第一章----波动方程
数学物理方程第二版答案
的通解可以写成
u
F x at Gx at hx
其中 F,G 为任意的单变量可微函数,并由此求解它的初值问题:
t 0 : u x ,
解：令 h x u v 则
u x . t
v h x u u v , h x 2 u h x u x x x x
( ESu x ) x
利用微分中值定理，消去 x ，再令 x 0 得
若 s( x) 常量，则得
( x)
即得所证。
2u u = ( E ( x) ) 2 x x t
2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由， (3)端点固定在弹性支承上，试 分别导出这三种情况下所对应的边界条件。
2u u g [(l x) ] 。 2 x x t
5. 验证
u ( x, y , t )
1 t x y
2 2 2
在锥 t x y >0 中都满足波动方程
2 2 2
2u 2u 2u 1 2 2 2 在锥 t x y >0 内对变量 2 2 证：函数 u ( x, y, t ) 2 2 2 2 t x y t x y
t有
G(x+at) 常数.
即对任何 x, G(x) C 0 又 G（x）=
1 1 x C ( x) ( )d 2 2a x0 2a
所以 ( x), ( x) 应满足
( x)
或
1 x ( )d C1 （常数） a x0 1 ' (x)+ ( x) =0 a
( x) (1 ) 2
若 E ( x) E 为常量，则得
第一章 三类典型方程和定解条件
a 其中，ij (x), bi (x), c x , f (x)都只是 x1 , x2, , xm 的已知 函数，与未知函数无关。
若一个函数具有某偏微分方程中所需 要的各阶连续偏导数，并且代入该方程中 能使它变成恒等式，则此函数称为该方程 的解（古典解）。 初始条件和边界条件都称为定解条件。 把某个偏微分方程和相应的定解条件 结合在一起，就构成了一个定解问题。 只有初始条件，没有边界条件的定解问题 称为始值问题（或柯西问题）。反之，只 有边界条件，没有初始条件的定解问题称 为边值问题。既有初始条件又有边界条件 的定解问题，称为混合问题。
数学物理方程
第一章 三类典型方程和定解条件 第二章 分离变量法 第三章 Laplace方程的格林函数法
第四章 贝塞尔函数及勒让德多项式
第一章 三类典型方程和定解条件
数学物理方程的研究对象——定解问题。 一个定解问题是由偏微分方程和相应的定解 条件组成。我们先来介绍三类典型的方程：
三类典型方程
一、波动方程 二、热传导方程
用以说明初始状态的条件称为初始条件。 用以说明边界上的约束情况的条件称为边 界条件。
一、初始条件
比如说波动方程（1.3）其初始条件有两 个，一个是参数u，一个是u的一阶导数。 即： u u t 0 及 都已知。 t
t 0
而热传导方程（1.7）其初始条件只有一 个，就是参数u。即：
Байду номын сангаасu t 0 是已知。
一个定解问题提的是否符合实际情况，从 数学角度来看，有三方面可以加以检验：
1、解的存在性，看定解问题是否有解。
2、解的唯一性，看是否只有一个解。
3、解的稳定性，看当定解条件有微小
变动时，解是否相应地只有微小的变 动，若确实如此，则称此解是稳定的。
大学物理_波动方程
《大学物理》 4、波动方程的几点讨论：
I、波沿x轴负向传播时，波动方程为：
yAco2s(Tt x)
y
II、波动方程中，x取固定值则得
到振动方程。
0
t
y0Aco2s(Tt x0)
y
u
III、波动方程中，t取固定值则
得到波形方程。
yAco2s(T t0x)
0
x
《大学物理》
例2 频率为12.5kHz的平面余弦纵波沿细长的金属棒传播，棒的杨氏模量为
0.1 10 3 cos( 25 10 3 t ) m 2
可见此点的振动相位比原点落后，相位差为
2
， 或 落 后 1 T ， 即 2 10 5 s 。 4
( 4 ) 该 两 点 间 的 距 离 x 10 cm 0.10m
1 ，相应的相位差为 4
2
(5 ) t= 0 .0 0 2 1 s 时 的 波 形 为
1 0
2
根据已知条件,初相为:
x
2
y 1 co (t sx )[ /2 ]
《大学物理》
(2)按题设条件,t=1s时的波形方程为:
y1cos(1[x)/2]
y
u
sinx
1
(3)按题设条件,x=0.5m处的质点02 Nhomakorabeax
振动方程为:
y1cos(t[0.5)/2] cost()
《大学物理》
例题4 在x=0处有一个波源,振动初相为0,向x轴正向发出谐 波,波长为4m,振幅为0.01m,频率为50赫兹.现在x=10m处有 一个反射装置，将波反射.试求，反射波的波动方程.
