学案27平面向量的数量积及其应用
(教案)校级公开课--平面向量的数量积及应用(教案)
课题：平面向量的数量积及其应用授课班级:高三(1) 教学目标 1、知识与能力:复习平面向量的数量积及其性质，掌握两向量数量积定义式与坐标式运算，两向量夹角及两向量垂直的充要条件和向量数量积的简单应用． 2、过程与方法:通过对知识归纳整理与回顾，使学生形成知识网络。
通过设置问题,学生参予问题探究，教师引导、点评，师生互动方法实现课堂教学目标的完成。
3、情感态度与价值观通过问题探究，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯。
树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。
教学重点: 平面向量的数量积及应用。
教学难点:如何灵活运用平面向量的数量积性质解决问题。
教学模式:问题教学法 教学过程:一、知识归纳（1）向量数量积定义式a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ叫做a 与b 的数量积（或内积）。
（2）向量数量积坐标运算式已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·b =1212x x y y +。
（3）向量b 在a 方向上的投影：︱b ︱cos θ=||a ba ⋅ （4）数量积的几何意义： a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积。
（5）两向量的夹角范围0︒≤θ≤180︒。
（6）向量数量积的性质①向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅==。
②乘法公式成立()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-； ()2222a b a a b b±=±⋅+222a a b b =±⋅+；③平面向量数量积的运算律交换律成立：a b b a ⋅=⋅；对实数的结合律成立：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈； 分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅±。
④向量的夹角：cos θ=cos ,a b a b a b•<>=•=222221212121y x y x y y x x +⋅++。
平面向量的数量积与向量积的应用的应用
平面向量的数量积与向量积的应用的应用平面向量的数量积与向量积的应用平面向量是解决平面几何问题的重要工具，其数量积与向量积是常用的运算符号。
本文将探讨平面向量的数量积与向量积的应用，并运用相应的公式进行详细计算和论证。
一、平面向量的数量积的应用平面向量的数量积，也称为点积或内积，是两个向量之间的一种运算，表示了向量之间的夹角关系。
数量积的应用广泛，包括计算向量的模长、求解向量的夹角、判定向量是否垂直或平行等。
1. 求解向量的模长对于平面向量a，其模长可以通过数量积求解。
设a = (a₁, a₂)，则a的模长|a| = √(a₁² + a₂²)。
2. 求解向量的夹角对于平面向量a和b，它们的夹角θ可以通过数量积求解。
设a = (a₁, a₂)和b = (b₁, b₂)，则a与b的夹角θ的余弦值可以表示为cosθ = (a·b) / (|a|·|b|)。
通过求解cosθ，我们可以进一步求解夹角θ。
3. 判定向量是否垂直或平行若两个向量a和b的数量积等于0，即a·b = 0，则a与b垂直。
若数量积不等于0，即a·b ≠ 0，则a与b不垂直。
另外，如果两个向量的数量积等于a和b的模长之积，即a·b = |a|·|b|，则a与b平行。
二、平面向量的向量积的应用平面向量的向量积，也称为叉积或外积，是两个向量之间的一种运算，表示了向量之间的方向关系。
向量积的应用主要涉及到平行四边形面积、垂直判定以及向量的混合积的计算。
1. 平行四边形面积对于平面向量a和b，它们的向量积a×b的模长等于a和b所构成的平行四边形的面积。
即|a×b| = |a|·|b|·sinθ，在计算时取正值即可。
2. 垂直判定若两个向量a和b的向量积等于0，即a×b = 0，则a与b平行或共线。
若向量积不等于0，即a×b ≠ 0，则a与b垂直。
平面向量的数量积与几何应用
平面向量的数量积与几何应用在平面几何学中，向量是非常重要的概念。
在平面向量中，数量积是一种常见的运算，它能够帮助我们计算向量之间的夹角、判断向量之间的关系以及解决几何问题。
本文将介绍平面向量的数量积及其在几何中的应用。
一、平面向量的数量积定义当给定两个平面向量a和b时，我们可以通过计算它们的数量积来得到一个实数。
数量积通常用符号a·b表示，计算公式如下：a·b = |a| * |b| * cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模（长度），θ表示向量a和b 之间的夹角。
二、平面向量的数量积性质1. 交换律：a·b = b·a2. 结合律：(ka)·b = k(a·b)，其中k为实数3. 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c根据这些性质，我们可以简化计算，并灵活应用数量积的概念。
三、数量积的几何意义1. 判断垂直关系：若a·b=0，则向量a和向量b垂直。
2. 计算夹角：通过计算a·b，我们可以得到向量a和向量b之间的夹角θ的余弦值。
进而可以求得夹角的大小。
3. 判断共线关系：若a·b=|a|*|b|，则向量a和向量b共线，并且方向相同；若a·b=-|a|*|b|，则向量a和向量b共线，但方向相反。
4. 计算投影：向量a在向量b上的投影表示为P = a·(b/|b|)，表示a 在b上的投影长度。
它的方向与向量b的方向相同或相反，长度为|a|*cosθ。
通过上述的几何意义，我们可以运用数量积来解决一些常见的几何问题。
四、数量积的几何应用举例1. 判断线段相交：假设有两个线段AB和CD，可以定义向量AB和向量CD，若向量AB和向量CD的数量积不为零，则线段AB和CD 相交。
2. 判断平行四边形：对于一个平行四边形ABCD，可以定义向量AB，向量BC，向量CD和向量DA，若相邻两个向量的数量积相等，则该四边形为平行四边形。
初中数学教案平面向量的数量积与向量积的物理应用
初中数学教案平面向量的数量积与向量积的物理应用初中数学教案平面向量的数量积与向量积的物理应用一、引言在初中数学课程中，平面向量的数量积与向量积是重要的概念。
本文将介绍平面向量的数量积与向量积的定义与性质，并探讨其在物理学中的应用。
二、平面向量的数量积1. 定义与性质平面向量的数量积，也称为内积或点积，是两个向量的乘积与两向量夹角的余弦值的乘积。
即对于向量a和向量b，其数量积可以表示为：a·b = |a| |b| cosθ其中，a·b表示向量a和向量b的数量积，|a|和|b|表示向量a和向量b的模，θ表示两向量的夹角。
2. 计算方法为了计算平面向量的数量积，我们可以使用向量的坐标表示法或向量的性质。
使用向量的坐标表示法时，若向量a的坐标为(a1, a2)、向量b的坐标为(b1, b2)，则它们的数量积计算公式为：a·b = a1b1 + a2b2使用向量的性质时，我们可以利用数量积的性质进行计算。
例如，如果向量a和向量b的夹角为90°，则它们的数量积为零。
这是因为cos90° = 0。
3. 物理应用平面向量的数量积在物理学中有许多应用，其中一些常见的应用包括：3.1 力与位移的功根据物理学的定义，力（F）与位移（d）的功等于力与位移的数量积。
功 = F·d这是因为力和位移都是矢量量，且功是数量积的一种特殊形式。
3.2 力的投影在物理学中，物体受到斜面的作用力时，我们可以将此力分解为平行于斜面的分力与垂直于斜面的分力。
这种分力的求解利用了平面向量的数量积。
3.3 力的合成与分解平面向量的数量积也可以用于力的合成与分解。
通过将一个力向量分解为两个相互垂直的力向量，我们可以更好地理解和计算力的合成与分解。
三、平面向量的向量积1. 定义与性质平面向量的向量积，也称为叉积或叉乘，是两个向量的乘积与两向量夹角的正弦值的乘积。
即对于向量a和向量b，其向量积可以表示为：a×b = |a| |b| sinθ n其中，a×b表示向量a和向量b的向量积，|a|和|b|表示向量a和向量b的模，θ表示两向量的夹角，n表示一个与a、b垂直的单位向量。
初中数学教案平面向量的数量积与向量积的几何应用
初中数学教案平面向量的数量积与向量积的几何应用初中数学教案：平面向量的数量积与向量积的几何应用一、引言在初中数学中，平面向量的数量积与向量积是非常重要的概念。
它们不仅在数学中具有重要的应用，而且在日常生活和实际问题中也有广泛的运用。
本教案将从理论与实践的角度，详细探讨平面向量的数量积与向量积在几何中的应用。
二、平面向量的数量积1. 定义平面向量的数量积，也称为点乘或内积，表示为A·B，是两个向量的数量乘积与两个向量夹角的余弦值的乘积。
具体地，若向量A=(x1,y1)和B=(x2,y2)，则其数量积为A·B=x1x2+y1y2。
2. 性质与公式平面向量的数量积具有以下性质和公式：- 对于任意向量A、B、C和实数k，有(A+B)·C＝A·C＋B·C （分配律）- 对于任意向量A和实数k，有(kA)·B＝A·(kB)＝k(A·B) （数乘结合律）- 若两个向量的数量积为0，则它们垂直（正交）3. 几何解释平面向量的数量积可以用几何方法解释。
若A和B为两个向量，它们的数量积A·B等于A在B方向上的投影长度与B的模长的乘积。
三、平面向量的向量积1. 定义平面向量的向量积，也称为叉乘或外积，表示为A×B，是两个向量的数量乘积与它们夹角的正弦值的乘积。
具体地，若向量A=(x1,y1)和B=(x2,y2)，则其向量积为A×B=x1y2-x2y1。
2. 性质与公式平面向量的向量积具有以下性质和公式：- 对于任意向量A、B、C和实数k，有(A+B)×C＝A×C＋B×C （分配律）- 对于任意向量A和实数k，有(kA)×B＝A×(kB)＝k(A×B) （数乘结合律）- 向量A×B垂直于向量A和B所在的平面3. 几何解释平面向量的向量积可以用几何方法解释。
教案标题平面向量的数量积与应用
当给定向量的坐标表示时，可以通过坐标推导计算数量积。若向量a的坐标表示为(a₁，a₂)，向量b的坐标表示为(b₁，b₂)，则a·b = a₁b₁ + a₂b₂。
3.性质
-数量积满足交换律ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ即a·b = b·a。
-数量积与向量的模长有关，当其中一个向量为零向量时，其数量积为0。
-若两个向量的数量积为0，则它们垂直。
教案标题平面向量的数量积与应用
教案标题：平面向量的数量积与应用
