届高中毕业班月模拟考试数学试题(理)含答案
【新结构】(龙岩三模)福建省龙岩市2024届高中毕业班五月教学质量检测数学试题+答案解析
【新结构】(龙岩三模)福建省龙岩市2024届高中毕业班五月教学质量检测数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若全集，集合，，则()A. B. C. D.2.若复数z满足，则复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知向量，，若在上的投影向量为，则()A.2B.3C.4D.55.已知球的体积为，且该球的表面积与底面半径为2的圆锥的侧面积相等，则该圆锥的体积为()A. B. C. D.6.声音的等级单位：与声音强度单位：满足喷气式飞机起飞时，声音的等级约为若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍，则一般说话时声音的等级约为()A.120dBB.100dBC.80dBD.60dB7.已知曲线与曲线相交于A，B两点，直线AB交x轴于点P，则点P的横坐标的取值范围为()A. B.C. D.8.已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在上有且仅有1个零点，则的最大值为()A.11B.9C.7D.5二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数，则()A.在单调递增B.是的零点C.的极小值为0D.是奇函数10.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则()A.B.若，，则C.若，则面积的最大值为D.若，则11.已知抛物线与圆交于A，B两点，且过焦点F的直线l与抛物线C交于M，N两点，点P是抛物线C上异于顶点的任意一点，点Q是抛物线C的准线与坐标轴的交点，则()A.若，则直线l的斜率为B.的最小值为18C.为钝角D.点P与点F的横坐标相同时，最小三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2021年高三3月月考(一模)数学(理)试题 含答案
2021年高三3月月考（一模）数学（理）试题含答案本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.若复数则=（）A．3 B.2 C． D．2.已知集合，集合B为函数的定义域，且A∪B=R，那么m的值可以是（）A．﹣1 B．0C．1D．23．设向量与满足:在方向上的投影为，与垂直，则（）A． B． C． D．4.设中变量x，y满足条件，则z的最小值为（）A．2B．4C．8D．165.已知不重合的直线m、l和平面，，,则是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件6．已知对任意的实数，直线都不与曲线相切．则实数的取值范围为( )A. B. C. D.7．某三棱锥的三视图如图所示，其中左视图中虚线平分底边，则该三棱锥的所有面中最大面的面积是( )否是输入m 输出S 结束 S =0,i =1 S =S +ii =i +2 i<m 开始A ．2B ．C ．2D ． 8．阅读如图所示的程序框图，若输入m=xx ，则输出等于() A ．10072 B.10082 C ．10092 D ．xx 29.函数y=sin φ取最小正值时所得偶函数为，则函数的部分图象可以为( )10．设、是双曲线：（，）的两个焦点，是上一点，若，且△最小内角的大小为，抛物线：的准线交双曲线所得的弦长为4,则双曲线的实轴长为（ ）A ．6B ．2C ．D ．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，x ≤0，f (x －1)，x ＞0.若函数只有一个零点，则实数a 的取值范围是( )A. B. C. D.左（侧）视图12.已知是定义在上的函数的导函数，且满足，则不等式的解集为( ) A. B. C. D.第Ⅱ卷（13-21为必做题，22-24为选做题）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
广州市普通高中毕业班模拟考试(理科数学) (含参考答案)
广州市普通高中毕业班模拟考试数学（理科）本试卷共4页，23小题， 满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合{}2A x x =≤，{}2230B x x x =--≤，则AB =(Ａ) []2,3- (Ｂ) []1,2- (Ｃ) []2,1- (Ｄ) []1,2 （2）设(1i)(i)x y ++2=，其中,x y 是实数，则2i x y +=（A ）1 （B （C （D （3）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若230a S +=，则公比q =(A) 1- (B) 1 (C) 2- (D) 2（4）已知双曲线：C 12222=-bx a y （0,0>>b a ）的渐近线方程为x y 21±=, 则双曲线C的离心率为 (A)25(B) 5 (C)26(D) 6（5）若将函数()sin 2cos 2f x x x =+的图象向左平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是 （A ）8π （B ）4π（C ）38π （D ）34π（6）GZ 新闻台做“一校一特色”访谈节目, 分A, B, C 三期播出, A 期播出两间学校, B 期，C 期各播出1间学校, 现从8间候选学校中选出4间参与这三项任务, 不同的选法共有 （A ）140种 （B ）420种 （C ）840种 （D ）1680种（7）已知函数2,0,()1,0,x x f x x x⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ ()()g x f x =--，则函数()g x 的图象是（8）设0.40.7a =，0.70.4b =，0.40.4c = ，则,,a b c 的大小关系为(A) b a c << (B) a c b << (C) b c a << (D) c b a << （9）阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为(A) 7（10）已知抛物线:C y 交于M ，N (Ａ)221 （11）如图, (A) π25 (C) π29(12) 若函数()e x f =(A) (],1-∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2020届福建省高三毕业班3月质量检测考试数学(理)试题(解析版)
2．若复数 满足
,则
A．
B．
C．
D．1
【答案】D
【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得 z，再由复数模的计
算公式求解．
【详解】
由（z+1）i＝1+i，得 z+1
，
∴z＝﹣i，则|z|＝1．
故选：D．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
3．经统计,某市高三学生期末数学成绩
则
，解得 n
，
∵CC′∥BB′，
∴S△BB′C′＝S△BB′C
，
令 f（k）
（k
），则 f′（k）
，
令 f′（k）＝0 可得 k
或 k （舍），
∴当 k
时，f′（k）＞0，当
k
时，f′（k）＜0，
∴当 k
时，f（k）取得最大值 f（ ）
．
故选：D．
【点睛】 本题考查了余弦定理，函数单调性判断与最值计算，考查了用解析法解决几何问题的方 法，属于较难题．
2020 届福建省高三毕业班 3 月质量检测考试数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合
,
,则
A．
B．
C．
【答案】C
【解析】可求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可．
【详解】
= D．
，
；
∴A∩B＝{x|1＜x≤2}． 故选：C． 【点睛】
考查描述法的定义，对数函数的定义域，一元二次不等式的解法，交集的运算．
14．若 【答案】60
展开式的二项式系数之和为 64,则展开式中的常数项是______.
【解析】由题意利用二项式系数的性质求得 n 的值，在二项展开式的通项公式中，令 x
湖北省武汉市2024届高中毕业班二月调研考试数学试题含答案解析
武汉市2024届高中毕业生二月调研考试数学试卷武汉市教育科学研究院命制2024.2.28本试题卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2210A x x x =+-<，(){}2lg 1B y y x ==+，则A B = （）A.(]1,0- B.10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.1,02⎛⎤-⎥⎝⎦D.[)0,12.复数z 满足2352i z z +=-，则z =（）A.B.2C.D.3.已知1ab ≠，log 2a m =，log 3b m =，则log ab m =（）A.16B.15C.56D.654.将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，则不同的装法种数为（）A .7B.8C.9D.105.设抛物线22y x =的焦点为F ，过抛物线上点P 作其准线的垂线，设垂足为Q ，若30PQF ∠=︒，则PQ =（）A.23B.33C.34D.326.法布里-贝罗研究多光束干涉在薄膜理论中的应用时，用光波依次透过n 层薄膜，记光波的初始功率为0P ，记k P 为光波经过第k 层薄膜后的功率，假设在经过第k 层薄膜时光波的透过率112k k k k P T P -==，其中1k =，2，3…n ，为使得202402n P P -≥，则n 的最大值为（）A.31B.32C.63D.647.如图，在函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图象中，若TA AB =，则点A 的纵坐标为（）A.222-B.12-C.D.28.在三棱锥-P ABC中，AB =1PC =，4PA PB +=，2CA CB -=，且PC AB ⊥，则二面角P AB C --的余弦值的最小值为（）A.3B.34C.12D.105二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.9.已知向量()cos ,sin a θθ=，()3,4b =- ，则（）A.若//a b，则4tan 3θ=-B.若a b ⊥，则3sin 5θ=C.a b - 的最大值为6 D.若()0a a b ⋅-=，则a b -=10.将两个各棱长均为1的正三棱锥D ABC -和E ABC -的底面重合，得到如图所示的六面体，则（）A.该几何体的表面积为332B.该几何体的体积为6C.过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直D.直线//AD 平面BCE11.已知函数()()1e 1ln e 11xx x f x a x +⎛⎫=+-+ ⎪-⎝⎭恰有三个零点，设其由小到大分别为123,,x x x ，则（）A.实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1230x x x ++=C.函数()()()g x f x kf x =+-可能有四个零点D.()()331e x f x f x '='三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在ABC 中，其内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3π4B =，6b =，22a c +=，则ABC 的面积为__________．13.设椭圆22195x y +=的左右焦点为1F ，2F ，过点2F 的直线与该椭圆交于A ，B 两点，若线段2AF 的中垂线过点1F ，则2BF =__________．14.“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.各项均不为0的数列{}n a 对任意正整数n 满足：122311111112n n n a a a a a a a ++++⋯+=-．（1）若{}n a 为等差数列，求1a ；（2）若127a =-，求{}n a 的前n 项和n S ．16.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PA PB =，DA DB ==，2AB =，1PD =，点E ，F 分别为AB 和PB的中点．（1）证明：CF PE ⊥；（2）若1PE =，求直线CF 与平面PBD 所成角的正弦值．17.随着科技发展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速发展．其中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2023年8月使用虚拟角色直播带货后的销售金额情况统计．年月2023年82023年92023年102023年112023年122024年1月月月月月月月份编号x 123456销售金额y ／万元15.425.435.485.4155.4195.4若y 与x 的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：（1）试求变量y 与x 的样本相关系数r （结果精确到0.01）；（2）试求y 关于x 的经验回归方程，并据此预测2024年2月份该公司的销售金额．附：经验回归方程ˆˆˆy bx a =+，其中()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx=-，样本相关系数()()nniii ix x y y x y nxyr---=∑∑参考数据：612463.4iii x y==∑=18.已知双曲线E ：22221x y a b-=的左右焦点为1F ，2F ，其右准线为l ，点2F 到直线l 的距离为32，过点2F 的动直线交双曲线E 于A ，B 两点，当直线AB 与x 轴垂直时，6AB =．（1）求双曲线E 的标准方程；（2）设直线1AF 与直线l 的交点为P ，证明：直线PB 过定点．19.已知函数()e 1x f x x-=．（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）证明：()f x 是其定义域上的增函数；（3）若()xf x a >，其中0a >且1a ≠，求实数a 的值．武汉市2024届高中毕业生二月调研考试数学试卷武汉市教育科学研究院命制2024.2.28本试题卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2210A x x x =+-<，(){}2lg 1B y y x ==+，则A B = （）A.(]1,0- B.10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.1,02⎛⎤-⎥⎝⎦D.[)0,1【答案】B 【解析】【分析】由一元二次不等式的解法，对数函数的值域，集合的交集运算得到结果即可.【详解】集合{}21210|12A x x x x x ⎧⎫=+-<=-<<⎨⎬⎩⎭，因为211x +≥，所以()2lg 10x +≥，所以集合(){}{}2lg 1|0B y y x y y ==+=≥，所以10,2A B ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭，故选：B.2.复数z 满足2352i z z +=-，则z =（）A.B.2C.D.【答案】C 【解析】【分析】首先待定结合复数相等求得,x y ，结合模长公式即可求解.【详解】由题意不妨设i,,R z x y x y =+∈，所以()()2323552i i i i z z x y x y y x ++=+=-=--，所以55,2x y =-=-，解得1,2x y ==，所以z ==.故选：C.3.已知1ab ≠，log 2a m =，log 3b m =，则log ab m =（）A.16B.15C.56 D.65【答案】D 【解析】【分析】由对数的换底公式及对数的运算性质即可求出结果.【详解】由换底公式得，11log log 2m a a m ==，11log log 3b m b m ==，所以116log log log log 5ab m m m m ab a b ===+.故选：D.4.将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，则不同的装法种数为（）A.7B.8C.9D.10【答案】A【解析】【分析】先将红球从数量分成()0,1,2，()1,1,1两种类型的分组，在分两类研究以上不同形式下红球放入三个不同的袋中的方法数，最后袋中不重上黑球，使每个袋子中球的总个数为2个，将两类情况的方法总数相加即可.【详解】将3个红球分成3组，每组球的数量最多2个最少0个，则有()0,1,2，()1,1,1两种组合形式，当红球分组形式为()0,1,2时，将红球放入三个不同的袋中有333216A =⨯⨯=放法，此时三个不同的袋中依次补充上黑球，使每个袋子中球的总个数为2个即可.当红球分组形式为()1,1,1时，将红球放入三个不同的袋中有1种放法，此时三个不同的袋中依次补充上黑球，使每个袋子中球的总个数为2个即可.综上所述：将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，不同的装法种数为617+=种.故选：A.5.设抛物线22y x =的焦点为F ，过抛物线上点P 作其准线的垂线，设垂足为Q ，若30PQF ∠=︒，则PQ =（）A.23B.33C.34D.32【答案】A 【解析】【分析】由题意得30QFM ∠= ，结合正切定义以及1FM =可得QF ，进一步即可求解.【详解】如图所示：M 为准线与x 轴的交点，因为30PQF ∠=︒，且PF PQ =，所以30,120PFQ QPF ∠=︒∠=︒，因为//FM PQ ，所以30QFM ∠= ，而3tan 3013QM QM QM MF====，所以233QF =，所以2cos302323QF PF PQ ==÷=÷= .故选：A.6.法布里-贝罗研究多光束干涉在薄膜理论中的应用时，用光波依次透过n 层薄膜，记光波的初始功率为0P ，记k P 为光波经过第k 层薄膜后的功率，假设在经过第k 层薄膜时光波的透过率112k k k k P T P -==，其中1k =，2，3…n ，为使得202402n P P -≥，则n 的最大值为（）A.31B.32C.63D.64【答案】C 【解析】【分析】通过累乘法以及等差数列求和公式得()2024102122nn n P P -+=≥，进一步得()14048n n +≤，结合数列单调性即可得解.【详解】由题意111120111,,,222n n n n n n P P P P P P ----=== ，所以()20241102111122222n n n n n P P --+=⨯⨯⨯=≥ ，所以()120242n n +≤，即()14048n n +≤，显然()()1f n n n =+关于n 单调递增，其中*N n ∈，又()()6340324048644160f f =<<=，所以n 的最大值为63.故选：C.7.如图，在函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图象中，若TA AB =，则点A 的纵坐标为（）A.222-B.12-C.D.2【答案】B 【解析】【分析】由题意首先得3π,02T ϕωω⎛⎫- ⎪⎝⎭，进一步得由TA AB = 得21213π222x x y y ϕωω⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，将它们代入函数表达式结合诱导公式二倍角公式即可求解.【详解】由题意3π2x ωϕ+=，则3π2x ϕωω=-，所以3π,02T ϕωω⎛⎫-⎪⎝⎭，设()()1122,,,A x y B x y ，因为TA AB =，所以21213π222x x y y ϕωω⎧+-⎪=⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21213π222x x y y ϕωω⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，所以()122113π3π22sin 2222y y f x f x x ϕωϕωω⎛⎫⎛⎫===-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22111cos 2212sin 12x x y ωϕωϕ=+=-+=-，所以2112210y y +-=，又由图可知10y >，所以1312y -=.故选：B.8.在三棱锥-P ABC中，AB =1PC =，4PA PB +=，2CA CB -=，且PC AB ⊥，则二面角P AB C --的余弦值的最小值为（）A.3B.34C.12D.5【答案】A 【解析】【分析】首先得,P A 的轨迹方程，进一步作二面角P AB C --的平面角为PHC ∠，结合轨迹的参数方程以及余弦定理、基本不等式即可求解，注意取等条件.【详解】因为42PA PB a +==，所以2a =，点P 的轨迹方程为22142x y +=（椭球），又因为2CA CB -=，所以点A 的轨迹方程为221x y -=，（双曲线的一支）过点P 作,PH AB AB PC ⊥⊥，而,,PH PC P PF PC ⋂=⊂面PHC ，所以AB ⊥面PHC ，设O 为AB 中点，则二面角P AB C --为PHC ∠，所以不妨设π2cos ,0,,,2OH PH CH θθθ⎛⎤=∈== ⎥⎝⎦，所以2222cos 2PHC ∠=⋅所以()()222221sin 1cos 2sin 34sin PHC θθθ-∠=⋅-，令21sin ,01t t θ-=<<，所以()()()()222222221sin 1112cos 2214129sin 34sin 1412t t PHC t t t t θθθ-∠=⋅=⋅≥⋅=----+-⎛⎫ ⎪⎝⎭，等号成立当且仅当221sin 5t θ==-，所以当且仅当1510sin ,cos 55θθ==时，()min2cos 3PHC ∠=.故选：A.【点睛】关键点点睛：关键是用定义法作出二面角的平面角，结合轨迹方程设参即可顺利得解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.9.已知向量()cos ,sin a θθ=，()3,4b =- ，则（）A.若//a b，则4tan 3θ=-B.若a b ⊥，则3sin 5θ=C.a b -的最大值为6 D.若()0a a b ⋅-=，则a b -=【答案】ACD 【解析】【分析】根据//a b ，有4cos 3sin θθ=-，可判断A 选项；根据a b ⊥ ，得3cos 4sin 0θθ-+=，可判断B 选项；根据向量减法三角形法则有6a b a b -≤+=，分别求出a ，b ，有a ，b 反向时a b -取得最大值，根据向量的几何意义判断C 选项；根据()0a a b ⋅-= ，得4sin 3cos 1θθ-=，又a b -=，可计算a b -，从而判断D 选项.【详解】若//a b ，则4cos 3sin θθ=-，解得4tan 3θ=-，A 正确；若a b ⊥，则3cos 4sin 0θθ-+=，解得3tan 4θ=，所以3sin 5θ=±，B 错误；因为1a == ，5b == ，而6a b a b -≤+= ，当且仅当a ，b 反向时等号成立，在平面直角坐标系中，设向量a ，b的起点为坐标原点，向量a的终点在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上，向量()3,4b =- 终点在第二象限，当a ，b反向，则向量()cos ,sin a θθ=的终点应在第四象限，此时3cos 5θ=，4sin 5θ=-，所以C 正确；若()0a a b ⋅-=，则()()cos cos 3sin sin 40θθθθ++-=，即22cos 3cos sin 4sin 0θθθθ++-=，所以4sin 3cos 1θθ-=，a b -=，所以a b -==，D 正确.故选：ACD10.将两个各棱长均为1的正三棱锥D ABC -和E ABC -的底面重合，得到如图所示的六面体，则（）A.该几何体的表面积为2B.该几何体的体积为6C.过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直D.直线//AD 平面BCE 【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，首先求得其中一个正三角形的面积，进一步即可验算；对于B ，首先求得D ABC V -，进一步即可验算；对于C ，证明面ADE ⊥面ABC 即可判断；对于D ，建立适当的空间直角坐标系，验算平面法向量与直线方向向量是否垂直即可.【详解】对于A ，13311224ABD S =⨯⨯⨯= ，所以表面积为642⨯=，故A 对；对于B ，如图所示：设点D 在平面ABC 内的投影为O ，M 为BC 的中点，则由对称性可知O 为三角形ABC 的重心，所以223313323AO AM ==⨯⨯=，又因为1AD =，所以正三棱锥D ABC -的高为63DO ==，所以题图所示几何体的体积为1632223346D ABCV V -==⨯⨯⨯=，故B 错；对于C ，由B 选项可知DO ⊥面ABC ，由对称性可知,,D O E 三点共线，所以DE ⊥面ABC ，而DE ⊂面ADE ，所以面ADE ⊥面ABC ，故C 正确；对于D ，建立如图所示的空间直角坐标系：其中Ox 轴平行BC ，因为3333,3236AO OM ==-=，所以()13136136,,0,,,0,0,0,,1,0,0,,,26263263B C E BC BE ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，设平面BCE 的法向量为(),,n x y z = ，所以01360263x x y z -=⎧⎪⎨---=⎪⎩，不妨取1z =，解得22,0y x =-=，所以取()0,2,1n =-，又36360,,0,0,0,,0,,3333A D AD ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而26660333AD n =-+-⋅=≠ ，所以直线AD 与平面BCE 不平行，故D 错.故选：AC.11.已知函数()()1e 1ln e 11xxx f x a x +⎛⎫=+-+⎪-⎝⎭恰有三个零点，设其由小到大分别为123,,x x x ，则（）A.实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1230x x x ++=C.函数()()()g x f x kf x =+-可能有四个零点D.()()331e x f x f x '='【答案】BCD 【解析】【分析】对于B ，()()00f x h x =⇔=，证明函数()11eln 1e 1xxx h x a x +-⎛⎫=+ ⎪-+⎝⎭是奇函数即可；对于C ，将方程等价变形为11e ln 101e 1e xx xx k a x ⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫+-=⎢ ⎪⎥ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由此即可判断；对于D ，由13x x =-，而()()()()333331e e x x f x f x f x f x ''='=⇔-'，进一步求导运算即可；对于A ，通过构造函数可得()()100202p a m <'=='<，由此即可判断.