解 棒中的波速
u Y 1.9 1011 N m2 5.0 103 m/s
偏微分方程讲义
G(x) = φ(x/2) − F (0), F (0) + G(0) = φ(0) = ψ (0). ( ) ( ) x − at x + at ⇒ u(x, t) = ψ +φ − φ(0). 2 2
例 2.4 对非齐次波动方程的初值问题 (2.5)、(2.6), 证明: 当 f (x, t) 不变时, (1) 如果初始条件在 x 轴的区间 [x1 , x2 ] 上发生变化, 那么对应的解在区间 [x1 , x2 ] 的影响区域外不发生变化; (2) 在 x 轴区间 [x1 , x2 ] 上所给的初始条件唯一确定区间 [x1 , x2 ] 的决定区域中解的 数值. 解: 弄清影响区域、决定区域的定义. 例 2.5 求解 utt − a2 uxx = 0, x > 0, t > 0, u|t=0 = φ(x), ut |t=0 = 0, ux − kut |x=0 = 0,
其中 k 为正常数. 齐海涛 htqi2008@ 4
山东大学威海分校
2
达朗贝尔公式、波的传播
解: 波动方程的通解为 u = F (x − at) + G(x + at), 由初始条件得 F (x) + G(x) = φ(x), −aF ′ (x) + aG′ (x) = 0
1 C 1 C F (x) − G(x) = C, F (x) = φ(x) + , G(x) = φ(x) − , 2 2 2 2
1 其中 C = F (0) − G(0). 由于 x + at ≥ 0, G(x + at) = 2 φ(x + at) − C 2 . 当 x − at ≥ 0 1 C 1 时, F (x − at) = 2 φ(x − at) + 2 . 此时 u(x, t) = 2 [φ(x + at) + φ(x − at)]. 当 x − at < 0 时, 由边界条件知
第一章_波动方程
u ( 3) 2 x 0 y x 2u 2u 2u ( 4) 2 2 2 sin x xy y x
( 5)
2u x
2
2
3u x y
假定有垂直于x轴方向的外力存在，并设其线密度为F(x,t)，则 弦段(x, x+Δx)上的外力为：
x x
x
F ( x ,t) dx
它在时间段(t, t+Δt)内的冲量为：
t x
t t x x
F ( x , t ) dx dt
数学物理方程
第一章 波动方程
于是有：
2 2 u ( x , t ) u ( x , t ) [ 2 T F ( x , t )] dx dt 0 2 t x t x t t x x
u T x
x a
k u x a
或
u u 0 x xa
数学物理方程
第一章 波动方程
§1.2 定解条件
同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边
界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即
个性。 初始条件：够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。 边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束 情况的条件。 其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的条件。
y
M'
T'
u ( x, t ) sin tan x u ( x dx, t ) sin ' tan ' x
ds
'
T
M
gds
x x dx x
数学物理方程
大学物理-波动方程
通过将波动方程中的空间和时间变量分离，简化求解过程。
傅里叶分析
利用傅里叶变换将时域信号转换为频域信号，便于分析波的频率 和振幅。
数值解法
对于复杂边界条件和初始条件，采用数值方法求解波动方程。
三维波动方程的应用
声波传播
研究声波在介质中的传播规律，如声呐、超声成像等。
光学研究
解释光波在介质中的传播规律，如折射、干涉、衍射等现象。
波动方程在声学中的应用
声波传播规律
波动方程可以用来描述 声波在空气、固体等介 质中的传播规律，如声 速、声压、声强等。
声学仪器设计
在声学仪器设计中，如 超声波探伤仪、声呐等， 需要利用波动方程来计 算和优化仪器的性能。
声音信号处理
在声音信号处理中，如 音频压缩、降噪等，可 以利用波动方程对声音 信号进行分析和变换。
数值解法
对于一些复杂的问题，可以通过 数值计算方法求解二维波动方程， 如有限差分法、有限元法等。
二维波动方程的应用
声波传播
在声学领域，二维波动方程可以用来描述声波在 固体、液体或气体中的传播规律。
地震波传播
在地球物理学中，二维波动方程可以用来模拟地 震波在地壳中的传播和散射。
电磁波传播
在电磁学领域，二维波动方程可以用来描述电磁 波在介质中的传播特性。
物理背景
波动方程基于物理原理，如牛顿第二定律和弹性力学 等，用于描述波在空间中的传播和变化。
建立过程
通过将物理原理和数学方法相结合，可以建立二维波 动方程的数学表达式。
二维波动方程的解法
分离变量法
通过将二维波动方程中的空间和 时间变量分离，将问题简化为求 解一系列一维方程。
傅里叶分析
利用傅里叶变换将时间和空间域 的函数转换为频率域的函数，从 而简化求解过程。
数学物理方程Ch1
-1-
1.2 习题选讲
其中x∗ ∈ (x, x + ∆x).约去∆x并令∆x → 0,即得 ∂ ∂u ∂ ρ (x) S (x) = ∂t ∂t ∂x 当S (x)为常数时，即为
∂ ∂t ρ (x) ∂u ∂t = ∂ ∂x E ∂u ∂x ,
E (x) S (x)
∂u ∂x
2. 在杆纵向振动时,假设(1)端点固定,(2)端点自由,(3)端点固定在弹性支承上,试分别导出这三种 情况下所对应的边界条件.