一、引言
平面向量是解决几何问题的重要工具之一，其中数量积是一个常见而重要的概念。本教案将介绍平面向量的数量积以及其应用。
二、平面向量的数量积
1.定义与表示
平面向量的数量积，也称点乘或内积，用符号"·"表示，对于平面上的两个向量a和b，其数量积定义为a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示这两个向量的夹角。
a = (1, 2, -1)，b = (2, -1, 3)
2.根据给定条件，判断两个向量的夹角：
a = (1, 2)，b = (-3, 4)
a = (2, -1, 3)，b = (3, -2, 1)
3.计算向量a在向量b上的投影：
a = (4, -1)，b = (-2, 3)
4.利用数量积的性质，判断以下三角形的形状：
三角形ABC，AB = (3, 1)，BC = (-2, 4)，CA = (5, -5)
五、总结
本教案介绍了平面向量的数量积以及其应用。数量积可以用于判断两个向量的夹角，判断三角形形状，计算向量投影等。学生可以通过练习题来巩固所学的知识，并应用到实际问题中。通过本课的学习，学生将能够更好地理解平面向量的数量积及其应用。
平面向量的数量积与应用
向量夹角计算
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定义：两个非零向量的夹角是指它们所在的直线之间的夹角，取值范围为$[0^{\circ},180^{\circ}]$
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计算公式：$\cos\theta = \frac{\overset{\longrightarrow}{u} \cdot \overset{\longrightarrow}{v}}{|\overset{\longrightarrow}{u}| \cdot |\overset{\longrightarrow}{v}|}$，其中 $\overset{\longrightarrow}{u}$和$\overset{\longrightarrow}{v}$是两个非零向量，$\theta$是它们的夹角
平面向量的数量积 与应用
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目录
平面向量的数量积概念 平面向量的数量积的应用
平面向量的数量积运算
平面向量的数量积的扩展 应用
01
平面向量的数量积 概念
定义与性质
定义：平面向量的数量积是 两个向量之间的点积，表示 为a·b，等于它们的模长和 夹角的余弦值的乘积。
性质：数量积满足交换律和 分配律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
几何意义
平面向量的数量积表示向量在 平面上的投影长度
等于两个向量在垂直方向上的 投影的乘积
表示两个向量在平面上的夹角 大小
等于两个向量在水平方向上的 投影的乘积
运算性质
交换律：a · b = b · a 分配律：(a+b) · c = a · c + b · c 数乘性质：k(a · b) = (ka) · b = a · (kb) 向量数量积的性质：|a · b| ≤ |a| |b|
平面向量的数量积学案
平面向量的数量积学案一、学案背景平面向量的数量积是数学中的一个重要概念，通过数量积可以研究向量之间的夹角关系、向量的投影以及向量的模长等问题。
掌握了平面向量的数量积的性质和应用，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
二、学习目标1. 了解平面向量的数量积的定义。
2. 掌握平面向量的数量积的计算方法和性质。
3. 理解平面向量的数量积与向量的夹角、投影和模长之间的关系。
4. 能够应用平面向量的数量积解决实际问题。
三、学习内容1. 平面向量的数量积的定义：平面向量a = (x1, y1) 和 b = (x2, y2) 的数量积（又称点积、内积）定义为 a · b = x1 * x2 + y1 * y2。
2. 平面向量的数量积的性质：a. a · b = b · a（数量积的交换律）。
b. a · (b + c) = a · b + a · c（数量积的分配律）。
c. k(a · b) = (ka) · b = a · (kb) = k(a · b)（数量积的结合律，其中k为实数）。
3. 平面向量的数量积与向量的夹角的关系：a. 如果 a · b = 0，则向量a和b垂直（夹角为90°）。
b. 如果 a · b > 0，则向量a和b夹角锐角。
c. 如果 a · b < 0，则向量a和b夹角钝角。
4. 平面向量的数量积与向量的投影的关系：a. 向量a在向量b上的投影p的长度为 |p| = |a| * cosθ，其中θ为a和b的夹角。
b. a · b = |a| * |b| * cosθ。
5. 平面向量的数量积与向量的模长的关系：a. a · a = |a|^2，其中|a|表示向量a的模长。
b. |a| = √(a · a)。
四、学习方法1. 技巧讲解与练习：通过教师的讲解，学习平面向量的数量积的定义、计算方法和性质。
平面向量的数量积与应用教案
平面向量的数量积与应用教案一、引言平面向量是数学中重要的概念之一，它在几何、物理等领域具有广泛的应用。
其中，数量积作为平面向量的一种运算方式，被广泛运用于解决多种实际问题。
本教案旨在通过介绍平面向量的数量积及其应用，帮助学生掌握相关的概念和运算方法。
二、数量积的定义数量积，也称为点积或内积，是两个向量之间进行的一种运算。
对于两个平面向量a 和 b，它们的数量积可以表示为a·b，即：a·b = |a| |b| cosθ其中，|a| 和 |b| 分别表示向量 a 和 b 的模，θ表示向量 a 和 b 之间的夹角。
三、数量积的运算性质1. 交换律：a·b = b·a2. 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c3. 数量积为零的条件：若 a·b = 0，则 a 和 b 两向量垂直。
四、数量积的几何意义数量积有着重要的几何意义。
当两个向量的数量积为正时，表示它们的方向较为接近；当数量积为负时，表示它们的方向较为背离；当数量积为零时，表示它们垂直。
五、数量积的应用数量积在几何、物理等领域有着广泛的应用。
以下是其中几个常见的应用场景：1. 判断两个向量的关系：通过计算两个向量的数量积，可以判断它们的夹角大小，从而了解两个向量之间的关系，比如是否垂直或平行。
2. 求向量在某一方向上的投影：通过数量积的计算，可以求得一个向量在另一个向量上的投影长度，从而进一步计算出向量在某一方向上的投影。
3. 计算力的功：在物理学中，力的功可以通过计算力和位移之间的数量积得到。
功等于力乘以移动的距离和夹角的余弦值。
4. 计算三角形的面积：数量积还可以用来计算三角形的面积。
当给定两条边和它们之间的夹角时，可以通过数量积公式计算出三角形的面积。
六、教学活动为了帮助学生更好地理解和应用数量积，以下是一些教学活动的建议：1. 理论讲解：教师可以通过简洁明了的语言，结合实际例子，向学生讲解数量积的定义、运算性质和几何意义。
平面向量的数量积(经典导学案及练习答案详解)
§5.3 平面向量的数量积学习目标1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．知识梳理 1．向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角． 2．平面向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的数量积，记作a ·b .3．平面向量数量积的几何意义设a ，b 是两个非零向量，它们的夹角是θ，e 与b 是方向相同的单位向量，AB →＝a ，CD →＝b ，过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD →所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1—→，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，A 1B 1—→叫做向量a 在向量b 上的投影向量．记为|a |cos θ e . 4．向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a .(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .5．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.几何表示坐标表示数量积 a·b ＝|a ||b |cos θ a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2模 |a |＝a ·a |a |＝x 21＋y 21夹角 cos θ＝a ·b|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22a ⊥b 的充要条件 a ·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0 a ∥b 的充要条件 a ＝λb (λ∈R ) x 1y 2－x 2y 1＝0|a ·b |与|a ||b |的关系 |a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)|x 1x 2＋y 1y 2|≤(x 21＋y 21)(x 22＋y 22)常用结论1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2； (2)(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2. 2．有关向量夹角的两个结论 已知向量a ，b .(1)若a 与b 的夹角为锐角，则a·b >0；若a·b >0，则a 与b 的夹角为锐角或0. (2)若a 与b 的夹角为钝角，则a·b <0；若a·b <0，则a 与b 的夹角为钝角或π. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个向量的夹角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2.( × ) (2)若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角．( × )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．( √ ) (4)(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( × ) 教材改编题1．