弦长公式(高二版椭圆)
椭圆过焦点的弦长公式
椭圆过焦点的弦长公式
椭圆过焦点的弦长公式是一种涉及到椭圆的数学公式，它是一个有关于椭圆的结构和形状的深入研究。
椭圆是一种双曲线（hyperbola），它可以用一组有限的四个点来定义，它的两个焦点是其重要的特点。
焦点的距离就称为椭圆的短轴，焦点到周轴的中心点的距离称为椭圆的长轴。
椭圆过焦点弦长公式描述的是椭圆的结构和形状，它的格式如下：∑ (Ea + fc + gd) = l
其中，E是椭圆的短轴，f和g是两个焦点到椭圆短轴中心的距离，d是椭圆的长轴，l是过两个焦点的弦长。
椭圆过焦点的弦长公
式可以用来计算椭圆的两个焦点之间的距离。
该公式的基本原理如下：椭圆的点经过其两个焦点和斜轴上的四个点，然后在椭圆上折线两侧至少有两个点，折线的长度就是椭圆过焦点的弦长。
即通过椭圆过焦点的弦长，可以计算椭圆的长轴、短轴、焦点到椭圆中心的距离以及椭圆的面积。
椭圆过焦点的弦长公式可以用来研究椭圆的原理以及各种物理
学和几何学问题。
例如，它可以用来研究不同角度夹角下椭圆的变化，它可以用来研究椭圆的内切圆的位置和大小的变化，也可以用来研究椭圆的变形与投影变换有关的问题，它还可以用来研究椭圆的特性以及它在几何图形中的应用等。
椭圆过焦点的弦长公式和它的计算是一种非常有用的数学公式，它可以让我们更好地理解椭圆的结构和特性，可以解决一些几何上的
问题，也可以帮助我们更好地利用椭圆的特性来解决实际的工程问题。
因此，椭圆过焦点的弦长公式在数学学术界以及工程界都具有重要的意义。
椭圆的弦长公式
椭圆的弦长公式椭圆是常见的几何图形，它与圆相似，但形状略有不同。
在本文中，我们将探讨椭圆的弦长公式及其推导过程。
椭圆的定义椭圆是在平面上定义的几何图形，它是固定点F（称为焦点）和固定直线L （称为直角边）到平面上点P的距离之和与一定的常数2a成比例的点的集合，即PF1 + PF2 = 2a其中F1和F2是一个椭圆的两个焦点，a是一个椭圆的半长轴。
椭圆的弦长弦是在椭圆内部连接两个不相邻的点的线段。
图中AB和CD是椭圆的两条弦，其长度为l。
我们的目标是推导出椭圆弦长的公式。
椭圆的标准方程为了推导椭圆的弦长公式，我们需要引入椭圆的标准方程。
标准方程是将椭圆放在坐标系中并将椭圆的中心与坐标系的原点重合时的方程。
一个椭圆的标准方程为：x²/a² + y²/b² = 1其中a和b是椭圆的半长轴和半短轴。
椭圆的弦长公式的推导现在我们来推导椭圆的弦长公式。
假设椭圆的标准方程是x²/a² + y²/b² = 1弦AB的两个端点的坐标可以表示为：A（-x1, y1）和B（x2, y2）根据标准方程，我们可以得到：y1²/b² = 1 - x1²/a² (1)y2²/b² = 1 - x2²/a² (2)将式(1)和式(2)相加：y1²/b² + y2²/b² = 2 - x1²/a² - x2²/a²将x1和x2相加，得到：x1 + x2 = -（a²/b²）（y1 + y2）/（x1 - x2）我们假设椭圆的中心为（0, 0），则坐标系中任意一点P的坐标为（x, y）。
以y1作为y坐标，可以得到：x = a²x1/（a² - b²），y = b²y1/（a² - b²）同样地，以y2作为y坐标，可以得到：x = a²x2/（a² - b²），y = b²y2/（a² - b²）令l为弦AB的长度，则：l² = （x2 - x1）² + （y2 - y1）²将x1和x2代入上式，得到：l² = （a²x2/（a² - b²）- a²x1/（a² - b²））² + （b²y2/（a² - b²）- b²y1/（a² - b²））²整理后得到：l² = a²(x2 - x1)²/（a² - b²）² + b²(y2 - y1)²/（a² - b²）²将x1 + x2 = -（a²/b²）（y1 + y2）/（x1 - x2）代入上式，得到：l² = 4a²b²（x1 - x2）²/（a² - b²）⁴ + 4a²b²（y1 + y2）²/（a² - b²）⁴将x1 + x2代入上式中的（x1 - x2）²，得到：l² = 4a²b²（x1 + x2）²/（a² - b²）⁴ + 4a²b²（y1 + y2）²/（a² - b²）⁴ - 8a²b²x1x2/（a² - b²）⁴由于x1 + x2 = -（a²/b²）（y1 + y2）/（x1 - x2），所以8a²b²x1x2/（a ² - b²）⁴可以改写为4（a² - b²）（y1 + y2）²。
椭圆内的弦长公式
椭圆内的弦长公式
椭圆内的弦长公式是椭圆的一种重要的属性，它可以用来衡量一个椭圆的形状和大小。
公式：
1、椭圆弦长公式：
椭圆的弦长（L） equal a × b × π（π=3.1415926）.
