8.7雪花曲线与分形云解析

另一方面，使科学家们惊讶并欢迎的是，分形 几何为研究自然界中形形色色的复杂形状和结 构提供了十分简洁的工具，因而在天文、地学、 物理、化学、生物、医学、材料乃至语言学、 经济学等领域得到了十分广泛的应用。 从80年代中期开始，分形“热”了，成了科 学界叫得最响的名词，吸引了几乎所有领域科 学家和社会工作者的注意。有关分形出版了上 百部专著，在国际期刊上发表了几千篇专业论 文
分形初探
• 科克雪（瑞典，1904年）花曲线的作法 •
•第一步， • 先给出一个正三角形（记为P1，）； 然后把三角形的每一条边三等分，以居中 的一条线段为边向外作正三角形，并把居 中的线段去掉，这一操作称作迭代规则， 于是生成了一个有6个角12条边的对象 （记为P2）；
雪花曲Biblioteka Baidu的作法
• 第二步，在对象P2的基础上，将每条小边 三等分，然后以居中的一条线段为边向外 作正三角形，并把居中的线段去掉，又生 成一新对象（记为P3）；以后重复此操作， 如此一直进行下去，……，最后生成了一 个当时许多数学家认为是“怪物”的“雪 花曲线”。
分 形 世 界
• 分形是以无穷多的形状呈现出来的美妙物 体。欧内斯托•切萨罗（意大利科学家， 1859~1906）写过这样一段关于几何分形 即科克雪花曲线的话
分形的本质
• 这个曲线最使我注意的地方是任何部分都与整体 相似。要想尽可能完全地想像它，必须意识到这 个结构中的每一个小三角形包含着以一个适当比 例缩小的整体形状。这个形状包含每一小三角形 的缩小形式，后者又包含缩得更小的整体形状， 如此下去以至无穷……。就是这个在它所有无论 怎样小的部分都能保持的自相似性质，使这曲线 看上去如此奇妙。要是它在现实中出现，那就必 须把它完全除去才能摧毁它，因为否则的话，它 将会从它的三角形的深处重新不停地生长起来， 就像宇宙本身的生命一样。
什么是分形 ?
• 在数学上说，分形是一种形式，它 从一个对象——例如线段、点、三 角形——开始，重复应用一个规则 连续不断地改变直至无穷。这个规 则可以用一个数学公式或者用文字 来描述。 • 我们可以把分形当作不断生长的曲 线。要观察一个分性，你必须真的 看到它在运动中。它是连续不断地 发展着的。
蝴蝶之树
炫目的分形艺术作品
复杂的大自然与欧氏几何的局限性
• 人类生活的世界是一个极其复杂的世界，例如， 喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、复杂的 生命现象、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的地面 等等，都表现了客观世界丰富 多彩的现象。 • 传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究 对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的世 界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图 形相比，拥有完全不同层次的复杂性。 • 分形几何则提供了一种描述这种不规则复杂现象 中的秩序和结构的新方法。
分形艺术作品欣赏
数学家的模式，就像画家与诗人的一样，必须是 美的，数学概念同油彩或语言文字一样，必须非常 协调。美是第一性的，丑陋的数学在数学上不会有 永久的位置。 ——G.H.哈代 下面请大家欣赏一组神奇美丽的分形图 ，感悟 数学美
美丽的四季
春 • 夏
美丽的四季 （秋 ，冬 ）
雨季的丁香
傍晚
• 当我们观察一张分形图片或照片时，我们 看到的是它在某一瞬时的样子——它冻结 在成长过程中的一个特定阶段。实质上正 是这一成长或变化的思想把分形与自然界 戏剧性地联系了。因为在自然界中有什么 不是变化着的呢?甚至一块岩石在分子层次 上也是变化着的。分形可以被设计得对你 能想像出的几乎任何形状进行模拟。分形 不一定受制于仅仅一个规则、而可以是一 系列的规则和规定，它们形成制约它的总 规则。试着创造你自己的分形。选取一个 简单的对象，设计一个规则应用于其上。
雪花曲线的数学探究
• 一、雪花曲线的形的特点
• 从形的角度，粗略的看，“雪花曲线”是 一条封闭的连续的折线；不光滑（“到处 都长满了角”），当迭代次数增多时， “角”的个数增多，“角”越来越小，曲 线向外生长变得越来越慢等。
• 二、从数的角度，怎样精确刻画其特征？ 首先，应从哪些方面刻画？ • 确定研究突破点：可研究“雪花曲线”的 ①边长和边数；②“角”的个数；③周长 和面积 下面，我们就从边长、边数、周长 和面积等数量方面入手，来研究“雪花曲 线”的特性。
分形入门
• 在一个充满新奇的几何学世界. ，我们碰到 的将不再是欧几里得几何学的直线、圆、 长方体等简单规则的图形，而是海岸线、 云彩、花草树木等复杂的自然形体，它们 被称为分形（fractal）.这些形体，传统的 欧氏几何图形已无法对它们进行恰当的模 拟，遗憾地留下了一道道各学科的难题.
•分形几何学另辟蹊径，用新的观念， 从新的角度，为解决这些难题提出 了新的思路和方法，在许多领域获 得了意想不到的成功. •分形成为当代科学最有影响和感召 力的基本概念之一，分形几何学成 为探索复杂性的有效工具.
• 前面介绍的科赫雪花曲线: 若把初始元(或生 成元)E0“——”改为边长为1的等边三角形， 对它的三边都反复施以同样的变换，直至 无穷，最后所得图形称为科赫雪花曲线 （图10）. 它被用作晶莹剔透的雪花模型.
• 20世纪有四项发明、发现足以影响后世： 相对论、量子论、分形、混沌；其中，前 两项属于物理，后两项属于数学。 • 美国物理学家约翰· 惠勒（J.A.Wheeler） 说：“在过去，一个人如果不懂得‘熵’， 就不能说是科学上有教养；在将来，一个 人如果不熟悉分形，他就不能被认为是科 学上的文化人。”
英格兰的海岸线到底有多长？
• 美国数学家B， Mandelbrot曾出这样一个著名的 问题：英格兰的海岸线到底有多长？这个问题在 数学上可以理解为：用折线段拟合任意不规则的 连续曲线是否一定有效？这个问题的提出实际上 是对以欧氏几何为核心的传统几何的挑战，此外， 在湍流的研究、自然画面的描述等方面，人们发 现传统几何依然是无能为力的。人类认识领域的 开拓呼唤产生一种新的能够更好地描述自然图形 的几何学——分形几何学。