对离散傅里叶变换快速算法的经典讲解(非常易懂)
离散序列的傅里叶变换
离散序列的傅里叶变换离散序列的傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）是一种将离散序列从时域转换到频域的数学工具。
它在信号处理、图像处理、通信等领域扮演着重要角色。
本文将介绍离散序列的傅里叶变换的基本概念、性质以及在实际应用中的一些例子。
一、离散序列的傅里叶变换的基本概念离散序列的傅里叶变换是将一个离散序列转换为一系列复数的运算。
它的定义公式为：X(k) = Σx(n)e^(-j2πkn/N)其中，X(k)为频域上的复数序列，表示原始序列在频率为k的分量上的幅度和相位信息；x(n)为时域上的离散序列，表示原始序列在时间点n上的取值；N为序列的长度；e为自然对数的底数，j为虚数单位。
二、离散序列的傅里叶变换的性质离散序列的傅里叶变换具有一些重要的性质，包括线性性、平移性、对称性等。
1. 线性性：对于离散序列x(n)和y(n)，以及任意常数a和b，有DFT(ax(n) + by(n)) = aDFT(x(n)) + bDFT(y(n))。
2. 平移性：如果将离散序列x(n)平移m个单位，则其傅里叶变换为X(k)e^(-j2πkm/N)。
3. 对称性：如果离散序列x(n)是实数序列且长度为N，则其傅里叶变换满足X(k) = X(N-k)。
三、离散序列的傅里叶变换的应用举例离散序列的傅里叶变换在实际应用中有着广泛的应用。
以下是几个常见的例子：1. 信号处理：在音乐、语音、图像等信号处理领域，离散序列的傅里叶变换可以用来分析信号的频谱特性，包括频率成分、能量分布等。
通过傅里叶变换，我们可以将时域上的信号转换为频域上的信号，从而更好地理解信号的特征。
2. 图像处理：在图像处理中，离散序列的傅里叶变换可以用来进行图像的滤波、增强、压缩等操作。
通过将图像转换到频域上，我们可以对不同频率分量进行处理，从而实现对图像的各种操作。
3. 通信系统：在通信系统中，离散序列的傅里叶变换可以用来实现信号的调制、解调、滤波等功能。
第三章离散傅里叶变换及其快速计算方法(DFT、FFT)
X (e jw )
（2）Z 变换 -- 提供任意序列的 z 域表示。
n
x( n)e jnw
X (z)
n
x ( n) z n
这两种变换有两个共同特征：
（1）变换适合于无限长序列 （2）它们是连续变量 ω 或 z 的函数
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3
3.1 问题的提出：可计算性
X (z)
而对于
n
x ( n) z n
n
x ( n) z n
找不到衰减因子使它绝对可和（收敛）。为此，定义新函 数，其 Z 变换：
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15
DFS 定义：正变换
X ( z)
n
x ( n) z n ~ ( n ) z n x
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6
3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （3）
2. 周期连续时间信号：傅里叶级数 FS
~ (t ) x X (n 0 )
t T
时域周期频域离散
0
2 T
x(t)
~
n -
X(n 0 )e jn0t
时域连续函数造成频域是非周期的谱。 频域的离散对应时域是周期函数。
X (e jT )
T T
X (e jT )e jnT d
取样定理
n
x(nT )e jnT
1 X ( 0 ) T n
时域的离散化造成频域的周期延拓 时域的非周期对应于频域的连续
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8
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法-庄
图像识别
通过对图像进行DFT变换， 提取特征向量，可用于图 像的分类、识别和检索。
在频谱分析中的应用
频谱估计
通过DFT对信号进行频谱分析， 可以估计信号的频率分布和强度。
调制识别
利用DFT对接收信号进行频谱分析， 可以识别信号的调制方式和参数。
雷达目标识别
通过对雷达回波信号进行DFT变换， 可以提取目标特征，实现目标分类 和识别。
图像处理
在图像处理领域，DFT被广泛应用于图像频域分 析和变换编码等技术。庄算法等快速算法的应用 ，使得图像处理更加高效，为图像压缩、图像增 强等技术的发展提供了重要支撑。
科学计算
在科学计算领域，DFT被广泛应用于数值分析和 数值计算。庄算法等快速算法的出现，提高了科 学计算的精度和速度，为科学研究和工程设计提 供了更加可靠的数值分析方法。
PART 02
DFT的基本原理
离散傅里叶级数（DFS）
定义
离散傅里叶级数是周期为N的复数序 列x[n]，其可以通过三角函数的线性 组合来表示。
公式
X[k] = ∑_{n=0}^{N-1} x[n] * w^(kn) / sqrt(N)
