波动方程初值问题与行波法
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第七章 行波法(一)
第七章 行波法
利用初值条件确定函数 F，G
u( x,0) ( x)
ut ( x,0) ( x)
F ( x) G ( x) ( x)
a[ F ( x) G( x)] ( x)
x
a[F ( x) G( x)] C ( )d
x0
其中
x
x1
x2
内，因此该三角区域称为
决定区域。
结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速 为a波的叠加，故称为行波法。
第七章 行波法
影响区域、依赖区间、决定区域
波动是以一定的速度 a 向两个方向传播的。
如果在初始时刻 t＝0，扰动仅仅在有限区间 [ x1 , x2 ] 上存在，则经过时间 t 后，扰动传到的范围为
x1 at x x2 at
第七章 行波法
无界弦振动的初值问题
2 2u 2 u x 2 a 2 x t u ( x, 0) ( x), u ( x, 0) ( x) t
第七章 行波法
2. 行波法的基本思想
这种方法是针对波动方程提出的。由于波动现象的普
1 过 x1 作斜率为 的直线 x x1 at a 1 过 x2 作斜率为 的直线 x x2 at a t 则 它们与区间 [ x1 , x2 ]
一起围成的三角形区域 中的任意一点 ( x, t ) 的 依赖区间都落在区间 [ x1 , x2 ]
x x1 at
x x2 at
遍性，对如何认识和解决波动问题，一直是物理学家和数 学家们长期探索的课题。 （1）波函数可写成位置和时间函数的分离形式，且波函数
是由无穷多个谐波分量叠加而成的，由此提出了分离变量
波动方程求解法1
如F(x-at)与G(x+at)的两个函数之和。
16
方程的形如u=F(x-at)或u=G(x+at)的解称为行波。 其中 u=F(x-at)表示一个在初始时刻t=0时为u=F(x)的波 形，以速度a>0向右（即x轴正向）传播，而波形保持 不变，它称为右传播波； u=G(x+at)则表示以速度a向左传播的波，称为左传播波。
区间[x-at, x+at]称为点(x,t)的依赖区域。它的求法是过点 (x,t)作斜率为1/a,-1/a的两条直线与x轴交截而得的区间。
t
t
(x, t)
x‐at
x+at
x1
x
0
x2
x
0
x1
x2 x
a)点(x,t)的依赖区间
b)区间[x1,x2]的决定区域
图1.2 依赖区间、决定区域及影响区域
c)区间[x1,x2]的影响区域
(
II
)
⎪⎪⎧,u1
=
∂ 2u1 ∂t 2
−
a2
⎨⎪u1(x, 0) = ϕ(x),
∂ 2u1 ∂x2
=
0
⎪⎩u1t (x, 0) =ψ (x),
(t > 0,
− ∞ < x < ∞),
(
III
)
⎪⎪⎧,u2
=
∂2u2 ∂t 2
−
⎨⎪u2 (x, 0) = 0,
aห้องสมุดไป่ตู้
2
∂2u2 ∂x2
=
f
( x, t )
∂u
∂ξ
=
f (ξ )
再对ξ 积分一次可得，
u = ∫ f (ξ )dξ + G(η) = F (ξ ) + G(η).
16
方程的形如u=F(x-at)或u=G(x+at)的解称为行波。 其中 u=F(x-at)表示一个在初始时刻t=0时为u=F(x)的波 形，以速度a>0向右（即x轴正向）传播，而波形保持 不变，它称为右传播波； u=G(x+at)则表示以速度a向左传播的波，称为左传播波。
区间[x-at, x+at]称为点(x,t)的依赖区域。它的求法是过点 (x,t)作斜率为1/a,-1/a的两条直线与x轴交截而得的区间。
t
t
(x, t)
x‐at
x+at
x1
x
0
x2
x
0
x1
x2 x
a)点(x,t)的依赖区间
b)区间[x1,x2]的决定区域
图1.2 依赖区间、决定区域及影响区域
c)区间[x1,x2]的影响区域
(
II
)
⎪⎪⎧,u1
=
∂ 2u1 ∂t 2
−
a2
⎨⎪u1(x, 0) = ϕ(x),
∂ 2u1 ∂x2
=
0
⎪⎩u1t (x, 0) =ψ (x),
(t > 0,
− ∞ < x < ∞),
(
III
)
⎪⎪⎧,u2
=
∂2u2 ∂t 2
−
⎨⎪u2 (x, 0) = 0,
aห้องสมุดไป่ตู้
2
∂2u2 ∂x2
=
f
( x, t )
∂u
∂ξ
=
f (ξ )
再对ξ 积分一次可得，
u = ∫ f (ξ )dξ + G(η) = F (ξ ) + G(η).