-3-
1.2 习题选讲
因此, 根据达朗贝尔公式, v (x, t)的通解可写为 v (x, t) = F (x − at) + G(x + at),从而 F (x − at) + G(x + at) u(x, t) = h−x
(2) 根据上述变换, v (x, t)所满足的初始条件为 t = 0 : v = (h − x)ϕ(x), ∂v = (h − x)ψ (x) ∂t
图 1-2
图示
4. 绝对柔软而均匀的弦线有一端固定,在它自身重力的作用下,此线处于铅垂的平衡位置,试导出 此线的微小横振动方程.
-2-
第一章 波动方程
解: 根据弦的微小横振动方程,有
ρ ∂2u ∂ = 2 ∂t ∂x T (x) ∂u ∂x
其中T (x)为弦的内部张力.在本题中,T (x) = ρg (l − x) ,故有 ∂2u ∂ ∂u =g (l − x) . 2 ∂t ∂x ∂x
1 1 − ak ak u (x, t) = φ (x + at) + φ (at − x) + φ (0) , 2 2 (1 + ak ) 1 + ak 6. 求解初边值问题 utt − uxx = 0, 0 < t < kx, k > 1, u| x 0, t=0 = ϕ0 (x) , ut |t=0 = ϕ1 (x) , x 0, ut |t=kx = ψ (x) , 0 < x < at
第一章----波动方程
总之：
无外力作用的一维弦振动方程：
2u t 2
a2
2u x2
0
外力作用下的弦振动方程：
(1.4)
2u t 2
a2
2u x2
f (x,t)
(1.5)
其中 a2 T , f F , f 称为非齐次项（自由项）。
注：弦振动方程也叫波动方程，因为它描述的是一种 振动或波动现象，后面将给出解释。
1973年布莱克（Black）和休尔斯（Scholes）建立了倒向 微分方程决定欧式期权的无套利价格：
f t
rS
f S
1 2S2
2
2 f S 2
rf
这里，对买入期权有 f (S,t) |tT max{ST X ,0} ；对卖出期权有
f (S,t) |tT max{X ST ,0} 。其中 r 为无风险利率， S 为股票价格，
一般步骤（从宇宙探星谈起）： 1、将物理问题归结为数学上的定解问题； 2、求解定解问题； 3、对求得的解给出物理解释。
四、偏微分方程的研究内容－适定性的概念
1、存在性 2、唯一性 3、稳定性
如果一个定解问题的解是存在的、 唯一的，而且是稳定的，则称该定 解问题是适定的。
五、微分方程的重要作用
可以说有了微积分，就有了微分方程 （微积分是17世纪为了解决物理、力学、 天体问题而产生的，而这些问题多为数学 物理方程）。
1 (tan )2 dx 1 2 dx dx
（2）弦上各点的张力是常数
由于弦做横振动，弦沿 x 轴无运动，所以合力为零
T1 cos1 T2 cos2 T1 T2 T
第一章 波动方程和行波法
如弦振动方程: utt a2uxx 0
其初始条件为: 同一时刻( t 0 )情况
u ut
t0 (x) t0 (x)
初始位移 初始速度
注意：( a）初始条件应是整个系统的初始
状态，而不是系统中个别点的初始状态。
31
如：一根长为 l 的两端固定的弦，用手把它的 中点朝横向拔开距离h，然后放手任其振动（ 初始时该就为放手的时刻），则初始条件应为：
Tux (x0 0,t) Tux (x0 0,t) F (t) ②
①、②合称为衔接条件，这时振动问题适定。
42
再如，不同材料组成的杆的振动，在
衔接处的位移和能量相等，即：
u u 1 x x0
2 x x0
E1u1x xx0 E1u2 x xx0
u1(x,t), u2 (x,t) ：杆的两部分位移. E1 , E2 ：两部分的杨氏模量.