离散傅里叶变换（DFT）的定义
定义
DFT是对于有限长序列x[n]的变换，将x[n]映射到频域X[k]。
对未来研究和应用的展望
算法优化
随着计算技术的发展，未来可以进一步优化庄算法等快速算法，提高计算效率和精度， 以满足更加复杂和大规模的信号处理、图像处理、通信系统和科学计算等应用需求。
应用拓展
随着数字化时代的到来，离散傅里叶变换及其快速算法在各个领域的应用前景将更加广 阔。未来可以进一步拓展其在人工智能、物联网、量子计算等领域的应用，推动相关技
信号与系统(第四章)-离散傅里叶变换与快速傅里叶变换
反转，并取主值区间序列
周期延拓
反转后
向右平移1位 向右平移3位
向右平移2位
于是，由
y
(n)
3
x(k
)h((n
k
))
4
G4
(n)
，得
k 0
y(0) 1114 13 02 8
y(1) 1 2 1114 03 7
y(2) 1312 11 04 6
y(3) 14 1312 01 9
➢ 线卷积与圆周卷积
• 线卷积的移位是平移，圆周卷积的移位是周期位 移。
• 线卷积不要求两序列长度一致。若 x(n)与h(n)的长度分别为M和N，则 y(n)=x(n)*h(n)的长度为M+N-1。 圆周卷积要求两序列长度一致，否则短序列须补 零，使两序列等长后，才可进行圆周卷积。
DFT ax1(n) bx2(n) aDFT x1(n) bDFT x2(n)
（4.9）
当序列x1(n)和x2(n)长度不一致时，则可通过将较 短序列补零，使两序列长度一致，此时，式(4.9)成立。
2、圆周位移特性 圆周时移：圆周时移指长度为N的序列x(n)，以N 为周期做周期延拓生成xp(n)，位移m位后，得序 列xp(n-m)，在此基础上取其主值区间上序列。
于是
x(n)
x(t)
t nTs
k
X e jk1nTs k
X e X e
j
2 T1
knTs
k
j 2 nk N
k
（4.3）
k
k
式（4.3）两边同乘
e
j 2 N
nm
，再取合式
N 1
，得
n0
离散傅里叶变换及其快速算法
离散傅里叶变换及其快速算法离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是一种将离散信号转换为频域表示的数学工具。
它在信号处理、图像处理、通信等领域有广泛的应用。
而快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种能够高效计算DFT的算法，大大减少了计算量。
首先，我们来看一下DFT的原理。
给定一个有限长度的离散信号序列x(n)，DFT将其转换为频谱X(k)，其中k为频率索引，取值范围为0到N-1，N为序列的长度。
DFT的定义公式如下：X(k) = Σ x(n) * exp(-j * 2π * nk / N)其中，exp为自然指数函数，j为虚数单位。
DFT将信号分解为了N个复数的和，这些复数代表了不同频率分量在信号中的贡献。
然而，直接计算DFT的时间复杂度非常高，为O(N^2)。
为了提高计算效率，Cooley和Tukey于1965年提出了FFT算法。
FFT算法基于以下性质：若N为2的整数次幂，则DFT可以被分解为两个较小长度的DFT的线性组合。
具体来说，将N个点的DFT拆分为长度为N/2的两个DFT，然后再对这两个子序列进行DFT，最后将两个子序列的结果组合起来。
这个过程可以递归地进行，直到序列长度为1，即可得到最终的DFT结果。
FFT算法的时间复杂度为O(NlogN)，远远小于直接计算DFT的复杂度。
这使得FFT成为了处理大规模数据的首选方法之一、此外，FFT还有其他一些优点，如可并行化计算、对称性质等。
FFT算法可以采用不同的实现方式，最著名的是基于蝶形运算的Cooley-Tukey算法。
这种实现方式将FFT过程分为了两个阶段：置换阶段和蝶形运算阶段。
置换阶段通过将信号重新排序，将原始序列分为奇偶两个子序列，并计算每个子序列的DFT。
这个过程可以递归地应用于子序列，直到长度为1蝶形运算阶段是FFT算法的核心部分。
蝶形运算是指将两个频域上的复数进行运算，得到新的复数。
离散序列的傅里叶(DFT)
离散序列的傅里叶变换及其快速算法（DFT ）单位冲激函数的傅里叶变换：-=-(e )=[n]jw jwnn H h e ∝∝∑ 这是离散傅里叶变换，它是一个以2π为周期的函数。
也可以看成是周期信号(e )jw H 在频域内展开的傅里叶级数，其中h[n]是傅里叶系数。
由Z 变换的定义可得：(e )jw H =H(z),当z=e jw 时。
也就是说傅里叶变换等于仅在单位圆上取值的Z 变换。
信号在时域的能量与在频域的能量是相等的，因为是同一个信号，只是用不同的角度描述。
DTFT 是离散时间序列的傅里叶变换，其时域是离散的，谱是周期的，但还是连续的，仍然不能用计算机处理，因为计算机要求时域和频域都是离散的，实际上要求时域和频域都既是离散的，也是周期的。
时域的连续非周期信号对应频域的连续非周期谱（FT ）时域的连续周期信号对应频域的离散谱。
（FST ）时域是离散的对应频域是周期谱。
