【数学知识点】全等三角形的判定与性质

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全等三角形的概念、性质与判定

全等三角形的概念、性质与判定

1. 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角。

2. 全等三角形的性质全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等。

3. 全等三角形的判定(1)三边对应相等的两个三角形全等(简记为:“边边边”或“SSS”);(2)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简记为“边角边”或“SAS”);(3)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简记为“角边角”或“ASA”);(4)两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简记为:“角角边”或“AAS”);(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简记为:“斜边、直角边”或“HL”)。

4. 常见的一个三角形经过变换得到另一个全等三角形。

(1)平移(2)翻折(3)旋转5. 判定两个三角形全等所需条件:(1)需要三个条件;(2)至少有一个条件为边。

注意:“边边角”不一定成立。

反例:如图,△ABC与△ABC'中,AB=AB,AC=AC',∠ABC=∠ABC',但△ABC与△ABC'不全等。

【解题方法指导】例1. (2005年安徽)如图,已知AB∥DE,AB=DE,AF=DC,请问图中有哪几对全等三角形?并任选其中一对给予证明。

分析:由AB∥DE,可以得到∠A=∠D;由AF=DC,可以得到AC=DF;由AB=DE,由“SAS”可以得到△BAF≌△EDC,及△BAC≌△EDF由此又可以得到BF=EC,BC=EF,FC又是公共边,可证△BFC≌△EFC证明:在△BAF与△EDC中,∵AB∥DE∴∠A=∠D又AB=DE,AF=DC∴△BAF≌△EDC(SAS)评析:判断两个三角形全等,设法找齐三个条件,至少有一个条件是边,因此先找出给出的条件(如AB=DE,AF=DC);然后发展条件,继续得到有关信息(如由AB∥DE⇒∠A=∠D;由AF=DC⇒AC=DF)例2. 如图,B是AC上一点,DA⊥AC,EC⊥AC,DB=BE。

全等三角形(知识点讲解)

全等三角形(知识点讲解)

全等三角形(知识点讲解)全等三角形(知识点讲解)全等三角形是初中数学中的重要概念,也是几何学中的核心内容之一。

在这篇文章中,我们将从定义、判定全等三角形的条件以及全等三角形的性质等方面进行讲解。

一、全等三角形的定义全等三角形指的是具有完全相同的三边和三角的三角形。

简而言之,在几何学中,当两个三角形的对应边长相等、对应角度相等时,我们称这两个三角形是全等的。

二、全等三角形的判定条件为了判断两个三角形是否全等,我们有以下几个常用的判定条件:1. SSS判定法:即边-边-边判定法。

当两个三角形的三条边分别相等时,它们就是全等的。

2. SAS判定法:即边-角-边判定法。

当两个三角形的一对夹角和夹角两边分别相等时,它们就是全等的。

3. ASA判定法:即角-边-角判定法。

当两个三角形的一对夹角和夹角对边分别相等时,它们就是全等的。

4. AAS判定法:即角-角-边判定法。

当两个三角形的两对夹角和一个非夹角边分别相等时,它们就是全等的。

需要注意的是,这些判定条件是相互独立的,即只要满足其中一种条件,就可以判定两个三角形是全等的。

三、全等三角形的性质全等三角形具有以下重要性质:1. 对应边对应角相等性质:全等三角形的对应边对应角相等。

即若∆ABC≌∆DEF,那么 AB = DE, AC = DF, BC = EF,并且∠A = ∠D,∠B = ∠E, ∠C = ∠F。

2. 全等三角形的任意一角都与对应角相等:即若∆ABC≌∆DEF,那么∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F。

3. 全等三角形的任意一边都与对应边相等:即若∆ABC≌∆DEF,那么 AB = DE, AC = DF, BC = EF。

4. 全等三角形的外角相等:即若∆ABC≌∆DEF,那么∠BAC =∠EDF, ∠ABC = ∠DEF, ∠ACB = ∠DFE。

通过以上性质,我们可以进行全等三角形的各种推理和计算。

四、全等三角形的应用全等三角形在几何学的应用非常广泛。

全等三角形与三角形全等的判定(SSS)知识点

全等三角形与三角形全等的判定(SSS)知识点

====Word 行业资料分享--可编辑版本--双击可删====源-于-网-络-收-集 12.1 全等三角形一、全等形:形状、大小相同,能够完全重合.这样的两个图形叫做全等形,用“≌”表示.说明:如果两个或两个以上的图形全等,那么这些图形放在一起就能完全重合。

这里的重合包括两层含义:一是形状相同,二是大小相等,二者缺一不可。

二、全等三角形:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

把两个全等的三角形重合到一起,重合的顶点叫做对应顶点,•重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角.全等用符号用“≌”表 示.如△ABC 与△DEF 全等,则可表示为△ABC ≌△DEFA B C D E F B(E)注意:1、对应边与对边,对应角与对角的区别。

对应边、对应角是对两个三角形而言的,对边、对角是对同一个三角形的边和角的关系而言的。

2、在写两个三角形全等时,通常把对应顶点的字母写在对应位置时,这样容易写出对应边、对应角。

3、由于两个三角形的位置关系不同,在找对应边、对应角时,可以针对两个三角形不同的位置关系,寻找对应边、角的规律:(1)有公共边的,•公共边一定是对应边;(2)有公共角的,公共角一定是对应角;(3)有对顶角的,对顶角一定是对应角;两个全等三角形中一对最长的边(或最大的角)是对应边(或角),一对最短的边(或最小的角)是对应边(或角)三、全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等。

说明:1、因为全等三角形能够完全重合,所以对应边上的中线、高线和对应角的角平分线也相等,全等三角形的周长相等,面积相等。

很多情况下,全等三角形的性质可以用来证明线段或角相等。

2、全等三角形有传递性,若△ABC 与△DEF 全等,△DEF 与△MNP 全等,则△ABC 与△MNP 也全等。

三角形全等的判定(SSS )一、判定方法:三边对应相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS ”).二、判断两个三角形全等的推理过程,叫做证明三角形全等.三、例题:如图所示,△ABC 是一个钢架,AB=AC ,AD 是连接点A 与BC 中点D 的支架,求证△ABD ≌△ACD .证明:∵D 是BC 的中点,∴BD=CD在△ABD 和△ACD 中,,.AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACD (SSS ).。

全等三角形的性质与判定(经典讲义)

全等三角形的性质与判定(经典讲义)

全等三角形的性质及判定知识要点1、全等三角形概念:两个能完全重合的三角形叫做全等三角形.2、全等三角形性质:(1)两全等三角形的对应边相等,对应角相等.(2)全等三角形的对应边上的高相等,对应边上的中线相等, 对应角的平分线相等.(3)全等三角形的周长、面积相等.3、全等三角形判定方法:(1)全等判定一:三条边对应相等的两个三角形全等(SSS )(2)全等判定二:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA ) (3)全等判定三:两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) (4)全等判定四:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS )专题一、全等图形的性质——全等图形的对应边(对应中线、角平分线、高线)、对应角、对应周长、对应面积相等例题1:下列说法,正确的是( )A.全等图形的面积相等B.面积相等的两个图形是全等形C.形状相同的两个图形是全等形D.周长相等的两个图形是全等形 例题2:如图1,折叠长方形ABCD ,使顶点D 与BC 边上的N 点重合,如果AD=7cm ,DM=5cm ,∠DAM=39°,则AN =____cm ,NM =____cm ,NAB ∠= .【仿练1】如图2,已知ABC ADE ∆≅∆,AB AD =,BC DE =,那么与BAE ∠相等的角是 . 【仿练2】如图3,ABC ADE ∆≅∆,则AB= ,∠E= _.若∠BAE=120°,∠BAD=40°,则∠BAC= .、图4EDCB A图2 图3M DA NBC 图1三角形全等的判定一(SSS )相关几何语言考点∵AE=CF ∵CM 是△的中线∴_____________( )∴____________________∴__________( ) 或 ∵AC=EF∴____________________∴__________( )AB=AB ( )在△ABC 和△DEF 中∵⎪⎩⎪⎨⎧___________________________ ∴△ABC ≌△DEF ( )例1.如图,AB =AD ,CB =CD .△ABC 与△ADC 全等吗?为什么?例2.如图,C 是AB 的中点,AD =CE ,CD =BE .求证△ACD ≌△CBE .BFECAFE DCB ACMBA B A例3.如图,点B,E,C,F在一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证∠A=∠D.练习1..如图,AB=CD,AD=CB,那么下列结论中错误的是()A.∠A=∠C B.AB=AD C.AD∥BC D.AB∥CD2、如图所示,在△ABC中,AB=AC,BE=CE,则由“SSS”可以判定()A.△ABD≌△ACD B.△BDE≌△CDEC.△ABE≌△ACE D.以上都不对3.如图,AB=AC,BD=CD,则△ABD≌△ACD的依据是()A.SSS B.SAS C.AASD.HL4.如图,AB=AC,D为BC的中点,则△ABD≌_________.5.如图,已知AB=DE,BC=EF,若要使△ABC≌△DEF,那么还要需要一个条件,这个条件可以是:.6.如图,AB=AC,BD=DC,∠BAC=36°,则∠BAD的度数是°.7、.如图,AB=AE,AC=AD,BD=CE,求证:△ABC≌ADE。

