线性代数模拟试卷及答案
考研数学三(线性代数)模拟试卷120(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）模拟试卷120(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A，B，A＋B，A－1＋B－1皆为可逆矩阵，则(A－1＋B－1)－1等于( )．A．A＋BB．A－1＋B－1C．A(A＋B)－1BD．(A＋B)－1正确答案：C解析：A(A＋B)－1B(A－1＋B－1)＝[(A＋B)A－1]－1(BA－1＋E)＝(BA－1＋E)－1(BA－1＋E)＝E，选(C)．知识模块：线性代数2．设则m，n可取( )．A．m＝3，n＝2B．m＝3，n＝5C．m＝2，n＝3D．m＝2，n＝2正确答案：B解析：P1mAP2n＝经过了A的第1，2两行对调与第1，3两列对调，P1＝＝E13，且Eij2＝E，P1mAP2n＝P1AP2，则m＝3，n＝5，选(B)．知识模块：线性代数3．设A＝(α1，α2，…，αm)，其中α1，α2，…，αm是n维列向量，若对于任意不全为零的常数k1，k2，…，km，皆有k1α1＋k2α2＋…＋kmαm ≠0，则( )．A．m＞nB．m＝nC．存在m阶可逆阵P，使得AP＝D．若AB＝O，则B＝O正确答案：D解析：因为对任意不全为零的常数k1，k2，…，km，有k1α1＋k2α2＋…＋kmαm≠0，所以向量组α1，α2，…，αm线性无关，即方程组AX＝0只有零解，故若AB＝O，则B＝O，选(D)．知识模块：线性代数4．设α1，α2，…，αM与β1，β2，…，βs为两个n维向量组，且r(α1，α2，…，αm)＝r(β1，β2，…，βs)＝r，则( )．A．两个向量组等价B．r(α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βs)＝r．C．若向量组α1，α1…，αm可由向量组β1，β2，…，βs线性表示，则两向量组等价D．两向量组构成的矩阵等价正确答案：C解析：不妨设向量组α1，α2，…，αm的极大线性无关组为α1，α2，…，αr，向量组β1，β2，…，βs的极大线性无关组为β1，β2，…，βr，若α1，α2，…，αm可由β1，β2，…，βs线性表示，则α1，α2，…，αr，也可由β1，β2，…，βαr，线性表示，若β1，β2，…，βr，不可由α1，α2，…，αr，线性表示，则β1，β2，…，βs也不可由α1，α2，…，αm线性表示，所以两向量组秩不等，矛盾，选(C)．知识模块：线性代数5．设A为m×n阶矩阵，则方程组AX＝b有唯一解的充分必要条件是( )．A．r(A)＝mB．r(A)＝nC．A为可逆矩阵D．r(A)＝n且b可由A的列向量组线性表示正确答案：D解析：方程组AX＝b有解的充分必要条件是b可由矩阵A的列向量组线性表示，在方程组AX＝b有解的情形下，其有唯一解的充分必要条件是r(A)＝n，选(D)．知识模块：线性代数6．设A为n阶矩阵，下列结论正确的是( )．A．矩阵A的秩与矩阵A的非零特征值的个数相等B．若A～B，则矩阵A与矩阵B相似于同一对角阵C．若r(A)＝r＜n，则A经过有限次初等行变换可化为D．若矩阵A可对角化，则A的秩与其非零特征值的个数相等正确答案：D解析：(A)不对，如A＝，A的两个特征值都是0，但r(A)＝1；(B)不对，因为A～B不一定保证A，B可以对角化；(C)不对，如A＝，A经过有限次行变换化为，经过行变换不能化为；因为A可以对角化，所以存在可逆矩阵P，使得P －1AP＝，于是r(A)＝，故选(D)．知识模块：线性代数填空题7．设A为n阶矩阵，且｜A｜＝a≠0，则｜(kA)*｜＝______．正确答案：kn(n－1)an－1解析：因为(kA)*＝kn－1A*，且｜A*｜＝｜A｜n－1，所以｜(kA)*｜＝｜kn－1A*｜＝kn(n－1)｜A｜n－1＝kn(n－1)an－1．知识模块：线性代数8．设A＝，B≠O为三阶矩阵，且BA＝O，则r(B)＝______．正确答案：1解析：BA＝Or(A)＋r(B)≤3，因为r(A)≥2，所以r(B)≤1，又因为B≠O，所以r(B)＝1．知识模块：线性代数9．设三阶矩阵A的特征值为λ1＝－1，λ2＝，λ3＝其对应的特征向量为α1，α2，α3，令P＝(2α3,－3α1，－α2)，则P－1(A－1＋2E)P＝______．正确答案：解析：P－1(A－1＋2E)P－1A－1P＋2E，而P－1A－1P＝，所以P－1(A－1＋2E)P＝知识模块：线性代数10．设A＝有三个线性无关的特征向量，则a＝______．正确答案：0解析：由｜λE－A｜＝0得A的特征值为λ1＝－2，λ2＝λ3＝6．因为A 有三个线性无关的特征向量，所以A可以对角化，从而r(6E－A)＝1，解得a＝0．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
线性代数模拟试卷及答案
线性代数(文)模拟试卷(一)参考答案一。
填空题(每小题3分，共12分）1.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333222111c b a c b a c b a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333222111d b a d b a d b a B ，2=A ,3=B ，则B A -2=1. 解 B A -2=3332221113332221113333222211112222d b a d b a d b a c b a c b a c b a d c b a d c b a d c b a -=---=12=-B A .2。
已知向量)3,2,1(=α，)31,21,1(=β,设βαT A =，其中T α是α的转置，则n A =A n 13-.解 注意到3321)31,21,1(=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T βα,故n A =βαβαβαβαT n T T T 个)())((=ββαβαβααβαTn T T T T 个)1()())((-=A n T n 1133--=βα。
注 若先写出A ，再求2A ,…,n A 将花比前更多的时间.3。
若向量组T )1,0,1(1-=α，T k )0,3,(2=α，T k ),4,1(3-=α线性相关，则k =3-.解 由1α,2α,3α线性相关，则有321,,ααα=k k 0143011--=1043011--k k k =04)1(3143=--=-k k k k 。
由此解得3-=k .4。
若4阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为21，31，41,51,则行列式E B --1 =24.解 因为A 与B 相似,所以A ,B 有相似的特征值，从而E B --1有特征值1，2，3,4。
故2443211=⋅⋅⋅=--E B . 注 本题解答中要用到以下结论:(1)若A 可逆,A 的特征值为λ,则1-A 的特征值为λ1。
(2)若λ是A 的特征值，则)(A f 的特征值为)(λf ，其中)(x f 为任意关于x 的多项式。
大学数学线性代数期末复习模拟测试试卷(含答案)
线性代数期末模拟测试试卷（含答案）班别 姓名 成绩一、选择题1．已知二次型3231212322214225x x x x x tx x x x f +-+++=,当t 取何值时，该二次型为正定？（ ） A.054<<-t B.5454<<-t C.540<<t D.2154-<<-t2.已知矩阵B A x B A ~,50060321,340430241且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，求x 的值（ ）A.3B.-2C.5D.-53．设A 为n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（ ） A. 0≠A B. 01≠-A C.n A r =)( D.A 的行向量组线性相关4．过点（0，2，4）且与两平面2312=-=+z y z x 和的交线平行的直线方程为（ ） A.14322-=-=-z y x B.24322-=-=z y x C.14322+=+=-z y x D.24322+=+=z y x5．已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1513A ,其特征值为（ ）A.4,221==λλB.4,221-=-=λλC.4,221=-=λλD.4,221-==λλ二、填空题.答题要求：将正确答案填写在横线上6．三阶行列式ij a 的展开式中，321123a a a 前面的符号应是 。
7．设123221,343A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ij A 为A 中元ij a 的代数余子式，则111213A A A ++= 。
8．设n 阶矩阵A 的秩1)(-<n A r ，则A 的伴随矩阵A *的元素之和∑∑===n i nj ij A 11。
9．三阶初等矩阵()1,2E 的伴随矩阵为 。
10．若非齐次线性方程组AX B =有唯一解，则其导出组0AX =解的情况是 。
11．若向量组11121233,a b a b a b αβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭线性相关，则向量组112222,a b a b αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的线性关系是 。
考研数学一(线性代数)模拟试卷101(题后含答案及解析)
考研数学一（线性代数）模拟试卷101(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A为m×n阶矩阵，C为n阶矩阵，B=AC，且r(A)=r，r(B)=r1，则( )．A．r＞r1B．r＜r1C．r≥r1D．r与r1的关系依矩阵C的情况而定正确答案：C解析：因为r1=r(B)=r(AC)≤r(A)=r，所以选(C)．知识模块：线性代数2．向量组α1，α2，…，αm线性无关的充分必要条件是( )．A．向量组α1，α2，…，αm，β线性无关B．存在一组不全为零的常数k1，k2，…，km，使得k1α1+k2α2+…+km αm≠0C．向量组α1，α2，…，αm的维数大于其个数D．向量组α1，α2，…，αm的任意一个部分向量组线性无关正确答案：D解析：(A)不对，因为α1，α2，…，αm，β线性无关可以保证α1，α2，…，αm线性无关，但α1，α2，…，αm线性无关不能保证α1，α2，…，αm，β线性无关；(B)不对，因为α1，α2，…，αm线性无关可以保证对任意一组非零常数k1，k2，…，km，有k1α1+k2α2+…+kmαm≠0，但存在一组不全为零的常数k1，k2，…，km使得k1α1+k2α2+…+kmαm≠0不能保证α1，α2，…，αm线性无关；(C)不对，向量组α1，α2，…，αm线性无关不能得到其维数大于其个数，如α1=，α2=线性无关，但其维数等于其个数，选(D)．知识模块：线性代数3．设A，B为正定矩阵，C是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是( )．A．CTACB．A－1+B－1C．A*+B*D．