第七章 波动方程初值问题
x1 a(t0 t ) x0 at0
x1 x0 at
即, f1(x - at) 表示波速为 a 的右行波
同理可知, f2(x + at) 表示波速为 a 的左行波. 因此，行波解为左行波与右行波的叠加. 三. 半无界弦的自由振动
utt a 2 uxx 0 u x0 0 u t 0 ( x ), ut
二. 行波解的物理意义 行波法的通解为：
u( x, t ) f1 ( x at ) f 2 ( x at )
对 f1(x - at)，在 t0 时刻，x0 位置的波动位移为：
f1 ( x0 at0 )
若在t0+Δt 时刻, x1位置的波动位移也为 f1 ( x0 at0 ) 则：
t 0
a f1 ( x at ) x
f 2 ( x at ) t 0 a x
t 0
a f1 '( x ) a f 2 '( x ) y ( x )
对上式积分：
1 x x0 y ( )d [ f1 ( x ) f1 ( x0 )] [ f2 ( x ) f2 ( x0 )] (2) a
(1)
t 0
y ( x ) a f1 '( x ) a f 2 '( x )
1 x x0 y ( )d f1 ( x ) f 2 ( x ) c a
(2)
1 1 x c f1 ( x ) 2 [ ( x ) a x0 y ( )d ] 2 由 (1) (2) (x > 0) 解得： x f ( x ) 1 [ ( x ) 1 y ( )d ] c 2 2 a x0 2
x1 x0 at
即, f1(x - at) 表示波速为 a 的右行波
同理可知, f2(x + at) 表示波速为 a 的左行波. 因此，行波解为左行波与右行波的叠加. 三. 半无界弦的自由振动
utt a 2 uxx 0 u x0 0 u t 0 ( x ), ut
二. 行波解的物理意义 行波法的通解为：
u( x, t ) f1 ( x at ) f 2 ( x at )
对 f1(x - at)，在 t0 时刻，x0 位置的波动位移为：
f1 ( x0 at0 )
若在t0+Δt 时刻, x1位置的波动位移也为 f1 ( x0 at0 ) 则：
t 0
a f1 ( x at ) x
f 2 ( x at ) t 0 a x
t 0
a f1 '( x ) a f 2 '( x ) y ( x )
对上式积分：
1 x x0 y ( )d [ f1 ( x ) f1 ( x0 )] [ f2 ( x ) f2 ( x0 )] (2) a
(1)
t 0
y ( x ) a f1 '( x ) a f 2 '( x )
1 x x0 y ( )d f1 ( x ) f 2 ( x ) c a
(2)
1 1 x c f1 ( x ) 2 [ ( x ) a x0 y ( )d ] 2 由 (1) (2) (x > 0) 解得： x f ( x ) 1 [ ( x ) 1 y ( )d ] c 2 2 a x0 2
波动方程和行波法
( x0 , y0 , z0 )
f ( x0 , y0 , z0 , t )
其中 f ( x0 , y0 , z0 , t ) 为已知函数。
35
第二类边界条件（Neuman 边界条件）：
规定所研究物理量在边界外法线方向 n 上的
方向导数的数值.
u f n
u f ( x0 , y0 , z0 ) ， n ( x0 , y0 , z0 )
36
第三类边界条件（混合边界条件 也叫 Robin边界条件 ）：规定所研究物理量及其
外法向导数的线性组合在边界上的值
u Hun
( x0 , y0 , z0 )
f ( x0 , y0 , z0 , t )
u f H :常系数 u n
37
以上三类边界条件当 f 0 时，分别称为 第一、二、三类齐次边界条件。
22
应用微积分中值定理:
ux ( x dx, t ) T1ux ( x, t ) uxx dx
dy f ' ( x)dx
ux ( x dx, t ) T1ux ( x, t ) uxx dx
x Fdx dxutt
Tuxx dx Fdx dxutt
39
2 a u tt u xx 0 在这一点无意义.如果,将
l 分成 x x0 ，x x0 两段分别考虑，
在各段上,弦振动方程有意义，但它是一 根弦的两段，并不是各自振动的。从数学
上来讲，不可能在两端上分别列出定解问
题。两段可作为一个整体来研究，两段的 振动是相互关联的。
40
u
F（0,t）
15
即整根弦由相互牵连的质点组成，对每个
f ( x0 , y0 , z0 , t )
其中 f ( x0 , y0 , z0 , t ) 为已知函数。
35
第二类边界条件（Neuman 边界条件）：
规定所研究物理量在边界外法线方向 n 上的
方向导数的数值.
u f n
u f ( x0 , y0 , z0 ) ， n ( x0 , y0 , z0 )
36
第三类边界条件（混合边界条件 也叫 Robin边界条件 ）：规定所研究物理量及其
外法向导数的线性组合在边界上的值
u Hun
( x0 , y0 , z0 )
f ( x0 , y0 , z0 , t )
u f H :常系数 u n
37
以上三类边界条件当 f 0 时，分别称为 第一、二、三类齐次边界条件。
22
应用微积分中值定理:
ux ( x dx, t ) T1ux ( x, t ) uxx dx
dy f ' ( x)dx
ux ( x dx, t ) T1ux ( x, t ) uxx dx
x Fdx dxutt
Tuxx dx Fdx dxutt
39
2 a u tt u xx 0 在这一点无意义.如果,将
l 分成 x x0 ，x x0 两段分别考虑，
在各段上,弦振动方程有意义，但它是一 根弦的两段，并不是各自振动的。从数学
上来讲，不可能在两端上分别列出定解问
题。两段可作为一个整体来研究，两段的 振动是相互关联的。
40
u
F（0,t）
15
即整根弦由相互牵连的质点组成，对每个
波动方程和行波法剖析课件
波动方程和行波法剖析课件
目录 Contents
• 波动方程的基本概念 • 行波法的基本原理 • 波动方程的解析解法 • 波动方程的数值解法 • 行波法的应用实例
01
波动方程的基本概念
பைடு நூலகம்
波动方程的定义
波动方程
描述波动现象的基本数学模型，通常 用于描述物理场（如声场、电磁场、 水波等）随时间和空间的变化规律。
03
最后，通过迭代求解差分方程 ，得到波在每个网格点上的值 ，从而得到波的传播和演化过 程。
行波法的优缺点
优点
行波法简单易懂，易于编程实现，能够处理复杂的边界条件和初始条件，适用 于求解各种类型的波动方程。
缺点
行波法需要设定初始条件和边界条件，对于某些复杂的波动问题可能需要较高 的计算成本和精度要求。
水波传播的模拟
要点一
总结词
利用行波法模拟水波的传播，有助于研究水波的形成、演 化及对环境的影响。
要点二
详细描述
