第一章 一些基本概念
工程热力学-01 基本概念及定义
平衡状态1
p1 v1
p
p2
2
压容图 p-v图
平衡状态2
p1
1
p2 v2
O
v2
v1
v
12
1-4 状态方程式
在平衡状态下，由气态物质组成的系统，只要知道两个独立的 状态参数，系统的状态就完全确定，即所有的状态参数的数值随之 确定。这说明状态参数间存在某种确定的函数关系，状态参数之间 存在着确定的函数关系，这种函数关系就称为热力学函数。
（2）当系统处于热力学平衡状态时，只要没有外界的影响， 系统的状态就不会发生变化。
（3）整个系统可用一组具有确定数值的温度、压力及其他参
? 数来描述其状态。
10
经验表明，确定热力学系统所处平衡状态所需的独立状 态参数的数目，就等于系统和外界间进行能量传递方式的数 目。对于工程上常见的气态物质组成的系统，系统和外界间传递 的能量只限于热量和系统容积变化所作的功两种形式，因此只需 要两个独立的状态参数即可描述一个平衡状态。
3、平衡状态、稳定状态、均匀状态
（1）关于稳定状态与平衡状态
稳定状态时，状态参数虽不随时间改 变，但它是依靠外界影响来维持的。而平 衡状态是不受外界影响时，参数不随时间 变化的状态。
85℃ 20℃
90℃
15℃
铜棒
平衡必稳定，稳定未必平衡。
（2）关于均匀状态与平衡 水
质统称为外界。 通常选取工质作为热力学系统，把高温热源、低温热源
等其他物体取作外界。
3、边界 ——热力学系统和外界之间的分界面称为边界。
边界可以是固定的，也可以是移动的； 边界可以是实际的，也可以是假想的。
3
二、热力学系统的分类 依据——有无物质或能量的交换
高中物理必修一第一章知识点总结
高中物理必修一第一章知识点总结高中物理必修一第一章主要涉及到运动的研究和描述。
本章主要内容包括运动的基本概念、运动学的基本量和基本关系、匀变速直线运动以及抛体运动。
第一节：运动的基本概念运动是指物体在空间中相对于某个参考物体位置的改变。
运动的基本要素包括：物体、参考物、位置和运动的方式。
第二节：运动学的基本量和基本关系在运动学中，我们研究了描述物体运动状态的基本量，包括位移、速度和加速度。
位移表示物体从初始位置到末位置的位置变化，速度表示物体在单位时间内位移的变化量，加速度表示速度在单位时间内的变化量。
其中，位移和速度都是矢量量，方向需要明确标注，而加速度是标量量，只需正负号表明方向。
第三节：匀变速直线运动匀变速直线运动是指物体在一条直线上做匀速或变速运动。
我们通过位移、速度和时间的关系，推导出了匀变速直线运动的三个基本公式：v = v0 + at (v为末速度，v0为初速度，a为加速度，t为时间)、s = v0t + 1/2at² (s为位移)和v² = v₀² + 2as (v为末速度，v0为初速度，a为加速度，s为位移)。
这些公式可以用于求解匀变速直线运动中的各种问题。
第四节：抛体运动抛体运动是指物体在重力作用下，同时具有水平匀速运动和竖直自由落体运动的运动。
我们可以将抛体运动分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动。
通过对水平方向和竖直方向的运动进行分析，我们可以得到抛体运动的各种性质和规律。
其中，抛体运动的水平方向速度恒定，竖直方向速度随时间变化，位移和速度的关系分别用二维曲线和两个分量表示。
在学习这些知识点的过程中，我们还应该掌握一些基本的学习方法和技巧。
首先，要重视基本概念的理解，建立正确的思维模型。
其次，要掌握数学工具的使用，特别是代数运算和方程的解法。
此外，要注重实例分析和问题解决的能力培养，尤其是对于运动学中的实际问题要有一定的分析和推理能力。
大一高数笔记第一章知识点
大一高数笔记第一章知识点在大一的高数课程中，第一章通常是引入微积分的基本概念和方法。
这一章的知识点对于整个高数学习过程非常重要，因此在这里我将分享一些我认为最关键的内容。
一、函数的概念和性质函数是数学中一个非常基本的概念。
在第一章中，我们首先学习了函数的定义和性质。
函数描述了一种变量之间的关系，通常用一个字母来表示，例如f(x)。
函数可以有不同的表示形式，比如显式表达式、隐式表达式和参数方程等。
函数的性质有很多，其中最重要的是定义域、值域和图像。
定义域是指函数可取的自变量的值的范围，值域是指函数的所有可能的取值，而图像是函数在坐标系上的表示。
理解了这些性质，我们就可以更好地掌握函数的本质和特点。
二、数列的概念和分类数列是函数的一种特殊形式，它描述了一系列数字的排列。
数列也有不同的分类，最常见的是等差数列和等比数列。
等差数列是指每一项与前一项的差值都相等的数列，这个差值称为公差。
用数学符号表示，可以写作a1, a2, a3, …, an，其中an= a1 + (n-1)d。
等比数列则是指每一项与前一项的比值都相等的数列，这个比值称为公比。
用数学符号表示，可以写作a1, a2, a3, …, an，其中an = a1 * r^(n-1)。
掌握了这两种数列的性质和求和公式，我们可以更好地解决实际问题中的数学计算。
三、极限的定义和性质极限是微积分中的核心概念，也是我们学习高数的重要环节。
在第一章中，我们首次接触了极限的概念和相关的性质。
极限描述了函数在无限接近某一点时的行为。
一个函数f(x)在x趋近某一值a时，如果当x无限接近a时，f(x)无限接近一个确定的值L，那么我们说函数f(x)在x趋近a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x) = L。
在计算极限时，我们要关注函数的局部行为和整体趋势。
常见的极限计算方法有代数运算法、夹逼法和无穷小量法等。
掌握这些计算方法，对于我们理解函数的性质和推导数学公式非常有帮助。
信号与系统基本概念
(1)
o t0
t
(t)(t
t0 )dt 0, (t
1 t0 )
31
冲激函数的性质
为了信号分析的需要，人们构造了 t 函数，它属于广 义函数。就时间 t 而言， t 可以当作时域连续信号处
理，因为它符合时域连续信号运算的某些规则。但由于
t 是一个广义函数，它有一些特殊的性质。
1．抽样性 2．奇偶性
41
系统方框图（基本元件）
1.加法器 e1t
r t
e1t r t
2.乘法器
e2 t e1 t
e2 t
e2t rt e1t e2 t
r t
rt e1t e2 t
3.微分器
et
d
r t
d
rt de(t)
dt
4.积分器
et
rt
t
r(t) e( )d
42
§1.6 线性时不变系统
线性系统与非线性系统
线性系统：指具有线性特性的系统。
线性:指均匀性，叠加性。
均匀性(齐次性)：
et rt ket krt
叠加性：
e1(t ) e2 (t )
r1 r2
(t) (t )
e1(t )
e2
(t)
r1(t )
r2
(t
)
43
判断方法
先线性运算，再经系统＝先经系统，再线性运算
若 HC1 f1t C2 f2t C1H f1t C2H f2t
(t)具有筛选f (t)在t 0处函数值的性质 (t t0 )具有筛选f (t)在t t0处函数值的性质 33
奇偶性
(t) (t)
•由定义2，矩形脉冲本身是偶函数，故极限
第二次课 第一章 基本概念
无温差－热的平衡 热力平衡状态 无压差－力的平衡 化学平衡 平衡的本质：不存在不平衡势差 为什么要引入平衡概念？？ 如果系统平衡，可用一组确切的参数（压力 p，温度T）来描述
Ï思考题
1）平衡状态与均匀状态之间的关系？
平衡状态是相对时间而言的 均匀状态是相对空间而言的
— 平衡可不均匀 均匀并非系统处于平衡状态的必须条件
吸气 工作物质：
压缩
燃烧、 膨胀
排气
高温燃气 能量转换： 燃料化学能 燃气热能 排入大气 机械能
2）涡扇发动机
压缩
燃烧
膨胀
排气
工作物质： 高温燃气
3）蒸汽轮机
锅炉：燃烧，形成过热蒸汽，化学能转换为热能 汽轮机：膨胀，对外做功，热能转换为机械能 冷凝器：乏汽对环境放热，冷凝为水 水泵：对水进行加压，送入锅炉
mc BT 2
2
3 B k 2
k 为波尔兹曼常数 c 为分子移动的均方根速度
c) 温标： 温度的数值表示法。 建立温标的三个要素： ① 选择温度的固定点，规定其数值； ② 确定温度标尺的分度方法和单位； ③ 选择某随温度变化的物性作为温度测量的 依据。
摄氏温标: 瑞典天文 学 家 摄尔 修斯 （ Celsius ） 于 1742 年 建 立 。用 摄 氏 温 标 确 定的 温度 称 为 摄 氏 温度 ，用 符号t 表示，单位为℃ 。 在标准大气压下，纯水的冰点温度为0 ℃ ，纯 水的沸点温度为100 ℃，纯水的三相点（固、液、 汽三相平衡共存的状态点）温度为0.01℃ 。 选 择 水 银 的 体 积 作 为 温度 测 量的 物性 ， 认 为 其 随温度线性变化，并将0 ℃ 和100 ℃温度下的体积 差均分100份，每份对应1 ℃。
