且可以应用于解决各种几何问题。
熟练掌握这些性质可以帮助我们更好地理解和应用三角形的相关概念。
全等三角形的性质有哪些
全等三角形的性质有哪些全等三角形性质1、全等三角形的对应角相等。
2、全等三角形的对应边相等。
3.能够完全重合的顶点称为对应顶点。
4.全等三角形对应边的高度相等。
5.全等三角形对应角的平分线相等。
6.全等三角形对应边的中线相等。
7、全等三角形面积和周长相等。
8.全等三角形对应角的三角函数相等。
全等三角形判定方法SSS(Side-Side-Side)(边边边):三边对应相等的三角形是全等三角形。
SAS(Side-Angle-Side)(边角边):两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形。
ASA(Angle-Side-Angle)(角边角):两角及其夹边对应相等的三角形全等。
AAS(Angle-Angle-Side)(角角边):两角及其一角的对边对应相等的三角形全等。
RHS(Right angle-Hypotenuse-Side)(直角、斜边、边)(又称HL定理(斜边、直角边)):在一对直角三角形中，斜边及另一条直角边相等。
不能验证全等三角形的判定AAA(角、角、角)，指两个三角形的任何三个角都对应地相同。
但这不能判定全等三角形，但AAA能判定相似三角形。
在几何学上，当两条线叠在一起时，便会形一个点和一个角。
而且，若该线无限地廷长，或无限地放大，该角度都不会改变。
同理，在左图中，该两个三角形是相似三角形，这两个三角形的关系是放大缩小，因此角度不会改变。
这样，便能得知若边无限地根据比例加长，角度都保持不变。
因此，AAA并不能判定全等三角形。
但在球面几何上，AAA可以判定全等三角形(运用三角形与其极对称三角形的边角关系证明)，而AAS不能判定全等三角形(球面三角形内角和大于180°)。
全等三角形的性质和判定
全等三角形的性质和判定-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1全等三角形的性质和判定要点一、全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 要点二、对应顶点，对应边，对应角1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC 与△DEF 全等，记作△ABC ≌△DEF ，其中点A 和点D ，点B 和点E ，点C 和点F 是对应顶点；AB 和DE ，BC 和EF ，AC 和DF 是对应边；∠A 和∠D ，∠B 和∠E ，∠C 和∠F 是对应角.要点三、全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点四、全等三角形的判定（SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ）全等三角形判定一（SSS ，SAS ）全等三角形判定1——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）. 要点诠释：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .要点二、全等三角形判定2——“边角边”1. 全等三角形判定2——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.【典型例题】类型一、全等三角形的判定1——“边边边”1、已知：如图，△RPQ 中，RP ＝RQ ，M 为PQ 的中点．求证：RM 平分∠PRQ ．证明：∵M 为PQ 的中点（已知），∴PM ＝QM在△RPM 和△RQM 中，()(),,RP RQ PM QM RM RM ⎧=⎪=⎨⎪=⎩已知公共边 ∴△RPM ≌△RQM （SSS ）．∴ ∠PRM ＝∠QRM （全等三角形对应角相等）．即RM 平分∠PRQ.举一反三：【变式】已知：如图，AD ＝BC ，AC ＝BD.试证明：∠CAD ＝∠DBC.类型二、全等三角形的判定2——“边角边”2、已知：如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠1＝∠2．求证：BC ＝DE ．证明： ∵∠1＝∠2∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD ，即∠BAC ＝∠DAE在△ABC 和△ADE 中AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ADE （SAS ）∴BC ＝DE （全等三角形对应边相等）3、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 （A 、B 、D 三点共线，AB ＝CB ，EB ＝DB ，∠ABC ＝∠EBD ＝90°），连接AE 、CD ，试确定AE 与CD 的位置与数量关系，并证明你的结论．证明：延长AE 交CD 于F ，∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形∴AB ＝BC ，BD ＝BE在△ABE 和△CBD 中90ABE CBD BE BD ⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CBD （SAS ）∴AE ＝CD ，∠1＝∠2又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等）∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC ＝90°∴AE ⊥CD举一反三：【变式】已知：如图，PC ⊥AC ，PB ⊥AB ，AP 平分∠BAC ，且AB ＝AC ，点Q 在PA 上，求证：QC ＝QB类型三、全等三角形判定的实际应用4、“三月三，放风筝”．