在水波传播的模拟中，行波法能够模拟水面的波动情况， 包括波浪的生成、传播和消散。通过调整参数，可以研究 不同条件下水波的传播规律，如风速、水深、地形等，对 于水文学、海洋学等领域具有重要意义。
03
波动方程的解析解法
分离变量法
将波动方程的解表示为若干个变量的 乘积或商的形式，以便分别求解。
VS
分离变量法是一种求解波动方程的常 用方法。通过假设波动方程的解可以 表示为若干个变量的乘积或商的形式 ，我们可以将一个复杂的偏微分方程 转化为若干个简单的常微分方程，从 而方便求解。
积分变换法
利用积分变换将波动方程化为易于求解的形式，再进行逆变换得到原方程的解。
地震学
用于模拟地震波的传播和反射，进行地震预 测和地球结构研究。
目录 Contents
• 波动方程的基本概念 • 行波法的基本原理 • 波动方程的解析解法 • 波动方程的数值解法 • 行波法的应用实例
01
波动方程的基本概念
பைடு நூலகம்
波动方程的定义
波动方程
描述波动现象的基本数学模型，通常 用于描述物理场（如声场、电磁场、 水波等）随时间和空间的变化规律。
03
最后，通过迭代求解差分方程 ，得到波在每个网格点上的值 ，从而得到波的传播和演化过 程。
行波法的优缺点
优点
行波法简单易懂，易于编程实现，能够处理复杂的边界条件和初始条件，适用 于求解各种类型的波动方程。
缺点
行波法需要设定初始条件和边界条件，对于某些复杂的波动问题可能需要较高 的计算成本和精度要求。
水波传播的模拟
要点一
总结词
利用行波法模拟水波的传播，有助于研究水波的形成、演 化及对环境的影响。
要点二
详细描述
在水波传播的模拟中，行波法能够模拟水面的波动情况， 包括波浪的生成、传播和消散。通过调整参数，可以研究 不同条件下水波的传播规律，如风速、水深、地形等，对 于水文学、海洋学等领域具有重要意义。
03
波动方程的解析解法
分离变量法
将波动方程的解表示为若干个变量的 乘积或商的形式，以便分别求解。
VS
分离变量法是一种求解波动方程的常 用方法。通过假设波动方程的解可以 表示为若干个变量的乘积或商的形式 ，我们可以将一个复杂的偏微分方程 转化为若干个简单的常微分方程，从 而方便求解。
积分变换法
利用积分变换将波动方程化为易于求解的形式，再进行逆变换得到原方程的解。
地震学
用于模拟地震波的传播和反射，进行地震预 测和地球结构研究。
数理方程3.1 一维波动方程的初值问题
§3.1 一维波动方程的初值问题
21 5 x − y = C1 x + y = C , 2
特征线为
作变量代换
ξ = 5x − y η = x + y,
原方程化为
uξη = 0
其通解
u = F (5x − y ) + G(x + y )
利用初始条件可得
F (5x) + G(x) = 5x, −F ′ (5x) + G′ (x) = 0
utt = a2 uxx , u(x, 0) = 1 , ut (x, 0) = 0, 1 + 4 x2 − ∞ < x < +∞, t > 0, − ∞ < x < +∞
1 . 1+4x2
从静止开始
由达朗贝尔公式得
1 1 1 1 1 u(x, t) = [ϕ(x + at) + ϕ(x − at)] = · + · 2 2 2 1 + 4(x + at) 2 1 + 4(x − at)2
其中ϕ(x), ψ (x)分别表示初值位移和初始速度. 1. 泛定方程的通解 x 2 dx 2 采用第2.1节中的方法, 特征方程为( d （特征 dt ) − a = 0, 特征线方程为 dt = ±a, 其通解 线）为x + at = C1 , x − at = C2 , 作变换
ξ = x + at, η = x − at,
第三章
波动方程的初值问题与行波法
§3.1 一维波动方程的初值问题
本节思路: 无界弦的自由振动(utt = a2 uxx , −∞ < x < +∞): 经非奇异变换化为标准型后直接积分得通解, 代入初始条件得特解（达朗贝尔公式） 无界弦的受迫振动(utt = a2 uxx + f, −∞ < x < +∞): 由叠加原理分解为: 齐次问题+零初值的非齐次问题（由齐次化原理得解） 半无界弦的振动问题(utt = a2 uxx + f, 0 < x < +∞): 以某种方式延拓f 及初始函数, 转成无限长的弦的振动, 求出解后限制在半无界区域上.
波动方程或称波方程
波动方程或称波方程（英语：wave equation)是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波、无线电波和水波。
波动方程抽象自声学、物理光学、电磁学、电动力学、流体力学等领域.历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔·伯努利和拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时,都对波动方程理论作出过重要贡献。
波动方程是双曲形偏微分方程的最典型代表，其最简形式可表示为：关于位置x 和时间t的标量函数u（代表各点偏离平衡位置的距离）满足：这里c通常是一个固定常数，代表波的传播速率。
在常压、20°C的空气中c为343米/秒（参见音速）.在弦振动问题中,c依不同弦的密度大小和轴向张力不同可能相差非常大.而在半环螺旋弹簧（一种玩具，英文商标为 Slinky)上,波速可以慢到1米/秒.在针对实际问题的波动方程中，一般都将波速表示成可随波的频率变化的量,这种处理对应真实物理世界中的色散现象。
此时，c应该用波的相速度代替：实际问题中对标准波动方程的另一修正是考虑波速随振幅的变化，修正后的方程变成下面的非线性波动方程：另需注意的是物体中的波可能是叠加在其他运动(譬如介质的平动，以气流中传播的声波为例）上的。
这种情况下，标量u的表达式将包含一个马赫因子（对沿流动方向传播的波为正，对反射波为负）。
三维波动方程描述了波在均匀各向同性弹性体中的传播。
绝大多数固体都是弹性体，所以波动方程对地球内部的地震波和用于检测固体材料中缺陷的超声波的传播能给出满意的描述。
在只考虑线性行为时，三维波动方程的形式比前面更为复杂,它必须同时考虑固体中的纵波和横波:式中：•和被称为弹性体的拉梅常数(也叫“拉梅模量”，英文Lamé constants 或 Lamé moduli)，是描述各向同性固体弹性性质的参数;•表示密度；•是源函数（即外界施加的激振力）；•表示位移；注意在上述方程中，激振力和位移都是矢量，所以该方程也被称为矢量形式的波动方程。
第2章波动方程
引理证毕。
2．齐次方程的初值问题（Cauchy 问题）
考察问题
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
utt
u(
− a2uxx =
x,0) = ϕ (
0,
x)
,
ut
( x,0)
x ∈ \, t > 0,
=ψ ( x), x∈\.