对工质的要求: 1）膨胀性 2）流动性 3）热容量 4）稳定性，安全性 5）对环境友善 6）价廉，易大量获取 例如：空气、燃气、水蒸气、氨蒸气等。 物质三态中 气态最适宜。
高一化学各章知识点
高一化学各章知识点第一章：化学基本概念和基本量化学是一门研究物质组成、性质、结构、变化以及变化规律的科学。
在化学中，有一些基本概念和基本量是我们必须要了解的。
1.1 基本概念1.1.1 物质物质是组成一切物体的基本单位，可以分为元素和化合物两种。
元素是由一种原子组成的物质，化合物则是由两种或以上元素组成的。
1.1.2 基本粒子基本粒子包括原子、分子和离子。
原子是物质的最小单元，分子由两个或以上原子通过化学键连接而成，离子是原子或分子失去或获取电子后带电的粒子。
1.1.3 混合物混合物是由两种或以上不同物质按一定比例混合而成的。
混合物可以分为均相混合物和非均相混合物两种。
1.1.4 物理变化和化学变化物理变化是指物质在不改变组成的情况下的变化，如物态的改变、溶解等。
化学变化则是指物质发生化学反应，产生新物质的变化。
1.2 基本量1.2.1 物质的量物质的量是表示物质中含有的基本粒子数目的量，用摩尔（mol）来表示。
摩尔与物质的质量之间的关系可以用摩尔质量来表示。
1.2.2 物质的质量物质的质量是指物质所含有的质量，用克（g）来表示。
不同的物质在量上可以通过计量它们的质量来比较。
1.2.3 摩尔质量摩尔质量是指1摩尔某物质所含有的质量，用克/摩尔（g/mol）来表示。
摩尔质量可以通过元素的相对原子质量或者化合物的相对分子质量来计算。
第二章：原子结构和元素周期律原子结构和元素周期律是理解化学的重要基础。
了解原子的结构以及元素周期表是非常重要的。
2.1 原子结构原子由原子核和电子组成。
原子核由质子和中子组成，电子绕着原子核的轨道运动。
原子核带正电，电子带负电，整体上带电中性。
2.1.1 质子质子是原子核中带正电的粒子，其电荷量为+1。
质子的质量约为1.673 × 10^-27 kg。
2.1.2 中子中子是原子核中质量接近质子的粒子，其电荷为中性。
中子的质量约为1.675 × 10^-27 kg。
工程热力学 第一章 基本概念
位能
（广）
热力学能（广） 摩尔数 （广）
基本热力学参数
温度的热力学定义
温度T 的一般定义
传统：冷热程度的度量。感觉，导热，热容量 微观：衡量分子平均动能的量度
T 0.5 m w 2
热力学第零定律
热力学第零定律（R.W. Fowler）
如果两个系统分别与第三个系统处于 热平衡，则两个系统彼此必然处于热平衡。
恢复平衡所需时间 （驰豫时间）
一般的工程过程都可认为是准静态过程 具体工程问题具体分析。“突然”“缓慢”
准静态过程的容积变化功
以汽缸中mkg工质为系统 初始：pA = p外A +f dl 很小，近似认为 p 不变 如果 p外微小 可视为准静态过程 mkg工质发生容积变 A f 化对外界作的功
z z xy yx
2 2
可判断是否 是状态参数
(3）常用的状态参数有:
压力P、温度T、体积V、热力学能U、 焓H和熵S，其中压力、温度和体积可直 接用仪器测量，称为基本状态参数。其 余状态参数可根据基本状态参数间接算 得。
(4）状态参数有强度量与广延量之分：
强度参数：与物质的量无关的参数
第一章
基本概念
本章基本要求：
掌握工程热力学中一些基本术语和概念：热力系、
平衡态、准平衡过程、可逆过程等。
掌握状态参数的特征，基本状态参数p、v、T 的
定义和单位等。掌握热量和功量这些过程量的特
征，并会用系统的状态参数对可逆过程的热量、 功量进行计算。
了解工程热力学分析问题的特点、方法和步骤。
当h变化大，ρ ρ(h)
p (h) gdh
压力的单位
国际标准单位：帕斯卡(简称帕)
初一上册第1章总结知识点
初一上册第1章总结知识点
本章主要介绍了科学与科学实践的基本概念，包括科学的概念、科学实践的基本特点、科
学研究的基本方法等内容。
通过本章的学习，使同学们对科学有了更深入的了解，对科学
实践有了更清晰的认识，为以后更好地学习科学知识、进行科学实践打下了良好的基础。
1.1 科学的概念
科学是一种寻求真理的理性活动。
它是通过实践活动对客观世界进行观察、实验和理论构建，从而揭示客观规律和规律性的认识活动。
科学的产生和发展是人们认识世界、改造世
界的重要手段。
科学是寻求真理的过程，它包括了对现象、规律、机理、方法等方面的认识。
1.2 科学实践的基本特点
科学实践是验证科学理论的最终标准。
科学实践的基本特点包括：客观性、系统性、可验
证性、可预测性、可控制性和可重复性等。
这些特点是科学实践持续发展和提高科学认识
水平的重要保证。
1.3 科学研究的基本方法
科学研究的基本方法包括了实验、观察、模型建立、推理等。
其中，实验是科学研究中最
重要的手段之一，它是对自然界进行人为干预的过程，是获取科学知识的有效途径。
总之，初一上册第一章的内容涉及了科学概念、科学实践的基本特点以及科学研究的基本
方法等方面，对学生们初步了解科学、认识科学研究方法和发展规律，打下了良好的基础。
希望同学们能够在以后的学习中不断提高科学素养，树立正确的科学观，自觉尊重科学、
学习科学、使用科学，不断完善自己，为将来成为全面发展的社会主义建设者和接班人做
好准备。
高等代数教(学)案第一章基本概念
第一章基本概念一 综述 1．本章是本门课程所需要的最基本概念（集合、映射、整数的一些性质、数环和数域）和方法（数学归纳法、反证法）.所需位置不同,可根据课时安排及进度分散处理.如集合、整数的一些整除性质、数学归纳法、数环和数域可先讲,映射可放在线性空间前讲.2．从内容上讲,除集合中的卡氏积的概念及数环、数域的概念外,其它内容是学生在中学数学当中熟知的,只不过是将有关内容的系统化、理论化（如整数的整除性、映射、数学归纳法,其在中学中熟知其一些事实,今在理论上加以严密论证）.3．新的知识点是集合的卡氏积、数环、数域的概念,数学归纳法作为定理的论证.4．学习本部分的难点是：从概念出发进行推理论证,这需要从具体例子引导训练,逐步培养.二 重点、难点1. 重点在于所有基本概念,特别是引入的新概念.2. 难点是可逆映射、整数的整除性、数学归纳法本身的证明.1．1 集 合一 教学思考1．集合可以作为不定义的概念来处理,有些教材上给出了一个简单刻化.2．确定一个集合A,就是要确定哪些是集合的元素,哪些不是集合的元素.说明一个集合包含哪些元素时,常用“列举法”、“示性法”（描述法）.3．中学代数大部分的内容是计算,因此一开始遇到证明题时,往往不知从何入手,此需注意培养学生的推理能力,这里应通过证明“集合相等”来加强这方面的训练.4．为稍拓宽知识,可讲解一下补集、幂集等概念.二 重点、要求1．重点、难点：卡氏积的概念及从概念出发（集合相等、子集等）进行推理.2．要求：使学生了解有关集合的刻化及运算,培养推理能力.三 教学过程1．集合：简称集,在此是一个不定义的原始概念,通常可给出如下描述性的解释：即所谓集合,是指由某些确定的事物（或具有某种性质的事物）组成的集体.其中每个事物称为这个集合的元素. 常用大写字母A 、B 、C K 表示集合,用小写字母a 、b 、c K 表示集合的元素.若a 是集合A 的元素,就说a 属于A,记作A a ∈,或者说A 包含a.若a 不是集合A 的元素,就说a 不属于A,记作a ∉A,或者说A 不包含a.常采用两种方法：（1）列举法：列出集合的所有元素（包括利用一定的规律列出无限集）的方法.如{}K ,3,2,1=A . （2）示性法（描述法）：给出集合所具有的特征性质.如{}043|2=-+=x x x B 表示方程0432=-+x x 的解集.2．集合的分类（按所含元素的个数分）：有限集：只含有有限多个元素的集合.无限集：由无限多个元素组成的集合.空集：不含任何元素的集合.用Φ表示.约定：Φ是任何集合的子集.3．集合间的关系：（1） 设A 、B 是两个集合.子集：若A 的每个元素都是B 的元素,则称A 是B 的子集.（即若""B x A x ∈⇒∈∀）.记作B A ⊆（读作A 属于B ）；或者A B ⊇（读作B 包含A ）.相等：若集合A 和B 是由完全相同的元素组成的,则称A 与B 相等,记为A=B.（2）性质：（由定义易得）A ）A A ⊆；（反身性）B ）若C A C B B A ⊆⇒⊆⊆,；（传递性）C ）B A ⊆且A B ⊆⇒A=B.（反对称性）4．几个常用的数集（略）5．集合的运算（由两个集合得到一个新的集合）——交、并、补、卡氏积：设A 、B 是两个集合（1）并：由A 的一切元素和B 的一切元素组成的集合叫做A 与B 的并集,简称并.记作B A Y .即{}B x A x x B A ∈∈=或,|Y .（2）交：由集合A 与B 的公共元素组成的集合,叫做A 与B 的交集,简称交.记作B A I .