弦长公式(高二版椭圆)
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圆锥曲线综合问题
1. 直线方程的处理：若直线方程未给出，应先假设。
（1）若已知直线过点 (x0 , y0 ) ，则假设方程为 y y0 k(x x0 ) ；
（2）若已知直线的斜率 k ，则假设方程为 y kx m ；
（3）若仅仅知道是直线，则假设方程为 y kx m
【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论；
1 2k 2
2 2k 2 1 2k 2
3
.下同解法一.
解法
2： S
AOB
S
POB
S
POA
1 2 || 2
x2
||
x1
||
|
x2
x1
|=
2
2 2k 2 3 。 1 2k 2
例
2：已知椭圆
x2 3
y2 2
1的左、右焦点分别为 F1 ，F2 ．过 F1 的直线交椭圆于 B，D 两点，
过 F2 的直线交椭圆于 A，C 两点，且 AC BD ，垂足为 P ．
| PQ | 的步骤： 设 P(x1, y1), Q(x2 , y2 ) ，联立方程组（将直线方程代入椭圆方程）：
y kx b2 x2
m, a2 y2
消去
a2b2 ,
y
整理成关于
x
的一元二次方程：
Ax2
Bx
C
0
，
则
x1, x2 是上式的两个根，
B2
4AC
0 ；由韦达定理得：
x1
x2
B, A
1 2
1．
（处理方法二）
x22 3
y02 2
x02 3
1 x02 2
11 26
x02
1
（Ⅱ）（ⅰ）当 BD 的斜率 k 存在且 k 0 时， BD 的方程为 y k(x 1) ，代入椭圆方程
x2 y2 1，并化简得 (3k 2 2)x2 6k 2 x 3k 2 6 0 ． 48(k 2 1) 0 32
则 2k 2
m2 3 ， S
2 2m m2 4
22 m 4
2 2
m
当且仅当 m 4 即 m 2 时， m
Smax
2 此时 k 2
14 .所求直线为 14 2 y 4 0 2
解法二：由题意知直线 l 的斜率存在且不为零.设直线 l 的方程为
y
kx
2,
A( x1 ,
y1
),
B(
x2
(Fra Baidu bibliotek
k2)
A2
【注意：如果联立方程组消去 x 整理成关于 y 的一元二次方程： Ay2 By C 0 ，则
| PQ |
(1
1 k 2 )( y2
y1 ) 2
1 (1 k 2 ) A2
反斜截式
(1 m2 ) A2 】
3、其他常见问题处理 （1）等腰（使用垂直平分）,平行四边形（使用向量的平行四边形法则或者对角线中点重合）
又由韦达定理得 x1 x2
1
8k 2k
2
, x1 x2
1
6 2k
2
,
| AB |
(1
k
2
)
8(2k 2 (1 2k 2
3) )2
点 O 到直线 l 的距离 d
2， 1 k2
S
AOB
1| 2
AB | d
8(2k2 3) 1 2k 2
2
2 2k 2 3 1 2k 2 .
令 m 2k2 3(m 0) ，
设
B(x1，y1) ，
D(x2，y2 ) ，则
x1
x2
6k 2 3k 2
2
，
x1x2
3k 2 3k 2
6 2
BD
(k 2
1)
48(k (3k 2
2 1) 2)2
4
3(k 2 1) 3k 2 2
；因为
AC
与 BC 相交于点 P
，且
AC
的斜率
为
1 ，同理可得 k
AC
4
3
1 k2
1
3
1 k2
2
（Ⅰ）设 P
(x0，y0 ) ，证明：
x02 3
y02 2
1 ；（Ⅱ）求四边形
ABCD 的面积的最小值．
例 2：解：（Ⅰ）椭圆的半焦距 c 3 2 1，由 AC ⊥ BD 知点 P 在以线段 F1F2 为直径
的圆上，故 x02
y02
1，所以
(处理方法一)
x22 3
y02 2
≤
x02 2
y02 2
例 1.解：(1) x2 y2 1. 2
（Ⅱ）由题意知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y kx 2, A(x1, y1), B(x2, y2 )
由
y kx
x2
2
y
2
2
2
，消去
y
得关于
x
的方程：
(1
2k
2
)x2
8kx
6
0
由直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点， 64k 2 24(1 2k 2 ) 8(2k 2 3) 0 解得 k 2 3 2
,
y2
)
，则直线
l
与
x
轴的交点
D(
2 k
,
0)
，
由解法一知 k 2
3 2
且
x1
x2
8k
1 2k 2
, x1 x2
6 1 2k2
，
解法 1： S
AOB
1 | OD | | 2
y1
y2
|
1| 2
2 k
|
|
kx1
2
kx2
2|
=| x1 x2
|
(x2 x2 )2 4x1x2