利用齐次波动方程的通解表达式：
（1.1）
u( x, t ) = F ( x − at ) + G ( x + at ) ,
u = F ( x − at ) , a > 0
显然是弦振动方程的解。给 t 以不同的值，就可以看出作一维自由振动的物体在各时刻的相
应位置。在 t = 0 时， u = F ( x ) 对应于初始的振动状态，而 u = F ( x − at ) 作为 ( x, u ) 平
面 上 的 曲 线 是 曲 线 u = F ( x ) 向 右 平 移 了 at 个 单 位 ， 所 以 齐 次 弦 振 动 方 程 的 形 如
=
1 2a
⎧∂
⎨ ⎩
∂t
ϕ x+at (ξ )dξ +
x − at
ψ x + at
(ξ
)dξ
⎫ ⎬
.
x − at
⎭
u2 满足非齐次方程的初值问题
4
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
utt
u(
− a2uxx =
x, 0) = 0,
f ut
( (
x, x,
t), 0) =
x∈ 0,
\
, t> x∈
0, \.
为了求解（1.4），首先求解
条件无关。称这个三角形区域为区间 ⎡⎣ x1 , x2 ⎤⎦ 的决定区域。
2．齐次方程的初值问题（Cauchy 问题）
考察问题
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
utt
u(
− a2uxx =
x,0) = ϕ (
0,
x)
,
ut
( x,0)
x ∈ \, t > 0,
=ψ ( x), x∈\.
利用齐次波动方程的通解表达式：
（1.1）
u( x, t ) = F ( x − at ) + G ( x + at ) ,
u = F ( x − at ) , a > 0
显然是弦振动方程的解。给 t 以不同的值，就可以看出作一维自由振动的物体在各时刻的相
应位置。在 t = 0 时， u = F ( x ) 对应于初始的振动状态，而 u = F ( x − at ) 作为 ( x, u ) 平
面 上 的 曲 线 是 曲 线 u = F ( x ) 向 右 平 移 了 at 个 单 位 ， 所 以 齐 次 弦 振 动 方 程 的 形 如
=
1 2a
⎧∂
⎨ ⎩
∂t
ϕ x+at (ξ )dξ +
x − at
ψ x + at
(ξ
)dξ
⎫ ⎬
.
x − at
⎭
u2 满足非齐次方程的初值问题
4
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
utt
u(
− a2uxx =
x, 0) = 0,
f ut
( (
x, x,
t), 0) =
x∈ 0,
\
, t> x∈
0, \.
为了求解（1.4），首先求解
条件无关。称这个三角形区域为区间 ⎡⎣ x1 , x2 ⎤⎦ 的决定区域。
数学物理方程03_波动方程初始问题的求解【OK】
(3.1.4)源自(3.1.5)17
数学物理方程
将上述初始条件代入达朗贝尔公式，即可得到：
x at x 1 1 [ ( x at ) ( x at )] ( s ) ds , t 2 a x at 2 a u ( x, t ) 1 [ ( x at ) (at x)] 1 x at ( s )ds, t x 2 2 a at x a
( x at ) 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波
1
1 x at b. 只有初始速度时： u ( x, t ) ( )d x at 2a
u( x, t ) 1 ( x at ) 1 ( x at )
1 ( ) 为 ( ) 的积分原函数。
结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速
第 3章
波动方程初始问题的求解
——行波法 （达朗贝尔公式） （特征线积分法）
1
数学物理方程
达朗贝尔公式（行波法）[一维问题]
通解法中有一种特殊的解法―行波法, 即以自变量的 线性组合作变量代换，进行求解的一种方法，它对波动方 程类型的求解十分有效. 1 基本思想： 先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。 这一思想与常微分方程的解法是一样的。 2 关键步骤： 通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶 偏微分方程。
代入通解得： u( x, t ) [ ( x at ) ( x at )]
x at
x at
( s)ds
达朗贝尔公式
(3.1.2) 5
数学物理方程
（4）达朗贝尔公式的意义： a. 只有初始位移时，u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) 2 ( x at ) 代表以速度a 沿x 轴正向传播的波
数学物理方程
将上述初始条件代入达朗贝尔公式，即可得到：
x at x 1 1 [ ( x at ) ( x at )] ( s ) ds , t 2 a x at 2 a u ( x, t ) 1 [ ( x at ) (at x)] 1 x at ( s )ds, t x 2 2 a at x a
( x at ) 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波
1
1 x at b. 只有初始速度时： u ( x, t ) ( )d x at 2a
u( x, t ) 1 ( x at ) 1 ( x at )
1 ( ) 为 ( ) 的积分原函数。
结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速
第 3章
波动方程初始问题的求解
——行波法 （达朗贝尔公式） （特征线积分法）
1
数学物理方程
达朗贝尔公式（行波法）[一维问题]
通解法中有一种特殊的解法―行波法, 即以自变量的 线性组合作变量代换，进行求解的一种方法，它对波动方 程类型的求解十分有效. 1 基本思想： 先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。 这一思想与常微分方程的解法是一样的。 2 关键步骤： 通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶 偏微分方程。
代入通解得： u( x, t ) [ ( x at ) ( x at )]
x at
x at
( s)ds
达朗贝尔公式
(3.1.2) 5
数学物理方程
（4）达朗贝尔公式的意义： a. 只有初始位移时，u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) 2 ( x at ) 代表以速度a 沿x 轴正向传播的波
数学物理方程第二章(波动)
数学物理方程
第二章 波动方程
第二章 波动方程
§1 §2 §3 §4 §5 方程的导出及其定解条件 一维波动方程的初值问题 半无界弦的自由振动问题 高维波动方程的初值问题 混合问题的分离变量法
数学物理方程
第二章 波动方程
§1、方程的导出及其定解条件
一、弦的自由振动方程的建立
问题：均匀柔软且拉紧的细弦， 在平衡位置附近作微小横振动， 求不同时刻弦线的形状。
2u u 0
