《数学数理统计》PPT课件教学内容
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数理统计的基本概念PPT精品文档40页
则样本的联合分布为
n
n
P { X 1 x 1 ,X 2 x 2 , ,X n x n } P { X i x i} p i．
i 1
i 1
§6.2 抽样分布
6.2.1 统计量的概念
由样本推断总体的某些情况时，需要对样本进行“ 加工”，构造出若干个样本的已知 (确定)的函数， 其作用是把样本中所含的某一方面的信息集中起来 。这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量。 它是完全由样本所决定的量。
统计量的分布称为抽样分布，下面介绍来自正 态总体的几个重要统计量的分布，称为统计学的三 大分布： 2 分布，t分布和F分布.
6.2.2 χ 2 分布
定义4: 设 X1, X2, …, Xn 是来自总体 N(0, 1), 的样本，则称统计量
与总体X具有相同的概率分布，则称随机变量 X1,X2, ,Xn为来自总体X的容量为n的简单随机 样本，简称样本．
它们的 x1,x观 2, ,x 察 n称值 为,样 又本 称值 为 X的 n个独立 . 的观察值
注意：样本的二重性。
6.1.2 样本的分布 样本 X1,X2,…,Xn 可以被看作n维随机向量,自
定义2：设 X1,X2, ,Xn是来自总体X的样本， g(X 1,X 2, ,X n)是样本 X1,X2, ,Xn的函数，如果 g(X 1,X 2, ,X n)中不包含任何未知参数，则称它
是一个统计量。
定义３：几个常用的统计量
样本均值
X
1 n
n i1
Xi
反映总体 均值的信息
样本方差 S2n11in1(Xi X)2n11(in1 Xi2nX2)
200 20 00 20 00 20 00 20 00 20 000
数理统计的基本知识概要PPT课件
总体就可以用一个随机变量及其分布来描述. 因此在理论上可以把总体与概率分布等同起来.
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一、总体和样本
例如: 研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标 就是寿命，那么，此总体就可以用随机变量X表示， 或用其分布函数F(x)表示.
总体
寿命 X 可用一概率 （指数）分布来刻划
某批灯泡的寿命
F(x)
一、总体和样本
2. 样本
总体分布一般是未知，或只知道是包含未知 参数的分布，为推断总体分布及各种特征，按一定
规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得
有关总体的信息 ，这一抽取过程称为 “抽样”，所
抽取的部分个体称为样本. 样本中所包含的个体数
目称为样本容量.
从国产轿车中抽5辆 进行耗油量试验
样本容量为5 抽到哪5辆是随机的
第10页/共43页
一、总体和样本
n称为这个样本的容量.
1. 代表性： X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总体有 相同的分布.
2. 独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量.
一旦取定一组样本X1，… ,Xn ,得到n个具体的数 (x1,x2,…,xn)，称为样本的一次观察值，简称样本值 .
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三、分布函数的近似求法
0,
x 4
1 10 , 4 x 0
2 10 , 0 x 2
F10 ( x)
4 7
10 , 10 ,
2 x 2.5 2.5 x 3
8 10 , 3 x 3.2 9 10 , 3.2 x 4
1,
x4
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三、分布函数的近似求法
对于任何实数x，Fn ( x) 等于在n次重复独立试验 中事件 { X x} 的频率，由频率与概率的关系知， Fn ( x) 可作为总体X的分布函数F(x)的近似，且当样 本容量充分大时，Fn ( x) 几乎为F(x).
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一、总体和样本
例如: 研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标 就是寿命，那么，此总体就可以用随机变量X表示， 或用其分布函数F(x)表示.
总体
寿命 X 可用一概率 （指数）分布来刻划
某批灯泡的寿命
F(x)
一、总体和样本
2. 样本
总体分布一般是未知，或只知道是包含未知 参数的分布，为推断总体分布及各种特征，按一定
规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得
有关总体的信息 ，这一抽取过程称为 “抽样”，所
抽取的部分个体称为样本. 样本中所包含的个体数
目称为样本容量.
从国产轿车中抽5辆 进行耗油量试验
样本容量为5 抽到哪5辆是随机的
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一、总体和样本
n称为这个样本的容量.
1. 代表性： X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总体有 相同的分布.
2. 独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量.
一旦取定一组样本X1，… ,Xn ,得到n个具体的数 (x1,x2,…,xn)，称为样本的一次观察值，简称样本值 .