三角形的全等知识点总结

三角形的全等知识点总结

三角形的全等知识点总结在几何学中,全等是一个重要的概念,它意味着两个或多个图形在形状和大小上完全相同。

在三角形中,全等三角形是非常常见的,它们具有相等的边和角。

本文将对三角形的全等知识点进行总结,以帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

一、全等三角形的定义全等三角形的定义是:如果两个三角形的对应边相等,对应角相等,那么这两个三角形是全等的。

二、全等三角形的判定条件1. SSS判定法(边边边):如果两个三角形的三条边分别相等,则这两个三角形是全等的。

2. SAS判定法(边角边):如果两个三角形的一条边和这个边上的两个角分别与另一个三角形的一条边和这个边上的两个角相等,则这两个三角形是全等的。

3. ASA判定法(角边角):如果两个三角形的一条角和这个角对应的两边分别与另一个三角形的一条角和这个角对应的两边相等,则这两个三角形是全等的。

4. RHS判定法(直角边斜边):如果两个直角三角形的一条直角边和斜边分别与另一个直角三角形的一条直角边和斜边相等,则这两个直角三角形是全等的。

三、全等三角形的性质1. 全等三角形的对应角相等,即对应顶点的角是相等的。

2. 全等三角形的对应边相等,即对应边的长度是相等的。

3. 全等三角形的对应高线相等。

4. 全等三角形的周长和面积完全相同。

四、全等三角形的性质运用利用全等三角形的性质可以进行各种几何推理和证明。

1. 利用全等三角形可以证明两条线段相等。

2. 利用全等三角形可以证明两个角相等。

3. 利用全等三角形可以证明两个三角形全等。

4. 利用全等三角形可以证明两个四边形全等。

五、全等三角形的应用全等三角形的知识在实际生活和工程中具有广泛的应用。

1. 在建筑工程中,利用全等三角形可以计算高楼房屋的高度,简化测量过程。

2. 在地图测量中,利用全等三角形可以计算两地的距离和高度。

3. 在设计中,利用全等三角形可以保证建筑物的比例和对称性。

4. 在计算机图形学中,利用全等三角形可以进行图形变换和模型重建。

全等三角形(知识点讲解)

全等三角形(知识点讲解)

学习必备 欢迎下载全等三角形 全等三角形 知识梳理性质对应角相等 对应边相等二、基础知识梳理 一)、基本概念1、“全等 ”的理解 全等的图形必须满足: (1)形状相同的图形; (2)大小相等的图形;即能够完全重合的两个图形叫全等形。

同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2、全等三角形的性质( 1)全等三角形对应边相等; (2)全等三角形对应角相等; 3、全等三角形的判定方法(1)三边对应相等的两个三角形全等。

(2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

(3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

(4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

4、角平分线的性质及判定性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定:到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 (二)灵活运用定理、知识网络全等形 全等三角形边边边SSS边角边SAS判定 角边角ASA角角边 AAS斜边、 直角边HL角平分线作图性质与判定定理应用1、判定两个三角形全等的定理中,必须具备三个条件,且至少要有一组边对应相等,因此在寻找全等的条件时,总是先寻找边相等的可能性。

2、要善于发现和利用隐含的等量元素,如公共角、公共边、对顶角等。

3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。

(1) 已知条件中有两角对应相等, 可找:①夹边相等( ASA )②任一组等角的对边相等 (AAS ) (2) 已知条件中有两边对应相等, 可找①夹角相等 (SAS ) ②第三组边也相等 (SSS ) (3) 已知条件中有一边一角对应相等, 可找①任一组角相等 (AAS 或 ASA ) ②夹等角的另一组边相等 (SAS ) 5. 经典例题透析 证明图形全等 基础版—— “ SSS ” (1)已知: AB=DC ,AD=BC ,求证:∠ A= ∠C2)如图, E 是 AD 上的一点, AB=AC ,AE=BD ,CE=BD+DE ,求证:∠ CED=∠ B+ C基础版—— “ SAS ”(3)如图, AD ∥ BC ,AD=CB , AE=CF ,求证: BE=DF4) 已知:如图,点 A 、B 、C 、D 在同一条直线上, EA AD ,FD AD , AE DF , AB DC .求证: ACE DBF .基础版——“ ASA ”与“ AAS ”(5)如图,已知: AB = AC ,点 D 在 AB 上,点 E 在 AC 上,BE 和CD 相交 于点 O ,∠B =∠ C ,求证: BD =CEDB举一反三:变式 1】如图,△ABC ≌△ DBE . 问线段 AE 和 CD 相等吗?为什么?( 6)如图,△ABC 中,∠BAC=90 ,AB =AC ,直线 MN 过点 A , 于 E ,求证: DE =BD+CE基础版 HL ”( Rt △) N(7)如图, AB AC ,AB//CD ,AC=CD ,BC=DE ,BC 与 DE 相交于点 O ,求 证: DE BC 类型一:全等三角形性质的应用 1、如图,△ ABD ≌△ ACE , AB =AC ,写出图中的对应边和对应角、如图,已知ΔABC≌ΔDEF,∠A=30°,∠ B=50°,BF=2,求∠ DFE的度数与EC举一反三:如图所示,ΔACD≌ΔECD,ΔCEF≌ΔBEF,∠ACB=90°求证:( 1)CD⊥AB;( 2) EF∥ AC.变式 1】类型二:全等三角形的证明3、如图, AC=BD,DF=CE,∠ ECB=∠ FDA,求证:△ ADF≌△BCE.举一反三:【变式 1】如图,已知 AB∥DC,AB= DC,求证:AD∥BC【变式 2】如图,已知 EB⊥ AD于 B,FC⊥ AD 于 C,且 EB= FC,AB=CD.求证 AF =DE.、类型三:综合应用4、如图,AD为ΔABC的中线。

全等三角形知识点

全等三角形知识点

全等三角形知识点摘要:全等三角形是初中数学中的一个重要概念,它指的是两个三角形在形状和大小完全相同的情况下,它们的对应边和对应角完全相等。

本文将详细介绍全等三角形的定义、性质、判定条件以及在几何题中的应用。

关键词:全等三角形、对应边、对应角、判定条件、几何应用1. 全等三角形的定义全等三角形(Congruent Triangles)指的是两个三角形在几何形状和大小上完全相同,即它们的所有对应边和对应角都相等。