u f1 ( ) f 2 ( )
数学物理方程
第二章 波动方程
代回原变量：
利用初始条件：
u f1 ( x at) f 2 ( x at)
u( x,0) f1 ( x) f 2 ( x) ( x)
数学物理方程
第二章 波动方程
几个相关概念
1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) xat ( )d 2 2a
t
t
P( x, t )
依赖区间
x x1 at
x x2 at
x at
t
x at
x
决定区域
当gi (t ) 0时，表示该端点处弦是固定的
第二类边界条件：已知端点处弦所受的垂直于弦线的外力，
即T sin
u 具体为： x
x a
当g(t ) 0时，表示弦在该端点处可自由滑动
x a
u T x
u x
x a
g (t )(a 0或a l )
0或
x a
g (t )(a 0或a l )
------齐次方程
数学物理方程
第二章 波动方程
第二章 波动方程
§1 §2 §3 §4 §5 方程的导出及其定解条件 一维波动方程的初值问题 半无界弦的自由振动问题 高维波动方程的初值问题 混合问题的分离变量法
数学物理方程
第二章 波动方程
§1、方程的导出及其定解条件
一、弦的自由振动方程的建立
问题：均匀柔软且拉紧的细弦， 在平衡位置附近作微小横振动， 求不同时刻弦线的形状。
2u u 0
u f1 ( ) f 2 ( )
数学物理方程
第二章 波动方程
代回原变量：
利用初始条件：
u f1 ( x at) f 2 ( x at)
u( x,0) f1 ( x) f 2 ( x) ( x)
数学物理方程
第二章 波动方程
几个相关概念
1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) xat ( )d 2 2a
t
t
P( x, t )
依赖区间
x x1 at
x x2 at
x at
t
x at
x
决定区域
当gi (t ) 0时，表示该端点处弦是固定的
第二类边界条件：已知端点处弦所受的垂直于弦线的外力，
即T sin
u 具体为： x
x a
当g(t ) 0时，表示弦在该端点处可自由滑动
x a
u T x
u x
x a
g (t )(a 0或a l )
0或
x a
g (t )(a 0或a l )
------齐次方程
数学物理方程
14 波动方程的行波解
解：将初始条件代入达朗贝尔公式
u ( x)
( x at ) 1 [ e 2
2
2
e
( x at ) 2
]
1 2a
( x at ) 1 [ e 2
e
( x at ) 2
]
1 2
x at x at
x at
2ase
s 2
ds
( x at ) 1 [ e 2
右行波解：
u( x, t ) ( x at)
左行波方程
左行单波方程初值问题（其中常数 a 0 ）
u u 0 t 0, x R a x t u t 0 ( x)
练习
求左行波解？
左行波方程
左行单波方程初值问题（其中常数 a 0 ）
u u 0 t 0, x R a x t u t 0 ( x)
练习 答案：
求左行波解？
u ( x, t ) ( x at)
左行波解
左行单波方程初值问题（其中常数 a 0 ）
u u 0 t 0, x R a x t u t 0 ( x)
2
2
e
( x at ) 2
] 1 [ e 2
x at x at s 2
e
s 2
ds2
e ( xat )
x at
例 特征边值问题（Goursat问题） 2 2u u 2 t 2 a x 2 , t x t , t 0 u ( x), x 0 x at 0 其中 (0)＝ (0) u x at 0 ( x), x 0 解：将定解条件代入通解 u( x, t ) f ( x at ) g ( x at ),
数学物理方法16.1 行波法1-波动方程
x at
( )d xat
a[ f1(x at) f1(x at)] a[ f2 (x at) f2 (x at)]
1
x at
( )d
a xat
[ f1(x at) f2 (x at)] [ f1(x at) f2 (x at)]
确定待定函数（法二）
待求的？
1
x
(v)dv
0
f1(0) f2 (0) 2
能消去吗？
f2
(
x)
(x) 2
1 2a
x
(v)dv
0
f1(0) f2 (0) 2
待求的解为
u f1 (x at) f2 (x at)
确定待定函数（法一）
f1
(x)
(x) 2
1 2a
x
(v)dv
0
f1(0) f2 (0) 2
(x) 1
那么，可得原问题的解为
u(x,t) 1 [(x at) (x at)] 1
x at
(v)dv
2
2a xat
确定待定函数（法二）
(x) (x)
f1(x) f2 (x) af1(x) af 2(x)
有何关联？
观察第一个方程，和待求解 u f1(x at) f2 (x at)
上述方程组中：4个待定函数，3个方程， 因此，不能直接求解各个待定函数。
u f1(x at) f2 (x at) 整体思想
确定待定函数（法二）
(x at) (x at)
[ f1(x at) f2 (x at)] [ f1(x at) f2 (x at)]
1
x at
( )d
行波法：算例1
2u u(tx2 ,0)
( )d xat
a[ f1(x at) f1(x at)] a[ f2 (x at) f2 (x at)]
1
x at
( )d
a xat
[ f1(x at) f2 (x at)] [ f1(x at) f2 (x at)]
确定待定函数（法二）
待求的？
1
x
(v)dv
0
f1(0) f2 (0) 2
能消去吗？
f2
(
x)
(x) 2
1 2a
x
(v)dv
0
f1(0) f2 (0) 2
待求的解为
u f1 (x at) f2 (x at)
确定待定函数（法一）
f1
(x)
(x) 2
1 2a
x
(v)dv
0
f1(0) f2 (0) 2
(x) 1
那么，可得原问题的解为
u(x,t) 1 [(x at) (x at)] 1
x at
(v)dv
2
2a xat
确定待定函数（法二）
(x) (x)
f1(x) f2 (x) af1(x) af 2(x)
有何关联？
观察第一个方程，和待求解 u f1(x at) f2 (x at)
上述方程组中：4个待定函数，3个方程， 因此，不能直接求解各个待定函数。
u f1(x at) f2 (x at) 整体思想
确定待定函数（法二）
(x at) (x at)
[ f1(x at) f2 (x at)] [ f1(x at) f2 (x at)]
1
x at
( )d
行波法：算例1
2u u(tx2 ,0)
数理方程3.1 一维波动方程的初值问题
第三章
波动方程的初值问题与行波法
§3.1 一维波动方程的初值问题
本节思路: 无界弦的自由振动(utt = a2 uxx , −∞ < x < +∞): 经非奇异变换化为标准型后直接积分得通解, 代入初始条件得特解（达朗贝尔公式） 无界弦的受迫振动(utt = a2 uxx + f, −∞ < x < +∞): 由叠加原理分解为: 齐次问题+零初值的非齐次问题（由齐次化原理得解） 半无界弦的振动问题(utt = a2 uxx + f, 0 < x < +∞): 以某种方式延拓f 及初始函数, 转成无限长的弦的振动, 求出解后限制在半无界区域上.