(多选)(2022·海南省临高二中模拟)设a ，b ，c 是任意的非零向量，则下列结论正确的是( ) A ．0·a ＝0B ．a ·b ＝b ·c ，则a ＝cC ．a ·b ＝0⇒a ⊥bD ．(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2 答案 CD2．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 答案 2 33．已知向量a ，b 满足3|a |＝2|b |＝6，且(a －2b )⊥(2a ＋b )，则a ，b 夹角的余弦值为________．答案 －59解析 设a ，b 的夹角为θ， 依题意，(a －2b )·(2a ＋b )＝0， 则2a 2－3a ·b －2b 2＝0，故2×4－3×2×3·cos θ－2×32＝0， 则cos θ＝－59.题型一 平面向量数量积的基本运算例1 (1)(2021·北京)a ＝(2,1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0,1)，则(a ＋b )·c ＝_________；a ·b ＝________. 答案 0 3解析 ∵a ＝(2,1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0,1)， ∴a ＋b ＝(4,0)，∴(a ＋b )·c ＝4×0＋0×1＝0， a ·b ＝2×2＋1×(－1)＝3.(2)(2022·广州模拟)在平面四边形ABCD 中，已知AB →＝DC →，P 为CD 上一点，CP →＝3PD →，|AB →| ＝4，|AD →|＝3，AB →与AD →的夹角为θ，且cos θ＝23，则AP →·PB →＝________.答案 －2 解析 如图所示，∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形， ∵CP →＝3PD →，∴AP →＝AD →＋DP →＝14AB →＋AD →，PB →＝AB →－AP →＝34AB →－AD →，又∵|AB →|＝4，|AD →|＝3， cos θ＝23，则AB →·AD →＝4×3×23＝8，∴AP →·PB →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋14AB →·⎝⎛⎭⎫34AB →－AD → ＝12AB →·AD →－AD →2＋316AB →2 ＝12×8－9＋316×42＝－2. 教师备选1．(2019·全国Ⅱ)已知AB →＝(2,3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3 答案 C解析 因为BC →＝AC →－AB →＝(1，t －3)， 所以|BC →|＝12＋(t －3)2＝1， 解得t ＝3， 所以BC →＝(1,0)，所以AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2.2．在边长为2的正三角形ABC 中，M 是BC 的中点，D 是线段AM 的中点．①若BD →＝xBA →＋yBC →，则x ＋y ＝________；②BD →·BM →＝________. 答案 341解析 ①∵M 是BC 的中点， ∴BM →＝12BC →，∵D 是AM 的中点，∴BD →＝12BA →＋12BM →＝12BA →＋14BC →，∴x ＝12，y ＝14，∴x ＋y ＝34.②∵△ABC 是边长为2的正三角形，M 是BC 的中点， ∴AM ⊥BC ，且BM ＝1，∴BD →·BM →＝|BD →||BM →|cos ∠DBM ＝|BM →|2＝1. 思维升华 计算平面向量数量积的主要方法 (1)利用定义：a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)利用坐标运算，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. (3)灵活运用平面向量数量积的几何意义．跟踪训练1 (1)(2021·新高考全国Ⅱ)已知向量a ＋b ＋c ＝0，|a |＝1，|b |＝|c |＝2，a ·b ＋b ·c ＋c ·a＝________. 答案 －92解析 由已知可得(a ＋b ＋c )2 ＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝9＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝0， 因此a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－92.(2)(2020·北京)已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP →＝12(AB →＋AC →)，则|PD →|＝________；PB →·PD →＝________. 答案5 －1解析 建立如图所示的平面直角坐标系，∵AP →＝12(AB →＋AC →)，∴P 为BC 的中点．∴点P 的坐标为(2,1)，点D 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(2,0)， ∴|PD →|＝5，PB →＝(0，－1)，PD →＝(－2,1)， ∴PB →·PD →＝－1.题型二 平面向量数量积的应用 命题点1 向量的模例2 已知向量a ，b 满足|a |＝6，|b |＝4，且a 与b 的夹角为60°，则|a ＋b |＝____________，|a －3b |＝________. 答案 219 6 3解析 因为|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°， 所以a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝6×4×12＝12，(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝36＋24＋16＝76， (a －3b )2＝a 2－6a·b ＋9b 2＝36－72＋144 ＝108，所以|a ＋b |＝219，|a －3b |＝6 3. 命题点2 向量的夹角例3 (2020·全国Ⅲ)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉等于( ) A ．－3135 B ．－1935 C.1735 D.1935答案 D解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝25－12＋36＝49， ∴|a ＋b |＝7，∴cos 〈a ，a ＋b 〉＝a ·(a ＋b )|a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b |a ||a ＋b |＝25－65×7＝1935. 命题点3 向量的垂直例4 (2021·全国乙卷)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(3,4)，若(a －λb )⊥b ，则λ＝________. 答案 35解析 方法一 a －λb ＝(1－3λ，3－4λ)， ∵(a －λb )⊥b ，∴(a －λb )·b ＝0， 即(1－3λ，3－4λ)·(3,4)＝0， ∴3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝35.方法二 由(a －λb )⊥b 可知，(a －λb )·b ＝0，即a ·b －λb 2＝0， 从而λ＝a ·b b 2＝(1，3)·(3，4)32＋42＝1525＝35.教师备选1．已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案 B解析 设a 与b 的夹角为α， ∵(a －b )⊥b ， ∴(a －b )·b ＝0， ∴a ·b ＝b 2，∴|a |·|b |cos α＝|b |2，又|a |＝2|b |， ∴cos α＝12，∵α∈[0，π]，∴α＝π3.2．已知e1，e2是两个单位向量，且|e1＋e2|＝3，则|e1－e2|＝________.答案 1解析由|e1＋e2|＝3，两边平方，得e21＋2e1·e2＋e22＝3.又e1，e2是单位向量，所以2e1·e2＝1，所以|e1－e2|2＝e21－2e1·e2＋e22＝1，所以|e1－e2|＝1.思维升华(1)求平面向量的模的方法①公式法：利用|a|＝a·a及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解．(2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cos θ＝a·b|a||b|，求解时应求出a·b，|a|，|b|的值或找出这三个量之间的关系；②坐标法．(3)两个向量垂直的充要条件a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．跟踪训练2(1)已知单位向量a，b满足a·b＝0，若向量c＝7a＋2b，则sin〈a，c〉等于()A.73 B.23 C.79 D.29答案 B解析方法一设a＝(1,0)，b＝(0,1)，则c＝(7，2)，∴cos〈a，c〉＝a·c|a||c|＝73，∴sin〈a，c〉＝2 3.方法二a·c＝a·(7a＋2b)＝7a2＋2a·b＝7，|c|＝(7a＋2b)2＝7a2＋2b2＋214a·b＝7＋2＝3，∴cos〈a，c〉＝a·c|a||c|＝71×3＝73，∴sin〈a，c〉＝2 3.(2)(多选)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A (1,0)，则( ) A ．|OP 1—→|＝|OP 2—→| B ．|AP 1—→|＝|AP 2—→| C.OA →·OP 3—→＝OP 1—→·OP 2—→ D.OA →·OP 1—→＝OP 2—→·OP 3—→ 答案 AC解析 由题意可知， |OP 1—→|＝cos 2α＋sin 2α＝1， |OP 2—→|＝cos 2β＋(－sin β)2＝1， 所以|OP 1—→|＝|OP 2—→|，故A 正确； 取α＝π4，则P 1⎝⎛⎭⎫22，22，取β＝5π4，则P 2⎝⎛⎭⎫－22，22， 则|AP 1—→|≠|AP 2—→|，故B 错误； 因为OA →·OP 3—→＝cos(α＋β)，OP 1—→·OP 2—→＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)， 所以OA →·OP 3—→＝OP 1—→·OP 2—→，故C 正确； 因为OA →·OP 1—→＝cos α，OP 2—→·OP 3—→＝cos βcos(α＋β)－sin βsin(α＋β) ＝cos(α＋2β)， 取α＝π4，β＝π4，则OA —→·OP 1—→＝22，OP 2—→·OP 3—→＝cos 3π4＝－22，所以OA →·OP 1—→≠OP 2—→·OP 3—→，故D 错误． 