【详解】对于B ，()11e0ln 01e 1xxx f x a x +-⎛⎫=⇔+= ⎪-+⎝⎭，设()11eln 1e 1xxx h x a x +-⎛⎫=+ ⎪-+⎝⎭，则它的定义域为()1,1-，它关于原点对称，且()()11e 11e ln ln 1e 11e 1x xx xx x h x a a h x x x --⎛⎫--+-⎛⎫⎛⎫-=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪++-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()h x 是奇函数，由题意()0h x =有三个根123,,x x x ，则1230x x x ++=，故B 正确；对于C ，由()()()()110e 1ln e 1e 1ln e 1011x xx x x x f x kf x a a x x --⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫+-=⇒+-+++-+= ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()1ln 11e 1e 1ln 01e 1e e 1e x x x xx x x x x a k a x ⎡⎤+⎛⎫⎪⎢⎥+---⎛⎫⎝⎭⎢⎥++-= ⎪-++⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以11e11e ln ln 1e 1e1e 1xxx xx x k x a a x x ⎡⎤+-+-⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎢ ⎪⎥-+-+⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即11e ln 101e 1e xx xx k a x ⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫+-=⎢ ⎪⎥ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎣⎦已经有3个实根123,,x x x ，当0k >时，令10ex k-=，则ln x k =，只需保证123ln ,,k x x x ≠可使得方程有4个实根，故C 正确；由B 可知，13x x =-，而()()()()333331e e x x f x f x f x f x ''='=⇔-'，又()()()()333322331122e lne 1e ,e ln e 111111x x x x xx x f x a a f x a a x x x x ''-+=++--=++---+-，所以()()3333323312e lne 1e 11xx x x f x a a x x +++--'=-()333333233331112lne 11e ln ln e 11111x x x x x x a a a a x x x x -+-=++-+--++--+()()()333333331e e 1lne 1e 1x x x x xf x a f x x +=-++-+='--'，故D 正确；对于A ，11e ln 1e 1x x x a x +-⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，设()()11e ln ,1e 1x xx p x a m x x +-⎛⎫==- ⎪-+⎝⎭，则()()()2222e ,1e 1xx a p x m x x ''==-+，所以()()102,02p a m ==''，从而1102,024a a <<<<，故A 错误.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：判断B 选项的关键是发现()()00f x h x =⇔=，进一步只需验证()h x 是奇函数即可顺利得解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在ABC 中，其内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3π4B =，6b =，22a c +=，则ABC 的面积为__________．【答案】3【解析】【分析】根据3π4B =，6b =，22a c +=，利用余弦定理求得ac =三角形面积公式求解.【详解】解：在ABC 中，3π4B =，6b =，22a c +=，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，43π2cosac =-=，解得ac =所以31sin 12222ABC B S ac ==⨯= ，故答案为：313.设椭圆22195x y +=的左右焦点为1F ，2F ，过点2F 的直线与该椭圆交于A ，B 两点，若线段2AF 的中垂线过点1F ，则2BF =__________．【答案】107【解析】【分析】由椭圆方程确定a ，b ，c 的值，结合已知条件及椭圆定义求出22AF =，在12Rt F F M 中，求出212121cos 4F M F F M F F ∠==，由诱导公式求出121cos 4F F B ∠=-，设2BF m =，则16BF m =-，在12F F B △中由余弦定理构造方程()22166184m m m+--=-，解出m 值即可.【详解】设线段2AF 的中垂线与2AF 相交于点M ，由椭圆22195x y +=方程可知，3a =，b =，2c =；由已知有：11224AF F F c ===，点A 在椭圆上，根据椭圆定义有：1226AF AF a +==，所以22AF =，21AM MF ==，在12Rt F F M 中，212121cos 4F M F F M F F ∠==，1212πF F M F F B ∠+∠=，121cos 4F F B ∠=-，点B 在椭圆上，根据椭圆定义有：1226BF BF a +==，设2BF m =，则16BF m =-，124F F =，在12F F B △中由余弦定理有：()222221221121221661cos 284m m F F BF BF F F B F F BF m+--+-∠===-⋅,解得107m =，即2107BF =.故答案为：10714.“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为__________．【答案】1013【解析】【分析】定义从i 出发最终从1号口出的概率为i P ，结合独立乘法、互斥加法列出方程组即可求解.【详解】设从i 出发最终从1号口出的概率为iP ，所以122131232213311110333612P P P P P P P P P ⎧=+⎪⎪⎪=++=+⎨⎪⎪=⎪⎩，解得11013P =.故答案为：1013.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.各项均不为0的数列{}n a 对任意正整数n 满足：122311111112n n n a a a a a a a ++++⋯+=-．（1）若{}n a 为等差数列，求1a ；（2）若127a =-，求{}n a 的前n 项和n S ．【答案】（1）112a =（2）23367n S n n =-+【解析】【分析】（1）由递推关系首先得1111112,222n n n n n n a a n a a a a +++=-⇒-=≥，进一步结合已知{}n a 为等差数列，并在已知式子中令1n =，即可得解.（2）由（1）得*2,N n n ≥∈时，数列是等差数列，故首先求得2a 的值，进一步分类讨论即可求解.【小问1详解】由题意122311111112n n n a a a a a a a ++++⋯+=-，当*2,N n n ≥∈时，12231111112n n na a a a a a a -++⋯+=-，两式相减得1111112,222n n n n n n a a n a a a a +++=-⇒-=≥，因为{}n a 为等差数列，在式子：12231111112n n na a a a a a a -++⋯+=-中令1n =，得1221112a a a =-，所以21112a a =+，所以2111111222a a a a a -=+-=⇒=-或112a =，若12a =-，则20a =，但这与0n a ≠矛盾，舍去，所以112a =.【小问2详解】因为127a =-，所以271322a =-+=-，而当*2,N n n ≥∈时，12n n a a +-=，所以此时()32227n a n n =-+-=-，所以此时()()213272336727n n n S n n --+-=-+=-+，而1n =也满足上式，综上所述，{}n a 的前n 项和23367n S n n =-+.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PA PB =，DA DB ==，2AB =，1PD =，点E ，F 分别为AB 和PB的中点．（1）证明：CF PE ⊥；（2）若1PE =，求直线CF 与平面PBD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见详解；（2）277【解析】【分析】（1）取PE 的中点G ，通过证明PE ⊥平面CDGF ，再由线面垂直的性质定理即可得到结果.（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求线面角的公式即可得到结果.【小问1详解】取PE 的中点G ，连接,DG FG ,由2DA DB AB ===，易知DAB 为等腰直角三角形，此时1DE =，又1PD =，所以PE DG ⊥.因为PA PB =,所以PE AB ⊥，由//FG EB ，即//FG AB ，所以PE FG ⊥，此时，////CD AB FG ,有,,,C D G F 四点共面，FG DG G = ,所以PE ⊥平面CDGF ，又CF ⊂平面CDGF ，所以CF PE ⊥.【小问2详解】由,,AB PE AB DE ⊥⊥且PE DE E = ,所以AB ⊥平面PDE .由1PE DE PD ===，得PDE △为等边三角形，以E 为原点，,EB ED 所在直线分别为x 轴，y 轴，过E 且与平面ABCD 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，()()()131130,,,0,1,0,1,0,0,2,1,0,,,22244P D B C F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()10,,,1,1,0,22DP DB ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ 设平面PBD 的法向量(),,n x y z = 由00n DP n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即130220y z x y ⎧-+=⎪⎨⎪-=⎩，取1z =，)n = ，又33,,244FC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设直线CF 与平面PBD 所成角为θ，则sin cos ,7n FC n FC n FCθ⋅====⋅,所以直线CF 与平面PBD 所成角的正弦值为277.17.随着科技发展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速发展．其中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2023年8月使用虚拟角色直播带货后的销售金额情况统计．年月2023年8月2023年9月2023年10月2023年11月2023年12月2024年1月月份编号x 123456销售金额y ／万元15.425.435.485.4155.4195.4若y 与x 的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：（1）试求变量y 与x 的样本相关系数r （结果精确到0.01）；（2）试求y 关于x 的经验回归方程，并据此预测2024年2月份该公司的销售金额．附：经验回归方程ˆˆˆy bx a =+，其中()()()1122211ˆn niii ii i nni ii i x x y yx y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx=-，样本相关系数()()nniii ixx y y x ynxyr ---=∑∑参考数据：612463.4iii x y==∑=【答案】17.0.9618.38.348.7y x =-，219.4万元【分析】（1）由题意根据参考公式线分别算得,x y 以及62216i i x x =-∑，进一步代入相关系数公式即可求解；（2）根据（1）中的数据以及参数数据依次算得 ˆ,ba ，由此即可得经验回归方程并预测.【小问1详解】123456715.425.435.485.4155.4195.4,85.4626x y ++++++++++====，6221496149162536617.54ii x x =-=+++++-⨯=∑，所以6762463.4685.467020.962035i ix y xyr --⨯⨯=≈⨯∑.【小问2详解】由题意122166762463.4685.42ˆ38.317.56i ii ii x y xybxx ==--⨯⨯==≈-∑∑，所以 785.438.348.72a=-⨯=-，所以y 关于x 的经验回归方程为38.348.7y x =-，所以预测2024年2月份该公司的销售金额为38.3748.7219.4y =⨯-=万元.18.已知双曲线E ：22221x y a b-=的左右焦点为1F ，2F ，其右准线为l ，点2F 到直线l 的距离为32，过点2F 的动直线交双曲线E 于A ，B 两点，当直线AB 与x 轴垂直时，6AB =．（1）求双曲线E 的标准方程；（2）设直线1AF 与直线l 的交点为P ，证明：直线PB 过定点．【答案】（1）2213y x -=（2）证明过程见解析【分析】（1）由右焦点到右准线的距离以及通径长度，结合,,a b c 之间的平方关系即可求解；（2）设直线AB 的方程为2x my =+，()()()11221,,,,2,0A x y B x y F -，联立双曲线方程结合韦达定理得()121234my y y y =-+，用m 以及,A B 的坐标表示出点P 以及PB 的方程，根据对称性可知，只需在PB 的直线方程中，令0y =，证明相应的x 为定值即可求解.【小问1详解】由题意22222232126a b c c c a b a b a b c ⎧-==⎪⎪=⎧⎪⎪=⇒⎨⎨=⎪⎩⎪+=⎪⎪⎩，所以双曲线E 的标准方程为2213y x -=.【小问2详解】由题意1:2l x =，设直线AB 的方程为2x my =+，()()()11221,,,,2,0A x y B x y F -，()2222231129033x my m y my x y =+⎧⇒-++=⎨-=⎩，所以()()222121222912Δ14436313610,,3131mm m m y y y y m m -=--=+>=+=--，直线1AF 的方程为：()()1111512,,2222y y y x P x x ⎛⎫=+∴ ⎪ ⎪++⎝⎭，所以PB 的方程为()()12222252212y y x y x x y x -+=-+-，由对称性可知PB 过的定点一定在x 轴上，令()()2211222112212111222202524522y x y x x y x x my y x y y y y x ⎛⎫⎛⎫---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⇒=+=++--+()()21221221324222245y my my my my y y y ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=++++-222221212122121221324628522285y m y y my my m y y my my y my y y y ⎛⎫-+++++- ⎪⎝⎭=++-12212218122285my y y my y y y --=++-，又()1221212122933112431y y m my y y y my y m ⎧=⎪⎪-⇒=-+⎨-⎪+=⎪-⎩，所以()()12212122121612661422313131385222y y y y y x y y y y y y +--=+=+=-++--，所以直线PB 过定点14,013⎛⎫⎪⎝⎭.19.已知函数()e 1x f x x-=．（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）证明：()f x 是其定义域上的增函数；（3）若()xf x a >，其中0a >且1a ≠，求实数a 的值．【答案】（1）e 2y x =+-（2）证明过程见解析（3）a =【解析】【分析】（1）首先代入1x =到函数表达式得切点坐标，求出切点处的导数值得切线斜率，由此即可得解.（2）对()f x 求导后，令()()1e 1xg x x =-+，对()g x 继续求导发现，对于任意的0x ≠有()0f x ¢>，故只需要证明0x <时，e 11xx-<，0x >时，e 11x x ->即可.（3）由（2）得1a >，进一步令e ,0k a k =>，()()1ee k xkx F x x --=--，结合题意知0x <时，()0F x <，0x >时，()0F x >，对k 分类讨论即可求解.【小问1详解】由题意()1e 1f =-，即切点为()()()2e e 11,e 1,11x x x f x k f x-+''-===，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为1e 1y x =-+-，即e 2y x =+-；【小问2详解】由()()21e 1x x f x x -+'=，设()()1e 1xg x x =-+，则()e x g x x '=，所以当0x <时，()0g x '<，()g x 单调递减，当0x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，又()00g =，所以对于任意的0x ≠有()0g x >，即()0f x ¢>，因此()f x 在(),0∞-单调递增，在()0,∞+单调递增，即()e 1xh x x =--，则()e 1xh x '=-，所以0x <时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以()()00h x h >=，即1x e x ->，即e 11x x-<，0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以()()00h x h >=，即1xe x ->，即e 11x x->，所以()f x 是其定义域上的增函数.【小问3详解】由（2）可知，0x <时，()1f x <，所以1x a <，故1a >，令e ,0k a k =>，()()1ee k xkx F x x --=--，由题意0x <时，()0F x <，0x >时，()0F x >，若1k ≥，则当1x >时，()()1e e 1e 0k xkx kx F x x x ---=--≤--<，不满足条件，所以01k <<，而()()()11ee 1k xkx F x k k --'=-+-，令()()G x F x '=，则()()()()221221e e e 1e k xkx kx x G x k k k k ---⎡⎤'=--=--⎣⎦，令()0G x '=，得2ln1kx k=-，()F x '在,2ln 1k k ⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭单调递减，在2ln ,1k k ⎛⎫+∞⎪-⎝⎭单调递增，若2ln01k k <-，则当2ln 01k x k <<-时，()()00F x F ''<=，()F x 单调递减，此时()()00F x F >=，不满足题意；若2ln01k k >-，则当02ln 1kx k <<-时，()()00F x F ''<=，()F x 单调递减，此时()()00F x F <=，不满足题意；若2ln01kk=-，则当0x <时，()()00F x F ''>=，()F x 单调递增，此时()()00F x F <=，且当0x >时，()()00F x F ''>=，()F x 单调递增，此时()()00F x F >=，满足题意，所以2ln01k k =-，解得12k =，综上所述，a =【点睛】关键点睛：第二问的关键是在得到()f x 在(),0∞-单调递增，在()0,∞+单调递增，之后还要继续说明“左边的函数值”小于“右边的函数值”，由此即可顺利得解.。
柳州市2023届高三毕业班11月模拟统考试题(理科用)1
柳州市2023届高三毕业班11月模拟统考试题理科数学（考试时间：120分钟满分：150分）一、选择题：（共12题，每小题5分，共60分）1．已知A=｛x∈N|2≤x≤5｝，B=｛2，4，6｝，则A∩B=（）A．｛2，4｝B．｛x|2≤x≤5｝C．｛x|2≤x≤6｝D．｛2，3，4，5，6｝2．若复数z=i1i2-，则复数z 的虚部是（）A．iB．2iC．1D．23．如图所示，该几何体的侧视图是（）4．设a∈R，则“a=1”是“直线ax+2y=0与直线x+（a+1）y+2=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．若38cosa -2sina 2cosa 3sina =+，则（43a tan π+=（）A．3B．31C．-3D．31-6．函数cosx x-x(ln)(∙+=）ππx f 在（ππ，-）上的图象大致为（）7．若直线x+y+a=0与曲线y=x-2lnx 相切，则实数a 的值为（）A．0B．-1C．-2D．-38．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”可类似的构造如图所示的图形，由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设DF=2FA，若AB=132，则DF 的长为（）A．2B．3C．3D．49．如图，将底面半径为2的圆锥放倒在平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S 滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆本身恰好滚动了2周，则（）A．圆锥的母线长为8B．圆锥的体积为π338C．圆锥的侧面展开图扇形圆心角为2πD．圆锥的表面积为π8第8题第9题10．已知函数f（x）=2cos 2(2xω)-5(0＞ω)，若对任意的实数t，f（x）在区间（t，t+6）上的值域均为[-5，-3]，则ω的取值范围为（）A．（0，3π）B．（6π，+∞）C．（3π，+∞）D．[3π，+∞]11．已知F 1，F 2分别为双曲线C：），（0b 0a 1by a x 2222>>=-的左、右焦点，O 为原点，双曲线上的点P 满足|OP|=b，且3sin sin 1221=∠∠F PF F PF ，则该双曲线C 的离心率为（）A．2B．26C．2D．312．已知a，b，c∈（0，1），且a 2-2lna+1=e，b 2-2lnb+2=e 2，c 2-2lnc+3=e 3则（）A．a＞b＞cB．a＞c>bC．c>a>bD．c>b>a二、填空题（本大题共4小题，每题5分）13．已知向量a=（1，k），b=（k+3，2），若a⊥b，则|a+b|=___________.14．为防控新冠疫情，很多公共场合要求进入的人必须佩戴口罩.现有3人在一次外出时需要从蓝、白、红、黑、绿5种颜色各1只的口罩中随机选3只不同颜色的口罩，则蓝、白口罩同时选中的概率为_________.15．已知抛物线C：y 2=2px（p>0）的准线方程x=-2，焦点为F，准线与x 轴的交点为A，B 为抛物线C 上一点，且满足5|BF|=2|AB|，则点F 到AB 的距离为___________.16．已知空间四边形ABCD 的各边长及对角线BD 的长度均为6，平面ABD⊥平面CBD，点M 在AC 上，且AM=2MC，过点M 作四边形ABCD 外接球的截面，则截面面积的最小值为___________.三、解答题（本大题共6小题共70分）（一）必考题：60分17．设S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，已知a 1=1，a n =2a n-1+1（n≥2）.（1）证明：｛a n +1｝为等比数列；（2）求数列｛a n ｝的通项公式，试判断n，a n ，S n 是否成等差数列并说明理由.18.热心网友们调查统计了柳州市某网红景点在2022年6月至10月的旅游收入y （单位：万元），得到以下数据：（1）根据表中所给数据，用相关系数r 加以判断，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？若可以，求出y 关于x 之间的线性回归方程；若不可以，请说明理由；（2）为调查游客对该景点的评价情况，网友们随机抽查了200名游客，得到如右图列联表，请填写2×2列联表，并判断能否有99.9%的把握认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关联”？参考数据：∑∑===-=-≈51i 51i 2i 2i 64yy 10x x 162.310）（，）（，.∑==--51i i i20y (x y x ）（，注：r 与K 2的计算结果精确到0.001参考公式：相关系数∑∑∑===----=n1i n1i 2i 2ii n1i iy y x x y y x x r ）（）（）（）（线性回忆方程：x b ˆy a ˆx x y y x x b ˆa ˆx b ˆyˆn1i 2i i n1i i -=---=+=∑∑==，）（）（）（，其中临界值表：））（）（）（（）（d b c a d c b a bc ad n 22++++-=K 月份x 678910旅游收入y1012111220喜欢不喜欢总计男100女60总计110P （K 2≥k 0）0.0100.0050.001K 06.6357.87910.82819．如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，平面ABC⊥平面ACC 1A 1，∠ABC=90°，AB=BC，四边形ACC 1A 1是菱形，∠A 1AC=60°，O 是AC 的中点.（1）证明：BC⊥平面B 1OA 1;（2）求二面角A-OB 1-C 1的正弦值.20．已知抛物线C 1：y 2=4x 与椭圆C 2:）（0a 1by a x 2222>>=+b 有公共的焦点，C 2的左、右焦点分别为F 1，F 2，该椭圆的离心率为21.（1）求椭圆C 2的方程；（2）如图，若直线l 与x 轴，椭圆C 2顺次交于P，Q，R（P 点在椭圆左顶点的左侧），且∠PF 1Q 与∠PF 1R 互为补角，求∆F 1QR 面积S 的最大值.21．已知f（x）=）（）（，1x a x g x1e x +=-.（1）求f（x）的单调区间；（2）当a>0时，若关于x 的方程（1+x）f（x）+g（x）=0存在两个正实数根x 1，x 2（x 1<x 2），证明：a>e 2且x 1x 2<x 1+x 2.（二）选考题：共10分22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参考方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t 1t y t1t x 2（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程.（2）若A，B 是曲线C 上的两点，且OA⊥OB，求22||1||1OB OA +的值.23．已知函数f（x）=|4x-1|.（1）求不等式f（x+1）+f（x）≥6的解集.（2）若函数y=f（x）+t 2的图象与函数y=5t-f（x+1）的图象有公共点，求实数t 的取值范围.。
高三下学期数学(理科)模拟考试卷-附参考答案