∫
x
ψ (ξ )dξ + C.
x0
其中x0 为任意一点, C 为常数. 进而, 有
∫ x 1 1 C F (x) = ϕ(x) + ψ (ξ )dξ + , 2 2a x0 2 ∫ x 1 1 C G(x) = ϕ(x) − ψ (ξ )dξ − 2 2a x0 2
将F (x)和G(x)中的x分别换成x + at和x − at后一并代入(3.1.2), 即得初值问题(3.1.1)的解的表 达式 ∫
§3.1 一维波动方程的初值问题
21 5 x − y = C1 x + y = C , 2
特征线为
作变量代换
ξ = 5x − y η = x + y,
原方程化为
uξη = 0
其通解
u = F (5x − y ) + G(x + y )
利用初始条件可得
F (5x) + G(x) = 5x, −F ′ (5x) + G′ (x) = 0
波动方程的初值问题与行波法
§3.1 一维波动方程的初值问题
本节思路: 无界弦的自由振动(utt = a2 uxx , −∞ < x < +∞): 经非奇异变换化为标准型后直接积分得通解, 代入初始条件得特解（达朗贝尔公式） 无界弦的受迫振动(utt = a2 uxx + f, −∞ < x < +∞): 由叠加原理分解为: 齐次问题+零初值的非齐次问题（由齐次化原理得解） 半无界弦的振动问题(utt = a2 uxx + f, 0 < x < +∞): 以某种方式延拓f 及初始函数, 转成无限长的弦的振动, 求出解后限制在半无界区域上.
∫
x
ψ (ξ )dξ + C.
x0
其中x0 为任意一点, C 为常数. 进而, 有
∫ x 1 1 C F (x) = ϕ(x) + ψ (ξ )dξ + , 2 2a x0 2 ∫ x 1 1 C G(x) = ϕ(x) − ψ (ξ )dξ − 2 2a x0 2
将F (x)和G(x)中的x分别换成x + at和x − at后一并代入(3.1.2), 即得初值问题(3.1.1)的解的表 达式 ∫
§3.1 一维波动方程的初值问题
21 5 x − y = C1 x + y = C , 2
特征线为
作变量代换
ξ = 5x − y η = x + y,
原方程化为
uξη = 0
其通解
u = F (5x − y ) + G(x + y )
利用初始条件可得
F (5x) + G(x) = 5x, −F ′ (5x) + G′ (x) = 0
第四讲行波法dhh
二阶线性微分方程的特征方程
定义２ 考虑下面二阶线性微分方程 （３） （４）
2u 2u 2u u u a11 2 2a12 a22 2 b1 b2 cu f 0 xy x y x y
方程 即
a11 (dy) 2 2a12 dxdy a22 (dx) 2 0
数学物理方程
utt a2uxx 4a2u
2 2u u 2 a u 0 2 2 t x
u 0 d f ( )
u f ( )d f 2 ( ) F ( ) G ( )
u( x, t ) F ( x at ) G( x at )
解：齐次方程直接利用达朗贝尔公式：
1 1 x at 2 u sin( x at ) sin( x at ) d 2 2a x at t 2 2 2 sin x cos at (3 x a t ) 3
数学物理方程
x x utt 9u xx e e 例2 求定解问题： u ( x, 0) x, ut ( x, 0) sin x
式中 ( x), ( x) 均为已知函数，表示初始位移和初始速度。 特征线族
dx dx dx 2 a 0, a 0 a 0 dt dt dt 1 1 t x c1 , t x c2 a a
2
x at c1 , x at c2
解：一维非齐次波动方程初值问题解的Kirchoff公式
a 3, f ( x, t ) ex e x , ( x) x, ( x) sin x
关于x奇函数
u关于x奇函数
数学物理方程
3-2 延拓法求解半无限长振动问题 • （一）半无限长弦的自由振动问题
波动方程和行波法
⑤ 研究方法：连续介质，微积分思想， 任意性。
13
3. 研究建立方程 ① 如图，选弦绷紧时（不振动）直线为 x 轴
u
F
T2
2
1 s
T1
0 A x xx B x
14
② 弦离开平衡位置的位移记为 u( x, t),
为表征物理量。 ③因弦的振动是机械振动，基本规律为：
F ma, 然而弦不是质点，故 Fma
u H u n(x 0 ,y 0 ,z 0 ) f(x 0 ,y 0 ,z 0 ,t)
uu fH:常系数
n
37
以上三类边界条件当 f 0 时，分别称为 第一、二、三类齐次边界条件。
38
4、其它条件
⑴ 衔接条件 由于一些原因，在所研究的区域里出
现跃变点，泛定方程在该点失去意义。如
波动方程（弦），如果有横向力F ( t )集中地
作用于 x 0 点，这就成了弦的折点。在点 x 0
斜率 u x 的左极限 ux(x00,t)不同于右极限
ux(x00,t)，因而 u x x不存在,
39
utta2uxx0在这一点无意义.如果,将
l 分成 x x0 ，x x0 两段分别考虑， 在各段上,弦振动方程有意义，但它是一
根弦的两段，并不是各自振动的。从数学
xF dxdxutt
T u x x d x F d x d x u tt
uttTuxxF
23
即
utt a2uxxf
—— 弦的强迫横振动方程
其中:
a2 T
，
f
F
量纲分析：T:MLT2 ， : ML1
24
∴
T MLT2
: ML1
L2T2
13
3. 研究建立方程 ① 如图，选弦绷紧时（不振动）直线为 x 轴
u
F
T2
2
1 s
T1
0 A x xx B x
14
② 弦离开平衡位置的位移记为 u( x, t),
为表征物理量。 ③因弦的振动是机械振动，基本规律为：
F ma, 然而弦不是质点，故 Fma
u H u n(x 0 ,y 0 ,z 0 ) f(x 0 ,y 0 ,z 0 ,t)
uu fH:常系数
n
37
以上三类边界条件当 f 0 时，分别称为 第一、二、三类齐次边界条件。
38
4、其它条件
⑴ 衔接条件 由于一些原因，在所研究的区域里出
现跃变点，泛定方程在该点失去意义。如
波动方程（弦），如果有横向力F ( t )集中地
作用于 x 0 点，这就成了弦的折点。在点 x 0
斜率 u x 的左极限 ux(x00,t)不同于右极限
ux(x00,t)，因而 u x x不存在,
39
utta2uxx0在这一点无意义.如果,将
l 分成 x x0 ，x x0 两段分别考虑， 在各段上,弦振动方程有意义，但它是一
根弦的两段，并不是各自振动的。从数学
xF dxdxutt
T u x x d x F d x d x u tt
uttTuxxF
23
即
utt a2uxxf
—— 弦的强迫横振动方程
其中:
a2 T
，
f
F
量纲分析：T:MLT2 ， : ML1
24
∴
T MLT2
: ML1
L2T2
《数学物理方法》第十章 行波法与平均值法
),
x
t
1(
1
),
x t 2 x a t
(10.1.6)
u 1 1 1 1
u
( 2 x
a
)( t 2 x
a
)u t
1 4
2u ( x2
1 a2
2u t2 )
1 4a2
2u ( t2
a2
2u x2 )
0
(10.1.7)
7
齐次波动方程(10.1.1)可简化为u= 0.对积分， 可得
(2) 利用定解条件来确定函数f1和f2 将式 (10.1.2 )、式(10.1.3)与式(10.1.9)联立，可得
将式(10.1.11)对坐标积分后除以a，便有
其中C= f1(x0)f2(x0), s为积分变量.