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三、分布函数的近似求法
0,
x 4
1 10 , 4 x 0
2 10 , 0 x 2
F10 ( x)
4 7
10 , 10 ,
2 x 2.5 2.5 x 3
8 10 , 3 x 3.2 9 10 , 3.2 x 4
1,
x4
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三、分布函数的近似求法
对于任何实数x，Fn ( x) 等于在n次重复独立试验 中事件 { X x} 的频率，由频率与概率的关系知， Fn ( x) 可作为总体X的分布函数F(x)的近似，且当样 本容量充分大时，Fn ( x) 几乎为F(x).
数学数理统计PPT课件
b}P{anpnnpbnp}
npq npq npq
(bnp)(anp)
npq
npq
-25-
例 某单位有200台电话分机，每台分机有5%的时间
要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互 独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以 90%以上的概率保证分机用外线时不等待？
解：设有X部分机同时使用外线，则有 X~B(n,p), 其 n 2 中 p 0 0 0. n ,0 1 p 5 n 0 ,- , p p ( 3 ) .0 1 .8 设有N 条外线。由题意有 P{XN}0.9
去掉，代之以 （Markov） 大数定律
1
n2
D n k1
Xk
n0
-11-
二 随机变量的收敛性
定义1 设 X1,X2,,Xn, 为一列随机变量，如果
存在常数 a使得对于任意的 0, 有
ln i P m X n a 1
则称 X n 依概率收敛于 a, 记为 Xn Pa
定义2 设 X1, X2, ,为一列随机变量,X是随机变量
准备工作
1) 切比雪夫不等式
设 X为一随机变量, 其数学期望 E( X )和方差 D( X )
都存在，则对于任意 0, 有
PXE(X) 22
2) A.L.Cauchy－Schwarz不等式.
设 r.v (X ,Y) ，满足 EX 2 , EY 2 则有
E(XY)2 EX2EY2
-3-
贝努里（Bernoulli） 大数定律
n i1
Xi
b}P{ani1
Xi n bn
}
n
n
n
(bn)(an)
n
n
-20-
《数理统计》课件
季节性分析
要点一
总结词
季节性分析是时间序列分析的重要环节，通过季节性分析 可以了解时间序列数据中存在的季节性波动。
要点二
详细描述
季节性分析的方法包括季节性分解、季节性自相关图、季 节性指数等。这些方法可以帮助我们识别时间序列数据中 的季节性模式，并基于这些模式进行预测和建模。
THANKS FOR WATCHING
参数与统计量
参数是描述总体特性的指标， 统计量是描述样本特性的指标 。
概率与随机变量
概率用于描述随机事件发生的 可能性，随机变量是表示随机 现象的变量。
估计与检验
估计是用样本数据推断总体参 数的过程，检验是利用样本数
据对假设进行判断的过程。
CHAPTER 02
描述性统计
数据的收集与整理
数据来源
描述数据的来源，如调查、观察、实 验等。
非线性回归分析
总结词
非线性回归分析是数理统计中用于研究非线 性关系的分析方法。
详细描述
非线性回归分析不依赖于最小二乘法原理， 而是通过其他优化方法来拟合非线性模型。 非线性回归分析适用于因变量和自变量之间 存在非线性关系的情况。常见的非线性回归 模型包括多项式回归、指数回归、对数回归 等。非线性回归分析广泛应用于各个领域，
如正态分布、指数分 布等。
随机事件的概率计算
条件概率
在某个事件发生的条件下，另一个事件发生 的概率。
互斥事件的概率计算
两个互斥事件同时发生的概率等于各自发生 概率的和。
独立事件的概率计算
两个独立事件同时发生的概率等于各自发生 概率的乘积。
全概率公式
一个复杂事件的概率可以分解为若干个互斥 事件的概率之和。
单因素方差分析
数理统计的基本概念幻灯片PPT
数理统计的基本概念幻灯片PPT
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数理统计学 是一门以数据为基础的科学, 可以定义为
收集数据, 分析数据和由数据得出结论的一组概念、
原则和方法。
例如：若规定灯泡寿命低于1000小时者为次品，如何确定 次品率？由于灯泡寿命试验是破坏性试验，不可能把整批 灯泡逐一检测，只能抽取一部分灯泡作为样本进行检验， 以样本的信息来推断总体的信息，这是数理统计学研究的 问题之一。