A—B正确答案：D解析：显然四个选项中的矩阵都是实对称阵，因为A，B正定，所以A－1，B－1及A*，B*都是正定的，对任意X≠0，XT(CTAC)X=(CX)TA(CX)＞0(因为C可逆，所以当X≠0时，CX≠0)，于是CTAC为正定矩阵，同样用定义法可证A－1+B－1与A*+B*都是正定矩阵，选(D)．知识模块：线性代数4．设A为可逆的实对称矩阵，则二次型XTAX与XTA－1X( )．A．规范形与标准形都不一定相同B．规范形相同但标准形不一定相同C．标准形相同但规范形不一定相同D．规范形和标准形都相同正确答案：B解析：因为A与A－1合同，所以XTAX与XTA－1X规范形相同，但标准形不一定相同，即使是同一个二次型也有多种标准形，选(B)．知识模块：线性代数5．设A是m×n矩阵，且m＞n，下列命题正确的是( )．A．A的行向量组一定线性无关B．非齐次线性方程组AX=B一定有无穷多组解C．ATA一定可逆D．ATA可逆的充分必要条件是r(A)=n正确答案：D解析：若ATA可逆，则r(ATA)=n，因为r(ATA)=r(A)，所以r(A)=n；反之，若r(A)=n，因为r(ATA)=r(A)，所以ATA可逆，选(D)．知识模块：线性代数6．设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O，且非齐次线性方程组AX=b有两个不同解η1，η2，则下列命题正确的是( )．A．AX=b的通解为k1η1+k2η2B．η1+η2为AX=b的解C．方程组AX=0的通解为k(η1一η2)D．AX=b的通解为k1η1+k2η2+(η1+η2)正确答案：C解析：因为非齐次线性方程组AX=b的解不唯一，所以r(A)＜n，又因为A*≠O，所以r(A)=n一1，η2一η1为齐次线性方程组AX=0的基础解系，选(C)．知识模块：线性代数填空题7．设α=(1，一1，2)T，β=(2，1，1)T，A=αβT，则An=________·正确答案：解析：βT=3，A2=αβT·αβT=3αβT=3A，则An=3n－1A=3n－1．知识模块：线性代数8．设A为n阶可逆矩阵(n≥2)，则[(A*)*]－1=_________(用A*表示)．正确答案：解析：由A*=｜A｜A－1得(A*)*=｜A*｜．(A*)－1=｜A｜n－1．(｜A｜A －1)－1=｜A｜N－2A，故[(A*)*]－1=．知识模块：线性代数9．设η1，…，ηs是非齐次线性方程组AX=b的一组解，则k1η1+…+ks ηs为方程组AX=b的解的充分必要条件是_________．正确答案：k1+k2+…+ks=1解析：k1+k2+…+ks=1，显然k1η1+k2η2+…+ksηs为方程组AX=b的解的充分必要条件是A(k1η1+k2η2+…+ksηs)=b，因为Aη1=Aη2=…=Aηs=b，所以(k1+k2+…＋ks)b=b，注意到b≠0，所以k1+k2+…+ks=1，即k1η1+k2η2+…+ksηs为方程组AX=b的解的充分必要条件是k1+k2+…+ks=1．知识模块：线性代数10．已知A=有三个线性无关的特征向量，则a=_________．正确答案：a=-10解析：由｜λE一A｜==(λ一1)(λ一2)2=0得λ1=1，λ2=λ3=2，因为A 可对角化，所以r(2E—A)=1，由2E—A=得a=一10．知识模块：线性代数11．二次型f(x1，x2，x3)=(x1一2x2)2+4x2x3的矩阵为_______．正确答案：解析：因为f(x1，x2，x3)=x12+4x22一4x1x2+4x2x3，所以A=．知识模块：线性代数12．设A为n阶矩阵，且｜A｜=a≠0，则｜(kA)*｜=_________．正确答案：kn(n－1)an－1解析：因为(kA)*=kn－1A*，且｜A*｜=｜A｜n－1，所以｜(kA)*｜=｜kn －1A*｜=kn(n－1)｜A｜n－1=kn(n－1)an－1．知识模块：线性代数13．设A=，B≠O为三阶矩阵，且BA=O，则r(B)=_________．正确答案：1解析：BA=Or(A)+r(B)≤3，因为r(A)≥2，所以r(B)≤1，又因为B≠O，所以r(B)=1．知识模块：线性代数14．设A为三阶实对称矩阵，α1=(A，一A，1)T是方程组AX=0的解，α2=(a，1，1－a)T是方程组(A+E)X=0的解，则a=_________．正确答案：1解析：因为A为实对称矩阵，所以不同特征值对应的特征向量正交，因为AX=0及(A+E)X=0有非零解，所以λ1=0，λ2=一1为矩阵A的特征值，α1=(a，一a，1)T，α2=(a，1，1－a)T是它们对应的特征向量，所以有α1Tα2=a2一a+1一a=0，解得a=1．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
线性代数模拟试题及答案
线性代数模拟试题A一．是非、选择题（每小题3分，共15分）1．设A 与B 均为n 阶方阵，则下列结论中 成立。
（a ） det （AB ）=0,则A=0,或B ＝0；（b ） det （AB ）＝0，则detA ＝0，或detB ＝0；（c ） AB=0,则A=0,或B=0；（d ） AB ≠0,则detA ≠0,或detB ≠0。
2．设)1,1,1,1()0,1,0,1(),1,1,0,0(),0,0,1,1(4321====αααα，则它的极大无关组为（a ）;,21αα （b ）321,ααα；（c ）421,,ααα； （d ）4321,,αααα；3．若n 实对称矩阵A 满足,02=A 则A ＝0。
（ ）4．若齐次线性方程组AX=0只有零接，则A 的列向量组线性无关。
（ ）5．若n 阶实对称矩阵n n ij a A ⨯=)(正定，则),2,1(0n i a ij =>（ ）二．填空题（每小题3分，共12分）1．二次型212121321242),,(x x x x x x x x f +-=的秩为2．设A 为n 阶方阵，且detA ＝2，则=+--])31det[(*1A A3．已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=11322002x A 与⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=y B 00020001相似，则=x =y 4．当t 取值为时，二次型31212322212224x x x tx x x x f ++---=是负定的。
三．（10分）已知向量),,,(21n a a a =α和),,(321b b b =β，求矩阵βαT A =的全部特征值。
四．（10分）求解矩阵方程⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡213345666213132321X五．（15分）λ取何实值时，线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-=-=-λλλλλλλλ41433221x x x x x x x x有唯一解、无穷多解、无解？在有无穷多解的情况求通解。
考研数学一(线性代数)模拟试卷113(题后含答案及解析)
考研数学一（线性代数）模拟试卷113(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A是三阶矩阵，B是四阶矩阵，且｜A｜=2，｜B｜=6，则为( )．A．24B．一24C．48D．一48正确答案：D解析：×24×6=一48，选(D)．知识模块：线性代数2．n阶矩阵A经过若干次初等变换化为矩阵B，则( )．A．｜A｜=｜B｜B．｜A｜≠｜B｜C．若｜A｜=0则｜B｜=0D．若｜A｜＞0则｜B｜＞0正确答案：C解析：因为A经过若干次初等变换化为B，所以存在初等矩阵P1，…，PS，Q1，…，QT，使得B=PS…P1AQ1…Qt，而P1，…，Ps，Q1，Qt都是可逆矩阵，所以r(A)=r(B)，若｜A｜=0，且r(A)＜n，则r(B)＜n，即｜B｜=0，选(C)．知识模块：线性代数3．设，则( )．A．B=P1AP2B．B=P2AP1C．B=P2－1AP1D．B=P1－1AP2－1正确答案：D解析：显然B==P1AP2－1，因为P1－1=P1，所以应选(D)．知识模块：线性代数4．设α1，α2，α3线性无关，β1可由α1，α2，α3线性表示，β2不可由α1，α2，α3线性表示，对任意的常数k有( )．A．α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关B．α1，α2，α3，kβ1+β2线性相关C．α1，α2，α3，β1+kβ2线性无关D．α1，α2，α3，β1+kβ2线性相关正确答案：A解析：因为β1可由α1，α2，α3线性表示，β2不可由α1，α2，α3线性表示，所以kβ1+β2一定不可以由向量组α1，α2，α3线性表示，所以α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关，选(A)．知识模块：线性代数5．设α1，α2，α3，α4为四维非零列向量组，令A=(α1，α2，α3，α4)，AX=0的通解为X=k(0，一1，3，0)T，则A*X=0的基础解系为( ) ．A．α1，α3B．α2，α3，α4C．α1，α2，α4D．α3，α4正确答案：C解析：因为AX=0的基础解系只含一个线性无关的解向量，所以r(A)=3，于是r(A*)=1．因为A*A=｜A｜E=O，所以α1，α2，α3，α4为A*X=0的一组解，又因为－α2+3α3=0，所以α2，α3线性相关，从而α1，α2，α4线性无关，即为A*X=0的一个基础解系，应选(C)．知识模块：线性代数6．设α，β为四维非零列向量，且α⊥β，令A=αβT，则A的线性无关特征向量个数为( )．A．1B．2C．3D．4正确答案：C解析：因为α，β为非零向量，所以A=αβT≠O，则r(A)≥1，又因为r(A)=r(αβT)≤r(α)=1，所以r(A)=1．令AX=λX，由A2X=αβT．αβTX=O=λ2X得λ=0，因为r(0E—A)=r(A)=1，所以A的线性无关的特征向量个数为3，应选(C)．知识模块：线性代数7．设A，B为n阶实对称矩阵，则A与B合同的充分必要条件是( )．A．r(A)=r(B)B．｜A｜=｜B｜C．A～BD．A，B与同一个实对称矩阵合同正确答案：D解析：因为A，B与同一个实对称矩阵合同，则A，B合同，反之若A，B 合同，则A，B的正、负惯性指数相同，从而A，B与合同，选(D)．知识模块：线性代数填空题8．设A=，则(A+3E)－1(A2一9E)=_________．正确答案：解析：(A+3E)－1(A2一9E)=(A+3E)－1(A+3E)(A一3E)=A一3E=．知识模块：线性代数9．设A=，则A－1=_________．正确答案：解析：知识模块：线性代数10．设A是4×3阶矩阵且r(A)=2，B=，则r(AB)=________．正确答案：2解析：因为｜B｜=10≠0，所以r(AB)=r(A)=2．知识模块：线性代数11．设，且α，β，γ两两正交，则a=________，b=________．正确答案：a=一4，b=一13解析：因为α，β，γ正交，所以，解得a=一4，b=一13．知识模块：线性代数12．设η1，…，ηs是非齐次线性方程组AX=b的一组解，则k1η1+…+ks ηs为方程组AX=b的解的充分必要条件是_________．正确答案：k1+k2+…+ks=1解析：k1+k2+…+ks=1，显然k1η1+k2η2+…+ksηs为方程组AX=b的解的充分必要条件是A(k1η1+k2η2+…+ksηs)=b，因为Aη1=Aη2=…=Aηs=b，所以(k1+k2+…+ks)b=b，注意到b≠0，所以k1+k2+…+ks=1，即k1η1+k2η2+…+ksηs为方程组AX=b的解的充分必要条件是k1+k2+…+ks=1．知识模块：线性代数13．设α，β为三维非零列向量，(α，β)=3，A=αβT，则A的特征值为_________．正确答案：0或者3解析：因为A2=3A，令AX=λX，因为A2X=λ2X，所以有(λ2一3λ)X=0，而X≠0，故A的特征值为0或者3，因为λ1+λ2+λ3=tr(A)=(α，β)，所以λ1=3，λ2=λ3=0．知识模块：线性代数14．设5x12+x22+tx32+4x1x2一2x1x3一2x2x3为正定二次型，则t的取值范围是________．正确答案：t＞2解析：二次型的矩阵为A=，因为二次型为正定二次型，所以有5＞0，=1＞0，｜A｜＞0，解得t＞2．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