其中：a：椭圆的长轴；b：椭圆的短轴。
2、椭圆弦的垂直弦长公式：
垂直弦长（PerpendicularL） equal总长 × sinθ/2，
其中：θ：椭圆的焦角。
3、椭圆弧长公式：
椭圆弧长（Arcl） equal总长 × cosθ/2，
其中：θ：椭圆的焦角。
4、椭圆扁率公式：
椭圆扁率（Flatness） equal b/a
其中：a：椭圆的长轴；b：椭圆的短轴。
总之，椭圆弦长、垂直弦长、弧长和扁率公式是椭圆传动系统研究中最重要的属性之一，对于确定椭圆传动系统的弦长、垂直弦长、弧长和扁率都可以使用以上四个公式。
高中数学椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用
椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用摘要 ：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即AB = 1 k 2x 1 x 2或者 AB= 1+( k 1)2y 1 y 2 ，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公 式： 2ab2AB 2 2a 2b 2 ，如果记住公式，可以给我们解题带来方便 .a2 c 2 cos 2下面我们用万能弦长公式， 余弦定理， 焦半径公式， 仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式， 这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用 .解法一 ：根据弦长公式直接带入解决 .22题：设椭圆方程为 x2 y2 1，左右焦点分别为 F 1( c,0), F 2(c,0) ，直线 l 过椭圆的右焦点 F 2 交椭 ab圆于A( x 1 , y 1), B ( x 2 , y 2 )两点，求弦长 AB .22椭圆方程 x2 y 2 1可化为b 2x 2a 2y 2 a 2b 2⋯⋯①， a2b 2直线 l 过右焦点，则可以假设直线为：x my c ( 斜率不存在即为 m 0时 ) ，代入①得：(b 2m 2a 2)y 2 2mcb 2 y b 2c 2 a 2b 2 0 ，整理得， (b 2m 2 a 2)y 22mcb 2y b 4∴y1y 2b 2m 22mcb 22 ,y 1y 2 a b 4b 2m 2aAB = 1+( k 1)2y 1y 21 m2(2 2 bm 2mcb 2 )2 2)a4b 42 2 2b m a1 m 24a 2b 4(1 m 2)2 2 2 2(b m a )∴ AB2ab 22 2 2 b m a1m1)若直线 l 的倾斜角为，且不为 90o ,则1 tan ，则有：ABb 2m 2a 2b a 2 1 m 2b m a2ab 22 1 2 b 2 atan1tan 2由正切化为余弦，得到最后的焦点弦长公式为AB2ab 22 2 2 a c cos②.2)若 =90o ，则 m 0，带入 AB2 2ab 22 2 2 b m a1 m 2,得通径长为 2b 2，同样满足②式 .并且由a解法二 ：根据余弦定理解决22题：设椭圆方程为 x 2 y2 1，左右焦点分别为 F 1( c,0), F 2(c,0) ，直线 l 过椭圆的右焦点 F 2 交椭 ab 圆于 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，求弦长 AB .AB2ab 21 m2 =2a(b 2m 2a 2) 2a 32ab 22 2 21 m =2 2 2b m a b m a2a2a 2(a 22 b 22) 2a2a(a 22 b 2) 2b 2b m a a,当且仅当 m 0 即斜率不存在的时候，过焦点弦长最短为2b 22b，故可知通径是最短的焦点弦， a综上，焦点弦长公式为 AB2ab 22 2 2 a c cos22题：设椭圆方程为 x 2 y 2 a 2 b21，左右焦点分别为 F 1( c,0), F 2(c,0) ，直线 l 过椭圆的右焦点 F 2 交椭圆于 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，求弦长 AB .解：如右图所示，连结 F 1 A, F 1B ，设 F 2A=x, F 倾斜角为 ，则由椭圆定义可得AF 1F 2 中，由余弦定理得cos( )(2c)2x 2(2a x)2，化简可得4cxBF 1F 2 中，由余弦定理同理可得b 2a ccosABb 2b 2ya ccos a ccos2ab 2222a c cos解法三：利用焦半径公式解决 解：由解法一知x 1x 2=my 1 c my 2 c m(y 1 y 2 ) 2c22 2m 2cb 2 2 2 2bm a 2c22a 22c2 .由椭圆b 2m 2a 2的第二定义可得焦半径公式，那么 F 2A a ex 1, F 2B aex 2，则弦长2 F 1A =2a x中 结 得AB③2 abkc为a2果带入③将此b 1 k 22 2 2 a 2b 2(1 k 2)2 2 2 b 2 a 2k 2b2 a 2k2 A'B'b 2m2 A'B' =b 2 a 2k 22 2 2b 2 a 2k 22 2 2b 2 a 2k 2后面分析同解法解法四 ：利用仿射性解决22题：设椭圆方程为 x 2 y 2 1，左右焦点分别为 F 1( c,0), F 2(c,0) ，直线 l 过椭圆的右焦点 F 2 交椭 ab圆于 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，求弦长 AB .b 1 k 2a 2b 2(1 k 2) 2ab 2(1 k 2)，由 k tan ，带入得AB = b 1 k 2AB =b 2 a 2k 22ab 2m 2 2ab 2 故AB =a ex 1 a ex 2 2a e(x 1 x 2)2 2 2b m ax' x解：利用仿射性， 可做如下变换 a ，则原椭圆变为 (x')2 (y')2 y' ya 2，这是一个以原点为圆心，a 为半径的圆 . 