高三下学期数学(理科)模拟考试卷-附参考答案注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，则选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，则将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{220,M xx x N x y =--<==∣∣，则M N ⋃=（ ） A.(],e ∞- B.()0,2 C.(]1,e - D.()1,2- 2.已知复数z 满足()12i 34i z -=-，则z 的共轭复数z =（ ）A.12i --B.12i -+C.12i -D.12i +3.2023年3月24日是第28个“世界防治结核病日”，我国的宣传主题是“你我共同努力，终结结核流行”，呼吁社会各界广泛参与，共同终结结核流行，维护人民群众的身体健康.已知某种传染疾病的患病率为5%，通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人诊断为阳性，患者中有2%的人诊断为阴性.若随机抽取一人进行验血，则其诊断结果为阳性的概率为（ ）A.0.46B.0.046C.0.68D.0.0684.过抛物线2:4C y x =焦点F 的直线交抛物线C 于()()1122,,,A x y B x y 两点，以线段AB 为直径的圆的圆心为1O ，半径为r ，点1O 到C 的准线l 的距离与r 的积为25，则()12r x x +=（ ）A.40B.30C.25D.205.根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度30.1mg /m为安全范围.已知某新建文化娱乐场所施工中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，则竣工1周后室内甲醛浓度为36.25mg /m ,3周后室内甲醛浓度为31mg /m ，且室内甲醛浓度()t ρ（单位：3mg /m ）与竣工后保持良好通风的时间t （*t ∈N ）（单位：周）近似满足函数关系式()eat bt ρ+=，则该文化娱乐场所的甲醛浓度若要达到安全开放标准，竣工后至少需要放置的时间为（ ） A.5周 B.6周 C.7周 D.8周6.在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆柱的底面半径与圆锥的底面半径的比值为（ ）A.14 B.4 C.12 D.27.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点M 是双曲线右支上一点，且12MF MF ⊥，延长2MF 交双曲线C 于点P .若12MF PF =，则双曲线C 的离心率为（ ）8.在ABC 中90,4,,A AB AC P Q ===是平面ABC 上的动点，且2AP AQ PQ ===，M 是边BC 上一点，则MP MQ ⋅的最小值为（ ）A.1B.2C.3D.4二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列结论正确的有（ ）A.若随机变量,ξη满足21ηξ=+，则()()21D D ηξ=+B.若随机变量()23,N ξσ~，且(6)0.84P ξ<=，则(36)0.34P ξ<<=C.若样本相关系数r 的绝对值越接近1，则成对样本数据的线性相关程度越强D.按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27,30,37,,40,50m ；乙组：24,,33,44,48,52n .若这两组数据的第30百分位数､第50百分位数都分别对应相等，则67m n +=10.2022年12月，神舟十四号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆（都包含,M N 点）组成的“曲圆”，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点()0,3F ，椭圆的短轴长等于半圆的直径，如图，在平面直角坐标系中下半圆与y 轴交于点G .若过原点O 的直线与上半椭圆交于点A ，与下半圆交于点B ，则（ ）A.椭圆的离心率为12B.AFG 的周长为6+C.ABF 面积的最大值是92D.线段AB长度的取值范围是6,3⎡+⎣11.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为1AA ⊥底面ABCD ，三棱锥1A BCD -的体积是3，底面ABCD 和1111A B C D 的中心分别是O 和1,O E 是11O C 的中点，过点E 的平面α分别交11111,,BB B C C D 于点,,F N M ，且BD ∥平面,G α是线段MN 上任意一点（含端点），P 是线段1A C 上任意一点（含端点），则（ ）A.侧棱1AAB.四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球的表面积是40πC.当1125B F BB =时，则平面α截四棱柱所得的截面是六边形 D.PO PG +的最小值是512.已知()()e e ,, 1.01,1e 1e 0.9911a bc d a b c d c d a b >>==-=-=++，则（ ）A.0a b +>B.0c d +>C.0a d +>D.0b c +>三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在平面直角坐标系xOy 中角α的顶点为O ，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与圆229x y +=相交于点5t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________. 14.已知多项式5625601256(2)(1)x x a a x a x a x a x -+-=+++++，则1a =__________.15.已知函数()()2e 2ln x f x k x x x =+-和()2e xg x x=，若()g x 的极小值点是()f x 的唯一极值点，则实数k 的最大值为__________.16.“0，1数列”是每一项均为0或1的数列，在通信技术中应用广泛.设A 是一个“0，1数列”，定义数列()f A ：数列A 中每个0都变为“1,0,1”，A 中每个1都变为“0,1,0”，所得到的新数列.例如数列:1,0A ，则数列():0,1,0,1,0,1f A .已知数列1:1,0,1,0,1A ，且数列()1,1,2,3,k k A f A k +==，记数列k A 的所有项之和为k S ，则1k k S S ++=__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）如图，在平面四边形ABCD中3,,sin AC AB DAC BAC BAC ∠∠∠====.（1）求边BC ； （2）若23CDA π∠=，求四边形ABCD 的面积. 18.（本小题满分12分）在各项均为正数的数列{}n a 中()21112,2n n n n a a a a a ++==+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若n b =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证1n S <19.（本小题满分12分）2023年3月某学校举行了普通高中体育与健康学业水平合格性考试，考试分为体能测试和技能测试，其中技能测试要求每个学生在篮球运球上篮､羽毛球对拉高远球和游泳3个项目中任意选择一个参加.某男生为了在此次体育学业考试中取得优秀成绩，决定每天训练一个技能项目.第一天在3个项目中任意选一项开始训练，从第二天起，每天都是从前一天没有训练的2个项目中任意选一项训练.（1）若该男生进行了3天训练，求第三天训练的是“篮球运球上篮”的概率；（2）设该男生在考前最后6天训练中选择“羽毛球对拉高远球”的天数为X ，求X 的分布列及数学期望. 20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别是12,,F F P 是椭圆上一动点（与左､右顶点不重合），12PF F的内切圆半径的最大值是312.（1）求椭圆C 的方程；（2）过()4,0H 作斜率不为0的直线l 交椭圆于,A B 两点，过B 作垂直于x 轴的直线交椭圆于另一点Q ，连接AQ ，设ABQ 的外心为G ，求证：2AQ GF 为定值.21.（本小题满分12分）在三棱台111A B C ABC -中1AA ⊥平面111111,2,1,ABC AB AC AA A B AB AC ====⊥,E F 分别是1,BC BB 的中点，D 是棱11A C 上的动点.（1）求证：1AB DE ⊥（2）若D 是线段11A C 的中点，平面DEF 与11A B 的交点记为M ，求平面AMC 与平面AME 夹角的余弦值.22.（本小题满分12分）已知函数()ln 1f x x ax =-+有两个零点12,x x ，且122x x >. （1）求实数a 的取值范围；（2）证明：222112e x x x x ⎛⎫⋅+>⎪⎝⎭参考答案1.【答案】C 解析：2201,2M xx x =--<=-∣，由1ln 0x -，得0e x <，则{0,e]N x y ===∣，所以(]1,e M N ⋃=-.故选C.2.【答案】C 解析：因为()12i 34i 5z -=-==，可得()()()512i 512i 12i 12i 12i z +===+--+，所以12i z =-.故选C. 3.【答案】D 解析：设随机抽取一人进行验血，其诊断结果为阳性为事件A ，设随机抽取一人为患者为事件B ，随机抽取一人为非患者为事件B ，则()()()()()0.980.050.020.95P A P A B P B P A B P B =+=⨯+⨯=∣∣0.068.故选D.4.【答案】A 解析：由抛物线的性质知，点1O 到C 的准线l 的距离为12AB r =，依题意得2255r r =⇒=，又点1O 到C 的准线l 的距离为()121252x x r ++==，则有128x x +=，故()1240r x x +=.故选A.5.【答案】B 解析：由题意可知()()()()32341e6.25,3e 1,e 125a ba b a ρρρρ++======解得2e 5a=.设该文化娱乐场所竣工后放置0t 周后甲醛浓度达到安全开放标准，则()()0001102e e e6.255t a t at b a b t ρ--++⎛⎫==⋅=⨯ ⎪⎝⎭0.1，整理得01562.52t -⎛⎫ ⎪⎝⎭.设1562.52m -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 因为455562.522⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以415m <-<，即56m <<，则011t m --，即0t m 故竣工后至少需要放置的时间为6周.故选B.6.【答案】D 解析：设圆柱和圆锥底面半径分别为,r R ，因为圆锥轴截面的顶角为直，设圆柱高为h ，则,h R r h R r R R-==-，由题意得()222R r r R r πππ⨯=+⨯-，解得2r R=.故选D .7.【答案】D 解析：设1(2)MF t t a =>，由双曲线的定义可得22MF t a =-，又21PF MF t == 则12PF t a =+，由12MF MF ⊥，可得22211||MF MP PF +=，即222(22)(2)t t a t a +-=+，解得3t a =.又2221221MF MF F F +=，即222(3)4a a c +=即c =，所以c e a ==.故选D.8.【答案】B 解析：取PQ 的中点N ，则,MP MN NP MQ MN NQ MN NP =+=+=-，可得()()2221,MP MQ MN NP MN NP MN NP MN MN MA AN MA AN ⋅=+⋅-=-=-=+-当且仅当点N 在线段AM 上时，则等号成立，故|||||||||||3|MN MA AN MA -=-显然当AM BC ⊥时，则MA 取到最小值|||||3||233|MN MA ∴--=故21312MP MQ MN ⋅=--=.故选B.9.【答案】BC 解析：对于A ，由方差的性质可得()()()224D D D ηξξ==，故A 错误；对于B ，由正态密度曲线的对称性可得(36)(6)0.50.34P P ξξ<<=<-=，故B 正确；对于C ，由样本相关系数知识可得，样本相关系数r 的绝对值越接近1，则成对样本数据的线性相关程度越强，故C 正确；对于D ，甲组：第30百分位数为30，第50百分位数为372m +，乙组：第30百分位数为n ，第50百分位数为33447722+=，则30,3777,22n m =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30,40,n m =⎧⎨=⎩故70m n +=，故D 错误.故选BC. 10.【答案】BD 解析：由题知，椭圆中的几何量3b c ==，所以a =则离心率2c e a ===故A 不正确；因为3AB OB OA OA =+=+由椭圆性质可知332OA ，所以6332AB +故D 正确；设,A B 到y 轴的距离分别为12,d d则()1212113222ABFAOFOBFSSSd OF d OF d d =+=⋅+⋅=+当点A在短轴的端点处时，则12,d d 同时取得最大值3，故ABF 面积的最大值是9，故C 不正确；由椭圆定义知2AF AG a +==AFG 的周长6AFGCFG =+=+B 正确.故选BD.11.【答案】BCD 解析：对于选项A ，因为三棱锥1A BCD -的体积111323V AA=⨯⨯=解得1AA=A错误；对于选项B，外接球的半径满足22221440R AB AD AA=++=故外接球的表面积2440S Rππ==，故选项B正确；对于选项D，因为BD∥平面1111,,BD B D B Dα⊄∥平面α，所以11B D∥平面α，又平面1111A B C D⋂平面11,MN B Dα=⊂平面1111A B C D，所以11B D MN∥，又因为四边形1111A B C D是正方形1111A CB D⊥，所以11AC MN⊥，因为侧棱1AA⊥底面1111,A B C D MN⊂底面1111A B C D 所以1AA MN⊥，又1111AC AA A⋂=，所以MN⊥平面11AAC C，垂足是E，故对任意的G，都有PG PE，又因为1111114OO O E AC===，故215PO PG PO PE OE OO++==，故选项D正确；对于选项C，如图，延长MN交11A B的延长线于点Q，连接AQ交1BB于点F，在平面11CC D D内作MH AF∥交1DD于点H，连接AH，则平面α截四棱柱所得的截面是五边形AFNMH，因为1112B Q B N AB==，所以此时1113B FBB=，故11113B FBB<<时截面是六边形，1113B FB<时截面是五边形，故选项C正确.故选BCD.12.【答案】AD 解析：对于A，e e1.010,1,111a ba ba b==>∴>->-++令()e(1)1xf x xx=>-+则()2e1)xxf xx=+'所以()f x在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，且()01f=，又()1 1.01f>故01,10a b<<-<<令()()()()()()ln ln2ln1ln1,1,1h x f x f x x x x x=--=-++-+∈-，则()2112220111h xx x x-=-+=-<+-+-'，所以()h x在()1,1-上单调递减，且()()00,1,0h b=∈-()()()()()()ln ln0,,,f b f b f b f b f af b a b∴-->∴>-∴>-∴>-即0a b+>，故选项A 正确；对于B ，()()1e 1e 0.990,1,1c d c d c d -=-=>∴<< 令()()1e (1)x g x x x =-<，则()e x g x x '=-，所以()g x 在(),0∞-上单调递增，在()0,1上单调递减，且()01g =，又()10.99g -<，故01,10c d <<-<<.令()()()()()()()ln ln 2ln 1ln 1,1,1m x g x g x x x x h x x =--=-++-+=∈-，所以()m x 在()1,1-上单调递减，且()()()()()()00,0,1,ln ln 0,m c g c g c g c g c =∈∴--<∴<- ()(),g d g c d c ∴<-∴<-，即0c d +<，故选项B 错误；对于C ，()()()()()()()11100,0.99,1,0,101f xg a a g a g d g x f a =∴-==>-∈-∴->- 又()g x 在(),0∞-上单调递增 ,0a d a d ∴->∴+< 故选项C 错误；对于D ，由C 可知 ()()(),0,1g b g c b ->-∈ 又()g x 在()0,1上单调递减，b c ∴-< 即0b c +>，故选项D 正确.故选AD.13.【答案】35- 解析：因为角α的终边与圆229x y +=相交于点t ⎫⎪⎪⎝⎭，所以cos 3α=÷=223sin 2cos22cos 12125πααα⎛⎫+==-=⨯-=- ⎪⎝⎭⎝⎭. 14.【答案】74 解析：对于5(2)x -，其二项展开式的通项为515C (2)r r r r T x -+=-，令51r -=，得4r =，故4455C (2)80T x x =-=，对于6(1)x -，其二项展开式的通项为616C (1)k k k k T x -+=- 令61k -=，得5k =，故5566C (1)6T x x =-=-，所以180674a =-=.15.【答案】2e 4 解析：由()2e x g x x =可得()()22442e e e 2x x x x x x x g x x x'-⋅-⋅==，当0x <或2x >时，则()0g x '>，当02x <<时，则()0g x '<，所以()g x 的极小值点是2.由()()2e 2ln xf x k x x x=+-可得()()()()432e 2e 12,0,xx x x k f x k x x x x x x ∞-⎛⎫⎛⎫=+-='--∈+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()f x 的唯一极值点为2，所以3e 0x k x x -或3e 0x k x x -恒成立，所以2e x k x 或2e xk x在()0,∞+上恒成立，因为()2e xg x x=在()0,2上单调递减，在()2,∞+上单调递增，当x ∞→+时，则()g x ∞→+，所以2e x k x 在()0,∞+上恒成立，则()2min e ()24k g x g ==.16.【答案】1103k -⨯ 解析：设数列k A 中0的个数为,1k a 的个数为k b ，则112,2k k k k k k a a b b a b ++=+=+，两式相加，得()113k k k k a b a b +++=+，又115,a b +=∴数列{}k k a b +是以5为首项，3为公比的等比数列153k k k a b -∴+=⨯两式相减，得17.【答案】解：（1）因为sin 14BAC BAC ∠∠=为锐角，所以cos 14BAC ∠==.因为3AC AB ==，在ABC 中由余弦定理得2222cos BC AC AB AC AB BAC ∠=+-⋅⋅即279231BC =+-=，得1BC =. （2）在ADC 中由正弦定理得sin sin CD AC DAC ADC∠∠==，所以1CD =.在ADC 中由余弦定理得222cos 2AD CD AC ADC AD CD ∠+-=⋅，即211722AD AD+--=，解得2AD =.因为121331273,12sin 214423ABCACDSS π=⨯⨯⨯==⨯⨯⨯=所以34ABCACDABCD S SS=+==四边形. 18.【答案】解：（1）()()()211112,20n n n n n n n n a a a a a a a a ++++=+∴-+=，则120n n a a +-=或10n n a a ++= 10,2n n n a a a +>∴=∴数列{}n a 为等比数列，公比为12,2,a =∴数列{}n a 的通项公式为2n n a =.（2）证明：由（1）得112,2n n n n a a ++==则n b ======∴数列{}n b 的前n项和为11n S n =+-=-1n S ∴<当2n时，则10,n n n S S b --===>∴当*n ∈N 时，则{}n S 为递增数列1n S S ∴n S1n S <19.【答案】解：（1）当第一天训练的是“篮球运球上篮”且第三天训练的也是“篮球运球上篮”为事件A ；当第一天训练的不是“篮球运球上篮”且第三天训练的是“篮球运球上篮”为事件B . 由题知，3天的训练过程中总共的可能情况为32212⨯⨯=种 所以，()()12112111,126126P A P B ⨯⨯⨯⨯==== 所以，第三天训练的是“篮球运球上篮”的概率()()13P P A P B =+=.（2）由题知，X 的可能取值为0,1,2,3考前最后6天训练中所有可能的结果有53296⨯=种当0X =时，则第一天有两种选择，之后每天都有1种选择，所以，()5521210329648P X ⨯====⨯； 当1X=时，则共有24444220+++++=种选择，所以()20519624P X ===； 当3X =时，则共有844824+++=种选择，所以()2413964P X ===； 所以()()()()5025210139648P X P X P X P X ==-=-=-=== 所以，X 的分布列为所以()1012324824484E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 20.【答案】解：（1）由题意知1,22c a c a =∴=，又222b a c =-，则,b =设12PF F 的内切圆半径为r ，则()()()121212112222PFF SPF PF F F r a c r a cr =++⋅=+⋅=+⋅. 故当12PF F 面积最大时，则r 最大，即点P 位于椭圆短轴顶点时r = )a c bc +=，把2,a c b ==代入，解得2,1a b c === 所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）由题意知，直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为4x ty =+代入椭圆方程得()()()222223424360,Δ(24)1443414440t y ty t t t +++==-+=-> 设()()1122,,,A x y B x y ，则1212222436,3434t y y y y t t -+==++ 因此可得1223234x x t +=+ 所以AB 中点的坐标为221612,3434t t t -⎛⎫ ⎪++⎝⎭因为G 是ABQ 的外心，所以G 是线段AB 的垂直平分线与线段BQ 的垂直平分线的交点，由题意可知,B Q 关于x 轴对称，故()22,Q x y -AB 的垂直平分线方程为2216123434tt x y t t ⎛⎫--=+ ⎪++⎝⎭ 令0y =，得2434x t =+，即24,034G t ⎛⎫⎪+⎝⎭，所以2222431,3434t GF t t =-=++ 又AQ ==221234t t ==+ 故24AQ GF =，所以2AQGF 为定值，定值为4. 21.【答案】解：（1）证明：取线段AB 的中点G ，连接1,A G EG ，如图所示 因为,E G 分别为,BC AB 的中点，所以EG AC ∥在三棱台111A B C ABC -中11AC AC ∥ 所以，11EG AC ∥，且11D A C ∈ 故1,,,E G A D 四点共面.因为1AA ⊥平面,ABC AG ⊂平面ABC ，所以1AA AG ⊥ 因为1111111,,AA A B AG AG A B AA AG ===⊥∥ 所以四边形11AA B G 是正方形，所以11AB AG ⊥. 又1111111111,,,AB AC AC AG A AC AG ⊥⋂=⊂平面1A DEG 所以1AB ⊥平面1A DEG .因为DE ⊂平面1A DEG ，所以1AB DE ⊥.（2）延长EF 与11C B 相交于点Q ，连接DQ ，则11DQ A B M ⋂=. 因为,F E 分别为1BB 和BC 的中点1B Q BE ∥，所以111B Q B FBE BF== 则11112B Q BE BC B C ===，所以，1B 为1C Q 的中点. 又因为D 为11A C 的中点，且11A B DQ M ⋂=，则M 为11A C Q 的重心 所以1112233A M AB == 因为1AA ⊥平面,ABC AC ⊂平面ABC ，所以1AA AC ⊥.因为11111,AB AC AC AC ⊥∥，所以1AB AC ⊥. 又因为1111,,AA AB A AA AB ⋂=⊂平面11AA B B 所以AC ⊥平面11AA B B ，所以1,,AC AB AA 两两垂直以A 为原点，1,,AC AB AA 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系则()()()()20,0,0,0,2,0,2,0,0,1,1,0,0,,13A B C E M ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以()()22,0,0,0,,1,1,1,03AC AM AE ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 设平面AMC 的法向量为()1,,n a b c =则1120,20,3n AC a n AM b c ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩取3b =-，则()10,3,2n =-. 设平面AME 的法向量为()2,,n x y z =则220,20,3n AE x y n AM y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩取3y =-，可得()23,3,2n =-. 所以，12121213cos ,2213n n n n n n ⋅===⨯ 故平面AMC 与平面AME 夹角的余弦值为22. 22.【答案】解：（1）()ln 1f x x ax =-+的定义域为()()110,,ax f x a x x∞-+=='- 当0a 时，则()0f x '>恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，()f x 不可能有两个零点，故舍去；当0a >时，则令()0f x '>，解得10x a <<，令()0f x '<，解得1x a> 所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减 所以max 11()ln f x f a a ⎛⎫==⎪⎝⎭. 要使()f x 有两个零点，则max 1()ln 0f x a=>，解得01a <<. 又22111444242ln 10,ln 1110e e e e a f a f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-⋅+=-<=-+<-+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以当01a <<时，则()f x 在11,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和214,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上各有一个零点21,,x x 且122x x >，所以1122ln 10,ln 10,x ax x ax -+=⎧⎨-+=⎩由fx 的单调性知，当()21,x x x ∈时，则()0f x > 当()1,x x ∞∈+时，则()0f x <.因为2212x x x <<，所以()220f x >，即()2222ln 221ln 1x ax x ax -+>-+ 所以2ln2ax <，而22ln 1x ax +=，即2ln 1ln2x +<，所以220ex <<，而22ln 1x a x +=.令()ln 12,0,e x h x x x +⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则()221ln 1ln x x h x x x -'--== 因为20,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2ln ln 0ex ->->，所以()0h x '> 所以()h x 在20,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增所以()2ln2eln22e 2eh x h ⎫<==⎪⎭，所以eln20,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（2）因为1220x x >>，所以22211212e e 2x x x x x x ⎛⎫⋅+⋅ ⎪⎝⎭，当且仅当12x x =时取等号 而1220x x >>，故222112e e x xx x ⎛⎫⋅+>⋅⎪⎝⎭要证222112e x x x x ⎛⎫⋅+>⎪⎝⎭2e 42⋅，即证1228e x x ，即证1228ln ln e x x 即证12ln ln 3ln22x x +-.设12x t x =，因为1220x x >>，所以2t > 由（1）得1122ln 1,ln 1,x ax x ax +=⎧⎨+=⎩，两式作差，化简得21ln ln ln 1,ln 1ln 11t tx x t t t =-=-+-- 所以122ln ln ln ln 21tx x t t +=+--. 令()2ln ln 2,21tg t t t t =+->-，则()2212ln (1)t t t g t t t '--=-. 令()212ln t t t t ϕ=--，则()()2222ln ,20t t t t tϕϕ'=---''=>，易知()t ϕ'在()2,∞+上单调递增故()()222ln20t ϕϕ'>'=->，所以()t ϕ在()2,∞+上单调递增，所以()()234ln20t ϕϕ>=->所以()g t 在()2,∞+上单调递增，所以()()23ln22g t g >=-，即12ln ln 3ln22x x +>-得证.所以不等式222112e x x x x ⎛⎫⋅+> ⎪⎝⎭.。