线性代数模试题试题库(带答案)
,
A= 2−1
1 1
−2 −1
1
=
13
−1
3
2 3
1
3
解：
= A−1
= A01−1 A02−1
1
−2
0
0
−2 5 0 0
0 0 13 −1 3
0
0
2 3
1 3
四、证明题(每小题 5 分，共 10 分)
19、设 n 阶方阵 A 满足 ( A + E )3 = 0 ，证明矩阵 A 可逆，并写出 A 逆矩阵的表达式。
即行列式 D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以 D = (−1)n D 。
3、设
A
=
1 0
1 1 ,
则
A100
=
1 0
100
1
。
= A2
1 0
= 11 10 11
= 10 12 , A3
1 0
= 12 10 11
因为： A∗ =A A−1 =−2A−1 ⇒ 4A−1 + A∗ =4A−1 − 2A−1 =2A−1 =8 A−1 =−4 。
1 0 2 2、 A 为 5×3 矩阵,秩( A )=3, B = 0 2 0 ,则秩( AB )= 3 。
0 0 3 因为 B 可逆， AB 相当于对 A 作列初等变换，不改变 A 的秩。
C.5
D.6
1 2 1 0 1 2 1 0
通过初等变换，由秩为 2 可得： 3
−1 0
2
0
−7
−3
考研数学三(线性代数)模拟试卷40(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）模拟试卷40(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设二次型f(x1，x2，x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y12+y22一y32，其中P=(e1，e3，e3)。
若Q一(e1，-e3，e3)，则f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy 下的标准形为A．2y12一y22+y32B．2y12+y22一y32C．2y12一y22一y32D．2y12+y22+y32正确答案：A解析：本题考查用正交变换化二次型成标准形的问题，这本质上是实对称矩阵的正交相似对角化问题，计算上主要是求n阶实对称矩阵的n个两两正交的单位特征向量。
设二次型的矩阵为A，则由题意知矩阵P的列向量e1，e2，e3是矩阵A的标准正交的特征向量，对应的特征值依次是2，1，一1．即有Ae1=2e1，Ae2=2e2，Ae3=2e3从而有AQ=A(e1，一e3，e2)=(Ae1，一Ae3，Ae2)=(2e1，一(一e3)，e2)矩阵Q的列向量e1，一e3，e2仍是A的标准正交的特征向量，对应的特征值依次是2，一1，1．矩阵Q是正交矩阵，有Q-1=QT，上式两端左乘Q-1，得从而知，在正交变换x=Py下的标准形为f=2y12一y22+y32。
于是选(A)。
知识模块：线性代数2．二次型f(x1，x2，x3)一2x12+x22一4x32一4x1x2—2x2x3的标准形是A．2y12一y22一3y32B．一2y12一y22一3y32C．2y12+y22D．2y12+y22+3y32正确答案：A解析：f即不正定(因f(0，0，1)=一4＜0)，也不负定(因f(1，0，0)=2＞0)，故(B)、(D)都不对；又f的秩=矩阵的秩=3，故(C)不对，只有(A)正确。
或用配方法：f=2(1-a2)2一x22一4x32一22a2=2(1-a2)2一(1+a2)2一3x32一2y12一y22一3y32，其中所作满秩线性变换为知识模块：线性代数3．则A与BA．合同且相似B．合同但不相似C．不合同但相似D．不合同且不相似正确答案：A解析：A的特征值为4，0，0，0，A为实对称矩阵，故存在正交矩阵P，使P-1AP=PTAP=B，即A与B既合同又相似。
线性代数模拟试题及答案(三套)
第一套线性代数模拟试题解答一、填空题(每小题4分，共24分)1、 若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12i j ==。
令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。
2、 若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D =(1)n D- 。
即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D =(1)n D-。
3、设1101A ⎛⎫=⎪⎝⎭, 则100A =110001⎛⎫ ⎪⎝⎭。
23111112121113,,010*********A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭可得4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A =15n +。
由矩阵的行列式运算法则可知：1555n n A A +==。
5、A 为n 阶方阵,TAA E =且=+<E A A 则,0 0 。
由已知条件：211,1T T TAA E AA A A A E A A =⇒====⇒=±⇒=-， 而 ：0TTA E A AA A E A A A E A E A E +=+=+=+=-+⇒+=。
6、设三阶方阵2000023A x y ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭可逆，则,x y 应满足条件32x y ≠。
可逆，则行列式不等于零：2002(32)032023A x y x y x y ==⨯-≠⇒≠。
二、单项选择题(每小题4分，共24分) 7、设0333231232221131211≠=M a a a a a aa a a ，则行列式=---------232221333231131211222222222a a a a a a a a a A 。
A ．M 8 B ．M 2 C ．M 2- D ．M 8-由于 ()()111213111213111213331323331323321222321222321222331323322222228(1)8222a a a a a a a a a a a a a a a a a a M a a a a a a a a a ------=-=--=---8、设n 阶行列式n D ，则0n D =的必要条件是 D 。
考研数学三(线性代数)模拟试卷25(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）模拟试卷25(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．线性方程组则A．当a，b，c为任意实数时，方程组均有解B．当a=0时，方程组无解C．当b=0时，方程组无解D．当c=0时，方程组无解正确答案：A解析：因：a=0或b=0或c=0时，方程组均有解，且系数行列式当abc ≠0时，由克拉默法则知，方程组有解，且abc=0时也有解，故a，b，c为任意实数时，方程组均有解．知识模块：线性代数2．设An×n是正交矩阵，则( )A．A*(A*)T=|A|EB．(A*)TA*=|A*|EC．A*(A*)T=ED．(A*)TA*=一E正确答案：C解析：A是正交阵，则有A*(A*)T=|A|AT(|A|AT)T=|A|2ATA=E．知识模块：线性代数3．设α1，α2，α3均为线性方程组Ax=b的解，下列向量中α1-α2，α1-α2+α3，(α1-α3)，α1+3α2-4α3，是导出组Ax=0的解向量的个数为( ) A．4B．3C．2D．1正确答案：A解析：由Aα1=Aα2=Aα3=b可知A(α1-α2)=Aα1-Aα2=b-b=0，A(α1-2α2+α3)=Aα1—2Aα2+Aα3=b一2b+b=0，A(α1+3α2-4α3)=A α1+3Aα2-4Aα3=b+3b-4b=0，因此这4个向量都是Ax=0的解，故选(A)．知识模块：线性代数4．已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则向量组2α1+α3+α4，α2-α4，α3 +α4，α2+α3，2α1+α2+α3的秩是( )A．1B．2C．3D．4正确答案：C解析：r(2α1+α3+α4，α2-α4，α3+α4，α2+α3，2α1+α2+α3)(β1，β2，β3，β4，β5)=3．[β1，β2，β3，β4，β5]=[α1，α2，α2，α3]因r(α1，α2，α3，α4)=4，故r(β1，β2，β3，β4，β5)= 知识模块：线性代数5．设A，B是n阶方阵，X，Y，b是n×1矩阵，则方程组有解的充要条件是( )A．r(A)=r(A|b)，r(B)任意B．AX=b有解，BY=0有非零解C．|A|≠0，b可由B的列向量线性表出D．|B|≠0，b可由A的列向量线性表出正确答案：A解析：r(A)=r(A|b)，r(B)任意(BY=0总有解，至少有零解，其余均错)．知识模块：线性代数6．A是n阶方阵，则A相似于对角阵的充分必要条件是( )A．A有n个不同的特征值B．A有n个不同的特征向量C．A的每个ri重特征值λi，r(λiE-A)=n-riD．A是实对称矩阵正确答案：C解析：A相似于对角阵有n个线性无关特征向量对每个ri重特征值λi，r(λiE—A)=n一ri，即有ri个线性无关特征向量(共n个线性无关特征向量)．(A)(D)是充分条件，但非必要，(B)是必要条件，但不充分，n个不同的特征向量，并不一定线性无关．知识模块：线性代数填空题7．设A=[α1，α2，α3]是3阶矩阵，|A|=4，若B=[α1-3α2+2α3，α2-2α3，2α2+α3]，则|B|=________．正确答案：20解析：利用行列式的性质．|B|=|α1-3α2+2α3，α2-2α3，5α3| =5|α1 3α2+2α3，α2-2α3，α3| =5|α1-3α2，α2，α3| =5|α1，α2，α3| =20．知识模块：线性代数8．已知A，B均是3阶矩阵，将A中第3行的一2倍加到第2行得矩阵A1，将B中第1列和第2列对换得到B1，又A1 B1=，则AB= ________．正确答案：解析：知识模块：线性代数9．设n阶(n≥3)矩阵A的主对角元均为1，其余元素均为a，且方程组Ax=0只有一个非零解组成基础解系，则a=________ ．正确答案：解析：，AX=0只有一个非零解组成基础解系，故r(A)=n一1，知识模块：线性代数10．设A是3阶矩阵，|A|=3，且满足|A2+2A|=0，|2A2+A|=0，则A*的特征值是________ ．正确答案：μ1=，μ2=-6，μ3=1解析：|A||A+ 2E|=0，因|A|=3，则|A+2E|=0，故A有特征值λ1=--2．因|A|=3=λ1λ2λ3，故λ3=3．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