（DTFT ）时域离散周期对应频域离散周期。
（DFT ）DFT 中，变换的两边都是离散的，从而才是真正能用计算机来处理的数字信号变换对。
两边都是周期的，处理可以在一个周期内进行。
有两层含义：一是所做的处理是有限的，而是一个周期可以包含全部信息。
信号的离散周期化：工程中的实际信号是连续非周期的，为了进行DFT ，就必须将其离散周期化。
离散化就是采样的过程；周期化分为两种：有限长序列，长度为N ，则可以将该N 点序列看成是周期信号的一个周期；无限长序列，截为N 点。
为了能让计算机处理，需要将时域的连续信号非周期信号做处理，首先用一个冲击串和时域信号相乘，这样得到一个离散的非周期信号(在频域对应的是连续的周期信号)，在对时域的离散非周期信号作周期延拓，则在时域得到一个离散的周期信号(同时，频域也是一个离散的周期信号)。
这就为DFT 做好了准备。
DFT 的定义：2-1-1-=0=0()=[]=[]W N N j nk nk N N N N X k x n ex n π∑∑反变换： 2-1-1-=0=011[]=(k)=()N N j nk nk N N k k x n X e X k W N N π∑∑ 其中： 2-=j N N W eπ特别注意： 2=w k Nπ 2--==j k k jw N N W e e π这是一个以N 为周期的信号，每经过N 点，在单位圆上转一圈。
离散傅里叶变换及其快速算法
第五章离散傅里叶变换及其快速算法 1离散傅里叶变换(DFT)的推导(1) 时域抽样：目的：解决信号的离散化问题。
效果：连续信号离散化使得信号的频谱被周期延拓。
⑵时域截断： 原因：工程上无法处理时间无限信号。
方法：通过窗函数(一般用矩形窗)对信号进行逐段截取。
结果：时域乘以矩形脉冲信号，频域相当于和抽样函数卷积。
(3)时域周期延拓：目的：要使频率离散，就要使时域变成周期信号。
方法：周期延拓中的搬移通过与 、：(t _nT s )的卷积来实现。
表示：延拓后的波形在数学上可表示为原始波形与冲激串序列的卷积。
结果：周期延拓后的周期函数具有离散谱。
经抽样、截断和延拓后，信号时域和频域都是离散、周期的。
过程见图抽样后0 fJif-用于截断原函数J L<Z 用于抽样i4LJI Ji WWtin1 f=1 ----------> --------------t-------------- ►fVtt截断后有卷积波纹i------------- ►t0 I------------------ rfJL 」L延拓后7角ii t飞7Vtfft \ \ t \ f定义DFT用于延拓「ITf处理后信号的连续时间傅里叶变换:I'U N *|nT sr 0 N图1 DFT 推导过程示意图〜 oo "N 4l ~(f)=£ IS h(nTs)ek =^O「j2 飞n/Nn=0-kf o )(i) l~(f)是离散函数，仅在离散频率点f二kf o k—处存在冲激，强度为a k,其T o NT s余各点为0。
〜N N 1(ii) H(f)是周期函数，周期为Nf o == 工，每个周期内有N个不同的幅值。
T o NT s T s(iii) 时域的离散时间间隔(或周期)与频域的周期(或离散间隔)互为倒数。
2 DFT及IDFT的定义DFT定义：设hnT s是连续函数h(t)的N个抽样值n=0,1,…,N J，这N个点的宽度为N 的DFT 为：DFT N h(nT s)]=^ h(nT s)e」2邢/N =H —— J (k =0,1,…，N _1)7 l NT s 丿IDFT定义：设H 上是连续频率函数H(f)的N个抽样值k =0,1，…，N J，这N个点(NT s 丿的宽度为N的IDFT为：DFT N1 H k丄7 H L e」2「nk/N厶nTs , (k =0,1,…，N —1)|L Ns N k 卫NT se^Rk/N称为N点DFT的变换核函数，e j2 flk/N称为N点IDFT的变换核函数。
分治法：快速傅里叶变换算法
分治法：快速傅里叶变换算法学院：网研院 姓名：xxx 学号：xxx一、 分治法原理分治法是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。
分治法的精髓：◆ 分--将问题分解为规模更小的子问题； ◆ 治--将这些规模更小的子问题逐个击破；◆ 合--将已解决的子问题合并，最终得出“母”问题的解； 二、 快速傅里叶变换（FFT ）简介快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT ），是离散傅里叶变换的快速算法，也可用于计算离散傅里叶变换的逆变换。
它是根据离散傅里叶变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。
快速傅里叶变换有广泛的应用，如数字信号处理、计算大整数乘法、求解偏微分方程等等。
序列的离散傅里叶变换公式为：令 则上式可写为：从算法分析角度：于是：分别考虑对其奇数项和偶数项作傅氏变换： 则从而，可以将对N 个量的傅氏变换变成为对两个规模更小的序列的变换。