题型三 平面向量的实际应用例5 (多选)(2022·东莞模拟)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况(如图所示)．假设行李包所受的重力为G ，所受的两个拉力分别为F 1，F 2，若|F 1|＝|F 2|，且F 1与F 2的夹角为θ，则以下结论正确的是( )A ．|F 1|的最小值为12|G |B ．θ的范围为[0，π]C ．当θ＝π2时，|F 1|＝22|G |D ．当θ＝2π3时，|F 1|＝|G |答案 ACD解析 由题意知，F 1＋F 2＋G ＝0， 可得F 1＋F 2＝－G ，两边同时平方得 |G |2＝|F 1|2＋|F 2|2＋2|F 1||F 2|cos θ ＝2|F 1|2＋2|F 1|2cos θ， 所以|F 1|2＝|G |22(1＋cos θ).当θ＝0时，|F 1|min ＝12|G |；当θ＝π2时，|F 1|＝22|G |；当θ＝2π3时，|F 1|＝|G |，故A ，C ，D 正确；当θ＝π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B 错误． 教师备选若平面上的三个力F 1，F 2，F 3作用于一点，且处于平衡状态，已知|F 1|＝1 N ，|F 2|＝6＋22N ，F 1与F 2的夹角为45°，求： (1)F 3的大小；(2)F 3与F 1夹角的大小． 解 (1)∵三个力平衡， ∴F 1＋F 2＋F 3＝0，∴|F 3|＝|F 1＋F 2|＝|F 1|2＋2F 1·F 2＋|F 2|2 ＝12＋2×1×6＋22cos 45°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222＝4＋23＝1＋ 3.(2)方法一 设F 3与F 1的夹角为θ，则|F 2|＝|F 1|2＋|F 3|2＋2|F 1||F 3|cos θ， 即6＋22＝12＋(1＋3)2＋2×1×(1＋3)cos θ， 解得cos θ＝－32， ∵θ∈[0，π]， ∴θ＝5π6.方法二 设F 3与F 1的夹角为θ， 由余弦定理得cos(π－θ)＝12＋(1＋3)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋2222×1×(1＋3)＝32，∵θ∈[0，π]，∴θ＝5π6.思维升华 用向量方法解决实际问题的步骤跟踪训练3 (2022·沈阳二中模拟)渭河某处南北两岸平行，如图所示，某艘游船从南岸码头A 出发航行到北岸，假设游船在静水中航行速度的大小为|ν1|＝10 km/h ，水流速度的大小为|ν2|＝6 km/h.设ν1与ν2的夹角为120°，北岸的点A ′在码头A 的正北方向，那么该游船航行到北岸的位置应( )A ．在A ′东侧B ．在A ′西侧C ．恰好与A ′重合D ．无法确定答案 A解析 建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得ν1＝(－5，53)，ν2＝(6,0)， 所以ν1＋ν2＝(1,53)，说明游船有x 轴正方向的速度，即向东的速度，所以该游船航行到北岸的位置应在A ′东侧．极化恒等式：设a ，b 为两个平面向量，则有恒等式a ·b ＝14[](a ＋b )2－(a －b )2.如图所示．(1)在平行四边形ABDC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，则a·b ＝14(|AD →|2－|BC →|2)．(2)在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，AM 为中线，则a·b ＝|AM →|2－14|BC →|2.例1 在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 答案 －16解析 如图所示，由极化恒等式，易得AB →·AC →＝AM →2－MB →2＝32－52＝－16.例2 已知AB 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则P A →·PB →的最小值是________． 答案 1解析 如图所示，由极化恒等式易知，当OP 垂直于直线x －y ＋2＝0时，P A →·PB →有最小值，即P A →·PB →＝PO →2－OB →2＝(2)2－12＝1.例3 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( ) A ．1 B ．2 C. 2 D.22答案 C解析 如图所示，设OA →⊥OB →，记OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， M 为AB 的中点， 由极化恒等式有 (a －c )·(b －c )＝CA →·CB →＝|CM →|2－|AB →|24＝0，∴|CM →|2＝|AB →|24＝12，可知MC →是有固定起点，固定模长的动向量．点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，且点O 也在此圆上， 所以|c |的最大值为圆的直径长，即为 2.课时精练1．(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是( ) A ．a ＋2b B ．2a ＋b C ．a －2b D ．2a －b 答案 D解析 由题意得|a |＝|b |＝1， 设a ，b 的夹角为θ＝60°， 故a ·b ＝|a ||b |cos θ＝12.对A 项，(a ＋2b )·b ＝a ·b ＋2b 2 ＝12＋2＝52≠0； 对B 项，(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2 ＝2×12＋1＝2≠0；对C 项，(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2 ＝12－2＝－32≠0； 对D 项，(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2×12－1＝0.2．(2022·石家庄模拟)已知向量a ＝(2，－2)，b ＝(2,1)，b ∥c ，a ·c ＝4，则|c |等于( ) A ．2 5 B ．4 C ．5 2 D ．4 2答案 A解析 因为b ∥c ，所以c ＝λb ＝(2λ，λ)(λ∈R )， 又a ·c ＝4λ－2λ＝2λ＝4，所以λ＝2，c ＝(4,2)，|c |＝42＋22＝2 5.3．(2022·沈阳模拟)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则a －b 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案 D解析 |a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，等号左右同时平方，得|a ＋b |2＝|a －b |2＝4|a |2，即|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝4|a |2， 所以a ·b ＝0且|b |2＝3|a |2，所以|a －b |＝|a －b |2 ＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝233|b |，所以cos 〈a －b ，b 〉＝(a －b )·b|a －b ||b |＝－|b |2233|b |·|b |＝－32，因为〈a －b ，b 〉∈[0，π]，所以〈a －b ，b 〉＝5π6.4．已知a ＝(－2,1)，b ＝(k ，－3)，c ＝(1,2)，若(a －2b )⊥c ，则与b 共线的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫255，－55或⎝⎛⎭⎫－255，55 B.⎝⎛⎭⎫－255，－55或⎝⎛⎭⎫255，55 C.⎝⎛⎭⎫255，55 D.⎝⎛⎭⎫－255，55 答案 A解析 由题意得a －2b ＝(－2－2k ,7)， ∵(a －2b )⊥c ， ∴(a －2b )·c ＝0，即(－2－2k ,7)·(1,2)＝0，－2－2k ＋14＝0， 解得k ＝6， ∴b ＝(6，－3)， ∴e ＝±b 62＋(－3)2＝±⎝⎛⎭⎫255，－55. 5．(多选)(2022·盐城模拟)下列关于向量a ，b ，c 的运算，一定成立的有( ) A ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c B ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c ) C ．a ·b ≤|a |·|b | D ．|a －b |≤|a |＋|b | 答案 ACD解析 根据数量积的分配律可知A 正确；选项B 中，左边为c 的共线向量，右边为a 的共线向量，故B 不正确； 根据数量积的定义，可知a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉≤|a |·|b |，故C 正确；|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |·cos 〈a ，b 〉≤|a |2＋|b |2＋2|a ||b |＝(|a |＋|b |)2， 故|a －b |≤|a |＋|b |，故D 正确．6．(多选)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(m －2，－n )，其中m ，n 均为正数，且(a －b )∥c ，则下列说法正确的是( ) A ．a 与b 的夹角为钝角 B ．向量a 在b 上的投影向量为22b C ．2m ＋n ＝4 D ．mn 的最大值为2 答案 CD解析 对于A ，向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)， 则a·b ＝2－1＝1>0， 又a ，b 不共线，所以a ，b 的夹角为锐角，故A 错误； 对于B ，向量a 在b 上的投影向量为 a·b |b |·b |b |＝12b ，B 错误； 对于C ，a －b ＝(1,2)，若(a －b )∥c ，则－n ＝2(m －2)，变形可得2m ＋n ＝4，C 正确； 对于D ，由2m ＋n ＝4，且m ，n 均为正数，得mn ＝12(2m ·n )≤12⎝⎛⎭⎫2m ＋n 22＝2，当且仅当m ＝1，n ＝2时，等号成立，即mn 的最大值为2，D 正确．