下图是小明制作的风筝，他根据DE ＝DF ，EH ＝FH ，不用度量，就知道∠DEH ＝∠DFH ．请你用所学的知识证明．【答案与解析】证明：在△DEH 和△DFH 中，EH FH DH DH ⎧⎪⎨⎪=⎩＝∴△DEH ≌△DFH(SSS)∴∠DEH ＝∠DFH ．一、选择题1. △ABC 和△'''A B C 中，若AB ＝''A B ，BC ＝''B C ，AC ＝''A C .则（ ）A.△ABC ≌△'''A C BB. △ABC ≌△'''A B CC. △ABC ≌△'''C A BD. △ABC ≌△'''C B A2. 如图，已知AB ＝CD ，AD ＝BC ，则下列结论中错误的是（ ）∥DC B.∠B ＝∠D C.∠A ＝∠C ＝BC3. 下列判断正确的是（ ）A.两个等边三角形全等B.三个对应角相等的两个三角形全等C.腰长对应相等的两个等腰三角形全等D.直角三角形与锐角三角形不全等6. 如图，已知AB ⊥BD 于B ，ED ⊥BD 于D ，AB ＝CD ，BC ＝ED ，以下结论不正确的是（ ）⊥AC ＝AC ＋AB ＝DB ＝CB二、填空题9. 如图，在△ABC 和△EFD 中，AD ＝FC ，AB ＝FE ，当添加条件_______时，就可得△ABC ≌△EFD （SSS ）10. 如图，AC ＝AD ，CB ＝DB ，∠2＝30°，∠3＝26°，则∠CBE ＝_______.12. 已知，如图，AB ＝CD ，AC ＝BD ，则△ABC ≌ ，△ADC ≌ .三、解答题13. 已知：如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，∠ADC ＝∠BCD ，AD ＝BC ，求证：CO ＝DO ．14. 已知：如图，AB ∥CD，AB ＝CD ．求证：AD ∥BC ．分析：要证AD ∥BC ，只要证∠______＝∠______，又需证______≌______．证明：∵ AB ∥CD （ ），∴ ∠______＝∠______ （ ），在△______和△______中，⎪⎩⎪⎨⎧===),______(______),______(______),______(______ ∴ Δ______≌Δ______ （ ）．∴ ∠______＝∠______ （ ）．∴ ______∥______（ ）．15.如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE求证：AE＝DE.16.全等三角形判定3——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.要点诠释：如图，如果∠A＝∠'A，AB＝''A B，∠B＝∠'B，则△ABC≌△'''A B C.要点二、全等三角形判定4——“角角边”1.全等三角形判定4——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点三、判定方法的选择1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等SAS AAS ASA两角对应相等ASA AAS两边对应相等SAS SSS类型一、全等三角形的判定3——“角边角”1、已知：如图，E ，F 在AC 上，AD ∥CB 且AD ＝CB ，∠D ＝∠B ．求证：AE ＝CF ．证明：∵AD ∥CB∴∠A ＝∠C在△ADF 与△CBE 中A C AD CB D B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADF ≌△CBE （ASA ）∴AF ＝CE ，AF ＋EF ＝CE ＋EF故得：AE ＝CF举一反三：【变式】如图，AB ∥CD ，AF ∥DE ，BE ＝CF.求证：AB ＝CD.类型二、全等三角形的判定4——“角角边”2、已知：如图，AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∠E ＝∠B ，DE ＝CB ．求证：AD ＝AC ．证明：∵AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∴∠CAD ＝∠BAE ＝90°∴∠CAD ＋∠DAB ＝∠BAE ＋∠DAB ，即∠BAC ＝∠EAD在△BAC 和△EAD 中BAC EAD B E CB=DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△BAC ≌△EAD （AAS ）∴AC ＝AD举一反三：【变式】如图，AD 是△ABC 的中线，过C 、B 分别作AD 及AD 的延长线的垂线CF 、BE.求证：BE ＝CF.【答案】证明：∵AD 为△ABC 的中线∴BD ＝CD∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°，在△BED 和△CFD 中BED CFD BDE CDFBD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（对顶角相等） ∴△BED ≌△CFD （AAS ）∴BE ＝CF3、已知：如图，AC 与BD 交于O 点，AB ∥DC ，AB ＝DC ．（1）求证：AC 与BD 互相平分；（2）若过O 点作直线l ，分别交AB 、DC 于E 、F 两点，求证：OE ＝OF.