即{}B x A x x B A ∈∈=但,|I . （3）余（差、补）：由一切属于A 而不属于B 的元素组成的集合,叫做B 在A 中的余（补）集,或称为A 与B 的差集.记作A-B.即{}B x A x x B A ∉∈=-,|.（4）积（卡氏积）：由一切元素对),(b a 所成的集合称为A 与B 的笛卡儿积（简称为积）.其中第一个位置的元素取自A,第二个位置的元素取自B.记为B A ⨯.即{}B b A a b a B A ∈∈=⨯,|),(.1．2 映 射一 教学思考 1．映射是近代数学中的一个基本概念.为使本部分内容更加系统化,可作必要的调整及层次化,按映射的概念（包括相等）及例子、映射的合成、几种特殊的映射来处理.2．概念多且成系列,注意 帮助学生弄清概念的实质（包括概念的转述、注释、否定概念的描述、以及新概念与已有概念的联系,如映射的合成是函数与函数的合成的概念的推广）,注意训练从定义验证有关问题（给定一个法则是否为映射、分辨一个映射是不是单射、满射、可逆映射）的方法,语言要准确、清楚、有条理.同时初步领会怎样举例——包括正例和反例（内容与作业中皆有此问题）.二 内容、重点、要求1． 内容：映射、单、满、双（可逆）映射的概念、映射的合成等.2． 重点：映射及有关概念,举例及由定义验证有关问题的方法.3． 要求：理解并记住上述概念,学会举例与用定义的条件进行验证问题的方法.三 教学过程1．概念与例子定义1. 设A 、B 是两个非空集合,A 到B 的一个映射指的是一个对应法则,通过这个法则,对于,x A y B ∀∈∃∈与它唯一对应.例子：（1）对,,Z n Z ∈∀令n n f 2)(=.（2）{}2)(,.0|,x x f R x x x B R A =∈∀≥==. （3）{}14,43,32,21:.,4,3,2,1ααααf B A ==. （4）*设A 是任一集合,对x x f A x =∈∀)(,. 这是A 到自身的一个映射（称为A 的变换）,称为恒等映射（此为恒等变换）,记为A j .定义2. 设B A g B A f →→:,:都是A 到B 的映射,若对,A x ∈∀都有)()(x g x f =,则称映射f 与g 相等,记为g f =. 如：2,:;,:x x R R g x x R R f αα→→.有g f =.2．映射的合成（1）定义3. 设C B g B A f →→:,:是两个映射,对A x ∈∀,有B x f ∈)(,从而C x f g ∈))((,这样,对,A x ∈∀就有C 中唯一的))((x f g 与之对应,就得到A 到C 的一个映射,这个映射是由:f A B →和C B g →:所决定的,称为f 与g 的合成.记作f g ο.即：))((,:x f g x C A f g αο→.例子：x x R R g x x R R f sin ,:;,:2αα→→ .则x x R R g f x x R R f g 22sin ,:;sin ,:αοαο→→.（2）映射合成满足结合律：设,:,:,:D C h C B g B A f →→→则由合成映射的定义可得D A →的两个映射：f g h f g h οοοο)(),(,则f g h f g h οοοο)()(=.3．几类特殊映射定义4. 设,:B A f →对,A x ∈∀有B x f ∈)(,则所有这样的象所作成B 的子集,用)(A f 表示,即{}A x x f A f ∈=|)()(,叫做A 在f 下的象,或叫做映射f 的象.（1）满射: 定义5. 设B A f →:是一映射,若B A f =)(,则称f 是A 到B 上的一个映射,也称f 是一个满射.（2）单射: 定义6. 设B A f →:是一个映射,若对A x x ∈∀21,,只要21x x ≠,就有)()(21x f x f ≠,则称f 是A 到B 的一个单射,简称单射.（3）双射（1-1对应）:定义7. 若B A f →:既是单射又是满射,即1）若 A x x x x x f x f ∈∀=⇒=212121,,)()(；2）B A f =)(.则称f 是A 到B 的一个双射.特别若f 是A 到A 上的一个1-1对应,就称f 为A 的一个一一变换；有限集A 到自身的双射称为A 的一个置换.如：A j 是A 的一个一一变换,同样B j 是B 的一个一一变换.由映射合成及相等：若:f A B →,则有,A B f j f j f f ==o o .TH1.2.1令:f A B →是一个映射,则：下述两条等价：1）f 是双射；2）存在:g B A →使得,A B g f j f g j ==o o .且2）成立时,其中的g 由f 唯一决定.（4）可逆映射及其逆映射定义8. 设:f A B →,若存在:g B A →,使得,A B g f j f g j ==o o ,则称f 是可逆映射,且称g 为f 的逆映射.求其逆的方法由定理知：:f A B →可逆⇔f 是双射.而验证双射有具体方法,所以可先证f 可逆（双射）,再求其逆.而由TH1证知f 可逆时其逆唯一为:,g B A y x →a （若())f x y =（即对y B ∈,找在f 下的原象）.（5）代数运算引例：我们常说整数加法是整数的一个“代数运算”.其意思是说对任一对整数(,)a b ,有确定的唯一一个整数（通过相加）与之对应,用映射的观点来说整数加法是Z Z Z ⨯→的一个映射：:(,)a b a b ++a .同样实数乘法亦然.一般地：定义9. 设A 是一个非空集合,我们把A A A ⨯→的一个映射叫做集合A 的一个代数运算.若集合A 有代数运算σ,也说A 对σ封闭.1.3 数学归纳法一 教学思考1. 本节主要介绍了数学证明中的一种非常重要的方法——数学归纳法；对于该内容学生不感陌生,因在中学内容中曾会应用.问题在于数学归纳法自身的理论证明,为此需要一个原理——（自然数集的）最小数原理.2. 本节主要讲清最小数原理（给出分析证明及必要的说明）,以及在此基础上的数学归纳法的证明.但更重要的是归纳法的解释——从特殊认识一般的思想方法,及数学归纳法应用中的关键（第二步）的突破.二 内容、重点、要求1. 内容：最小数原理、数学归纳法（第一、第二）.2. 重点：数学归纳法的证明、应用,归纳思想的建立.3. 要求：了解最小数原理、理解数学归纳法的证明、掌握数学归纳法的应用.三 教学过程引言：现实生活中经常使用这种方法：即首先考察、研究某些个别特殊的事物,再由这些事物总结和抽象出带有一般性规律和结论.这样的方法叫归纳法.1. 数学归纳法的基础——自然数集的一个基本性质：最小数原理最小数原理：自然数集N *的任一非空子集S 必含有一个最小数,即a S ∃∈,对,c S ∀∈都有a c ≤. 2. 数学归纳法TH1.3.1（第一数学归纳法）设有一个与自然数n 有关的命题()P n ,若满足下列两条：1）当1n =时()P n 成立；2）假设n k =时成立,则当1n k =+时也成立.则命题()P n 对于一切自然数n 都成立.TH1.3.2（第二数学归纳法原理）设有一个与自然数n 有关的命题()P n ,若满足下列两条：1）当1n =时()P n 成立；2）假设命题对于一切小于k 的自然数都成立时,命题对于k 也成立.则命题()P n 对于一切自然数n 都成立.1.4 整数的一些整除性质一 教学思考1. 整数的性质是学生熟知的,本节只是将其系统化、理论化.主要从整除的定义、性质、带余除法,最大公因数及性质,互素三方面作了介绍.新的问题是有些概念较之在中学的概念有所区别,理论证明中运用最小数原理还不适应.2. 本节的目的主要为在多项式部分有与之平行的内容,助于学生对多项式类似内容的理解.作为自身的内容,需要将该部分层次化得清晰些.二 内容、重难点、要求1. 内容：整数的整除性、带余除法、最大公因数及性质、互素.2. 重难点：带余除法、最大公因数的性质定理的证明.3. 要求：掌握有关概念、证明整除的方法、反证法的运用.三 教学过程引言: 整除是研究整数性质的最基本的概念,从这个基本概念出发引进带余除法和辗转相除法,然后利用这两个工具建立了最大公因数（和最小公倍数）的理论（进一步证明了非常有用的算术基本定理）,这些都是初等数论的基本内容.注意：本节所述的概念在小学、中学是熟知的事实,但未加以严格的叙述,因而不要盲目地相当然,要从中体会严格的推理论述.此与多项式相应的问题平行,到时应对照学习.1. 整除、带余除法（1）整除A ）定义1. 设,a b Z ∈,若d Z ∃∈使得b ad =,则称a 整除b （或b 被a 整除）.用符号|a b 表示.这时a 叫做b 的一个因数,而b 叫做a 的一个倍数.若a 不整除b （即对,d Z ad b ∀∈≠）,记作|a b .B ）整除的性质：1）|,||a b b c a c ⇒； （传递性）2）|,||();a b a c a b c ⇒+3）|,|a b c Z a bc ∀∈⇒；4）由2）、3）|,,1,2,3,,|i i i i a b c Z i n a b c ∀∈=⇒∑L ；5）1|,|0,|()a a a a a Z ±±∀∈；由此任意整数a 有因数1,a ±±,它们称为a 的平凡因数；6）若||a b a b ⇒±±；7）|a b 且|b a a b ⇒=或a b =-.