《数学数理统计》PPT课件教学内容

2
n
D( X k)
k 1
n 2 2
{ X n } 两两不相关,且方差有界，则可得到
n
n
D(Xk)D(Xk)nC
k1
k1
P1nkn1Xk
1nkn1E(Xk)
C
n2
0,n
9
在定理一中,去掉方差存在的条件而加上相同 分布的条件，则有：
辛钦大数定律
设
为一列相互独立同分布的
随机变量，且具有相同的数学期望
k
正态分布.
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对此现象还 可举个有趣 的例子——
高尔顿钉板 试验—— 加 以说明.
•• • •• •• • •
N(0, n)
n— 钉子层数
3 0 3
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X k 表示某一个小球在第k次碰了钉子后向左 或向右落下这一随机现象联系的随机变量， X k 满足中心极限定理条件，
c c
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３：r－阶收敛
定义：设对随机变量Xn及X，r>0为常数，如果
EXnr ,EXr ,
且，
lni mEXn
Xr
0,
则称 { X n } r－阶收敛于X,记作
特别：１－阶收敛为平均收敛，２－阶为均方收敛
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４：以概率１收敛 定义：若存在一随机变量X,使
P{lni m Xn X}1,
我们称随机序列 { X n } 以概率为１收敛于X,或说
X1,X2,,Xn,两两不相关的随机变量,又设
D (X k) C , k 1 ,2 ,L,n
则 0有
lni m P1 nkn 1Xk1 nkn 1E(Xk)0
或
lni m P1 nkn 1Xk1 nkn 1E(Xk)1
8
P1nkn1Xk
1nkn1E(Xk)
D(1 n
n k 1
X k)
11
定义３:设 F(x),F1(x),F1(x),L是一列分布函数,如果
对F(x)每个连续点x，都有
则称分布函数列 记为
弱收敛于分布函数F(x) ，
定义：如果 依分布收敛于X，记为
则称
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可以证明： （１）若
则，
（２）设C为常数，则
F(x)是X=C的分布函数，即
充分性：
F
(x)
1, x 0, x
注 X1,X2,,Xn,相互独立的条件可以
去掉，代之以 （Markov） 大数定律
1
n2
D n k1
Xk
n0
10
二 随机变量的收敛性
定义1 设
为一列随机变量，如果
存在常数 a使得对于任意的
有
则称 X n 依概率收敛于 a, 记为
定义2 设
为一列随机变量,X是随机变量
如果对于任意的
有，
则称{ X n }依概率收敛于 X , 记为
E(Xk)0,D (Xk)1
n
X n X k k 1
n 16,
独立投入１００个小球，
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定理 2 （德莫佛—拉普拉斯）
设
则对于任意实数
有
其中
为标准正态分布的分布函数。
这个定理表明，二项分布的极限分布是正态分布 当 很大时，我们便可以利用定理 2 来近似计算二 项分布的概率。
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对任意
有，
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设
为一列相互独立相同分布
的随机变量，且具有数学期望和方差，则对于
任意实数 有
其中
为标准正态分布的分布函数。
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若一随机变量可以表示成数量很多的相互独立相
同分布的随机变量的和，则该随机变量可近似服从 正态分布，标准化后就服从标准正态分布。
近似
n Yn~N(0,1)
X k nYnn近似服从N(n,n2)
《数学数理统计》PPT课件
准备工作
1) 切比雪夫不等式
设 为一随机变量, 其数学期望
都存在，则对于任意
有
和方差
2) A.L.Cauchy－Schwarz不等式.
2
贝努里（Bernoulli） 大数定律
设事件 在每次试验中出现的概率为 p, 且 在n次重复独立试验中出现的频率为
证 引入 r.v. 序列{Xk} 1, 第k次试A验 发生
例 某单位有200台电话分机，每台分机有5%的时间
要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互 独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以 90%以上的概率保证分机用外线时不等待？
解：设有X部分机同时使用外线，则有 X~B(n,p), 其 n 2 中 p 0 0 0n .,0 1 p 5 n 0 ,- , p p ( 3 ) .0 1 .8 设有N 条外线。由题意有 P{XN}0.9
几乎处处收敛于X，并记为
lni m XnX (a.s.)
四种收敛关系：
以概率１收敛或r-阶收敛 依概率收敛 依分布收敛
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三、 中心极限定理
中心极限定理讨论：随机变量序列
n
n
X i E ( X i)
i1
i1
n
D ( X i) i1
对应的分布函数序列收敛于标准正态分布函数的定理
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定理1（独立同分布的中心极限定理）
Xk 0, 第k次试A验 发生 设 P (X k1 )p, 则 E (X k ) p ,D (X k ) pq
3
n
X1,X2,,Xn 相互独立，nA Xk
k 1
记Yn
1 n
n k1
Xk
,
E(Yn)p,
D(Yn)pnq
由 Chebyshev 不等式
0PnA n
p
P
n
Xk
k1
n
E(Xk
)
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由德莫佛-拉普拉斯定理有
P{XN}P
Xnp
Nnp
np(1p) np(1p)
nN(p1n pp)N 3.0180.
查表得 (1.2)80.9.0
4
0PnA n
p
P
n
Xk
k1
n
E(Xk
)
P Y n E (Y n ) 12
pq n
故 limPnAp0
n n
5
贝努里(Bernoulli)大数定律的意义
在概率的统计定义中, 事件 A 发生的频率
nA n “ 稳定于”事件 A 在一次试验中发生
的概率是指：
频率n A 与 p 有较大偏差 nA p 是
k 1
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对任意
有，
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中心极限定理的意义
前面讲过有许多随机现象服从正态分布 是由于许多彼此没有什么相依关系、对随机现 象谁也不能起突出影响，而均匀地起到微小作 用的随机因素共同作用(即这些因素的叠加)的
结果. 若联系于此随机现象的随机变量为X ，则
它可被看成为许多相互独立的起微小作用的因
素Xk的总和 X，k 而这个总和服从或近似服从
n
n
小概率事件, 因而在 n 足够大时, 可以用频
率近似代替 p . 这种稳定称为依概率稳定.
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大数定律
设 r.v. 序列 X1,X2,,Xn,{ a k }
是常数序列，则 0有
1 n
limP n
nk1Xk
an
0
或
limP n
1nkn1Xk
an
1
则称 { X n } 服从大数定律．
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Chebyshev 大数定律