在数学符号中,我们通常用“≌”来表示全等。

2. 全等三角形的性质全等三角形具有以下性质:- 对应边相等:两个全等三角形的对应边长度完全相同。

- 对应角相等:两个全等三角形的对应角度数完全相同。

- 对应边上的高相等:两个全等三角形对应边上的高(垂直于边的线段)长度也相等。

- 对应角的平分线相等:两个全等三角形对应角的角平分线长度相等。

- 对应边上的中线相等:两个全等三角形对应边上的中线(连接顶点和对边中点的线段)长度相等。

3. 全等三角形的判定条件要判定两个三角形是否全等,可以通过以下几种条件:- SSS(边边边):如果两个三角形的三边分别相等,那么这两个三角形全等。

- SAS(边角边):如果两个三角形有两边及它们的夹角分别相等,那么这两个三角形全等。

- ASA(角边角):如果两个三角形有两角及它们之间的边分别相等,那么这两个三角形全等。

- AAS(角角边):如果两个三角形有两角及其中一角的对边分别相等,那么这两个三角形全等。

- HL(直角边-直角边):对于直角三角形,如果斜边和一条直角边分别相等,那么这两个三角形全等。

4. 全等三角形在几何题中的应用全等三角形的概念在解决几何问题时非常有用,尤其是在涉及角度和长度计算的问题中。

通过识别和证明三角形全等,我们可以得出隐藏的边长和角度关系,从而解决复杂的几何构造问题。

5. 结论全等三角形是几何学中的一个基础概念,它在解决几何问题中扮演着关键角色。

三角形知识点总结完

三角形知识点总结完

三角形知识点全面总结1、三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等,对应角也相等判定:SSS、SAS、ASA、AAS、HL (RtA^RtA)2、等腰三角形的判定及性质性质:①两腰相等②等边对等角(即“等腰三角形的两个底角相等”)③三线合一(即“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”)判定:①有两边相等的三角形是等腰三角形②有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)结论总结:等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰【即:DE+DF=CP,(D为BC上的任意一点)】3、等边三角形的性质及判定定理性质:①三条边都相等②三个角都相等,并且每个角都等于60度③三线合一(即“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”)④等边三角形是轴对称图形,有3条对称轴。

判定:①三条边都相等的三角形是等边三角形②三个角都相等的三角形是等边三角 形。

③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。

结论总结:①高二亘边【即: AD =巨AB 】 2 2②面积二三3边2【即:S=三3AB 2】4 A ABC 4 4、直角三角形的性质及判定 性质:①两锐角互余②勾股定理③30°角所对的直角边等于斜边的一半。

④斜边中 线等于斜边一半判定:①有一个内角是直角的三角形是直角三角形②勾股定理的逆定理(即“如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。

”)5、线段的垂直平分线性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

判定:①定义法②到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

(2)三角形三边的垂直平分线的性质③一边中线等于这边一半的三角形是直角三角形结论总结:直角三角形斜边上的高二 直角边的乘积 斜边(1)线段垂直平分线的性质及判定【即:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。

(3)如何用尺规作图法作线段的垂直平分线:分别以线段的两个端点人、B 为圆心, 以大于AB 的一半长为半径作弧,两弧交于点乂、N ;作直线MN ,则直线MN 就是线段 AB 的垂直平分线。

初二数学知识点:全等三角形

初二数学知识点:全等三角形

初二数学知识点:全等三角形
初二数学知识点:全等三角形
大家都知道,能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形(congruent triangles)。

那么接下来的全等三角形知识请同学认真记忆了。

一、知识框架:
二、知识概念:
1.基本定义:
⑴全等形:能够完全重合的两个图形叫做全等形.
⑵全等三角形:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
⑶对应顶点:全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.
⑷对应边:全等三角形中互相重合的边叫做对应边.
⑸对应角:全等三角形中互相重合的角叫做对应角.
2.基本性质:
⑴三角形的稳定性:三角形三边的长度确定了,这个三角形的形状、大小就全确定,这个性质叫做三角形的稳定性.
⑵全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等.
3.全等三角形的判定定理:
⑴边边边():三边对应相等的两个三角形全等.
⑵边角边():两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
⑶角边角():两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
⑷角角边():两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形
全等.
⑸斜边、直角边():斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
4.角平分线:
⑴画法:
⑵性质定理:角平分线上的点到角的两边的距离相等.
⑶性质定理的逆定理:角的'内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
5.证明的基本方法:
⑴明确命题中的已知和求证.(包括隐含条件,如公共边、公共角、对顶
角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系)
⑵根据题意,画出图形,并用数字符号表示已知和求证.
⑶经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程.。