答 ： 只 有 (4)不 是 统 计 量 。
2分布
定 义 ： 设 随 机 变 量 X1,X2, Xn相 互 独 立 ， Xi N0,1 i1,2, ,n
n
则 称n2 Xi2
1
i1
服 从 自 由 度 为 n的 2分 布 ， 记 为 22n
自 由 度 指1式 右 端 包 含 的 独 立 变 量 的 个 数
n211
112 2 2
n n112n2 2 1
nx220
1
0 0
x0
其中B a,b x 其中Ba,b01x11xb1dxaabb1 1 1x b 0
f x
n2 ,n120 n2 25
n2 10
0
1
2
x
F 分 布 的 密 度 函 数
对 于 给 定 的 ,0 1 ,称 满 足 条 件 F n 1 ,n 2 fx ;n 1 ,n 2 d x 的 点 F n 1 ,n 2 为 F n 1 ,n 2 分 布 的 上 分 位 数 。 F n 1 ,n 2 的 值 可 查 F 分 布 表
2 . 设 Y 1 2 n 1 , Y 2 2 n 2 , 且 Y 1 , Y 2 相 互 独 立 ， 则 有 Y 1 Y 2 2 n 1 n 2
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数理统计学 是一门以数据为基础的科学, 可以定义为
收集数据, 分析数据和由数据得出结论的一组概念、
原则和方法。
例如：若规定灯泡寿命低于1000小时者为次品，如何确定 次品率？由于灯泡寿命试验是破坏性试验，不可能把整批 灯泡逐一检测，只能抽取一部分灯泡作为样本进行检验， 以样本的信息来推断总体的信息，这是数理统计学研究的 问题之一。
答 ： 只 有 (4)不 是 统 计 量 。
2分布
定 义 ： 设 随 机 变 量 X1,X2, Xn相 互 独 立 ， Xi N0,1 i1,2, ,n
n
则 称n2 Xi2
1
i1
服 从 自 由 度 为 n的 2分 布 ， 记 为 22n
自 由 度 指1式 右 端 包 含 的 独 立 变 量 的 个 数
n211
112 2 2
n n112n2 2 1
nx220
1
0 0
x0
其中B a,b x 其中Ba,b01x11xb1dxaabb1 1 1x b 0
f x
n2 ,n120 n2 25
n2 10
0
1
2
x
F 分 布 的 密 度 函 数
对 于 给 定 的 ,0 1 ,称 满 足 条 件 F n 1 ,n 2 fx ;n 1 ,n 2 d x 的 点 F n 1 ,n 2 为 F n 1 ,n 2 分 布 的 上 分 位 数 。 F n 1 ,n 2 的 值 可 查 F 分 布 表
2 . 设 Y 1 2 n 1 , Y 2 2 n 2 , 且 Y 1 , Y 2 相 互 独 立 ， 则 有 Y 1 Y 2 2 n 1 n 2
数理统计 ppt课件
医药数理统计方法
01-04-13
地区
东部 南部 西部 中部
订单百 易碎品订
分比 单百分比
30
25
40
10
20
5
10
3
医药数理统计方法
01-04-14
课堂讨论题 某发报站分别以概率
0.6和0.4发出信号“*”和“–”，若通
讯系统受到种种干扰，当发出信号 “*”时，收报站分别以概率0.8和 0.2收到信号“*”和“–”；当发出信 号为“–”时，收报站分别以概率0.9 和0.1收到信号“–”和“*”。求收报 站收到信号“*”时，发报站确实发 出信号“*”的概率。
n
P(B) P(Ai)P(B|Ai) i1
医药数理统计方法
A3 A2
… B
A1
An
01-04-04
医药数理统计方法
01-04-05
例 有3个外形完全相同的袋子，在 第1个袋子中装有2个白球、1个红球； 在第2个袋子中装有3个白球、1个红 球；在第3个袋子中装有2个白球、2 个红球。先随机地挑选一个袋子，
医药数理统计方法
0.6 “*”
0.8 0.2
0.4 “–”
0.1 0.9
01-04-15
“*” “–”
医药数理统计方法
01-04-16
例 癌症的早期诊断、治疗是提高
疗效的关键。近年来，甲胎蛋白免 疫检测法（简称 AFP 法）被普遍应 用于肝癌的普查和诊断。
医药数理统计方法
01-04-17
设 A={肝癌患者}，B={AFP检验 结果为阳性}；且已知AFP检测方法 的真阳性率 P(B|A)=0.94，假阳性率 P(B| A )=0.04；在人群中肝癌的发病 率 P(A)=0.0004；今有一人 AFP 检测
《数学数理统计》课件
3 展望未来
掌握数学数理统计的知识， 您将迎接未来数据驱动事件发生的条件概率 和独立性的概念。
3 随机变量与分布
介绍随机变量和其分布的 基本概念。
4 数学期望与方差
深入研究数学期望和方差的计算和应用。
5 大数定律与中心极限定理