假设原直线的斜率为k ，则变换后斜率为 bak .椭圆中弦长 AB = 1 k 2x 1 x 2 ，经过 变换后变为 A'B' 1 (a k)2 x 1x 2 ，带入，得变换前后弦长关系为AB =(akc )2 b 1 (a bk )2bA'B' =2 a 22ab 2a 2 c 2 cos 22ab 2(1 m 2)勾股定理求得弦长为而我们知道圆的弦长可以用垂径 定理求得 .如图所示，假设直线y a k(x c) ，圆心到直线的距 b离为 d，根据半径1 (a bk)2a4上面我们分别用了四种不同的方法，求出了椭圆中过焦点的弦长公式为： 记住这个公式，可以帮助我们快速解决一些题目，下面我们举例说明 22 例 1已知椭圆 x y25 21 AB2ab 2，2 2 2，a c cos1，过椭圆焦点且斜率为 3 的直线交椭圆于 A, B 两点，求 AB . 分析：如果直接用弦长公式解决， 因为有根号，特别繁琐，利用公式则迎刃而解解：由题， a 5,b 2 21,c 24， = , 带入 AB 3 2ab 2 222a c cos 得 AB =10. 例 2已知点 P(1, 3) 在椭圆 C ：x2 2 a 22y2 1(a> b> 0)上，过椭圆 C 的右焦点 F 2 (1,0)的直线 l与b 椭圆 C 交于 M,N 两点 . 1)求椭圆的标准方程； 2)若AB 是椭圆 C 经过原点 O 的弦，且MN PAB ，W AB MN 2,试判断 W 是否为定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由 . 分析：因为 l 过焦点，故弦长可以用过焦点的弦长公式解决，显得十分简洁简单 9 2 2 2 21 ，又 a b c 4b2 1 解：(1)由题知 c 1，将点 P 带入得 12 a 2 ，解得 a 2 4,b 23 ，故椭 22 圆方程为 x y1. 43 2)假设 A(m,n) ，则 AB 2 m 2 n 2，设倾斜角为 ，则 cos m m 2 n 2 ，根据过焦点的弦长公式则 MN 2ab 22 a 22 c cos 12 2 m 22 mn3m 212(m 2 4n 2 ，故 W n 2) AB MN m 2 =4( 4 2 n )=4. 3 例3如图，已知椭圆 1的左右焦点为 F 1,F 2， 过 F 2 的直线 l 1 交椭圆于 A,C 两点，过 F 1 的直线 l 2交椭圆于 B,D 两点， l 1,l 2交于点 P ( P 在x 轴下方)，且 F 1PF 2 43 ，求四边形 ABCD 的 面积的最大值 . 分析：注意到以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆没有交点，故形成F 1PF 23的点 P 在圆 内，先可以用焦点弦长公式表示出面积，再利用换元求出其最大值2解：假设 l 1 的倾斜角为,则 l 2的倾斜角为 3+，由椭圆的焦点弦长公式得： AC12 4 cosBD 12 S=1 2ACBD12 12 cos ( )4 2cos4 cos 2() 4设 f( (4 cos )(4 cos ( 7(72 cos2 )( 1 12sin 2 )4))49 7 ( sin2 44+cos 21)+ sin4 8设 sin2 cos2t(t2, 2 ) ，则sin4 t 21,带入得 f(t)49 7t+1(t 2 4481)即f(t)1t 28 7t 97 48f (t)min 99 14 2,此时 t 2，即 sin2 cos22 ，得到 综上，四边形 ABCD 的最大值为 288 2 S=99 14 2 = 8 ，得到l 2的倾斜角为 8 ,刚好两直线关于 y 轴对称，如 右图所示 .5.14 .此时。
椭圆过焦点的弦长公式
椭圆过焦点的弦长公式椭圆过焦点的弦长公式，又称椭圆过焦点的长度公式，是数学中用来描述椭圆的一种重要的公式。
它的出发点是用一条曲线来拟合一块水平或垂直的平面。
经过焦点的弦段长度与椭圆的半长轴和半短轴之比为固定值，是椭圆根据其定义后得出的结果。
首先，让我们来看看椭圆长度公式的推导过程：一般来讲，椭圆是一种曲线，可以用以下参数来定义它：半长轴a和半短轴b，以及椭圆的焦点F1和F2。
通过上述参数，关于椭圆的弦长度可以表示为： L=a2*b2*[(F1-F2)/(a2-b2)]其中，a2和b2是半长轴和半短轴的平方，F1和F2是椭圆的焦点，即处于椭圆的两端点。
以上就是椭圆长度公式的推导，尽管看起来一点也不简单，它依然是一个非常重要的公式，在许多不同领域都能起到很好的作用。
首先，椭圆长度公式可以用来确定椭圆的最短路径，这种情况尤其常见于建筑设计领域。
比如，建筑师要设计一座大楼，它的外墙需要成为一个椭圆形，而且外墙的长度必须要求在最短的路线上。
在这种情况下，椭圆长度公式就可以派上用场了，它可以帮助建筑师确定这个椭圆形外墙最短的路线，以此避免建筑物外墙被过长所带来的额外费用。
此外，椭圆长度公式还可以用来计算椭圆的面积。
计算椭圆面积只需要把椭圆长度公式中的 a2 b2别替换成椭圆的半长轴和半短轴的面积即可。
由此可见，椭圆长度公式对于测量椭圆的面积也很有用处。
另外，椭圆长度公式还有一个重要的应用，就是用来计算复杂的曲线的长度，它可以将曲线中的许多复杂的段细分成许多椭圆段，然后再通过椭圆长度公式将椭圆段的长度相加，从而得出曲线的总长度。
这种方法用于计算曲线长度相对于直接测量曲线长度，效率更高一点，且准确度也会更高。
总之，椭圆过焦点的弦长公式被广泛应用于不同的领域，是一个非常重要的数学公式。
在建筑设计、椭圆面积测量以及曲线长度测量等方面，它都能发挥出良好的作用，从而节省了大量的时间和精力。
直线与椭圆的弦长公式
直线与椭圆的弦长公式
1.椭圆与直线的关系
椭圆是一种闭合曲线，可以由一组参数来表示。
椭圆与一般的直线是可以关联的，可以根据一定的关系，通过椭圆的参数来求解椭圆与直线的弦长。
2.根据给定参数公式求解椭圆与直线的弦长
当椭圆的参数为$(h,k),a,b$时，其与直线的交点可以求得。
而这条直线与椭圆相切时对应的弦长，可以用下面的公式来计算：
\begin{equation}