全等三角形的性质与判定

全等三角形的性质与判定

B AC D EF 第1讲 全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1.能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同; 2.全等三角形性质:①全等三角形对应边相等,对应角相等;②全等三角形对应高、角平分线、中线相等;③全等三角形对应周长相等,面积相等;3.全等三角形判定方法有:SAS ,ASA ,AAS ,SSS ,对于两个直角三角形全等的判定方法,除上述方法外,还有HL 法;4.证明两个三角形全等的关键,就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件,具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角,再根据选定的判定方法,确定还需要证明哪些相等的边或角,再设法对它们进行证明;5..证明两个三角形全等,根据条件,有时能直接进行证明,有时要证的两个三角形并不全等,这时需要添加辅助线构造全等三角形,构造全等三角形常用的方法有:平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例1】如图,AB ∥EF ∥DC ,∠ABC =90°,AB =CD ,那么图中有全等三角形( ) A .5对 B .4对 C .3对 D .2对【解法指导】从题设题设条件出发,首先找到比较明显的一对全等三角形,并由此推出结论作为下面有用的条件,从而推出第二对,第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解:⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC =90. ∴∠DCB =90. 在△ABC 和△DCB 中AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB (SAS ) ∴∠A =∠D ⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE =CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中BE CEEF EF=⎧⎨=⎩ ∴Rt △EFB ≌Rt △EFC (HL )故选C . 【变式题组】 01.(天津)下列判断中错误的是( )A .有两角和一边对应相等的两个三角形全等B .有两边和一角对应相等的两个三角形全等C .有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等A F C E DB D .有一边对应相等的两个等边三角形全等 02.(丽水)已知命题:如图,点A 、D 、B 、E 在同一条直线上,且AD =BE ,∠A =∠FDE ,则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题,如果是真命题,请给出证明;如果是假命题,请添加一个适当条件使它成为真命题,并加以证明.03.(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ,E 为OB 的中点,F 为OC 的中点,连接EF (如图所示).⑴添加条件∠A =∠D ,∠OEF =∠OFE ,求证:AB =DC ; ⑵分别将“∠A =∠D ”记为①,“∠OEF =∠OFE ”记为②,“AB =DC ”记为③,添加①、③,以②为结论构成命题1;添加条件②、③,以①为结论构成命题2.命题1是______命题,命题2是_______命题(选择“真”或“假”填入空格).【例2】已知AB =DC ,AE =DF ,CF =FB . 求证:AF =DE .【解法指导】想证AF =DE ,首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中,而DE 在△CDE 和△DEF 中,因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明:∵FB =CE ∴FB +EF =CE +EF ,即BE =CF 在△ABE 和△DCF 中, AB DCAE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF (SSS ) ∴∠B =∠C在△ABF 和△DCE 中, AB DC B C BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABF ≌△DCE ∴AF =DE【变式题组】01.如图,AD 、BE 是锐角△ABC 的高,相交于点O ,若BO =AC ,BC =7,CD =2,则AO 的长为( ) A .2 B .3 C .4 D .5A B C D O FE A CEFBD02.如图,在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =90°,AE 是过A 点的一条直线,AE ⊥CE 于E ,BD⊥AE 于D ,DE =4cm ,CE =2cm ,则BD =__________. \ 03.(北京)已知:如图,在△ABC 中,∠ ACB =90°,CD ⊥AB 于点D ,点E 在AC 上,CE =BC ,过点E 作AC 的垂线,交CD 的延长线于点F . 求证:AB =FC .【例3】如图①,△ABC ≌△DEF ,将△ABC 和△DEF 的顶点B 和顶点E 重合,把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转,这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置,点B (E )、C 、D 在同一直线上时,∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时,⑴中的结论成立吗?请说明理由_____________.【解法指导】⑴∠AFD =∠DCA⑵∠AFD =∠DCA 理由如下:由△ABC ≌△DEF ,∴AB =DE ,BC =EF , ∠ABC =∠DEF , ∠BAC =∠EDF ∴∠ABC -∠FBC =∠DEF -∠CBF , ∴∠ABF =∠DEC在△ABF 和△DEC 中, AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DEC ∠BAF =∠DEC ∴∠BAC -∠BAF =∠EDF -∠EDC , ∴∠FAC =∠CDF∵∠AOD =∠FAC +∠AFD =∠CDF +∠DCA∴∠AFD =∠DCAB (E )OC F 图③DAAFECB DAE第1题图A BCDEBCDO第2题图【变式题组】01.(绍兴)如图,D、E分别为△ABC的AC、BC边的中点,将此三角形沿DE折叠,使点C 落在AB边上的点P处.若∠CDE=48°,则∠APD等于()A.42°B.48°C.52°D.58°02.如图,Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF,下列结论中错误的是()A.△ABC≌△DEF B.∠DEF=90°C.AC=DF D.EC=CF03.一张长方形纸片沿对角线剪开,得到两种三角形纸片,再将这两张三角形纸片摆成如下图形式,使点B、F、C、D在同一条直线上.⑴求证:AB⊥ED;⑵若PB=BC,找出图中与此条件有关的一对全等三角形,并证明.【例4】(第21届江苏竞赛试题)已知,如图,BD、CE分别是△ABC的边A C和AB边上的高,点P在BD的延长线,BP=AC,点Q在CE上,CQ=AB.求证:⑴AP=AQ;⑵AP⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等,也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察,证AP=AQ,也就是证△APD和△AQE,或△APB和△QAC全等,由已知条件BP=AC,CQ=AB,应该证△APB≌△QAC,已具备两组边对应相等,于是再证夹角∠1=∠2即可. 证AP⊥AQ,即证∠PAQ=90°,∠PAD+∠QAC=90°就可以.证明:⑴∵BD、CE分别是△ABC的两边上的高,∴∠BDA=∠CEA=90°,∴∠1+∠BAD=90°,∠2+∠BAD=90°,∴∠1=∠2.在△APB和△QAC中, 2AB QCBP CA=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠∴△APB≌△QAC,∴AP=AQE FBACDG第2题图21ABCPQEFD⑵∵△APB ≌△QAC ,∴∠P =∠CAQ , ∴∠P +∠PAD =90° ∵∠CAQ +∠PAD =90°,∴AP ⊥AQ 【变式题组】01.如图,已知AB =AE ,∠B =∠E ,BA =ED ,点F 是CD 的中点,求证:02.直距离MA 为am ,此时梯子的倾斜角为75°,如果梯子底端不动,顶端靠在对面的墙上,此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为bm ,梯子倾斜角为45°,这间房子的宽度是( )A .2a bm + B .2a bm - C .bm D .am03.如图,已知五边形ABCDE 中,∠ ABC =∠AED =90°,AB =CD =AE =BC +DE =2,则五边形ABCDE 的面积为__________演练巩固·反馈提高01.(海南)已知图中的两个三角形全等,则∠α度数是( )A .72°B .60°C .58°D .50°02.如图,△ACB ≌△A /C /B /,∠ BCB /=30°,则∠ACA /的度数是( )A .20°B .30°C .35°D .40° 03.(牡丹江)尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下:以O 为圆心,任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ,再分别以点C 、D 为圆心,以大于12CD 长为半径画弧,两弧交于点P ,作射线OP ,由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是( )第1题图a αcca50° b72° 58°AECBA 75° C45° BNM第2题图第3题图DA .SASB .ASAC .AASD .SSS 04.(江西)如图,已知AB =AD ,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是( )A . CB =CD B .∠BAC =∠DAC C . ∠BCA =∠DCAD .∠B =∠D =90°05.有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC 和△BDE ,将它们的一个锐角顶点放在一起,将它们的一个锐角顶点放在一起,如图,当A 、B 、D 不在一条直线上时,下面的结论不正确的是( )A . △ABE ≌△CBDB . ∠ABE =∠CBDC . ∠ABC =∠EBD =45° D . AC ∥BE06.如图,△ABC 和共顶点A ,AB =AE ,∠1=∠2,∠B =∠E . BC 交AD 于M ,DE 交AC 于N ,小华说:“一定有△ABC ≌△AED .”小明说:“△ABM ≌△AEN .”那么( ) A . 小华、小明都对 B . 小华、小明都不对 C . 小华对、小明不对 D .小华不对、小明对07.如图,已知AC =EC , BC =CD , AB =ED ,如果∠BCA =119°,∠ACD =98°,那么∠ECA 的度数是___________.08.如图,△ABC ≌△ADE ,BC 延长线交DE 于F ,∠B =25°,∠ACB =105°,∠DAC =10°,则∠DFB 的度数为_______.09.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°, DE ⊥AB 于D , BC =BD . AC =3,那么AE +DE =______10.如图,BA ⊥AC , CD ∥AB . BC =DE ,且BC ⊥DE ,若AB =2, CD =6,则AE =_____. 11.如图, AB =CD , AB ∥CD . BC =12cm ,同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发,沿CB 方向爬行,P 的速度是0.1cm /s , Q 的速度是0.2cm /s . 求爬行时间t 为多少时,△APB ≌△QDC .DA C .Q P.BA E FB DC 12.如图, △ABC 中,∠BCA =90°,AC =BC ,AE 是BC 边上的中线,过C 作CF ⊥AE ,垂足为F ,过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D . ⑴求证:AE =CD ;⑵若AC =12cm , 求BD 的长.13.(吉林)如图,AB =AC ,AD ⊥BC 于点D ,AD 等于AE ,AB 平分∠DAE 交DE 于点F , 请你写出图中三对全等三角形,并选取其中一对加以证明.14.如图,将等腰直角三角板ABC的直角顶点C 放在直线l 上,从另两个顶点A 、B 分别作l 的垂线,垂足分别为D 、E .⑴找出图中的全等三角形,并加以证明; ⑵若DE =a ,求梯形DABE 的面积.(温馨提示:补形法)15.如图,AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD =BC ,CE ⊥AB ,DF ⊥AB ,垂足分别是E 、F .求证:CE =DF .16.我们知道,两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等,那么在什么情况下,它们会全等? ⑴阅读与证明:对于这两个三角形均为直角三角形,显然它们全等;对于这两个三角形均为钝角三角形,可证明它们全等(证明略); 对于这两个三角形均为锐角三角形,它们也全等,可证明如下;已知△ABC 、△A 1B 1C 1均为锐角三角形,AB =A 1B 1,BC =B 1C 1,∠C =∠C 1.求证:△ABC ≌△A 1B 1C 1.(请你将下列证明过程补充完整)⑵归纳与叙述:由⑴可得一个正确结论,请你写出这个结论.ABCDA 1B 1C 1D 1D B A C EF A E B F D CAEF C DB 培优升级·奥赛检测01.如图,在△ABC 中,AB =AC ,E 、F 分别是AB 、AC 上的点,且AE =AF ,BF 、CE 相交于点O ,连接AO 并延长交BC 于点D ,则图中全等三角形有( ) A .4对 B .5对 C .6对 D .7对02.如图,在△ABC 中,AB =AC ,OC =OD ,下列结论中:①∠A =∠B ②DE =CE ,③连接DE , 则OE 平分∠AOB ,正确的是( ) A .①② B .②③ C .①③ D .①②③03.如图,A 在DE 上,F 在AB 上,且AC =CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE 的长等于()A .DCB . BC C . ABD .AE +AC04.下面有四个命题,其中真命题是( )A .两个三角形有两边及一角对应相等,这两个三角形全等B .两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C . 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D . 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等05.在△ABC 中,高AD 和BE 所在直线相交于H 点,且BH =AC ,则∠ABC =_______.06.如图,EB 交AC 于点M , 交FC 于点D , AB 交FC 于点N ,∠E =∠F =90°,∠B =∠C , AE=AF . 给出下列结论:①∠1=∠2;②BE =CF ; ③△ACN ≌△ABM ; ④CD =DB ,其中正确的结论有___________.(填序号)07.如图,AD 为在△ABC 的高,E 为AC 上一点,BE 交AD 于点F ,且有BF =AC ,FD =CD .⑴求证:BE ⊥AC ;⑵若把条件“BF =AC ”和结论“BE ⊥AC ”互换,这个命题成立吗?证明你的判定.08.如图,D 为在△ABC 的边BC 上一点,且CD =AB ,∠BDA =∠BAD ,AE 是△ABD 的中线.求证:AC =2AE .09.如图,在凸四边形ABCD 中,E 为△ACD 内一点,满足AC =AD ,AB =AE , ∠BAE +∠BCEABE D CF第6题图2 1AB CE N M3 21ADEBC FADECOA E O BFC D 第1题图B第2题图第3题图AEBDC=90°, ∠BAC =∠EAD .求证:∠CED =90°.10.(沈阳)将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放,其中∠ACB =∠DEB =90°,∠A =∠D =30°,点E 落在AB 上,DE 所在直线交AC 所在直线于点F .⑴求证:AF +EF =DE ;⑵若将图①中△DBE 绕点B 顺时针方向旋转角α,且0°<α<60°,其他条件不变,请在图②中画出变换后的图形,并直接写出(1)中结论是否仍然成立;⑶若将图①中△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β,且60°<β<180°,其他条件不变,如图③你认为(1)中结论还成立吗?若成立,写出证明过程;若不成立,请写出此时AF 、EF 与DE 之间的关系,并说明理由。