揭示大数定律和中心极限定理的重要性。
统计学基础
1
参数统计与非参数统计
比较参数统计和非参数统计方法的优劣。
假设检验
未来展望
大数据时代
探讨数学数理统计在大数据时代 的应用和挑战。
机器学习
了解机器学习与数学数理统计的 关系及其未来发展。
人工智能
探索人工智能与数学数理统计的 交叉应用。
总结
1 学以致用
通过数学数理统计，您可 以更好地理解和应用数据 分析技术。
2 不断学习
数学数理统计是一个广阔 的领域，持续学习将使您 保持竞争力。
2
学习如何进行假设检验以及结果的解读。
3
方差分析及回归分析
研究方差分析和回归分析在数据分析中 的重要性。
实际应用
常见问题案例及解决 方法
分析实际案例，展示如何应用 数学数理统计解决常见问题。
分析与可视化工具介 绍
探索各种数据分析和可视化工 具，了解其功能和用途。
软件使用介绍
介绍常见的数据分析软件，帮 助您开始实际应用。
《数学数理统计》PPT课 件
探索《数学数理统计》的精彩世界。了解其意义和应用领域，让您成为数据 分析的专家。
概述
意义
介绍数学数理统计在科学、工程、金融等领域 中的重要性。
应用领域
探索数学数理统计在市场研究、医学实验和风 险评估等领域中的广泛应用。
数理统计的基本概念PPT模板
3 次序统计量和样本分布函数
例 4 设总体服从泊松分布，容量为 10 的样本观测值如下： 2，1，4，3，5，6，4，8，4，3．
试构造样本的分布函数 F10 (x) ．
解 将样本的观测值由小到大排列为1 2 3 3 4 4 4 5 6 8 ，所以样本的频 率分布如表 5-1 所示．
设 X1 ，X2 ， ，Xn 是总体 X 的样本，则可定义以下统计量．
（1）样本均值为
X
1 n
n i 1
Xi
，
（5-1）
它的观测值记为
x
1 n
n i 1
xi
．
数理统计的基础知识
数理统计的基本概念
1.2 参数与统计量
（2）样本方差为
S2 1 n n 1 i1
Xi X
2
1 n 1
n i 1
数理统计的基本概念
1.2 参数与统计量
由于样本具有二重性，统计量作为样本的函数也具有二重性，即 对一次具体的观察或试验，它们都是具体的数值，但当脱离具体的某 次观察或试验，样本是随机变量，因此统计量也是随机变量．
统计量是用来对总体分布参数进行估计或检验的，它包含了样本 中有关参数的信息，在数理统计中，根据不同的目的构造了许多不同 的统计量．
设 样 本 X1 ，X2 ， ，Xn 的 次 序 统 计 量 为
X (1) X (2)
X(n) ，对应的样本观测值为
x(1) x(2)
x(n) ，令
0 ，x x(1) ，
1 n
，x(1)
x x(2) ，
Fn
(x)
k
n
，x(k )
x x(k 1) ，
1，x x(n) ．
（5-6）
例 4 设总体服从泊松分布，容量为 10 的样本观测值如下： 2，1，4，3，5，6，4，8，4，3．
试构造样本的分布函数 F10 (x) ．
解 将样本的观测值由小到大排列为1 2 3 3 4 4 4 5 6 8 ，所以样本的频 率分布如表 5-1 所示．
设 X1 ，X2 ， ，Xn 是总体 X 的样本，则可定义以下统计量．
（1）样本均值为
X
1 n
n i 1
Xi
，
（5-1）
它的观测值记为
x
1 n
n i 1
xi
．
数理统计的基础知识
数理统计的基本概念
1.2 参数与统计量
（2）样本方差为
S2 1 n n 1 i1
Xi X
2
1 n 1
n i 1
数理统计的基本概念
1.2 参数与统计量
由于样本具有二重性，统计量作为样本的函数也具有二重性，即 对一次具体的观察或试验，它们都是具体的数值，但当脱离具体的某 次观察或试验，样本是随机变量，因此统计量也是随机变量．
统计量是用来对总体分布参数进行估计或检验的，它包含了样本 中有关参数的信息，在数理统计中，根据不同的目的构造了许多不同 的统计量．
设 样 本 X1 ，X2 ， ，Xn 的 次 序 统 计 量 为
X (1) X (2)
X(n) ，对应的样本观测值为
x(1) x(2)
x(n) ，令
0 ，x x(1) ，
1 n
，x(1)
x x(2) ，
Fn
(x)
k
n
，x(k )
x x(k 1) ，
1，x x(n) ．
（5-6）
数理统计ppt课件
解 5卷选集在5个位置上的任一种排列，是一个基本 事件，因此，所有可能的基本事件总数(即样本空间中 的基本事件总数)为5！。
设A={第1卷放在最左边}, B={从左到右正好按卷号排 成。12345},则A包含的基本事件总数为1×4!，B包含的基 本事件总数为1。从而，P(A)=4!/5!，P(B)=1/5!。
n 件,问其中恰有 k(k D) 件次品的概率是多少?
