光波导理论2012-3

对于各向同性介质来说，相关的物质方程为 相对介电常数
D 0 E P = E = r 0E
介质磁导率
B H r 0H
介电常数 真空介电常数
J E
介质相对磁导率
真空磁导率
介质电导率
§1.2
平板波导电磁场分析
2012年2月
对于各向异性介质， , 是二阶张量。
E E 0 2 E 0 t
2 2
利用
D = 0
E = -
E

同样，将麦克斯韦方程(2)取旋度，将式(1)代入，并利用 B 0
2 H 2 H 0 2 ( H) 0 t
电场强度
磁场强度
B E t D H J t D
磁感应强度 电位移矢量
电流密度
平板波导电磁场分析 2012年2月
B 0
自由电荷密度
§1.2
要能从给定的电流和电荷分布唯一地确定各个场矢量，还必 须对麦克斯韦方程组补充一些描述物质在电磁场作用下的特 性的经验关系式，它们称为物质方程。
TE C
m
2 2 2 d n1 n2
m arctg TE
TM C
m
2 2 2 d n1 n2
m arctg TM
所以，相同波导，相同阶数的TE、TM模中， TM模先截止。
§1.2
平板波导电磁场分析
2012年2月
3、基模传输 基模m=0
TE C
0
2 2 2d n1 n2
2 2 d n1 n2 m arctg TE
§1.2
平板波导电磁场分析
2012年2月
2、截止波长
TE : TEm C
2 2 2 d n1 n2
m arctg TE
2 2 2 d n1 n2
TM : TM m C
m arctg TM
可见：m阶导模的截止波长 C 由波导wk.baidu.com数(n1 、 n2、n3、d)确定。
2
C
n1d cos 1
1 C 12
13 m
假设 >C，为了保持上式成立，cos1变大，
1变小，即1<C12，全反射破坏，变成辐射模。
§1.2
平板波导电磁场分析
2012年2月
(2)模阶数m越大，截止波长C越小
TE : TEm C
2 2 2 d n1 n2
B1n = B2n
E1t = E2t
n (E2 - E1 ) 0
4. 磁场强度切向分量的关系
n (H2 - H1 )
表面电流面密度
若界面没有面电流，则
n (H2 - H1 ) 0
§1.2
H1t = H2t
平板波导电磁场分析 2012年2月
电磁场的波方程
考虑场中没有自由电荷及电流 ，且介质为非磁性介质的情况。 对麦克斯韦方程的式(1)取旋度，并将式(2)代入，可得
Di ij E j Bi ij H j
i , j 1
i , j 1
3
3
上式成立的条件是： （1）介质是线性介质 （2）介电常数与磁导率与电磁场的变化频率无关
§1.2
平板波导电磁场分析
2012年2月
由麦克斯韦方程组可以导出在两个介质分界面上满足的边界
条件，它们是：
1.电位移法向分量的关系
§1.2 平板波导电磁场分析 2012年2月
下面对以上两个波动方程进行讨论
若
随空间的变化是缓慢的，则


1
可把左边第三项视作微扰，在计算时可用微扰法处理； 在零级近似下，可略去不计。于是，波动方程可写为：
2E 2H 2 E 0 2 0 2 H 0 2 0 t t

2 2 2 n1 n2
§1.2
平板波导电磁场分析
2012年2月
TE 意义：波长、n1、n2、n3确定，若 d d C ，TEm模
m
TM 截止；若 d d C ，TMm模截止。
m
给定波长，单模传输条件
d
TE0 C
d d
TE1 C
§1.2
平板波导电磁场分析
2012年2月
6、对称波导基模不截止 n2= n3 TE＝TM =0。截止方程
§1.2
平板波导电磁场分析
2012年2月
TE arctg 13
( n2 / n1 ) 2 ( n3 / n1 ) 2
2 2 n1 n2 / n1
n2 n3 arctg arctg TE 2 2 n1 n2
2 2
n 2 n 2 n 2 2 3 TM arctg 1 13 2 2 n1 n2 n3 2 2 n2 n3 TE 2 2 n1 n2 2 设 2 2 n1 n2 n3 2 2 TM n3 n1 n2
2 2 d n1 n2 arctg TE

TE0 C
、TM 为有限值。有可能截止。 C
0
§1.2
平板波导电磁场分析
2012年2月
8、导模模式数 由临界截止方程：
2 2 2d n2 n3 1 2 2 mTE int n1 n2 arctg 2 2 n1 n2 2 2d n1 n2 2 n3 2 1 2 2 2 2 mTM int n1 n2 arctg n n1 n2 3