16k 2 24 2
x1 x2
C, A
又 P, Q 两点在直线 l 上，故 y1 kx1 m, y2 kx2 m ，则 y2 y1 k (x2 x1) ，从而
| PQ | (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (x2 x1)2 k 2 (x2 x1)2 (1 k 2 )(x2 x1)2
(1 k 2 )[(x1 x2 )2 4x1x2 ]
（2）直径（圆周角为直角，向量垂直或斜率乘积等于 1），其次考虑是否需要求圆的方程。
（3）锐角和钝角使用数量积正负求解；涉及到其它角的问题使用正切值，转化为斜率求解；
（4）三角形内切圆的半径与三角形面积的关系： S rp, (这里p a b c) ； 2
（5）圆的弦长用垂径定理；（6）涉及到焦点要联想到定义； （7）三点共线，长度之比尽量使用相似三角形转化为坐标之比，利用韦达定理。
例 1．（2007 山东卷）已知椭圆的中心在坐标原点 O，焦点在 x 轴上，椭圆的短轴端点和焦
点所组成的四边形为正方形，两准线(注：左右准线方程为 x
a2 )间的距离为 4 c
(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)直线 l 过点 P(0,2)且与椭圆相交于 A、B 两点，当ΔAOB 面积取 得最大值时，求直线 l 的方程.
（4）若已知直线恒过 x 轴上一点 (t, 0) ，且水平线不满足条件（斜率为 0），可以假设
直线为 x my t 。【反斜截式， m 1 】不含垂直于 y 轴的情况（水平线） k
2.弦长公式：若直线 l :
y
kx m 与椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a
b 0) 相交于 P, Q 两点，求弦长
4
3(k 2 2k 2
3
1)（这里
AC
和
BD
都过
P
与椭圆相交）
故四边形 ABCD 的面积, 注意 k 2 0
1. 直线方程的处理：若直线方程未给出，应先假设。
（1）若已知直线过点 (x0 , y0 ) ，则假设方程为 y y0 k(x x0 ) ；
（2）若已知直线的斜率 k ，则假设方程为 y kx m ；
（3）若仅仅知道是直线，则假设方程为 y kx m
【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论；
1 2k 2
2 2k 2 1 2k 2
3
.下同解法一.
解法
2： S
AOB
S
POB
S
POA
1 2 || 2
x2
||
x1
||
|
x2
x1
|=
2
2 2k 2 3 。 1 2k 2
例
2：已知椭圆
x2 3
y2 2
1的左、右焦点分别为 F1 ，F2 ．过 F1 的直线交椭圆于 B，D 两点，
过 F2 的直线交椭圆于 A，C 两点，且 AC BD ，垂足为 P ．
| PQ | 的步骤： 设 P(x1, y1), Q(x2 , y2 ) ，联立方程组（将直线方程代入椭圆方程）：
y kx b2 x2
m, a2 y2
消去
a2b2 ,
y
整理成关于
x
的一元二次方程：
Ax2
Bx
C
0
，
则
x1, x2 是上式的两个根，
B2
4AC
0 ；由韦达定理得：
x1
x2
B, A
1 2
1．
（处理方法二）
x22 3
y02 2
x02 3
1 x02 2
11 26
x02
1
（Ⅱ）（ⅰ）当 BD 的斜率 k 存在且 k 0 时， BD 的方程为 y k(x 1) ，代入椭圆方程
x2 y2 1，并化简得 (3k 2 2)x2 6k 2 x 3k 2 6 0 ． 48(k 2 1) 0 32
则 2k 2
m2 3 ， S
2 2m m2 4
22 m 4
2 2
m
当且仅当 m 4 即 m 2 时， m
Smax
2 此时 k 2
14 .所求直线为 14 2 y 4 0 2
解法二：由题意知直线 l 的斜率存在且不为零.设直线 l 的方程为
y
kx
2,
A( x1 ,
y1
),
B(
x2
(Fra Baidu bibliotek
k2)
A2
【注意：如果联立方程组消去 x 整理成关于 y 的一元二次方程： Ay2 By C 0 ，则
| PQ |
(1
1 k 2 )( y2
y1 ) 2
1 (1 k 2 ) A2
反斜截式
(1 m2 ) A2 】
3、其他常见问题处理 （1）等腰（使用垂直平分）,平行四边形（使用向量的平行四边形法则或者对角线中点重合）
又由韦达定理得 x1 x2
1
8k 2k
2
, x1 x2
1
6 2k
2
,
| AB |
(1
k
2
)
8(2k 2 (1 2k 2
3) )2
点 O 到直线 l 的距离 d
2， 1 k2
S
AOB
1| 2
AB | d
8(2k2 3) 1 2k 2
2
2 2k 2 3 1 2k 2 .