7．(2021·全国甲卷)已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,0)，c ＝a ＋k b .若a ⊥c ，则k ＝________. 答案 －103解析 c ＝(3,1)＋(k ,0)＝(3＋k ,1)，a ·c ＝3(3＋k )＋1×1＝10＋3k ＝0，得k ＝－103.8．(2020·全国Ⅰ)设a ，b 为单位向量，且|a ＋b |＝1，则|a －b |＝________. 答案3解析 将|a ＋b |＝1两边平方，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝1. ∵a 2＝b 2＝1，∴1＋2a ·b ＋1＝1，即2a ·b ＝－1. ∴|a －b |＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2 ＝1－(－1)＋1＝ 3.9．(2022·长沙模拟)在△ABC 中，BC 的中点为D ，设向量AB →＝a ，AC →＝b . (1)用a ，b 表示向量AD →；(2)若向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，〈a ，b 〉＝60°，求AB →·AD →的值． 解 (1)AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ， 所以AD →＝12a ＋12b .(2)AB →·AD →＝a ·⎝⎛⎭⎫12a ＋12b ＝12a 2＋12a·b ＝12×32＋12×3×2×cos 60°＝6， 所以AB →·AD →＝6.10．(2022·湛江模拟)已知向量m ＝(3sin x ，cos x －1)，n ＝(cos x ，cos x ＋1)，若f (x )＝m·n . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在Rt △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若∠A ＝90°，f (C )＝0，c ＝3，CD 为∠BCA 的角平分线，E 为CD 的中点，求BE 的长． 解 (1)f (x )＝m·n ＝3sin x ·cos x ＋cos 2x －1 ＝32sin 2x ＋12cos 2x －12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－12. 令2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )， 则x ∈⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． 所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)f (C )＝sin ⎝⎛⎭⎫2C ＋π6－12＝0， sin ⎝⎛⎭⎫2C ＋π6＝12，又C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以C ＝π3.在△ACD 中，CD ＝233，在△BCE 中， BE ＝22＋⎝⎛⎭⎫332－2×2×33×32＝213.11．(2022·黄冈质检)圆内接四边形ABCD 中，AD ＝2，CD ＝4，BD 是圆的直径，则AC →·BD →等于( ) A ．12 B ．－12 C ．20 D ．－20答案 B解析 如图所示，由题知∠BAD ＝∠BCD ＝90°，AD ＝2，CD ＝4，∴AC →·BD →＝(AD →＋DC →)·BD → ＝AD →·BD →＋DC →·BD →＝|AD →||BD →|cos ∠BDA －|DC →||BD →|cos ∠BDC ＝|AD →|2－|DC →|2＝4－16＝－12.12．在△ABC 中，已知⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．三边均不相等的三角形 答案 A解析 AB →|AB →|，AC →|AC →|分别为与AB →，AC →方向相同的单位向量，由平行四边形法则可知向量AB →|AB →|＋AC →|AC →|所在的直线为∠BAC 的平分线． 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ， 所以AB ＝AC .又AB →|AB →|·AC →|AC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →|AB →|⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC →|AC →|·cos ∠BAC＝12， 所以cos ∠BAC ＝12，∠BAC ＝60°.所以△ABC 为等边三角形．13.(2022·潍坊模拟)如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F 1，F 2，且F 1，F 2与水平夹角均为45°，|F 1|＝|F 2|＝10 2 N ，则物体的重力大小为________ N.答案 20解析 如图所示，∵|F 1|＝|F 2|＝10 2 N ， ∴|F 1＋F 2|＝102×2＝20 N ， ∴物体的重力大小为20 N.14．(2021·天津)在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE ⊥AB 且交AB 于点E ，DF ∥AB 且交AC 于点F ，则|2BE →＋DF →|的值为________；(DE →＋DF →)·DA →的最小值为________． 答案 11120解析 设BE ＝x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12， ∵△ABC 为边长为1的等边三角形，DE ⊥AB ， ∴∠BDE ＝30°，BD ＝2x ，DE ＝3x ， DC ＝1－2x ，∵DF ∥AB ，∴△DFC 为边长为1－2x 的等边三角形，DE ⊥DF ，∴(2BE →＋DF →)2＝4BE →2＋4BE →·DF →＋DF →2＝4x 2＋4x (1－2x )×cos 0°＋(1－2x )2＝1，∴|2BE →＋DF →|＝1，∵(DE →＋DF →)·DA →＝(DE →＋DF →)·(DE →＋EA →)＝DE →2＋DF →·EA →＝(3x )2＋(1－2x )×(1－x )＝5x 2－3x ＋1＝5⎝⎛⎭⎫x －3102＋1120， ∴当x ＝310时，(DE →＋DF →)·DA →的最小值为1120.15．(多选)定义一种向量运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·b ，当a ，b 不共线时，|a －b |，当a ，b 共线时(a ，b 是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a ，b ，c ，e ，给出下列结论，正确的是( ) A ．a ⊗b ＝b ⊗aB ．λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b (λ∈R )C ．(a ＋b )⊗c ＝a ⊗c ＋b ⊗cD ．若e 是单位向量，则|a ⊗e |≤|a |＋1 答案 AD解析 当a ，b 共线时，a ⊗b ＝|a －b |＝|b －a |＝b ⊗a ，当a ，b 不共线时，a ⊗b ＝a ·b ＝b ·a ＝b ⊗a ，故A 正确；当λ＝0，b ≠0时，λ(a ⊗b )＝0，(λa )⊗b ＝|0－b |≠0，故B 错误；当a ＋b 与c 共线时，则存在a ，b 与c 不共线，(a ＋b )⊗c ＝|a ＋b －c |，a ⊗c ＋b ⊗c ＝a ·c ＋b ·c ，显然|a ＋b －c |≠a ·c ＋b ·c ，故C 错误；当e 与a 不共线时，|a ⊗e |＝|a ·e |<|a |·|e |<|a |＋1，当e 与a 共线时，设a ＝u e ，u ∈R ，|a ⊗e |＝|a －e |＝|u e －e |＝|u －1|≤|u |＋1，故D 正确．16．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝ (cos B ，cos A )，m ·n ＝sin 2C . (1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求c . 解 (1)m ·n ＝sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin(A ＋B )，在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ,0<C <π， 所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以m·n ＝sin C ， 又m·n ＝sin 2C ，所以sin 2C ＝sin C ，cos C ＝12，又因为C ∈(0，π)，故C ＝π3.(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列， 可得2sin C ＝sin A ＋sin B ， 由正弦定理得2c ＝a ＋b . 因为CA →·(AB →－AC →)＝18， 所以CA →·CB →＝18， 即ab cos C ＝18，ab ＝36. 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ， 所以c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36， 所以c ＝6.。
平面向量的数量积与应用
平面向量的数量积与应用平面向量的数量积是向量运算中的一种重要概念，可以帮助我们理解和解决许多与向量相关的问题。
本文将介绍平面向量的数量积的定义和性质，并探讨其在几何和物理中的应用。
1. 数量积的定义平面向量的数量积又称为点积或内积，用符号"·"表示。
对于平面上任意两个向量A和B，其数量积的定义如下：A·B = |A||B|cosθ其中，|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ为A与B之间的夹角。
2. 数量积的性质（1）交换律：A·B = B·A（2）分配律：(A + B)·C = A·C + B·C（3）常数乘法：(kA)·B = k(A·B)，其中k为实数（4）数量积与向量的垂直关系：A·B = 0 当且仅当A与B垂直3. 应用一：向量的夹角与正交投影通过数量积的定义，我们可以得到向量A与B之间的夹角公式：cosθ = A·B / (|A||B|)这个公式在几何中的应用非常广泛，其中一个重要的应用就是求解向量的正交投影。