TE0 C

TM0 C

TE TM dC 0 dC 0 0 ，
所以，对称波导无论波长、薄膜厚度如何，基模不
截止。
§1.2
平板波导电磁场分析
2012年2月
7、非对称波导基模可能截止 非对称波导基模截止方程
TE : TM : 2
2 2 2 d n1 n2 arctg TM
arctg TE
TM C
0
2 2 2d n1 n2
arctg TM
TE TE (m 0) C C
0 m
TE模中TE0 具有最长的截止波 TM 模 中 TM0 具 有 最长 的 截止
长（最不易截止）。
TM TM (m 0) C C
0 m
波长（最不易截止）。
§1.2 平板波导电磁场分析 2012年2月
n1
TE arctg TE 13
TM arctg TM 13
代入特征方程，得到(临界)截止时特征方程
§1.2
平板波导电磁场分析
2012年2月
2 2 n1 n2 2 n1d 0 13 m n1
TE : TM :
2
2 2 2 d n1 n2 m arctg TM
m arctg TE
2 2 2 d n1 n2
TM : TM m C
m arctg TM
同一波导中，高阶模比低阶模先截止。导模 传输，指某m及其以下阶的导模传输。
§1.2 平板波导电磁场分析 2012年2月
(3) TEm TMm C C 原因: TE TM
(3)从场的方面来看，一个模式实际上是光波导的光场沿横截
面分布的一种场图。
(4)光波中总的场分布就是许多个模式的线性组合。
§1.2 平板波导电磁场分析 2012年2月
§1.2
平板波导电磁场分析
2012年2月
模式序数m表征了场矢量Ey在波导层中取零值的个数
§1.2 平板波导电磁场分析
!
2012年2月
导模总数＝mTE＋mTM
§1.2 平板波导电磁场分析 2012年2月
可见:(1)d越大，越短，导模数越多。 (2)对于确定的波长，要保证一定阶数导模 工作，需要合理设计波导厚度d实现。
§1.2
平板波导电磁场分析
2012年2月
电磁场基本方程 平面电磁波
麦克斯韦方程 物质方程 边界条件
根据经典理论，电磁场的基本规律可以用麦克斯韦方程表述，为：
上次课的回顾
• 平面波导的本征方程
2dk0n1 cos1 212 213 2m
• 本征方程的意义
• 本征方程的图解
§1.2
平板波导电磁场分析
2012年2月
如何理解模的概念？
(1)模式是光波导中一个常用的概念。 (2)从数学方面理解，模式是满足亥姆霍兹方程其在波导中心 有界、在边界趋于无穷远处为零等边界条件的一系列特解， 这些模式还可以根据相应的规则进行排序。
说明：在分析光波导中光波的传播性质时，既会遇到均匀介 质，又会遇到非均匀介质，但光波导中介质的非均匀性通常 满足缓变条件。因此上面形式的波动方程是分析光波导中光 波传播的基本方程。
§1.2 平板波导电磁场分析 2012年2月
0
模传输条件：
TE TE C C
1
0
§1.2
平板波导电磁场分析
2012年2月
5、截止厚度 由(临界)截止特征方程，可以得到
TE TM
TE dC m
(m
1

arctg TE )
TM dC m
2 2 2 n1 n2 1 ( m arctg TM )
arctg TM
－非对称参数
对称波导 n2= n3，TE＝TM =0 。可见 TE TM
§1.2 平板波导电磁场分析 2012年2月
1、 (临界)截止特征方程 临界截止时
TE 0, TM 0 12 12
,
cos 1 cos C 12
2 2 n1 n2
TE arctg 12 TM arctg 12
n 2, n1
cos 1 cos 1
cos 1 cos C 12
0 0
2 2 n1 n2 n1
si n2 1 ( n2 / n1 ) 2
( n1 / n2 ) 2 si n2 1 ( n2 / n1 ) 2
§1.2
平板波导电磁场分析
2012年2月
§1.2
平板波导电磁场分析
2012年2月
m
m
m0
m 1
§1.2
平板波导电磁场分析
2012年2月
四、导模的截止、传输模式数
截止：几何光学角度全反射1 > C12 C13破坏，
即1 C12。
1 =C12－临界截止，此时，
sin 1 sin C 12
§1.2 平板波导电磁场分析 2012年2月
讨论： (1)C的意义： 工作波长 > C，导模截止。
C越小，相应的导模越易截止。
理解：临界截止时，1＝C12，12＝0，特征方 程 2 n1d cos 1 12 13 m 可写为

§1.2 平板波导电磁场分析 2012年2月
E ( E) 0 2 t
2
利用 可得
( E) = ( E) - E
2
E ( E) - E = 0 2 t
2 2
§1.2 平板波导电磁场分析 2012年2月
( A) = A + ( A)
TE : TM : 2
2 2 2 d n1 n2 m arctg TM
2 2 d n1 n2 m arctg TE
所以， TE、TM模截止方程相同
2

2 2 d n1 n2 m
§1.2
平板波导电磁场分析
2012年2月
显然，基模 m=0
界面处的面电荷密度
n (D2 - D1 )
界面法线方向的单位矢量
若界面处没有面电荷，则
n (D2 - D1 ) 0
D1n = D2n（电位移矢量的法向分量连续！）
§1.2 平板波导电磁场分析 2012年2月
2. 磁感应强度法向分量的关系
n (B2 - B1 ) 0
3. 电场强度切向分量的关系
基模传输：保证只有TE0或TM0，其它模截止。 TE基模传输 TM基模传输

TE1 C
1

TE0 C
0
TM TM C C
§1.2
平板波导电磁场分析
2012年2月
4、单模传输 因为 TE TM ，所以 TE TM C C
0 0
单模传输：保证只有TE0，其它模截止 一般，TE TM , 所以， TE 、 TM0 相差不大。单 C C