9
由式(10.1.10)与式(10.1.12)得
将上两式代入式(10.1.9)，并利用
又因为弦没有受强迫力的作用，弦的振动是 自由的，故波动方程是齐次的．
4
无界弦自由振动的定解问题是
式中，j(x)是初位移， y(x)是初速度．
5
§10.1.2 用行波法解
(1)求偏微分方程的通解．为此，作变量代换
6
x 1 ( ), t 1 ( );
2
2a
x
x
t
t
1 2
( x
1 a
t
ru(r,t) = f1(r+at)+f2(rat) (10.2.9)
在上式中令r=0后,对t 求导, 得
在式(10.2.9)两端对 r 求导, 得
31
式(10.2.9)左边求偏导之后，得
在上式中令r = 0, 得 再将式(10.2.5)及式(10.2.10)代入, 即有
第三章波动方程
(1.15)
的解，则有
w(t, x; ti, ∆ti) = ∆tiw(t, x; ti).
(1.16)
于是，Cauchy问题(1.1)-(1.2)的解可以表示为
n
n
t
u(t, x)
=
lim
∆ti→0
i=1
w(t, x; ti, ∆ti)
=
lim
∆ti→0
i=1
w(t, x;
ti)∆ti
=
w(t, x; τ )dτ.
于f (ti, x)
=
F
(ti, ρ
x)
(这里F
(ti,
x)表示外力，而ρ是密度函数)，所以在时间段∆ti
内非齐
次项所产生的速度改变是为f (ti, x)∆ti。我们把这个速度改变量看作是在时刻ti时的初
3
始速度，它所产生的振动可以由下面的具有非齐初始条件的齐次方程的Cauchy问题来
描述
wtt − c2wxx = 0,
ξ − x = −c(τ − t)
-
0
ξ
图 1.1. 三角形区域Ω
上面我们用两种方法得到了Cauchy问题(1.1)-(1.2)的解的表达式(1.19)式。它究竟是 否确实是Cauchy问题(1.1)-(1.2)的解呢？这一点还需要按照解的定义进行验证。
我们假设f ∈ C1。由(1.19)式可知，
于是，有
为了求解Cauchy问题(1.1)-(1.2)，我们引入
wtt − c2wxx = 0,
(1.3)
t = τ : w = 0, wt = f (τ, x).
记Cauchy问题(1.3)-(1.4)的解为
w = w(t, x; τ ),
课件_行波法
8. 利用行波法来讨论一端固定的半无界弦的自由振动问题 延拓法
2 2u u 2 0 (t 0,0 x ), 2 a 2 x t u ( x) (0 x ) t 0 : u ( x), t x 0 : u 0
由前文中推导可见，自由振动情况下的波动方程的解可以表示 为形如F(x-at)和G(x+at)的两个函数的和。由此可以特别清楚地看出 波动传播的性质。
u( x, t ) F ( x at) G( x at)
~ F ( x) u
x0
at
~ F ( x at) u
O
x0 at
x0
6. 特征线 在前面的讨论中，我们看到在 (x,t) 平面上斜率为±1/a 的 直线x=x0-at和x=x0+at对波动方程的研究起着重要作用，它们 称为波动方程的特征线。我们看到，扰动实际上沿特征线传 播。扰动以有限速率传播，是弦振动方程的一个重要特点。 行波法又叫特征线法
7. 相关概念
1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) ( )d x at 2 2a
u y 0 x 2 , u x 1 cos y
2
1 2 x h( x) p(0) cos y y h(1) p( y ) 6 2
1 h(1) p(0)
1 2 x cos y y h( x) p(0) h(1) p( y ) 6 1 2 2 h( x) p ( y ) x cos y y 1 6 1 3 2 1 2 2 u ( x, y ) x y x cos y y 1 6 6
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1 x at 1 u d 2 2a x at 1
1 arctan( x at ) arctan( x at ) 2a
例4： 求二阶线性偏微分方程初值问题的解
uxx 2uxy 3u yy 0 2 u | 3 x , u y | y 0 0 y0
2 F 3 x G x 3 x F ' 3 x G ' x 0
1 F 3x G x C 3
9 2 F 3x x C ' 4 G x 3 x 2 C ' 4
P( x, t )
依赖区间
x at
x at
x
区间 [ x at , x at ] 为解的依赖区间。
2.决定区域 该区域中任一点(x, t )的依 赖区间都落在区间[c, d]内 部，因此解在此该区域中的 数值完全由区间[c, d]上的 初始条件决定。
t
x c at
x d at
例5 求二阶线性偏微分方程的通解
uxx 2sin xuxy cos xuyy 0.