（对称性）(2) 带余除法“整除”是整数间的一种关系,任意两个整数可能有这种关系,可能没有这种关系,一般地有： TH1.4.1(带余除法) 设,a b Z ∈,且0a ≠；那么,q r Z ∃∈使得b aq r =+ 且0r a ≤≤.满足上述条件的,q r 是唯一的.2. 最大公因数、互素（1）最大公因数A ）定义2. 设,,a b Z d Z ∈∈,若d 满足：1）|d a 且|d b （即d 是a 与b 的一个公因数）；2）若c Z ∈且|,||c a c b c d ⇒（即d 能被a 与b 的任一个公因数整除）.则称d 为a 与b 的一个最大公因数. 最大公因数的概念可推广至有限个整数.B ）最大公因数的存在性（及求法）TH1.4.2 任意n (2)n ≥个整数12,,,n a a a L 都有最大公因数；若d 为12,,,n a a a L 的一个最大公因数,则d -也是；12,,,n a a a L 的两个最大公因数至多相差一个符号.C ）性质TH1.4.3 设d 为12,,,n a a a L 的一个最大公因数,那么12,,,n t t t Z ∃∈L 使得1122n n d t a t a t a =+++L .略证：若120n a a a ====L ,则0d =,从而对i t Z ∀∈都有11220n n t a t a t a =+++L ；若i a 不全为0,由证明过程知结论成立.（2）互素定义3. 设,a b Z ∈,若(,)1a b =,则称,a b 互素；一般地设12,,,n a a a Z ∈L ,若12(,,,)1n a a a =L ,则称12,,,n a a a L 互素.TH1.4.4 n 个整数12,,,n a a a L 互素12,,,n t t t Z ⇔∃∈L 使得11221n n t a t a t a +++=L .3. 素数及其性质（1）定义4. 一个正整数1p >叫做一个素数,若除1,p ±±外没有其他因数.（2）性质1）若p 是一个素数,则对a Z ∀∈有(,)a p p =或(,)1a p =.（注意转换为语言叙述,证易；略）2）a Z ∀∈且0,1a ≠±；则a 可被某一素数整除.3）TH1.4.5 设p 是一个素数,,a b Z ∈,若|p ab ,则|p a 或|p b .1．5 数环和数域一 教学思考1. 数环、数域是本章引入的两个新概念,其是鉴于很多数学问题不仅与所讨论的范围（数集）有关,而且与数集所满足的运算有关.也就是说需论及所具有的运算.为体现这个问题,引入了数环、数域的概念.2. 数环、数域简而言之是分别关于加、减、乘和加、减、乘、除封闭的非空数集,这可知之联系与区别,且由于对于不同的运算的封闭性,可讨论各自具有的简单性质.3. 本节内容简洁,不难理解,需要注意的是：一、“任意数域都包含有理数域”的证法——归谬法；二、给定一个数集验证是否是数环、数域；三、关于数环、数域的深入的问题——因数环、数域都是数集,而集合有所谓的运算：交、并,那么问题是数环、数域的交、并是否仍是之？从中体会“从定义出发加以验证”以及举例证明的方法.二 教学过程1. 概念定义1. 设S C ⊆且S ≠Φ,若对,a b S ∀∈都有,,a b a b ab S +-∈,则称S 是一个数环.定义2. 设F 是一个数环,若1）F 含有一个非0数；2）若,a b F ∈且0b ≠,则a Fb ∈.则称F 是一个数域.例子：1）整数集为数环,有理数集、实数集、复数集为数域.2）取定a Z ∈,令{}|S na n Z =∈,S 为数环.3）{}2|,,1S a bi a b Z i =+∈=- 是数环.4）{},F a a b Q =+∈ 是数域.2. 性质1）设S 是一个数环,则0S ∈.2）设F 是一个数域,则0,1F ∈.3）有理数域是最小的数域（在集合包含意义下）TH1.5.1 任何数域都包含有理数域Q .。
高一数学必修1 数学。第一章。完整知识点梳理大全(最全)
高一数学必修1 数学。
第一章。
完整知识点梳理大全(最全)集合与函数概念集合是数学中的基本概念之一，它包含了一些确定性、互异性和无序性的元素。
常见的数集有自然数集、正整数集、整数集、有理数集和实数集等。
集合中的元素与集合之间存在着一些关系，例如一个元素属于一个集合，可以表示为a∈M，而不属于则表示为a∉M。
集合的表示方法有自然语言法、列举法、描述法和图示法等。
其中，描述法是通过{x|x具有的性质}来表示集合，而图示法则是用数轴或XXX来表示集合。
集合还可以分为有限集、无限集和空集。
空集是不含有任何元素的集合，记为∅。
集合间的基本关系有子集、真子集和集合相等等。
子集指一个集合中的所有元素都属于另一个集合，而真子集则是指一个集合是另一个集合的子集，但不等于该集合。
如果两个集合中的元素完全相同，则它们是相等的。
集合的基本运算有交集、并集和补集等。
交集是指两个集合中共同存在的元素所组成的集合，而并集则是指两个集合中所有的元素所组成的集合。
补集是指一个集合中不属于另一个集合的所有元素所组成的集合。
最后，含有绝对值的不等式和一元二次不等式的解法也是数学中的重要知识点。
对于含有绝对值的不等式，可以通过分情况讨论来求解。
而对于一元二次不等式，则可以通过求解二次函数的根来确定其解集。
x|>a (a>0)x|c (c>0)XXX:x|-a<x<a}x|xa}We can treat ax+b as a whole and transform it into the form of |x|a (a>0) XXX.Summary of Knowledge Points in Chapter 1 of High School Mathematics2.Solving Quadratic InequalitiesDiscriminantΔ>0Δ=b-4acQuadratic ny=ax^2+bx+c (a>0) Δ=Δ<0XXXax^2+bx+c=0 (a>0) Ox=(-b±√Δ)/(2a)1,2where x1<x2)x|xx2}x|x1<x<x2}x1=x2=-b/2an of No Real Root ax^2+bx+c>0 (a>0) n setx|x≠-b/2a}Rax^2+bx+c0)n set1.2 n and Its XXX1.2.1 Concept of n1.A n is a correspondence een two non-empty sets A and B。
第一章 热力学基本概念
工程热力学与传热学第一章基本概念典型问题分析典型问题一.基本概念分析1闭口系统具有恒定的质量，但具有恒定质量的系统不一定就是闭口系统。
2孤立系统一定是闭口的，反之则不然。
3孤立系统一定是绝热系统，但绝热系统不一定都是孤立的。
4孤立系统的热力学状态不能发生变化。
5平衡状态的系统不一定是均匀的，均匀系统则一定处于平衡状态。
6摄氏温度的零点相当于热力学温度的273.15K。
7只有绝对压力才能表示工质所处的状态，才是状态参数。
8只有平衡状态，才能用状态参数坐标图上的一点来表示。
9非平衡状态，因为没有确定的状态参数，无法在状态参数坐标图中表示。
10不平衡过程，一定是不可逆过程；11不可逆过程就是指工质不能恢复原来状态的过程；12一个可逆过程必须同时也是一个准平衡过程，但准平衡过程不一定是可逆的。
13实际过程都是不可逆过程。
14功可以全部转变为热，但热不能全部转变为热15质量相同的物体A和B，若T A >T B，则物体A具有的热量比物体B多。
二.计算题分析1测得容器内气体的表压力为0.25MPa，当地大气压为755mmHg，求容器内气体的绝对压力p，并分别用（1）MPa（兆帕）；（2）bar（巴）；（3）atm（物理大气压）；（4）at（工程大气压）表示。
2某种气体工质从状态1（p1，V1）可逆地膨胀到状态2。
膨胀过程中：（1）工质的压力服从p=a-bV，其中a，b为常数；（2）工质的pV保持恒定为p1V1。
试分别求两过程中气体的膨胀功。
3利用体积为2m3的储气罐中的压缩空气给气球充气，开始时气球内完全没有气体，呈扁平状，可忽略其内部容积。
设气球弹力可忽略不计，充气过程中气体温度维持不变，大气压力为0.9 ╳105Pa。
为使气球充到2m3，问气罐内气体最低初压力及气体所作的功是多少？已知空气满足状态方程式pV=mR g T。
