力的合成与分解

③求Fx与Fy的合力即为共点力的合力(如图所示)
1 ．如图所示，物体静止于光滑水平面 M 上，力 F 作用 于物体的O点，现要使物体沿着 OO′方向做直线运动 (F 与 OO′ 方向都在 M 平面内 ) ，必须同时再加一个力 F′ ， 这个力的最小值是( )C A．Ftanθ B．Fcotθ C．Fsinθ
2．解析法
以下是合力计算的几种特殊情况 (1)相互垂直的两个力的合成，如图所示： F2 2 2 合力大小F＝ F1 F2 ，方向tanθ＝ . F1
(2)夹角为θ的大小相同的两个力的合成，如图所示．
由几何知识，作出的平行四边形为菱形，其对角线相
互垂直且平分，则合力大小F＝2F1cos
θ F1夹角为 . 2 θ ，方向与 2
(3)运用正交分解法解题的步骤 ①正确选择直角坐标系，通常选择共点力的作用点为 坐标原点，直角坐标轴x、y的选择可按下列原则去确 定： a.尽可能使更多的力落在坐标轴上． b. 沿物体运 动方向或加速度方向设置一个坐标轴．
②正交分解各力，即分别将各力
投影到坐标轴上，分别求x轴和y 轴上各力投影的合力Fx和Fy， 其中Fx＝F1x＋F2x＋F3x＋„； Fy＝F1y＋F2y＋F3y＋„.
保持静止，则工件上受到的向 上的压力多大？ 【思路点拨】弄清力的实际作用效果，确定两个分力 的方向，再作出力的平行四边形，确定边角关系，最 后由数学知识计算两分力的大小．
【解析】F 作用在 B 物体上，产生了压紧水平面和 推杆两个效果，将 F 向这两个方向分解如图(1)，得 F1 和 F2 两个分力．
时合力最小． F1＋F2.
合力的取值范围为 |F1－F2| ≤F≤
题型一：力的合成、合力大小计算 例 1 两个共点力 F1 和 F2 间的夹角为 θ ，其合力大小 为 F ，现保持 θ 角及 F1 的大小不变，将 F2 的大小增大 为 F2′，这时两共点力的合力大小变为 F′，则以下 关于F和F′的相对大小的说法中，正确的是( ) A．一定有F′>F C．可能有F′＝F B．可能有F′<F D．以上说法都不正确
D．Fcosθ
【解析】由力的合成三角形法则可知，从F的末端 连一条有向线段至OO′上，则该有向线段的长度即 为F′的大小，如图所示，F′与OO′垂直时最小，由 几何知识可知Fmin′＝Fsinθ.
2．如图所示，在宽为20 m的小河 中央有一只小船，在岸上用两根长 各为26 m的绳子拉船匀速行驶， 若绳子的拉力均为 1 300 N，可知小船所受的阻力 为( C ) A．1 200 N C．2 400 N B．1 300 N D．2 600 N
(2)三角形定则：把两个矢量的 首尾
顺次连结起来，第一
个矢量的首端到第二个矢量的 尾端的 有向线段 为合矢量．如图所示. 4．合力和分力的大小关系 共点的两个力 F1 、 F2 的合力 F 的大小，与它们的夹 越小 ； θ 越小，合 角 θ 有关； θ 越大，合力 力 越大 ．F1与F2 同向 时合力最大；F1与F2 反向
6 ．在建筑工地上有时需要将一些建筑材料由高 处送到低处，为此工人们设计了一种如图所示的 简易滑轨：两根圆柱形木杆 AB 和 CD 相互平行， 斜靠在竖直墙壁上，把一摞瓦放在两木杆构成的 滑轨上，瓦将沿滑轨滑到低处．在实际操作中发 现瓦滑到底端时速度较大，有可能摔碎，为了防 止瓦被损坏，下列措施中可行的是( D ) A．减少每次运送瓦的块数
第3节 力的合成与分解
一、合力与分力
1 ．定义：如果一个力作用在物体上跟几个力共同作用 效果 相同，这一个力就叫那几个 在物体上产生的 力的 合力 ，那几个力就叫这个力的 分力 ．
2．合力和分力的关系：合力和分力是 等效替代 关系．
的
同一点 3．共点力：几个力都作用在物体的 ， 作用线 或者它们的 相交于一点，这几个力叫 做共点力.