证明：∵AB ∥DC∴∠Ａ＝∠Ｃ在△ABO 与△CDO 中A C (AOB COD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝对顶角相等） AB=CD∴△ABO ≌△CDO （AAS ）∴AO ＝CO ，BO=DO在△AEO 和△CFO 中A C (AOE COF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝AO=CO＝对顶角相等） ∴△AEO ≌△CFO （ASA ）∴OE ＝OF.一、选择题1. 能确定△ABC ≌△DEF 的条件是 （ ）A ．AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠A ＝∠EB ．AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠C ＝∠EC ．∠A ＝∠E ，AB ＝EF ，∠B ＝∠DD ．∠A ＝∠D ，AB ＝DE ，∠B ＝∠E2．如图，已知△ABC 的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是 （ ）图4－3 A ．甲和乙 B ．乙和丙 C ．只有乙D ．只有丙3．AD是△ABC的角平分线，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，下列结论错误的是（）A．DE＝DF B．AE＝AF C．BD＝CD D．∠ADE＝∠ADF 4．如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列条件不能判定△ABM≌△CDN 的是（）A．∠M＝∠N B．AB＝CD C．AM＝CN D．AM∥CN6．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下面结论中错误的是（）A．△ADC≌△BCD B．△ABD≌△BACC．△ABO≌△CDO D．△AOD≌△BOC二、填空题7. 如图,∠1＝∠2，要使△ABE≌△ACE，还需添加一个条件是.(填上你认为适当的一个条件即可).8. 在△ABC和△'''A B C中，∠A＝44°，∠B＝67°，∠'C＝69°，∠'B＝44°，且AC＝''B C，则这两个三角形_________全等.（填“一定”或“不一定”）9. 已知，如图，AB∥CD，AF∥DE，AF＝DE，且BE＝2，BC＝10，则EF＝________.11. 如图, 已知：∠1 ＝∠2 , ∠3 ＝∠4 , 要证BD ＝CD , 需先证△AEB ≌△AEC , 根据是，再证△BDE ≌△，根据是．12. 已知:如图，∠B ＝∠DEF ，AB ＝DE ，要说明△ABC ≌△DEF ，（1）若以“ASA ”为依据，还缺条件（2）若以“AAS ”为依据，还缺条件（3）若以“SAS ”为依据，还缺条件三、解答题13．阅读下题及一位同学的解答过程：如图，AB 和CD 相交于点O ，且OA ＝OB ，∠A ＝∠C ．那么△AOD 与△COB 全等吗若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由．答：△AOD ≌△COB ．证明：在△AOD 和△COB 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠),(),(),(对顶角相等已知已知COB AOD OB OA C A∴ △AOD ≌△COB （ASA ）．问：这位同学的回答及证明过程正确吗为什么14. 已知如图，E 、F 在BD 上，且AB ＝CD ，BF ＝DE ，AE ＝CF ，求证：AC 与BD 互相平分.15. 已知：如图, AB∥CD, OA ＝ OD, BC过O点, 点E、F在直线AOD上, 且AE ＝DF.求证：EB∥CF.要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“HL”1、已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．求证：（1）AB＝CD：（2）AD∥BC．证明：（1）∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°在Rt △ABD 和Rt △CDB 中，AD BC BD DB⎧⎨=⎩＝∴Rt △ABD ≌Rt △CDB （HL ）∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）（2）由∠ADB ＝∠CBD∴AD ∥BC ..举一反三：【变式】已知：如图，AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，AE ＝AB ，ED ＝AC ．求证：ED ⊥AC ．2、 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ）（2）一个锐角和斜边对应相等； （ ）（3）两直角边对应相等； （ ）（4）一条直角边和斜边对应相等． （ ）举一反三：【变式】下列说法中，正确的画“√”；错误的画“×”，并举出反例画出图形.（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（ ）（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ）（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ）3、已知：如图，AC ＝BD ，AD ⊥AC ，BC ⊥BD ．求证：AD ＝BC ；证明：连接DC∵AD ⊥AC ，BC ⊥BD∴∠DAC ＝∠CBD ＝90°在Rt △ADC 与Rt △BCD 中，DC CD AC BD =⎧⎨⎩＝ ∴Rt △ADC ≌Rt △BCD （HL ）∴AD ＝BC .