给定向量A和B，向量B在A上的正交投影向量的长度可以利用数量积公式求得：projA(B) = (B·A / |A|^2) * AprojA(B)表示向量B在A上的正交投影向量。
4. 应用二：向量的工作与功率在物理学中，向量的数量积有许多重要应用，其中之一是描述力的方向与物体位移方向的关系。
当力F作用于物体上时，通过点积可以得到该力对物体作用的工作W：W = F·d其中，d表示物体位移的向量。
如果力与位移方向相同，则工作为正值；如果力与位移方向相反，则工作为负值；如果力与位移方向垂直，则工作为零。
同时，功率P也可以利用数量积表示：P = F·v其中，v表示物体的速度向量。
5. 应用三：向量的投影与图形的面积利用数量积，我们还可以求解平面上某个凸多边形的面积。
平面向量的数量积与向量积的应用
平面向量的数量积与向量积的应用简介：平面向量是解决平面几何问题的重要工具之一。
其数量积和向量积是平面向量运算中常用的两种运算方式。
本文将探讨平面向量的数量积和向量积在几何问题中的应用。
一、平面向量的数量积平面向量的数量积，又称为点积或内积，表示两个向量之间的夹角关系。
其计算公式为：A ·B = |A| × |B| × cosθ其中，A和B为两个平面向量，|A|和|B|分别表示A和B的模长，θ表示A和B的夹角。
应用一：空间点的投影平面向量的数量积可以应用于求空间点在某个向量上的投影。
设空间点P(x, y, z)在向量A(a, b, c)上的投影为点Q，利用数量积的定义可以得到：PQ = OP · u其中，OP表示向量OP的数量积，u表示向量A的单位向量。
应用二：判断向量正交与共线根据平面向量的数量积，我们可以判断两个向量是否正交或共线。
若两个向量的数量积为0，则它们垂直或正交；若两个向量的数量积等于它们的模长乘积，则它们共线。
应用三：求角的余弦值在解决几何问题时，常常需要求夹角的余弦值。
利用平面向量的数量积可以得到两个向量夹角的余弦值。
根据数量积的定义，可以求出两个向量的模长并代入计算公式中，进而得到夹角的余弦值。
二、平面向量的向量积平面向量的向量积，又称为叉积或外积，表示两个向量之间的叉乘关系。
其计算公式为：A ×B = |A| × |B| × sinθ × n其中，A和B为两个平面向量，|A|和|B|分别表示A和B的模长，θ表示A和B的夹角，n为法向量，其方向满足右手法则。
应用一：求平行四边形面积利用平面向量的向量积，可以求解平行四边形的面积。
设平行四边形的两条边向量分别为A和B，根据向量积的定义可以得到平行四边形的面积为：S = |A × B|应用二：判断三角形形状平面向量的向量积可以用于判断三角形的形状。
高中数学教学备课教案平面向量的数量积与几何应用
高中数学教学备课教案平面向量的数量积与几何应用高中数学教学备课教案平面向量的数量积与几何应用一、引言在高中数学的学习中，平面向量是一个重要的概念。
它不仅可以用来描述实际问题中的物理量，还可以应用于解决几何问题。
本教案将围绕平面向量的数量积展开，介绍数量积的定义、性质以及在几何中的应用。
二、数量积的定义与性质1. 数量积的定义数量积又称为点积或内积，是两个向量之间的一种运算。
给定两个向量a和b，数量积的定义为：a·b = |a|·|b|·cosθ，其中|a|表示向量a的长度，|b|表示向量b的长度，θ表示两个向量的夹角。
2. 数量积的计算计算数量积的方法有两种：几何方法和代数方法。
（1）几何方法：通过绘制向量图形，利用三角函数的性质来计算。
（2）代数方法：利用向量的分量来计算数量积。
设向量a的分量为(a₁, a₂)，向量b的分量为(b₁, b₂)，则a·b = a₁b₁ + a₂b₂。
3. 数量积的性质数量积具有以下性质：（1）交换律：a·b = b·a（2）分配律：(a+b)·c = a·c + b·c（3）数量积为0的条件：若a·b = 0，则a与b垂直。
三、数量积的几何应用1. 平面向量的夹角利用数量积的定义，可以得到两个向量的夹角的余弦值，从而求出夹角的大小。
根据夹角的余弦值的范围来判断向量的方向关系，如锐角、直角、钝角等。
2. 平面向量的共线与垂直利用数量积的性质，我们可以判断两个向量是否共线、垂直。
若a·b = |a|·|b|，则向量a与向量b共线；若a·b = 0，则向量a与向量b垂直。
3. 平面向量的投影给定向量a和向量b，利用数量积可以计算向量a在向量b上的投影的大小。
投影可以理解为一个向量在另一个向量方向上的投影长度，用于解决实际问题中的投影计算。
4. 平面向量的面积利用数量积的性质，我们可以计算平行四边形的面积。
初中数学教案平面向量的数量积与应用
初中数学教案平面向量的数量积与应用初中数学教案：平面向量的数量积与应用引言：数学中的向量是一种常见的概念，它可以表示空间中的方向和大小。
平面向量作为数学中重要的一部分，其数量积及应用也就成为初中数学学习的重点之一。
本文将围绕平面向量的数量积及其应用展开讨论。
一、平面向量的数量积1.1 定义平面向量的数量积又称点乘，表示为a∙b，是向量a与向量b的乘积，它的结果是一个标量。
数量积的计算公式为：a∙b = |a| |b| cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模，θ表示夹角。
1.2 性质（1）交换律：a∙b = b∙a（2）分配律：(a+b)∙c = a∙c + b∙c（3）数量积与夹角的关系：a∙b = |a| |b| cosθ1.3 计算方法（1）向量坐标法：设向量a的坐标为(x1, y1)，向量b的坐标为(x2, y2)，则a∙b = x1x2 + y1y2（2）向量模长法：设向量a的模为|a|，向量b的模为|b|，夹角为θ，则a∙b = |a| |b| cosθ二、平面向量的数量积的几何应用2.1 判断垂直关系若两个向量的数量积为0，则它们垂直。
具体计算方法是，设向量a的坐标为(x1, y1)，向量b的坐标为(x2, y2)，若x1x2 + y1y2 = 0，则向量a与向量b垂直。
2.2 判断平行关系若两个向量的夹角为0°或180°，则它们平行。
具体计算方法是，设向量a的坐标为(x1, y1)，向量b的坐标为(x2, y2)，若x1/x2 = y1/y2，则向量a与向量b平行。
2.3 计算夹角已知向量a和向量b的坐标，可以通过数量积的计算公式a∙b = |a||b| cosθ，求得夹角θ。
然后可以利用反余弦函数计算出具体的夹角值。
三、平面向量的数量积的物理应用3.1 力的合成与分解在力学中，力可以通过向量来表示。
当两个力作用于同一物体上时，可以利用数量积来进行力的合成与分解。
(整理)平面向量的数量积与应用
【本讲教育信息】一、教学容：平面向量的数量积与应用二、学习目标1、掌握平面向量的数量积与其性质和运算率，掌握两向量夹角与两向量垂直的充要条件和向量数量积的简单运用。
2、平面向量的数量积与其几何意义，向量垂直的充要条件。
利用平面向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题。
三、知识要点（一）主要知识：（1）平面向量的数量积的定义1）向量的夹角：已知两个非零向量，过O点作，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量的夹角。
当且仅当两个非零向量同方向时，θ=0°，当且仅当反方向时，θ=180°，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。
2）垂直；如果的夹角为90°则称垂直，记作。
3）的数量积：两个非零向量，它们的夹角为θ，则叫做的数量积（或积），记作，即=规定=0 非零向量当且仅当时，θ=90°，这时=0。
4）在方向上的投影：（注意是射影）所以，的几何意义：等于的长度与在方向上的投影的乘积。
（2）平面向量数量积的性质设是两个非零向量，是单位向量，于是有：①②③当同向时，；当反向时，，特别地，。
④⑤（3）平面向量数量积的运算律①交换律成立：②对实数的结合律成立：③分配律成立：特别注意：（1）结合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=0或=0④但是乘法公式成立：；；等等。
（4）平面向量数量积的坐标表示1）若=（）,=（）则=2）若=（x,y）,则||=.=x2+y2,3）若A（）,B（）,则4）若=（）,=（）则（）5）若=（）,=（）则（二）主要方法：1、注意向量夹角的概念和两向量夹角的围；2、垂直的充要条件的应用；3、当角为锐角或钝角，求参数的围时注意转化的等价性；4、距离，角和垂直可以转化到向量的数量积问题上来解决．5、特别提示：数量积不满足结合律。
【典型例题】例1、已知两单位向量与的夹角为120°，若，试求与的夹角。
平面向量的数量积与向量积的应用
平面向量的数量积与向量积的应用一、引言平面向量是解决几何问题中常用的工具之一，其中数量积和向量积是平面向量的两种重要运算。
本文将重点探讨平面向量的数量积和向量积的应用。
二、数量积的应用数量积又称为点积或内积，其运算结果是一个数值。
下面将介绍数量积在平面向量的几个应用方面。
1. 计算两向量夹角数量积可以通过余弦函数的定义，计算两个向量的夹角。
设有两向量A、B，它们的数量积为AB。
根据数量积的定义，有AB =|A||B|cosθ，其中θ为A与B的夹角。
通过这个关系式，可以计算出任意两个向量的夹角，而不需要通过求解三角函数。
2. 判断两向量的垂直与平行关系若两个非零向量A、B的数量积为0，即AB = 0，则A与B垂直。
这是因为根据数量积的定义，若θ为0°或180°，则cosθ为0，从而使得AB = 0。
同样，若AB ≠ 0，则可以判断A与B不垂直。
3. 计算向量在某一方向上的投影长度向量的投影长度是向量在某一方向上的长度，可以通过数量积来计算。
设向量A在向量B方向上的投影长度为h，则h = |A|cosθ，其中θ为A与B的夹角。
通过这个公式可以计算出向量在某一方向上的投影长度，进而进行相关的几何问题求解。
三、向量积的应用向量积又称为叉积或外积，它的运算结果是一个向量。
下面将介绍向量积在平面向量的几个应用方面。
1. 求解平行四边形面积若平行四边形的两条边分别为向量A、B，那么平行四边形的面积可以通过向量积的模长来求解。
设向量积A×B的模长为S，则S即为平行四边形的面积。
这是因为向量积的模长表示向量所张成的面积。
2. 判断向量的方向向量积可以根据右手定则来判断新向量的方向。
设有两个向量A、B，它们的向量积为C（C = A×B），则以右手四指从A旋转到B的方向，拇指所指的方向即为C的方向。
3. 计算平面向量的面积若平面上三个非零向量A、B、C的起点相同，可以通过向量积来计算三角形ABC所在平面的面积。
(整理)导学案027平面向量的数量积与平面向量的应用举例.