这样，将变换的量大大减小。
快速傅里叶变换是分治法的一种具体实现。
[][]()∑-=-=102N n N jnk e n x k X π1,,0]},[{-=N i i x Nj N e W π2-=∑-==10][][N n knNW n x k X kn NNn N n nk N N n kn N W n x W n x W n x k X )12(12012210]12[]2[][][+-=-=-=∑∑∑⋅++⋅==nkN N n N n nk N E W n x W n x k X 2/12122]2[]2[][∑∑-=-=⋅=⋅=knN N n N n nk N O W n x W n x k X 2/1201202]12[]12[][∑∑-=-=⋅+=⋅+=][][][][10k X W k X W n x k X O k N E N n kn N ⋅+==∑-=三、 快速傅里叶变换算法FFT1. 算法● 输入采样值；● 对采用值进行补0操作，使采样值的个数是2的幂次；● 对补0后的序列进行重排，重排的原则是按照序列的下标奇偶性排序，先偶后奇，分成两个子序列，然后对子序列继续重排。
第三章-离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)
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x(n)
IDFT[ X (k)]N
1 N
N 1
X (k)WNk n ,
k 0
n 0, 1,
, N 1
也可以表示为矩阵形式:
x DN1 X
DN1称为N点IDFT矩阵，定义为
1
DN1
1 N
1 1
1
1 WN1 WN2
WN( N 1)
线性性质 DFT的隐含周期性 循环移位性质 复共轭序列的DFT DFT的共轭对称性 循环卷积定理 离散巴塞伐尔定理
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① 线性性质 设有限长序列x1(n)和x2 (n)的长度分别为N1和N2 ， x(n) ax1(n) bx2 (n) ，a和b为常数。
则
)
N M
xN (n) x((n))N X (k ) X ((k ))N
有限长序列x(n)的DFT变换X(k)，就是x(n)的周期延拓序列 ~x(n) 的DFS系数 X~(k ) 的主值序列
返回
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DFS与FT之间的关系:
M 1
X (k) DFS[xN (n)] x(n)WNkn n0
xN (n) xN (n)RN (n)
主值区间序列 N M , xN (n) x(n)
返回
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x8 (n) x4 (n)
返回
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周期序列DFS: N 1 X (k ) DFS[ xN (n)] xN (n)WNkn n0
M 1
x(n)WNkn
k
返回
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xN (n)
n
N
0
N
chapter3 离散时间傅里叶变换----DTFT.
a 1
n jn n jn a e a e n0 1
n
n
其中
n n jn n jn a e a e n 1 1
ae j 1 ae j
所以
2 j 1 a ae 1 X (e j ) j j 1 2a cos a 2 1 ae 1 ae
二、离散时间傅里叶变换的举例
1、单边指数序列 于是
X (e )
j n
x ( n)
a0
x(n) a u(n)
n
a 1
0
n jn
x ( n)e
DTFT
jn
a e
n0
1 1 ae j
0
1 2 3 4 5
n
x ( n)
a0
1 2
即
1 a u (n) 1 ae j
3、矩形窗序列 x(n) RN (n) u(n) u(n N )
X (e j )
jn jn x ( n ) e e n0 N 1
x(n) R4 (n)
1
n
0
1 2 3 4 5
n
1 e X (e ) 1 e j
j
jN
当x(n)是实序列，即 则
x(n) x* (n)
X (e j ) X * (e j )
X (e j ) e j( ) X R () jX I () X R () jX I () X (e j ) e j( )
即实序列的离散时间傅里叶变换，实部是偶对称的，虚部是奇 对称的，模是偶对称的，相位是奇对称的。 当x(n)是实偶序列，即
离散傅里叶变换及其快速算法
ak 也是以 N周期的周期序列，满足 ak
~ X (k ) Nak
ak 。令 ln
（3.5）
将式（3.4）代入，得
N 1 j kn ~ ~ N X ( k ) x ( n )e n 0 2
k
（3.6）
~ X (k ) 式中， 是以N为周期的周期序列，称为