2020年10月广西南宁市普通高中2021届高三毕业班摸底考试数学(理)试题及答案
绝密★启用前广西南宁市普通高中2021届高三毕业班上学期摸底考试(一模)数学(理)试题2020年10月(考试时间：120分钟满分：150分)注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第II卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{x|－1<x<3},B＝{t∈Z|t＝2x＋1,x∈A},则A∩B的元素个数为A.4个B.3个C.2个D.1个2.复数22ii+-的虚部是A.12B.12i C.32i D.323.已知a,b均为单位向量,它们的夹角为120°,c＝λa－μb,若a⊥c,则下列结论正确的是A.2λ＋μ＝0B.2λ－μ＝0C.λ－μ＝0D.λ＋μ＝04.设直线x＝4与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE(O为坐标原点)。
则C的焦点坐标为A.(14,0) B.(12,0) C.(1,0) D.(2,0)5.一组数据的平均数为m,方差为n,将这组数据的每个数都乘以a(a>0)得到一组新数据,则下列说法正确的是A.这组新数据的平均数为mB.这组新数据的平均数为a ＋mC.这组新数据的方差为anD.这组新数据的标准格为a n 6.在△ABC 中,角A,B,C 的对边为a,b,c 着a ＝4,b ＝5,c ＝6,则sin 2sin A C= A.12 B.23 C.34 D.1 7.如图,网格纸上小正方形边长为1,粗线是一个棱锥的三视图,则此棱锥的表面积为A.4＋2B.2＋2C.3＋2D.88.已知a ∈(0,π),cos(α＋6π)＝35,则sin α的值为 433±433-433+433- 9.射线测厚技术原理公式为I ＝I 0e －ρµt ,其中I 0,I 分别为射线穿过被测物前后的强度,e 是自然对数的底数,t 为被测物厚度,ρ为被测物的密度,µ是被测物对射线的吸收系数。
高三模考理科数学试卷答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，无理数是（）A. $\sqrt{4}$B. $\sqrt{3}$C. $\pi$D. $\frac{1}{2}$答案：B2. 函数$f(x)=2x+1$的图像与直线$y=3$的交点坐标是（）A. $(1,3)$B. $(2,3)$C. $(1,2)$D. $(2,2)$答案：B3. 已知等差数列$\{a_n\}$中，$a_1=3$，$a_5=13$，则公差$d$为（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：A4. 若$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，则$A^{-1}$为（）A. $\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$B. $\begin{bmatrix} 4 & -3 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$C. $\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$D. $\begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$答案：A5. 在平面直角坐标系中，点$P(2,3)$关于直线$y=x$的对称点坐标是（）A. $(2,3)$B. $(3,2)$C. $(3,-2)$D. $(-2,3)$答案：B6. 若$|a|=3$，$|b|=5$，则$|a+b|$的最大值为（）A. 8B. 10C. 12D. 15答案：B7. 函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$在$x=1$处的导数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C8. 已知$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，则$|A|$的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：D9. 在$\triangle ABC$中，若$A=60^\circ$，$a=8$，$b=10$，则$c$的值为（）A. $6\sqrt{3}$B. $4\sqrt{3}$C. $3\sqrt{3}$D. $2\sqrt{3}$答案：A10. 若$y=2^x$，则$\frac{dy}{dx}$为（）A. $2^x\ln 2$B. $2^x$C. $2^x\ln 10$D. $2^x\ln e$答案：A二、填空题（每题5分，共50分）11. 若$f(x)=ax^2+bx+c$，且$f(1)=2$，$f(-1)=0$，$f(2)=6$，则$a+b+c=$______。
2020-2021学年高三数学(理科)高三毕业模拟考试试题及答案解析
最新普通高中毕业班模拟考试理科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）若全集U=R ，集合{}124xA x =<<，{}10B x x =-≥，则U A B I ð＝（A ）{}12x x << （B ）{}01x x <≤ （C ）{}01x x << （D ）{}12x x ≤< （2）已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若i a -与2i b +互为共轭复数，则()2i =a b +（A ）3+4i （B ）5+4i （C ）34i - （D ）54i - （3）下列说法中正确的是（A ）“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件（B ）若2000:,10p x x x ∃∈-->R ，则2:,10p x x x ⌝∀∈--<R（C ）若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题（D ）命题“若6απ=，则1sin 2α=”的否命题是“若6απ≠，则1sin 2α≠” （4）已知()f x 在R 上是奇函数,且满足()()4f x f x +=,当()0,2x ∈时,()22f x x =，则()7f =（A ） 2 （B ）2- （C ）98- （D ）98 （5）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（A ）()22-，（B ）()40-，（C ）()44--，（D ）()08-，（6）各项均为正数的等差数列{}n a 中，3694=a a ，则前12项和12S 的最小值为（A ）78 （B ）48 （C ）60（D ）72（7）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为2的直角三角形，俯视图是半径为1的四分之一圆周和两条半径，则这个 几何体的体积为 （A ）312π（B ）36π（C ）34π（D ）33π （8）已知3sin 5ϕ=，且2ϕπ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图像 的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为 （A ）35- （B ）45- （C ）35 （D ）45（9）若实数,x y 满足约束条件220,240,2,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则x y 的取值范围是（A ）2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦（B ）13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦（C ）3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦（D ）[]1,2（10）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若2FB FA =uu r uu r，则此双曲线的离心率为（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）5 （11）将5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有（A ） 150种 （B ） 180种 （C ） 240种 （D ）540种 （12）已知ABC ∆的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为()()()0,1,2,0,0,2-，O 为坐标原点，动点P 满足1CP =uu r ，则OA OB OP ++uu r uu u r uu u r的最小值是（A 1 （B 1 （C 1 （D 1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）已知向量a ，b 满足||4=b ，a 在b 方向上的投影是12，则=g a b ． （14）已知()1cos 3θ+π=-，则sin 22θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（15）102a x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为180，则a =．（16）已知()y f x =为R 上的连续可导函数，且()()0xf x f x '+>，则函数()()1g x xf x =+()0x >的零点个数为___________．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知12a =，对任意*n ∈N ，都有()21n n S n a =+． (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ）若数列4(2)n n a a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为nT ,求证：112n T ≤<.（18）(本小题满分12分)如图，在三棱柱11ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，12AB AC AA ==，120BAC ∠=o ，1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点，过线段AD 的中点P 作BC 的平行线，分别交AB ，AC 于点M ，N ．（Ⅰ）证明：MN ⊥平面11ADD A ； （Ⅱ）求二面角1A A M N --的余弦值．（19）（本小题满分12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立． （Ⅰ）求在未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系；若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？（20）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221221x y C a b +=：()1a b >≥的离心率2e =，且椭圆1C 上一点M 到点()30，Q 的距离的最大值为4． （Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）设1016A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，N 为抛物线22x y C =：上一动点，过点N 作抛物线2C 的切线交椭圆1C 于B ，C 两点，求ABC ∆面积的最大值．（21）（本小题满分12分）已知函数()e xf x ax =-（e 为自然对数的底数，a 为常数）在点()0,1处的切线斜率为1-.（Ⅰ）求a 的值及函数()x f 的极值； （Ⅱ）证明：当0>x 时，2e x x <；（III ）证明：对任意给定的正数c ，总存在0x ，使得当()∞+∈，0x x ，恒有2e x x c <.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，以BD 为直径的圆O 与BC 交于点E ． （Ⅰ）求证：BC CE AD DB ⋅=⋅；（Ⅱ）若4BE =，点N 在线段BE 上移动，90ONF ∠=o ,NF 与O e 相交于点F ，求NF 的最大值．（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：1,12x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线2C ：cos 3sin x a y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数，0a >)．（Ⅰ）若曲线1C 与曲线2C 有一个公共点在x 轴上，求a 的值；（Ⅱ）当3a =时，曲线1C 与曲线2C 交于A ，B 两点，求A ，B 两点的距离．（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知定义在R 上的函数()||||f x x m x =-+，*m ∈N ，存在实数x 使()2f x <成立． （Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）若,1αβ>，()()2f f αβ+=，求证：4192αβ+≥．参考答案。
河南省2022届普通高中毕业班高考适应性测试理科数学试题(含答案解析)
河南省2022届普通高中毕业班高考适应性测试理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知集合{}1,3M =，{}1,3N a =-，若{}1,2,3M N =，则a 的值是（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．12．已知复数z 满足()12i 32i z +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）A ．15-B ．85-C ．1i 5-D ．8i 5-3．已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，11a =，15b =，且212134a b -=，则1111a b -的值为（ ） A ．-17B ．-15C ．17D ．154．“2021年12月2日”因其数字“20211202”的对称性被很多人晒到了朋友圈，类似这样的对称性在二十一世纪，我们还能再遇到（ ） A ．6次B ．7次C ．8次D ．9次5．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则该双曲线的离心率是（ ）AB C ．2D 6．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.若顾客实际购得的黄金为g m ，则（ ） A ．10m >B ．10m =C ．10m <D ．以上都有可能7．已知侧棱和底面垂直的三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为3，D 为侧棱1CC 的中点，M 为侧棱1AA 上一点，且11A M =，N 为11B C 上一点，且MN ∥平面ABD ，则1NB 的长为（ ） A ．1B ．2C ．32D ．128．如图，椭圆C ：22154x y +=的左､右焦点分别为1F ，2F ，过点1F ，2F 分别作弦AB ，CD .若//AB CD ，则12AF CF +的取值范围为（ ）A ．⎣B ．⎣C ．⎣D ．⎣ 9．若定义在R 上的偶函数()f x 的图象关于点()2,0对称，则下列说法错误的是（ ）A ．()()f x f x =-B ．()()220f x f x ++-=C ．()()35f f =D ．()()22f x f x +=-10．“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1，1，2，3，5，8，13，，则下列选项不正确的是（ ）A ．在第9条斜线上，各数之和为55B ．在第()5n n ≥条斜线上，各数自左往右先增大后减小C ．在第n 条斜线上，共有()2114nn +--个数D ．在第11条斜线上，最大的数是37C11．已知3log 2a =，11log 5b =，lg4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．a c b <<12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.为了纪念数学家高斯，人们把函数[]y x =，x ∈R 称为高斯函数，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[]2.13-=-，[]3.13=.那么函数()[][]2sin cos sin cos f x x x x x =⋅++的值域内元素的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5二、填空题13．已知函数()3221f x ax a a x x =+-+-的极大值点是1-，则=a ___________.14．有两枚质地均匀，大小相同的正方体骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，同时掷两枚骰子，则两枚骰子朝上面的数字之积能被6整除的概率为___________.15．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()20a c b c -⋅-=，则c 的最大值是___________.16．已知三棱锥P ABC -中，ABC 是边长为PA PB a ==，且平面PAB ⊥平面ABC ，若三棱锥P ABC -的每个顶点都在表面积为654π的球面上，则=a ___________.三、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且222sin sin sin sin sin A B C B C =++.(1)求角A 的大小；(2)若1a =，b c λ+存在最大值，求正数λ的取值范围.18．如图，1l ，2l 是两条互相垂直的异面直线，点P 、C 在直线1l 上，点A 、B 在直线2l 上，M 、N 分别是线段AB 、AP 的中点，且==PC AC a ，PA =．（1）证明：PC ⊥平面ABC ；（2）设平面MNC 与平面PBC 所成的角为()090θθ︒<≤︒．现给出下列四个条件： ①12CM AB =；①AB =；①CM AB ⊥；①BC AC ⊥． 请你从中再选择两个条件以确定cos θ的值，并求之．19．第24届冬季奥运会将于2022年2月4日至2月20日在中国举行，其中冰壶比赛项目是本届奥运会的正式比赛项目之一，1998年中国女子冰壶队第一次参加奥运会冰壶比赛就获得了铜牌．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线MN 的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN 将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O 的远近决定胜负．某学校冰壶队举行冰壶投掷测试，规则为：①每人至多投3次，先在点M 处投第一次，冰壶进入营垒区得3分，未进营垒区不得分；①自第二次投掷开始均在点A 处投掷冰壶，冰壶进入营垒区得2分，未进营垒区不得分；①测试者累计得分高于3分即通过测试，并立即终止投掷．已知投掷一次冰壶，甲得3分和2分的概率分别为0.1和0.5，乙得3分和2分的概率分别为0.2和0.4，甲，乙每次投掷冰壶的结果互不影响．（1）求甲通过测试的概率；（2）设Y 为本次测试中乙的得分，求Y 的分布列； （3）请根据测试结果来分析，甲，乙两人谁的水平较高？ 20．已知函数()()()ln 0f x x a x a =->. (1)当1a =时，判断函数()f x 的单调性；(2)证明函数()f x 存在最小值()g a ，并求出函数()g a 的最大值.21．已知抛物线C ：()220y px p =>，过点()2,0R 作x 轴的垂线交抛物线C 于G ，H两点，且OG OH ⊥（O 为坐标原点）. (1)求p ；(2)过()2,1Q 任意作一条不与x 轴垂直的直线交抛物线C 于A ，B 两点，直线AR 交抛物线C 于不同于点A 的另一点M ，直线BR 交抛物线C 于不同于点B 的另一点N .求证：直线MN 过定点.22．在平面直角坐标系xOy 中，1C 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩（t 为参数，0απ≤<），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，2C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(1)求2C 的直角坐标方程；(2)1C 与2C 相交于不同两点A 、B ，线段AB 中点为M ，点()0,1N -，若2MN =，求1C 参数方程中sin α的值.23．设函数()|||21|f x x a x a =-+++.(1)当0a =时，求不等式()2||1f x x <+的解集；(2)若0a >，且关于x 的不等式()2f x 有解，求实数a 的取值范围.参考答案：1．B 【解析】 【分析】根据集合N 和并集，分别讨论a 的值，再验证即可. 【详解】 因为{}1,2,3MN =，若110a a -=⇒=，经验证不满足题意；若121a a -=⇒=-，经验证满足题意. 所以1a =-. 故选：B. 2．B 【解析】 【分析】根据复数的概念与复数的除法运算解题即可. 【详解】 由题()()()()32i 12i 32i 18i 18i 12i 12i 12i 555z -----====--++-，所以z 的虚部为85- 故选：B 3．D 【解析】 【分析】结合等差数列的通项公式可求得121910-=d d ，进而可求出结果. 【详解】因为数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，设数列{}n a ，{}n b 的公差分别为12,d d ， 又11a =，15b =，且212134a b -=，则()()1112202034+-+=a d b d ， 即121910-=d d ，所以()()()1111121112101041015=+-+=--+-=a d b d d a b d ， 故选：D. 4．B【解析】 【分析】根据题意，直接列举求解即可. 【详解】解：由对称性可知，前两位为20，后两位为02， 因为每年有12个月，所以列举可得，在二十一世纪，有20011002,20100102，20111102,20200202,20211202， 20300302,20400402,20500502，20600602,20700702,20800802，20900902，所以在二十一世纪，我们还能再遇到7次. 故选：B 5．D 【解析】 【分析】写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率 【详解】双曲线的渐近线为by x a =±，易知b y x a=与直线230x y -+=平行，所以=2b e a ⇒==故选：D. 6．A 【解析】 【分析】设天平的左臂长为a ，右臂长b ，则ab ，售货员现将5g 的砝码放在左盘，将黄金g x 放在右盘使之平衡；然后又将5g 的砝码放入右盘，将另一黄金g y 放在左盘使之平衡，则顾客实际所得黄金为()g x y +，利用杠杆原理和基本不等式的性质即可得出结论. 【详解】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为a ，右臂长为b ，则a b ，再设先称得黄金为g x ，后称得黄金为g y ，则5bx a =，5ay b =，5a x b ∴=，5b y a=，555510a b a b x y b a b a ⎛⎫∴+=+=+≥⨯ ⎪⎝⎭， 当且仅当a bb a=，即a b =时等号成立，但a b ，等号不成立，即10x y +>.因此，顾客购得的黄金10m >. 故选：A. 7．B 【解析】 【分析】通过构造面面平行，得到//MN 平面ABD ，再利用三角形相似，求得1NB 的长度. 【详解】如图，取1BB 上一点F ，11B F =，延长1DC 至点E ，使2DE =，连接EF ，使//EF BD ，11EFB C N =，连接ME ，//,BF DE BF DE =，∴四边形FBDE 是平行四边形，//EF BD ∴ EF ⊄平面ABD ，//EF ∴平面ABD ， MF AB //，同理//MF 平面ABD ，且MFEF F =，∴平面//MEF 平面ABD ，MN ⊂平面MEF ，//MN ∴平面ABD ，1112EC DE DC =-=，11B FN ENC ，111121B F B N EC NC ∴== 又113B C =，12NB ∴=故选：B【解析】 【分析】分直线斜率不存在和存在两种情况，当直线AB 的斜率不存在，可求出点,A B 的坐标，从而可得12AF CF AB +=，当直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(1)(0)y k x k =+≠，然后将直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后利用根与系数的关系，表示出12x x +，从而可表示出1AF ，1BF ， 进而可表示12AF CF + 【详解】解：由椭圆的对称性可知AB CD =，12AF DF =，12BF CF =. 设点()11,A x y ，()22,B x y .若直线AB的斜率不存在，则点A ⎛- ⎝⎭，1,B ⎛- ⎝⎭，所以AB =，所以12AF CF AB +==. 若直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(1)(0)y k x k =+≠，联立22(1),1,54y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()222245105200k x k x k +++-=，0∆>，则21221045k x x k +=-+. 