S=2a\pi \cdot \int_{x_0}^{x_1} \sqrt{\frac{1+(2hx+b^2-a^2)^2}{4a^2(x-h)^2+b^2}} \, \mathrm{d}x
\end{equation}
其中，$x_{0}$和$x_{1}$是椭圆最高点$(-h,k+b)$和最低点$(-h,k-b)$的横坐标，即$x |_{0}=-h+\frac{a^2-b^2}{2h}$，$x |_{1}=-h-\frac{a^2-
b^2}{2h}$。
3.应用
椭圆与直线的弦长公式，可以应用在多种场景中，其中最常见的就是利用椭圆与直线的弦长关系来求解数学问题。
比如，根据已知的线段长度得出直线与椭圆的弦长，从而可以解决许多古代测地学、运动学和结构学中的问题。
椭圆与直线的弦长公式，也可以用来解决有关扇形、正多边形、椭圆形和抛物线的许多问题。
高中数学椭圆弦长公式推导过程
高中数学椭圆弦长公式推导过程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：椭圆是数学中常见的曲线形状之一，在高中数学学习中，我们经常会接触到椭圆的相关知识，其中就包括椭圆的弦长公式。
椭圆弦长公式是求椭圆上任意两点之间的弦长的公式，通过推导可以得到其具体表达式。
下面，我将详细介绍椭圆弦长公式的推导过程。
让我们来了解一下椭圆的基本定义和性质。
椭圆可以看作是一个平面内到两个定点（焦点）的距离之和等于常数的点的轨迹。
我们用椭圆的两个焦点表示为F1和F2，椭圆的长半径为a，短半径为b，焦距为2c。
椭圆的标准方程可以表示为：\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)椭圆上的一点P(x, y)到两个焦点的距离之和等于常数2a，即：\( PF1 + PF2 = 2a \)我们将这个式子记为(1)。
接下来，我们需要推导出椭圆的弦长公式。
假设椭圆上有两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们要求这两点之间的弦长AB的长度。
我们需要找到连接两点A和B的直线方程。
由于椭圆是一个二次曲线，因此椭圆上的点满足椭圆的标准方程。
点A(x1, y1)和B(x2, y2)分别满足椭圆方程：连接两点A和B的直线方程可以表示为：\( (y-y1) = \frac{y2-y1}{x2-x1} \times (x-x1) \)将这个直线方程代入椭圆的标准方程，可以得到连接两点A和B的方程。
接下来，我们要求直线与椭圆的交点，即求方程组：可以得出AB弦长的计算公式为：可见，椭圆弦长公式的推导过程并不复杂，只要我们掌握了椭圆的基本性质和相关知识，就可以很轻松地推导出弦长公式。
通过这个推导过程，我们可以更加深入地理解椭圆的性质和特点，为我们深入学习和理解椭圆奠定了基础。
椭圆是数学中非常重要的一个曲线，在高中数学学习中，我们需要掌握椭圆的基本知识和相关公式。
弦长公式是椭圆的一个重要性质，通过推导过程，可以更好地理解椭圆的几何特性。
椭圆弦长公式带△的那个公式推导
椭圆弦长公式带△的公式推导椭圆是数学中常见的图形，它具有许多特殊的性质和公式。
其中一个重要的公式是椭圆上的弦长公式，它描述了椭圆上两点之间的弦长与椭圆参数之间的关系。
本文将详细推导带有△的椭圆弦长公式。
1. 弦长的定义在推导椭圆弦长公式之前，首先要明确弦长的定义。
在椭圆上，如果有两点A和B，那么从A点到B点的曲线段称为弦。
弦的长度即为弦长。
2. 椭圆的参数椭圆可以由其两个焦点F1和F2以及其长轴的长度2a定义。
椭圆的长轴是连接两个焦点并且通过椭圆中心的线段。
椭圆的焦距定义为常数c，其中c满足c^2 = a^2 - b^2，其中b是椭圆的短轴的长度的一半。
椭圆的离心率e定义为e = c/a。
3. 弦长公式的推导假设A点的坐标为(x1, y1)和B点的坐标为(x2, y2)。
为了推导带有△的椭圆弦长公式，我们可以使用解析几何的基本原理。
首先，我们需要计算AB线段的斜率k。
斜率k可以通过以下公式计算：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)接下来，我们可以编写AB线段的方程。
假设AB线段的方程为y = mx + b，其中m是斜率，b是y轴截距。
根据A点和B点的坐标，我们可以使用点斜式计算出方程的参数m和b：m = (y2 - y1) / (x2 - x1)b = y1 - mx1由此得到AB线段的方程为：y = (y2 - y1) / (x2 - x1) * x + y1 - (y2 - y1) / (x2 - x1) * x1接下来，我们将该直线方程代入椭圆的方程中，即将y替换为椭圆方程中的y，得到：(x/a)^2 + ([(y2 - y1) / (x2 - x1) * x + y1 - (y2 - y1) / (x2 - x1) * x1]/b)^2 = 1将上述等式两边平方，消去分母并整理得到：b^2 * x^2 + a^2 * [(y2 - y1) * x + (y1 - y2) * x1]^2 - a^2 * b^2 * [(y2 - y1) * (x2 - x1)]^2 = 0利用二次方程的一般解公式，我们可以求得x的值。
椭圆中的弦长公式推导
椭圆中的弦长公式推导椭圆是一种经典的曲线，它的研究和应用在流体力学、空间结构、航天学、机械设计等广泛的领域中被广泛使用。
因此，研究椭圆的形状特性非常重要。
椭圆的一个重要形状特性是，它存在一种弦长公式，即在椭圆上任意一动点P处，弦PP’的长度可用下式表示：d=2ae√1-e2sin2α其中，a, e,分别表示椭圆的长轴、离心率、弦PP与椭圆的长轴的夹角。
下面我们将通过推导证明上式的正确性。
以P(x, y)为弦PP上的任意一点，x = acost, y = bsint，坐标系以椭圆的中心为原点，a,b分别为椭圆的长短轴，e为离心率，将P位置投影到椭圆的长轴，得到点P1(acosθ, 0)，与他重合的点P1(a/cosθ, 0)，θ为PP与椭圆的长轴的夹角，由此投影出点P(a/cos θ, bsinθ)，即为PP上的另一点。
由PP上任意一点P可求出P，再求出弦PP的长度。
