卵形曲线计算方法
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【摘要】在高速公路立交平面线型中,现越来越多采用卵形曲线这一线型形式,而卵形曲线坐标的计算在现有相关书籍中却又很少提到,这就为施工中的坐标计算及放样增加了较大难度,为解决此难道,我在实践中通过对缓和曲线坐标的计算加以分析并结合理论知识,总结出了卵形曲线坐标的计算方法和技巧。
【关键词】卵形曲线坐标计算
一、概念
卵形曲线:是指在两半径不等的同向圆曲线间插入一段缓和曲线。也就是说:卵形曲线本身是缓和曲线的一段,只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段,而非是一条完整的缓和曲线。
二、卵形曲线坐标计算原理
根据已知的设计参数,求出包括卵形
曲线的完整缓和曲线的相关参数和曲线要素,再按缓和曲线坐标计算的方法来计算卵形曲线上任意点上的坐标。
三、坐标计算
以雅(安)至攀(枝花)高速公路A合同段(西昌西宁)立交区A匝道一卵形曲线为例,见图一:
(图一)已知相关设计数据见下表:
1、缓和曲线(卵形曲线)参数计算
A1==59.161
卵形曲线参数:
A2=(HY
2-YH
1
)×R
1
(小半径)×R
2
(大半径)÷(R
2
-R
1
)
=(271.881-223.715)×50×75÷(75-50)= 7224.900
A2==84.999
A3==67.082
2.卵形曲线所在缓和曲线要素计算
卵形曲线长度L
F 由已知条件知:L
F
=HY2-YH1=271.881-223.715=48.166
卵形曲线作为缓和曲线的一段,因此先求出整条缓和曲线的长度L
S
,由此找出HZ'点的桩号及坐标(实际上不存在,只是作为卵形曲线辅助计算用)
L M =L
S
(YH1至HZ'的弧长)=A2÷R1
=7224.900÷50=144.498
∴HZ'桩号=YH1+L
M
=223.715+144.498=368.213
L
E
=HY2至HZ'的弧长
=A2÷R2=7224.900÷75=96.332
或L
E = L
M
-L
F
=144.498-48.166=96.332
卵形曲线长度L
F =L
M
-L
E
=144.498-96.332=48.166(校核)
HY2=HZ'-L
E
=368.213-96.332=271.881(校核)
由上说明计算正确
3.HZ'点坐标计算(见图二)
(图二)
①用缓和曲线切线支距公式计算,缓和曲线切线支距公式通式:
Xn=[(-1)n+1×L4n–3]÷[(2n-2)!×22n–2×(4n-3)×(RLs)2n–2]
Yn=[(-1)n+1×L4n–1]÷[(2n-1)!×22n–1×(4n-1)×(RLs)2n–1]
公式中符号含义:
n —项数序号(1、2、3、……n)
!—阶乘
R —圆曲线半径
Ls —缓和曲线长
②现取公式前6项计算(有关书籍中一般为2-3项,不能满足小半径的缓和曲线计算精度要求,如本例中AK0+090~AK0+160段缓和曲线,如AK0+160中桩坐标带2项算误差达8cm),公式如下:
X=L-L5÷[40(RL
S )2]+L9÷[3456(RL
S
)4]–L13÷[599040(RL
S
)6]+L17÷[175472640
(RL
S )8]- L21÷[7.80337152×1010(RL
S
)10] (公式1)
Y=L3÷[6(RL
S )] - L7÷[336(RL
S
)3]+L11÷[42240(RL
S
)5] - L15÷[9676800(RL
S
)
7]+L19÷[3530096640(RL
S )9] - L23÷[1.8802409472×1012(RL
S
)11] (公式2)
公式中L为计算点至ZH'或HZ'的弧长
HZ':AK0+368.213的坐标从YH1:AK0+223.715推算,
L=L
S
=HZ'-YH1
=368.213-223.715=144.498
将L=L
S
代入公式(1)、(2)得:
X=117.1072 Y=59.8839
L对应弦长C=√(X2+Y2)=131.5301
偏角a1=arctg(Y÷X)=27°05’00.2”
* 偏角计算用反正切公式,不要用其它公式。
缓和曲线切线角:
a2=90L2÷(πK)
=90×144.4982÷(π×7224.900)
=82°47’28.5”
* K为卵型曲线参数,本例中
K= A2=7224.900
Q3=180-a1-(180-a2)
=180-27°05’00.2”-(180-82°47’28.5”)
=55°42’28.3”
∴YH1"HZ’切线方位角(M"B)
=205°24’33.6” +Q3
=205°24’33.6”+55°42’28.3”
=261°07’01.9”
∴HZ’:AK0+368.213坐标:
+Ccos261°07’01.9”
X=X
YH1
=9910.603+131.5301 cos261°07’01.9”=9890.293 +Csin261°07’01.9”
Y=Y
YH1
=10136.791+131.5301 sin261°07’01.9”=10006.838 4.HZ’:AK0+368.213点的切线方位角(D"B)计算D"B方位角:
=205°24’33.6”+Q2
=205°24’33.6”+82°47’28.5”
=288°12’02.1”
∴B"D切线方位角:
=288°12’02.1”-180