27
二、定解条件的提出 1、必要性。导出方程后，就得对方程进行求
解。但是只有泛定方程不足以完全确定方程的 解，即不足以完全确定具体的物理过程，因为 具体的物理过程还与其初始状态及边界所受的 外界作用有关，因而必须找一些补充条件，用 以确定该物理过程。
28
从物理角度看：泛定方程仅表示一般性（共 性），要为物体的运动个性化附加条件。
10
由于张力的作用，一个小段的振动必带动它 的邻段，邻段又带动它自己的邻段，这样一个 小段的振动必然传播到整个弦，这种振动的传 播现象叫作波。弦是轻质弦（其质量只有张力 的几万分之一）。跟张力相比，弦的质量完全 可以略去。
11
① 模型实际上就是：柔软轻质细弦（“没 有质量”的弦）
② 将无质量的弦紧绷，不振动时是一根直 线，取为 x 轴。
波动方程和振动方程的表达式(3篇)
第1篇一、波动方程波动方程是描述波动在连续介质中传播的偏微分方程。
常见的波动方程有弦振动方程、声波方程、光波方程等。
以下列举几种常见的波动方程及其表达式：1. 弦振动方程弦振动方程描述了弦在受到外力作用下的振动规律。
假设弦的线密度为λ，张力为T，弦上某点的位移为y(x,t)，则弦振动方程可表示为：∂²y/∂t² = (T/λ)∂²y/∂x²其中，x表示弦的长度，t表示时间，y(x,t)表示弦上某点的位移。
2. 声波方程声波方程描述了声波在介质中的传播规律。
假设介质的密度为ρ，声速为c，声波在介质中的波动函数为p(x,t)，则声波方程可表示为：∂²p/∂t² = c²∂²p/∂x²其中，x表示声波传播的距离，t表示时间，p(x,t)表示声波在介质中的波动函数。
3. 光波方程光波方程描述了光波在介质中的传播规律。
假设光波在介质中的波动函数为E(x,t)，介质的折射率为n，则光波方程可表示为：∂²E/∂t² = (n²/c²)∂²E/∂x²其中，x表示光波传播的距离，t表示时间，E(x,t)表示光波在介质中的波动函数。
二、振动方程振动方程描述了物体在受到外力作用下的振动规律。
常见的振动方程有单摆运动方程、弹簧振动方程等。
以下列举几种常见的振动方程及其表达式：1. 单摆运动方程单摆运动方程描述了单摆在重力作用下的振动规律。
假设单摆的摆长为L，摆球质量为m，摆球偏离平衡位置的角度为θ，则单摆运动方程可表示为：mL²θ'' = -mgLsinθ其中，θ'表示摆球偏离平衡位置的角度对时间的导数，θ''表示摆球偏离平衡位置的角度对时间的二阶导数。
2. 弹簧振动方程弹簧振动方程描述了弹簧在受到外力作用下的振动规律。
假设弹簧的劲度系数为k，弹簧的位移为x，则弹簧振动方程可表示为：mω²x = -kx其中，ω表示弹簧振动的角频率，m表示弹簧的质量。
波动方程
历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔·伯努利和拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。
首先假设，在原点处有振动y=f(t)，振动以速度v向x轴正方向传播，则t时刻x处的振动方程是
即x处的振动比原点处慢x/v。
这样我们就得到了沿x轴正方向传播的波函数一般形式
从波函数出发，可以推导出波动方程的一般形式。
令u=t-x/v
对时间的一阶偏导数
二阶偏导数
对坐标的一阶偏导数
二阶偏导数
可以很容易得到波函数时空变化关系，即波动方程
移相后就得到常见的波动方程
满足这方程的波，可以从特征式里面得出传播速度v。
麦克斯韦计算电磁波的传播速度就用到了上面的式子。
弦振动方程是在18世纪由达朗贝尔（d'Alembert）等人首先系统研究的，它是一大类偏微分方程的典型代表。
波动方程的公式
波动方程的公式波动方程是物理学中一个非常重要的概念，它描述了波的传播和变化。
波动方程的公式有好几种形式，咱今天就来好好唠唠。
先来说说弦振动的波动方程。
想象一下一根紧绷的琴弦，当你轻轻拨动它的时候，它就会产生振动。
这个振动的规律就可以用波动方程来描述。
弦振动的波动方程为：$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} =c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ ，这里的 $u(x,t)$ 表示弦在位置 $x$ 、时刻 $t$ 的位移，$c$ 是波的传播速度。
再说说电磁波的波动方程。
电磁波那可是无处不在啊，像咱们用的手机信号、家里的 Wi-Fi ，都是电磁波。
电磁波的波动方程就复杂一些啦，在真空中，电场强度 $E$ 和磁感应强度 $B$ 满足的波动方程分别是：$\nabla^2 E - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 E}{\partial t^2} = 0$ 和$\nabla^2 B - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 B}{\partial t^2} = 0$ 。