设PP的长度为d，根据勾股定理可得：d2=x2+y2=(acost)2+(bsinθ)2=a2cos2θ+b2sin2θ又由椭圆方程可知：b2/a2=1-e2所以有：d2=a2cos2θ+b2sin2θ=a2cos2θ+a2(1-e2)sin2θ=a2{cos2θ+(1-e2)sin2θ}令cos2θ+(1-e2)sin2θ=c（c为任意常数）即有：d2=a2c,又因为e2=1-b2/a2,可得cos2θ+(1-e2)sin2θ=cos2θ+(1-(1-b2/a2))sin2θ=cos2θ+b2/a2sin2θ即有：c=cos2θ+b2/a2sin2θ代入方程d2=a2c，可得：d2=a2{cos2θ+(1-e2)sin2θ}即有：d=2ae√1-e2sin2α因而可以得出：在椭圆上任意一点P处，弦PP的长度可用弦长公式下式表示：d=2ae√1-e2sin2α上式的证明也完成了，由此可以看出，椭圆中的弦长公式是一个非常重要的特性。
它可以用来研究椭圆的形状特性以及在实际应用中的使用，可以更好地满足工程的需要。
过椭圆焦点的弦长公式
过椭圆焦点的弦长公式
过椭圆焦点的弦长公式：
|AF2|/|AH|=e|AF2|
椭圆弦长公式是一个数学公式，关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为关于x（或关于y）的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长。
韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。
法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条定理。
由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。
高二数学椭圆的定义标准方程及几何性质(文)人教实验b版(文)知识精讲
高二数学椭圆的定义标准方程及几何性质（文）人教实验b 版（文）知识精讲【本讲教育信息】一. 教学内容：椭圆的定义、标准方程及几何性质二. 本周学习目标把握椭圆的定义，标准方程，能依照条件利用待定系数法求椭圆的方程，把握椭圆的几何性质。
了解椭圆的参数方程，能依照方程讨论曲线的性质，了解椭圆的一些实际应用，把握直线与椭圆的位置关系的判定方法，能够正确熟练地解决直线和椭圆的位置关系的一些咨询题。
三. 知识点精析 〔一〕椭圆的定义1、第一定义：平面内与两个定点为F 1，F 2的距离的和等于常数〔大于21F F 〕的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。
专门地，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹。
2、第二定义：平面内到定点F 的距离和到定直线l 的距离之比等于常数e(0﹤e ﹤1)的点的轨迹，叫做椭圆，定点F 叫椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线。
e 叫椭圆的离心率。
椭圆有两个焦点，两条准线。
该定义中的焦点和准线具有〝对应性〞，即左焦点对应左准线，右焦点对应右准线。
〔二〕椭圆的标准方程及几何性质1 中心在原点，焦点在x 轴上中心在原点，焦点在y 轴上 标准方程)0(12222>>=+b a b y a x )0(12222>>=+b a bx a y 参数方程⎩⎨⎧==θθθ(sin cos b y a x 为参数) ⎩⎨⎧==θθθ(sin cos a y b x 为参数) 图 形顶 点),0(),,0()0,(),0,(2121b B b B a A a A -- ),0(),,0()0,(),0,(2121a B a B b A b A --讲明：方程中的两个参数a 与b ，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数a ，b ，c 都大于零，其中a 最大且a 2=b 2+c 22、椭圆焦点三角形：设P 为椭圆12222=+by a x 上任意一点，F 1，F 2为焦点且∠F 1PF 2＝θ，那么△PF 1F 2为焦点三角形，S ＝b 2tan 2θ。
椭圆交点弦长公式
椭圆交点弦长公式椭圆交点弦长公式是数学中关于椭圆的一个重要公式，用于计算椭圆上两点之间的弦长。
椭圆是一种特殊的曲线，具有许多独特的性质和特点。
掌握椭圆交点弦长公式，可以帮助我们更好地理解椭圆的几何性质和应用。
椭圆交点弦长公式的推导基于椭圆的定义和性质。
首先，我们需要了解椭圆的定义。
椭圆是平面上一组点的集合，这组点到两个给定点（焦点）的距离之和始终是一个常数。
这两个焦点与椭圆的长轴平行。
在椭圆上任取两个点A和B，这两个点分别到两个焦点F1和F2的距离之和等于常数2a（a为椭圆的半长轴），即AF1 + AF2 = 2a。
现在我们要计算点A和点B之间的弦长AB。
我们可以通过椭圆的定义得到AF1和AF2的关系式，即AF1 + AF2 = 2a。
根据这个关系式，我们可以得到AF1 = 2a - AF2。
接下来，我们可以使用勾股定理计算弦长AB。
利用勾股定理，我们可以得到弦长AB的平方等于AF1的平方加上AF2的平方减去两倍的AF1和AF2的乘积，即AB² = (2a - AF2)² + AF2² - 2(2a - AF2)(AF2)。
将上式展开并整理，可以得到AB² = 4a² - 4a(AF2) + (AF2)² + (AF2)² - 4a(AF2) + 4(AF2)²。
简化后，得到AB² = 4a² - 4a(AF2)+ 4(AF2)²。
由于椭圆的性质，我们可以将AF2表示为AE - EF2，其中AE为椭圆的半长轴，EF2为焦点F2到点E的距离。
代入上式，可以得到AB² = 4a² - 4a(AE - EF2) + 4(AE - EF2)²。
进一步展开并整理，可以得到AB² = 4a² - 4aAE + 4aEF2 + 4AE² - 8AE·EF2 + 4(EF2)²。
直线与椭圆相交的弦长公式
直线与椭圆相交的弦长公式