全国自考公共课线性代数(经管类)模拟试卷36(题后含答案及解析)
全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷36(题后含答案及解析) 题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 证明题单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设矩阵，则A．a＝－1，b＝3，c＝0，d＝3B．a＝－1，b＝3，c=1，d＝33C．a＝3，b＝－1，c＝1，d＝3D．a＝3，b＝－l，c＝0，d＝3正确答案：D解析：矩阵相等，要求对应位置的每一个元素都要相等，则从而得a＝3，b＝－1，c＝0，d＝3，故选D项．2．设A为二阶可逆矩阵，且(3A)－1＝，则A＝A．B．C．D．正确答案：C解析：3．下列命题中错误的是A．一个非零向量线性无关B．任意一个含零向量的向量组线性相关C．由4个三维向量组成的向量组线性相关D．由3个四维向量组成的向量组线性无关正确答案：D解析：很显然A、B、C正确，举例法．设α1＝(1，2，3，4)T，α2＝(1，0，4，5)T，α3＝(1，-2．5．6)T．故r(A)＝2，显然α1，α2，α3线性相关，故D项错误．4．已知是三元齐次线性方程组Ax＝0的解，则系数矩阵A可为A．B．C．D．正确答案：A解析：由题知是两个线性无关的解向量，则该Ax＝0的基础解系中至少含有2个自由向量，即3－r(A)≥2，得r(A)≤1，显然只有A项的秩为1≤l，故选A项．5．矩阵A＝的非零特征值为A．1B．2C．3D．4正确答案：B解析：由｜λE－A｜＝＝0，得λ1＝0，λ2＝λ3＝2，故A的非零特征值为2．填空题请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6．设矩阵，则ATB-1＝_______．正确答案：解析：7．设矩阵A＝，则A2－E＝_______．正确答案：O解析：又AE＝EA，所以A2－E＝(A+E)(A－E)8．已知向量组α1＝(1，0，2)T，α2＝(0，1，5)T，α3＝(1，－1，0)T，则此向量组的秩为_______．正确答案：3解析：设A＝(α1，α2，α3)得r(A)＝3，故向量组α1，α2，α3的秩为3．9．设向量组α1＝(1，－1，0)，α2＝(0，1，1)，α3＝(-1，a，1)线性无关，则数a_______．正确答案：≠2解析：由α1，α2，α3线性无关，得≠0，解之得a≠2．10．设向量α＝(1，2，3，4)，则α的长度为_______．正确答案：解析：11．已知A为三阶方阵，若齐次线性方程组Ax＝0只有零解，则矩阵A 的秩r(A)＝_______．正确答案：312．设A为n阶方阵，已知A有一个特征值为－2，则(AT)－1必有一个特征值为_______．正确答案：-1/2解析：因A有一个特征值为－2，又由A与AT有相同的特征值，则AT有一个特征值为－2，且(AT)－1有一个特征值为－1／2．13．已知三阶方阵A的3个特征值为1，－1，2，则｜A*｜＝_______．正确答案：4解析：若λ为A的特征值，则A*的特征值，由A的特征值为1，－1，2，则A*的特征值为－2，2，－1．故｜A*｜＝(－2)×2×(－1)＝4．14．已知A＝是正交矩阵，则a－b＝_______．正确答案：0解析：由正交矩阵的定义知AAT＝En，15．二次型f(x1，x2，x3)＝x12＋x22＋4x1x2－2x2x3的矩阵为_______．正确答案：计算题16．计算行列式D＝的值．正确答案：17．设A为n阶方阵，满足A2－3A－2E＝O，其中A可逆，求A－1．正确答案：18．判断向量组α1＝(1，2，1)T，α1＝(2，3，3)T，α3＝(3，7，1)T是否为R3的基．若是，求出向量β＝(3，1，4)T在这组基下的坐标．正确答案：19．设向量组α1＝(3，1，2，0)，α2＝(0，7，1，3)，α3＝(－1，2，0，1)，α4＝(6，9，4，3)，求其一个极大无关组，并将其余向量通过极大无关组表示出来．正确答案：20．已知方程组，则当a为何值时方程组有非零解，并求其通解．正确答案：(1)当a≠-1时，r(A)＝3，方程组只有零解．(2)当a＝1时，r(A)＝2，方程组有非零解．则基础解系中含3－2＝1个解向量η，且η＝(－1，1，0)T．故此方程组的通解为kη，且k为任意实数．21．已知A＝，(1)求A的相似标准形，即P－1AP＝A；(2)求A 的正交相似标准形即QTAQ＝A，且QT＝Q－1．正确答案：22．设向量组α1＝(1，－1，1)T，α2＝(0，1，－1)T，α3＝(1，0，1)T，用施密特正交化方法将向量组α1，α2，α3化为标准正交向量组．正确答案：证明题23．已知A～B，C～D证明：正确答案：因为A～B，C～D．所以必存在可逆矩阵P、Q使P-1AP＝B，Q-1CQ＝D．。
考研数学二(线性代数)模拟试卷50(题后含答案及解析)
考研数学二（线性代数）模拟试卷50(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．A，B是n阶可逆方阵，则下列公式正确的是( )A．(A2)-1=(A-1)2B．(A+B)-1=A-1+B-1C．(A+B)(A—B)=A2一B2D．(kA)-1=kA-1(k≠0)正确答案：A解析：(A)中，(A2)-1=(AA)-1=A-1A-1=(A-1)2；(B)不成立，例：B=一A，A+B不可逆；(C)中，若AB≠BA，则BA一AB≠O；(D)中，不一定等于kA-1．涉及知识点：线性代数2．设A是n阶方阵，且A3=O，则．( )A．A不可逆，且E一A不可逆B．A可逆，但E+A不可逆C．A2一A+E及A2+A+E均可逆D．A不可逆，且必有A2=O正确答案：C解析：因A3=O，有E3+A3=(E+A)(A2一A+E)=E，E3一A3=(E—A)(A2+A+E)=E，故A2-A+E及A2+A+E均可逆，(C)正确．由以上两式知，E-A，E+A也均可逆，故(A)，(B)不成立．(D)不成立，例有但知识模块：线性代数3．A是n阶方阵，A*是A的伴随矩阵，则|A*|= ( )A．|A|B．|A-1|C．|A-1|D．|An|正确答案：C解析：由AA*=|A|E，两边取行列式，得|A||A*|=|A|n 若|A|≠0，|A*|=|A|n-1=|An-1|；若|A|=0，则|A*|=0，故选(C)．知识模块：线性代数4．设A是n阶可逆方阵(n≥2)，A*是A的伴随矩阵，则(A*)*= ( ) A．|A|n-1AB．|A|n+1AC．|A|n-2AD．|A|n+2A正确答案：C解析：由AA*=|A|E，得A*(A*)*=|A*|E，(A*)*=|A*|(A*)-1，其中故知识模块：线性代数5．A是n阶矩阵，|A|=3．则|(A*)*|= ( )A．3(n-1)2B．3n2-1C．3nn2一nD．3n-1正确答案：A解析：因|A|=3，A可逆，则A*(A*)*=|A*|E，所以|(A*)*|=||A|n-2A|=|A|n-2n|A|=|A|n2-2n+1=3(n-1)2．知识模块：线性代数6．设An×n是正交矩阵，则( )A．A*(A*)T=|A|EB．A*TA*=|A*|EC．A*(A*)T=ED．(A*)TA*=一E正确答案：C解析：因为A是正交矩阵，则有，A*(A*)T=|A|AT(|A|AT)T=|A|2ATA=E．知识模块：线性代数7．设A为n阶可逆矩阵，则下列等式中，不一定成立的是( )A．(A+A-1)2=A2+2AA-1+(A-1)2B．(A+AT)2=A2+2AAT+(AT)2C．(A+A*)2=A2+2AA*+(A*)2D．(A+E)2=A2+2AE+E2正确答案：B解析：由矩阵乘法的分配律可知：(A+B)2=(A+B)A+(A+B)B=A2+BA+AB+B2，因此，(A+B)2=A2+2AB+B2的充要条件是BA=AB，也即A，B的乘积可交换．由于A与A-1，A与A*以及A与B都是可交换的，故(A)，(C)，(D)中的等式都是成立的．故选(B)．知识模块：线性代数8．设A为3阶非零矩阵，且满足aij=Aij(i，j=1，2，3)，其中Aij为aij 的代数余子式，则下列结论：①A是可逆矩阵；②A是对称矩阵；③A是不可逆矩阵；④A是正交矩阵．其中正确的个数为( ) A．lB．2C．3D．4正确答案：B解析：由aij=Aij(i，j=1，2，3)及伴随矩阵的定义可知：A*=AT，那么|A*|=|AT|，也即|A|2=|A|，即|A|(|A|一1)=0．又由于A为非零矩阵，不妨设a11≠0，则|A|=a11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132>0，故|A|=1．因此，A可逆．并且由AAT=AA*=|A|E=E，可知A是正交矩阵，故①，④正确，③错误．从题目中的条件无法判断A是否为对称矩阵，故正确的只有两个，选(B)．知识模块：线性代数9．设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，且m＞n，则必有( )A．|AB|=0B．|BA|=0C．|AB|=|BA|D．||BA|BA|=|BA||BA|正确答案：A解析：由于m>n，则有r(AB)≤r(A)≤nP为3阶非零矩阵，且满足PQ=O，则( )A．t=6时，P的秩必为1B．t=6时，P的秩必为2C．t≠6时，P的秩必为1D．t≠6时，P的秩必为2正确答案：C解析：“AB=O”是考研出题频率极高的考点，其基本结论为：①Am×sBs×n=Or(A)+r(B)≤s；②Am×sBs×n=O组成B的每一列都是Am×sX=0的解向量．对于本题，PQ=Or(P)+r(Q)≤31≤r(P)≤3一r(Q)．当t=6时，r(Q)=11≤r(P)≤2r(P)=1或2，则(A)和(B)都错；当t≠6时，r(Q)=21≤r(P)≤1r(P)=1．故选(C)．知识模块：线性代数11．设若r(A*)=1，则a= ( )A．1B．3C．1或3D．无法确定正确答案：C解析：由r(A*)=1，得r(A)=3，则|A|=0，即得a=1或3，且此时均满足r(A)=3，故选(C)．知识模块：线性代数填空题12．已知A，B为3阶相似矩阵，λ1=1，λ2=2为A的两个特征值，行列式|B|=2，则行列式正确答案：解析：设λ3为A的另一特征值．则由A～B知，|A|=|B|=2，且又λ1λ2λ3=|A|=2，可见λ3=1，从而A，B有相同的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=1．于是有|A+E|=(λ1+1)(λ2+1)(λ3+1)=12，|(2B)*|=|22B|=43|B|=43|B|2=256，故知识模块：线性代数13．已知AB—B=A，其中则A=_________．正确答案：解析：知识模块：线性代数14．设A为奇数阶矩阵，AAT=ATA=E，且|A|＞0，则|A—B|=_____________．正确答案：0解析：由题知|A—E|=|A—AAT|=|A(E-AT)|=|A||(E-A)T|=|A||E-A|．又由于AAT=ATA=E，可知|A|2=1．又由|A|>0，可知|A|=1．又A为奇数阶矩阵，故|E 一A|=|一(A—E)|=一|A—E|，从而有|A—E|=一|A—E|，可知|A—E|=0．知识模块：线性代数15．设α=[1，2，3]，A=αTβ，则An=__________．正确答案：解析：因故An=(αTβ)n=(αTβ)(αTβ)…(αTβ)=αT(βαT)(βαT)…(βαT)β=3n-1A．