又11AF =，同理可得12BF =，所以)1212||AF CF AB x x +==+==⎝，所以12AF CF +∈⎝. 综上，12AFCF +的取值范围为⎣， 故选:C.【解析】 【分析】由偶函数即可判断A 选项，由()f x 的图象关于点()2,0对称可判断B 、D 选项，特值检验即可判断C 选项. 【详解】因为()f x 为偶函数，则()()f x f x =-，故A 正确；因为()f x 的图象关于点()2,0对称，对于()f x 的图象上的点(),x y 关于()2,0的对称点()4,--x y 也在函数图象上，即()()4-=-=-f x y f x ，用2x +替换x 得到，()()422-+=-+⎡⎤⎣⎦f x f x ，即()()220f x f x ++-=，故B 正确；令1x =，则()()31f f =-，令3x =，则()()()511=--=-f f f ，则()()35f f =，故C 正确；由B 知，()()()222f x f x f x +=--=--，故D 错误； 故选：D. 10．A 【解析】 【分析】根据从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，…，得到数列规律为12n n n a a a +++=判断A 选项，再根据杨辉三角得到第n 条斜线上的数为：()012341123451,,,,,,,,k k n n n n n n k n k C C C C C C C --------+，进而判断BCD.【详解】从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，，其规律是12n n n a a a +++=，所以第9条斜线上各数之和为13+21=34，故A 错误； 第1条斜线上的数：00C ， 第2条斜线上的数：11C ；第3条斜线上的数：0121,C C ，第4条斜线上的数：0132,C C ，第5条斜线上的数：012432,,C C C ，第6条斜线的数：012543,,C C C ， ……，依此规律，第n 条斜线上的数为：()012341123451,,,,,,,,k kn n n n n n k n k C C C C C C C --------+，在第11条斜线上的数为0123451098765,,,,,C C C C C C ，最大的数是37C ， 由上面的规律可知：n 为奇数时，第n 条斜线上共有12224n n ++=个数； n 为偶数时，第n 条斜线上共有共有224nn=个数， 所以第n 条斜线上共()2114nn +--，故C 正确；由上述每条斜线的变化规律可知：在第(5)n n 条斜线上，各数自左往右先增大后减小，故B 正确. 故选：A. 11．B 【解析】 【分析】利用对数的单调性进行判断即可. 【详解】因为235125,11==112311log 5lo 2113g b =>=，因为2233=23332log 2log 33<=，即23<a ，因为4=2310232lg 4lg103<=，即23c <，，因为3lg 2lg 2lg3lg 4lg 2(12lg3)lg 2(1lg9)log 2lg 4lg 40lg3lg3lg3lg3a c ----=-=-===>， 所以a c >，即c ab <<， 故选：B 【点睛】关键点睛：根据对数函数的单调性，结合特殊值法进行比较是解题的关键.12．C 【解析】 【分析】化简函数解析式，判断函数值域，进而得解. 【详解】由()[][][]2sin cos sin cos sin 24f x x x x x x x π⎤⎛⎫=⋅++=++ ⎪⎥⎝⎭⎦，所以函数()f x 的周期2T π=， 故只需求[)0,2x π∈的值域. 当0x =时，函数()011f x =+=，当0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，函数sin 2y x =与函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭均单调递增，所以(){}1,2f x ∈，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数sin 2y x =与函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减，所以(){}1,2f x ∈，当324x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，时，函数sin 2y x =与函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减，所以(){}0,1f x ∈，当34x π=时，函数()101f x =-+=-，当3,4x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数sin 2y x =单调递增，函数4y x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递减，所以(){}1,0f x ∈-，当x π=时， ()()011f x =+-=-，当5,4x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数sin 2y x =单调递增，函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减，所以(){}1,0f x ∈-，当54=x π时，()()110f x =+-=，当53,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数sin 2y x =单调递减，函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增，所以(){}1,0f x ∈-，当32x π=时，()()011f x =+-=-，当37,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数sin 2y x =单调递减，函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增，所以(){}1,0f x =-，当74x π=时，()()101f x =-+=-，当7,24x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，函数sin 2y x =单调递增，函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增，所以(){}1,0,1f x ∈-，综上所述(){}1,0,1,2f x ∈-， 故选：C. 13．1 【解析】 【分析】求导，由(1)0f '-=解出a ，检验1-是极大值点. 【详解】()232f x x ax a '=+-，由极大值点是1-，得(1)0f '-=，320a a --=，1a =.此时，()()232131(1)f x x x x x '=+-=-+ ，()f x 在()1,1,,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，极大值点是1-，满足题意.故答案为：1. 14．512【解析】 【分析】根据题意，列举基本事件总数，和满足条件的基本事件数，进而根据古典概型求解即可. 【详解】解：两枚相同的正方体骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6， 同时掷两枚骰子，基本事件有：()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6，()()()()()()2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6，()()()()()()3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6，()()()()()()4,1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6，()()()()()()5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6，()()()()()()6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6，共有6636⨯=种，两枚骰子朝上面的数字之积能被6整除包含的基本事件有：(1,6),(2,3),(2,6),(3,2),(3,4),(3,6),(4,3),(4,6)，(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)，共15种，所以两枚骰子朝上面的数字之积能被6整除的概率为1553612P ==. 故答案为：51215【解析】 【分析】首先根据数量积公式展开，再化简25cos c α=，利用三角函数的有界性求最值. 【详解】()()()220220a c b c a b a b c c-⋅-=⇔⋅-+⋅+=，则()222c a b c =+⋅，设()2a b +与c 的夹角为α， 而222445a b a a b c +=+⋅+=，∴()2222cos 5cos c a b c a b c c αα=+⋅=+=，即25cos c α=，所以max52c=.16 【解析】 【分析】取AB 的中点E ，连接,PE CE ，证得PE ⊥平面ABC ，CE ⊥平面PAB ，取ABC 的外心F ，作//FM PE ，取PAB △的外心H ，过点H 作EF 的平行线交FM 于点O ，得到点O 为三棱锥P ABC -外接球的球心，结合球的性质及勾股定理建立方程后可求得答案. 【详解】取AB 的中点E ，连接,PE CE ，则,PE AB CE AB ⊥⊥，因为平面PAB ⊥平面ABC ，所以可得PE ⊥平面ABC ，CE ⊥平面PAB ， 取ABC 的外心F ，作//FM PE ，则,,,F M E P 四点共面， 取PAB △的外心H ，过点H 作EF 的平行线交FM 于点O ， 因为EF 垂直平面PAB ，则HO ⊥平面PAB ，所以点O 到,,,A B C P 四点的距离相等，所以点O 为三棱锥P ABC -外接球的球心，在PAB △中，22212cos 2a a APB a +-∠=，根据三角函数同角的平方关系可得sin APB ∠ 所以PAB △外接圆的半径PH =，连接OP ，可求得1OH EF ==， 由三棱锥P ABC -外接球的表面积为654π，则有2265654416R R ππ=⇒=，所以2222216516R OP H O PH ==+=+=，解得a =17．(1)23π (2)1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角互化，结合余弦定理可求得角A ；（2）利用正弦定理边角互化，将b c λ+的最大值转化为三角函数的最大值求解，从而列关于λ的不等式求解.(1)由正弦定理，222sin sin sin sin sin A B C B C =++可化为222a b c bc =++，所以222b c a bc +-=-.由余弦定理，得2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-. 又()0,A π∈，所以23A π=. (2)由正弦定理sin sin sin b c a B C A ===，得)()sin sin sin sin b c B C A C C λλλ+=+=++⎤⎦()1sin 2C C C λϕ⎤⎛⎫+-=+⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，其中2tan 12ϕλ=-因为0,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，要使b c λ+存在最大值，即2C πϕ+=有解，所以,62ππϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭>，即0213λ<-<，所以正数λ的取值范围为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.18．（1）证明过程见解析 （2）cosθ=【解析】 【分析】（I ）在△P AC 中根据PC ＝AC ＝a，PA =，三边满足勾股定理则PC ⊥AC ，根据题意可知PC ⊥AB ，又AC ∩AB ＝A ，满足线面垂直的判定定理，从而得证；（II ）本小问具有开放性，由选择确定cos θ的大小，根据AC ⊥BC ，且AB ，AC ＝a则BC ＝a ，以C 为坐标原点，CB 、CA 、CP 的方向为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系，CA =（0，a ，0）是平面PBC 的一个法向量，然后求出平面MNC 的法向量n ，然后根据cos n ＜，n CA CA n CA⋅=⋅＞，从而求出cos θ的值．【详解】证明：(1) 在△P AC 中∵PC ＝AC ＝a ，PA =． ∴PC 2+AC 2＝P A 2，∴PC ⊥AC∵l 1、l 2是两条互相垂直的异面直线，点P 、C 在直线l 1上，点A 、B 在直线l 2上， ∴PC ⊥AB ，又AC ∩AB ＝A ∴PC ⊥平面ABC（2）方案一：选择②④可确定cos θ的大小 ∵AC ⊥BC ，且AB =，AC ＝a ∴BC ＝a以C 为坐标原点，CB 、CA 、CP 的方向为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系 则C （0，0，0），B （a ，0，0），A （0，a ，0），P （0，0，a ） 又M 、N 分别是线段AB 、AP 的中点， ∴M （2a ，2a ，0），N （0，2a ，2a ）∵CA ⊥平面PBC∴CA =（0，a ，0）是平面PBC 的一个法向量 设平面MNC 的法向量n =（x ，y ，z ） 由n CN n CM ⎧⊥⎨⊥⎩得022022aa y z a a x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩取x ＝1，得n =（1，﹣1，1）为平面MNC 的一个法向量 ∴cos n ＜，3n CA a CA an CA⋅-===⋅＞∴cos θ方案二：选择①④可确定cos θ的大小,,CM AB BC AC a ⊥∴==又BC AC ⊥，下同方案一方案三：选择②①可确定cos θ的大小,,CM AB BC AC a ⊥∴==又2AB a =，BC AC ∴⊥，下同方案一.（注：①①等价，不能确定，①①可转化为①①，①①可转化为①①）【点睛】本题要求空间中二面角的余弦值，可以利用平面的法向量的夹角，从而求出二面角的余弦值，注意要建立适当的直角坐标系，属于中档题． 19．（1）0.3；（2）答案见解析；（3）甲. 【解析】 【分析】（1）根据题意甲通过测试包括第一次没通过第二次和第三次通过，或者第一次通过，第二次或第三次有一次通过，故得分分别为4分或者5分，然后求出概率即可；（2）根据题意可求出乙的可能得分为0，2，3，4，5，然后依次求出概率即可得到分布列；（3）比较甲乙通过测试的概率即可得出结论. 【详解】解：（1）若甲通过测试，则甲的得分X 为4或5，()0.90.50.540.225P X =⨯==⨯，()50.10.50.50.10.50.0250.050.075P X ==⨯⨯+⨯=+=，所以()()0.2250.0750.345P P X X ===+=+=． （2）Y 的可能取值为0，2，3，4，5．()0.80.60.600.288P Y =⨯==⨯，()0.80.40.60.80.60.40.3842P Y =⨯⨯+⨯⨯==，()0.20.60.630.072P Y =⨯==⨯， ()40.80.40.40.128P Y ==⨯⨯=，()0.20.60.40.20.40.5128P Y =⨯⨯==+⨯．（3）甲水平高 理由如下：乙通过测试的概率()()450.1280.1280.256P P Y P Y ==+==+= 甲通过测试的概率0.3大于乙通过测试的概率0.256． 【点睛】求相互独立事件同时发生的概率的步骤： （1）首先确定各事件是相互独立的； （2）再确定格式件会同时发生； （3）求出每个事件发生的概率，再求积. 20．(1)在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增 (2)证明见解析，()max 0g a = 【解析】 【分析】（1）将1a =代入后求导，利用导数判断原函数单调性即可.（2）通过二次求导证明()f x '单调递增，然后利用零点存在定理判断()f x '在区间)a 上存在唯一零点，然后利用隐零点思想得到最小值()g a ，最后再构造新函数()g a 求出其最大值，注意在判断零点所在区间时要合理利用放缩思想，这一步为此题难点. (1) 由题意知，()()1ln f x x x =-，()()1ln 10f x x x x '=+->，()210x f x x+''=>.所以函数()f x '单调递增.又()10f '=，所以当01x <<时()0f x '<，函数()f x 单调递减；当1x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增.所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增. (2)由题意知，()()ln 10a f x x x x '=+->，()20x af x x+''=>. 所以函数()f x '单调递增. 令()ln 1h x x x =-+，则()1xh x x-'=. 当01x <<时，()0h x '>，函数()h x 单调递增；当1x >时，()0h x '<，函数()h x 单调递减. 所以()()max 10h x h ==，即ln 1≤-x x .所以()ln 1a af x x xx x'=+-≤-，即0f '≤=. 另一方面，()0e ln e 1110e e a aa a a f a '=+->+-=>，所以存在)at ∈，使得()ln 10a f t t t'=+-=，① 即当0x t <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，当x t >时，()0f x '>，()f x 单调递增. 所以函数()f x 存在最小值()()()ln f t g a t a t ==-.由①式，得ln a t t t -=.所以()()20t a g a t-=-≤（当且仅当a t =，即ln 0a =，1a =时，等号成立）.所以()()max 10g a g ==，即为所求. 【点睛】导数问题中，求导后发现导数无法因式分解，或者无法直接求出零点时的一个常用方法就是隐零点，利用设而不求思想得到最值，然后利用该隐零点所满足的等式关系进代换，从而能够方便的解题，例如本题中：ln a tt t-=即为可代换的式子. 21．(1)1p =(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由题意知2RG OR ==，不妨设()2,2G ，代入抛物线方程中可求出p 的值，（2）设211,2y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，233,2y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,2y N y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则可表示出直线AB ，AM ，BN 的方程，再由直线AB 过()2,1Q 及直线AM ，BN 过()2,0R 可得()121240y y y y -++=，13244y y y y ==-，再表示出直线MN 的方程，结合前面的式子化简可得结论(1)由题意知，2RG OR ==.不妨设()2,2G ，代入抛物线C 的方程，得44p =解得1p =.(2)由（1）知，抛物线C 的方程为22y x =. 设211,2y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，233,2y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,2y N y ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则直线AB 的斜率为12221212222AB y y k y y y y -==+-. 所以直线AB 的方程为2111222y y x y y y ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭，即()121220x y y y y y -++=. 同理直线AM ，BN ，MN 的方程分别为()131320x y y y y y -++=，()242420x y y y y y -++=，()343420x y y y y y -++=， 由直线AB 过()2,1Q 及直线AM ，BN 过()2,0R 可得()121240y y y y -++=，13244y y y y ==-.又直线MN 的方程为()343420x y y y y y -++=，即1212441620x y y y y y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭.所以直线MN 的方程为()1212280y y x y y y +++=.把()121240y y y y -++=代入()1212280y y x y y y +++=，得()12122480y y x y y y +++=， ()122)880(y y x y y +++=，所以由20x y +=，880y +=可得2x =，1y =-.所以直线MN 过定点()2,1-.22．(1)()()22112x y -+-= (2)35或1 【解析】【分析】（1）将曲线2C 的极坐标方程化为22cos 2sin =+ρρθρθ，再利用极坐标方程与普通方程之间的转换关系可得出曲线2C 的直角坐标方程；（2）设A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，将直线的方程代入曲线2C 的普通方程，根据已知条件结合韦达定理可得出关于sin α的二次等式，即可解得sin α的值.(1)解：由4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭得2cos 2sin =+，所以22cos 2sin =+ρρθρθ， 将cos sin x yρθρθ=⎧⎨=⎩代入得2222x y x y +=+，即()()22112x y -+-=， 所以2C 的直角坐标方程为()()22112x y -+-=；(2) 解：将cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩代入()()22112x y -+-=整理得()22cos 4sin 30t t αα-++= 设A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，则1t 、2t 是方程()22cos 4sin 30t t αα-++=的两根，所以122cos 4sin t t αα+=+，因为2MN =，所以1222t t +=，所以cos 2sin 2αα+=，此时()222cos 4sin 1242120αα∆=+-=⨯->，所以()221sin 41sin αα-=-，所以()()5sin 3sin 10αα--=，所以3sin 5α=或sin 1α=. 23．(1)(2,0)-(2)01a <<【解析】【分析】（1）分类讨论方式求绝对值不等式的解集.（2）分类讨论求绝对值不等式的含参解集，再根据不等式()2f x 有解，结合解集和对应x 的范围求参数范围，然后取并即可.(1)由题设，()|||21|2||1f x x x x =++<+，即|21|||1x x +-<， 当12x <-时，211x x --+<，可得122x -<<-； 当102x -≤<时，211x x ++<，可得102x -≤<； 当0x ≥时，211x x +-<，无解；综上，20x -<<，即不等式解集为(2,0)-.(2)由题设，0a >，()|||21|2f x x a x a =-+++<有解， 当12a x +<-时，312x --<，则1x >-，此时有解112a +->-，得：1a <； 当12a x a +-≤<时，212x a ++<，则12x a <-，此时有解1122a a +-<-，得：1a <； 当x a ≥时，312x +<，则13x <，此时有解13a <； 综上，要使0a >，()2f x 有解，则01a <<.。
湖北省高三下学期模拟考试(理科)数学试卷-附答案解析