解 在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有
N n
种,
在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法
共有
D N D种, k n k
于是所求的概率为 p D N D N . k n k n
16
例 5（分房问题） 有 n 个人，每个人都以同样的概 率 1/N 被分配在N(n N) 间房中的每一间中，试求 下列各事件的概率：
则称这类试验的数学模型为古典概型。
2
２. 古典概型中事件概率的计算公式
设随机试验E为古典概型，其样本空间Ω及 事件A分别为：
Ω={ω1，ω2，…，ωn} A={ωi1，ωi2，…，ωik} 则随机事件 A 的概率为：
P( A) k 事件A中包含的基本事件数
n
中的基本事件总数
3
3. 古典概型的基本模型:摸球模型
1.3 古典概型
一、古典概型的概念 二、例题选讲
三、小结
1
一、古典概型
1. 定义 若一个随机试验(Ω,F, P )具有以下两个特征：
(1) 样本空间的元素(基本事件)只有为有限个， 即Ω={ω1，ω2，…，ωn}；
(2) 每个基本事件发生的可能性是相等的， 即 P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)。
故
P( A)
设A={第1卷放在最左边}, B={从左到右正好按卷号排 成。12345},则A包含的基本事件总数为1×4!，B包含的基 本事件总数为1。从而，P(A)=4!/5!，P(B)=1/5!。
n 件,问其中恰有 k(k D) 件次品的概率是多少?
解 在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有
N n
种,
在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法
共有
D N D种, k n k
于是所求的概率为 p D N D N . k n k n
16
例 5（分房问题） 有 n 个人，每个人都以同样的概 率 1/N 被分配在N(n N) 间房中的每一间中，试求 下列各事件的概率：
则称这类试验的数学模型为古典概型。
2
２. 古典概型中事件概率的计算公式
设随机试验E为古典概型，其样本空间Ω及 事件A分别为：
Ω={ω1，ω2，…，ωn} A={ωi1，ωi2，…，ωik} 则随机事件 A 的概率为：
P( A) k 事件A中包含的基本事件数
n
中的基本事件总数
3
3. 古典概型的基本模型:摸球模型
1.3 古典概型
一、古典概型的概念 二、例题选讲
三、小结
1
一、古典概型
1. 定义 若一个随机试验(Ω,F, P )具有以下两个特征：
(1) 样本空间的元素(基本事件)只有为有限个， 即Ω={ω1，ω2，…，ωn}；
(2) 每个基本事件发生的可能性是相等的， 即 P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)。
故
P( A)
《数理统计基本概念》课件
不可能事件
概率等于0的事件，表示一定 不会发生。
独立事件
两个事件的发生相互独立，一 个事件的发生不影响另一个事 件的发生。
随机变量及其分布
01
02
03
04
离散型随机变量
随机变量可以取到有限个或可 数无穷个值。
连续型随机变量
随机变量可以取到任何实数值 。
概率分布函数
描述随机变量取值概率的函数 。
概率密度函数
确定因子、提出假设、构造统计量、 进行统计分析、做出推断结论。
方差分析的应用场景
比较不同组数据的均值差异、分析多 因素对结果的影响等。
方差分析的注意事项
满足正态性和方差齐性的假设、注意 组间和组内的比较等。
04
回归分析
一元线性回归
总结词
一元线性回归是数理统计中常用的回归分析方法，用于研究一个因变量与一个自变量之间 的线性关系。
假设检验的类型
单侧检验、双侧检验、独立样本检验、配对 样本检验等。
假设检验的基本步骤
提出假设、构造检验统计量、确定临界值、 做出推断结论。
假设检验的注意事项
避免两类错误、注意样本量和分布情况等。
方差分析
方差分析的概念
方差分析是用来比较不同组数据的变 异程度和分析变异来源的一种统计方 法。
方差分析的基本步骤
详细描述
一元线性回归分析通过最小二乘法拟合一条直线，使得因变量的观测值与自变量的预测值 之间的残差平方和最小。它可以帮助我们了解自变量和因变量之间的相关性和预测因变量 的未来值。
公式
(y = ax + b) 其中，(a) 是斜率，(b) 是截距。
多元线性回归
01
总结词
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k
正态分布.
