第一章 概论的基本概念练习题

第一章 概率论的基本概念练习题1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。

试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。

2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。

试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。

3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。

试用C B A ,,表示以下事件：（1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报；（3）只订一种报； （4）正好订两种报；（5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报；（7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅；（9）三种报纸不全订阅。

4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。

试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++.5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -.6. 若事件C B A ,,满足C B C A +=+，试问B A =是否成立？举例说明。

7. 对于事件C B A ,,，试问C B A C B A +-=--)()(是否成立？举例说明。

8. 设31)(=A P ，21)(=B P ，试就以下三种情况分别求)(A B P ： （1）Φ=AB ， （2）B A ⊂， （3）81)(=AB P . 9. 已知41)()()(===C P B P A P ，161)()(==BC P AC P ，0)(=AB P 求事件C B A ,,全不发生的概率。

10. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。

一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率：=A “三个都是红灯”=“全红”； =B “全绿”； =C “全黄”； =D “无红”； =E “无绿”； =F “三次颜色相同”； =G “颜色全不相同”； =H “颜色不全相同”。

11. 设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件（分三种情况：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），试求：（1）（1）取出的3件中恰有1件是次品的概率；（2）（2）取出的3件中至少有1件是次品的概率。

12. 从9,,2,1,0Λ中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率：{}501与三个数字中不含=A ，{}502或三个数字中不含=A 。

13. 从9,,2,1,0Λ中任意选出4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的概率。

14. 一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率：（1）6人中至少有1人生日在10月份；（2）6人中恰有4人生日在10月份；（3）6人中恰有4人生日在同一月份；15. 从一副扑克牌（52张）任取3张（不重复），计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。

16. 假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。

17. 设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件产品中有1件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。

18. 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统I 和II 。

两种报警系统单独使用时，系统I 和II 有效的概率分别0.92和0.93，在系统I 失灵的条件下，系统II 仍有效的概率为0.85，求（1）（1）两种报警系统I 和II 都有效的概率；（2）（2）系统II 失灵而系统I 有效的概率；（3）（3）在系统II 失灵的条件下，系统I 仍有效的概率。

19. 设1)(0<<A P ，证明事件A 与B 独立的充要条件是)|()|(A B P A B P =20. 设事件A 与B 相互独立，两个事件只有A 发生的概率与只有B 发生的概率都是41，求)(A P 和)(B P .21. 证明 若)(A P >0，)(B P >0，则有（1） （1） 当A 与B 独立时，A 与B 相容；（2） （2） 当A 与B 不相容时，A 与B 不独立。

22. 已知事件C B A ,,相互独立，求证B A Y 与C 也独立。

23. 甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为0.7，0.8和0.9，求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。

24. 如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为)10(<<p p ，（称为元件的可靠性），假设各元件能否正常工作是相互独立的，计算下面各系统的可靠性。

25. 10张奖券中含有4张中奖的奖券，每人购买1张，求（1）（1）前三人中恰有一人中奖的概率；（2）（2）第二人中奖的概率。

26. 在肝癌诊断中，有一种甲胎蛋白法，用这种方法能够检查出95%的真实患者，但也有可能将10%的人误诊。

根据以往的记录，每10 000人中有4人患有肝癌，试求：（1）某人经此检验法诊断患有肝癌的概率；（2）已知某人经此检验法检验患有肝癌，而他确实是肝癌患者的概率。

27. 一大批产品的优质品率为30%，每次任取1件，连续抽取5次，计算下列事件的概率：系统I系统II（1）取到的5件产品中恰有2件是优质品；（2） 在取到的5件产品中已发现有1件是优质品，这5件中恰有2件是优质品。

28. 每箱产品有10件，其次品数从0到2是等可能的。

开箱检验时，从中任取1件，如果检验是次品，则认为该箱产品不合格而拒收。

假设由于检验有误，1件正品被误检是次品的概率是2%，1件次品被误判是正品的概率是5%，试计算：（1）抽取的1件产品为正品的概率；（2）该箱产品通过验收的概率。

29. 假设一厂家生产的仪器，以概率0.70可以直接出厂，以概率0.30需进一步调试，经调试后以概率0.80可以出厂，并以概率0.20定为不合格品不能出厂。

现该厂新生产了)2(≥n n 台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求：（1）全部能出厂的概率；（2）其中恰有2件不能出厂的概率；（3）其中至少有2件不能出厂的概率。