湖北省高三下学期模拟考试(理科)数学试卷-附答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{0},ln 1A x x B x y x =>==-，则A B =（ ） A ．{01}x x << B ．{0}x x > C ．{01x x <<或1}x >D ．{1}x x >2．欧拉公式i e cos isin θθθ=+把自然对数的底数e 、虚数单位i 和三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.若复数i 20221ie 1iz π⋅-=-+，则z =（ ）A ．BC ．12D ．13．设抛物线2:8C x y =的焦点为F ，点P 在C 上，()0,6Q ，若PF QF =，则PQ =（ ）A ．B ．4C ．D ．64．从2020年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为A 、B 、C 、D 、E ，各等级人数所占比例依次为：A 等级15%，B 等级40%，C 等级30%，D 等级14%，E 等级1%．现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取200人作为样本，则该样本中获得A 或B 等级的学生人数为（ ） A ．55B ．80C ．90D ．1105．若函数()()sin 0,3f x x ax a πωω⎛⎫=++>∈ ⎪⎝⎭R 是周期函数，最小正周期为π．则下列直线中，()y f x =图象的对称轴是（ ） A ．6x π=-B ．12x π=C ．3x π=D ．512x π=6．如图,O 是坐标原点,M ,N 是单位圆上的两点,且分别在第一和第三象限,则|OM ON +|的范围为( )A ．B ．[0,2)C ．D ．[1,2)7．设,,a b c ∈R ，且a b <，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．ln ln a b < B ．e e a b --> C ．22ac bc <D ．3355a b >8．从1，2，3，4，5中先后选两个不同的数，第一个数记为a ，第二个数记为b ，记事件A 为“a 是奇数”，事件B 为“5a b +≤”，则()P B A =（ ）． A ．13B ．512C ．12D ．49二、多选题9．已知函数e,e (),1e x x f x a b x x x -≥⎧⎪=⎨⎛⎫-+<< ⎪⎪⎝⎭⎩的最小值为0，（e 为自然常数，e 2.71818=⋅⋅⋅），则下列结论正确的是（ ）A ．若()1,0a ∈-，则e eab ≥+B ．若()0,1a ∈，则1b a ≤+C ．若()2,e a ∈-∞-，则22e e a b <--D ．若()2e ,a ∞∈+，则1b a ≥+10．已知正实数x ，y ，z 满足425100==x y z ，则下列正确的选项有（ ） A ．xy z =B ．111x y z+=C ．x y z +=D ．xz yz xy +=11．椭圆C ：2211612x y +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上且异于长轴端点，点M ，N 在△PF 1F 2所围区域之外，若1=0MP MF ⋅，2=0NP NF ⋅则|MN |的可能取值为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．712．已知两个等差数列{}n a 和{}n b ，其公差分别为1d 和2d ，其前n 项和分别为n S 和n T ，则下列说法正确的是（ ）A．若为等差数列，则112d a = B ．若{}n n S T +为等差数列，则120d d +=C ．若{}n n a b 为等差数列，则120d d ==D ．若*n b N ∈，则{}n b a 也为等差数列，且公差为12d d三、填空题13．若tan 2α=，则3cos 4sin 4παπα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭______. 14．已知双曲线()221112211:10,0x y C a b a b -=>>与()222222222:10,0y x C a b a b -=>>有相同的渐近线，若1C 的离心率为2，则2C 的离心率为__________. 15．已知函数()21x m f x x +=+在区间[]0,1上的最大值为52，则实数m 的值为______．四、双空题16．设函数11,0()2(2),0xx f x f x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩与()log (1)a g x x =-(1)a .①(2019)f 的值为_______；②若函数()()()h x f x g x =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是___________.五、解答题17．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，{}n a 的前n 项和为n S ，且2329,43n na S a a +=-=. (1)求{}n a 的通项公式；(2)设311232log 1,3n n n n n n n b b S c a b b +++⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，记{}n c 的前n 项和为n T ，证明：13n T <18．现有下列三个条件： ①函数()f x 的最小正周期为π；②函数()f x 的图象可以由sin cos y x x =-的图象平移得到； ③函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离2π. 从中任选一个条件补充在下面的问题中，并作出正确解答.已知向量()3sin ,cos 2x x m ωω=，()2cos ,1n x ω=与0ω>，函数()f x m n =⋅.且满足_________.（1）求()f x 的表达式，并求方程1f x 在闭区间[]0,π上的解；（2）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知()3cos cos a c B b C -=，22C f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求cos A 的值.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是边长为2的菱形，且E ，F分别是,BC PC 的中点．(1)证明：平面PAD ⊥平面DEF ． (2)求二面角A PB C --的大小．20．在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从河上游漂流而下的一巨大汽油罐.已知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功.每次射击命中率都是23，每次命中与否互相独立.求： (1)直到第3次射击汽油才流出的概率； (2)直到第3次射击汽油罐才被引爆的概率； (3)汽油罐被引爆的概率.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A 和2A ，且124A A =，椭圆C 的一条以11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为中点的弦所在直线的方程为3240x y +-=. (1)求椭圆C 的方程；(2)点P 为直线4x =上一点，且P 不在x 轴上，直线1PA ，2PA 与椭圆C 的另外一个交点分别为M ，N ，设12PA A △，PMN 的面积分别为1S 和2S ，求12S S 的最大值，并求出此时点P 的坐标. 22．已知()3sin f x x ax x =+-.(1)当16a =时，则求证：函数()f x 在R 上单调递增； (2)若()f x 只有一个零点，求a 的取值范围.参考答案与解析1．C【分析】先化简集合B ，再根据集合交集定义即可求出答案．【详解】由题意，{1B x x =<或1}x >，{01A B x x ∴⋂=<<或1}x >． 故选：C ． 2．B【分析】利用复数的三角形式以及复数的四则运算化简复数z ，利用复数的模长公式可求得z 的值. 【详解】解：由i e cos isin θθθ=+，得i 2022e cos2022isin2022cos0isin01πππ⋅=+=+=()()()()221i 1i 1i i 1i 1i 1i 2---===-+-+，所以，i?20221i e1i 1i z π-=-=++所以z 故选：B. 3．A【分析】根据题意，结合焦半径公式得()4,2P ±，再计算PQ 即可. 【详解】解：由题知抛物线2:8C x y =的焦点为()0,2F 因为()0,6Q ，所以4PF QF == 因为点P 在C 上所以，由焦半径公式得42P PF QF y ===+，解得2P y =所以()4,2P ± PQ =. 故选：A 4．D【解析】利用抽样比求解【详解】设该样本中获得A 或B 等级的学生人数为x ，则1540110200100x x +=∴= 故选：D【点睛】本题考查分层抽样的定义与应用，考查计算能力，是基础题 5．B12x π=，其它直线均不是函数图象的对称轴.故选：B6．A【分析】设OM ON 和的夹角为θ，θ∈π,π2⎛⎤⎥⎝⎦，则cos θ∈[﹣1，0），|OM ON +|2=22OM ON ++2·OM ON=2+2cos θ即可．【详解】设,OM ON 的夹角为θ,θ∈π,π2⎛⎤⎥⎝⎦,则cos θ∈[-1,0),|OM ON +|2=22OM ON ++2·OM ON=2+2cos θ∈[0,2),故|OM ON +|的范围为.答案A【点睛】本题考查了向量模的取值范围的求解，转化为三角函数求最值，属于基础题．解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底． 7．B【分析】根据不等式的性质和对数函数，指数函数，幂函数的单调性即可求解. 【详解】对于A ，当0a b <<，对数ln ,ln a b 没有意义，故选项A 错误； 对于B ，因为a b <，则a b ->-，所以e e a b -->，故选项B 正确； 对于C ，当0c 时，则22ac bc =，故选项C 错误；对于D ，因为幂函数35y x =在(0,)+∞上单调递增，只有当0a b >>时，则才有3355a b >，故选项D 错误 故选：B . 8．B【分析】由列举法可得答案．【详解】由题知，AB 表示“第一个数字是奇数且取到的两数之和不大于5” 分别有共5种情况 即()5AB Ω=，又()12A Ω=，所以()()()512AB P B A A Ω==Ω．故选：B. 9．AD【分析】由已知得当1e x <<时，则()min 0f x ≥，对于AC ，当a<0时，则()a f x b x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为()1,e 上的减函数，则()0e f ≥，代入解不等式得解；对于BD ，当0a >时，则由对勾函数ay x x =+在(x ∈上单调递减，在)x ∈+∞上单调递增，判断()a f x b x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调性，求出最小值即可判断. 【详解】由函数e,e(),1e x x f x a b x x x -≥⎧⎪=⎨⎛⎫-+<< ⎪⎪⎝⎭⎩的最小值为0 当e x ≥时，则()e 0f x x =-≥，即[)()0,f x ∈+∞故当1e x <<时，则()a f x b x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的值域为[)0,∞+的子集，即()min 0f x ≥对于AC ，当a<0时，则()a f x b x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为()1,e 上的减函数又()()min e e e a f b f x ⎛⎫=-+ ⎝=⎪⎭，则e 0e a b ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，即e e a b ≥+，故A 正确，C 错误；当0a >时，则对勾函数ay x x=+在(x ∈上单调递减，在)x ∈+∞上单调递增 对于B ，当()0,1a ∈时，则对勾函数ay x x=+在()1,e 上单调递增 则函数()a f x b x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在()1,e 上单调递减，由A 知e e a b ≥+，故B 错误；对于D ，当()2e ,a ∞∈+时，则对勾函数a y x x=+在()1,e 上单调递减则函数()a f x b x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在()1,e 上单调递增，又()()11f b a =-+则()10b a -+≥，即1b a ≥+，故D 正确； 故选：AD 10．BD【分析】设4251001x y z m ==>=，把指数式改写为对数式，利用对数的运算法则判断． 【详解】设4251001x y z m ==>=，则4log x m =，25log y m =和100log z m = 所以111log 4log 25log 100m m m x y z+=+==．所以xy xz yz =+．故选：BD ． 11．ABC【分析】先由1=0MP MF ⋅，2=0NP NF ⋅判断出M 、N 分别落在以A 、B 为圆心的圆上，借助于几何关系分析得到，当直线AB 与两圆的交点（△PF 1F 2所围区域之外）分别为M 、N 时，则|MN|最大，利用几何关系可求|MN|范围，即得.【详解】设PF 1、PF 2的中点分别为A 、B ，则AB ∥F 1F 2 ∵1=0MP MF ⋅ 2=0NP NF ⋅ ∴1MP MF ⊥ 2NP NF ⊥∴M 、N 分别落在以A 、B 为圆心的圆上，如图：则直线AB 与两圆的交点（△PF 1F 2所围区域之外）分别为M 、N 时，则|MN|最大 此时：||=||||||MN MA AB BN ++=||||||A AB N P P ++12||||=||2F PF B P A ++a c =+42=+= 6∴||(0,6]MN ∈. 故选：ABC. 12．ABD【分析】对于A ，利用= 对于B ，利用()2211332S T S T S T +=+++化简可得答案； 对于C ，利用2211332a b a b a b =+化简可得答案； 对于D ，根据112n n b b a a d d +-=可得答案.【详解】对于A ，因为为等差数列，所以即化简得()21120d a -=，所以112d a =，故A 正确；对于B ，因为{}n n S T +为等差数列，所以()2211332S T S T S T +=+++ 所以()11121111122223333a d b d a b a d b d +++=+++++ 所以120d d +=，故B 正确；对于C ，因为{}n n a b 为等差数列，所以2211332a b a b a b =+ 所以11121111122()()(2)(2)a d b d a b a d b d ++=+++ 化简得120d d =，所以10d =或20d =，故C 不正确；对于D ，因为11(1)n a a n d =+-，且*n b N ∈，所以11(1)n b n a a b d =+-()112111a b n d d =++--⎡⎤⎣⎦所以()()1111211n b a a b d n d d =+-+-所以()()()11111211112111n n b b a a a b d nd d a b d n d d +-=+-+-----12d d = 所以{}n b a 也为等差数列，且公差为12d d ，故D 正确. 故选：ABD【点睛】关键点点睛：利用等差数列的定义以及等差中项求解是解题关键. 13．3-【分析】首先根据两角和，差公式化简，再根据sin ,cos αα的齐次分式化简求值.【详解】)3cos cos sin cos sin 4sin cos sin 4παααααπααα⎛⎫++ ⎪+⎝⎭==--⎛⎫- ⎪⎝⎭上下除以cos α得1tan 123tan 121αα++-=-=---.故答案为：-3【点睛】本题考查三角恒等变换，sin ,cos αα的齐次分式，属于基础题型，本题的关键是熟练掌握公式，并能灵活应用. 14【分析】根据两双曲线有相同的渐近线，可得到1212b a a b =，再利用1C 的离心率为2，可推得222()3a b =，从而利用双曲线的离心率的平方可求得答案.【详解】双曲线()221112211:10,0x y C a b a b -=>>的渐近线方程为11b y x a =± ()222222222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线方程为22a y x b =±由题意可得1212b a a b = 由1C 的离心率为2得：22211121()b e a ==+ ，则222()3a b = 所以设2C 的离心率为2e ，则22222141()133b e a =+=+=故2=e15．52当2m =时，则()2f x =不成立；当20m ->，即m>2时，则()f x 在[0,1]递减，可得(0)f 为最大值 即05(0)12m f +==，解得52m =，成立； 当20m -<，即2m <时，则()f x 在[0,1]递增，可得()1f 为最大值 即()1f 2522m +==，解得3m =，不成立； 综上可得52m =． 故答案为：52.16． 1【解析】①根据分段函数()f x 的解析式，求得()2019f 的值. ②求得()f x 的部分解析式，由此画出()f x 和()g x 两个函数图象，根据两个函数图象有3个交点，确定a 的取值范围.【详解】①()()()11201920171112f f f -⎛⎫===-=-= ⎪⎝⎭.②当02x <≤时，则220x -<-≤，所以()()21212x f x f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.当24x <≤时，则022x <-≤，所以()()41212x f x f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.当46x <≤时，则224x <-≤，所以()()61212x f x f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.当68x <≤时，则426x <-≤，所以()()81212x f x f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.画出()f x 和()g x 两个函数图象如下图所示，由()log 413,a a -=()log 613,a a -==.由图可知，当两个函数图象有3个交点，也即函数()()()h x f x g x =-恰有3个零点时，则a 的取值范围是故答案为：（1）1；（2）【点睛】本小题主要考查分段函数求函数值，考查分段函数解析式的求法，考查分段函数的图象与性质，考查函数零点问题的求解策略，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.17．(1)3nn a =；(2)证明见解析.【分析】(1) 设数列{}n a 的公比为q ，由29n na a +=，可得3q =，再由3243S a -=，可得29a =，即可得数列{}n a 的通项公式；(2)由题意可得()331,2nn n S b n =-=，()111313n n n c n n +=-⋅+⋅从而可得()111313n n T n +==-+⋅，又由()11013n n +>+⋅，即可得13n T <. 【详解】（1）解：设数列{}n a 的公比为q 则229n na q a +== 因为{}n a 是各项均为正数的等比数列 所以3q = 由3243S a -= 得222243a a qa a q++-= 解得29a =所以223n nn a a q -=⋅=.（2）证明：由（1）知()()11331323,31,log 1log 3123nnn n n n a q a S b S n q-⎛⎫===-=+== ⎪-⎝⎭.()()111123231113313n n n n n n n n b n c a b b n n n n ++++++===-+⋅+⋅.()()1222311111111113232333313313n n n n n T c c c n n n ++=+++=-+-++-=-⨯⨯⨯⋅+⋅+⋅ 因为()11013n n +>+⋅所以()11113133n n +-<+⋅ 即13n T <.18．（1）不能选② ()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0x =或3x π=或x π=；（2【分析】（1）根据向量数量积坐标运算公式求得()f x m n =⋅2sin 26x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据其性质，可以判断不可能选②，结合①③的条件，可以求得1ω=，得到函数解析式，根据三角函数值以及角的范围，确定出方程的解；（2）结合（1），求得3C π=，根据正弦定理以及题中条件，求得1cos 3B =，根据平方关系求得sin B = 结合诱导公式以及三角形内角和，求得cos A 的值. 【详解】（1）因为()3sin ,cos 2x x m ωω=和()2cos ,1n x ω=所以()3sin 2cos cos2f x m n x x x ωωω=⋅=⋅+2cos 22sin 26x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.若满足条件①：22T ππω==，所以1ω=，故()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为sin cos 4y x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭无法由sin cos y x x =-的图象经过平移得到()2sin 26f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，因此不能选②.若满足条件③：因为22T π=，所以22T ππω==，故1ω=，即()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.综上，无论选条件①或③，所求()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.又()3cos cos a c B b C -=，由正弦定理sin sin sin a b cA B C== 得()sin sin cos sin 3cos A C B B C -=整理得()3sin cos sin cos cos sin sin sin A B B C B C B C A =+=+=. 因为()0,A π∈，所以sin 0A ≠，所以1cos 3B =.又()0,B π∈，得sin 3B ===所以()()cos cos cos si co n s s s in co B C B A B C B C C π=-+=-+=-+⎡⎤⎣⎦1132=-⨯=19．(1)证明见解析 (2)3π4【分析】（1）取AD 的中点G ，连接PG 、BG 、BD ，由线线垂直证AD ⊥平面PGB ，即可依次证AD PB ⊥与AD EF ⊥和AD ⊥平面DEF ，平面PAD ⊥平面DEF（2）HG GB ⊥于G ，建立空间直角坐标系G xyz -如图所示，由向量法求二面角即可. 【详解】（1）证明：取AD 的中点G ，连接PG 、BG 、BD 由E ，F 分别是,BC PC 的中点得EF PB ∥由ABCD 是边长为2的菱形，且60DAB ∠=︒得ABD △、CBD △为正三角形由PA PD ==PG AD ⊥，又,PGBG G PG BG 、平面PGB ，∴AD ⊥平面PGB∵PB ⊂平面PGB ，∴AD PB ⊥，∴AD EF ⊥ ∵,EFDE E EF DE 、平面DEF ，∴AD ⊥平面DEF∵AD ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面DEF .（2）作HG GB ⊥于G ，交PB 于H ，∵AD ⊥平面PGB ，则可建立空间直角坐标系G xyz -如图所示. 在PBG △中21013,213,32PGGB PB ，由余弦定理得31896cos 32332PBG∴263sin 133PBG 23tan 26PBG ∴26322HG . 故()()()()661,0,0,,,,1,0,,0,3,,2,0,022A B C H AH BH BC ⎛⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设平面PAB 、平面PCB 的法向量分别为()(),,,,,n x y z m a b c ==，则有 200,3030m BC a n AH x z m BH n BH z ⎧⎧⋅=-=⋅=-=⎪⎪⎪⎨⎨⋅=-=⎪⎪⋅=-=⎩⎪⎩，令2,2z b，则有()()3,1,2,0,2,2n m ==故二面角A PB C --的余弦值322cos ,266m n m nm n由图可知，二面角A PB C --所成平面角为钝角，∴二面角A PB C --的大小为3π4.20．(1)227； (2)827； (3)232243.【分析】（1）每次命中与否互相独立，由题意知本题符合独立重复试验的条件，根据独立重复试验的公式求解概率；（2）每次命中与否互相独立，由题意知本题符合独立重复试验的条件，根据独立重复试验的公式求解概率； （3）油罐被引爆的对立事件是油罐不被引爆，油罐不被引爆包括五发子弹都没有击中，五发子弹中只有一发击中，两种情况，这两种情况是互斥的，根据对立事件和互斥事件的概率公式得到结果. 【详解】（1）由已知，每次射击命中率都是23，且每次命中与否互相独立 设直到第3次射击汽油才流出的事件为A所以，直到第3次射击汽油才流出的概率()112233327P A =⨯⨯=；（2）由已知，每次射击命中率都是23，且每次命中与否互相独立 设直到第3次射击汽油罐才被引爆的事件为B所以，直到第3次射击汽油罐才被引爆的概率()2128233327P B =⨯⨯⨯=；（3）记“油罐被引爆”的事件为事件C ，其对立事件为C ，油罐不被引爆包括五发子弹都没有击中，五发子弹中只有一发击中这两种情况则()451521111C 333243P C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭根据对立事件的概率得到()()1123211243243P P C C =-=-= 即油罐被引爆的概率为232243. 21．(1)22143x y += (2)43()4,3P ±【分析】（1）由点差法得出2234b a =，进而由1224A A a ==得出椭圆C 的方程； （2）设()()4,0P t t ≠，()11,M x y 和()22,N x y ，联立直线1PA （2PA ）与椭圆方程，求出1y 和2y ，再由面积公式结合相似三角形的性质得出()()()2212222739t t S S t ++=+，令29m t =+，由二次函数的性质得出12S S 的最大值以及点P 的坐标.【详解】（1）设()11,A x y ，()22,B x y 则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得，()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+--=所以2121221212y y y y b x x x x a -+⋅=--+ 即2222AB y b k x a ⋅=-中中 即223122b a-⋅=- ∴2234b a =又1224A A a ==，所以2a =和b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）设()()4,0P t t ≠，()11,M x y 和()22,N x y 则1PA ：()26ty x =+和2PA ：()22t y x =- 联立22623412x y t x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，消去x 得()2212182718027t t y ty y t +-=⇒=+同理，联立22223412x y t x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，消去x 得()222263603t t y ty y t -++=⇒=+所以121212121sin 0021sin 2PA PA P PA PA S t t S PM PN t y t y PM PN P ∠--==⋅=⋅--∠ ()()()22222222731869273t t t t t t t t t t ++==-⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭. 令299m t =+>，则()()2212221861210811110812109m m S m m S m m m m m +-+-⎛⎫⎛⎫===-++<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当()112110,2108189m ⎛⎫=-=∈ ⎪⨯-⎝⎭，即18m =，即3t =±时，则12S S 取得最大值43.综上所述，当()4,3P ±时，则12S S 取得最大值43. 22．(1)证明见解析 (2)(]1,0,6⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）当16a =时，则()31sin 6f x x x x =+-分别求()f x '、()f x ''与()f x '''，结合()00f ''= ()00f '=可判断()()00f x f ''≥=恒成立，即可求证；（2）先证明()f x 为奇函数，()00f =，只需证明()f x 在()0,∞+上无零点，由（1）知31sin 6x x x ->-，若()3016f x a x ⎛⎫>- ⎪⎝≥⎭可知16a ≥符合题意，再讨论0a ≤，106a <<利用单调性以及零点存在性定理即可求解. 【详解】（1）当16a =时，则()31sin 6f x x x x =+- ()21cos 12f x x x '=+- ()sin f x x x ''=- ()1cos 0f x x '''=-≥所以()sin f x x x ''=-在R 上单调递增，且()00f ''= 所以当0x <时，则()0f x ''<；当0x >时，则()0f x ''> 所以()21cos 12f x x x '=+-在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，且()00f '= 所以()()00f x f ''≥=，所以()31sin 6f x x x x =+-在R 上单调递增；（2）因为()()()33sin sin f x x ax x x ax x f x -=--+=-+-=-所以()f x 为奇函数，()00f =要证明()f x 只有一个零点，只需证明()f x 在()0,∞+上无零点 由（1）知：当0x >时，则()()00f x f >=，故31sin 6x x x ->-令()3016f x a x ⎛⎫>- ⎪⎝≥⎭，则16a ≥时，则()f x 无零点，符合题意当0a ≤时，则()2cos 31cos 10f x x ax x '=+-≤-≤故()f x 在()0,∞+上单调递减，则()()00f x f <=，()f x 无零点，符合题意 当106a <<时，则()2cos 31f x x ax '=+-，()sin 6f x x ax ''=-+和()cos 6f x x a '''=-+ 所以()f x '''在()0,π上单调递增，且()0610f a '''=-< ()π610f a '''=+> 故存在唯一()00,πx ∈，使得()00f x '''=所以()f x ''在()00,x 上单调递减，在()0,πx 上单调递增当()00,x x ∈时，则()()00f x f ''<=，可得()f x 在()00,x 上单调递减 所以()()000f x f <=取πx k =，N k *∈时，则令()()3210f x ax x x ax =-=->可得x>k >N k *∈时，则()0f x >由零点存在性定理，()f x 在()0,x +∞上至少存在一个零点，不符合题意 综上所述：a 的取值范围为(]1,0,6⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】利用导数研究函数单调性的方法： （1）确定函数()f x 的定义域；求导函数()f x '，由0f x（或()0f x '<）解出相应的x 的范围，对应的区间为()f x 的增区间（或减区间）；（2）确定函数()f x 的定义域；求导函数()f x '，解方程()0f x '=，利用()0f x '=的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论()f x '的正负，由符号确定()f x 在子区间上的单调性.。