令 m 2k2 3(m 0) ，
设
B(x1，y1) ，
D(x2，y2 ) ，则
x1
x2
6k 2 3k 2
2
，
x1x2
3k 2 3k 2
6 2
BD
(k 2
1)
48(k (3k 2
2 1) 2)2
4
3(k 2 1) 3k 2 2
；因为
AC
与 BC 相交于点 P
，且
AC
的斜率
为
1 ，同理可得 k
AC
4
3
1 k2
1
3
1 k2
2
（Ⅰ）设 P
(x0，y0 ) ，证明：
x02 3
y02 2
1 ；（Ⅱ）求四边形
ABCD 的面积的最小值．
例 2：解：（Ⅰ）椭圆的半焦距 c 3 2 1，由 AC ⊥ BD 知点 P 在以线段 F1F2 为直径
的圆上，故 x02
y02
1，所以
(处理方法一)
x22 3
y02 2
≤
x02 2
y02 2
例 1.解：(1) x2 y2 1. 2
（Ⅱ）由题意知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y kx 2, A(x1, y1), B(x2, y2 )
由
y kx
x2
2
y
2
2
2
，消去
y
得关于
x
的方程：
(1
2k
2
)x2
8kx
6
0
由直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点， 64k 2 24(1 2k 2 ) 8(2k 2 3) 0 解得 k 2 3 2
,
y2
)
，则直线
l
与
x
轴的交点
D(
2 k
,
0)
，
由解法一知 k 2
3 2
且
x1
x2
8k
1 2k 2
, x1 x2
6 1 2k2
，
解法 1： S
AOB
1 | OD | | 2
y1
y2
|
1| 2
2 k
|
|
kx1
2
kx2
2|
=| x1 x2
|
(x2 x2 )2 4x1x2
16k 2 24 2
x1 x2
C, A
又 P, Q 两点在直线 l 上，故 y1 kx1 m, y2 kx2 m ，则 y2 y1 k (x2 x1) ，从而
| PQ | (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (x2 x1)2 k 2 (x2 x1)2 (1 k 2 )(x2 x1)2
(1 k 2 )[(x1 x2 )2 4x1x2 ]
（2）直径（圆周角为直角，向量垂直或斜率乘积等于 1），其次考虑是否需要求圆的方程。
（3）锐角和钝角使用数量积正负求解；涉及到其它角的问题使用正切值，转化为斜率求解；
（4）三角形内切圆的半径与三角形面积的关系： S rp, (这里p a b c) ； 2
（5）圆的弦长用垂径定理；（6）涉及到焦点要联想到定义； （7）三点共线，长度之比尽量使用相似三角形转化为坐标之比，利用韦达定理。
例 1．（2007 山东卷）已知椭圆的中心在坐标原点 O，焦点在 x 轴上，椭圆的短轴端点和焦
点所组成的四边形为正方形，两准线(注：左右准线方程为 x
a2 )间的距离为 4 c
(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)直线 l 过点 P(0,2)且与椭圆相交于 A、B 两点，当ΔAOB 面积取 得最大值时，求直线 l 的方程.
（4）若已知直线恒过 x 轴上一点 (t, 0) ，且水平线不满足条件（斜率为 0），可以假设
直线为 x my t 。【反斜截式， m 1 】不含垂直于 y 轴的情况（水平线） k
2.弦长公式：若直线 l :
y
kx m 与椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a
b 0) 相交于 P, Q 两点，求弦长
4
3(k 2 2k 2
3
1)（这里
AC
和
BD
都过
P
与椭圆相交）
故四边形 ABCD 的面积, 注意 k 2 0