给大家讲讲我曾经在课堂上给学生们讲解波动方程的事儿。
那是一个阳光明媚的上午，我满心期待地走进教室，准备给学生们讲解这个有点难度的知识点。
我在黑板上写下波动方程的公式，然后开始解释每个符号的含义。
可我发现，不少同学的眼神里充满了迷茫。
于是，我决定换一种方式，我拿起一根绳子，模拟弦的振动，边演示边讲解。
我看到有几个同学的眼睛开始亮了起来，好像有点明白了。
但还有一部分同学依然眉头紧锁。
我又想了个办法，让同学们分组讨论，互相交流自己的理解。
这时候，教室里热闹起来，大家七嘴八舌地说着自己的想法。
经过一番讨论和我的再次讲解，大部分同学终于露出了恍然大悟的表情。
波动方程在实际生活中的应用那可太多啦。
比如说声波，咱们说话、听音乐，声音就是以声波的形式传播的。
波动方程推导过程
例 1.5 一柔软均匀的细弦, 一端固定, 另一端是弹性支承. 设该弦在阻力与速度成正比的介质 中作微小的横振动, 试写出弦的位移所满足的定解问题.
解: k, σ 为正常数
utt − a2uxx + kut = 0, u|t=0 = φ(x), ut|t=0 = u|x=0 = 0, (ux + σu)|x=l = 0.
解: 设弦长为 l, 取弦上端点为原点, 取铅垂向下的轴为 x 轴. 设 u(x, t) 为时刻 t, x 处的横向位 移. 取位于 (x, x + ∆x) 的微元进行分析, 由绝对柔软的假设, 弦的张力 T 的方向总是沿弦的切
线方向. 又由微小振动的假设 ux ≪ 1. 因此认为弦在振动过程中不伸长, 且张力 T 与时间无 关. 考察受力平衡 (α1, α2 为张力 T 的方向与竖直线的夹角)
第一章 波动方程
齐海涛 山东大学威海分校 数学与统计学院
Email: htqisdu@
September 28, 2011
目录
1 方程的导出、定解条件
2
2 达朗贝尔公式、波的传播
4
3 初边值问题的分离变量法
7
4 高维波动方程的柯西问题
10
5 波的传播与衰减
13
6 能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性
3
2 达朗贝尔公式、波的传播
例 2.1 证明方程
∂ [( x )2 ∂u ] 1 ( x )2 ∂2u
∂x
1− h
∂x
= a2
1− h
∂t2
(h > 0 常数)的通解可以写成
u = F(x − at) + G(x + at) , h−x
数学中的波动方程
数学中的波动方程波动方程是数学中的一类偏微分方程，描述了波动现象在空间和时间上的变化规律。
它在物理学、工程学以及其他领域中有着重要的应用。
本文将介绍波动方程的定义、求解方法以及一些实际应用案例。
一、波动方程的定义波动方程是一种描述波动传播的数学模型。
一维波动方程可以表示为：∂²u/∂t² = v²∂²u/∂x²其中，u是波动的位移函数，t是时间，x是空间坐标，v是波速。
这个方程可以用来描述一维情况下的波动传播过程。
二、波动方程的求解方法波动方程是一个二阶偏微分方程，可以通过适当的数学方法求解。
其中一种常用的求解方法是分离变量法。
首先，我们假设波动函数u可以表示为时间项和空间项的乘积形式：u(x,t) = X(x)T(t)将上述形式代入波动方程中，得到两个分离后的常微分方程：X''(x)/X(x) = (1/v²)T''(t)/T(t) = -k²其中，k是一个常数。
解这两个常微分方程，我们可以得到波动方程的通解：u(x,t) = Σ[Aₙcos(kₙx) + Bₙsin(kₙx)]cos(ωₙt + φₙ)其中，Aₙ、Bₙ、φₙ是常数，ωₙ是角频率。
三、波动方程的实际应用波动方程在物理学和工程学中有着广泛的应用。
以下是一些实际应用案例：1. 声波传播：波动方程被用来描述声波在空气、水等介质中的传播过程。
通过求解波动方程，可以得到声波的传播速度、共振频率等信息，这对于声学工程和声学设备的设计非常重要。
2. 光波传播：波动方程也被用来描述光波在光学系统中的传播过程。
通过求解波动方程，可以研究光的折射、反射、干涉等现象，进而优化光学器件的设计。
3. 弦的振动：波动方程可以描述弦的振动行为。
通过求解波动方程，可以得到弦上各个点的振幅和频率分布情况，从而研究弦乐器的音色特性。
4. 地震波传播：地震波是地球内部能量释放后产生的波动现象。
《数学物理方程-福州大学-江飞》作业chapter1
2vxx 2 2 A
0, v(l,t)
cos 0
2t
x
/
l
,
v(x, 0) vt (x, 0) 0
利用齐次化原理可得 v t w x,t; d , 其中w x,t; 0
满足
wwt(t 0, ta)
2wxx , 0,
w(l,
t
)
0,
w(x, )， wt (x, ) 22 Acos 2 x / l.