2021-2022年高三下学期3月模拟检测数学(理)试题 含答案
注意事项：1. 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2. 每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在改涂在其他答案标号。
3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合P=，Q=，若，则A. B. C. D.2.若复数（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a=A. B.-1 C.0 D.13.有下列关于三角函数的命题：)(2,1Z k k x R x P ∈+≠∈∀ππ：，若，则。
函数与函数的图像相同；函数的最小正周期为2x 。
其中真命题是（ ）A.，B.，C.，D. ，4.某程序框图如图所示，则输出的n值是A.3B. 4C. 5D. 65.已知函数的定义域为[a,b]，值域为[-2,1]，则b-a的值不可能是A. B. C. D.26. 某校通过随机询问100名性别不同的学生是否能做到“光盘”行动，得到如下联表：则下列结论正确的是（）A.在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该校学生能否做到“光盘”与性别无关”B.有99%以上的把握认为“该校学生能否做到“光盘”与性别有关”C.在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为“该校学生能否做到“光盘”与性别有关” D.有99%以上的把握认为“该校学生能否做到“光盘”与性别无关”7.若x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≥-+00202y y kx y x 且的最小值为-2，则k 的值为（ ）A.1B. -1C. 2D. -28.已知菱形ABCD 的边长为3，，沿对角线AC 折成一个四面体，使得平面ACD 平面ABC ，则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（ ）A.15B.C.D.69.定义在（0，+）上的单调递减函数，若的导函数存在且满足，则下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D.10.已知分别是双曲线的左右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以现在为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A.（1，）B.（）C.（）D. 11.如图，长方形ABCD 的长AD=2x,宽AB=x （1），线段MN 的长度为1，端点M,N 在长方形ABCD的四边形上滑动，当M,N沿长方形的四边滑动一周时，线段MN的中点P 所形成的轨迹为G，记G的周长与G围城的面积数值的差为y，则函数的图像大致为（）12.已知函数=，=（），若对任意的c>1，存在实数a，b满足0<a<b<c，使得，则k 的最大值为（）A.2B.3C.4D.5第II卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
四川省成都市新都区2022届高三上学期毕业班摸底诊断性测试 数学(理) Word版含答案
新都区2022届高三毕业班摸底测试数学试题(理)本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将姓名、考场号、座位号填写在答题卡规定的位置上，并将考生条形码粘贴在规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题有且只有一个正确选项。
)1.已知集合U ＝{－2，－1，0，1，2，3}，A ＝{－1，0，1}，B ＝{1，2}，则∁U (A ∪B)＝A.{－2，3}B.{－2，2，3}C.{－2，－1，0，3}D.{－2，－1，0，2，3}2.设函数f(x)＝x 14x ,x 12a x 1⎧-<⎪⎨⎪≥⎩,，若f(f(78))＝8，则a ＝ A.12 B.34C.1D.2 3.等差数列{a n }中，a 5＋a 10＋a 15＝30，则a 22－2a 16的值为A.－10B.－20C.10D.204.若tanθ＝13，则cos(π－2θ)的值为 A.－45 B.－15 C.15 D.45 5.数列{a n }满足a n ＋1＝1－n1a ，且a 1＝2，则a 2022的值为 A.2023 B.2 C.12D.－1 6.下列命题中正确的是 A.函数f(x)满足f(2－x)＋f(x)＝0，则f(x)的图像关于直线x ＝1对称5.的数f(x)满足f(2－x)＋f(x)＝0，则f(x)是以4为周期的周期函数若函数f(x)＝＋bx)为奇函数，则a ＝e(e 为自然对数的底数)D.若函数f(x)＝x 131-＋m 为奇函数，则m ＝12 7.设函数f(x)为定义在R 上的函数，对∀x ∈R 都有：f(x)＝f(－x)，f(x)＝f(2－x)；又函数f(x)对∀x 1，x 2∈[0，1]，x 1≠x 2，有()1212f x f (x )x x -->0成立，设a ＝f(20212)，b ＝f(log 43)，c ＝f(－14)，则下列结论正确的是 A.c<b<a B.b<c<a C.c<a<b D.b<a<c8.等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝2，点D 为斜边BC 上的三等分点，且AM 2AD =，则MC MB ⋅＝A.49 B.－89或89 C.89 D.－89 9.在△ABC 中，∠B ＝3π，AB ＝2，BC 边上的中线AD 的长度为23，则△ABC 的外接圆的面积为A.2393B.523π C.4393 D.2083π 10.已知函数f(x)＝e |x|，g(x)＝sinx ，则图象为如图的函数可能是A.y ＝f(x)＋g(x)B.y ＝f(x)－g(x)C.y ＝()()g x f x D.y ＝f(x)g(x) 11.函数f(x)＝3sin(2x ＋26°)＋10cos 2(x ＋28°)的值域为A.[1919B.[519519C.[3434D.[53453412.已知函数f(x)＝2log x x 01x x 02>⎧⎪⎨-≤⎪⎩，，，函数g(x)满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任意x ∈R ，有g(x ＋π)＝2g(x)；③当x ∈[0，π]时，g(x)＝sinx 。
2024届云南省高中毕业生3月统一检测数学理试题及答案(word版)
2024年云南省高三第一次中学毕业生复习统一检测理科数学试题及答案第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.1.已知为虚数单位，复数121,1z i z i =+=-，则12z z =（ ） A ．12- B ．12C ．i -D ． 2.已知平面对量()()3,6,,1a b x ==-，假如//a b ，那么||b =（ ）A ．5B ．52C ．3D ．323.函数22sin cos 2sin y x x x =-的最小值为（ ）A ．-4B ．31--C ．21--D ．-24. 的绽开式中2x 的系数等于（ ）A ．45B ．20C ．-30D ．-905.若运行如图所示程序框图，则输出结果S 的值为（ ）A ．94B ．86C ．73D ．566.下图是底面半径为1，高为2的圆柱被削掉一部分后剩下的几何体的三视图（注：正视图也称主视图，俯视图也称左视图），则被削掉的那部分的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．7.为得到的图象，只须要将sin 2y x =的图象（ ）A ．向右平移3π个单位 B ．向右平移6π个单位C ．向左平移3π个单位 D ．向左平移6π个单位8.在数列{}n a 中，12211,,123n n a a a a +===，则20162017a a +=( ) A ．56 B ．73 C ．72 D ．5 9、已知,a b 都是实数，p ：a b +＝2，q ：直线x y +＝0与圆22()()x a y b -+-＝2相切，则p 是q 的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件10. 若,x y 满意约束条件，则2z x y =+的最小值为（ ）A ．6B ．5C ．3D ．111.在长为3m 的线段AB 上任取一点P ，则点P 与线段AB 两端点的距离都大于1m 的概率等于（ ）A ．12B ．14C ．23D ．1312.已知双曲线M 的焦点12,F F 在x 30y +=是双曲线M 的一条渐近线，点P 在双曲线M 上，且120PF PF ⋅=，假如抛物线216y x =的准线经过双曲线M 的一个焦点，那么12||||PF PF ⋅=（ ） A ．21 B ．14 C ．7 D ．0第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()f x 的定义域为实数集R ，()lg ,0,90,0x x x R f x x x >⎧∀∈-=⎨-≤⎩，则()()10100f f --的值为 .14.已知三棱锥P ABC -的顶点、、B 、C P A 在球O 的表面上，ABC ∆边三角形，假如球O 的表面积为36π，那么P 到平面ABC 距离的最大值为 .15.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，假如ABC ∆的面积等于8，5a =,,那么= .16.已知实数,a b 都是常数，若函数的图象在切点处的切线方程为2113420,2x a x x y y be x --+-==++与()31y k x =-的图象有三个公共点，则实数k 的取值范围是 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. (本小题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对随意正整数n ，322n n a S -=. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)求证：221n n n S S S ++<.18. (本小题满分12分)某市教化与环保部门联合组织该市中学参与市中学生环保学问团体竞赛，依据竞赛规则，某中学选拔出8名同学组成参赛队，其中初中学部选出的3名同学有2名女生；中学学部选出的5名同学有3名女生，竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参与竞赛.(Ⅰ)设“选出的4人中恰有2名女生，而且这2名女生来自同一个学部”为事务A ,求事务A 的概率()P A ；(Ⅱ)设X 为选出的4人中女生的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.19. (本小题满分12分)如图，在三棱锥A BCD -中，,,CD BD AB AD E ⊥=为BC 的中点.(Ⅰ)求证：AE BD ⊥；(Ⅱ)设平面ABD ⊥平面,2,4BCD AD CD BC ===，求二面角B AC D --的正弦值.20. (本小题满分12分)已知焦点在y 轴上的椭圆E 的中心是原点O 32，以椭圆E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为45:l y kx m =+与y 轴交于点P ，与椭圆E 交于、A B 两个相异点，且AP PB λ=.(Ⅰ) 求椭圆E 的方程；(Ⅱ)是否存在m ，使4OA OB OP λ+=？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由.21. (本小题满分12分)已知()()ln 212321x f x x x +=+-+.(Ⅰ)求证：当 0x =时，()f x 取得微小值；(Ⅱ)是否存在满意0n m >≥的实数,m n ，当[],x m n ∈时，()f x 的值域为[],m n ？若存m n的值；若不存在，请说明理由.在，求出,请考生在22、23、24三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.22. (本小题满分10分) 选修4-1：几何证明选讲如图，BC是⊙O的直径，EC与⊙O相切于,C AB是⊙O的弦，D是AC弧的中点，BD 的延长线与CE交于E.⋅=⋅；(Ⅰ)求证：BC CD BD CE(Ⅱ)若，求AB.23. (本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中，直线的参数方程为,（为参数），在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为.(Ⅰ)干脆写出直线、曲线C的直角坐标方程；(Ⅱ)设曲线C上的点到与直线的距离为d，求d的取值范围.24. (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知()2122f x x x x =-++++. (Ⅰ)求证：()5f x ≥；(Ⅱ)若对随意实数()229,1521x f x a a -<++都成立，求实数a 的取值范围.。
黑龙江高三模拟考试数学(理)试卷附答案解析
黑龙江高三模拟考试数学（理）试卷附答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}260A x x x =+-=和{}10B x ax =-=，若B A ⊆，则实数a 的值构成的集合是（ ）A ．11,0,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．{}2,0-C ．12,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．10,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭2．已知()1i 2i z +=-，则z =（ ）A B C D ．523．如图，在ABC ∆中点Q 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 为线段BQ 上靠近点B 的三等分点，则PA PC +=（ ）A ．1233BA BC +B ．5799BA BC +C ．11099BA BC +D ．2799BA BC +4．若3AB =，2AC CB =平面内一点P 满足PA PC PB PC PAPB⋅⋅=，则sin PAB ∠的最大值是 （ ）A B ．12C ．13D 5．2021年5月30日清晨5时01分，天舟二号货运飞船在成功发射约8小时后，与中国空间站天和核心舱完成自主快速交接．如果下次执行空间站的任务由3名航天员承担，需要在3名女性航天员和3名男性航天员中选择，则选出的3名航天员中既有男性航天员又有女性航天员的概率为（ ） A ．67B ．910 C ．25D ．4156．已知1,3OA OB ==，0,OA OB ⋅=点C 在AB 上，且AOC ∠30=︒，设 (,)OC mOA nOB m n R =+∈，则mn等于A ．13B ．3CD 7．已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为（ ）A ．80,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．18,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．已知3log 0.2a =，0.912b ⎛⎫= ⎪⎝⎭和2log 3c =，则（ ）．A ．c a b >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c b a >>二、多选题9．2021年是中国共产党建党100周年，为全面贯彻党的教育方针，提高学生的审美水平和人文素养，促进学生全面发展．某学校高一年级举办了班级合唱活动．现从全校学生中随机抽取部分学生，并邀请他们为此次活动评分（单位：分，满分100分），对评分进行整理，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ）A ．0.028a =B ．若该学校有3000名学生参与了评分，则估计评分超过90分的学生人数为600C ．学生评分的众数的估计值为85D ．学生评分的中位数的估计值为8310．已知直线():10R l x my m -+=∈，圆()22:()(21)1R C x k y k k -+--=∈，则下列选项中正确的是（ ）A ．圆心C 的轨迹方程为21y x =-B ．12k =-时直线l C ．若直线l 被圆C 截得的弦长为定值，则12m =D ．1m =时若直线l 与圆相切，则k =11．如图，在菱形ABCD 中AB =2，3BAD π∠=，将ABD △沿BD 折起，使A 到A '，且点A '不落在底面BCD 内，若点M 为线段A C '的中点，则在ABD △翻折过程中以下命题中正确的是（ ）A ．四面体A BCD -'的体积的最大值为1B ．存在某一位置，使得BM ⊥CDC ．异面直线BM 与AD '所成的角为定值 D ．当二面角A BD C '--的余弦值为13时2A C '=12．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()()f xy f x f y =+，当1x >时()0f x >，()21f =则下列说法正确的是（ ） A ．()10f =B ．函数()f x 在()0,∞+上是增函数C ．不等式()132f f x x ⎛⎫--≥- ⎪⎝⎭的解集为(]0,4D ．()()()()1111232021202220212022202132f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭三、填空题13．6321(1)x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为________．14．设函数222e 1e (),()e +==x x x xf xg x ，对任意12,(0,)x x ∈+∞，不等式12()()1>+f x g x k k 恒成立，则正数k 的取值范围是_____．15．若曲线e x y =过点(2,0)-的切线恒在函数212()e 31e e x f x a x x ⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭的图象的上方，则实数a 的取值范围是__________． 四、双空题16．甲、乙、丙三位教师分别在某校的高一、高二、高三这三个年级教不同的学科：语文、数学、外语，已知：①甲不在高一工作，乙不在高二工作； ②在高一工作的教师不教外语学科； ③在高二工作的教师教语文学科； ④乙不教数学学科.可以判断乙工作的年级和所教的学科分别是______、_____． 五、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中底面ABCD 为长方形，2AB =和4=AD ，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PAD 是正三角形，M 是PD 的中点，N 是AB 的中点．(1)求证：//MN 平面PBC ； (2)求二面角A PB C --的正弦值．18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，设n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为1的等差数列(1)求{}n a 的通项公式； (2)设21+81n n b a n =-，求数列{}n b 的前n 项的和n T .19．已知△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设△ABC 外接圆的半径为R ，且()2212cos cos bc R B C =+．(1)求角A 的大小；(2)若D 为BC 边上的点2AD BD ==，CD=1，求tan B ．20．某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响 (1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标另外2次末击中目标的概率；(3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，末击中目标得0分，在3次射击中若有2次连续击中而另外1次末击中则额外加1分；若3次全击中则额外加3分，记ξ为射手射击3次后的总的分数，求ξ的分布列及期望．21．动点(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到定直线9:4l x =的距离的比是常数43. (1)求动点M 的轨迹方程；(2)直线:l y kx b =+与M 的轨迹交于A ，B 两点，AB 的中点坐标为()6,2，求直线l 的方程.22．已知函数()()2ln 1f x ax bx x =+-+．（Ⅰ）当0a =时函数()f x 存在极值，求实数b 的取值范围；（Ⅱ）当1b =时函数()f x 在()0,∞+上单调递减，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）求证：()()1*113ln 2122N 14nk n n k =-+<∈-∑． 参考答案与解析1．A【分析】解出集合A ，分0a =、0a ≠两种情况讨论，在0a =时直接验证B A ⊆；在0a ≠时可得出关于实数a 的等式，即可解得实数a 的值.综合可得出结果.【详解】因为{}{}2603,2A x x x =+-==-当0a =时B A =∅⊆，合乎题意；当0a ≠时则1B A a ⎧⎫=⊆⎨⎬⎩⎭，可得13a =-或12a =，解得13a =-或12.综上所述，实数a 的取值集合为11,0,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.故选：A. 2．B【分析】根据复数模长的性质求解即可.【详解】由()1i 2i z +=-可得2i1i z -=+，故2i 1i 2z -===+故选：B 3．B【解析】23PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-，将13BQ BA AQ BA AC =+=+,AC BC BA =-代入化简即可.【详解】23PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-2()3BA BC BA AQ =+-+1233BA BC =+-⨯13AC 1257()3999BA BC BC BA BA BC =+--=+. 故选：B.【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算、数乘运算，考查学生的运算能力，是一道中档题. 4．B【分析】由2AC CB =知C 为线段AB 的靠近B 的一个三等分点，且||2||AC CB =，由PA PC PB PC PAPB⋅⋅=推出PC 为APB ∠的平分线，根据角平分线定理得到||2||1PA PB =，设||PB m =，则||2PA m =，根据余弦定理以及基本不等式求出cos PAB ∠的最小值，从而可得sin PAB ∠的最大值.【详解】由2AC CB =知C 为线段AB 的靠近B 的一个三等分点，且||2||AC CB = 因为PA PC PB PC PAPB⋅⋅=，所以|||cos ||||cos ||||PA PC APC PB PC BPCPA PB ∠∠=所以cos cos APC BPC ∠=∠，所以APC BPC ∠=∠ 所以PC 为APB ∠的平分线 根据角平分线定理可得||||2||||1PA AC PB CB ==，设||PB m =，则||2PA m =所以222||||||cos 2||||PA AB PB PAB PA AB +-∠=224912m m m+-=344m m =+≥=当且仅当m 时等号成立所以1sin 2PAB ∠= 即sin PAB ∠的最大值是12. 故选：B【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 5．B【分析】利用对立事件和古典概型的概率公式求解即可.【详解】设“选出的3名航天员中既有男性航天员又有女性航天员”为事件M ，则()333336C C 91C 10P M ==+-. 故选：B. 6．B【分析】由已知得OA OB ⊥，以OA ，OB 为x 、y 轴建立直角坐标系，设OC t =，写出C 点坐标，代入OC mOA nOB =+，可得结论．【详解】因为0,OA OB ⋅=所以OA OB ⊥，以OA ，OB 为x 、y 轴建立直角坐标系，A (1，0)，B （0，设OC t =，则C，12t ）31(,)22OC t =，()mOA nOB m += 因为OC mOA nOB =+ 所以m =12t =，所以3m n =故选：B ．【点睛】本题考查平面向量线性运算的坐标表示，考查向量垂直与数量积的关系．解题关键是建立平面直角坐标系，用坐标表示向量． 7．B【解析】由正弦函数的性质可得121(2)(2),33k x k k Z ππππωω-≤≤+∈，结合已知单调区间列不等式组求ω解集即可.【详解】由函数解析式知：()f x 在()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递增∴121(2)(2),33k x k k Z ππππωω-≤≤+∈，()f x 单调递增又∵()f x 在区间2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增∴12(2)3412(2)33k k πππωπππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得8831320k k k Z ωωω⎧≤-⎪⎪⎪≤+⎨⎪>⎪⎪∈⎩，所以当0k =时有102ω<≤故选：B【点睛】关键点点睛：利用整体代入法得到121(2)(2),33k x k k Z ππππωω-≤≤+∈，结合已知单调区间与所得区间的关系求参数范围. 8．D【分析】根据指数函数和对数函数单调性可分别求得,,a b c 的范围大小，即可比较得出结果. 