平方根和立方根知识点

平方根:

概括1：一般地，如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根(或二次方根)。就是

说，如果x 2

＝a,那么x 就叫做a 的平方根。 如：23与－23都是529的平方根。

因为(±23)2

＝529，所以±23是529的平方根。 问：（1）16，49，100，1 100都是正数，它们有几个平方根?平方根之间有什么关系? （2）0的平方根是什么?

概括2：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没

有平方根。

知识点二：

概括3：求一个数a(a ≥0)的平方根的运算，叫做开平方。

开平方运算是已知指数和幂求底数。平方与开平方互为逆运算。一个数可以是正数、负数或者是0，它的平方数只有一个，正数或负数的平方都是正数，0的平方是0。但一个正数的平方根却有两个，这两个数互为相反数，0的平方根是0。负数没有平方根。 因为平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。 知识点三：

（1）625的平方根是多少？这两个平方根的和是多少？

－7和7是哪个数的平方根？ 正数m 的平方根怎样表示？

（2）下列各数的平方根各是什么？

64； 0； (－0.4)2

； 3

21(-（3）已知正方形的面积等于a,

3、例题讲解：

例1、求下列各数的平方根：

(1)81； (2)1916； (3)0.09

例2、下列各数有平方根吗? 如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由。 (1)－64； (2)0； (3)(

-

例3、求下列各式的值：

(1)10000； (2)144-；(4)0001.0-； (5)81

49±

一、算术平方根的概念

正数a 有两个平方根(表示为a ±

)，我们把其中正的平方根，叫做a 的算术平方

根，表示为a 。

0的平方根也叫做0的算术平方根，因此0的算术平方根是0，即00=。 “

”是算术平方根的符号，a 就表示a 的算术平方根。 a 的意义有两点：

（1）被开方数a 表示非负数，即a ≥0；

（2）a 也表示非负数，即a ≥0。也就是说，非负数的“算术”平方根是非负数。负数不存在算术平方根，即a ＜0时，a 无意义。

如：9 ＝3，8是64的算术平方根，6-无意义。

9既表示对9进行开平方运算，也表示9的正的平方根。

二、平方根与算术平方根的区别在于： ①定义不同；

②个数不同：一个正数有两个平方根, 而一个正数的算术平方根只有一个； ③表示方法不同：正数a 的平方根表示为a ±, 正数a 的算术平方根表示为a ； ④取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数, 正数的平方根是一正一负． ⑤0的平方根与算术平方根都是0． 三、例题讲解：

例1、求下列各数的算术平方根：

(1)100； (2)

64

49

； (3)0.81 例2

144 324

1

16 0.0144 16

121

400 6.25

注意：由于正数的算术平方根是正数，零的算术平方根是零，可将它们概括成：非负数的算

术平方根是非负数，即当a ≥0时，a ≥0(当a ＜0时，a 无意义)

用几何图形可以直观地表示算术平方根的意义如有一个面积为a (a 应是非负数)、边长为

a 的正方形就表示a 的算术平方根。

这里需要说明的是，算术平方根的符号“

”不仅是一个运算符号，如a ≥0时，a 表

示对非负数a 进行开平方运算，另一方面也是一个性质符号，即表示非负数a 的正的平方根。

3、立方根

（1）立方根的定义：如果一个数x 的立方等于a ，这个数叫做a 的立方根（也叫做

三次方根），即如果3

x a =，那么x 叫做a 的立方根

（2）一个数a 的立方根，读作：“三次根号a ”，

其中a 叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。

（3） 一个正数有一个正的立方根；

0有一个立方根，是它本身； 一个负数有一个负的立方根； 任何数都有唯一的立方根。

（4）利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，

求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即

)

0a =>。

（5）a x =3

<—> 3a x =

a 是x 的立方 x 的立方是a x 是a 的立方根 a 的立方根是x

（6）33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

【典型例题分析】

知识点一：有关概念的识别 1、下列说法中正确的是（ ） A 、的平方根是±3 B 、1的立方根是±1 C 、

=±1 D 、

是5的平方根的

相反数

2、下列语句中，正确的是（ ）

A ．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数

B ．负数没有立方根

C ．一个实数的立方根不是正数就是负数

D ．立方根是这个数本身的数共有三个

3、下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33

，③64的立方根是2，④()4832

±=±。

其中正确的有 （ ）

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个 4、()2

0.7-的平方根是（ ）

A ．0.7-

B ．0.7±

C ．0.7

D ．0.49 5、下列各组数中，互为相反数的组是（ ）

A 、－2与2

)2(- B 、－2和38- C 、－

2

1

与2 D 、︱－2︱和2

知识点二：计算类题型

1、25的算术平方根是_______；平方根是_____. -27立方根是_______.

___________， ___________，___________.

2、=-2)4( ； =-33

)6( ； 2)196(= . 3

8-= .

3、① 2+32—52 ② 7(7

1-7)

③ |23- | + |23-|- |12- | ④ 4

1)2(82

3-

-+

正有理数{ }

负有理数{ }

正无理数{ } 负无理数{ }

22

7

3.141,

,

,,,1.414,0.020202

,7378

π----