cos
2t
cos
k
al
1t
cos 2t cos k al1t
2l
2(2 k a，l1)
2(2 k al1)
if k .
a
u(x,t) U (x,t) v(x,t), U (x,t) A sin2 t x / l, v t w x,t; d , 0
v
42 Al 1k1
Eux x0 k[u(0,t) v(t)]
支承固定时
其中k为支承的刚度系数。由此得边界条件 f (t) 0.
ux u) x0 f (t), 其中 k / E, f (t) kv(t) / E.
初始状态：
运动 t 时刻：
0
l 支承
x
T (l,t) E(l)ux (l,t)
质点 x l T (l,t)
ux
u) x0
f (t),
其中
k
/
E,
f (t) kv(t) /
E.
4. 绝对柔软而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力 作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横 振动方程。
解 设弦长为 l ，弦的线密度为，则x点处的张力T (x) 为
T (x) g(l x) T (x) ,
物理方程
第一章． 波动方程4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。
解：如图2，设弦长为l ，弦的线密度为ρ，则x 点处的张力)(x T 为)()(x l g x T -=ρ且)(x T 的方向总是沿着弦在x 点处的切线方向。
仍以),(t x u 表示弦上各点在时刻t 沿垂直于x 轴方向的位移，取弦段),,(x x x ∆+则弦段两端张力在u 轴方向的投影分别为)(sin ))(();(sin )(x x x x l g x x l g ∆+∆+--θρθρ其中)(x θ表示)(x T 方向与x 轴的夹角又 .sin x u tg ∂∂=≈θθ 于是得运动方程x u x x l tu x ∂∂∆+-=∂∂∆)]([22ρ∣x ux l g x x ∂∂--∆+][ρ∣g x ρ利用微分中值定理，消去x ∆，再令0→∆x 得])[(22x ux l x g tu ∂∂-∂∂=∂∂ ２．问初始条件)(x ϕ与)(x ψ满足怎样的条件时，齐次波动方程初值问题的解仅由右传播波组成？解：波动方程的通解为u=F(x-at)+G(x+at)其中F ，G 由初始条件)(x ϕ与)(x ψ决定。
初值问题的解仅由右传播组成，必须且只须对 于任何t x ,有 G(x+at)≡常数.即对任何x, G(x)≡C 0又 G （x ）=⎰-+x x aCd a x 02)(21)(21ααψϕ所以)(),(x x ψϕ应满足+)(x ϕ⎰=xx C d a 01)(1ααψ（常数）或 'ϕ(x)+)(1x aψ=03.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∂∂=∂∂=+=-).()(0022222x u x u x u a t u at x at x ψϕ 解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)令 x-at=0 得 )(x ϕ=F （0）+G （2x ） 令 x+at=0 得 )(x ψ=F （2x ）+G(0) 所以 F(x)=)2(x ψ-G(0). G （x ）=)2(x ϕ-F(0). 且 F （0）+G(0)=).0()0(ψϕ= 所以 u(x,t)=(ϕ)2at x ++)2(atx -ψ-).0(ϕ 即为古尔沙问题的解。
1 波动方程
例1：已知波源在原点的一列平面简谐波，波 动方程为y=Acos（Bt-Cx），其中A，B，C为 正值恒量，求：
（1）波的振幅，波速，频率，周期和波长； （2）写出传播方向上距离波源为l处的一点 的振动方程； （3）任一时刻，在波的传播方向上相距为d 的两点的相位差。
例2：一平面简谐波沿x轴负向传播，波长为 1.0m，原点处质点的振动频率为2Hz，振幅 为A=0.1m，且在t=0时恰好通过平衡位置向y 轴负向运动，求此平面波的波动方程。
设初相为0. 1. 当 x 一定时，由波动方程就可以得到固定点 的振动方程。
y Acos( t )
2 πx x λ u
2. 当 t 一定时，波函数表示该时刻波线上各点相 对其平衡位置的位移，即此刻的波形。
y
O
x1
x2
x
这个图线称为波形曲线，它反映了在某一时刻各 个质元的位移。
（3）波阵面（波前）
在某一个时刻，由波源最初振动状态传到各点所连成的曲面 称为波阵面或者波前。
（4） 球面波和平面波
波前 波面
*
球面波
波线
平面波
2.惠更斯原理
波所到达的每一点都可以看作是发射次级子波的波源， 而在其后的任意时刻，这些子波的包络就是新的波前.