【详解】由33log 0.2log 10a =<=，可得(),0a ∈-∞； 由指数函数值域和单调性可知0.9110122b ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()0,1b ∈； 而22log 3log 21c =>=，即()1,c ∈+∞，所以c b a >>. 故选：D 9．ABC【分析】对A ，由频率之和为1可得；对B ，根据频率分布直方图直接计算；对C ，由最高长方形底边中点对应的横坐标是样本数据的众数可得；对D ，先判断出中位数在[)80,90内，列出式子可求.【详解】对于A ，由频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1，知0.060.06100.40.21a ++++=，解得0.028a =，A 正确；对于B ，由频率分布直方图易知，估计参与评分的3000名学生中评分超过90分的人数为()30000.0210600⨯⨯=，B 正确；对于C ，由频率分布直方图可知，众数的估计值为85，C 正确；对于D ，前三组频率之和为()0.0060.0060.028100.4++⨯=，前四组频率之和为0.40.04100.8+⨯=，则中位数在[)80,90内设学生评分的中位数的估计值为x ，则()0.4800.040.5x +-⨯=，解得82.5x =，D 错误． 故选：ABC.【点睛】频率分布直方图中的常用结论：（1）频率分布直方图中所有小长方形的面积之和为1；（2）频率分布直方图中最高长方形底边中点对应的横坐标是样本数据的众数；（3）平分频率分布直方图中小矩形的面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标是样本数据的中位数；（4）频率分布直方图中每个小长方形的面积与对应小长方形底边中点的横坐标的乘积之和是样本数据的平均数． 10．BC【分析】首先表示出圆心坐标，即可判断A ，再求出直线过定点坐标，由弦长公式判断B ，求出圆心到直线的距离，当距离为定值时弦长也为定值，即可判断C ，求出圆心到直线的距离，即可判断D ；【详解】解：圆()22:()(21)1R C x k y k k -+--=∈的圆心坐标为(),21C k k +所以圆心C 的轨迹方程为21y x =+，故A 错误；直线():10R l x my m -+=∈，令100x y +=⎧⎨-=⎩，解得10x y =-⎧⎨=⎩，即直线l 恒过点()1,0M -当12k =-时圆221:()12C x y ++=，圆心为1,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径1r =，又11122MC ⎛⎫=---= ⎪⎝⎭所以直线l被圆截得的弦长的最小值为B 正确；对于C ：若直线l 被圆C 截得的弦长为定值，则圆心到直线的距离d ==定值所以120m -=，解得12m =，故C 正确； 对于D ：当1m =时直线:10l x y -+=，圆心到直线的距离d=若直线与圆相切，则k =D 错误； 故选：BC 11．ABD【分析】连接AC 交BD 于O ，连接OA '，取CD 的中点N ，连接,MN BN ，当平面A BD '⊥平面BCD 时四面体A BCD -'的体积最大，从而可判断A ；易得BN CD ⊥，说明MN CD ⊥成立，再根据线面垂直的判定定理及性质即可判断B ；证明异面直线BM ，A D '所成的角即为BMN ∠或其补角，再根据BM 不为定值，即可判断C ；说明A OC '∠即为二面角A BD C '--的平面角，再根据二面角A BD C '--的余弦值可得A C '，从而可判断D.【详解】解：连接AC 交BD 于O ，连接OA '，取CD 的中点N ，连接,MN BN 对于A ，当平面A BD '⊥平面BCD 时四面体A BCD -'的体积最大 点A '到平面BCD 的距离最大此时在菱形ABCD 中2AB = π3BAD ∠= 则,ABD BCD 都是等边三角形则OA OA OC '===此时四面体A BCD -'的体积为112132⨯⨯=所以四面体A BCD -'的体积的最大值为1，故A 正确； 对于B ，因为,M N 分别为,A C CD '的中点 所以BN CD ⊥MN A D '∥且112MN A D '== 由题意20,3A DC π⎛⎫'∠∈ ⎪⎝⎭，则20,3MNC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭当2MNC π∠=时MN CD ⊥因为MN BN N ⋂=，,MN BN ⊂平面BMN 所以2MNC π∠=时CD ⊥平面BMN又BM ⊂平面BMN 所以CD BM ⊥所以存在某一位置，使得BM CD ⊥，故B 正确； 对于C ，因为MN A D '∥所以异面直线BM ，A D '所成的角即为BMN ∠或其补角 2131cos 22BM BM BMN BM BM+-∠==-因为BM 不为定值，所以cos BMN ∠不为定值即异面直线BM ，A D '所成的角不为定值，故C 错误； 对于D ，因为,OC BD OA BD '⊥⊥所以A OC '∠即为二面角A BD C '--的平面角则2261cos 63A C A OC '-'∠===，所以2A C '=，故D 正确. 故选：ABD.12．AB【分析】利用赋值法求得()10f =，判断A ；根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质，可判断函数的单调性，判断B ；求出1112422f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，将()132f f x x ⎛⎫--≥- ⎪⎝⎭转化为11134f f f x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即可解不等式组求出其解集，判断C ；利用()()()f xy f x f y =+，与()10f =可判断D. 【详解】对于A ：令1x y == ，得()()()()11121f f f f =+=，所以()10f =，故A 正确； 对于B ：令10y x =>，得()()110f f x f x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭任取()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，则()()()2212111x f x f x f x f f x x ⎛⎫⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为211x x >，所以210x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()()21f x f x > 所以()f x 在()0,∞+上是增函数，故B 正确；对于C ：因为()21f =，且()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()1212f f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所以1112422f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()132f f x x ⎛⎫--≥- ⎪⎝⎭等价于11134f f f x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭又()f x 在()0,∞+上是增函数，且()()()f xy f x f y =+，所以()113410103x x x x ⎧≥⎪-⎪⎪>⎨⎪⎪>⎪-⎩解得34x <≤，故C 错误；对于D ：()()()()111123202120222022202132f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()11112022202132111102022202132f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=++⋅⋅⋅++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故D 错误；故选:AB ． 13．35【分析】由多项式的乘法法则可知，6321(1)x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项是由1乘以621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项和3x 乘以621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的3x -项两个部分组成.【详解】解：因为621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为66316621rr r r rr T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭所以()63211x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项共有两种来源：①630r -=，解得2r =，此时常数为2615C =；②633r -=-，解得3r =，此时常数为3620C =；所以展开式中的常数项为2366152035C C .故答案为：35.14．1k > 【分析】将不等式12()()1>+f x g x k k恒成立转化为min max ()()1f x g x k k >+，接下来求(),()f x g x 的最小值与最大值，列出关于k 的不等式，解k 即可 【详解】对任意12,(0,)x x ∈+∞，不等式12()()1>+f x g x k k恒成立min max()()1f x g x k k ⇒>+由2e (1)()0exx g x -'== ，得1x = (0,1)x ∴∈ 时()0g x '> ，()g x 在(0,1) 上递增(1,)x ∈+∞ 时()0g x '< ，()g x 在(1,)+∞ 上递减 max ()(1)eg x g k k k== 由222e 1()0x f x x-'== ，得1e x = 1(0,)e x ∴∈ 时()0f x '<，()f x 在1(0,)e上递减1(,)ex ∈+∞ 时()0f x '>，()f x 在1(,)e +∞ 上递增min1()()2e e 111f f x k k k ==+++ 由min max ()()1f x g x k k >+即2e e1k k>+ ，又因为k 为正实数 解得1k > 故答案为：1k > 15．2(,e )∞--所以2x =-为()g x 的极小值点，又因为x →+∞时()0g x +→ 2(2)e 0g -=-< 所以2min ()(2)e g x g =-=-，所以2e a <-. 故答案为2(,e )∞--. 16． 高三 外语【分析】首先判断乙教的学科是外语，再判断乙工作年级为高三，得到答案. 【详解】由①乙不在高二工作③在高二工作的教师教语文学科④乙不教数学学科 推断乙所教的学科为外语②在高一工作的教师不教外语学科，推断乙不在高一工作 又根据①乙不在高二工作，推断乙再高三工作 故乙再高三教外语故答案为 (1). 高三 (2). 外语【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的逻辑推理能力. 17．(1)证明见及解析【分析】（1）取PC 中点为E ，连结,BE ME ，证明MNBE 为平行四边形，得MN EB ∥，再由线面平行的判定定理得证；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．设平面PAB的法向量为()111,,n x y z =，则0n AB n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111120220x x y =⎧⎪⎨--=⎪⎩，∴1110x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，令11z =，所以()0,3,1;n =- 设平面PBC 的法向量为()222,,m x y z = 同理00m BC m PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得：222240220y x y =⎧⎪⎨--=⎪⎩∴222y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，令21z =，则()3,0,1m =设二面角A PB C --的平面角为α，∴1cos ,4n m n m n m ⋅==⋅ 所以1cos 4α=，∴sin α=A PB C --18．(1)21n a n =-(2)44n nT n =+【分析】（1）根据等差数列的性质求解得nS n n=，即2n S n =，结合n a 与n S 即可求得{}n a 的通项公式； （2）直接应用裂项相消法求和即可.【详解】（1）解：因为n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为1的等差数列所以1(1)n S n n n=+-=，则2n S n =于是当1n =时21111S a ===当2n ≥时221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-则11a =符合上式，所以21n a n =-. （2）解：222111111+81(21)814441n n b a n n n n n n n ⎛⎫====- ⎪--+-++⎝⎭则12311111111111141242343441n n T b b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++-⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1114144n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭. 19．(1)π3A = (2)tanB =【分析】（1）根据题意，由正弦定理可得24sin sin bc R B C =，再由三角恒等变换化简即可得到结果； （2）根据题意，可得2π3C B =-，再由正弦定理化简，即可得到结果. 【详解】（1）由正弦定理可得，2sin sin b cR B C==与24sin sin bc R B C = 2sin sin 12cos cos B C B C =+和1cos()cos 2B C A +=-=-1cos 2A =，(0,π)A ∈ 所以π3A =（2）2CDA B ∠=∠ 2π3C B =- sin sin CD ADDAC C =∠，即2sin sin 33CD ADB B ππ=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11sin 2sin 22B B B B ⎫+=-⎪⎪⎝⎭3sin 2B B =tan B =20．(1)40243；(2)881； (3)分布列见解析；期望为8627.【分析】（1）设X 为射手在5次射击中击中目标的次数，则25,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布概率公式即得； （2）利用互斥事件概率求和公式及独立事件概率公式即得；（3）由题可得ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6，分别求概率，进而可得分布列及期望. （1）设X 为射手在5次射击中击中目标的次数，则25,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 则在5次射击中恰有2次击中目标的概率为：()232522402C 133243P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）设“第i 次射击击中目标”为事件()1,2,3,4,5i A i =；“射手在5次射击中有3次连续击中目标，另外2次末击中目标”为事件A ，则()P A ()()()123451234512345P A A A A A P A A A A A P A A A A A =++ 3232321121123333333⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭881=； （3）由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6()()3123110327P P A A A ξ⎛⎫====⎪⎝⎭ ()()()()1231231231P P A A A P A A A P A A A ξ==++222112112233333339⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()1232124233327P P A A A ξ===⨯⨯=()()()22123123211283333327P P A A A P A A A ξ⎛⎫⎛⎫==+=⨯+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()3123286327P P A A A ξ⎛⎫====⎪⎝⎭ 所以ξ的分布列是:12488+1+2+3+6=2792(72727)=0E ξ⨯⨯⨯⨯⨯8627. 21．(1)22197x y -= (2)7123y x =-【分析】（143=，整理即可得出答案；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，则有22112222197197x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减即可求得k ，再将点()6,2代入求得b ，即可得出答案.【详解】（1）解：因为点(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到定直线9:4l x =的距离的比是常数4343=化简得22197x y -=所以动点M 的轨迹方程为22197x y -=；（2）解：设()()1122,,,A x y B x y 则121212,4x x y y +=+=则有22112222197197x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减得2222121297x x y y --=，即()()()()1212121297x x x x y y y y -+-+= 所以121273y y k x x -==- 所以直线7:3l y x b =+ 将点()6,2代入得214b =+，所以12b =- 所以直线l 的方程为7123y x =-. 22．（Ⅰ）0b >；（Ⅱ）12a ≤-；（Ⅲ）证明见解析．【分析】（Ⅰ）首先求出函数的导函数为()()11bx b f x x --'=+，再对参数b 分类讨论；（Ⅱ）要使函数()f x 在()0,∞+上单调递减，即导函数()201xf x ax x '=+≤+恒成立，参变分离即可求出a 的取值范围；（Ⅲ）由（Ⅱ）知：当12a =-时()()21ln 12f x x x x =-+-+在()0,∞+递减，即()2ln 12x x x -+<，令221x n =-，则()22212ln 212121n n n n +-<---，利用放缩可得()()22222111441412121n n n n n n n ⎛⎫<<=- ⎪-+--⎝⎭-最后累加即可得证；【详解】解：（Ⅰ）当0a =时()()()ln 11f x bx x x =-+>- ()()1111bx b f x b x x --'=-=++①当0b ≤时()0f x '<，则()f x 在()1,-+∞递减，无极值； ②当0b >时令()1'0,11f x x b==->- 1()0,(1,1),()f x x f x b'<∈--单调递减1()0,(1,),()f x x f x b '>∈-+∞单调递增所以11,()x f x b=-取得极小值. 综上可知0b >．（Ⅱ）当1b =时()()()2ln 10f x ax x x x =+-+>()1212011x f x ax ax x x '=+-=+≤++恒成立 121a x ⇔-≥+对一切()0,x ∈+∞恒成立 ∵11x +>，∴1011x <<+，∴21a -≥，∴12a ≤-．（Ⅲ）由（Ⅱ）知：当12a =-时()()21ln 12f x x x x =-+-+在()0,∞+递减∴()()00f x f ≤=，即：()2ln 12x x x -+<令221x n =-，则()22212ln 212121n n n n +-<--- 当2n ≥时()2222122ln 212144121n n n n n n +-<=---+-()21114121n n n n ⎛⎫<=- ⎪--⎝⎭∴23ln 2ln 311-=- 2511ln 13322⎛⎫-<- ⎪⎝⎭27111ln 55223⎛⎫-<- ⎪⎝⎭……221111ln 212121n n n n n +⎛⎫-<- ⎪---⎝⎭累加得，()11112ln 212ln 31212nk n k n =⎛⎫⋅-+<-+- ⎪-⎝⎭∑第 21 页 共 21 页 5153ln3ln32222n =--<-< 当1n =时131ln 324-<，即：1ln 32> 综上()1113ln 212124nk n k =-+<-∑． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、单调性，放缩法证明不等式，综合性强，属于较难题.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
湖北省20XX 届高中毕业班五月模拟考试
理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、复数21i i
-=- A ．322i - B ．322i + C ．322i -+ D ．322
i -- 2、“若222x y +>” ，则“1,1x y >>”的否命题是
A ．若222x y +≤则1x ≤且1y ≤
B ．若22
2x y +<则1x ≤且1y ≤
C ．若222x y +<则1x <或1y <
D ．若222x y +<则1x ≤或1y ≤ 3、已知,x y 满足约束条件5020x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩
，则2z x y =+的最小值为
A ．-3
B ．52-
C ．-2
D ．52
4、右图是一个算法的程序框图，该算法所输出的结果是
A ．
23
B ．34
C ．45
D ．56 5、将4名工人分配取做三种不同的工作，每种工作至少要分配一名工人，则不同的分配方案有
A ．6种
B ．12种
C ．24种
D ．36种
6、已知等比数列{}n a 满足11352,14a a a a =++=，则135
111a a a ++= A ．
78 B ．74 C ．139 D ．1318 7、已知M 为ABC ∆内一点，1134
AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r ，则ABM ∆和ABC ∆的面积之比为 A ．14 B ．13 C ．12 D ．23
8、下列说法正确的是
A ．若样本数据12,,,n x x x L 的均值5x =，则样本数据1221,21,,21n x x x +++L 的均值为10
B ．相关系数0r >，则对应回归直线方程中ˆ0b
< C ．采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5,16,27,38,49的同学均被选出，则该班学生人数可能为60
D ．在某项测量中，测量结果X 服从正态分布(1,)(0)N σσ>，若X 在(0,1)内取值范围概率为0.4，则X 在(0,2)内取值的概率为0.8
9、一个四面体的三视图如下，则此四面体的体积是
A ．15392
B ．5392
C ．539．51310、已知,x y 满足2
213
x y +=，则2432u x y x y =+-+--的取值范围为 A ．[]1,12 B ．[]0,6 C ．[]0,12 D ．[]1,13
11、过双曲线22
:145
x y C -=的右焦点F 的直线l 与双曲线C 交于C 交于,M N 两点，A 为双曲线的左焦点，若直线AM 与直线AN 的斜率12,k k 满足122k k +=，则直线l 的方程是
A ．2(3)y x =-
B ．2(3)y x =--
C ．1(3)2y x =
- D ．1(3)2
y x =-- 12、函数()224f x x x x =-- A ．4 B ．32．33．42
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
.
13、已知两点(3,2)A 和(1,4)B -到直线10x ay ++=的距离相等，则实数a =
14、已知261(2)()x ax a ++展开式中含4x 项的系数为45，则正实数a 的值为
15、在数列{}n a 中，已知31a =，前n 项和n S 满足21
()(2)2
n n n S a S n =-≥，则n S =
16、已知函数()312,(1)2,x x x t f x a x x t ⎧->=⎨-+≤⎩
，如果对一切实数t ，函数()f x 在R 上不单调， 则实数a 的取值范围是
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17、（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为3310,,,,cos 4a b c A B AD π=
=为BC 边上的中线，且1AD =. （1）求sin C 的值；
（2）求ABC ∆的面积。
18、（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，4,3PA AC == 2BD =，又点E 在侧棱PC 上，且PC ⊥平面BDE .
（1）求线段CE 的长；
（2）求二面角A PD C --的余弦值。
19、（本小题满分12分）
盒子有质地均匀的8个小球，其中3个红球，3个黑球和2个白球.
（1）从盒中一次随机取出2个小球，求取出的2个球颜色不同的概率；
（2）从盒中一次随机取出3个小球，其中取出黑球和白球的个数分别为m 和n ， 记m n ξ=-，求随机变量ξ的分布列和数学期望。
20、（本小题满分12分）
已知抛物线2:2(0)C y px p =>的交点为F ，过F 且倾斜角为
4
π的直线l 被抛物线C 截得的线段长为8. （1）求抛物线C 的方程；
（2）已知直线y x =-和抛物线C 交于点,O A ，
线段AO 的总店为Q ，在AO 的延长线上任取
一点，P 作抛物线C 的切线，两切点分别为M 、
N ，直线MQ 交抛物线C 于另一点B ，问直线AB
的斜率0k 是否为定值？如果是，求0k 的值，
否则，说明理由。
21、（本小题满分12分）
（1）求函数()ln(1)f x x x =+-的最大值；
（2）求证：2ln(1)12x x xe e x x x
+>-+在0x >上恒成立。
请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．
22、（本小题满分10分） 选修4-1 几何证明选讲
如图，ABC ∆为O e 的内接三角形，,D E 分别为,BC AB 的中点，直线DE 交圆O 于,F G ，且直线DE 与过A 点的切线交于点,1,2,3P DF DE PE ===。
（1）求证：PEA BDE ∆∆:；
（2）求线段PA 的长。
23、（本小题满分10分）选修4-4 坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3:2cos C ρθ
=- [0,2)θπ∈，直线3(22x t l t y t =+⎧⎨=+⎩
为参数，t R ∈） （1）求曲线C 和直线l 的普通方程；
（2）设直线l 和曲线C 交于A 、B 两点，求AB 的值。
24、（本小题满分10分）选修4-5 不等式选讲
已知函数()42()f x x a x a R =-++∈的图象关于点(1,0)中心对称。
（1）求实数a 的值；
（2）解不等式()3f x ≥。