全等三角形 知识点总结

全等三角形 知识点总结

全等三角形知识点总结在初中数学学习中,我们学习到了三角形的全等。

全等三角形是初中数学中一个非常重要的知识点,也是基础中的基础。

全等三角形的概念、性质和判定方法都是我们需要掌握的重点内容。

本文将对全等三角形的相关知识点进行总结,帮助大家更好地掌握和理解这一部分内容。

一、全等三角形的定义什么是全等三角形呢?全等三角形是指在三角形的三个对应角相等、三个对应边相等的情况下,我们就可以称这两个三角形是全等的。

用符号来表示的话,就是∆ABC≌∆DEF,其中A、B、C分别是∆ABC的三个顶点,D、E、F分别是∆DEF的三个顶点。

全等三角形的性质1、全等三角形的性质1:对应角相等如果两个三角形是全等的,那么它们的三个对应角分别相等。

也就是说,在全等三角形中,三个对应角是相等的。

2、全等三角形的性质2:对应边相等如果两个三角形是全等的,那么它们的三个对应边分别相等。

也就是说,在全等三角形中,三个对应边是相等的。

3、全等三角形的性质3:对应线段相等如果两个三角形是全等的,那么它们的对应线段(如中线、角平分线等)也相等。

二、全等三角形的判定方法全等三角形有几种判定方法,下面我们分别来看看。

1、全等三角形的判定方法一:SAS判定法SAS判定法是指边-角-边全等判定法。

也就是说,如果两个三角形的一个角和两个边分别相等,则这两个三角形是全等的。

判定条件:如果在两个三角形中,一对对应边相等,且夹在中间的对应角也相等,那么这两个三角形是全等的。

2、全等三角形的判定方法二:ASA判定法ASA判定法是指角-边-角全等判定法。

也就是说,如果两个三角形的两个角和一个夹在中间的边分别相等,则这两个三角形是全等的。

判定条件:如果在两个三角形中,一对对应角相等,且夹在中间的对应边也相等,那么这两个三角形是全等的。

3、全等三角形的判定方法三:SSS判定法SSS判定法是指边-边-边全等判定法。

也就是说,如果两个三角形的三条边分别相等,则这两个三角形是全等的。

小学数学知识归纳三角形的全等判定及性质

小学数学知识归纳三角形的全等判定及性质

小学数学知识归纳三角形的全等判定及性质三角形是数学中一个重要的几何形状,研究三角形的性质和判断三角形是否全等是小学数学的基础内容之一。

本文将对小学数学中三角形的全等判定及性质进行归纳总结,并提供相应的例题进行说明。

一、三角形全等的判定方法1. SSS全等法则SSS全等法则是指三角形的三边分别相等时,可以判断两个三角形全等。

具体来说,如果三角形ABC和三角形DEF的边长满足AB=DE,BC=EF,AC=DF,那么可以得出三角形ABC≌DEF。

例题1:已知在三角形ABC和三角形DEF中,AB=DE,BC=EF,AC=DF,证明三角形ABC≌DEF。

解:根据SSS全等法则,可以得出三角形ABC≌DEF。

2. SAS全等法则SAS全等法则是指两个三角形的边边角相对应相等时,可以判断两个三角形全等。

具体来说,如果三角形ABC和三角形DEF满足AB=DE,∠ABC=∠DEF,BC=EF,那么可以得出三角形ABC≌DEF。

例题2:已知在三角形ABC和三角形DEF中,AB=DE,∠ABC=∠DEF,BC=EF,证明三角形ABC≌DEF。

解:根据SAS全等法则,可以得出三角形ABC≌DEF。

3. ASA全等法则ASA全等法则是指两个三角形的角边角相对应相等时,可以判断两个三角形全等。

具体来说,如果三角形ABC和三角形DEF满足∠ABC=∠DEF,AC=DF,∠BAC=∠EDF,那么可以得出三角形ABC≌DEF。

例题3:已知在三角形ABC和三角形DEF中,∠ABC=∠DEF,AC=DF,∠BAC=∠EDF,证明三角形ABC≌DEF。

解:根据ASA全等法则,可以得出三角形ABC≌DEF。

二、全等三角形的性质1. 全等三角形的对应边和对应角相等如果两个三角形全等,那么它们的对应边和对应角相等。

例如,如果三角形ABC≌DEF,那么AB=DE,BC=EF,AC=DF,并且∠ABC=∠DEF,∠BCA=∠EFD,∠CAB=∠FDE。

(完整版)全等三角形知识总结和经典例题

(完整版)全等三角形知识总结和经典例题

全等三角形复习[ 知识要点 ]一、全等三角形1.判定和性质一般三角形直角三角形边角边( SAS)、角边角( ASA)具备一般三角形的判定方法判定斜边和一条直角边对应相等( HL )角角边( AAS)、边边边( SSS)对应边相等,对应角相等性质对应中线相等,对应高相等,对应角平分线相等注:①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等;② 全等三角形面积相等.2.证题的思路:找夹角( SAS)已知两边找直角( HL )找第三边( SSS)若边为角的对边,则找任意角( AAS)找已知角的另一边(SAS)已知一边一角边为角的邻边找已知边的对角(AAS)找夹已知边的另一角(ASA)找两角的夹边(ASA)已知两角找任意一边(AAS)性质1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。

2、全等三角形的对应边上的高对应相等。

3、全等三角形的对应角平分线相等。

4、全等三角形的对应中线相等。

5、全等三角形面积相等。

6、全等三角形周长相等。

( 以上可以简称 : 全等三角形的对应元素相等)7、三边对应相等的两个三角形全等。

(SSS)8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

(SAS)9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

(ASA)10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

(AAS)11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

(HL)运用1、性质中三角形全等是条件,结论是对应角、对应边相等。

而全等的判定却刚好相反。

2、利用性质和判定,学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。

在写两个三角形全等时,一定把对应的顶点,角、边的顺序写一致,为找对应边,角提供方便。

3,当图中出现两个以上等边三角形时,应首先考虑用 SAS找全等三角形。

4、用在实际中,一般我们用全等三角形测等距离。

以及等角,用于工业和军事。

有一定帮助。

5、角平分线的性质及判定性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定:到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上做题技巧一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。

专题06 全等三角形的性质与判定篇(解析版)

专题06 全等三角形的性质与判定篇(解析版)

专题06 全等三角形的判定与性质1. 三角形的三边关系:三角形的任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。