ut
ut
平 面 波
球 面 波
O
u
张力
单位长度的质量
四. 波动方程
1.简谐波
如果振源作的是简谐运动，由此产生的波就称为 简谐波。 平面简谐波：波面为平面的简谐波。
2.平面简谐波的方程
u
点O 的振动状态
yO A cos(t )
x u
如果O点已振动了t秒钟，那么这时P点就只振动了t- 秒 . 点P 振动方程
1波动方程
t x y = A cos2π + T λ
x y = A cos 2π ν t + λ 2π x y = A cos[ 2πν t +]
Tu = λ
1 ν= T
y
λ
ut
0 x X
T=λ/u=0.4/20=0.02s y(0,0)=0 v0>0 初位相为 φ= -π/2 2π 2πx π y = Acos( t + ) λ 2 T
F
y
0.04m
u
0.2m 0.4m
X
= 4 ×10 2 cos(100πt + 5πx π 2)m 17
因为: 因为: = y = y( x, t ) = Aω sin[ω (t + x ) + 0 ] v u t 所以 v = y = y ( x, t ) = 12.6 cos(100πt + 5πx)(m / s ) t 显然与波速u=20m/s 不同. 不同. 显然与波速 上例中条件是已知t=0时刻的波动方程 时刻的波动方程. 上例中条件是已知 时刻的波动方程. 如果t=0时 波源 波源x=0点的振动方程为: 点的振动方程为: 如果 时,波源 点的振动方程为
19
三,波函数的物理意义
1.振动方程与波动方程的区别 振动方程与波动方程的区别
x = A cos(ωt + )
振动方程是时间 t 的函 数 波动方程是坐标 x 和时间 t 的函数, 的函数,表示的是参与波 动的一系列的质点任意时 刻的振动位移. 刻的振动位移.
x o
x = f (t )
t
y = f ( x ,t )
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四,波阵面,波射线,波前 波阵面,波射线,
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两个自变量的二阶线性偏微分方程一般形式：
a11uxx 2a12uxy a22uyy b1ux b2uy c u f , (0.1) 如果 f 0, 则称（0.1）为齐次方程；
否则为非齐次方程。
二、偏微分方程的解
三、偏微分方程的研究方法
微分方程在自然现象、军事科技和国 民经济中发挥着重要的作用，现举例如下：
1、导弹动力学弹道方程组
m dv P cos Q mg sin
dt
m d P sin Y mg cos
dt
dx v cos
dt
dy v sin
dt
dm dt
mc
注意：在弹道设计中，
（2）弦是柔软的：弦在离开平衡位置时各点均不 抵抗弯曲，弦的张力方向沿着弦的切线方向；
拉紧：在弹性范围内，满足Hook（胡克）定律。 （3）弦作微小横振动：弦的位置在同一平面内作 微小变化（|ux|<<1）；弦上各点的位移与平衡位 置垂直（位u 移沿u轴方向）。
建立坐 标系：
以弦的平衡位置为 x轴，在弦作振动的平面
1973年布莱克（Black）和休尔斯（Scholes）建立了倒向 微分方程决定欧式期权的无套利价格：
f t
rS
f S
1 2S2
2
2 f S 2
rf
这里，对买入期权有 f (S,t) |tT max{ST X ,0} ；对卖出期权有
f (S,t) |tT max{X ST ,0} 。其中 r 为无风险利率， S 为股票价格，
上与x轴垂直的方向为 u轴。以 u( x, t )表
示弦上点x 在时刻t 垂直于x 轴方向的位移
对于弦的微小振动，可设倾角（弦上一点的 ,cos 1,tan
在这种假设下，有：
（1）弦的伸长可忽略不计