~ x (n) 的离散傅里叶级数，用DFS表示。
~(k )， N 相位为 幅度为 X
~ arg[ X (k )]
。
基波分量的频率为 2 N ，幅度为
~ 为arg[ X (1)]
~ X (1) N
，相位
。
x ( n ) 以 N 8 为周期 n) 【例3-1】设 x(n) R4 (，将
进行周期延拓，得到周期序列 幅频特性。
~ x ( n)
2016-12-8
解：根据定义求解
14 12 e 8e
j
j
2 k 6
10e
j
j
2 2k 6 j 2 5k 6
2 3k 6
6e
2 4k 6
10e
X (0) 60 X (3) 0
X (1) 9 j 3 3 X (4) 3 j 3
X (2) 3 j 3 X (5) 9 j 3 3
x 3(n )
当k取奇数（ k=2m+1 ，m=0，1，…， N/4-1 ）时
N n(2 m 1) X 1(2m 1) x 1(n ) x 1 n 4 W N 2 n 0 N 4 1 N n mn x 1(n ) x 1 n W W N N 4 4 n 0 2
第四章 离散傅里叶变换及其快速算法
离散 连续
周期延拓 非周期
4.1 离散傅里叶变换的定义
kn X (k ) DFT [ x(n)] x(n)WN , n 0 N 1 N 1 n 0 2 kn N
= x ( n )e
j
k=0, 1, , N-1
X ( k )WN kn k 0 N 1
1 x(n) IDFT [ X (k )] N 1 N
4 N
x D1X N
W N ( N 1 ) 2 ( N 1 ) WN W N ( N 1 )( N 1 ) 1
1
D
1 N
W N 2 ( N 1 )
1 DN N
dftmtx(N) 函数产生N×N的DFT矩阵DN conj(dftmtx(N))/N 函数产生N×N的IDFT矩阵DN-1
二、 圆周移位性质
1. 序列的圆周移位 x(n)的圆周移位定义为
y(n)=x((n+m))N RN(n) 其过程为: 1)、将x(n)以N为周期进行周期延拓得x((n))N 2)、将x((n))N左移m位，得x((n+m))N 3)、取其主值序列x((n+m))N RN(n) 循环移位过程如图所示
WNN 1
2 WN ( N 1)
WNN 1 2 WN ( N 1) ( WN N 1) ( N 1)
DFT
IDFT矩阵形式为
1 1 1 W 1 N 1 D 1 1 W N 2 N N 1 W N ( N 1 ) 1 W N 2 W
0 n N `1 0 k N `1
DFT 则： x1 (n) x2 (n) X1 ( K ) X 2 ( K )
FFT算法详解
FFT算法详解快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）算法是一种高效的计算离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）的方法，广泛应用于信号处理、图像处理、通信等领域。
本文以详细的解释为主，全面讲解FFT算法。
傅里叶变换将一个信号从时域转换到频域，即将信号表示为不同频率分量的叠加。
如果信号为离散的，则称为离散傅里叶变换（DFT）。
DFT 的计算复杂度为O(N^2)，其中N是信号的长度。
然而，通过观察DFT的计算过程，我们可以发现其中存在着很多重复计算。
FFT算法就是通过减少这些重复计算的方式，降低了DFT的计算复杂度到O(NlogN)。
FFT算法的核心思想是DFT分治思想，将DFT递归地分解为更小的DFT，最终合并得到原始信号的DFT结果。
具体来说，FFT算法将长度为N 的信号分为两半，分别计算这两部分信号的DFT，然后再将它们合并成N/2个长度为2的DFT，重复这个过程直到计算得到最小粒度的DFT。
假设N为2的整数次幂，一个长度为N的信号X可以表示为X=x[0],x[1],...,x[N-1]。
FFT的计算可以分为两个步骤：分解和合并。
分解步骤：1.如果N=1，直接返回x；2.将长度为N的信号X分为两半，分别记作X0和X1，其中X0=x[0],x[2],...,x[N-2]，X1=x[1],x[3],...,x[N-1]；3.对X0和X1分别递归地执行FFT计算，得到长度为N/2的结果Y0和Y1；4.构造长度为N的结果Y，其中Y[k]=Y0[k]+W_N^k*Y1[k]，其中W_N=e^(-2πi/N)，0<=k<N/2；5.返回Y。
合并步骤：将长度为N/2的结果Y0和Y1合并为长度为N的结果Y，其中Y[k]=Y0[k]+W_N^k*Y1[k]，其中W_N=e^(-2πi/N)，0<=k<N/2通过分解和合并的操作，FFT算法可以高效地计算DFT。
第3章1-4 离散傅里叶变换及其快速算法讲解
考虑到DFT关系的对偶性，可以证明，长为N的两序列之积的DFT 等于它们的DFT的循环卷积除以N，即
3种卷积： 线性卷积 线性卷积不受主值区间限制 周期卷积 循环卷积 是周期卷积取主值，在一定条件下与线性卷积相等。 两个长度都为N的因果序列的循环卷积仍是一个长度为N的序列， 而它们的线性卷积却是一个长度为2N-1的序列。