三角形的三边一旦确定,这三角形就固定了,这是三角形具有稳定性。

2. 三角形的内角和定理:三角形的三个内角之和等于180°。

3. 三角形的外角定理:三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和。

大于它不相邻的任意一个内角。

4. 全等三角形的性质:若两个三角形全等,则他们的对应边相等;对应角相等;对应边上的中线相等,高线相等,角平分线也相等;且这两个三角形的周长和面积均相等。

5. 全等三角形的判定:①边边边(SSS):三条边分别对应性相等的两个三角形全等。

②边角边(SAS):两边及其这两边的夹角对应相等的两个三角形全等。

③角边角(ASA):两角及其这两角的夹边对应相等的两个三角形全等。

④角角边(AAS):两角及其其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

⑤直角三角形判定(HL):直角三角形中斜边与其中任意一直角边分别对应相等的两个直角三角形全等。

全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定条件。

在应用全等三角形的判定时,要注意三角形间的公共边和公共角,必要时添加适当辅助线构造三角形。

1.已知:如图,∠1=∠2,∠3=∠4.求证:AB=AD.【分析】根据邻补角的定义得出∠ACB=∠ACD,利用ASA证明△ACB≌△ACD,根据全等三角形的性质即可得解.【解答】证明:∵∠3=∠4,∴∠ACB=∠ACD,在△ACB和△ACD中,,∴△ACB≌△ACD(ASA),∴AB=AD.2.如图,△ABC是等腰三角形,点D,E分别在腰AC,AB上,且BE=CD,连接BD,CE.求证:BD=CE.【分析】根据等腰三角形的性质得出∠EBC=∠DCB,进而利用SAS证明△EBC与△DCB全等,再利用全等三角形的性质解答即可.【解答】证明:∵△ABC是等腰三角形,∴∠EBC=∠DCB,在△EBC与△DCB中,,∴△EBC≌△DCB(SAS),∴BD=CE.3.如图1是小军制作的燕子风筝,燕子风筝的骨架图如图2所示,AB=AE,AC=AD,∠BAD=∠EAC,∠C=50°,求∠D的大小.【分析】由∠BAD=∠EAC可得∠BAC=∠EAD,根据SAS可证△BAC≌△EAD,再根据全等三角形的性质即可求解.【解答】解:∵∠BAD=∠EAC,∴∠BAD+∠CAD=∠EAC+∠CAD,即∠BAC=∠EAD,在△BAC与△EAD中,,∴△BAC≌△EAD(SAS),∴∠D=∠C=50°.4.如图,AC平分∠BAD,CB⊥AB,CD⊥AD,垂足分别为B,D.(1)求证:△ABC≌△ADC;(2)若AB=4,CD=3,求四边形ABCD的面积.【分析】(1)由AC平分∠BAD,得∠BAC=∠DAC,根据CB⊥AB,CD⊥AD,得∠B=90°=∠D,用AAS可得△ABC≌△ADC;(2)由(1)△ABC ≌△ADC ,得BC =CD =3,S △ABC =S △ADC ,求出S △ABC =AB •BC =6,即可得四边形ABCD 的面积是12.【解答】(1)证明:∵AC 平分∠BAD ,∴∠BAC =∠DAC ,∵CB ⊥AB ,CD ⊥AD ,∴∠B =90°=∠D ,在△ABC 和△ADC 中,,∴△ABC ≌△ADC (AAS );(2)解:由(1)知:△ABC ≌△ADC ,∴BC =CD =3,S △ABC =S △ADC ,∴S △ABC =AB •BC =×4×3=6,∴S △ADC =6,∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ADC =12,答:四边形ABCD 的面积是12.5.如图,在△ABC 中,点D 在边BC 上,CD =AB ,DE ∥AB ,∠DCE =∠A .求证:DE =BC .【分析】利用平行线的性质得∠EDC =∠B ,再利用ASA 证明△CDE ≌△ABC ,可得结论.【解答】证明:∵DE ∥AB ,∴∠EDC =∠B ,在△CDE 和△ABC 中,,∴△CDE ≌△ABC (ASA ),∴DE =BC .6.如图,在等边三角形ABC中,点M为AB边上任意一点,延长BC至点N,使CN=AM,连接MN交AC 于点P,MH⊥AC于点H.(1)求证:MP=NP;(2)若AB=a,求线段PH的长(结果用含a的代数式表示).【分析】(1)过点M作MQ∥BC,交AC于点Q,根据等边三角形的性质以及平行线的性质可得∠AMQ =∠AQM=∠A=60°,可得△AMQ是等边三角形,易证△QMP≌△CNP(AAS),即可得证;(2)根据等边三角形的性质可知AH=HQ,根据全等三角形的性质可知QP=PC,即可表示出HP的长.【解答】(1)证明:过点M作MQ∥BC,交AC于点Q,如图所示:在等边△ABC中,∠A=∠B=∠ACB=60°,∵MQ∥BC,∴∠AMQ=∠B=60°,∠AQM=∠ACB=60°,∠QMP=∠N,∴△AMQ是等边三角形,∴AM=QM,∵AM=CN,∴QM=CN,在△QMP和△CNP中,,∴△QMP≌△CNP(AAS),∴MP=NP;(2)解:∵△AMQ是等边三角形,且MH⊥AC,∴AH=HQ,∵△QMP≌△CNP,∴QP=CP,∴PH=HQ+QP=AC,∵AB=a,AB=AC,∴PH=a.7.如图,点A,D,C,F在同一条直线上,AB=DE,BC=EF.有下列三个条件:①AC=DF,②∠ABC =∠DEF,③∠ACB=∠DFE.(1)请在上述三个条件中选取一个条件,使得△ABC≌△DEF.你选取的条件为(填写序号) (只需选一个条件,多选不得分),你判定△ABC≌△DEF的依据是 (填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”);(2)利用(1)的结论△ABC DEF.求证:AB∥DE.【分析】(1)根据SSS即可证明△ABC≌△DEF,即可解决问题;(2)根据全等三角形的性质可得∠A=∠EDF,再根据平行线的判定即可解决问题.【解答】(1)解:在△ABC和△DEF中,,∴△ABC≌△DEF(SSS),∴在上述三个条件中选取一个条件,使得△ABC≌△DEF,选取的条件为①,判定△ABC≌△DEF的依据是SSS.故答案为:①,SSS;(答案不唯一).(2)证明:∵△ABC≌△DEF.∴∠A=∠EDF,∴AB∥DE.8.在△ABC中,∠ACB=90°,D为△ABC内一点,连接BD,DC,延长DC到点E,使得CE=DC.(1)如图1,延长BC到点F,使得CF=BC,连接AF,EF.若AF⊥EF,求证:BD⊥AF;(2)连接AE,交BD的延长线于点H,连接CH,依题意补全图2.若AB2=AE2+BD2,用等式表示线段CD与CH的数量关系,并证明.【分析】(1)证明△BCD≌△FCE(SAS),由全等三角形的性质得出∠DBC=∠EFC,证出BD∥EF,则可得出结论;(2)由题意画出图形,延长BC到F,使CF=BC,连接AF,EF,由(1)可知BD∥EF,BD=EF,证出∠AEF=90°,得出∠DHE=90°,由直角三角形的性质可得出结论.【解答】(1)证明:在△BCD和△FCE中,,∴△BCD≌△FCE(SAS),∴∠DBC=∠EFC,∴BD∥EF,∵AF⊥EF,∴BD⊥AF;(2)解:由题意补全图形如下:CD=CH.证明:延长BC到F,使CF=BC,连接AF,EF,∵AC⊥BF,BC=CF,∴AB=AF,由(1)可知BD∥EF,BD=EF,∵AB2=AE2+BD2,∴AF2=AE2+EF2,∴∠AEF=90°,∴AE⊥EF,∴BD⊥AE,∴∠DHE=90°,又∵CD=CE,∴CH=CD=CE.9.如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°,且点D在线段BC上,连CE.(1)求证:△ABD≌△ACE;(2)若∠EAC=60°,求∠CED的度数.【分析】(1)可利用SAS证明结论;(2)由全等三角形的性质可得∠ACE=∠ABD,利用等腰直角三角形的性质可求得∠ACE=∠ABD=∠AED=45°,再根据三角形的内角和定理可求解∠AEC的度数,进而可求可求解【解答】(1)证明:∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAC﹣∠CAD=∠DAE﹣∠CAD,即∠BAD=∠CAE,在△ABD和△ACE中,,∴△ABD≌△ACE(SAS);(2)解:∵△ABD≌△ACE,∴∠ACE=∠ABD,∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∴∠ACE=∠ABD=∠AED=45°,∵∠EAC=60°,∴∠AEC=180°﹣∠ACE﹣∠EAC=180°﹣45°﹣60°=75°,∴∠CED=∠AEC﹣∠AED=75°﹣45°=30°.10.如图,在△ABC中(AB<BC),过点C作CD∥AB,在CD上截取CD=CB,CB上截取CE=AB,连接DE、DB.(1)求证:△ABC≌△ECD;(2)若∠A=90°,AB=3,BD=2,求△BCD的面积.【分析】(1)由CD∥AB得∠ABC=∠ECD,而CD=CB,CE=AB,即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABC≌△ECD;(2))由∠A=90°,根据全等三角形的对应角相等证明∠BED=∠CED=∠A=90°,设BE=x,由BD2﹣BE2=CD2﹣EC2=DE2,列方程(2)2﹣x2=(3+x)2﹣32,解方程求得符合题意的x的值为2,则BC=5,再根据勾股定理求出DE的长,即可求出△BCD的面积.