欣赏椭圆的美，已经成为一种文化潮流。
如今，随着技术的发展，一直以来，
椭圆满足大多数学科和工程领域的运算需求。
例如，椭圆与直线相交的弦长公式，已经广泛应用于求解和解析常用几何图形的形状和性质。
椭圆与直线相交的弦长公式的基本要求是：a，椭圆轴长为2a，圆心距为c；b，直线方程y=kx+b，其中k为斜率；c，联立两个方程；d，定义d_1,d_2分别表示
直线上两个与椭圆相交的点，弦长为d_1+d_2。
为了求出椭圆与直线相交的弦长，公式如下：
弦长l=2*a*sqrt[1-(1-(b/a)^2)*((d_1-c)^2+(d_2-c)^2)/(c^2)]
下面我们就以一个实例来演示如何使用这一公式：
例如，椭圆a=7，b=5，c=6，d_1=0，d_2=6，求解弦长l。
首先将椭圆的a，b，c的值代入公式：l=2*7*sqrt[1-(1-(5/7)^2)*((0-
6)^2+(6-6)^2)/(6^2)]=2*7*sqrt[1-(5/7)^2]=24*sqrt[4/49]=4*sqrt[14]。
由此可知，当椭圆的轴长、面积和中心点以及直线上的两个点都已知的情况下，椭圆与直线相交的弦长就可以通过公式计算出来。
至此，椭圆与直线相交的弦长公式得以清晰地展现在我们面前，它既可以满足
学术研究的需要，也可以满足日常工作和生活中的绘图需求。
它是一种有用的理论工具，我们可以利用它来破解各种几何图形中更深层次的运算难题，不仅是学术探索，还能够体现出我们的创造力。
高二数学椭圆的第二定义与双曲线复习
高二数学椭圆第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系知识精讲一. 本周教学内容：椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系［知识点］1. 第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数ecae M =<<()01的动点的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。
注意：①对对应于右焦点，的准线称为右准线，xayba b F c22222100+=>>()()方程是，对应于左焦点，的准线为左准线xacF c xac=-=-212()②e的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。
2. 焦半径及焦半径公式：椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。
对于椭圆，设，为椭圆上一点，由第二定义：xayba b P x y222102+=>>()()左焦半径∴·左左rxaccar excaaca ex202+==+=+右焦半径右右racxcar a ex2-=⇒=-3. 椭圆参数方程问题：如图以原点为圆心，分别以a、b（a>b>0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA 与小圆的交点，过点A作AN⊥Ox，垂足为N，过点B作BN⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕O旋转时点M的轨迹的参数方程。
解：设点的坐标是，，是以为始边，为终边的正角，取为M x y ()ϕϕOx OA 参数。
那么∴x ON OA y NM OB x a y b ======⎧⎨⎩||cos ||sin cos sin ()ϕϕϕϕ1这就是椭圆参数方程：为参数时，称为“离心角”ϕϕ 说明：<1> 对上述方程（1）消参即xay bx a y b ==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⇒+=cos sin ϕϕ22221普通方程 <2>由以上消参过程可知将椭圆的普通方程进行三角变形即得参数方程。
4. 补充名称 方程 参数几何意义直线x x t y y t t =+=+⎧⎨⎩00cos sin ()αα为参数 P x y 000()，定点，α倾斜角,t P P =0，P （x ，y ）动点圆x a r y b r =+=+⎧⎨⎩cos sin ()θθθ为参数 A （a ，b ）圆心，r 半径，P （x ，y ）动点，θ旋转角 椭圆 x a y b ==⎧⎨⎩cos sin ()ϕϕϕ为参数 a 长半轴长，b 短半轴长ϕ离心角不是与的夹角()OM Ox一般地，θϕπ、取，[]025. 直线与椭圆位置关系： （1）相离xayby kx b22221+==+①相离无解⇔+==+⎧⎨⎪⎩⎪xayby kx b22221②求椭圆上动点P（x，y）到直线距离的最大值和最小值，（法一，参数方程法；法二，数形结合，求平行线间距离，作l'∥l且l'与椭圆相切）③关于直线的对称椭圆。
过椭圆焦点垂直于长轴的弦长公式
过椭圆焦点垂直于长轴的弦长公式椭圆焦点垂直于长轴的弦长公式椭圆是我们初中数学学习中比较基础的一种二次曲线，在学习椭圆的性质时，有一条焦点垂直于长轴的弦长公式是必须要掌握的。
那么，什么是椭圆焦点垂直于长轴的弦长公式呢？一、椭圆焦点垂直于长轴的弦长公式的定义：椭圆的焦点垂直于长轴的弦长公式是指，对于一个椭圆，设其长轴的长度为2a，短轴的长度为2b，则椭圆的焦点到长轴垂足的距离为c，长轴上任意一点到椭圆上一点的距离为s，则焦点垂直于长轴的弦长公式为：s²=4a²-c²其中，a、b、c为椭圆的三个参数，分别表示长轴的半长轴、短轴的半长轴和焦距。
二、证明：证明四步如下：1) 假设在椭圆上任取一点P(x,y)，设焦点为F1(x1,y1)，垂足为H(x,y1)。
连接FP1，FH。
则有HF1=c。
2) 再设椭圆的左、右顶点分别为A(-a,0)、B(a,0)，则长轴AB的中点为O(0,0)。
3) 由于OH垂直于长轴，且∠PFH=90°，则PH是OH的投影，即PH∥OH。
又因为FOHF1是平行四边形，所以OF1||FH。
4) 由平行性，有 PH/PF1=OH/OH+2c=OH/OA，所以PF1⋅PH/OH=F1H=c，于是有PF1²=PH²+c²，代入x²/a²+y²/b²=1可得s²=4a²-c²。
