平面度误差的测量及数据处理

课程设计说明书题目:平面度误差的测量及数据处理学生：学院：班级：指导教师：摘要平面度误差是将被测实际表面与理想平面进行比较，两者之间的线值距离即为平面度误差值；或通过测量实际表面上若干点的相对高度差，再换算以线值表示的平面度误差值。

本文就平面度误差的数学模型与按最小二乘法建立理想平面（评定基准）的数学模型展开分析讨论；并结合案列分析，得出比较客观地评定平面度误差或者测量较大平面的平面度误差，最小二乘法是最佳方法[1]关键词：最小二乘法；平面度误差；最佳方法AbstractFlatness error is measured by actual surface with an ideal plane are compared, the line between the two values of distance, which is the flatness error values, or by measuring the actual surface on several points of relative height difference, conversion to line value representation of flatness error value .This paper studies the mathenatical model of flatness error and ideal plane made by least square method .With illust ration of practical cases, the author reaches the conclusion that least sauare method is the best one in judging and measuring larger plane’s flatness error.Keywords: Leastaquare method ; Flatness error；Best method目录第一章平面度的测量方法 (1)1.1引言 (1)1.2平面度误差的测量 (1)第二章平面度的评定 (3)2．1最小区域法 (3)2.2最小二乘法测量平面度误差的原理 (3)2.2．1建立被测实际表面的数学模型 (4)第三章用MATLA实现的过程 (6)3.1软件编程 (6)3.2平面度误差的最小二乘法评定及其评定结果的不确定度 (9)3.3小结 (12)第一章平面度的测量方法1.1 引言平面度误差是指被测实际表面对其理想平面的变动量。

理想平面是评定平面度误差的评定基准，而评定基准的方位不同求得的平面度误差值也不同。

若用水平仪、自准直仪按节距法测量实际表面上各点相对于测量基准的平面度误差时，确定评定基准的方法可用：简便法、最小二乘法、和最小包容区域法[2]。

本文着重分析介绍最小二乘法来确定评定基准，从而求得平面度误差值。

最小二乘法能准确而充分地利用全部的原始观测数据提供的信息，比较客观地评定出不需要经过多次试算的平面度误差，而且可直接运用于电子计算机运算，列入MATLAB软件，是的平面度误差的计算达到迅速、准确、可靠[7]。

1.2 平面度误差的测量平面度误差的测量方法很多，常用的有如下所列的方法：①光隙法：将被测直线和测量基线间形成的光隙，与标准光隙比较，测量不同方向的若干个截面上的直线度误差，取其中最大值，作为平面度误差近似值的方法。

该方法适用于磨削或研磨加工的小平面的平面度误差测量。

②指示器法：将被测零件支撑在平板上，平板工作面为测量基准，按一定的方式布点，如图3所示，用指示器对被测面上各点进行测量并记录所测数据，然后，按一定的方法评定其误差值。

该方法适用于中、小平面的平面度误差测量。

③光轴法：以几何光轴建立测量基面，测出被测面相对测量基面的偏离量，进而评定平面度误差值的方法，该方法适用于一般精度大平面的平面度误差测量。

④干涉法：利用光波干涉原理，根据干涉条纹形状、条数，来确定平面度误差值的方法，该方法适用于精研表面的平面度误差测量。

⑤三坐标测量机：三坐标测量机是综合利用精密机械、微电子、光栅和激光干涉仪等先进技术的测量仪器，其原理是在三个相互垂直的方向上，有导向机构、测长元件、数显装置，有一个能够放置工件的工作台，测头可以以手动或机动方式，轻快地移动到被测点上，由读数设备和数显装置，把被测点的坐标值显示出来的一种测量设备[4]。

除上面介绍的几种方法外，还有液面法、自准直仪法等，工贸职业中专学校实验室在教学中，常采用光学合像水平仪测定平板的平面度误差。

第二章平面度的评定平面度误差是被测实际表面相对理想平面的变动量。

根据GB／T1 1337-2004{平面度误差检测》对形状误差的定义，理想平面的位置应符合最小条件，平面度误差大小，等于包容实际表面且距离为两平行平面之间的宽度。

平面度误差的评定方法有：最小包容区域法，对角线法，三远点法和最小二乘法[5]。

2.1 最小区域法它是两平行包容平面与实际被测要素的接触状态符合平面度误差判别法中某一准则时，此时两平行平面之问的距离，为平面度误差。

用最小条件评定平面度误差有3种判断准则：三角形准则，交叉准则，直线准则。

平面度误差的最小区域判别方法是：由两个平行平面包容被测实际表面时，至少有3点或4点相接触，接触点的高低分布，有下列3种形式之一者，即符合最小区域。

①三角形准则：如果被测实际表面上有3个最高(低)点及一个最低(高)点分别与两个包容平面相接触，并且最高(低)点能投影到3个最低(高)点之间，形成最小包容，称为三角形准则。