分析解答一. 基本概念分析解答1 √；2 √；3 √；4 ╳；5 √；6 √；7 √；8 √；9 √；10 √；11 ╳；12 √；13 √；14 ╳；15 ╳；二. 计算题分析解答1 解：依据： Pa Pa Pa p Pa mmHg p p p b e 66107305.04322.1337551025.04332.1331,⨯=⨯+⨯==+=单位换算：at Pa Pa atm PaPa bar Pa Pa MPa PaPa 7575.35.06698107305.0)4(7460.3325101107305.0)3(057.310107305.0)2(7305.010107305.01665666=⨯=⨯=⨯=⨯）（ 2 解：过程为可逆过程： 1211212121212221122121ln )2()(2)()(1V V V p V dV pV pdV W V V b V V a dV bV a pdV W ===---=-==⎰⎰⎰⎰--）（ 分析：在上述两过程中，系统的初，终态相同，但中间途径不同，因而气体的膨胀功也不同。
第一章 逻辑学的基本概念
指出下列命题的主项、谓项、联项和量项及其逻辑形式。
1. 一切交通事故都是违章造成的。 2. 所有运动于万里高空轨道上的人造卫星都是巨资
打造的精密设备。 3. 富裕、有声望的家庭中有的人不是富足或显赫的
人。 4. 有些公认的大艺术家的画作不是已被或应被收藏
在博物馆中以供大众欣赏的精品。 5. 所有不可靠的驾车人都是威胁乘客生命的人。 6. 有以往从未做过一官半职的人在我们今天的政府
阿伦佐、库特、鲁道夫和威拉德是四个天资极高的创 造性地艺术家。一个是舞蹈家，一个是画家，一个是 歌唱家，一个是作家，但不必是这个次序。 ① 那天晚上歌唱家在音乐会舞台上进行他的首次演出 时，阿伦佐和鲁道夫在观众席上。 ② 库特和作家两人有画家为他们画的生活肖像。 ③ 作家正准备写一本阿伦佐的传记，他写的威拉德的 传记是畅销书。 ④ 阿伦佐从未听说过鲁道夫。 请问：每个人的艺术领域分别是什么？
（四）归纳逻辑
“所有的天鹅都是白的” “太阳每天都从东方升起”
（五）变异逻辑、扩充逻辑和元逻辑 （六）现代逻辑学的主要分支
对下列命题进行分析：
1. 拉登是基地组织领导人并且张三在操场上跑步。 2. X+2=0，当且仅当x=-2。 3. 不是所有的奶粉都含有三聚氰胺。 4. 国庆节所有学生都放假。 5. 首都博物馆里有些艺术品价值连城。 6. 大部分天才都不能被同时代人所理解。 7. 罗素不是一位小说家。
舞蹈家 阿伦佐
库特 鲁道夫 威拉德
画家
歌唱家
作家
O×
4. 在小杨、小方和小孙三个人中，一位是经理、一位是教 师，一位是医生。已知： ① 小孙比医生年龄大。 ② 小杨和教师不同岁。 ③ 教师比小方年龄小。 请问：每个人的职业分别是什么？
化学的一些基本概念和定律汇总
化学的一些基本概念
国际单位制和摩尔 重要气体定律
分子（molecule)：保持物质化学性质的最小微粒。 •原子(atom)：进行化学反应的基本微粒。 •元素(element)：相同核电荷数（质子数）的一类原子 的总称。
第一节 基本概念
•核素(nuclide)：一定质子数和中子数的一种原子。
=m/V
M
RT
p
pM = RT
有关气体体积的化学计算
例:为了行车的 安全，可在汽 车中装备上空 气袋，防止碰 撞时司机受到 伤害。这种空 气袋是用氮气 充胀起来 的，所用的氮气是由叠氮化钠与三氧化二铁 在火花的引发下反应生成的。总反应是：
6NaN3+Fe2O3(s) 3Na2O(s)+2Fe(s)+9N2(g)
(97.8 2.20)kPa 4.16L n(N2)= -1 -1 8.314J K mol 292K
相对分子量：组成分子的各原子相对原子量 之和。
第二节 国际单位
国际单位：m
s Kg mol A K cd 国际单位制包括基本单位、导出单位、 词头单位 • 小化词头：d c m m n p • 大化词头：da b K M G T
第三节 气 体
§3.1 理想气体状态方程式
§3.2 混合气体的分压定律
p nRT V
分压的求解：
n B RT pB V
nRT p V
pB nB xB p n nB pB p xB p n
x B B的摩尔分数
例题 某容器中含有NH3、O2 、N2等气体 的 混 合 物 。 取 样 分 析 后 ， 其 中 n（NH3） =0.320mol，n（O2）=0.180mol，n（N2） =0.700mol。混合气体的总压 p=133.0kPa。试 计算各组分气体的分压。 解：n= n（NH3）+n（O2）+n（N2） =0.320mol+0.180mol+0.700mol =1.200mol
吴喜之-统计学基本概念和方法-第一章
布理论（均匀分布）、推断理论（以样本推总体）。
你相信统计结果吗？
数据可以有误或作假 统计方法（有意或无意）使用不当可以误导。有低
级误导和高级误导。 常识判断和直觉是重要的
统计可应用于各个不同学科，在有些学科已经有其 特有的方法和特点；如生物统计(biostatistics)、 经济计量学(econometrics)以及目前很热门的生物 信息(bioinformation)和数据挖掘(Data Mining) 的方法主体都是统计
统计的一些例子
一些例子
大家经常在报刊杂志上看到类似的报道：通用汽车37%的销售额来源于 北美以外；我国失业率下降到25年来的最低点4%；上得到的结果是：包含“旅游管理”这一词汇的网页高达25,500,000 项，包含“公共事业管理”这一词汇的网页有100,000,000项。 －－以上数据实际上都是通过数据收集，统计得来的。
根据统计学研究方法和统计方法的应用范围不同，统计学 分为理论统计学和应用统计学。
理论统计学主要研究统计学的基本原理和基本方法，研究 如何将数学原理和计算机技术应用于统计学，发展出新的 统计学方法和技术。
应用统计学主要是研究如何将统计学的方法和原理与实际 问题相结合，使用统计学的方法解决实际问题。
生活中我们也会不自觉地用到统计，比如说，我们可能经常去高中同 学所在的学校去玩，他给你介绍同寝室的张三，要你猜他是哪儿人， 只见他足有一米八，身材魁梧，你可能会问：你是北方人吧？反之， 你可能会认为他是南方人。这实际是应用了统计中平均值的知识。
一些例子
高分子物理与化学 第1-2章基本概念和自由基聚合
第二章 自由基聚合
烯类单体的加聚反应绝大多数属于连锁 聚合，连锁聚合由链引发、链增长和链终止 等基元反应组成。
聚合时常用的引发剂I先形成活性种R*， 活性种打开单体M的π键，与其加成形成单体 活性种M*，再不断的和单体加成，形成高分 子，最后增长的活性链失去活性，使链终止。 链引发： I → R* R*+M → RM* 链增长： RM*+M → RM2* RM2*+M → RM3* RMn-1*+M → RMn* 链终止 RMn* → 死聚合物
在不同转化率下分离得聚合物的平 均分子量差别不大，体系中始终由单体、 聚合物和微量印发剂组成，不存在分子 量递增得中间产物。所变化得是聚合物 的量。 大部分烯类单体的聚合都属于这类 聚合。 对于有些阴离子聚合则是引发快， 增长慢、物终止的所谓活性聚合，有分 子量随转化率线形增长的情况。
2、 逐步聚合 反应是一步一步进行的，小分子先二 二 反应成二聚体，再成三聚体等---，再短时间 内单体转化率很高，分子量缓慢上升，要很 高转化率时才达到高分子量。再反应过程中 有很多中间产物，没二各中间产物都能相互 反应。尼龙66、聚氨酯的合成都属于逐步聚 合。 尼龙6的合成，用不同的催化剂，聚合机 理不一样 用水和酸做催化剂时为逐步聚合；用碱 做催化剂时为阴离子连锁聚合。
单体的聚合类型和聚合能力和单体结构，即
单体的电子效应和空间位阻效应决定。 醛酮中羰基π键异裂后具类似离子的特性，可 进行离子聚合，不能进行自由基聚合。 乙烯基单体可均裂也可异裂，有进行自由基 聚合和离子聚合的可能，但具体到每个单体 则要看其结构而定。
乙烯分子无取代基，结构对称，无诱导效应
二、聚合反应 是小分子单体合成聚合物的反应叫聚合反 应 聚合方法又两种不同的分类， 最早是以反应前后单体和聚合物的组成和 结构上的变化来分类：他们可以分成加聚反 应和缩聚反应
应用数理统计第一章数理统计的基本概念
设 ( X1 , X 2 ,, X n )为总体 X 的一个
T 样本， ( X1, X 2 ,, X n ) 为 ( X1 , X 2, , X n )
的函数，且除依赖于样本外，不依赖于 任何其它的未知量。 则 T ( X1 , X 2 ,, X n ) 称为统计量.
23
例5 设X～N(μ,σ2),μ已知,σ>0未知, (X1，X2,…,Xn)为X的一个样本。则
总体:数量指标 X 所有可能值的全体 个体:数量指标 X 的每一个值 X 可以是一维，也可以是多维 例1 研究某厂生产的一批灯泡使用寿命 例2 研究北京理工大学学生的身高和体重
3
由于每个个体的出现是随机的， 所以相应的数量指标的出现也带有 随机性. 从而可以把这种数量指标
看作一个随机变量.
因此，随机变量的分布就是该数 量指标在总体中的分布.