设x1(n)和x2(n)都是长度为N的有限长因果序列，它们的线性卷 积为
它是长为2N-1的序列。
现将x1(n)和x2(n)延长至L(L>N)，延长部分(从N到L-1)均填充为零 值，计算x1(n)和x2(n)的L点循环卷积，得到
为了下面分析方便，先将x1(n)和x2(n)以L为周期进行延拓，得 到两个周期序列
若它们长度不等，取长度最大者，将短的序列通过补零加长，注 意此时DFT与未补零的DFT不相等。
此性质可以直接由DFT的定义进行证明。
2．对称性 最常遇到的是实序列。设x(n)是一个长度为N的实序列，且
DFT[x(n)]=X(k)，则有 这意味着
或
这就是说，实序列的DFT系数X(k)的模是偶对称序列，辐角是 奇对称序列。
何信息。这正是傅里叶变换中时域和频域对偶关系的反映，这有 着十分重要的意 义。DFT实现了频域离散化，开辟了在频域采用 数字技术处理的新领域。
这使我们自然想到，对于任意一个频率特性，是否均能用频域
采样的办法来逼近，这是一个很吸引人的问题，因为用频率采样 来逼近，可使问题大大简化。因此我们要讨论频率采样的可行性 以及所带来的误差。
Matlab实现 fft1.m
X(4)=0.46235 X(5)= 0.47017+j0.16987 X(6)= 0.50746+j0.40597 X(7)= 0.71063+j0.92558
[理学]离散傅里叶变换及其快速算法
![[理学]离散傅里叶变换及其快速算法](https://img.taocdn.com/s3/m/a4bbbd1b0912a21615792901.png)
FFT原理
• FFT算法主要利用了 WNnk 的两个性质：
1. 对称性
W
( nk N ) 2
W nk
nk ) N
2. 周期性
W nk W
mod( nk ) N
mod(
表示用N除nk之后的余数
• FFT算法利用
WNnk
的对称性和周期性，将一个大的
DFT分解成一些逐次变小的DFT来计算。 • 分解过程遵循两条规则： ①对时间进行偶奇分解——按时间抽取的FFT算法 ②对频率进行前后分解——按频率抽取的FFT算法
X (e j )e jn d
傅里叶变换对小结
• 傅里叶级数(FS)（时域：连续周期；频域：非周期离散）
1 Xk T
T 2
T 2
x(t )e jk1t dt
x(t )
k
X k e jk1t
k 0, 1, 2,
• 傅里叶变换(FT)（时域：连续非周期；频域：非周期连续）
1
有时会造成能量分散现象，称之为频谱泄漏。
• 余弦信号被矩形窗截断形成的泄漏 余弦信号被矩形窗截断形成的泄漏
• 对于连续周期函数，在符合采样定理的条件下， 保证窗函数b(t)的时段τ等于被截函数的周期T的 整倍数，可以保证逆变换后准确地恢复原波形， 不产生泄漏。 • 对于随机振动信号（非周期函数），控制泄漏的 方法是采用特定的窗函数，以达到控制旁瓣的效 果。
1 fs t
N T N t fs
fN= fs/2称为 Nyquist频率， 或称混叠频率
N T 2 f max
• 若提高采样频率fs将使采样时间减少，从而造成频率分辨 率Δf变粗。可先使信号通过一个低通滤波器，使滤波后的 信号中的最高频率成为fmax ，然后根据采样定理来确定采 样频率fs 。通常fs是fmax的3~4倍
第三章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)2
0 WN 0 WN 0 WN
2 WN
X (0) X (1) X (2) X (3) X (4) X (5) X (6) X (7)
20
W N0
0 WN 0 WN 0 WN
1 WN
W N2
3 WN
W
2 N
顺 十进制数I 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 0 0 1 1 1 1
序 二进制数 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
X (k )
N /2 1
l 0
x1 (l )W
kl N /2
W
k N
N /2 1
l 0
kl x2 (l )WN /2
k 0,1,, N 1
(3.4.4)
上式说明，按n的奇偶性将x(n)分解为两个N/2长的序列 x1(l)和x2(l)，则N点DFT可分解为两个N/2点DFT来计算。
2 2
而当N =211=2048时有
2
N2 N2 2 N 2 2048 ≈ 372.37 N CM (2) 11 M M 2
14
3. DIT-FFT的运算规律及编程思想
（1）原位计算 （2）旋转因子的变化规律 （3）蝶形运算规律 （4）序列的倒序 （5）编程思想
15
（1）原位计算
用X1 (k )和X 2 (k )分别表示x1 (l )和x2 (l )的N / 2点DFT，即 X1 (k ) DFT[ x1 (l )]N / 2
N / 2 1
l 0
kl x1 (l )WN /2
k 0,1,,
N 1 2
(3.4.5)
离散傅里叶变换及快速算法