三、应用：椭圆焦点垂直于长轴的弦长公式在椭圆的研究中有广泛的应用，如常数项展开、直线切线、切线方程求解等等。
比如，在切线方程的求解中，就可以用椭圆焦点垂直于长轴的弦长公式来确定椭圆上点到直线距离的计算，然后利用求解直线与该点的切线即可得到切线方程。
四、总结：椭圆焦点垂直于长轴的弦长公式是椭圆的基本公式之一，在学习椭圆的性质时是必须要掌握的。
通过学习其定义、证明和应用，我们可以更深入地了解椭圆的性质，为以后的学习打下扎实的基础。
弦长公式是什么？分享数学知识讲解
弦长公式是什么？分享数学知识讲解最近有些朋友在网上看到了这个弦长公式，但是自己对于这方面知识完全没有印象，想知道这个弦长公式到底是什么来的?今天就让给大家详细的介绍一下弦长公式是什么。
什么是弦长公式弦长为连接圆上任意两点的线段的长度。
弦长公式，在这里指直线与圆锥曲线相交所得弦长的公式。
圆锥曲线，是数学、几何学中通过平切圆锥(严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切)得到的一些曲线，如：椭圆，双曲线，抛物线等。
直线与圆锥曲线的位置关系是平面解析几何的重要内容之一，也是高考的热点，反复考查。
考查的主要内容包括：直线与圆锥曲线公共点的个数问题;弦的相关问题(弦长问题、中点弦问题、垂直问题、定比分点问题等);对称问题;最值问题、轨迹问题和圆锥曲线的标准方程问题等。
关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为关于x(或关于y)的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长。
在三角形ABC中，它的外接圆半径为R，则正弦定理可表述为：a/sinA=b/si nB=c/sinC=2R，即a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC;(x-4) ^2+y 2=16被直线y= (根号3) x所截得弦长圆(x-4) ^2+y . 2=16与直线y= (根号3)x的一个交点恰为原点0(0,0)，另一个交点记为A，则OA就是圆(x-4) ^2+y 2=16被直线y= (根号3) x 所截得的弦，若记圆与x轴的另一个交点为B，则三角形OAB就是一个直角三角形，其中∠A0B=60° ，∠0AB=90° ，0B=2R，所以0A=2Rcos∠A0B=2Rcos60° =R。
又圆的半径为4，所以圆(x-4) ^2+y 2=16被直线y= (根号3) x所截得的弦长为4。
什么是弦长公式?以上就是给大家带来了关于弦长公式的大概含义，还想知道更多有用知识的朋友，记得关注一下本网站。
椭圆弦长公式根号△比a
椭圆弦长公式根号△比a
椭圆的弦长公式可以表示为2a\sqrt{e^2 1}，其中a为椭圆的
半长轴长度，e为椭圆的离心率。
这个公式可以从椭圆的参数方程
推导出来，也可以通过椭圆的焦点、离心率和弦长之间的关系得到。
椭圆是一个重要的几何图形，具有许多特性和应用，包括在天文学、工程学和物理学等领域的应用。
弦长公式是描述椭圆形状和特性的
重要公式之一，它能够帮助我们理解椭圆的几何性质和在实际问题
中的应用。
通过掌握这个公式，我们可以更深入地理解椭圆的性质
和特点，为相关问题的解决提供重要的数学工具。
在数学和物理学
领域，椭圆的研究有着广泛的应用，因此弦长公式作为椭圆性质的
重要表达式，具有重要的理论和实际意义。
希望这个回答能够满足
你的要求。
椭圆过焦点的弦长公式
椭圆过焦点的弦长公式椭圆过焦点的弦长公式是一种有趣的几何主题，它也可以成为数学的宝藏。
在学校里，我们知道椭圆是一种经典的曲线，这种椭圆形在几何学中占据了重要的位置。
特别是在椭圆沿着其焦点上的两个弦上，可以求出它们的长度，这时，椭圆过焦点的弦长公式就显示出它的重要性。
椭圆过焦点的弦长公式是一个重要的几何概念，它可以帮助我们明确弦长的定义，从而解决椭圆和圆的相关问题。
弦长是椭圆沿着其焦点上的两条弦上的最大长度，而椭圆的弦长采用“椭圆过焦点的弦长公式”计算。
该公式可以用以下公式表示：2a2 = c2 + b2，其中a是椭圆的长轴长，b是椭圆的短轴长，c是椭圆沿着其焦点上的两条弦上的最大长度。
原理上，如果一个椭圆其长短轴是长轴长度a和短轴长度b，那么该椭圆的长短轴之和应该是它的弦长的平方。
也就是说，a2 + b2 = c2。
简单地说，椭圆的弦长应该是这两个轴之和的平方根。
知道了椭圆过焦点的弦长公式，就可以轻松地解决一般椭圆的最大弦长和最小弦长问题了。
因为椭圆的最大弦长是椭圆的长轴长度，即a，而最小弦长是椭圆的短轴长度，即b。
也就是说，最大弦长c 有：c=a，最小弦长c有：c=b。
通过椭圆过焦点的弦长公式，计算出了椭圆沿着其焦点上的两条弦上的弦长长度，从而将椭圆和圆划分开来。
除此之外，这个公式还可以用于求解类似椭圆的另一种几何体：圆形。
圆形是一种完全相同的曲线，但是它的中心点不同，这样，就有了相应的新的圆形椭圆公式：2a2 = c2 + b2 - 2ab，其中a是圆形的半径，b是圆形的中心点距离圆的远点的距离，c是圆形的弦长。
椭圆过焦点的弦长公式是一个重要的几何概念，它可以用于求解类似椭圆和圆形的长度和宽度，并可以帮助解决椭圆和圆形之间的相关问题。
尽管椭圆过焦点的弦长公式是一个简单的公式，但它蕴藏着丰富的几何信息，为我们提供了重要的几何知识，同时也提供了足够的帮助，以便解决椭圆和圆形的相关问题。
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| PQ | 的步骤： 设 P(x1, y1), Q(x2 , y2 ) ，联立方程组（将直线方程代入椭圆方程）：
y kx b2 x2
m, a2 y2
消去
a2b2 ,
y
整理成关于
x
的一元二次方程：
Ax2
Bx
C
0
，
则
x1, x2 是上式的两个根，
B2
4AC
0 ；由韦达定理得：
x1
x2
B, A
则 2k 2
m2 3 ， S
2 2m m2 4
22 m 4
2 2
m
当且仅当 m 4 即 m 2 时， m
Smax