(2)再根据两个实际分力方向画出平行四边形．
(3)最后由平行四边形知识求出两分力的大小．
2. 正交分解法 (1)定义：把一个力分解为相互垂直的两个分力的方
法．
(2)优点：把物体所受的不同方向的各个力都分解到 相互垂直的两个方向上去，然后再求每个方向上的 分力的代数和，这样就把复杂的矢量运算转化成了 简单的代数运算，最后再求两个互成90°角的力的 合力就简便多了．
F1 对上部转轴产生了向上压和向左压的两个效果， 将 F1 向这两个方向分解如图(2)．得 F′和 F″两个分力． 工件受到向上的压力大小为 F′ ， F′ ＝ F1cos α ＝ F ·cosα＝100 3 N sinα
【方法与知识感悟】按力的作用效果分解力时，关键 是明确力的作用效果，从而确定两个分力的方向，再 根据平行四边形定则作出力的分解图，然后由数学知 识求出分力．在实际问题中主要用到以下两种分解方 法： 1. 按力的效果分解 (1) 根 据 力的 实 际 作 用 效 果 确 定 两 个 实际 分 力 的方 向．
*3．物体受共点力F1、F2、F3作用而做匀速直线运动， AB 则这三个力可能选取的数值为 ( )
A．15 N、10 N、6 N
B．3 N、6 N、4 N
C．1 N、2 N、10 N D．1 N、6 N、8 N 【解析】 物体在 F1 、 F2 、 F3 作用下而做匀速直线运动，
则三个力的合力必定为零，只有A、B选项中的三个力
【答案】BC
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【方法与知识感悟】求合力的方法：
1．作图法 根据两个分力的大小和方向，再利用平行四边形定则 作出对角线，根据表示分力的标度去度量该对角线， 对角线的长度就代表了合力的大小，对角线与某一分 力的夹角就可以代表合力的方向．
的合力可以为零，故选AB.
4 ．如图所示， F1 、 F2 、 F3 恰好构成封闭的直角三 角形，这三个力的合力最大的是( C )
【解析】由矢量合成法则可知A图的合力为2F3，B图的 合力为0，C图的合力为2F2，D图的合力为2F3，因F2为 直角三角形的斜边，故这三个力的合力最大的为C图．
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B．增多每次运送瓦的块数 C．减小两杆之间的距离 D．增大两杆之间的距离
【解析】沿 BA 方向观看，瓦在垂 直于 AB、CD 所组成的“斜面”方向 的受力情况如图， FN1、 FN2 分别为 DC、 BA 对瓦的支持力， 由对称性可知 FN1 ＝ FN2 ， 且 FN1cos θ ＋ FN2cos θ ＝ mgcosα. 设瓦与杆间的动摩擦因数为 μ，由牛顿第二定律： mgsinα－μ(FN1＋FN2)＝ma mgcosα 即 mgsinα－μ ＝ma cosθ
在力的合成或分解时，合成图或分解图为菱形，转化 为直角三角形计算更为简单．
(3)夹角为120°的两等大的力的合成，如图所示．
由几何知识得出对角线将画出的平行四边形分为两个 等边三角形，故合力与分力的大小相等．
题型二：力的分解时有几个解的问题
例 2 把一个已知力分解为两个分力时，下面几种 情况中，只能得到唯一解的是( ) A．已知两个分力的大小 B ．已知两个分力的方向，并且两分力不在同一直 线上 C．已知一个分力的大小和另一个分力的方向 D．已知一个分力的大小和方向 【思路点拨】抓住力的合成与分解的运算法则：平行 四边形法则或三角形法则．注意力的矢量性，看合力 与分力是否构成唯一的矢量三角形或平行四边形．
图解
存在极值的几种情况 (1) 已知合力 F 和一个分力 F1 的方向，另一个分 力F2存在最小值． (2) 已知合力 F 的方向和一个分力 F1 ，另一个分 力F2存在最小值．
题型三：力的分解在实际问题中的应用 例3 如图所示α ＝30°，装置
的重力和摩擦力均不计，若用
F＝100 N的水平推力使滑块B
【答案】BD