2
解：特征方程为
dy
2
2sin xdxdy cos x dx 0
2 2
dy dy 1 sin x 1 sin x 0 dx dx
G(x-at)=G(x0+at-at)=G(x0)
u2 G ( x ) ( t 0)
O
at
u2 G ( x at ) ( t t0 )
x0
x x0 at
x
u1 F ( x at )
at
u1 F ( x )
O
x0 at
x x0 F(x+at)=F(x0-at+at)=F(x0)
注： u x, t F x at G x at
是方程
utt a 2uxx ( x , t 0)
的通解, 它包含两个任意函数。 对无限长的自由振动, 利用初始条件, 则：
u |t 0 F x G x x ut |t 0 aF ' x aG ' x x
为原问题的通解，其中 f1 , f 2 是任意二次连续可 微函数。
二. d’Alembert公式物理意义
u x, t F x at G x at
1.考虑 u2 G x at , 若 G ( x ) 的图形已经 给定，那么，随着时间 t 的推移，u2 G x at 的图形以速度a向 x 轴正方向平行移动,故称齐次 波动方程形如 u2 G x at 的解为右行波。 2, u1 F x at 表示一个以速度a 向x 轴负 方向传播的行波，且传播过程中，波形也不变化。 称为左行波。
无界弦自由振动
*无界弦强迫振动 一维波动方程定解问题 行波法
半无界弦自由振动
*半无界弦强迫振动
有限弦振动问题
球对称情形 三维波动方程定解问题
球面平均法
二维波动方程的定解问题 降维法
*一般情形
§3.1 一维波动方程
一.d’Alembert公式推导 初始位移 ( x ) ，初始速度 ( x )的无界弦自由振动
利用复合函数求导法则得 u u u u u x x x
为什么？
u u u u u 2 x x x 2 2 2 u u u 2 2 2
结论：达朗贝尔解表示沿 x 轴正、反向传播的两列波速为a 的波的叠加，故称为行波法。
三.依赖区间、决定区域和影响区域 1.依赖区间 u(x, t) 仅仅依赖于 [ x at , x at ] 内的初始条件，
在区间以外改变初始数据时，解的值不变。
t
1 的直线与 x 轴所截而得到 a
它是过（x，t）点，斜率为 的区间（如右图）。
1 2 F x x C ' 4 G x 3 x 2 C ' 4
代入到 u x, t F 3 x y G x y , 得原问题的解为：
1 3 2 2 u x, y 3 x y x y 3 x 2 y 2 4 4
a 2. 特征方程与特征根： a 0
2 2
x at 3. 变量替换：
=x at
2 u 4. 解方程： 0 u F ( x at ) G ( x at )
5. 利用初始条件解F、G：
1 1 x at u x , t = ( x at ) ( x at ) ( )d x at 2 2a
例2：解定解问题:
2 utt a uxx , x , t 0 u |t 0 sin x , ut |t 0 cos x
解:
1 1 u x, t [sin x at sin( x at )] cos d 2 2a x at
2
2 2 2 u2 u u u 2 a ( 2 2 2) 同理可得： 2 t
将两式代入原方程, 可得：
u 0
2
连续积分两次得
u , F G
其中 F , G 是任意二次连续可微函数，即有
u x, t F x at G x at
x at
1 sin x cos at cos x sin at . a
例3：求解波动方程柯西问题
utt a 2 uxx 0 - < x , t 0 1 , -< x u( x,0) 0 , ut ( x,0) 2 1 x
解：由达朗贝尔公式：
例1：求解无界自由振动波动方程柯西问题：
utt a 2 uxx 0, - x , t 0 u( x , 0) sin x 2 ut ( x , 0) x
解：由达朗贝尔公式：
1 1 x at 2 u sin( x at ) sin( x at ) d 2 2a x at t sin x cos at (3 x 2 a 2 t 2 ) 3
2u 容易验证，经过变换原方程化成 0. 它的通解为 u F G
其中 F , G 是任意二次连续可微函数，即有
u x, t F 3 x y G x y
2 u | 3 x , u y | y 0 0, 把这个函数代入到条件 y 0
( x at ) 代表以速度a 沿x 轴正向传播的波 ( x at ) 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波
x at 1 (2)只有初始速度时： u( x , t ) ( )d 2a x at
假使初始速度在区间上是常数 ，而在此区间外恒等于0
u( x, t ) 1 ( x at ) 1 ( x at )
解: 先确定所给方程的特征曲线。特征方程为：
dy
或者
2
2dxdy 3 dx 0
2
2
dy dy dx 2 dx 3 0.
3 x y C1 它的两族积分曲线为 x y C2
做特征变换 3 x y
x y
c
决定区域
d
x
该区域称为区间[c , d]的决定区域。在区间[c , d]上 给定初始条件，就可以在其决定区域中确定初值 问题的解。
P9
弦拉的越紧,波传播速度越快;密度越小,波传播越快
1 1 x at u( x , t ) ( x at ) ( x at ) ( )d 2 2a x at
1 (1)只有初始位移时，u( x, t ) ( x at ) ( x at ) 2
第3章 波动方程与行波法、降维法
§3.1 一维波动方程 一. d’Alembert公式推导 二. d’Alembert公式物理意义 三. 依赖区间、决定区域和影响区域 四. 半无界弦自由振动问题 §4.2 三维波动方程柯西问题 一.三维波动方程和球对称解 二.三维波动方程的Poisson公式 和球对称解
2 u a uxx 0 ( x , t 0) tt u ( x ), u ( x ), x t 0 t t 0
初值问题 (Cauchy问题)
我们可以求出方程的通解,考虑变量代换
x at x at
考虑：u2 G( x at ) 的物理意义,如图给出的特例
u2
t 0
t 1 2
u2 G( x)
u2 G ( x a / 2)
a
a 2
0
u2 u2
a
3a 2
2a
x
x
u2
t 1
u2 G( x a)
x
t 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
u2 G( x 2a )
a
3a
x
2 T 千克 米 / 秒 T 行波速度： a = 米/秒 千克/米
无限长弦自由振动的达朗贝尔(d’Alembert)公式.
x at
行波法小结 (注：行波法仅适用于双曲型方程)
2 2u u 2 0 ( x , t 0) 2 a 2 x 1. 波动方程： t u( x ,0) ( x ), u ( x,0) ( x ) t