13
总体(理论分布)？
样本
样本观察值
统计是从手中已有的资料—样本观察 值，去推断总体的情况---总体分布F(x) 的性质. 样本 是联系二者的桥梁
14
2 样本分布
(1)设总体X的分布函数 F ( x) P( X x)
( X1 , X 2 ,, X n ) 的联合分布函数
F x1 , x2 ,, xn P X1 x1 , X 2 x2 ,, X n xn
2
解:由于X N (, ), 其概率密度函数为
2
( x )2 1 f ( x; , 2 ) exp 2 2 2
17
因此，样本 ( X1, X 2 ,, X n ) 的联合概率密 度函数为
f ( xi ; , 2 )
i 1 n
统计学从数据到结论(人大吴喜之老师)01一些基本概念精品PPT课件
率 为 1/635013559600 ， 大 约 为 1.574770×10-12（条件是洗牌均匀， 没有作弊）。实际上得任何特定的 一手牌的概率都是一样的，对吗？
§1.3 变量和数据
• 什么是概率(probability)？ • 新闻中最常见的是“降水概率” • 从某种意义说来，概率描述了某件事
情发生的机会。
• 显然，这种概率不可能超过百分之百， 也不可能少于百分之零。
• 概率是在0和1之间（也可能是0或1） 的一个数，描述某事件发生的机会。
§1.2 现实中的随机性和规律性，概率和机会
统计学
─从数据到结论
第一章 一些基本概念
§1.1 统计是什么？
• 统计是人类思维的一个归纳过程 • 站在一个路口，看到每过去20辆
小轿车时，也有100辆自行车通过 • 而且平均每10个轿车载有12个人 • 于是，你认为小汽车和自行车在
这个路口的运载能力为24:100 • 这是一个典型的统计思维过程
是统计。
§1.2 现实中的随机性和规律性，概率和机会
• 从中学起，我们就知道物理 学F=的m许a等多等定律，例如v=v0+at;
• 但是在许多领域，很难用如 此确定的公式或论述来描述 一些现象。
§1.2 现实中的随机性和规律性，概率和机会
• 一些现象既有规律性又有随 机性(randomness)
(qualitative variable，或categorical
variable)。 • 这些定性变量也可以由定量 变量来描述，如男女生的数 目，持有某观点的人数比例 等等。
高等代数教案第一章基本概念
第一章基本概念一综述1．本章是本门课程所需要的最基本概念（集合、映射、整数的一些性质、数环和数域）和方法（数学归纳法、反证法）.所需位置不同,可根据课时安排及进度分散处理.如集合、整数的一些整除性质、数学归纳法、数环和数域可先讲,映射可放在线性空间前讲.2．从内容上讲,除集合中的卡氏积的概念及数环、数域的概念外,其它内容是学生在中学数学当中熟知的,只不过是将有关内容的系统化、理论化（如整数的整除性、映射、数学归纳法,其在中学中熟知其一些事实,今在理论上加以严密论证）.3．新的知识点是集合的卡氏积、数环、数域的概念,数学归纳法作为定理的论证.4．学习本部分的难点是：从概念出发进行推理论证,这需要从具体例子引导训练,逐步培养.二重点、难点1. 重点在于所有基本概念,特别是引入的新概念.2. 难点是可逆映射、整数的整除性、数学归纳法本身的证明.1．1 集合一教学思考1．集合可以作为不定义的概念来处理,有些教材上给出了一个简单刻化.2．确定一个集合A,就是要确定哪些是集合的元素,哪些不是集合的元素.说明一个集合包含哪些元素时,常用“列举法”、“示性法”（描述法）.3．中学代数大部分的内容是计算,因此一开始遇到证明题时,往往不知从何入手,此需注意培养学生的推理能力,这里应通过证明“集合相等”来加强这方面的训练.4．为稍拓宽知识,可讲解一下补集、幂集等概念.二重点、要求1．重点、难点：卡氏积的概念及从概念出发（集合相等、子集等）进行推理.2．要求：使学生了解有关集合的刻化及运算,培养推理能力.三 教学过程1．集合：简称集,在此是一个不定义的原始概念,通常可给出如下描述性的解释：即所谓集合,是指由某些确定的事物（或具有某种性质的事物）组成的集体.其中每个事物称为这个集合的元素.常用大写字母A 、B 、C K 表示集合,用小写字母a 、b 、c K 表示集合的元素.若a 是集合A 的元素,就说a 属于A,记作A a ∈,或者说A 包含a.若a 不是集合A 的元素,就说a 不属于A,记作a ∉A,或者说A 不包含a.常采用两种方法：（1）列举法：列出集合的所有元素（包括利用一定的规律列出无限集）的方法.如{}K ,3,2,1=A . （2）示性法（描述法）：给出集合所具有的特征性质.如{}043|2=-+=x x x B 表示方程0432=-+x x 的解集.2．集合的分类（按所含元素的个数分）：有限集：只含有有限多个元素的集合.无限集：由无限多个元素组成的集合.空集：不含任何元素的集合.用Φ表示.约定：Φ是任何集合的子集.3．集合间的关系：（1） 设A 、B 是两个集合.子集：若A 的每个元素都是B 的元素,则称A 是B 的子集.（即若""B x A x ∈⇒∈∀）.记作B A ⊆（读作A 属于B ）；或者A B ⊇（读作B 包含A ）.相等：若集合A 和B 是由完全相同的元素组成的,则称A 与B 相等,记为A=B.（2）性质：（由定义易得）A ）A A ⊆；（反身性）B ）若C A C B B A ⊆⇒⊆⊆,；（传递性）C ）B A ⊆且A B ⊆⇒A=B.（反对称性）4．几个常用的数集（略）5．集合的运算（由两个集合得到一个新的集合）——交、并、补、卡氏积：设A 、B 是两个集合（1）并：由A 的一切元素和B 的一切元素组成的集合叫做A 与B 的并集,简称并.记作B A Y .即{}B x A x x B A ∈∈=或,|Y .（2）交：由集合A 与B 的公共元素组成的集合,叫做A 与B 的交集,简称交.记作B A I .即{}B x A x x B A ∈∈=但,|I . （3）余（差、补）：由一切属于A 而不属于B 的元素组成的集合,叫做B 在A 中的余（补）集,或称为A 与B 的差集.记作A-B.即{}B x A x x B A ∉∈=-,|.（4）积（卡氏积）：由一切元素对),(b a 所成的集合称为A 与B 的笛卡儿积（简称为积）.其中第一个位置的元素取自A,第二个位置的元素取自B.记为B A ⨯.即{}B b A a b a B A ∈∈=⨯,|),(.1．2 映 射一 教学思考 1．映射是近代数学中的一个基本概念.为使本部分内容更加系统化,可作必要的调整及层次化,按映射的概念（包括相等）及例子、映射的合成、几种特殊的映射来处理.2．概念多且成系列,注意 帮助学生弄清概念的实质（包括概念的转述、注释、否定概念的描述、以及新概念与已有概念的联系,如映射的合成是函数与函数的合成的概念的推广）,注意训练从定义验证有关问题（给定一个法则是否为映射、分辨一个映射是不是单射、满射、可逆映射）的方法,语言要准确、清楚、有条理.同时初步领会怎样举例——包括正例和反例（内容与作业中皆有此问题）.二 内容、重点、要求1． 内容：映射、单、满、双（可逆）映射的概念、映射的合成等.2． 重点：映射及有关概念,举例及由定义验证有关问题的方法.3． 要求：理解并记住上述概念,学会举例与用定义的条件进行验证问题的方法.三 教学过程1．概念与例子定义1. 设A 、B 是两个非空集合,A 到B 的一个映射指的是一个对应法则,通过这个法则,对于,x A y B ∀∈∃∈与它唯一对应.例子：（1）对,,Z n Z ∈∀令n n f 2)(=.（2）{}2)(,.0|,x x f R x x x B R A =∈∀≥==. （3）{}14,43,32,21:.,4,3,2,1ααααf B A ==.（4）*设A 是任一集合,对x x f A x =∈∀)(,.这是A 到自身的一个映射（称为A 的变换）,称为恒等映射（此为恒等变换）,记为A j . 定义2. 设B A g B A f →→:,:都是A 到B 的映射,若对,A x ∈∀都有)()(x g x f =,则称映射f 与g 相等,记为g f =. 如：2,:;,:x x R R g x x R R f αα→→.有g f =.2．映射的合成（1）定义3. 设C B g B A f →→:,:是两个映射,对A x ∈∀,有B x f ∈)(,从而C x f g ∈))((,这样,对,A x ∈∀就有C 中唯一的))((x f g 与之对应,就得到A 到C 的一个映射,这个映射是由:f A B →和C B g →:所决定的,称为f 与g 的合成.记作f g ο.即：))((,:x f g x C A f g αο→.例子：x x R R g x x R R f sin ,:;,:2αα→→ .则 x x R R g f x x R R f g 22sin ,:;sin ,:αοαο→→.（2）映射合成满足结合律：设,:,:,:D C h C B g B A f →→→则由合成映射的定义可得D A →的两个映射：f g h f g h οοοο)(),(,则f g h f g h οοοο)()(=.3．几类特殊映射定义4. 设,:B A f →对,A x ∈∀有B x f ∈)(,则所有这样的象所作成B 的子集,用)(A f 表示,即{}A x x f A f ∈=|)()(,叫做A 在f 下的象,或叫做映射f 的象.（1）满射: 定义5. 设B A f →:是一映射,若B A f =)(,则称f 是A 到B 上的一个映射,也称f 是一个满射.