（全等三角形对应边相等）举一反三：【变式】已知，如图，AC 、BD 相交于O ，AC ＝BD ，∠C ＝∠D ＝90° .求证：OC ＝OD.4、如图，将等腰直角三角形ABC 的直角顶点置于直线l 上，且过A ，B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为D ，E ，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程.一、选择题1．下列说法正确的是 （ ）A ．一直角边对应相等的两个直角三角形全等B ．斜边相等的两个直角三角形全等C ．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D．一边长相等的两等腰直角三角形全等3. 能使两个直角三角形全等的条件是( )A.斜边相等B.一锐角对应相等C.两锐角对应相等D.两直角边对应相等5. 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（）A．形状相同B．周长相等C．面积相等D．全等6. 在两个直角三角形中，若有一对角对应相等，一对边对应相等，则两个直角三角形（）A.一定全等B.一定不全等C.可能全等D.以上都不是二、填空题7．如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“______”．8. 已知，如图，∠A＝∠D＝90°，BE＝CF，AC＝DE，则△ABC≌_______.9. 如图，BA∥DC，∠A＝90°，AB＝CE，BC＝ED，则AC＝_________.10. 如图，已知AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，EC⊥AC，AC＝EC，若DE＝2，AB ＝4，则DB＝______.12. 如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且BF＝AC，FD＝CD.则∠BAD＝_______.三、解答题14. 如图，已知AB⊥BC于B，EF⊥AC于G，DF⊥BC于D，BC＝DF. 求证：AC＝EF.15. 如图，已知AB＝AC，AE＝AF，AE⊥EC，AF⊥BF，垂足分别是点E、F.求证：∠1＝∠2.。
全等三角形的性质
ODAOBA全等三角形的性质一、知识点梳理⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧积相等全等三角形的周长、面线相等中线、高、对应角平分全等三角形对应边上的等全等三角形的对应角相等全等三角形的对应边相性质表示方法角形两个三角形叫做全等三定义：能够完全重合的全等三角形两个图形叫做全等形定义：能够完全重合的全等形 二、例题讲解类型一、确定对应边与对应角例1.如图，△ABC ≌△ADE,写出其对应顶点、对应边、对应角。
分析：找对应元素，有一简便方法，先结合图形判断已知条件 中的“△ABC ≌△ADE ”是否按照对应顶点的顺序写，如果确认顺序 正确，则可以按照以下顺序：△ABE ≌△ACD 写出它们的对应边： AB 与AC ，BE 与DC ，AC 与AE ，类似地，写出它们的对应顶点和 对应角。
解题规律：根据△ABC ≌△ADE 的字母对应关系写出其对应边及对应角。
练习1.如图，△OAD ≌△OBC ，且∠O=︒70，∠D=∠C=︒25,下列结论①OD=OC ，②BC=0D,③BD=AC 正确地有（ ）个。
A.1B.2C.0D.3练习2.△ABC 与△DEF 全等，∠A=︒50,∠B=︒70,∠D=︒70, ∠E=︒60,AC=7，AB=6，则DF= ,EF= .练习3.如图所示，AB 和CD 交于点O ，且△ACO ≌△BDO, 试说明AC ∥BD.DCEBCABCEDEBC ´AD CABEFFED A 类型二、运用全等三角形的性质，求角的度数例2.如图，已知△ABC ≌△DEF ，∠A=︒85，∠B=︒60，求∠DFE 的度数。
分析：由△ABC 与△DEF 全等，得∠DFE=∠ACB ， 在△ABC 中已知∠A ，∠B ，可求∠ACB 的度数。
解： ∠ACB=︒180-∠A-∠B =︒180-︒85-︒60=︒35 又 △ABC ≌△DEF ，∴∠DFE=∠ACB=︒35。
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全等三角形的性质一、知识回顾1、全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形。
2、全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
用符号“≌”表示，读作：全等。
4、全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．（2）全等三角形的周长、面积相等．5、全等三角形的表示：△ABC和△A'B'C'全等，记作△ABC≌△A'B'C'．通常对应顶点字母写在对应位置上．二、典型例题例1：下列判断正确的是（）A．形状相同的图形叫全等形B．图形的面积相等的图形叫全等形C．部分重合的两个图形全等D．两个能完全重合的图形是全等形分析：要判断选项的正误，要以全等形的概念为依据，结合各选项认真验证，与之相符和是正确的，反之，是错误的．解答：A、如果形状相同而面积不同，则不是全等形，错；B、如果面积相等，而形状不同，则不是全等形，错；C、根据全等形概念，强调是完全重合，错．D、正确．故选D．______________________________________________________ _______________________________例2：在下列各组图形中，是全等的图形是（）分析：能够完全重合的两个图形叫做全等形．