ds (dx)2 (du)2 1 ( du)2 dx dx
t
x y
y
c2H
其中 h 平均海平面下水深； 海平面相对平均海平面的高度； H h 总水深； u,v 垂直平均流速的 x, y 分量
几乎所有学科：分子扩散过程、激光诱导DNA分子动
力学模型、桥梁工程设计中的力学振动问题、流体力学、 量子力学、生物人口模型、最优控制论等等
练习：
求解下列二阶偏微分方程
uxy 0
复习：
牛顿运动定律、质量守恒定律、
动量守恒定律、热量守恒定律等基本的 物理定律？
冲量、动量等概念？
本学期（数学物理方程）学习的基本内容：
一、三类数理方程（弦振动方程、热传导方程 和调和方程)定解问题的
1、适定性 2、基本求解方法 3、解的性质等 二、二阶线性偏微分方程的分类 注：弦振动方程也叫波动方程
一般步骤（从宇宙探星谈起）： 1、将物理问题归结为数学上的定解问题； 2、求解定解问题； 3、对求得的解给出物理解释。
四、偏微分方程的研究内容－适定性的概念
1、存在性 2、唯一性 3、稳定性
如果一个定解问题的解是存在的、 唯一的，而且是稳定的，则称该定 解问题是适定的。
五、微分方程的重要作用
可以说有了微积分，就有了微分方程 （微积分是17世纪为了解决物理、力学、 天体问题而产生的，而这些问题多为数学 物理方程）。
第一章 波动方程
第一节 方程的导出和定解条件
一、方程的导出（以弦振动为例）：
模型：一根拉紧的均匀柔软的细弦，两端固定，长
为 l ，在外力作用下，弦在平衡位置附近作微
小的横振动－振动方向与弦的平衡位置垂直。
问题： 研究弦上各点的运动规律。
分析：（理想化假设）
（1）弦是均匀的：线密度 是常数；
细弦：横截面直径与弦的长度相比可以忽略。
X 为期权的行使价格，f (S,t) 为基于 S 的期权价格。
3、流体力学海域潮流场模型（龙卷风、 海啸模型）
(Hu) (Hv) 0
t
x
x
1
u t
u u x
v u y
fu
g
x
g
u(u 2 v2 ) 2 c2H
1
v u v v v fu g g v(u 2 v2 ) 2
v 导弹速度 (t) 弹道倾角 y 飞行高度 mc 推进剂秒流量
2、金融数学（金融工程期权定价模型）
在基于股票的衍生证券市场上，欧式买入期权的行使办法是：
在到期日 ，当T 股票价格
X
S（T 行X 使价格）时，则按
欧式卖出期权的行使办法是：在到期日 T ，当股票价格 ST X （行使价格）时，则按 X 卖出股票，否则不行使期权。
姜礼尚等编，北京：高等教育出版社，１９９６年 １２月
引言
一、什么是数学物理方程？
从物理、力学等实际问题中产生的函数方程， 主要是偏微分方程或积分方程。
偏微分方程：
含有两个或两个以上自变量和未知函数 以及未知函数的偏导数的关系式。
偏微分方程的阶：
方程中所含偏导数的最高阶阶数。
线性偏微分方程：
如果一个偏微分方程对于未知函数以及它的各阶 偏导数都是线性的。
数学物理方程
主讲教师： 王 术 北京工业大学应用数理学院
wangshu@ Tel:６７３９２２１２（Ｏ）
教材：《数学物理方程》（第二版）
谷超豪、李大潜、陈恕行、郑宋穆、谭永基 编著， 北京：高等教育出版社， 2002年7月
参考书：《数学物理方程》
陈恕行、秦铁虎、周忆编著，上海：复旦大学出版 社，2003年9月
1 (tan )2 dx 1 2 dx dx
（2）弦上各点的张力是常数
由于弦做横振动，弦沿 x 轴无运动，所以合力为零
T1 cos1 T2 cos2 T1 T2 T
求解动力学弹道的目
的是为了得到
x, y,v
三个参数，以便对射 程、导引方法及燃料 添置等方案进行选择
其中 P,Q,Y,, g 分别表示发动机的推力，气体阻力，升力（飞行速度、飞
行高度、导弹外形等因素确定），推力与速度的夹角在垂 直平面上的投影，重力加速度
m 导弹质量 x 飞行路程