（2）单射: 定义6. 设B A f →:是一个映射,若对A x x ∈∀21,,只要21x x ≠,就有)()(21x f x f ≠,则称f 是A 到B 的一个单射,简称单射.（3）双射（1-1对应）:定义7. 若B A f →:既是单射又是满射,即1）若 A x x x x x f x f ∈∀=⇒=212121,,)()(；2）B A f =)(.则称f 是A 到B 的一个双射.特别若f 是A 到A 上的一个1-1对应,就称f 为A 的一个一一变换；有限集A 到自身的双射称为A 的一个置换.如：A j 是A 的一个一一变换,同样B j 是B 的一个一一变换.由映射合成及相等：若:f A B →,则有,A B f j f j f f ==o o .TH1.2.1令:f A B →是一个映射,则：下述两条等价：1）f 是双射；2）存在:g B A →使得,A B g f j f g j ==o o .且2）成立时,其中的g 由f 唯一决定.（4）可逆映射及其逆映射定义8. 设:f A B →,若存在:g B A →,使得,A B g f j f g j ==o o ,则称f 是可逆映射,且称g 为f 的逆映射.求其逆的方法由定理知：:f A B →可逆⇔f 是双射.而验证双射有具体方法,所以可先证f 可逆（双射）,再求其逆.而由TH1证知f 可逆时其逆唯一为:,g B A y x →a （若())f x y =（即对y B ∈,找在f 下的原象）.（5）代数运算引例：我们常说整数加法是整数的一个“代数运算”.其意思是说对任一对整数(,)a b ,有确定的唯一一个整数（通过相加）与之对应,用映射的观点来说整数加法是Z Z Z ⨯→的一个映射：:(,)a b a b ++a .同样实数乘法亦然.一般地：定义9. 设A 是一个非空集合,我们把A A A ⨯→的一个映射叫做集合A 的一个代数运算.若集合A 有代数运算σ,也说A 对σ封闭.数学归纳法一 教学思考1. 本节主要介绍了数学证明中的一种非常重要的方法——数学归纳法；对于该内容学生不感陌生,因在中学内容中曾会应用.问题在于数学归纳法自身的理论证明,为此需要一个原理——（自然数集的）最小数原理.2. 本节主要讲清最小数原理（给出分析证明及必要的说明）,以及在此基础上的数学归纳法的证明.但更重要的是归纳法的解释——从特殊认识一般的思想方法,及数学归纳法应用中的关键（第二步）的突破.二 内容、重点、要求1. 内容：最小数原理、数学归纳法（第一、第二）.2. 重点：数学归纳法的证明、应用,归纳思想的建立.3. 要求：了解最小数原理、理解数学归纳法的证明、掌握数学归纳法的应用.三 教学过程引言：现实生活中经常使用这种方法：即首先考察、研究某些个别特殊的事物,再由这些事物总结和抽象出带有一般性规律和结论.这样的方法叫归纳法.1. 数学归纳法的基础——自然数集的一个基本性质：最小数原理最小数原理：自然数集N *的任一非空子集S 必含有一个最小数,即a S ∃∈,对,c S ∀∈都有a c ≤. 2. 数学归纳法TH1.3.1（第一数学归纳法）设有一个与自然数n 有关的命题()P n ,若满足下列两条：1）当1n =时()P n 成立；2）假设n k =时成立,则当1n k =+时也成立.则命题()P n 对于一切自然数n 都成立.TH1.3.2（第二数学归纳法原理）设有一个与自然数n 有关的命题()P n ,若满足下列两条：1）当1n =时()P n 成立；2）假设命题对于一切小于k 的自然数都成立时,命题对于k 也成立.则命题()P n 对于一切自然数n 都成立.整数的一些整除性质一 教学思考1. 整数的性质是学生熟知的,本节只是将其系统化、理论化.主要从整除的定义、性质、带余除法,最大公因数及性质,互素三方面作了介绍.新的问题是有些概念较之在中学的概念有所区别,理论证明中运用最小数原理还不适应.2. 本节的目的主要为在多项式部分有与之平行的内容,助于学生对多项式类似内容的理解.作为自身的内容,需要将该部分层次化得清晰些.二 内容、重难点、要求1. 内容：整数的整除性、带余除法、最大公因数及性质、互素.2. 重难点：带余除法、最大公因数的性质定理的证明.3. 要求：掌握有关概念、证明整除的方法、反证法的运用.三 教学过程引言: 整除是研究整数性质的最基本的概念,从这个基本概念出发引进带余除法和辗转相除法,然后利用这两个工具建立了最大公因数（和最小公倍数）的理论（进一步证明了非常有用的算术基本定理）,这些都是初等数论的基本内容.注意：本节所述的概念在小学、中学是熟知的事实,但未加以严格的叙述,因而不要盲目地相当然,要从中体会严格的推理论述.此与多项式相应的问题平行,到时应对照学习.1. 整除、带余除法（1）整除A ）定义1. 设,a b Z ∈,若d Z ∃∈使得b ad =,则称a 整除b （或b 被a 整除）.用符号|a b 表示.这时a 叫做b 的一个因数,而b 叫做a 的一个倍数.若a 不整除b （即对,d Z ad b ∀∈≠）,记作|a b .B ）整除的性质：1）|,||a b b c a c ⇒； （传递性）2）|,||();a b a c a b c ⇒+3）|,|a b c Z a bc ∀∈⇒；4）由2）、3）|,,1,2,3,,|i i i i a b c Z i n a b c ∀∈=⇒∑L ；5）1|,|0,|()a a a a a Z ±±∀∈；由此任意整数a 有因数1,a ±±,它们称为a 的平凡因数； 6）若||a b a b ⇒±±；7）|a b 且|b a a b ⇒=或a b =-.（对称性）(2) 带余除法“整除”是整数间的一种关系,任意两个整数可能有这种关系,可能没有这种关系,一般地有：TH1.4.1(带余除法) 设,a b Z ∈,且0a ≠；那么,q r Z ∃∈使得b aq r =+ 且0r a ≤≤.满足上述条件的,q r 是唯一的.2. 最大公因数、互素（1）最大公因数A ）定义2. 设,,a b Z d Z ∈∈,若d 满足：1）|d a 且|d b （即d 是a 与b 的一个公因数）；2）若c Z ∈且|,||c a c b c d ⇒（即d 能被a 与b 的任一个公因数整除）.则称d 为a 与b 的一个最大公因数. 最大公因数的概念可推广至有限个整数.B ）最大公因数的存在性（及求法）TH1.4.2 任意n (2)n ≥个整数12,,,n a a a L 都有最大公因数；若d 为12,,,n a a a L 的一个最大公因数,则d -也是；12,,,n a a a L 的两个最大公因数至多相差一个符号.C ）性质TH1.4.3 设d 为12,,,n a a a L 的一个最大公因数,那么12,,,n t t t Z ∃∈L 使得1122n n d t a t a t a =+++L .略证：若120n a a a ====L ,则0d =,从而对i t Z ∀∈都有11220n n t a t a t a =+++L ；若i a 不全为0,由证明过程知结论成立.（2）互素定义3. 设,a b Z ∈,若(,)1a b =,则称,a b 互素；一般地设12,,,n a a a Z ∈L ,若12(,,,)1n a a a =L ,则称12,,,n a a a L 互素.TH1.4.4 n 个整数12,,,n a a a L 互素12,,,n t t t Z ⇔∃∈L 使得11221n n t a t a t a +++=L .3. 素数及其性质（1）定义4. 一个正整数1p >叫做一个素数,若除1,p ±±外没有其他因数.（2）性质1）若p 是一个素数,则对a Z ∀∈有(,)a p p =或(,)1a p =.（注意转换为语言叙述,证易；略）2）a Z ∀∈且0,1a ≠±；则a 可被某一素数整除.3）TH1.4.5 设p 是一个素数,,a b Z ∈,若|p ab ,则|p a 或|p b .1．5 数环和数域一 教学思考1. 数环、数域是本章引入的两个新概念,其是鉴于很多数学问题不仅与所讨论的范围（数集）有关,而且与数集所满足的运算有关.也就是说需论及所具有的运算.为体现这个问题,引入了数环、数域的概念.2. 数环、数域简而言之是分别关于加、减、乘和加、减、乘、除封闭的非空数集,这可知之联系与区别,且由于对于不同的运算的封闭性,可讨论各自具有的简单性质.3. 本节内容简洁,不难理解,需要注意的是：一、“任意数域都包含有理数域”的证法——归谬法；二、给定一个数集验证是否是数环、数域；三、关于数环、数域的深入的问题——因数环、数域都是数集,而集合有所谓的运算：交、并,那么问题是数环、数域的交、并是否仍是之从中体会“从定义出发加以验证”以及举例证明的方法.二 教学过程1. 概念定义1. 设S C ⊆且S ≠Φ,若对,a b S ∀∈都有,,a b a b ab S +-∈,则称S 是一个数环.定义2. 设F 是一个数环,若1）F 含有一个非0数；2）若,a b F ∈且0b ≠,则a Fb ∈.则称F 是一个数域.例子：1）整数集为数环,有理数集、实数集、复数集为数域.2）取定a Z ∈,令{}|S na n Z =∈,S 为数环.3）{}2|,,1S a bi a b Z i =+∈=- 是数环.4）{},F a a b Q =+∈ 是数域.2. 性质1）设S 是一个数环,则0S ∈.2）设F 是一个数域,则0,1F ∈.3）有理数域是最小的数域（在集合包含意义下）TH1.5.1 任何数域都包含有理数域Q .。