知识模块：线性代数16．设则Bn=__________．正确答案：解析：因故Bn=(αTα)n=(αTα)(αTα)…(αTα)=αT(ααT)…(ααT)α=14n-1B．知识模块：线性代数17．设n≥2为正整数，则An-2An-1=__________．正确答案：O解析：因故An=2An-1，An一2An-1=O．知识模块：线性代数18．A，B均为n阶矩阵，|A|=一2，|B|=3，则||B|A-1|=____________．正确答案：解析：因|A|=一2，|B|=3，故知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(线性代数)模拟试卷110(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）模拟试卷110(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A是三阶矩阵，B是四阶矩阵，且｜A｜＝2，｜B｜＝6，则为( )．A．24B．－24C．48D．－48正确答案：D解析：知识模块：线性代数2．设A为m×n阶矩阵，C为n阶矩阵，B＝AC，且r(A)＝r，r(B)＝r1，则( )．A．r＞r1B．r＜r1C．r≥r1D．r与r1的关系依矩阵C的情况而定正确答案：C解析：因为r1＝r(B)＝r(AC)≤r(A)＝r，所以选(C)．知识模块：线性代数3．若α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性无关，则( )．A．α1可由α2，α3线性表示B．α4可由α1，α2，α3线性表示C．α4可由α1，α3线性表示D．α4可由α1，α2线性表示正确答案：A解析：因为α2，α2，α4线性无关，所以α2，α3线性无关，又因为α1，α2，α3线性相关，所以α1可由α2，α3线性表示，选(A)．知识模块：线性代数4．设向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，α5的秩为r1，向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βs的秩为r2，且向量组(Ⅱ)可由向量组(Ⅰ)线性表示，则( )．A．α1＋β1，α2＋β2，…，αS＋βS的秩为r1＋r2B．向量组α1－β1，α2－β2，…，αS－βS的秩为r1－r2C．向量组α1，α2，…，αS，β1，β2，…，βS的秩为r1＋r2D．向量组α1，α2，…，αS，β1，β2，…，βS的秩为r1正确答案：D解析：因为向量组β1，β2，…，βs可由向量组α1，α2，…，αs线性表示，所以向量组α1，α2，…，αs与向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs等价，选(D)．知识模块：线性代数5．设α1，α2为齐次线性方程组AX＝0的基础解系，β1，β2为非齐次线性方程组AX＝b的两个不同解，则方程组AX＝b的通解为( )．A．k1α1＋k2(α1－α2)＋B．k1α1＋k2(β1－β2)＋C．k1α1＋k2(β1＋β2)＋D．k1α1＋k2(α1＋α2)＋正确答案：D解析：选(D)，因为α1，α1＋α2为方程组AX＝0的两个线性无关解，也是基础解系，而为方程组AX＝B的一个特解，根据非齐次线性方程组通解结构，选(D)．知识模块：线性代数6．设A，B都是n阶矩阵，且存在可逆矩阵P，使得AP＝B，则( )．A．A，B合同B．A，N相似C．方程组AX＝0与BX=0同解D．r(A)＝r(B)正确答案：D解析：因为P可逆，所以r(A)＝r(B)，选(D)．知识模块：线性代数填空题7．设f(x)＝，则x2项的系数为______．正确答案：23解析：按行列式的定义，f(x)的3次项和2次项都产生于(x＋2)(2x＋3)(3x＋1)，且该项带正号，所以x2项的系数为23．知识模块：线性代数8．A＝，且n≥2，则An－2An－1．正确答案：O解析：由A2＝2A得An＝2n－1A，An－1＝2n－2A，所以An－2An－1＝O．知识模块：线性代数9．设A＝，则A－1＝______．正确答案：解析：知识模块：线性代数10．设三阶矩阵A，B满足关系A－1BA＝6A＋BA，且A＝，则B＝______．正确答案：解析：由A－1BA＝6A＋BA，得A－1B＝6E＋B，于是(A－1＋E)B＝6E，B＝6(A－1－E)T＝．知识模块：线性代数11．设A＝(α1，α2，α3，α4)为4阶方阵，且AX＝0的通解为X＝k(1，1，2，－3)T，则α2由α1，α3，α4表示的表达式为______．正确答案：α2＝－α1－2α3＋3α4解析：因为(1，1，2，－3)T为AX＝0的解，所以α1＋α2＋2α3－3α4＝0，故α2＝－α1－2α3＋3α4．知识模块：线性代数12．设方程组无解，则a＝______．正确答案：－1解析：因为方程组无解，所以r(A)＜≤3，于是r(A)＜3，即｜A｜＝0．由｜A｜＝3＋2a－a2＝0，得a＝－1或a＝3．当a＝3时，因为r(A)＝r＝2＜3，所以方程组有无穷多个解；当a＝－1时，，因为r(A)≠r，所以方程组无解，于是a ＝－1．知识模块：线性代数13．设A是三阶实对称矩阵，其特征值为λ1＝3，λ2＝λ3＝5，且λ1＝3对应的线性无关的特征向量为α1＝，则λ2＝λ3＝5对应的线性无关的特征向量为______．正确答案：解析：因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，令λ2＝λ3＝5对应的特征向量为得λ2＝λ3＝5对应的线性无关的特征向量为．知识模块：线性代数14．设α，β为四维非零列向量，且α⊥β，令A＝αβT，则A的线性无关特征向量个数为( )正确答案：C解析：因为α，β为非零向量，所以A＝αβT≠O，则r(A)≥1，又因为r(A)＝r(αβT)≤r(α)＝1，所以r(A)＝1．令AX＝λX，由A2X＝αβT．αβTX ＝0＝λ2X得λ＝0，因为r(0E－A)＝r(A)＝1，所以A的线性无关的特征向量个数为3，选(C)．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一(线性代数)模拟试卷96(题后含答案及解析)
考研数学一（线性代数）模拟试卷96(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A是三阶矩阵，B是四阶矩阵，且｜A｜=2，｜B｜=6，则为( )．A．24B．一24C．48D．－48正确答案：D解析：=－48，选(D)．知识模块：线性代数2．设n维行向量α=，A=E－αTα，B=E＋2αTα，则AB为( )．A．OB．－EC．ED．E+αTα正确答案：C解析：由ααT=，得AB=(E－αTα)(E+2αTα)=E，选(C)．知识模块：线性代数3．设A为n阶矩阵，且｜A｜=0，则A( )．A．必有一列元素全为零B．必有两行元素对应成比例C．必有一列是其余列向量的线性组合D．任一列都是其余列向量的线性组合正确答案：C解析：因为｜A｜=0，所以r(A)＜n，从而A的n个列向量线性相关，于是其列向量中至少有一个向量可由其余向量线性表示，选(C)．知识模块：线性代数4．设α1，α2，α3，α4为四维非零列向量组，令A=(α1，α2，α3，α4)，AX=0的通解为X=k(0，一1，3，0)T，则A*X=0的基础解系为( ) A．α1，α3B．α2，α3，α4C．α1，α2，α4D．α3，α4正确答案：C解析：因为AX=0的基础解系只含一个线性无关的解向量，所以r(A)=3，于是r(A*)=1，因为A*A=｜A｜E=O，所以，α1，α2，α3，α4为A*X=0的一组解，又因为一α2+3α3=0，所以α2，α3线性相关，从而α1，α2，α4线性无关，即为A*X=0的一个基础解系，应选(C)．知识模块：线性代数5．设三阶矩阵A的特征值为λ1=－1，λ2=0，λ3=1，则下列结论不正确的是( )．A．矩阵A不可逆B．矩阵A的迹为零C．特征值一1，1对应的特征向量正交D．方程组AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量正确答案：C解析：由λ1=一1，λ2=0，λ3=1得｜A｜=0，则r(A)＜3，即A不可逆，(A)正确；又λ1+λ2+λ3=tr(A)=0，所以(B)正确；因为A的三个特征值都为单值，所以A的非零特征值的个数与矩阵A的秩相等，即r(A)=2，从而AX=0的基础解系仅含有一个线性无关的解向量，(D)是正确的；(C)不对，因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，一般矩阵不一定有此性质，选(C)．知识模块：线性代数6．设，则m，n可取( )．A．m=3，n=2B．m=3，n=5C．m=2，n=3D．m=2，n=2正确答案：B解析：P1mAP2n=经过了A的第1，2两行对调与第1，3两列对调，P1==E13，且Eij2=E，P1mAP2=P1AP2，则m=3，n=5，即选(B)．知识模块：线性代数7．若向量组α1，α2，α3，α4线性相关，且向量α4不可由向量组α1，α2，α3线性表示，则下列结论正确的是( )．A．α1，α2，α3线性无关B．α1，α2，α3线性相关C．α1，α2，α4线性无关D．α1，α2，α4线性相关正确答案：B解析：若α1，α2，α3线性无关，因为α4不可由α1，α2，α3线性表示，所以α1，α2，α3，α4线性无关，矛盾，故α1，α2，α3线性相关，选(B)．知识模块：线性代数8．设A为n阶矩阵，下列结论正确的是( )．A．矩阵A的秩与矩阵A的非零特征值的个数相等B．若A～B，则矩阵A与矩阵B相似于同一对角阵C．若r(A)=r＜n，则A经过有限次初等行变换可化为D．若矩阵A可对角化，则A的秩与其非零特征值的个数相等正确答案：D解析：(A)不对，如A=，A的两个特征值都是0，但r(A)=1；(B)不对，因为A～B不一定保证A，B可以对角化；知识模块：线性代数填空题9．若矩阵A=，B是三阶非零矩阵，满足AB=0，则t=________．正确答案：1解析：由AB=O得r(A)+r(B)≤3，因为r(B)≥1，所以r(A)≤2．又因为矩阵A有两行不成比例，所以r(A)≤2，于是r(A)=2．知识模块：线性代数10．设向量组α1，α2，α3线性无关，且α1+aα2+4α3，2α1+α2一α3，α2+α3线性相关，则a=_______．正确答案：5解析：(α1+aα2+4α3，2α1+α2一α3，α2+α3)=(α1，α2，α3)，因为α1，α2，α3线性无关，而α1+aα2+4α3，2α1+α2一α3，α2+α3线性相关，所以=0，解得a=5．知识模块：线性代数11．设二次型2x12+x22+x32+2x1x2+ax2x3的秩为2，则a=_______．正确答案：解析：该二次型的矩阵为A=，因为该二次型的秩为2，所以｜A｜=0，解得a=±．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
线性代数模拟试卷及答案4套