20
对此现象还 可举个有趣 的例子——
高尔顿钉板 试验—— 加 以说明.
•• • •• •• • •
N(0, n)
n— 钉子层数
3 0 3
21
X k 表示某一个小球在第k次碰了钉子后向左 或向右落下这一随机现象联系的随机变量， X k 满足中心极限定理条件，
Xk 0, 第k次试A验 发生 设 P (X k1 )p, 则 E (X k ) p ,D (X k ) pq
3
n
X1,X2,,Xn 相互独立，nA Xk
k 1
记Yn
1 n
n k1
Xk
,
E(Yn)p,
D(Yn)pnq
由 Chebyshev 不等式
0PnA n
p
P
n
Xk
k1
n
E(Xk
)
n
n
小概率事件, 因而在 n 足够大时, 可以用频
率近似代替 p . 这种稳定称为依概率稳定.
6
大数定律
设 r.v. 序列 X1,X2,,Xn,{ a k }
是常数序列，则 0有
1 n
limP n
nk1Xk
an
0
或
limP n
1nkn1Xk
an
1
则称 { X n } 服从大数定律．
7
Chebyshev 大数定律
X1,X2,,Xn,两两不相关的随机变量,又设
D (X k) C , k 1 ,2 ,L,n
则 0有
lni m P1 nkn 1Xk1 nkn 1E(Xk)0
或
lni m P1 nkn 1Xk1 nkn 1E(Xk)1
8
P1nkn1Xk
1nkn1E(Xk)
D(1 n
n k 1
X k)
几乎处处收敛于X，并记为
lni m XnX (a.s.)
四种收敛关系：
以概率１收敛或r-阶收敛 依概率收敛 依分布收敛
15
三、 中心极限定理
中心极限定理讨论：随机变量序列
n
n
X i E ( X i)
i1
i1
n
D ( X i) i1
对应的分布函数序列收敛于标准正态分布函数的定理
16
定理1（独立同分布的中心极限定理）
11
定义３:设 F(x),F1(x),F1(x),L是一列分布函数,如果
对F(x)每个连续点x，都有
则称分布函数列 记为
弱收敛于分布函数F(x) ，
定义：如果 依分布收敛于X，记为
则称
12
可以证明： （１）若
则，
（２）设C为常数，则
F(x)是X=C的分布函数，即
充分性：
F
(x)
1, x 0, x
25
由德莫佛-拉普拉斯定理有
P{XN}P
Xnp
Nnp
np(1p) np(1p)
nN(p1n pp)N 3.0180.
查表得 (1.2)80.9.0
设
为一列相互独立相同分布
的随机变量，且具有数学期望和方差，则对于
任意实数 有
其中
为标准正态分布的分布函数。
17
若一随机变量可以表示成数量很多的相互独立相
同分布的随机变量的和，则该随机变量可近似服从 正态分布，标准化后就服从标准正态分布。
近似
n Yn~N(0,1)
X k nYnn近似服从N(n,n2)
《数学数理统计》PPT课件
准备工作
1) 切比雪夫不等式
设 为一随机变量, 其数学期望
都存在，则对于任意
有
和方差
2) A.L.Cauchy－Schwarz不等式.