30. 进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为p ，试求以下事件的概率：（1）直到第r 次才成功；（2）第r 次成功之前恰失败k 次；（3）在n 次中取得)1(n r r ≤≤次成功；（4）直到第n 次才取得)1(n r r ≤≤次成功。

31. 对飞机进行3次独立射击，第一次射击命中率为0.4，第二次为0.5，第三次为0.7. 击中飞机一次而飞机被击落的概率为0.2，击中飞机二次而飞机被击落的概率为0.6，若被击中三次，则飞机必被击落。

求射击三次飞机未被击落的概率。

第二章 随机变量及其分布练习题1. 1. 设X 为随机变量，且k k X P 21)(==(Λ,2,1=k ), 则 （1）（1）判断上面的式子是否为X 的概率分布；（2）（2）若是，试求）为偶数X P (和)5(≥X P .2.设随机变量X 的概率分布为λλ-==e k C k X P k !)((Λ,2,1=k ), 且0>λ，求常数C .3. 设一次试验成功的概率为)10(<<p p ，不断进行重复试验，直到首次成功为止。

用随机变量X 表示试验的次数，求X 的概率分布。

4. 设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p =0.1，当生产过程中出现废品时立即进行调整，X 代表在两次调整之间生产的合格品数，试求（1）X 的概率分布； （2）)5(≥X P 。

5. 一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中有1个答案是正确的。

求某学生靠猜测能答对至少4道题的概率是多少？6. 为了保证设备正常工作，需要配备适当数量的维修人员。

根据经验每台设备发生故障的概率为0.01，各台设备工作情况相互独立。

（1）若由1人负责维修20台设备，求设备发生故障后不能及时维修的概率；（2）设有设备100台，1台发生故障由1人处理，问至少需配备多少维修人员，才能保证设备发生故障而不能及时维修的概率不超过0.01？7. 设随机变量X 服从参数为λ的Poisson(泊松)分布，且21)0(==X P ，求 （1）λ； （2）)1(>X P .8. 设书籍上每页的印刷错误的个数X 服从Poisson(泊松)分布。

经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率。

9. 在长度为的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数服从参数为的Poisson 分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计），求（1）某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率；（2）某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率；10. 已知X 的概率分布为：试求（1）a ； （2）12-=X Y 的概率分布。

11. 设连续型随机变量X 的概率密度曲线如图1.3.8所示.试求:（1）t 的值； （2）X 的概率密度； （3）)22(≤<-X P .12. 设连续型随机变量X 的概率密度为 ⎩⎨⎧≤≤=其他,00,sin )(a x x x f 试确定常数a 并求)6(π>X P . 13. 乘以什么常数将使x x e +-2变成概率密度函数?14. 随机变量),(~2σμN X ，其概率密度函数为644261)(+--=x x e x f π(+∞<<∞-x ) 试求2,σμ；若已知⎰⎰∞-+∞=CC dxx f dx x f )()(，求C .15. 设连续型随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其他,010,2)(x x x f 以Y 表示对X 的三次独立重复试验中“21≤X ”出现的次数，试求概率)2(=Y P . 16. 设随机变量X 服从[1,5]上的均匀分布，试求)(21x X x P <<. 如果（1）5121<<<x x ； （2）2151x x <<<.17. 设顾客排队等待服务的时间X （以分计）服从51=λ的指数分布。

某顾客等待服务，若超过10分钟，他就离开。

他一个月要去等待服务5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开的次数，试求Y 的概率分布和)1(≥Y P .18. 已知随机变量X 的概率分布为2.0)1(==X P ，3.0)2(==X P ，5.0)3(==X P ，试求X 的分布函数；)25.0(≤≤X P ；画出)(x F 的曲线。