线性代数模拟试卷（一）一、 填空题（每小题3分，共6小题，总分18分）1、四阶行列式44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a 展开式中，含有因子3214a a 且带正号的项为___________2、设A 为n 阶可逆方阵，将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为B ，则AB -1=_________3、已知向量组)2- 5, 4,- ,0( , )0 t,0, ,2( , )1 1,- 2, ,1(321'='='=ααα线性相关，则t =_________4、设三阶方阵) , ,(B ), , ,(2121γγβγγα==A ，其中 , ,,21γγβα都是三维列向量且2B 1, ==A ，则=- 2B A _________5、A 为n 阶正交矩阵， , ,,21n ααα 为A 的列向量组，当i ≠j 时，)21 ,31(j i αα=_________ 6、三阶方阵A 的特征值为1，-2，-3，则 A =_______; E+A -1的特征值为______ 二、 单项选择题（每小题2分，共6小题，总分12分） 1、 设齐次线性方程组AX=0有非零解，其中A=()nn ija ⨯，A ij 为a ij (i,j=1,2,…n) 的代数余子式，则（ ） (A)0111=∑=ni i i A a(B)0111≠∑=ni i i A a(C)n A ani i i =∑=111(D)n A ani i i ≠∑=1112、若A -1+ E, E+A, A 均为可逆矩阵，E 为单位矩阵，则(A -1+ E)-1=( ) (A) A+E (B) (A+E)-1 (C) A -1+ E (D) A(A+E)-13、设A, B 为n 阶方阵 ，A*,B*分别为A, B 对应的伴随矩阵，分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B 00 A C ，则C 的伴随矩阵C* =( )(A) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*A B 0 0 *B A (B) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*B A 0 0 *A B(C) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*B B 0 0 *A A (D) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*A A 0 0 *B B 4、若向量组 , ,,21m ααα 的秩为r ，则（ ）(A) 必有 r<m (B)向量组中任意小于 r 个向量的部分组线性无关 (C) 向量组中任意 r 个向量线性无关(D) 向量组中任意 r+1个向量必线性相关5、已知 ,,321ααα是四元非齐次线性方程组AX=B 的三个解，且r(A)=3, 已知)3 2, 1, ,0( , )4 3, 2, ,1(321'=+'=ααα，C 为任意常数，则AX=B 通解X=( )(A) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11114321C (B)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32104321C(C) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛54324321C (D) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛65434321C6、设A 为三阶方阵，有特征值λ1=1，λ2= -1， λ3=2，其对应的特征向量分别为 ,,321ααα，记P=(132 ,ααα)，则P -1AP=( )(A) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1 2 1- (B)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1- 1 2(C) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2 1- 1 (D) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2 1 1-三、计算下列行列式 （12分）1、 D=1- 3 3- 131 1 41- 3 0 5-21- 1 3 2、D n = n1 1 1 1.....................1 1 3 1 111 12 111 1 1 1四、已知A 、B 同为3阶方阵，且满足AB=4A+2B (12分) （1）证明：矩阵A-2E 可逆（2）若B=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2 0 00 2 10 2- 1 ，求A五、求向量组 )1 1, 1,- ,1( , )3 2, 1, ,1(21'='=αα， , )6 5, 2,- ,4( , )1 3, 3, ,1( 43'='=αα)7- 4,- 1,- ,3(5'-=α的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示（10分）六、已知线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=+++-=+-=+-+bx x x x x ax x x x x x x x x x 432143214314321 6 - 17231 4 032 ，讨论参数a 、b 为何值方程组有解，在有解时，求出通解 （12分）七、用正交变换化二次型323121232221321222333),,(x x x x x x x x x x x x f ---++=为标准形，并写出相应的正交变换 （16分）八、已知 ,,,4321αααα是AX = 0的一个基础解系，若322211,ααβααβt t +=+=，144433,ααβααβt t +=+=,讨论t 为何值， ,,,4321ββββ是AX = 0的一个基础解系 （8分）线性代数模拟试卷(二)三、 填空题（每小题3分，共5小题，总分15分）1、j i a a a a a 53544231是五阶行列式展开式中带正号的一项，则i=_____, j=_____2、设n 阶方阵A 满足A 2 =A ，则A+E 可逆且（A+E ）-1=_______________(E 为n 阶单位阵)3、已知向量组)0 6, 1,- ,1( , )2k - k,- ,3 ,1( , )2- 2, 1, ,1(321'='='=ααα 若该向量组的秩为2，则k =_________4、已知四阶方阵A 相似于B ，A 的特征值为2，3，4，5，E 是单位阵，则=- E B _________5、 向量α=（4，0，5）′在基)1 ,1- ,1(,)0 ,1 ,1( ,)1 ,2 ,1(321'='='=ηηη下的坐标为_________四、 单项选择题（每小题2分，共5小题，总分10分）1、 设 A 是三阶方阵A 的行列式，A 的三个列向量以γβα ,,表示，则 A =（ ） (A)αβγ (B) γβα---(C)αγγββα+++ (D) γβαβαα+++2、设A, B ，C 为n 阶方阵, 若 AB = BA, AC = CA, 则ABC=( ) (A) BCA (B) ACB (C) CBA (D) CAB3、 A, B 均为n 阶方阵, A*为A 的伴随矩阵， 3B 2, -==A ，则21-*B A = ( )(A) 32 12--n (B) 32 1--n (C) 23 12--n (D) 23 1--n4、已知向量组 , ,,4321αααα线性无关，则向量组（ ） (A)14433221 , , ,αααααααα++++线性无关(B)14433221 , , ,αααααααα----线性无关(C)14433221 , , ,αααααααα-+++线性无关 (D)14433221 , , ,αααααααα--++线性无关5、若A ～ B ，则 有 ( )(A) A 、B 有相同的特征矩阵 (B) B =A(C) 对于相同的特征值λ，矩阵A 与B 有相同的特征向量 (D) A 、B 均与同一个对角矩阵相似三、计算下列行列式 （13分）2、 D=2- 3 0 112 1 - 121 0 331- 2 1 4、D n = 11 1 111 x 1 1 (1)1 1 1 x 1 1 1 1 x x ++++a)设B= ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1 0 0 01- 1 0 00 1- 1 00 0 1- 1 ，C=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2 0 0 01 2 0 03 12 043 12 ,且矩阵A 满足 E C B C E A =''--)(1, 试将关系式化简并求A (12分)b)求向量组, )4 1,- 2, ,1(1'=α )2 3, 1, ,0( 2'=α， , )14 0, 7, 3,(3'=α , )10 1, 5, 2,( 4'=α)0 2,- 2, ,1(5'=α的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示 （13分）六、k 为何值时，线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++---=+++=+++kx x x x x k x x x x x x x x x x x 9 10 5 - 3)5(2 31 6 3 13 2 4321432143214321 有无穷多个解并求出通解 （14分）七、用正交变换化二次型31232221321422),,(x x x x x x x x f +-+=为标准形，并写出相应的正交变换 （16分）八、若矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0y 10 1- 01 x0 有三个线性无关的特征向量，证明：x – y = 0线性代数模拟试卷(三)一、填空题（每小题3分，共18分）1、A 是三阶方阵，且|A|＝6，则 |(3A)-1|＝ 。
线性代数模拟题及答案
模拟试题一一. 填空题 （将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）1．n 阶行列式D 的值为c, 若将D 的所有元素改变符号, 得到的行列式值为 .2．设矩阵A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101020101 ，矩阵X 满足 E AX + = X A +2 ，则X = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2010301023．设n 阶矩阵A 满足 E A A 552+- = 0 ，其中E 为n 阶单位阵，则 1)2(--E A =4．设A ，B 均为3阶方阵，A 的特征值为 1，2，3，则EA +*= .5．当 λ 满足条件 时线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-++-=-++-=+--00004321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x λλλλ 只有零解．二、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案, 将正确答案题号填入括号内。
每小题2分，共20分)1．131211232221333231333231232221131211222333 d a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---=则=( ).① 6d ② ―6d ③ 4d ④ ―4d 2. 向量组 s ααα,,,21 的秩为s 的充要条件是（ ）。