【解答】(1)证明:∵CD∥AB,CD=CB,CE=AB,∴∠ABC=∠ECD,在△ABC和△ECD中,,∴△ABC≌△ECD(SAS).(2)解:∵∠A=90°,∴∠CED=∠A=90°,∴∠BED=180°﹣∠CED=90°,设BE=x,∵EC=AB=3,BD=2,∴CD=BC=3+x,∵BD2﹣BE2=CD2﹣EC2=DE2,∴(2)2﹣x2=(3+x)2﹣32,整理得x2+3x﹣10=0,解得x1=2,x2=﹣5(不符合题意,舍去),∴BE=2,BC=3+2=5,∴DE===4,=BC•DE=×5×4=10,∴S△BCD∴△BCD的面积为10.11.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,D是BC边上的一点,以AD为直角边作等腰Rt△ADE,其中∠DAE=90°,连接CE.(1)求证:△ABD≌△ACE;(2)若∠BAD=22.5°时,求BD的长.【分析】(1)由“SAS”可证△ABD≌△ACE;(2)由等腰三角形三角形的性质可得BC的长,由角度关系可求∠ADC=67.5°=∠CAD,可得AC=CD =1,即可求解.【解答】(1)证明:∵∠BAC=90°=∠DAE,∴∠BAD=∠CAE,在△ABD和△ACE中,,∴△ABD≌△ACE(SAS);(2)解:∵∠BAC=90°,AB=AC=1,∴BC=,∠B=∠ACB=45°,∵∠BAD=22.5°,∴∠ADC=67.5°=∠CAD,∴AC=CD=1,∴BD=﹣1.12.如图,已知矩形ABCD中,AB=8,BC=x(0<x<8),将△ACB沿AC对折到△ACE的位置,AE和CD交于点F.(1)求证:△CEF≌△ADF;(2)求tan∠DAF的值(用含x的式子表示).【分析】(1)根据矩形的性质得到∠B=∠D=90°,BC=AD,根据折叠的性质得到BC=CE,∠E=∠B=90°,等量代换得到∠E=∠D=90°,AD=CE,根据AAS证明三角形全等即可;(2)设DF=a,则CF=8﹣a,根据矩形的性质和折叠的性质证明AF=CF=8﹣a,在Rt△ADF中,根据勾股定理表示出DF的长,根据正切的定义即可得出答案.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=∠D=90°,BC=AD,根据折叠的性质得:BC=CE,∠E=∠B=90°,∴∠E=∠D=90°,AD=CE,在△CEF与△ADF中,,∴△CEF≌△ADF(AAS);(2)解:设DF=a,则CF=8﹣a,∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,AD=BC=x,∴∠DCA=∠BAC,根据折叠的性质得:∠EAC=∠BAC,∴∠DCA=∠EAC,∴AF=CF=8﹣a,在Rt△ADF中,∵AD2+DF2=AF2,∴x2+a2=(8﹣a)2,∴a=,∴tan∠DAF==.13.如图,△ABC和△DEF,点E,F在直线BC上,AB=DF,∠A=∠D,∠B=∠F.如图①,易证:BC+BE =BF.请解答下列问题:(1)如图②,如图③,请猜想BC,BE,BF之间的数量关系,并直接写出猜想结论;(2)请选择(1)中任意一种结论进行证明;(3)若AB=6,CE=2,∠F=60°,S=123,则BC= ,BF= .△ABC【分析】(1)根据图形分别得出答案;(2)利用AAS证明△ABC≌△DFE,得BC=EF,再根据图形可得结论;(3)首先利用含30°角的直角三角形的性质求出BH和AH的长,从而得出BC,再对点E的位置进行分类即可.【解答】解:(1)图②:BC+BE=BF,图③:BE﹣BC=BF;(2)图②:∵AB=DF,∠A=∠D,∠B=∠F,∴△ABC≌△DFE(ASA),∴BC=EF,∵BE=BC+CE,∴BC+BE=EF+BC+CE=BF;图③:∵AB=DF,∠A=∠D,∠B=∠F,∴△ABC≌△DFE(ASA),∴BC=EF,∵BE=BF+EF,∴BE﹣BC=BF+EF﹣BC=BF+BC﹣BC=BF;(3)当点E在BC上时,如图,作AH⊥BC于H,∵∠B=∠F=60°,∴∠BAH=30°,∴BH=3,∴AH=3,∵S=12,△ABC∴=12,∴BC=8,∵CE=2,∴BF=BE+EF=8﹣2+8=14;同理,当点E在BC延长线上时,如图②,BF=BC+BE=8+10=18,故答案为:8,14或18.14.△ABC和△ADE都是等边三角形.(1)将△ADE绕点A旋转到图①的位置时,连接BD,CE并延长相交于点P(点P与点A重合),有PA+PB=PC(或PA+PC=PB)成立(不需证明);(2)将△ADE绕点A旋转到图②的位置时,连接BD,CE相交于点P,连接PA,猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系?并加以证明;(3)将△ADE绕点A旋转到图③的位置时,连接BD,CE相交于点P,连接PA,猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系?直接写出结论,不需要证明.【分析】(2)证明△ABD≌△ACE(SAS)和△BAF≌△CAP(SAS),得AF=AP,∠BAF=∠CAP,再证明△AFP是等边三角形,最后由线段的和可得结论;(3)如图③,在PC上截取CM=PB,连接AM,同理可得结论.【解答】解:(2)PB=PA+PC,理由如下:如图②,在BP上截取BF=PC,连接AF,∵△ABC、△ADE都是等边三角形,∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,∴∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE,即∠DAB=∠EAC,∴△ABD≌△ACE(SAS),∴∠ABD=∠ACE,∵AB=AC,BF=CP,∴△BAF≌△CAP(SAS),∴AF=AP,∠BAF=∠CAP,∴∠BAC=∠PAF=60°,∴△AFP是等边三角形,∴PF=PA,∴PB=BF+PF=PC+PA;(3)PC=PA+PB,理由如下:如图③,在PC上截取CM=PB,连接AM,同理得:△ABD≌△ACE(SAS),∴∠ABD=∠ACE,∵AB=AC,PB=CM,∴△AMC≌△APB(SAS),∴AM=AP,∠BAP=∠CAM,∴∠BAC=∠PAM=60°,∴△AMP是等边三角形,∴PM=PA,∴PC=PM+CM=PA+PB.15.【情境再现】甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置,甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处.将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置.小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图,并连接AG,BH,如图③所示,AB交HO于E,AC交OG于F,通过证明△OBE≌△OAF,可得OE=OF.请你证明:AG=BH.【迁移应用】延长GA分别交HO,HB所在直线于点P,D,如图④,猜想并证明DG与BH的位置关系.【拓展延伸】小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤,按图⑤作出示意图,并连接HB,AG,如图⑥所示,其他条件不变,请你猜想并证明AG与BH的数量关系.【分析】【情境再现】由△OBE≌△OAF,得BE=AF,OE=OF,∠BEO=∠AFO,可证明△BHE≌△AGF (SAS),得BH=AG;【迁移应用】由△BHE≌△AGF,得∠BHE=∠AGF,可得∠AGF+∠GPO=90°,从而∠BHE+∠HPD=90°,∠HDP=90°,故DG⊥BH;【拓展延伸】设AB交OH于T,交AC于K,根据△ABC,△HOG是含30°角的直角三角形,AO⊥BC,可得OB=AO,∠OBA=∠OAC=30°,∠BOT=90°﹣∠AOT=∠AOK,即得△BOT∽△AOK,有===,∠BTO=∠AKO,又OH=GO,可得==,故△BTH∽△AKG,即得==,BH=AG.【解答】【情境再现】证明:由阅读材料知△OBE≌△OAF,∴BE=AF,OE=OF,∠BEO=∠AFO,∴∠BEH=∠AFG,∵OH=OG,∴OH﹣OE=OG﹣OF,即EH=GF,在△BHE和△AGF中,,∴△BHE≌△AGF(SAS),∴BH=AG;【迁移应用】解:猜想:DG⊥BH;证明如下:由【情境再现】知:△BHE≌△AGF,∴∠BHE=∠AGF,∵∠HOG=90°,∴∠AGF+∠GPO=90°,∴∠BHE+∠GPO=90°,∵∠GPO=∠HPD,∴∠BHE+∠HPD=90°,∴∠HDP=90°,∴DG⊥BH;【拓展延伸】解:猜想:BH=AG,证明如下:设AB交OH于T,OG交AC于,如图:由已知得:△ABC,△HOG是含30°角的直角三角形,AO⊥BC,∴∠AOB=90°,∴OB=AO,∠OBA=∠OAC=30°,∠BOT=90°﹣∠AOT=∠AOK,∴△BOT∽△AOK,∴===,∠BTO=∠AKO,∴OT=OK,BT=AK,∠BTH=∠AKG,∵OH=GO,∴HT=OH﹣OT=GO﹣OK=(GO﹣OK)=KG,∴==,∴△BTH∽△AKG,∴==,∴BH=AG.。