只有选项C能够完全重合，A 中大小不一致，B，D中形状不同．解答：由全等形的概念可以判断：C中图形完全相同，符合全等形的要求，而A、B、D中图形很明显不相同，A中大小不一致，B，D中形状不同．故选C．______________________________________________________ _______________________________例3：下列说法中，错误的是（）A．全等三角形的面积相等B．全等三角形的周长相等C．面积相等的三角形全等D．面积不等的三角形不全等分析：判断选项是否正确，要根据全等三角形的性质，全等三角形的周长、面积分别相等；而面积相等的三角形不一定重合，即不一定全等，可得选项C 是错误的．解答：全等的三角形一定是能够互相重合的三角形，故全等的三角形面积相等，周长相等，而面积相同的两个三角形不一定能重合，即不一定全等，面积不等的三角形一定不会重合，不会全等．∴根据全等三角形的定义可知A、B、D均正确，C不正确．故选C．______________________________________________________ _______________________________例4：已知△ABC≌△A′B′C′，若∠A=50°，∠B′=80°，则∠C的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°分析：根据全等三角形的对应角相等，可求得∠B=∠B′=80°；根据三角形内角和定理，即可求得∠C的度数．解答：∵△ABC≌△A′B′C′∴∠B=∠B′=180°∴∠C=180°-∠A-∠B=50°故选C．______________________________________________________ _______________________________例5：如图，△ABC≌△BAD，A和B，C和D分别是对应顶点，若AB=6cm，AC=4cm，BC=5cm，则AD的长为（）A．4cm B．5cm C．6cmD．以上都不对分析：由△ABC≌△BAD，A和B，C和D分别是对应顶点，知AD和BC 是对应边，全等三角形的对应边相等即可得．解答：∵△ABC≌△BAD，A和B，C和D分别是对应顶点∴AD=BC=5cm．故选B．______________________________________________________ _______________________________例6：如图△ABC≌△BAD，若AB=9，BD=8，AD=7，则BC的长为（）A．9 B．8 C．7 D．6分析：观察图形根据已知找出对应边，运用两三角形全等的性质得对应边相等可求解．解答：∵△ABC≌△BAD，∴BC=AD=7．故选C______________________________________________________ _______________________________例7：（2003·海南）如图所示，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，有以下结论：①AC=AE；②∠FAB=∠EAB；③EF=BC；④∠EAB=∠FAC，其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个分析：根据已知找准对应关系，运用三角形全等的性质“全等三角形的对应角相等，对应边相等”求解即可．解答：∵△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E∴EF=BC，∠EAF=∠BAC∴∠EAB+∠BAF=∠FAC+∠BAF即∠EAB=∠FACAC与AE不是对应边，不能求出二者相等，也不能求出∠FAB=∠EAB∴①、②错误，③、④正确故选B．______________________________________________________ _______________________________例8：如图，在△ABC中，D、E分别是AB，BC上的点，若△ACE≌△ADE≌△BDE，则∠ABC=（）A．30°B．35°C．45°D．60°分析：运用全等三角形的性质可得出∠C=∠EDA=∠EDB=90°和∠B=∠BAE=∠CAE，从而求出∠B．解答：∵△ADE≌△BDE则∠ADE=∠BDE又∵∠ADE+∠BDE=180°∴∠ADE=∠BDE=90°∵△ACE≌△ADE∴∠C=∠ADE=90°∴∠CAB+∠B=90°又∵△ACE≌△ADE≌△BDE∴∠CAE=∠EAD=∠B=90°/3 =30°故选A．三、解题经验全等形的概念：两个能完全重合的图形是全等形，做题时要严格按照定义去判断。
对于全等三角形的表示我们要会，相等的边、角写在同位置上，等边对等角。
全等三角形的判定一、知识回顾两个三角形全等的条件（1）判定1--边边边公理三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”。
（2）判定2--边角边公理两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。
（3）判定3--角边角公理两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
简写为“角边角”或“ASA”。
（4）判定4--角角边推论两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
简称“角角边”或“AAS”。