平面向量的数量积与平面向量的应用举例考纲要求1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4.能运用数量积表示两个向量的夹角，5.会用向量方法解决简单的平面几何问题．6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.考情分析1.平面向量数量积的运算是高考考查的重点，应用数量积求平面向量的夹角、模及判断向量的垂直关系是难点．2.以向量为载体考查三角函数及解析几何问题是高考考查的重点．3.多以选择题、填空题的形式出现，难度适中，但灵活多变.教学过程基础梳理一、两个向量的夹角1．定义已知两个非零向量a和b，作 OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．2．范围向量夹角θ的范围是，a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝ .3．向量垂直如果向量a与b的夹角是，则a与b垂直，记作.二、平面向量数量积1．a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝ .规定0·a＝0.当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝ .2．a·b的几何意义： a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影的乘积．三、向量数量积的性质1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝．2．a⊥b⇒ .3．a·a＝，|a|＝ .4．cos〈a，b〉＝ .5．|a·b| |a||b|.四、数量积的运算律1．交换律a·b＝.2．分配律(a＋b)·c＝.3．对λ∈R，λ(a·b)＝＝．五、数量积的坐标运算设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则1．a·b＝.2．a⊥b⇔.3．|a|＝ .4．cos〈a，b〉＝双基自测1．已知向量a，b和实数λ，下列选项中错误的是 ( ) A．|a|＝a·a B．|a·b|＝|a|·|b|C．λ(a·b)＝λa·b D．|a·b|≤|a|·|b|2．(2011·辽宁高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k ＝ ( )A．－12 B．－6C．6 D．123．已知|a|＝4，|b|＝3，a与b的夹角为120°，则b在a方向上的投影为( )A．2 B.3 2C．－2 D．－3 24．OA＝(－1,2)，OB＝(3，m)，OA⊥AB，则实数m＝________.5．(2011·安徽高考)已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．典例分析考点一、平面向量数量积的运算[例1] (2010·广东高考)若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x)满足条件(8a －b)·c ＝30，则x ＝ ( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3[例2] (2011·江西高考)已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝________.变式1．(2012·金华联考)在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝2，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，则 AE.BD＝________.向量的数量积的运算律类似于多项式乘法法则，但并不是所有乘法法则都可以推广到向量数量积的运算，如(a ·b)c ≠a(b ·c).考点二、平面向量的垂直与夹角[例3] (2011·湖北高考)若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于 ( )A ．－π4B.π6C.π4D.3π4变式2.若本例条件不变，求λ为何值时，λa ＋b 和a －b 的夹角为90°？[例4] (2011·新课标全国卷)已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量ka －b 垂直，则k ＝________.变式3(2012·佛山质检)已知向量a ＝(1,1)，2a ＋b ＝(4,2)，则向量a ，b 的夹角为 ( )A.π6B.π4C.π3D.π21．求两非零向量的夹角时要注意 (1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角． 2．当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角，需求得a·b 及|a |，|b |或得出它们的关系.考点三、平面向量的模[例5] (2011·天津高考)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰上的动点，则|PA ＋3PB|的最小值为________．变式3．(2012·江西重点盟校联考)已知向量a ＝(2,1)，a·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝ ( )A. 5B.10 C ．5D ．25变式4．(2012·青田质检)已知向量a ＝(sin x,1)，b ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x ，－12.(1)当a ⊥b 时，求|a ＋b |的值；(2)求函数f (x )＝a ·(b －a )的最小正周期．利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法(1)|a|2＝a2＝a·a；(2)|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(3)若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.一个条件两个向量垂直的充要条件：a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.两个探究(1)若a·b＞0，能否说明a和b的夹角为锐角？(2)若a·b＜0，能否说明a和b的夹角为钝角？三个防范(1)若a，b，c是实数，则ab＝ac⇒b＝c(a≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a，b，c若满足a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．(2)数量积运算不适合结合律，即(a·b)c≠a(b·c)，这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，a(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(a·b)c与a(b·c)不一定相等．(3)向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，AB→与BC→的夹角应为120°，而不是60°.本节检测1．(2011·广东高考)若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( )A．4 B．3C．2 D．02．已知m＝(－5,3)，n＝(－1,2)，当(λm＋n)⊥(2n＋m)时，实数λ的值为( )A.58B．－316C．－38D.383．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大、小值分别是( ) A．42，0 B．4,2 2C．16,0 D．4,04．(2012·永州模拟)已知平面上三点A、B、C满足|AB|＝6，|BC|＝8，|CA|＝10，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值等于( )A．100 B．96C．－100 D．－965．(2012·杭州第二次质检)已知非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝233|a|，则a＋b与a－b的夹角为( ) A．30° B．60°C．120° D．150°6．(2011·江苏高考)已知e1、e2是夹角为2π3的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若a·b＝0，则实数k的值为________．7．(2012·烟台调研)在等腰直角三角形ABC中，D是斜边BC的中点，如果AB的长为2，则(AB＋AC)·AD的值为________．自我反思。
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学案27 平面向量的数量积及其应用导学目标： 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．自主梳理1．向量数量积的定义 (1)向量数量积的定义：____________________________________________，其中|a |cos 〈a ，b 〉叫做向量a 在b 方向上的投影．(2)向量数量积的性质：①如果e 是单位向量，则a·e ＝e·a ＝__________________； ②非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔________________；③a·a ＝________________或|a |＝________________； ④cos 〈a ，b 〉＝________； ⑤|a·b |____|a||b |. 2．向量数量积的运算律(1)交换律：a·b ＝________；(2)分配律：(a ＋b )·c ＝________________；(3)数乘向量结合律：(λa )·b ＝________________. 3．向量数量积的坐标运算与度量公式(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a·b ＝________________________；(2)设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ⊥b ⇔________________________； (3)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则|a |＝________________，cos 〈a ，b 〉＝____________________________.(4)若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则|AB →＝________________________，所以|AB →|＝_____________________.自我检测1.（2010·湖南）在Rt △ABC 中，∠C =90°,AC =4,则AB →·AC →等于 ( ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．162．(2010·重庆)已知向量a ，b 满足a·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝ ( )A ．0B ．2 2C ．4D ．83．(2011·福州月考)已知a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，(a ＋λb )⊥b ，则λ等于 ( )A ．－2B ．2 C.12 D ．－124.平面上有三个点A （-2，y ），B （0，2y ），C （x ，y ），若A B →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为________________．5.（2009·天津）若等边△ABC 的边长为3，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB→＝________.探究点一 向量的模及夹角问题例1 (2011·马鞍山月考)已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |；（3）若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积．变式迁移1 (1)已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是 ( )A ．1B ．2C. 2D.22(2)已知i ，j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，实数λ的取值范围为________．探究点二 两向量的平行与垂直问题例2 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且k a ＋b 的长度是a －k b 的长度的3倍(k >0)．(1)求证：a ＋b 与a －b 垂直； (2)用k 表示a ·b ；(3)求a ·b 的最小值以及此时a 与b 的夹角θ.变式迁移2 (2009·江苏)设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)．(1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .探究点三 向量的数量积在三角函数中的应用例3 已知向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 32x ，sin 32x ， b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4. (1)求a·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a·b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值．变式迁移3 （2010·四川）已知△ABC 的面积S =12AB →·AC →·＝3，且cos B ＝35，求cos C .1．一些常见的错误结论：(1)若|a |＝|b |，则a ＝b ；(2)若a 2＝b 2，则a ＝b ；(3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；(4)若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；(5)|a·b |＝|a |·|b |；(6)(a·b )c ＝a (b·c )；(7)若a·b ＝a·c ，则b ＝c .以上结论都是错误的，应用时要注意．2．平面向量的坐标表示与向量表示的比较：向量表示 坐标表示向量a 的模 |a |＝a·a ＝a 2 |a |＝x 21＋y 21 a 与b 的数量积 a·b ＝|a||b |cos θ a·b ＝x 1x 2＋y 1y2 a 与b 共线的充要条件 A∥b (b ≠0)⇔a ＝λb a∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0 非零向量a ，b 垂直的充要条件 a ⊥b ⇔a·b ＝0 a⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0向量a 与b 的夹角 cos θ＝a·b|a||b| cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22（1）要证AB =CD ，可转化证明AB →2＝CD →2或|AB →|＝|CD →|.（2）要证两线段AB ∥CD ，只要证存在唯一实数 ≠0，使等式AB →＝λCD →成立即可．（3）要证两线段AB ⊥CD ，只需证AB →·CD →＝0.