全等三角形及基本判定定理

全等三角形及基本判定定理

全等三角形全等三角形【知识要点】1.全等图形定义:两个能够重合的图形称为全等图形. 2.全等图形的性质:(1)全等图形的形状和大小都相同,对应边相等,对应角相等 (2)全等图形的面积相等3.全等三角形:两个能够完全重合的三角形称为全等三角形(1)表示方法:两个三角形全等用符号“≌”来表示,读作“全等于” 如DEF ABC ∆∆与全等,记作ABC ∆≌DEF ∆ (2)符号“≌”的含义:“∽”表示形状相同,“=”表示大小相等,合起来就是形状相同,大小也相等,这就是全等.(3)两个全等三角形重合时,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角.(4)证两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.全等三角形的判定1:SSS三边对应相等的两个三角形全等,简与成“边边边”或“SSS ”.如图,在ABC ∆和DEF ∆中⎪⎩⎪⎨⎧===DF AC EF BC DEABABC ∆∴≌DEF ∆【典型例题】例1.如图,ABC ∆≌ADC ∆,点B 与点D 是对应点,︒=∠26BAC ,且︒=∠20B ,1=∆ABC S ,求A C D D C A D ∠∠∠,,的度数及ACD ∆的面积.A BC DEFABDC例2.如图,ABC ∆≌DEF ∆,cm CE cm BC A 5,9,50==︒=∠,求ED F ∠的度数及CF 的长.例3.如图,已知:AB=AD ,AC=AE ,BC=DE ,求证:CAD BAE ∠=∠例4.如图AB=DE ,BC=EF ,AD=CF ,求证:(1)ABC ∆≌DEF ∆ (2)AB//DE ,BC//EFA B E C FD A BE CD ABCDFE例5.如图,在,90︒=∠∆C ABC 中D 、E 分别为AC 、AB 上的点,且BE=BC ,DE=DC ,求证:(1)AB DE ⊥;(2)BD 平分ABC ∠ (角平分线的相关证明及性质)全等三角形判定定理2:SAS两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“SAS ”。

八年级数学上册三角形全等的判定知识点

八年级数学上册三角形全等的判定知识点

八年级数学上册三角形全等的判定知识点01三角形全等的判定1.三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)。

2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。

3.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。

4.有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。

5.直角三角形全等条件有:斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。

02全等三角形的性质①全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等。

②全等三角形的周长、面积相等。

③全等三角形的对应边上的高对应相等。

④全等三角形的对应角的角平分线相等。

⑤全等三角形的对应边上的中线相等。

03找全等三角形的方法(1)可以从结论出发,看要证明相等的两条线段(或角)分别在哪两个可能全等的三角形中;(2)可以从已知条件出发,看已知条件可以确定哪两个三角形相等;(3)从条件和结论综合考虑,看它们能一同确定哪两个三角形全等;(4)若上述方法均不行,可考虑添加辅助线,构造全等三角形。

三角形全等的证明中包含两个要素:边和角。

缺个角的条件:缺条边的条件:04构造辅助线的常用方法1.关于角平分线的辅助线当题目的条件中出现角平分线时,要想到根据角平分线的性质构造辅助线。

角平分线具有两条性质:①角平分线具有对称性;②角平分线上的点到角两边的距离相等。

关于角平分线常用的辅助线方法:(1)截取构全等如下左图所示,OC是∠AOB的角平分线,D为OC上一点,F为OB上一点,若在OA上取一点E,使得OE=OF,并连接DE,则有△OED≌△OFD,从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

例:如上右图所示,AB//CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,点E在AD上,求证:BC=AB+CD。

提示:在BC上取一点F使得BF=BA,连结EF。

(2)角分线上点向角两边作垂线构全等利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。

如下左图所示,过∠AOB的平分线OC上一点D向角两边OA、OB作垂线,垂足为E、F,连接DE、DF。

数学中考总复习(一轮复习)第17讲全等三角形

数学中考总复习(一轮复习)第17讲全等三角形

第17讲全等三角形【考点总汇】一、全等三角形的性质及判定定理 1•性质(1) _________________________ 全等三角形的对应边,对应角 。

(2) ________________________________ 全等三角形的对应边的中线 _______________________ ,对应角平分线 _____________________________________ ,对应边上的高 __________ ,全等三角 形的周长 _________ ,面积 _________ 。

2•判定定理(1)三边分别 _________ 的两个三角形全等(简写“边边边”或“ _______ ”)。

微拨炉:已知两边和一角判定三角形全等时,没有“ SSA ”定理,即不能错用成“两边及一边对角相等的两个三角形全等”。

二、角的平分线1•性质:角的平分线上的点到角的两边的距离 ___________ 。

2•判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在 ____________ 。

3•三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离 微拨炉: 1•三角形的角平分线是一条线段,不是射线。

2•角的平分线的性质定理和判定定理互为逆定理。

注意分清题设和结论。

高频考点1、全等三角形的判定与性质 【范例】如图,在△ ABC 中,AB=CB ,■ ABC =90,D 为AB 延长线上一点,点 E 在BC 边上, 且 BE 二 BD ,连接 AE 、DE 、DC 。

(2)两边和它们的夹角分别________ 的两个三角形全等(简写“边角边”或 ”) (3)两角和它们的夹边分别________ 的两个三角形全等(简写“角边角”或”)(4)斜边和一条直角边分别 的两个直角三角形全等(简写“斜边、直角边”或 ”)(1)求证:△ ABE ◎△ CBD(2)若• CAE =30 [求• BDC 的度数D得分要领:判定全等三角形的基本思路1•已知两边:(1)找夹角(SAS) ; (2)找直角(HL或SAS) ; (3)找第三边(SSS)。

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【数学知识点】全等三角形的判定与性质
经过翻转、平移后,能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形,而该两个三角形的
三条边及三个角都对应相等。

SSS(边边边):三边对应相等的三角形是全等三角形。

SAS(边角边):两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形。

ASA(角边角):两角及其夹边对应相等的三角形全等。

AAS(角角边):两角及其一角的对边对应相等的三角形全等。

RHS(直角、斜边、边)(又称HL定理(斜边、直角边)):在一对直角三角形中,斜
边及另一条直角边相等。

(它的证明是用SSS原理)
下列两种方法不能验证为全等三角形:
AAA(角角角):三角相等,不能证全等,但能证相似三角形。

SSA(边边角):其中一角相等,且非夹角的两边相等。

1.全等三角形的对应角相等。

2.全等三角形的对应边相等。

3.能够完全重合的顶点叫对应顶点。

4.全等三角形的对应边上的高对应相等。

5.全等三角形的对应角的角平分线相等。

6.全等三角形的对应边上的中线相等。

7.全等三角形面积和周长相等。

8.全等三角形的对应角的三角函数值相等。

三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形,在数学、建筑学有应用。

常见的三角形按边分有普通三角形(三条边都不相等),等腰三角(腰与底不等的等
腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形);按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等,其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。

1、自行车架
自行车架根据用途分类可以分为停放自行车架与汽车自行车架。

2、篮球架
篮球架是篮球场地的必需设备。

篮球运动器材。

包括篮板和篮板支柱,架设在篮球场
两端的中央。

目前使用的有液压式、移动式、固定式、吊式、海燕式、炮式等等。

3、相机三脚架
三脚架是用来稳定照相机,以达到某些摄影效果,三脚架的定位非常重要。

三脚架按
照材质分类可以分为木质、高强塑料材质,合金材料、钢铁材料、火山石、碳纤维等多种。

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