序列分解为N个谐波相关的复指数之和。将
j 2N nk
X (k ) x(n)e
, k 0,1,2,
（5-3）
称之为离散傅里叶级数DFS的k次谐波系数。是一个基波周 期为N的周期序列。
X (k ) X ( k N )
§5．离散傅里叶变换及快速算法
在DFS变换中引入复数
k
X ( jk0 )e jk0t
*时域周期为Tp, 频域谱线间隔为2π/Tp
时域信号 连续的 周期的
频域信号
非周期的
离散的
3.离散时间、连续频率的傅立叶变换 – DTFT（离散时间傅立叶 变换） X e 或 X (e ) x(nT) T
j jT
---T 0 T 2T
正 : X (e
WN e
j 2N
将DFS正反变换描述为
nk 正 : X (k ) DFSx (n) X (k ) x (n)WN n 0
N 1
1 N 1 反 : x (n) IDFS X (k ) x (n) X (k )WN nk N k 0
（5-5）
WN
的性质: 1 N 1 ( nm) k 1 n m lN 正交性: WN 0 n m lN N k 0
周期性:
W
k mN N
W
k N
l , m, N / 2, k / 2均为整数
共轭对称性（偶序列）: 可约性：
k N (WN )* WN k
k mk k 2 WN WmN WN // 2
§5．离散傅里叶变换及快速算法
2.离散傅里叶变换（DFT）
但对于数字系统，无论是Z 变换还是序列傅立叶变换的适用方面都存 在一些问题，重要是因为频率变量的连续性性质（DTFT变换出连续频 谱），不便于数字运算和储存。 参考DFS，可以采用类似DFS的分析方法解决以上问题。可以把有限 长非周期序列假设为一无限长周期序列的一个主值周期，即对有限长非 周期序列进行周期延拓，延拓后的序列完全可以采用DFS进行处理，即 采用复指数基频序列和此有限长时间序列取相关，得出每个主值在各频 率上的频谱分量以表示出这个“主值周期”的频谱信息。 由于DFT借用了DFS，这样就假设了序列的周期无限性，但在处理时 又对区间作出限定（主值区间），以符合有限长的特点，这就使DFT带 有了周期性。另外，DFT只是对一周期内的有限个离散频率的表示，所 以它在频率上是离散的，就相当于DTFT变换成连续频谱后再对其采样， 此时采样频率等于序列延拓后的 周期N，即主值序列的个数。
离散傅里叶推导
离散傅里叶推导离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是一种将离散时间域信号转换为频域信号的方法。
它在信号处理、图像处理等领域中得到广泛应用。
本文将详细介绍离散傅里叶变换的推导过程。
一、离散傅里叶变换的定义离散傅里叶变换可以将一个离散时间序列表示为离散复频谱序列。
给定长度为N的信号序列x(n)，其中n = 0, 1, 2, ..., N-1，其离散傅里叶变换定义如下：X(k) = Σ[x(n)·e^(-j2πkn/N)]，k = 0, 1, 2, ..., N-1其中，X(k)为频谱序列，x(n)为时间序列，j为虚数单位。
二、离散傅里叶变换的推导为了推导离散傅里叶变换，我们首先需要了解指数函数的周期性。
对于任意整数k，有e^(j2πk) = 1。
因此，我们可以将指数e^(-j2πkn/N)简化为e^(-j2π\*k/N)。
接下来，我们以N为周期，将时间序列x(n)分解为N个部分。
x(n) = X(0) + X(1)·e^(j2πn/N) + X(2)·e^(j2π2n/N) + ... + X(N-1)·e^(j2π(N-1)n/N)将上述公式代入离散傅里叶变换的定义中，可得：X(k) = Σ[x(n)·e^(-j2πkn/N)]= Σ[(X(0) + X(1)·e^(j2πn/N) + X(2)·e^(j2π2n/N) + ... + X(N-1)·e^(j2π(N-1)n/N)) · e^(-j2πkn/N)]由于指数函数的周期性，我们可以将每一项中的指数函数合并起来：X(k) = X(0)·Σ[e^(-j2πkn/N)] + X(1)·Σ[(e^(j2π/N))^n] +X(2)·Σ[(e^(j4π/N))^n] + ... + X(N-1)·Σ[(e^(j2π(N-1)/N))^n]根据等比数列的求和公式，可得：X(k) = X(0)·N + X(1)·0 + X(2)·0 + ... + X(N-1)·0由于e^(-j2πkn/N)的周期为N，除非k=0，否则其和为0。
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的原理
快速傅里叶变换(FFT)
重点：基2时间/频率抽取FFT算法的基本 原理，FFT蝶形运算流图
难点：由短序列的DFT表达相应长序列的 DFT的基本原理及方法
x[0], x[1],x[m],xN 1
N 1
W k
(
m
N 2
)
N
2
k 0
k 0
W W W W k
(
m
N 2
)
km
N 2
km
N
N
N
N
N
(WN2
e e
j
2 N/2
(
N
/
2
)
j 2
1)
旋转因子的周期性
2
2
2