②交叉准则：两个高点与两个低点某些实际表面具有鞍形的形状特征，其与上下包容面各有两个接触点，若两高点的投影位于两低点连线之两侧，形成最小包容，称为交叉准则。

③直线准则：如果被测表面上的同一截面有两个最高(低)点与一个低(高)点分别和两个平行的包容面相接触，并且有一个最低(高)点的投影要落在两高(或两低)点连线之上，此时也形成最小包容，称为直线准则。

④对角线法：评定基准平面是通过实际平面的一条对角线和平行于另一条对角线的平面，各测点对此平面的偏差中最大正值与最大负值的绝对值之和为被测实际平面的平面度误差值。

⑤三点法：评定基准平面是通过被测实际平面上相距较远且不在一条直线上的三点建立的平面。

偏离此平面的最大值和最小值的绝对值之和为平面度误差这三种方法虽然都是针对同一被测平面，但由于评定基准平面选取不同，得到的误差值也不同[6]。

2.2 最小二乘法测量平面度误差的原理最小二乘平面是个理想的平面，它使从实际被测轮廓上各点到该平面的距离的平方和为最小。

因此，最小二乘法的目标函数，即各测点到最小二乘基准平面的距离的平方和F （A,B,C ）=∑=ni ijd12 （2-1）其满足最小化时，F （A,B,C ）的（A,B,C ）即最小二乘基准平面的法向量，=f minmaxijijd d - (2-2)即为最小二乘法平面度误差值[3]。

2.2.1 建立被测实际表面的数学模型平面度误差是指被测实际表面不平的程度，而平面在空间直角坐标系中，它的一般方程为;AX+BY+CZ+D=0; 假设测得的点的坐标是（i i i z y x ,,）（i =1,2，…,n ）,其中A,B,C 为待定参数。

根据最小二乘法原理得到最小二乘平面的待定系数A,B,C 为A=222/∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑iii ii i iiii iii ii i i i iiiyy x y y x x x yx n y z y yy x z x x y z n（2-3）B=222/∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑iii ii iiiii ii ii iii iiii i yy x y yx x x yx n z y y x y z x x x y x z （2-4)C=2222/∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑iii ii i iiii iii ii i i iii ii iyy x y yx x x y x n y y x z y y x x z x y x z (2-5)由于现在知道A,B,C 的系数，即确定了最小二乘平面。

接下来就是就能知道改平面的上方的点和下方的点到该平面的距离，由于在该平面上下方都有点，所以点的本身就带有矢量性。

点到平面的距离公式为)1(y 22B AC B Ax z d i i i i ++---=（2-6）根据最小二乘法的原理有：min 2=∑niid（2-7）由于观测到的数据位于最小二乘平面（基准平面）的上下两侧，所以有点到平面的距离有最大值和最小值的两个点！即平面度为=f minmaxijijd d - （2-8）第三章用MATLA实现的过程3.1 软件编程本文是通过MATLAB软件求得最小二乘平面（基准平面）的系数A,B,C，将最小二乘平面（基准平面）拟合在三维坐标中和求出基准平面的平面度误差。

根据观测到的数据如下：x（mm） y（mm） z（mm）1 10.132 43.982 -0.0032 19.641 44.092 -0.0013 30.444 44.217 -0.0024 30.618 29.359 -0.0025 17.741 29.210 -0.0016 5.450 29.068 -0.0077 4.912 46.453 -0.0128 15.887 46.580 -0.0049 29.745 46.740 -0.00210 30.104 15.746 0.00311 18.721 15.614 -0.00412 5.738 15.464 -0.01013 17.630 47.032 -0.01014 29.966 47.174 -0.00715 5.989 44.945 -0.01116 16.808 45.071 -0.00517 28.761 45.209 -0.00218 28.901 33.125 0.00019 17.108 32.988 -0.00720 3.975 32.836 -0.00821 4.188 14.508 -0.008现在将MATLAB 代码输入软件中：function testlsqnonlin111 clc; clear all; close all; % 读入数据data = xlsread('数据.xls'); % 3列对应x,y ,z xdata = data(:,2); ydata = data(:,3); zdata = data(:,4); % 画出原始数据点，红色 figure;plot3(xdata,ydata,zdata,'r*');hold on; % 初始值 a b c 都为0 x0 = [0 0 0]';% 调用最小二乘法非线性拟合函数x =lsqnonlin((x) myfun(x,xdata,ydata,zdata),x0) % 求平面度误差 % 平面方程的系数 a = x(1); b = x(2);22 17.690 14.664 0.003 23 30.909 14.8170.00424 30.140 32.118 -0.003 25 18.378 31.981 -0.007 26 4.371 31.820 -0.004 27 18.421 31.982 -0.008 28 30.889 32.127 -0.004 29 31.111 13.1760.0013017.422 13.018 -0.005注解：将数据放入到excel 表格中如下图所示注解：将保存好的数据文件与MATLAB 的代码文件放到同一个文件夹下。