【方法与知识感悟】将力进行分解时，就是以力F 为对角线作平行四边形．按问题的需要进行分解， 具体分以下三个方面：
情况
已知合力F和两个分力F1、F2的方向，则 两个分力的大小有唯一解
图解
已知合力F和一个分力F1的大小和方向， 则另一分力F2的大小和方向有唯一解
情况 F2>Fsinα 且 F2 ＜ F 已知合力和一 时，有两解 个分力的方向 和另一分力的 F Fsin α 时，有唯一 2＝ 大小，即已知 解 F、 α (F1 与 F 的夹角)和 F2 F2<Fsin α 时，按所给 的大小，这时 的条件是无法 组成力 则有如下的几 的平行四边形，无解 种可能情况： F2≥F 时，有唯一解
2．一重为 G的物体在重力和恒力 F的共同作用下沿 与竖直方向成θ角的直线匀加速向下运动，关于F的 大小，下列说法正确的是( D ) A．一定等于Gtanθ
B．一定等于Gsinθ
C．不可能大于G
D．不可能小于Gsinθ 【解析】如图，G和F的合力应沿虚 线斜向下，所以F的矢端应落在虚线 上，F的最小值为Gsinθ，故D对，A、B、C错．
μcosα ∴a＝g(sinα－ )，又 v2＝2as cosθ
a 的大小与 m 无关，所以 A、B 错，两杆距离增大， 则 θ 角增大，cosθ减小，a 减小，v 减小，所以 C 错， D 对．
*7. 如图所示，经绳 AO 和 BO 共同吊起质量为 m 的重
物，AO与BO垂直，BO与竖直方向的夹角为 θ，OC 连接重物，则( AC )
【解析】该题最容易犯的错误是错选 A，导致这种错 误的原因是对矢量的方向理解不深刻．错误地认为确 定了三条边就能构成一个唯一确定的三角形，即只有 唯一解．这样就把矢量与线段混淆了，从而导致了错 误．已知两个不平行分力的大小 (F1＋F2>F)．如图所 示，分别以F的始端、末端为圆心，以F1、F2为半径 作圆，两圆有两个交点，所以F分解为 F1、F2有两种 情况．
【解析】 由于小船是匀速行驶，因此两根绳子的拉力 的合力与船所受阻力等大反向，设绳子与河岸的夹角 为θ，则阻力f＝2×1 300cosθ，由几何关系可知，cosθ ＝＝，求得f＝2 400 N.
【巩固基础】
1．大小均为10 N的两个力合成，下列关于合力大小 与两力夹角对应关系正确的是 ( C ) A．夹角为60°时，合力为10 N B．夹角为90°时，合力为20 N C．夹角为120°时，合力为10 N D．任何情况下，合力为20 N 【解析】A.F＝10 N；B.F＝10 N；C.F＝10 N，所以A、 B、D错，C对．
【思路点拨】题中夹角θ未确定，可从θ≤90°和θ＞ 90°两种情况下作出力的合成图进行讨论．
【解析】分力和合力的大小、方向关系遵循平行四 边形定则，在本题中，由于不能确定两个分力间的 夹角θ的具体大小，故可分三种情况讨论，如图所 示．
由图 (甲)、(乙)可知当θ≤90°，分力F2增大时，合力 一定增大，即有F′＞F. 由图 ( 丙 ) 可知，当 θ ＞ 90°，分力 F2 增大时，其合力 先减小后增大．即可能有F′<F，F′＝F，F′>F.
*5.如图所示，将两个相同的条形
磁铁吸在一起，置于水平桌面上， 下面说法正确的是( AB )
A．B对桌面的压力的大小等于A、B 的重力之和 B．A对B的压力的大小大于A的重力 C．A对B的压力的大小等于A的重力
D．B对桌面的压力小于A、B的重力之和
【解析】把条形磁铁A和B视为一个系统，在竖 直方向上合外力为零，选项A对，D错．隔离A， A受到三个力，即A的重力，B对A的支持力(方向 向上)，B对A的吸引力(方向向下)，三个力的合 力为零；支持力大于重力，A对B的压力大小等 于B对A的支持力，大于A的重力，选项B对，C 错．
二、力的合成与分解 1．力的合成：求几个力的 2．力的分解：求一个力的 力的分解与力的合成互为 3．力的合成与分解运算法则
合力 分力 逆运算
的过程． 的过程． ．
(1)平行四边形定则：求两个互成 角度的 共点力 的合力，可以用
表示这两个力的线段为邻边作 平行四边形 ，这两个邻边之间的对角线就表示合力的 大小 和 方向 ．