第七章-一维波动方程的解题方法及习题答案

第二篇 数学物理方程

——物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法

Abstracts:1、根据物理问题导出数理方程—偏微分方程；

2、给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件

(自然条件，连接条件)，从而与数理方程一起构成定解问题；

3、方程齐次化；

４、数理方程的线性导致解的叠加。

一、数理方程的来源和分类（状态描述、变化规律）

1、来源

I ．质点力学：牛顿第二定律F mr = 连续体力学2222()(,)(,)0(()0;v 1()0(Euler eq.).u r t a u r t t v t v v p f t ρρρ⎧⎧∂⎪⎪-∇=⎨⎪∂⎪⎪⎩⎪∂⎪+∇⋅=⎨∂⎪∂-⎪+⋅∇=+=⎪∂⎪⎪⎩

弹性定律弦弹性体力学

杆 振动：波动方程);膜流体力学：质量守恒律：热力学物态方程： II.麦克斯韦方程

;;00;().,,,D D E l B s E B B B H l j D s H j D E u B A u A σρτρσ⎧⋅=⇒∇⋅=⋅=⋅⇒∇⨯=⎪⎪⎪⋅=⇒∇⋅=⋅=+⋅⇒∇⨯=+⎨⎪=-∇=∇⨯⎪⇒⇒⎪⎩⎰⎰

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d d d d d d 满足波动方程。Lorenz 力公式力学方程；Maxwell eqs.+电导定律电报方程。

III. 热力学统计物理

220;0.T k T t D t ρρ∂⎧-∇=⎪⎪∂⎨∂⎪-∇=⎪∂⎩

热传导方程：扩 散方程：特别: 稳态（0t ρ∂=∂）:20ρ∇= (Laplace equation). IV. 量子力学的薛定谔方程：

22.2u i u Vu t m

∂=-∇+∂

稳态方程 Laplace equation 20u ∇= 椭圆型 二、数理方程的导出

推导泛定方程的原则性步骤：

（1）定变量：找出表征物理过程的物理量作为未知数（特征量），并确定影响未知函数的自变量。

（2）立假设：抓主要因素，舍弃次要因素，将问题“理想化”

---“无理取闹”（物理趣乐）。

（3）取局部：从对象中找出微小的局部（微元），相对于此局部一切高阶无穷小均可忽

略---线性化。 （4）找作用：根据已知物理规律或定律，找出局部和邻近部分的作用关系。 （5）列方程：根据物理规律在局部上的表现，联系局部作用列出微分方程。

Chapter 7 一维波动方程的傅里叶解

第一节 一维波动方程-弦振动方程的建立

7.1.1 弦横振动方程的建立

（一根张紧的柔软弦的微小振动问题）

（1）定变量：取弦的平衡位置为x 轴。表征振动的物理量为各点的横向位移),(t x u ，从

而速度为t u ，加速度为tt u .

（2）立假设：①弦振动是微小的，1<<α，因此，sin tan ααα≈≈，1cos ≈α，又

tan u x αα∂=≈∂，1<<∂∂∴x

u ；②弦是柔软的，即在它的横截面内不产生应力，则在拉紧的情况下弦上相互间的拉力即张力),(t x T 始终是沿弦的切向

(等价于弦上相互间有小的弹簧相连)

；③所有外力都垂直于x 轴，外力线密度为),(t x F ；④设弦的线密度（细长）为),(t x ρ，

重力不计。

（3）取局部：在点x 处取弦段d x ,d x 是如此之小,以至可以把它看成质点(微元)。质

量微元：x t x d ),(ρ；微弧长：x x x u u x s d d 1d d d 2

22≈⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=+=（即这一小段的长度在振动过程中可以认为是不变的，因此它的密度()t x ,ρ不随时间变

化，另外根据Hooke 定律F k x δδ=-可知，张力),(t x T 也不随时间变化，我

们把它们分别记为()x ρ和)(x T .

（4）找作用：找出弦段所受的力。

外力：x t x F d ),(，垂直于x 轴方向；

张力变化：()()d cos |cos |(d )()x x x T T T x x T x αα+-=+-,x 方向紧绷，

()()()()()d d sin |sin |||d x x x x x x x x x x T T Tu Tu Tu x αα++-=-=,垂直于x 轴方向。

（5）列方程：根据牛顿第二定律

0)()d (=-+x T x x T ，因x 方向无位移，故T x T x x T ==+)()d (.

()x Tu x t x F x Tu x t x F xu x xx x x tt d d ),(d d ),(d )(+=+=ρ 即，),(t x f u T

u xx tt =-ρ，其中ρ)

,(),(t x F t x f =是单位质量所受外力。

如果弦是均匀的，即ρ为常数，则可写ρT a =

为弦振动的传播速度，则

自由振动(0f ≡): 20tt xx u a u -=(齐次方程)。

小结1：对于弦的横振动、杆的纵振动方程（一根弹性均匀细杆的微小振动问题）、薄膜的横振动方程（张紧的柔软膜的微小振动问题），在不受外力情况下，其振动的微分方程为：

22tt u a u =∇（齐次方程）

其中a 为振动的传播的速度。当单位质量所受外力为f 时，其振动微分方程为：

22tt u a u f =∇+（非齐次方程）

7.1.2 定解问题

第一节从物理问题和相应的物理定律导出了其所满足的偏微分方程，但总是选择物体内部，不含端点或边界，对一小部分来讨论其运动状况，仅反映了物体内部各部分之间的相互联系，且在区域内部相邻之间、相继时刻之间的这种联系（规律）通常与周围环境（边界上）和初始时刻对象（体系）所处的状态无关。

仅有方程还不足以确定物体的运动，因为外界的作用通常是通过物体边界“传”到内部的；一个方程可能有多个解，通解中含若干任意常数（函数），初始条件和边界条件就是确定它们的条件。

求一个微分方程的解满足一定初始条件和边界条件的问题称为定解问题：

泛定方程& ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

初始条件边界条件定解条件衔接条件

自然条件。 1. 初始条件

00(,)()(,)().

t t t u x t x u x t x ϕψ==⎧=⎪⎨=⎪⎩，即已知初位移)(x ϕ和初速度)(x ψ 2. 边界条件

i. 第一类边界条件-狄利克雷条件（Dirichlet 边界条件）：直接给出了未知函

数在边界上的值。

ii. 第二类边界条件-诺依曼条件（Neumann 边界条件）：给出未知函数在边界上

法向导数的值。

自由端点边界（端点不受外力，自由振动，意味着弦张力在振动方向无分量）

属于此类，边界条件为(0,)0(,)0或x x u t u l t ==

iii. 第三类边界条件-罗宾条件：给出未知函数和其边界法向导数在边界上的线

性关系。

弹性支撑边界（端点受到弹簧的约束而无外力）属于此类，边界条件为：

(,)(,)000x u t hu t -=

Note ：初始条件和边界条件是场运动规律的极限。

例1．对弦的横振动问题导出下列情况的定解条件：弦的两端点0=x 和l x =固定，用手将弦上的点