2
2
W m
N 2
N
WNm
N
WN2
WNm
N
(WN2
e
j
2 N
(
N
/
2)
e j
x1[r] WN2rm WNm
x2[r] WN2rm
r 0
r 0
W ee W X [m]
x [k ] W W N
2
12 rm N
1 k 0
j
2 N
2rm
km
m
j
2 N /2
rmN2
rm N
N 2
1N2
N 2
1
旋转因x子2[的k可]约W 性 Nkm
1
X[6] N / 2个蝶形
N 2
X[7]
总计
N2 N
22
N2
当N很大时，运算量减少了近一半
复数加法
N 2
(
N 2
1)
N
(
N 2
1)
2
N
N2 2
N(N 1)
N点有限长序列的DFT
N 1
X [m]
x[k ] WNkm
k 0
m 0,1,, N 1
N/2点有限长序列的DFT
1)
旋转因子的对称性
X
[
N 2
m]
X1[m] WNm
X 2[m]
• 旋转因子
W e mk
j
2 N
km
N
W e e W 可约性
2km
j
2 N
2km
j
2 N/2
km
km
X1[0]
N/2点 X1[1] DFT X1[2]
X1[3]
X2[0]
N/2点 X2[1] DFT X2[2]
X2[3]
+
X[0] X[1] X[2] X[3] _ X[4] X[5] X[6] X[7]
X1[0]
N/2点 X1[1] DFT X1[2]
X1[3]
X2[0]
N/2点 X2[1] DFT X2[2]
X [m] x[0]WN0 x[1]WNm x[2]WN2m x[N 1]WNN1m
X [N 1] x[0]WN0 x[1]WNN1 x[2]WN2N1 x[N 1]WNN1N1
所有的X[m]就要N2次复数乘法运算， N(N-1)次复数加法运算。
X [m] x[k ] WNkm
DFT
k 0
IDFT
N 1
x[k ]
1 N
X [m] WNkm
m0
X[0], X[1],X[m],X N 1
WN
e
j
2 N
x[0], x[1],x[m],xN 1
DFT
X[0], X[1],X[m],X N 1
x1[0]
x1[1]
x1[k ] x[2r ]
x1[m]
x1[N/2-1]
r
1, 2,,
N 2
1
k
1, 2,,
N 2
1
N 2
1
N 2
1
X [m]
x[2r] WN2rm
x[2r 1] WN(2r 1)m
r 0
r 0
N 2
1
N 2
1
X [m]
离散傅里叶变换快速算法(FFT)
快速傅里叶变换(FFT)
问题的提出 基2时间抽取FFT算法 基2频率抽取FFT算法 IFFT算法的实际应用
快速傅里叶变换(FFT)
掌握基2时间抽取FFT算法的基本思想和方法 掌握基2频率抽取FFT算法的基本思想和方法 掌握实序列FFT计算，以及由N点序列FFT计
N 2
1
X [m]
x[k
]
W
k
N
m
2
k 0
m
0,1,,
N 2
1
x2[0]
x2[1]
x2[m]
x2[N/2-1]
x [k ] x[2r 1] 2
r
1, 2,,
N 2
1
k
1, 2,,
N 2
1
x[0] x[1] x[2]
x[3]
x[2r] x[2r+1]
x[N-2] x[N-1]
• 当N很大时，运算量将是惊人的，如N=1024， 则要完成1048576 次(一百多万次)运算。
1965年，库利(cooley)和图基(Tukey)首先在《机器 计算傅里叶级数的一种算法》文章中提出FFT算法。
Cooley, James W., and John W. Tukey, "An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series," Math. Comput. 19, 297–301 (1965) /view/d5628524192e45361 066f549.html
加法次数N-1
X [1] x[0]WN0 x[1]WN1 x[2]WN2 x[N 1]WNN 1
乘法次数N
通常x[k]和WNkm都是复数，所以计算一 个 X[m]的值需要N次复数乘法运算和N-1次 复数加法运算。
X [0] x[0]WN0 x[1]WN0 x[2]WN0 x[N 1]WN0 X [1] x[0]WN0 x[1]WN1 x[2]WN2 x[N 1]WNN1
2
k 0
X [m] X 1X[m [m]] W k 0Nxm[k]XW2N2k[mm]
m范围
m
0,1,,
N 2
1
如何求？m
N 2
,
N 2
1,, N
1
X[m
N 2
]
N 2
1
x1[k ]
W k
(
m
N 2
)
N
2
W(
m
N 2
N
)
N 2
1
x2 [k ]
X2[3]
X[0]
+
X[1]
+
X[2]
+
X[3]
+
- X[4]
- X[5] - X[6]
- X[7]
将DFT长序列分解为短 X[0] 序列，降低运算次数。
N/2点 DFT
X[1]
复数乘法
X[2]
1个N2 点DFT
X[3]
(
N 2
)
2
X[4]
2个
N 2
点DFT
N2 2
N/2点 DFT
X[5]
1个蝶形