① 向量组不含零向量② 向量组没有两个向量的对应分量成比例 ③ 向量组有一个向量不能由其余向量线性表示 ④向量组线性无关3. 当t =（ ）时，向量组 ),4,5( , )5,2,3( , )0,1,2(321t ===ααα线性相关。
① 5 ② 10③ 15 ④ 204．已知向量组α1，α2，α3线性无关，则向量组（ ）线性无关。
① α1+2α2+α3, 2α1+4α2+α3, 3α1+6α2 ② α1, α1+α2, α1+α2+α3 ③ α1+α2, α2+α3, α1+2α2+α3 ④ α1-α2, α2-α3, α3-α15. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=63322211t A , B 为三阶非零矩阵且AB = 0, 则( ). ① 当t = 4时,B 的秩必为1 ② 当t = 4时,B 的秩必为2 ③ 当t ≠ 4时,B 的秩必为1 ④ 当t ≠ 4时,B 的秩必为26．设非齐次线性方程组A X = b 中未知量个数为n ，方程个数为m ，系数矩阵A 的秩为r ，则 ．① r = m 时，方程组A X = b 有解 ② r = n 时，方程组A X = b 有唯一解 ③ m = n 时，方程组A X = b 有唯一解 ④ r ＜ n 时，方程组A X = b 有无穷多解7． 设矩阵A 和B 等价，A 有一个k 阶子式不等于零，则B 的秩（ ）k.① < ② = ③ ≥ ④ ≤8. 一个向量组的极大线性无关组（ ）. ① 个数唯一 ② 个数不唯一③ 所含向量个数唯一 ④ 所含向量个数不唯一9. 下列关于同阶不可逆矩阵及可逆矩阵的命题正确的是( ). ① 两个不可逆矩阵之和仍是不可逆矩阵 ② 两个可逆矩阵之和仍是可逆矩阵 ③ 两个不可逆矩阵之积仍是不可逆矩阵 ④ 一个不可逆矩阵与一个可逆矩阵之积必是可逆矩阵10．已知任一n 维向量均可由n ααα,,,21 线性表示，则n ααα,,,21（ ）。
2022年线性代数试卷及答案6套
线性代数试卷及答案6套．试卷(一): 一． 填空题（每小题4分，共20分）1．已知正交矩阵P 使得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=200010001AP P T ，则.________)(2006=+P A E A P T2．设A 为n 阶方阵，n λλ,,1 为A 的n 个特征值，则 ._________)det(2=A 3．设A 是n m ⨯矩阵，B 是m 维列向量，则方程组B AX =有无数多个解的充分必要条件是：._________4．若向量组T T T t )3,2,(,)1,3,2(,)2,4,0(===γβα的秩为2,则._____=t5．,27859453251151)(32--=x x x x D 则0)(=x D 的全部根为:_________.二． 选择题 （每小题4分，共20分）1.行列式001010100 ---的值为( ).A. 1B. -1C. 2)1()1(--n n D. 2)1()1(+-n n2. 对矩阵n m A ⨯施行一次行变换相当于( ).A. 左乘一个m 阶初等矩阵B. 右乘一个m 阶初等矩阵C. 左乘一个n 阶初等矩阵D. 右乘一个n 阶初等矩阵 3. 若A 为n m ⨯矩阵,{},,0|,)(n R X AX X M n r A r ∈==<= 则( ). A. M 是m 维向量空间 B. M 是n 维向量空间 C. M 是r m -维向量空间 D. M 是r n -维向量空间 4. 若n 阶方阵A 满足,,02=A 则下列命题哪一个成立 ( ).A. 0)(=A rB. 2)(n A r =C. 2)(n A r ≥D. 2)(nA r ≤5. 若A 是n 阶正交矩阵,则下列命题哪一个不成立( ). A. 矩阵T A 为正交矩阵 B. 矩阵1-A 为正交矩阵 C. 矩阵A 的行列式是1± D. 矩阵A 的特征值是1±三. 解下列各题（每小题6分,共30分）1. 若A 为3阶正交矩阵, *A 为A 的伴随矩阵, 求).det(*A2. 计算行列式.111111111111aa a a 3. 设,,100002020B A AB A -=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=求矩阵.B4. 求向量组,)2,1,2,1(1T =α,)2,1,0,1(2T =α,)0,0,1,1(3T =αT )4,2,1,1(4=α的一个 最大无关组.5. 求向量T )1,2,1(=ω在基,)1,1,1(T =α,)1,1,0(T =βT )1,1,1(-=γ下的坐标. 四. (12分) 求方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--+=+++-=++-+631052372322543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x的通解(用基础解系与特解表示).五.(12分) 用正交变换化下列二次型为标准型, 并写出正交变换矩阵3123222132122),,(x x x x x x x x x f -++= 六. 证明题(6分)设r ξξξβ ,,,021≠是线性方程组β=AX 对应的齐次线性方程组的一个 基础解系,η是线性方程组β=AX 的一个解, 求证ηηξηξηξ,,,,21+++r 线性无关.试卷（二）：一．计算下列各题：（每小题6分，共30分）（1）,180380162176380162225379162（2）求,3222E A A ++其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3112A（3）已知向量组T T T t ),2,1(,)3,3,2(,)3,2,0(321-===ααα线性相关,求.t (4) 求向量T )4,2,1(-=α在基T T T )1,2,1(,)1,1,0(,)1,0,1(321-===ααα下的坐标.(5) 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=5321A , 求A 的特征值.二.(8分) 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200002130A ,且,B A AB T +=求矩阵B.三. (8分) 计算行列式: 100200300321x c b a四. (8分) 设有向量组,)6,0,2,3,3(,)7,2,0,1,1(,)5,2,1,0,1(,)3,2,1,1,0(4321T T T T -=--===αααα 求该向量组的秩以及它的一个最大线性无关组.五. (8分) 求下列方程组的通解以及对应的齐次方程组的一个基础解系.⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+-=-+-+.18257,432,1042354315432154321x x x x x x x x x x x x x x六. (8分) 求出把二次型323121232221222)(x x x x x x x x x a f -++++=化为标准形的正交变换,并求出使f 为正定时参数a 的取值范围.七. (10分) 设三阶实对称矩阵A 的特征值为3(二重根)、4(一重根),T )2,2,1(1=α是A 的属于特征值4的一个特征向量,求.A 八. (10分) 当b a ,为何值时,方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,233,1032,4321321321x bx x x bx x x x ax 有惟一解、无穷多解、无解?九．(10分) (每小题5分,共10分) 证明下列各题(1) 设A 是可逆矩阵, ,~B A 证明B 也可逆, 且.~11--B A (2) 设βα,是非零1⨯n 向量,证明α是n n ⨯矩阵T αβ的特征向量.试卷(三):一. 填空题（共20分）1. 设A 是n m ⨯矩阵，B 是m 维列向量，则方程组B AX =有唯一解的充分必要条件是：2. 已知E 为单位矩阵, 若可逆矩阵P 使得11223,P AP P A P E --+= 则当E A -可逆时, 3A =3. 若t 为实数, 则向量组α=（0，4，t ），β=（2，3，1），γ=（t ，2，3+t ）的秩为:4. 若A 为2009阶正交矩阵，*A 为A 的伴随矩阵， 则*A =5. 设A 为n 阶方阵，12,,,n λλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是A 的n 个特征根，则1ni i i i E A λ=-∑ =二. 选择题（共20分）1. 如果将单位矩阵E 的第i 行乘k 加到第j 行得到的矩阵为)),(,(k i j P 将矩阵n m A ⨯的第i 列乘k 加到第j 列相当于把A ：A, 左乘一个));(,(k j i P B ，右乘一个));(,(k j i PC ． 左乘一个));(,(k i j PD ，右乘一个)).(,(k i j P2. 若A 为m ×n 矩阵，B 是m 维非零列向量，()min{,}r A r m n =<。
线性代数模拟试题及答案
班级： 姓名： 学号：131《 线性代数期末模拟试题一 》一、填空（本题20分每小题2分）1．设为四阶行列式,若表示元素的余子式，表示元素的代数余子式，则+= .2．三阶行列式中只有位于两条对角线上的元素均不为零， 则该三阶行列式的所有项中有 项不为零，这一结论对阶行列式（填成立或不成立）。
3．设均为3维列向量，记矩阵记矩阵，若，则。
4．设矩阵,则。
5．设矩阵可逆，且矩阵,所以矩阵一定可以由矩阵经过（填行或列)初等变换而得到.6．设向量组，若 则一定可以由向量唯一的线性表示。
7．非齐次线性方程组有 唯一的解是对应的齐次方程组只有零解的充分但不必要条件。
8．设3阶矩阵的行列式 ，则矩阵一定有一个特征值。
9．阶矩阵有个特征值1，2，，阶矩阵与相似，则. 10．向量组: （填是或不是）向量空间一个规范正交基。
二、单项选择（本题10分，每小题2分）得分阅卷人班级： 姓名： 学号：132注意:请务必将你的选择题的答案按要求填入下表，否则答案无效！1．设矩阵为阶方阵，则关于非齐次线性方程组的解下列说法( ）不正确 （A ） 若方程组有解,则系数行列式； （B ） 若方程组无解,则系数行列式；(C ） 若方程组有解，则或者有唯一解或者有无穷多解； （D) 系数行列式是方程组有唯一解的充分必要条件.2。
设为阶可逆矩阵，下列正确的是（ ） （A ） ； （B) ； （C ） ；（D ） 。
3。
奇异方阵经过( ）后，矩阵的秩有可能改变。
(A ） 初等变换； (B ） 左乘初等矩阵； (C ） 左、右同乘初等矩阵； (D ） 和一个单位矩阵相加。
4．设非齐次线性方程组的系数矩阵是矩阵，且的行向量组线性无关，则有（ ）。
（A) 的列向量组线性无关；(B) 增广矩阵的行向量组线性无关；(C) 增广矩阵的任意4个列向量组线性无关； （D) 增广矩阵的列向量组线性无关。
5．设是非奇异矩阵的一个特征值，则矩阵有一个特征值为 ( ) （A ） 4/3; (B) 3/4；(C ） 1/2； （D) 1/4。
全国自考公共课线性代数(经管类)模拟试卷12(题后含答案及解析)