(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2010·重庆)若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a·b ＝0，则实数m 的值为 ( )A ．－32 B.32C ．2D ．62．已知非零向量a ，b ，若|a |＝|b |＝1，且a⊥b ，又知(2a ＋3b )⊥(k a －4b )，则实数k 的值为 ( )A ．－6B ．－3C ．3D ．63.已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则∠BAC 等于 ( )A ．30°B ．－150°C ．150°D ．30°或150°4．(2010·湖南)若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为 ( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°5．已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 上的投影为( )A.135B.655C.65 D.136．(2010·湖南长沙一中月考)设a ＝(cos 2α，sin α)，b ＝(1，2sin α－1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，若a·b ＝25，则sin α＝________. 7．(2010·广东金山中学高三第二次月考)若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为________．8．已知向量m ＝(1,1)，向量n 与向量m 夹角为3π4，且m·n ＝－1，则向量n ＝__________________.三、解答题(共38分)9.(12分)已知OA →＝(2,5)，OB →＝(3,1)，OC →＝(6,3)，在线段OC 上是否存在点M ，使MA →⊥MB →，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10．(12分)(2011·杭州调研)已知向量a ＝(cos(－θ)，sin(－θ))，b ＝(cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ)． (1)求证：a ⊥b ；(2)若存在不等于0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2＋3)b ，y ＝－k a ＋t b ，满足x ⊥y ，试求此时k ＋t 2t的最小值．11．(14分)(2011·济南模拟)已知a ＝(1,2sin x )，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，1，函数f (x )＝a·b (x ∈R )．(1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)若f (x )＝85，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的值．答案 自主梳理1．(1)a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉 (2)①|a |cos 〈a ，e 〉 ②a·b ＝0 ③|a |2a·a④a·b|a||b |⑤≤ 2.(1)b·a(2)a·c ＋b·c (3)λ(a ·b ) 3.(1)a 1b 1＋a 2b 2 (2)a 1b 1＋a 2b 2＝0 (3)a 21＋a 22a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22(4)(x 2－x 1，y 2－y 1)x 2－x 12＋y 2－y 12自我检测2．B [|2a －b |＝2a －b 2＝4a 2－4a·b ＋b 2＝8＝2 2.]3．D [由(a ＋λb )·b ＝0得a·b ＋λ|b |2＝0，∴1＋2λ＝0，∴λ＝－12.]4．y 2＝8x (x ≠0)解析 由题意得AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－y 2，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2，又AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即⎝⎛⎭⎪⎫2，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2＝0，化简得y 2＝8x (x ≠0)．5．－2解析 合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设C (0,0)，A (23，0)，B (3，3)，这样利用向量关系式，求得MA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，所以MA →·MB→＝－2.课堂活动区例1 解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，∴4|a |2－4a·b －3|b |2＝61.又|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a·b －27＝61， ∴a·b ＝－6.∴cos θ＝a·b |a||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a ＋b |＝a ＋b 2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝16＋2×－6＋9＝13.(3)∵AB →与BC →的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC＝12×4×3×32＝3 3. 变式迁移1 (1)C [∵|a |＝|b |＝1，a·b ＝0，展开(a －c )·(b －c )＝0⇒|c |2＝c·(a ＋b )＝|c|·|a＋b|cos θ，∴|c|＝|a＋b|cos θ＝2cos θ，∴|c|的最大值是 2.](2)λ<12且λ≠－2解析 ∵〈a ，b 〉∈(0，π2)，∴a ·b >0且a ·b 不同向．即|i |2－2λ|j |2>0，∴λ<12.当a ·b 同向时，由a ＝k b (k >0)得λ＝－2.∴λ<12且λ≠－2.例2 解题导引 1.非零向量a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.2．当向量a 与b 是非坐标形式时，要把a 、b 用已知的不共线的向量表示．但要注意运算技巧，有时把向量都用坐标表示，并不一定都能够简化运算，要因题而异．解 (1)由题意得，|a |＝|b |＝1，∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0， ∴a ＋b 与a －b 垂直．(2)|k a ＋b |2＝k 2a 2＋2k a ·b ＋b 2＝k 2＋2k a ·b ＋1，(3|a －k b |)2＝3(1＋k 2)－6k a ·b .由条件知，k 2＋2k a ·b ＋1＝3(1＋k 2)－6k a ·b ，从而有，a ·b ＝1＋k24k(k >0)．(3)由(2)知a ·b ＝1＋k 24k ＝14(k ＋1k )≥12，当k ＝1k时，等号成立，即k ＝±1.∵k >0，∴k ＝1.此时cos θ＝a ·b |a ||b |＝12，而θ∈[0，π]，∴θ＝π3.故a ·b 的最小值为12，此时θ＝π3.变式迁移2 (1)解 因为a 与b －2c 垂直， 所以a ·(b －2c )＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β ＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0. 因此tan(α＋β)＝2.(2)解 由b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，得|b ＋c |＝sin β＋cos β2＋4cos β－4sin β2＝17－15sin 2β≤4 2.又当β＝－π4时，等号成立，所以|b ＋c |的最大值为4 2.(3)证明 由tan αtan β＝16得4cos αsin β＝sin α4cos β，所以a ∥b .例3 解题导引 与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式，向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．解 (1)a·b ＝cos 32x cos x 2－sin 32x sin x2＝cos 2x ，|a ＋b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 32x ＋cos x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 32x －sin x 22＝2＋2cos 2x＝2|cos x|，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴cos x >0， ∴|a ＋b |＝2cos x .(2)f (x )＝cos 2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos x －122－32. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴12≤cos x ≤1， ∴当cos x ＝12时，f (x )取得最小值－32；当cos x ＝1时，f (x )取得最大值－1.变式迁移3 解 由题意，设△ABC 的角B 、C 的对边分别为b 、c ，则S ＝12bc sin A ＝12.AB →·AC →＝bc cos A ＝3>0，∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos A ＝3sin A .又sin 2A ＋cos 2A ＝1，∴sin A ＝1010，cos A ＝31010.由题意cos B ＝35，得sin B ＝45.∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝1010. ∴cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－1010. 课后练习区1．D [因为a·b ＝6－m ＝0，所以m ＝6.]2．D [由(2a ＋3b )·(k a －4b )＝0得2k －12＝0，∴k ＝6.]3．C [∵S △ABC ＝12|a ||b |sin ∠BAC ＝154，∴sin ∠BAC ＝12.又a·b <0，∴∠BAC 为钝角．∴∠BAC ＝150°.]4．C [由(2a ＋b )·b ＝0，得2a·b ＝－|b |2.cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝－12|b |2|b |2＝－12.∵〈a ，b 〉∈[0°，180°]，∴〈a ，b 〉＝120°.] 5．B [因为a·b ＝|a|·|b |·cos〈a ，b 〉， 所以，a 在b 上的投影为|a |·cos〈a ，b 〉 ＝a·b |b |＝21－842＋72＝1365＝655.] 6.35解析 ∵a·b ＝cos 2α＋2sin 2α－sin α＝25，∴1－2sin 2α＋2sin 2α－sin α＝25，∴sin α＝35.7．120°解析设a与b的夹角为θ，∵c＝a＋b，c⊥a，∴c·a＝0，即(a＋b)·a＝0.∴a2＋a·b＝0.又|a |＝1，|b |＝2，∴1＋2cos θ＝0.∴cos θ＝－12，θ∈[0°，180°]即θ＝120°. 8．(－1,0)或(0，－1)解析 设n ＝(x ，y )，由m·n ＝－1，有x ＋y ＝－1.①由m 与n 夹角为3π4， 有m·n ＝|m|·|n |cos 3π4， ∴|n |＝1，则x 2＋y 2＝1.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝－1，∴n ＝(－1,0)或n ＝(0，－1)．9．解 设存在点M ，且OM →＝λOC →＝(6λ，3λ) (0≤λ≤1)，MA →＝(2－6λ，5－3λ)，MB →＝(3－6λ，1－3λ)．…………………………………………(4分)∵MA →⊥MB →，∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，………………………………………………(8分)即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝13或λ＝1115. ∴M 点坐标为(2,1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫225，115. 故在线段OC 上存在点M ，使MA →⊥MB →，且点M 的坐标为(2,1)或(225，115)．………(12分) 10．(1)证明 ∵a·b ＝cos(－θ)·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋sin ()－θ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ ＝sin θcos θ－sin θcos θ＝0.∴a ⊥b .……………………………………………………(4分)(2)解 由x ⊥y 得，x·y ＝0，即[a ＋(t 2＋3)b ]·(－k a ＋t b )＝0，∴－k a 2＋(t 3＋3t )b 2＋[t －k (t 2＋3)]a·b ＝0，∴－k |a |2＋(t 3＋3t )|b |2＝0.………………………………………………………………(6分)又|a |2＝1，|b |2＝1，∴－k ＋t 3＋3t ＝0，∴k ＝t 3＋3t .…………………………………………………………(8分)∴k ＋t 2t ＝t 3＋t 2＋3t t＝t 2＋t ＋3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋114.……………………………………………………………………………(10分)故当t ＝－12时，k ＋t 2t 有最小值114.………………………………………………………(12分) 11．解 (1)f (x )＝a·b ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋2sin xπ6－2sin x sinπ6＋2sin x＝2cos x cos＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.…………………………………………………………(5分)由π2＋2k π≤x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π6＋2k π≤x ≤7π6＋2k π，k ∈Z . 所以f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋2k π，7π6＋2k π (k ∈Z )．……………………………………………………………(8分)(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3. 又因为2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝85， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝45，……………………………………………………………………(11分)即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝45. 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－1＝725.………………………………………………(14分)（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。