2 此时 k 2
14 .所求直线为 14 2 y 4 0 2
解法二：由题意知直线 l 的斜率存在且不为零.设直线 l 的方程为
y
kx
2,
A( x1 ,
y1
),
B(
x2
4
3(k 2 2k 2
3
1)（这里
AC
和
BD
都过
P
与椭圆相交）
故四边形 ABCD 的面积, 注意 k 2 0
（4）若已知直线恒过 x 轴上一点 (t, 0) ，且水平线不满足条件（斜率为 0），可以假设
直线为 x my t 。【反斜截式， m 1 】不含垂直于 y 轴的情况（水平线） k
2.弦长公式：若直线 l :
y
kx m 与椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a
b 0) 相交于 P, Q 两点，求弦长
1 2
1．
（处理方法二）
x22 3
y02 2
x02 3
1 x02 2
11 26
x02
1
（Ⅱ）（ⅰ）当 BD 的斜率 k 存在且 k 0 时， BD 的方程为 y k(x 1) ，代入椭圆方程
x2 y2 1，并化简得 (3k 2 2)x2 6k 2 x 3k 2 6 0 ． 48(k 2 1) 0 32
(1
k2)
A2
【注意：如果联立方程组消去 x 整理成关于 y 的一元二次方程： Ay2 By C 0 ，则
| PQ |
(1
1 k 2 )( y2
y1 ) 2
1 (1 k 2 ) A2
反斜截式
(1 m2 ) A2 】
3、其他常见问题处理 （1）等腰（使用垂直平分）,平行四边形（使用向量的平行四边形法则或者对角线中点重合）
例 1．（2007 山东卷）已知椭圆的中心在坐标原点 O，焦点在 x 轴上，椭圆的短轴端点和焦
点所组成的四边形为正方形，两准线(注：左右准线方程为 x
a2 )间的距离为 4 c
(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)直线 l 过点 P(0,2)且与椭圆相交于 A、B 两点，当ΔAOB 面积取 得最大值时，求直线 l 的方程.
1 2k 2
2 2k 2 1 2k 2
3
.下同解法一.
解法
2： S
AOB
S
POB
S
POA
1 2 || 2
x2
||
x1
||
|x2x1源自|=22 2k 2 3 。 1 2k 2
例
2：已知椭圆
x2 3
y2 2
1的左、右焦点分别为 F1 ，F2 ．过 F1 的直线交椭圆于 B，D 两点，
过 F2 的直线交椭圆于 A，C 两点，且 AC BD ，垂足为 P ．
又由韦达定理得 x1 x2
1
8k 2k
2
, x1 x2
1
6 2k
2
,
| AB |
(1
k
2
)
8(2k 2 (1 2k 2
3) )2
点 O 到直线 l 的距离 d
2， 1 k2
S
AOB
1| 2
AB | d
8(2k2 3) 1 2k 2
2
2 2k 2 3 1 2k 2 .
令 m 2k2 3(m 0) ，
（Ⅰ）设 P
(x0，y0 ) ，证明：
x02 3
y02 2
1 ；（Ⅱ）求四边形
ABCD 的面积的最小值．
例 2：解：（Ⅰ）椭圆的半焦距 c 3 2 1，由 AC ⊥ BD 知点 P 在以线段 F1F2 为直径
的圆上，故 x02
y02
1，所以
(处理方法一)
x22 3
y02 2
≤
x02 2
y02 2
圆锥曲线综合问题
1. 直线方程的处理：若直线方程未给出，应先假设。
（1）若已知直线过点 (x0 , y0 ) ，则假设方程为 y y0 k(x x0 ) ；
（2）若已知直线的斜率 k ，则假设方程为 y kx m ；
（3）若仅仅知道是直线，则假设方程为 y kx m
【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论；
设
B(x1，y1) ，
D(x2，y2 ) ，则
x1
x2
6k 2 3k 2
2
，
x1x2
3k 2 3k 2
6 2
BD
(k 2
1)
48(k (3k 2
2 1) 2)2
4
3(k 2 1) 3k 2 2
；因为
AC
与 BC 相交于点 P
，且
AC
的斜率
为
1 ，同理可得 k
AC
4
3
1 k2
1
3
1 k2
2
x1 x2
C, A
又 P, Q 两点在直线 l 上，故 y1 kx1 m, y2 kx2 m ，则 y2 y1 k (x2 x1) ，从而
| PQ | (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (x2 x1)2 k 2 (x2 x1)2 (1 k 2 )(x2 x1)2
(1 k 2 )[(x1 x2 )2 4x1x2 ]
,
y2
)
，则直线
l
与
x
轴的交点
D(
2 k
,
0)
，
由解法一知 k 2
3 2
且
x1
x2
8k
1 2k 2
, x1 x2
6 1 2k2
，
解法 1： S
AOB
1 | OD | | 2
y1
y2
|
1| 2
2 k
|
|
kx1
2
kx2
2|
=| x1 x2
|
(x2 x2 )2 4x1x2
16k 2 24 2
（2）直径（圆周角为直角，向量垂直或斜率乘积等于 1），其次考虑是否需要求圆的方程。
（3）锐角和钝角使用数量积正负求解；涉及到其它角的问题使用正切值，转化为斜率求解；
（4）三角形内切圆的半径与三角形面积的关系： S rp, (这里p a b c) ； 2
（5）圆的弦长用垂径定理；（6）涉及到焦点要联想到定义； （7）三点共线，长度之比尽量使用相似三角形转化为坐标之比，利用韦达定理。
例 1.解：(1) x2 y2 1. 2
（Ⅱ）由题意知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y kx 2, A(x1, y1), B(x2, y2 )
由
y kx
x2
2
y
2
2
2
，消去
y
得关于
x
的方程：
(1
2k
2
)x2
8kx
6
0
由直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点， 64k 2 24(1 2k 2 ) 8(2k 2 3) 0 解得 k 2 3 2