学案27平面向量的数量积及其应用

学案27 平面向量的数量积及其应用

导学目标： 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．

自主梳理

1．向量数量积的定义 (1)向量数量积的定义：____________________________________________，其中|a |cos 〈a ，b 〉叫做向量a 在b 方向上的投影．

(2)向量数量积的性质：

①如果e 是单位向量，则a·e ＝e·a ＝__________________； ②非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔________________；

③a·a ＝________________或|a |＝________________； ④cos 〈a ，b 〉＝________； ⑤|a·b |____|a||b |. 2．向量数量积的运算律

(1)交换律：a·b ＝________；

(2)分配律：(a ＋b )·c ＝________________；

(3)数乘向量结合律：(λa )·b ＝________________. 3．向量数量积的坐标运算与度量公式

(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a·b ＝________________________；

(2)设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ⊥b ⇔________________________； (3)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，

则|a |＝________________，cos 〈a ，b 〉＝____________________________.

(4)若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则|AB →＝________________________，所以|AB →

|＝_____________________.

自我检测

1.（2010·湖南）在Rt △ABC 中，∠C =90°,AC =4,则AB →·AC →

等于 ( ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．16

2．(2010·重庆)已知向量a ，b 满足a·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝ ( )

A ．0

B ．2 2

C ．4

D ．8

3．(2011·福州月考)已知a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，(a ＋λb )⊥b ，则λ等于 ( )

A ．－2

B ．2 C.12 D ．－1

2

4.平面上有三个点A （-2，y ），B （0，2

y ），C （x ，y ），若A B →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为________________．

5.（2009·天津）若等边△ABC 的边长为3，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23

CA →，则MA →·MB

→

＝________.

探究点一 向量的模及夹角问题

例1 (2011·马鞍山月考)已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |；

（3）若AB →＝a ，BC →

＝b ，求△ABC 的面积．

变式迁移1 (1)已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是 ( )

A ．1

B ．2

C. 2

D.2

2

(2)已知i ，j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，实数λ的取值范围为________．

探究点二 两向量的平行与垂直问题

例2 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且k a ＋b 的长度是a －k b 的长度的3倍(k >0)．

(1)求证：a ＋b 与a －b 垂直； (2)用k 表示a ·b ；

(3)求a ·b 的最小值以及此时a 与b 的夹角θ.

变式迁移2 (2009·江苏)设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)．

(1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；

(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .

探究点三 向量的数量积在三角函数中的应用

例3 已知向量a ＝⎝

⎛⎭⎪⎫cos 32x ，sin 32x ， b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－π3，π4. (1)求a·b 及|a ＋b |；

(2)若f (x )＝a·b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值．

变式迁移3 （2010·四川）已知△ABC 的面积S =12

AB →·AC →

·＝3，且cos B ＝35，求cos C .

1．一些常见的错误结论：

(1)若|a |＝|b |，则a ＝b ；(2)若a 2＝b 2

，则a ＝b ；(3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；(4)若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；(5)|a·b |＝|a |·|b |；(6)(a·b )c ＝a (b·c )；(7)若a·b ＝a·c ，则b ＝c .以上结论都是错误的，应用时要注意．

2．平面向量的坐标表示与向量表示的比较：

向量表示 坐标表示

向量a 的模 |a |＝a·a ＝a 2 |a |＝x 21＋y 2

1 a 与b 的数量积 a·b ＝|a||b |cos θ a·b ＝x 1x 2＋y 1y

2 a 与b 共线的充要条件 A∥b (b ≠0)⇔a ＝λb a∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0 非零向量a ，b 垂直的充要条件 a ⊥b ⇔a·b ＝0 a⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0

向量a 与b 的夹角 cos θ＝a·b

|a||b| cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 2

2

（1）要证AB =CD ，可转化证明AB →2＝CD →2或|AB →|＝|CD →

|.

（2）要证两线段AB ∥CD ，只要证存在唯一实数 ≠0，使等式AB →＝λCD →

成立即可．

（3）要证两线段AB ⊥CD ，只需证AB →·CD →

＝0.

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．(2010·重庆)若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a·b ＝0，则实数m 的值为 ( )

A ．－32 B.32

C ．2

D ．6

2．已知非零向量a ，b ，若|a |＝|b |＝1，且a⊥b ，又知(2a ＋3b )⊥(k a －4b )，则实数k 的值为 ( )

A ．－6

B ．－3

C ．3

D ．6

3.已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →

＝b ，a·b <0，S △ABC ＝154

，|a |＝3，|b |＝5，则∠BAC 等于 ( )

A ．30°

B ．－150°

C ．150°

D ．30°或150°

4．(2010·湖南)若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为 ( )

A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．150°

5．已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 上的投影为