（5）直角三角形全等的判定--斜边直角边公理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
简写成“斜边直角边”或“HL”。
二、典型例题例1：（2012·贵阳）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（）A．∠BCA=∠F B．∠B=∠E C．BC∥EF D．∠A=∠EDF分析：全等三角形的判定方法SAS是指有两边对应相等，且这两边的夹角相等的两三角形全等，已知AB=DE，BC=EF，其两边的夹角是∠B和∠E，只要求出∠B=∠E即可．解答：A、根据AB=DE，BC=EF和∠BCA=∠F不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；B、∵在△ABC和△DEF中{AB=DE{∠B=∠E{BC=EF∴△ABC≌△DEF（SAS），故本选项正确；C、∵BC∥EF，∴∠F=∠BCA，根据AB=DE，BC=EF和∠F=∠BCA不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；D、根据AB=DE，BC=EF和∠A=∠EDF不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误．故选B．______________________________________________________ _________________________________例2、（2011·西藏）如图，已知∠1=∠2，要得到△ABD≌△ACD，还需从下列条件中补选一个，则错误的选法是（）A．AB=AC B．DB=DC C．∠ADB=∠ADC D．∠B=∠C分析：先要确定现有已知在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法对选项逐一验证，排除错误的选项．本题中C、AB=AC与∠1=∠2、AD=AD组成了SSA是不能由此判定三角形全等的．解答：A、∵AB=AC，∴{ AB=AC{ ∠1=∠2{ AD=AD∴△ABD≌△ACD（SAS）；故此选项正确；B、当DB=DC时，AD=AD，∠1=∠2，此时两边对应相等，但不是夹角对应相等，故此选项错误；C、∵∠ADB=∠ADC，∴{ ∠1=∠2{ AD=AD{ ∠ADB=∠ADC∴△ABD≌△ACD（ASA）；故此选项正确；D、∵∠B=∠C，∴{ ∠B=∠C{ ∠1=∠2{ AD=AD∴△ABD≌△ACD（AAS）；故此选项正确．故选：B．______________________________________________________ _________________________________例3、（2011·泉州）如图，已知点E，C在线段BF上，BE=CF，AB∥DE，∠ACB=∠F．求证：△ABC≌△DEF．分析：根据平行线的性质可知由∠B=∠DEF．BE=CF，∠ACB=∠F，根据ASA定理可知△ABC≌△DEF．证明：∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF．∵BE=CF，∴BC=EF．∵∠ACB=∠F，∴△ABC≌△DEF．______________________________________________________ _________________________________例4：（2011·新疆）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE 于点E．AD⊥CE于点D．求证：△BEC≌△CDA．分析：根据垂直的定义以及等量代换可知∠CBE=∠ACD，根据已知条件∠BEC=∠CDA，∠CBE=∠ACD，BC=AC，根据全等三角形的判定AAS即可证明△BEC≌△CDA．证明：∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，∴∠BEC=∠CDA=90°，在Rt△BEC中，∠BCE+∠CBE=90°，在Rt△BCA中，∠BCE+∠ACD=90°，∴∠CBE=∠ACD，在△BEC和△CDA中，∠BEC=∠CDA，∠CBE=∠ACD，BC=AC，∴△BEC≌△CDA．______________________________________________________ _________________________________例5、（2005·大连）如图，AB∥CD，AB=CD，点B、E、F、D在一条直线上，∠A=∠C．求证：AE=CF．分析：由AB∥CD，可知∠B=∠D，由AB=CD，∠A=∠C．根据ASA定理可知△ABE≌△CDF，AE=CF．证明：∵AB∥CD，∴∠B=∠D（两条直线平行，内错角相等），又∵AB=CD，∠A=∠C，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴AE=CF（全等三角形对应边相等）．_______________________________________________________________________________________例6、（2003·宜昌）已知：如图，CF=AE，AB∥CD，且AB=CD．求证：△CDE≌△ABF．分析：要证△CDE≌△ABF，就要找出满足两个三角形全等的条件：边角边对应相等．由平行可得两对应角相等，由CF=AE可得AF=CE，全等的条件就具备了．证明：∵AB∥CD，∴∠DCE=∠FAB．∵CF=AE，∴AF=CE，AB=CD，∴△CDE≌△ABF．三、解题经验三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的判定方法为主。