基本波动方程的求解方法

关于弦振动的求解方法

李航

一、无界弦振动

1、一维齐次波动方程

达朗贝尔方程解无界的定解问题

⎰+-+-++=at x at x d a

at x at x t x u ξξϕφϕ)(21)]()([21),( <达朗贝尔公式> 在常微分方程的定解问题中，通常是先求方程的通解，然后利用定解条件确定通解所含的任意常数，从而得到定解问题的解。考虑无界的定解问题一般方程为

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<∞-∂∂=∂∂==)(|),(|0, ,0022222x t u x u t x x u a t u t t φϕ 由达郎贝尔公式，解在点),(t x 的值由初始条件在区间],[at x at x +-内的值决定，称区间],[at x at x +-为点),(t x 的依赖区域，在t x -平面上，它可看作是过点),(t x ，斜率分别a

1± 为的两条直线在x 轴上截得的区间。

2、一维非齐次波动方程的柯西问题

达朗贝尔方程解非齐次定解问题

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<∞-+∂∂=∂∂==)2()(|),(|)1(0,),(0022222 ， x t u x u t x t x f x u a t u t x φϕ 令),(),(),(t x V t x U t x u +=，可将此定解分解成下面两个定解问题：

(I) ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<∞-∂∂=∂∂== ，　)(|),(|0,0022222x t u x u t x x u a t u t x φϕ (II) ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<∞-+∂∂=∂∂== ，　0|,0|0,),(0022222t x t u u t x t x f x u a t u 其中问题(I)的解可由达朗贝尔公式给出：

⎰+-+-++=at x at

x d a at x at x t x U ξξϕϕϕ)(21)]()([21),(。 对于问题(II)，有下面重要的定理。

定理（齐次化原理）设),,(τωt x 是柯西问题

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=∂∂=>∂∂=∂∂== ， ),(|,0|22222τωωτωωττx f t t x a t t x 的解)0(≥τ，则⎰=t

d t x t x V 0),,(),(ττω是问题(II)的解。

二、有界的弦振动方程

1、分离变量法

齐次条件的分离变量法

（1） （2） （3）

设)()(),(t T x X t x u =，代入方程（1）得：

)

()()()('''t aT t T x X x X = ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====><<∂∂=∂∂==)(|),(|0

),(),0(0,0,01022222x u x u t l u t u t l x x u a t u t t φϕ

上式右端不含x ，左端不含t ，所以只有当两端均为常数时才能相等。令此常数为λ-，则有：

0)()(''=+x X x X λ （4）

0)()(2'=+t T a t T λ （5）

所齐次边界条件可得：

0)()(,0)0('=+=l hX l X X （6）

从而特征值问题:

⎩⎨⎧=+==+0

)()(,0)0(0)()('l hX l X X x X x X λ 对λ的取值分三种情况0>λ，,0=λ0<λ进行讨论。

这个定解的特点是：偏微分方程是齐次的，边界条件是齐次的。求解这样的方程可用叠加原理。类似于常微分方程通解的求法先求出其所有线性无关的特解，通过叠加求定解问题的解。

非齐次条件分离变量法

分离变量法要求方程是齐次、边界条件也为齐次,如果上述条件之一破坏，则不能采用分离变量法解。

分离变量法要求定解问题的边界条件是齐次的，这是因为用分离变量法要将特征函数叠加起来，如果边界条件非齐次，则通过叠加后的函数就不可能满足原边界条件。所以当边界条件是非齐次时，必须设法将边界条件化成齐次的。如：

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧====+=)()0,()

()0,()(),(),(),0(),(212x x u x x u t g t l u t g t u t x f u a u t xx tt φϕ

设),(),(),(t x W t x V t x u +=，通过适当选取),(t x W 使新的未知函数满足齐次边界条件，这只须使),(t x W 满足：

)(),0(11t g t W =，)(),(21t g t l W =

即可。

小结：分离变量法的解题步骤

a ， 令)()(),(t T x X t x U +=

b ， 将试探解带入泛定方程。

c ， 将等式两边同时乘以

xx

u a 21，进行分离变量，获得两个常微分方程。

d ， 由边界条件，将）（x X 方程解出需要讨论本征值λ（0>λ，

,0=λ0<λ）三种情况，获得本正值和本征函数。 e ， 写出)t (T 解的形式后与）（x X 一起构成),(t x U 通解形式。 f ， 由初始条件确定待定系数。

三、无界、有界，齐次、非齐次的通解方法

傅里叶级数解法

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====><<∂∂=∂∂==）

（）

（）（ 3)(|),(|20),(),0(10,0,01022222ΛΛΛx u x u t l u t u t l x x u a t u t t φϕ 设),(),(),(t x W t x V t x U +=（4），其中构造）（）（t t ),(B A t x V +=让其满足

（2）则：

）（）（）

（）（，5t sin t

t -x t t -t )t x (ΛωμμνA V ==