2
贝努里（Bernoulli） 大数律设事件 在每次试验中出现的概率为 p, 且 在n次重复独立试验中出现的频率为
证 引入 r.v. 序列{Xk} 1, 第k次试A验 发生
c c
13
３：r－阶收敛
定义：设对随机变量Xn及X，r>0为常数，如果
EXnr ,EXr ,
且，
lni mEXn
Xr
0,
则称 { X n } r－阶收敛于X,记作
特别：１－阶收敛为平均收敛，２－阶为均方收敛
14
４：以概率１收敛 定义：若存在一随机变量X,使
P{lni m Xn X}1,
我们称随机序列 { X n } 以概率为１收敛于X,或说
例 某单位有200台电话分机，每台分机有5%的时间
要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互 独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以 90%以上的概率保证分机用外线时不等待？
解：设有X部分机同时使用外线，则有 X~B(n,p), 其 n 2 中 p 0 0 0n .,0 1 p 5 n 0 ,- , p p ( 3 ) .0 1 .8 设有N 条外线。由题意有 P{XN}0.9
2
n
D( X k)
k 1
n 2 2
{ X n } 两两不相关,且方差有界，则可得到
n
n
D(Xk)D(Xk)nC
k1
k1
P1nkn1Xk
1nkn1E(Xk)
C
n2
0,n
9
在定理一中,去掉方差存在的条件而加上相同 分布的条件，则有：
辛钦大数定律
设
为一列相互独立同分布的
随机变量，且具有相同的数学期望
E(Xk)0,D (Xk)1
n
X n X k k 1
n 16,
独立投入１００个小球，
22
定理 2 （德莫佛—拉普拉斯）
设
则对于任意实数
有
其中
为标准正态分布的分布函数。
这个定理表明，二项分布的极限分布是正态分布 当 很大时，我们便可以利用定理 2 来近似计算二 项分布的概率。
23
对任意
有，
24
4
0PnA n
p
P
n
Xk
k1
n
E(Xk
)
P Y n E (Y n ) 12
pq n
故 limPnAp0
n n
5
贝努里(Bernoulli)大数定律的意义
在概率的统计定义中, 事件 A 发生的频率
nA n “ 稳定于”事件 A 在一次试验中发生
的概率是指：
频率n A 与 p 有较大偏差 nA p 是
k 1
18
对任意
有，
19
中心极限定理的意义
前面讲过有许多随机现象服从正态分布 是由于许多彼此没有什么相依关系、对随机现 象谁也不能起突出影响，而均匀地起到微小作 用的随机因素共同作用(即这些因素的叠加)的
结果. 若联系于此随机现象的随机变量为X ，则
它可被看成为许多相互独立的起微小作用的因
素Xk的总和 X，k 而这个总和服从或近似服从
注 X1,X2,,Xn,相互独立的条件可以
去掉，代之以 （Markov） 大数定律
1
n2
D n k1
Xk
n0
10
二 随机变量的收敛性
定义1 设
为一列随机变量，如果
存在常数 a使得对于任意的
有
则称 X n 依概率收敛于 a, 记为
定义2 设
为一列随机变量,X是随机变量
如果对于任意的
有，
则称{ X n }依概率收敛于 X , 记为
正态分布.
20
对此现象还 可举个有趣 的例子——
高尔顿钉板 试验—— 加 以说明.
•• • •• •• • •
N(0, n)
n— 钉子层数
3 0 3
21
X k 表示某一个小球在第k次碰了钉子后向左 或向右落下这一随机现象联系的随机变量， X k 满足中心极限定理条件，
Xk 0, 第k次试A验 发生 设 P (X k1 )p, 则 E (X k ) p ,D (X k ) pq
3
n
X1,X2,,Xn 相互独立，nA Xk
k 1
记Yn
1 n
n k1
Xk
,
E(Yn)p,
D(Yn)pnq
由 Chebyshev 不等式
0PnA n
p
P
n
Xk
k1
n
E(Xk
)
n
n
小概率事件, 因而在 n 足够大时, 可以用频
率近似代替 p . 这种稳定称为依概率稳定.
6
大数定律
设 r.v. 序列 X1,X2,,Xn,{ a k }
是常数序列，则 0有
1 n
limP n
nk1Xk
an
0
或
limP n
1nkn1Xk
an
1
则称 { X n } 服从大数定律．
7
Chebyshev 大数定律
X1,X2,,Xn,两两不相关的随机变量,又设
D (X k) C , k 1 ,2 ,L,n
则 0有
lni m P1 nkn 1Xk1 nkn 1E(Xk)0
或
lni m P1 nkn 1Xk1 nkn 1E(Xk)1
8
P1nkn1Xk
1nkn1E(Xk)
D(1 n
n k 1
X k)
几乎处处收敛于X，并记为
lni m XnX (a.s.)