全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷12(题后含答案及解析) 题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 证明题单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设行列式=0，则k的值为( )A．一3或2B．2C．0D．一2或3正确答案：D解析：=k2一2一k一4=k2一k一6一(k+2)(k一3)=0，所以k=一2或k=3．2．设矩阵A，B，C满足AC=CB，且C为m ×n矩阵，则A和B分别是( )A．n ×m与m ×n矩阵B．n ×n与m ×m矩阵C．m ×m与n ×n矩阵D．m ×n与n ×m矩阵正确答案：C解析：根据矩阵乘法的定义，A的列数等于C的行数，A的行数等于C的行数，因此A为m×m矩阵；同理B的行数等于C的列数，B的列数等于C的列数，因此B为n×n矩阵．3．设A=(aij)是s ×r矩阵，B=(bij)是r ×s矩阵，如果BA=Ir，则必有( )A．r＞sB．r≤sC．r≥sD．r＜s正确答案：B解析：由于r=r(Ir)=r(BA)≤min{r(B),r(A)}，故得r(B)≥r，且r(A)≥r，故r ≤s．4．设A为n阶对称矩阵，则下列矩阵中不是对称矩阵的是( )A．A+ATB．A-ATC．ATAD．AAT正确答案：B解析：若A为对称矩阵，则A=AT，选项B，(A—AT)T=AT一A，故不是对称矩阵．5．以下结论中不正确的是( )A．二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22；是正定二次型B．若存在可逆实矩阵C，使A=C’C，则A是正定矩阵C．n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值全为正数D．n元实二次型正定的充分必要条件是f的正惯性指数为n正确答案：A解析：f(x1，x2，x3)=x12+x22，对应的矩阵对任何实列向量x，都有xTAx≥0，故f为半正定二次型，答案为A.填空题请在每小题的空格中填上正确答案。
考研数学一(线性代数)模拟试卷95(题后含答案及解析)
考研数学一（线性代数）模拟试卷95(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．A．B=P1AP2B．B=P2AP1C．B=P2－1AP1D．B=P1－1AP2－1正确答案：D解析：显然B==P1AP2－1，因为P1－1=P1，所以应选(D)．知识模块：线性代数2．向量组α1，α2，…，αs线性无关的充要条件是( )．A．α1，α2，…，αs都不是零向量B．α1，α2，…，αs中任意两个向量不成比例C．α1，α2，…，αs中任一向量都不可由其余向量线性表示D．α1，α2，…，αs中有一个部分向量组线性无关正确答案：C解析：若向量组α1，α2，…，αs线性无关，则其中任一向量都不可由其余向量线性表示，反之，若α1，α2，…，αs中任一向量都不可由其余向量线性表示，则α1，α2，…，αs一定线性无关，因为若α1，α2，…，αs线性相关，则其中至少有一个向量可由其余向量线性表示，故选(C)．知识模块：线性代数3．设A是m×n阶矩阵，则下列命题正确的是( )．A．若m＜n，则方程组AX=b一定有无穷多个解B．若m＞n，则方程组AX=b一定有唯一解C．若r(A)=n，则方程组AX=b一定有唯一解D．若r(A)=m，则方程组AX=b一定有解正确答案：D解析：因为若r(A)=m(即A为行满秩矩阵)，则，即方程组AX=b一定有解，选(D)．知识模块：线性代数4．设A为n阶可逆矩阵，λ为A的特征值，则A*的一个特征值为( )．A．B．C．λ｜A｜D．λ｜A｜n－1正确答案：B解析：因为A可逆，所以λ≠0，令AX=λX，则A*AX=λA*X，从而有A*X=X，选(B)．知识模块：线性代数5．设A为m×n阶矩阵，且r(A)=m＜n，则( )．A．A的任意m个列向量都线性无关B．A的任意m阶子式都不等于零C．非齐次线性方程组AX=b一定有无穷多个解D．矩阵A通过初等行变换一定可以化为(EmO)正确答案：C解析：显然由r(A)=m＜n，得r(A)=3111=m＜n，所以方程组AX=b有无穷多个解．选(C)．知识模块：线性代数6．与矩阵A=相似的矩阵为( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：A的特征值为1，2，0，因为特征值都是单值，所以A可以对角化，又因为给定的四个矩阵中只有选项(D)中的矩阵特征值与A相同且可以对角化，所以选(D)．知识模块：线性代数填空题7．设三阶矩阵A=(α，γ1，γ2)，B=(β，γ1，γ2)，其中α，β，γ1，γ2是三维列向量，且｜A｜=3，｜B｜=4，则｜5A一2B｜=________．正确答案：63解析：由5A-2=(5α，5γ1，5γ2)一(2β，2γ1，2γ2)=(5α一2β，3γ1，3γ2)，得｜5A-2B｜=｜5α一2β，3γ1，3γ2｜=9｜5α一2β，γ1，γ2｜=9(5｜α，γ1，γ2｜一2｜β，γ1，γ2｜)=63 知识模块：线性代数8．设A为四阶矩阵，｜A*｜=8，则｜(A)－1一3A*｜=_______．正确答案：8解析：因为A为四阶矩阵，且｜A*｜=8，所以｜A*｜=｜A｜3=8，于是｜A｜=2，又AA*=｜A｜E=2E，所以A*=2A－1，故｜(A)－1一3A*｜=｜4A－1－6A－1｜=｜(一2)A－1｜=(一2)4｜A－1｜=16×=8 知识模块：线性代数9．，则P12009P2－1=________．正确答案：解析：P1==E23，因为Eij－1=Eij，所以Eij2=E，于是P12009P2－1=P1P2－1=．知识模块：线性代数10．设A=(α1，α2，α3，α4)为4阶方阵，且AX=0的通解为X=k(1，1，2，一3)T，则α2由α1，α3，α4表示的表达式为________．正确答案：α2=一α1—2α3+3α4解析：因为(1，1，2，一3)T为AX=0的解，所以α1+α2+2α3—3α4=0，故α2=一α1—2α3+3α4．知识模块：线性代数11．设，则α1，α2，α3经过施密特正交规范化后的向量组为_______．正确答案：解析：令β1=，β3=α3，正交规范化的向量组为．知识模块：线性代数12．设，则α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组为_________，其余的向量用极大线性无关组表示为_________．正确答案：,解析：(α1，α2，α3，α4)=，则向量组α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组为α1，α2，且．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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线性代数(文)模拟试题库及参考答案
一.填空题(每小题3分,共12分)
1.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333222111c b a c b a c b a A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=33
3222111d b a d b a d b a B ,2=A ,3=B ,则B A -2=1. 解 B A -2=3
332221
113332221113333222211112222d b a d b a d b a c b a c b a c b a d c b a d c b a d c b a -=---
=12=-B A .
2.已知向量)3,2,1(=α,)3
1,21,1(=β,设βαT A =,其中T α是α的转置,则n A =A n 13-.
解 注意到3321)31,21,1(=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=T βα,故 n A =
β
αβαβαβαT n T T T 个)())(( =ββαβαβααβα
T
n T T T T 个)1()())((- =A n T n 1133--=βα.
注 若先写出A ,再求2A ,…,n A 将花比前更多的时间.
3.若向量组T )1,0,1(1-=α,T k )0,3,(2=α,T k ),4,1(3-=α线性相关,则k =3-. 解 由1α,2α,3α线性相关,则有
321,,ααα=k k 0143011--=1
043011--k k k =04)1(3143=--=-k k k k . 由此解得3-=k .
4.若4阶矩阵A 与B 相似,矩阵A 的特征值为
21,31,41,5
1,则行列式E B --1 =24.
解 因为A 与B 相似,所以A ,B 有相似的特征值,从而E B --1有特征值1,2,3,4.故2443211=⋅⋅⋅=--E B .
注 本题解答中要用到以下结论:
(1)若A 可逆,A 的特征值为λ,则1-A 的特征值为
λ
1. (2)若λ是A 的特征值,则)(A f 的特征值为)(λf ,其中)(x f 为任意关于x 的多项式.
(3)若n 阶矩阵A 有n 个特征值1λ,2λ,…,n λ,则n A λλλ 21=. 二.单项选择题(每小题3分,共18分)
1.矩阵A 在( A )时,其秩将被改变.
(A ) 乘以奇异矩阵 (B ) 乘以非奇异矩阵 (C ) 进行初等行变换 (D ) 转置
2.要使⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2011ξ,⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=1102ξ都是线性方程组O AX =的解,只要系数矩阵A 为( A ).
(A ) )1,1,2(-
(B ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-110102 (C ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--110201 (D ) ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---110224110
解 我们知道,若1ξ,2ξ,…,k ξ是齐次线性方程组O AX =的k 个线性无关的解向量,O AX =的任一解为向量1ξ,2ξ,…,k ξ的线性组合,则1ξ,2ξ,…,k ξ为O AX =的基础解系,且所含解向量的数目)(A r n k -=,其中n 为矩阵A 的列数.
由于1ξ,2ξ为O AX =的解,知3=n .又因1ξ与2ξ是线性无关的,故2≥k .因而1)(≤A r ,而(A )、(B )、(C )、(D )四个选项中满足1)(≤A r 的矩阵只有(A )项中的)1,1,2(-.
3.设向量组Ⅰ:1α,2α,…r α可由向量组Ⅱ:1β,2β,…s β线性表示,则( D ). (A ) 当s r <时,向量组Ⅱ必线性相关
(B ) 当s r >时,向量组Ⅱ必线性相关
(C ) 当s r <时,向量组Ⅰ必线性相关
(D ) 当s r >时,向量组Ⅰ必线性相关
解 根据定理“若1α,2α,…s α可由1β,2β,…t β线性表出,并且t s >,则1α, 2α,…,s α必线性相关”,即若多数向量可以由少数向量线性表出,则这多数向量必线性相关,故应选(D ).
4.设A 是n m ⨯矩阵,O AX =是非齐次线性方程组b AX =所对应的齐次。