高考物理电场精讲精练等效法解决带电体在复合场中运动问题

“等效法”解决带电体在复合场中运动问题[方法概述]

1等效思维方法就是将一个复杂的物理问题，等效为一个熟知的物理模型或问题的方法.例如我们学习过的等效电阻、分力与合力、合运动与分运动等都体现了等效思维方法.常见的等效法有“分解”、“合成”、“等效类比”、“等效替换”、“等效变换”、“等效简化”等，从而化繁为简，化难为易.2带电粒子在匀强电场和重力场组成的复合场中做圆周运动的问题是高中物理教学中一类重要而典型的题型.对于这类问题，若采用常规方法求解，过程复杂，运算量大.若采用“等效法”求解，则能避开复杂的运算，过程比较简捷.

[方法应用]

1求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一个“等效重力”.

2将a视为“等效重力加速度”.

3将物体在重力场中做圆周运动的规律迁移到等效重力场中分析求解.

例题1在水平向右的匀强电场中，有一质量为m、带正电的小球，用长为l的绝缘细线悬挂于O点，当小球静止时，细线与竖直方向夹角为θ，小球位于B点，A点与B点关于O点对称，如图所示，现给小球一个垂直于悬线的初速度，小球恰能在竖直平面内做圆周运动，试问：

(1)小球在做圆周运动的过程中，在哪一位置速度最小？速度最小值多大？

(2)小球在B点的初速度多大？

解析如图所示，小球所受到的重力、电场力均为恒力，二力的合力为F＝

mg

cos θ

.重

力场与电场的叠加场为等效重力场，F为等效重力，小球在叠加场中的等效重力加速度为g′

＝

g

cos θ

，其方向斜向右下，与竖直方向成θ角．小球在竖直平面内做圆周运动的过程中，

只有等效重力做功，动能与等效重力势能可相互转化，其总和不变．与重力势能类比知，等效重力势能为E p＝mg′h，其中h为小球距等效重力势能零势能点的高度．

(1)设小球静止的位置B 点为零势能点，由于动能与等效重力势能的总和不变，则小球位于和B 点对应的同一直径上的A 点时等效重力势能最大，动能最小，速度也最小．设小球

在A 点的速度为v A ，此时细线的拉力为零，等效重力提供向心力，则mg ′＝m v 2A l 得小球的最小速度为v A ＝ gl cos θ

(2)设小球在B 点的初速度为v B ，由能量守恒得

12mv 2B ＝12

mv 2A ＋mg ′·2l 将v A 的数值代入得v B ＝

5gl cos θ 答案 (1)A 点速度最小

gl cos θ (2) 5gl cos θ

过关检测 1．如图所示，一条长为L 的细线上端固定，下端拴一个质量为m 的电荷量为q 的小球，将它置于方向水平向右的匀强电场中，使细线竖直拉直时将小球从A 点静止释放，当细线离开竖直位置偏角α＝60°时，小球速度为0.

(1)求：①小球带电性质；②电场强度E .

(2)若小球恰好完成竖直圆周运动，求从A 点释放小球时应有的初速度v A 的大小(可含根式)．

解析：(1)①根据电场方向和小球受力分析可知小球带正电．

②小球由A 点释放到速度等于零，由动能定理有

0＝EqL sin α－mgL (1－cos α)，解得E ＝3mg 3q

. (2)将小球的重力和电场力的合力作为小球的等效重力G ′，则G ′＝2 33

mg ，方向与竖直方向成30°角偏向右下方．

若小球恰能做完整的圆周运动，在等效最高点．

m v 2L ＝2 33

mg 12mv 2－12mv 2A ＝－2 33

mgL (1＋cos 30°)

联立解得v A ＝ 2gL (3＋1)

答案：见解析

2．如图所示，绝缘光滑轨道AB 部分为倾角为30°的斜面，AC 部分为竖直平面上半径为R 的圆轨道，斜面与圆轨道相切．整个装置处于电场强度为E 、方向水平向右的匀强电场中．现有一个质量为m 的小球，带正电荷量为q ＝

3mg 3E

，要使小球能安全通过圆轨道，在O 点的初速度应满足什么条件？

解析：小球先在斜面上运动，受重力、电场力、支持力，然后在圆轨道上运动，受重力、电场力、轨道作用力，如图所示，类比重力场，将电场力与重力的合力视为等效重力mg ′，

大小为mg ′＝ (qE )2＋(mg )2＝2 3mg 3，tan θ＝qE mg ＝33

，得θ＝30°，等效重力的方向与斜面垂直指向右下方，小球在斜面上匀速运动．

因要使小球能安全通过圆轨道，在圆轨道的“等效最高点”(D 点)满足“等效重力”刚

好提供向心力，即有：mg ′＝mv 2D R

，因θ＝30°与斜面的倾角相等，由几何关系知AD ＝2R ，令小球以最小初速度v 0运动，由动能定理知：

－2mg ′R ＝12mv 2D －12

mv 20 解得v 0＝

10 3gR 3

，因此要使小球安全通过圆轨道，初速度应满足v ≥ 103gR 3

. 答案：v ≥ 103gR 3