四种收敛关系：
以概率１收敛或r-阶收敛 依概率收敛 依分布收敛
15
三、 中心极限定理
中心极限定理讨论：随机变量序列
n
n
X i E ( X i)
i1
i1
n
D ( X i) i1
对应的分布函数序列收敛于标准正态分布函数的定理
16
定理1（独立同分布的中心极限定理）
11
定义３:设 F(x),F1(x),F1(x),L是一列分布函数,如果
对F(x)每个连续点x，都有
则称分布函数列 记为
弱收敛于分布函数F(x) ，
定义：如果 依分布收敛于X，记为
则称
12
可以证明： （１）若
则，
（２）设C为常数，则
F(x)是X=C的分布函数，即
充分性：
F
(x)
1, x 0, x
25
由德莫佛-拉普拉斯定理有
P{XN}P
Xnp
Nnp
np(1p) np(1p)
nN(p1n pp)N 3.0180.
查表得 (1.2)80.9.0
设
为一列相互独立相同分布
的随机变量，且具有数学期望和方差，则对于
任意实数 有
其中
为标准正态分布的分布函数。
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若一随机变量可以表示成数量很多的相互独立相
同分布的随机变量的和，则该随机变量可近似服从 正态分布，标准化后就服从标准正态分布。
近似
n Yn~N(0,1)
X k nYnn近似服从N(n,n2)
《数学数理统计》PPT课件
准备工作
1) 切比雪夫不等式
设 为一随机变量, 其数学期望
都存在，则对于任意
有
和方差
2) A.L.Cauchy－Schwarz不等式.
2
贝努里（Bernoulli） 大数律设事件 在每次试验中出现的概率为 p, 且 在n次重复独立试验中出现的频率为
证 引入 r.v. 序列{Xk} 1, 第k次试A验 发生
c c
13
３：r－阶收敛
定义：设对随机变量Xn及X，r>0为常数，如果
EXnr ,EXr ,
且，
lni mEXn
Xr
0,
则称 { X n } r－阶收敛于X,记作
特别：１－阶收敛为平均收敛，２－阶为均方收敛
14
４：以概率１收敛 定义：若存在一随机变量X,使
P{lni m Xn X}1,
我们称随机序列 { X n } 以概率为１收敛于X,或说
例 某单位有200台电话分机，每台分机有5%的时间
要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互 独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以 90%以上的概率保证分机用外线时不等待？
解：设有X部分机同时使用外线，则有 X~B(n,p), 其 n 2 中 p 0 0 0n .,0 1 p 5 n 0 ,- , p p ( 3 ) .0 1 .8 设有N 条外线。由题意有 P{XN}0.9
2
n
D( X k)
k 1
n 2 2
{ X n } 两两不相关,且方差有界，则可得到
n
n
D(Xk)D(Xk)nC
k1
k1
P1nkn1Xk
1nkn1E(Xk)
C
n2
0,n
9
在定理一中,去掉方差存在的条件而加上相同 分布的条件，则有：
辛钦大数定律
设
为一列相互独立同分布的
随机变量，且具有相同的数学期望
E(Xk)0,D (Xk)1
n
X n X k k 1
n 16,
独立投入１００个小球，
22
定理 2 （德莫佛—拉普拉斯）
设
则对于任意实数
有
其中
为标准正态分布的分布函数。
这个定理表明，二项分布的极限分布是正态分布 当 很大时，我们便可以利用定理 2 来近似计算二 项分布的概率。
23
对任意
有，
24
4
0PnA n
p
P
n
Xk
k1
n
E(Xk
)
P Y n E (Y n ) 12
pq n
故 limPnAp0
n n
5
贝努里(Bernoulli)大数定律的意义
在概率的统计定义中, 事件 A 发生的频率
nA n “ 稳定于”事件 A 在一次试验中发生
的概率是指：
频率n A 与 p 有较大偏差 nA p 是
k 1
18
对任意
有，
19
中心极限定理的意义
前面讲过有许多随机现象服从正态分布 是由于许多彼此没有什么相依关系、对随机现 象谁也不能起突出影响，而均匀地起到微小作 用的随机因素共同作用(即这些因素的叠加)的
结果. 若联系于此随机现象的随机变量为X ，则
它可被看成为许多相互独立的起微小作用的因
素Xk的总和 X，k 而这个总和服从或近似服从
注 X1,X2,,Xn,相互独立的条件可以
去掉，代之以 （Markov） 大数定律
1
n2
D n k1
Xk
n0
10
二 随机变量的收敛性
定义1 设
为一列随机变量，如果
存在常数 a使得对于任意的
有
则称 X n 依概率收敛于 a, 记为
定义2 设
为一列随机变量,X是随机变量
如果对于任意的
有，
则称{ X n }依概率收敛于 X , 记为