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第一章一些基本概念讲课之前问问大家EXCELL用得怎么样？会使用公式编辑吗？调出上标、下标：工具→自定义→命令→格式→右边找到X2、X2拖出来调出公式编辑器：工具→自定义→命令→插入→右边找到公式编辑器，拖出来SPSS是“社会科学统计软件包”(Statistical Package for the Social Science)的简称,是一种集成化的计算机数据处理应用软件。
SPSS是世界上公认的三大数据分析软件之一(SAS、SPSS和SYSTAT)。
§1.1 统计是什么？•统计是人类思维的一个归纳过程•站在一个路口，看到每过去20辆小轿车时，也有100辆自行车通过，而且平均每10个轿车载有12个人，于是，你认为小汽车和自行车在这个路口的运载能力为24:100•这是一个典型的统计思维过程•一般来说，统计先从现实世界收集数据（信息），如观测路口的交通，然后，根据数据作出判断，称为模型。
模型是从数据产生的，模型也需要根据新的信息来改进。
•不存在完美的模型，模型的最终结局都是被更能够说明现实世界的新模型所取代。
统计学可以应用于几乎所有的领域:精算，农业，动物学，人类学，考古学，审计学，晶体学，人口统计学，牙医学，生态学，经济计量学，教育学，选举预测和策划，工程，流行病学，金融，水产渔业研究，遗传学，地理学，地质学，历史研究，人类遗传学，水文学，工业，法律，语言学，文学，劳动力计划，管理科学，市场营销学，医学诊断，气象学，军事科学，核材料安全管理，眼科学，制药学，物理学，政治学，心理学，心理物理学，质量控制，宗教研究，社会学，调查抽样，分类学，气象改善，博彩等。
•一句话，•统计学（statistics）是用以收集数据，分析数据和由数据得出结论的一组概念、原则和方法。
•以归纳为主要思维方式的统计，不是以演绎为主的数学。
•统计可应用于各个不同学科，在有些学科已经有其特有的方法和特点；如生物统计(biostatistics)、经济计量学(econometrics)以及目前很热门的生物信息(bioinformation)和数据挖掘(Data Mining)的方法主体都是统计。
§1.2 现实中的随机性和规律性，概率和机会•从中学起，我们就知道物理学的许多定律，例如v=v0+at; F=ma等等•但是在许多领域，很难用如此确定的公式或论述来描述一些现象。
•一些现象既有规律性又有随机性(randomness)•肺癌患者中（主动或被动）吸烟的比例较大，这体现了规律性•而绝非每个吸烟的人都会患肺癌，这体现了随机性•再如，一般来说，白种人身材比黄种人要高些，这就是规律性•但对于具体的一个白人和一个黄种人，就很难说谁高谁矮了，这体现随机性•什么是概率(probability)？新闻中最常见的是“降水概率”•从某种意义说来，概率描述了某件事情发生的机会。
显然，这种概率不可能超过百分之百，也不可能少于百分之零。
•概率是在0和1之间（也可能是0或1）的一个数，描述某事件发生的机会。
•有些概率是无法精确推断的。
比如你明天感冒的概率•有些概率是可以知道的。
比如在打桥牌时得到一手黑桃的概率为1/635013559600，大约为1.574770×10-12（条件是洗牌均匀，没有作弊）。
实际上得任何特定的一手牌的概率都是一样的，对吗？§1.3 变量和数据•一节火车车厢有多少坐位是一个固定的数目，称为常数(constant)或者常量。
但是，开车后，坐在这节车厢的旅客有多少就没准了。
这有随机性。
该车厢的乘客数为变量(variable)。
•一个学校的注册在校男女生比例是固定的，为常量。
但是，该校任意一群学生的男女生比例就不一定和全校的比例一样了，它为变量(variable)。
•当变量按照随机规律所取的值是数量时该变量称为定量变量或数量变量(quantitative variable)；因为是随机的，也称为随机变量(random variable)。
•如身高体重，购买某商品的人数等等•象性别，观点之类的取非数量值的变量就称为定性变量或属性变量或分类变量(qualitative variable，或categorical variable)。
这些定性变量也可以由定量变量来描述，如男女生的数目，持有某观点的人数比例等等。
•定性变量只有用数量来描述时，才有可能建立数学模型，并使用计算机来分析。
•数据中它们通常用哑元（dummy variable)代表，比如性别用0、1代表，三种收入用0、1、2代表(或用字母代表）•有了变量，何谓数据？•不同机构调查所得到的武汉收入万元以上市民的比例都不一样，这是变量。
而这些调查产生一些数目，这些数目就是数据(data)。
•数据是关于变量的观测值。
通过数据可验证有关的理论或假定。
•比如通过抽样调查验证美国选民对共和党候选人的支持率是否超过50%。
通过抽样，可以检验某批产品是否合格等等§1.4 变量之间的关系•现实世界紧密联系的：人们想知道投资方式和经济效益之间的关系、旅客人数和经济发展之间的关系等等•不讨论变量之间的关系，就无从谈起任何有深度的应用，统计的基本概念就仅仅是摆设而已。
§1.4.1 定量变量间的关系例1.1．广告投入和销售之间的关系。
下表（数据ads.txt）显示了某企业的广告投入•能否从该数据回答下面问题：•这两个变量是否有关系？如果有，它们的关系是否显著？这些关系是什么关系，能否用数学模型来描述？这个关系是否带有普遍性？这个关系是不是因果关系？•关于因果关系•在可控制的试验中，较容易找到因果关系；比如治疗方式和疗效的关系等。
但是，一般来说，变量之间有关系这个事实并不意味着一定存在明确的因果关系。
•比如，中国GDP在一年中是快速增长的，而一个刚出生的英国婴儿在这一年中的体重也是快速增长的。
•如果画出图来，它们有类似线性的关系。
但它们显然没有因果关系•只要有关系，即使不是因果关系也不妨碍人们利用这种关系来进行推断。
•比如利用公鸡打鸣来预报太阳升起；虽然公鸡打鸣绝对不是日出的原因(虽然打鸣发生在先）•简单的办法（诸如画图）可以得到一些信息，但不一定能够给出满意的答案。
需要更多的工具和手段来进行数值分析得到更加严格和精确的解答。
此，需要继续我们的课程§1.4.2 定性变量间的关系例1.2．下面是对123人进行关于某项政策调查所得结果的一个简单的三维表，它显示了人们的收入和性别对该项政策的观点。
（table7.txt）。
表1.2 不同收入和不同性别人群对某项政策的观点•从这个数据，希望可以看出收入、性别对观点是否有影响及如何影响•如果要得到更加精确的结论，就要进行进一步的分析和计算•这是后面列联表分析或多项分布对数线性模型的内容§1.4.3 定性和定量变量间的混和关系•有些数据不是仅有定性变量或仅有定量变量•需要知道包括定性和定量两种变量的一些变量之间的关系例1．3某新教法实验后，实验组和对照组的测验成绩表（满分为30分）问：实验组与对照组的学习效果是否存在差异？（成绩X和组group变量）演示以上三例数据的输入SPSS的界面当打开SPSS后，展现在我们面前的界面如下：请注意窗口顶部显示为“SPSS for Windows Data Editor”，表明现在所看到的是SPSS的数据管理窗口。
这是一个典型的Windows软件界面，有菜单栏、工具栏。
特别的，工具栏下方的是数据栏，数据栏下方则是数据管理窗口的主界面。
该界面和EXCEL极为相似，由若干行和列组成，每行对应了一条记录，每列则对应了一个变量。
由于现在我们没有输入任何数据，所以行、列的标号都是灰色的。
请注意第一行第一列的单元格边框为深色，表明该数据单元格为当前单元格。
定义变量该资料是定量资料，设计为成组设计，因此我们需要建立两个变量，一个变量X 代表成绩，另一个变量group代表实验组、对照组。
点击界面左下方“Variable View”，系统弹出定义变量对话框如下：在“Name”下方输入“group”、“X”两个变量名便可以了。
往下是变量情况描述，可以看到系统默认该变量为数值型，长度为8，有两位小数位，尚无缺失值，显示对齐方式为右对齐。
可以设定变量类型、标签、缺失值和列显示格式等，当然我们要根据变量的性质更改变量的属性。
输入数据点击界面左下方“Variable View”，系统弹出"Data View"对话框，我们根据变量输入数据：保存数据选择菜单File==>Save，由于该数据从来没有被保存过，所以弹出Save as对话框如下：单击保存类型列表框，可以看到SPSS所支持的各种数据类型，有DBF、FoxPro、EXCEL、ACCESS等，这里我们仍然将其存为SPSS自己的数据格式（*.sav文件）。
在文件名框内键入tspss1.3并回车，可以看到数据管理窗口左上角由Untitled 变为了现在的变量名tspss1.3。
数据的预分析数据的简单描述首先我们需要知道数据的基本情况，如均数、标准差等。
选择Analyze==>Descriptive Statistics==>Descriptives菜单，系统弹出描述对话框如下：该对话框可分为左右两大部分，左侧为所有可用的侯选变量列表，右侧为选入变量列表。
我们只需要描述X，用鼠标选中X，单击中间的，变量X的标签就会移入右侧，注意这时OK按钮变黑，表明已经可以进行分析了，单击它，系统会弹出一个新的界面如下所示：该窗口上方的名称为SPSS for Windows Viewer，即（结果）浏览窗口，整个的结构和资源管理器类似，左侧为导航栏，右侧为具体的输出结果。
结果表格给出了样本数、最小值、最大值、均数和标准差这几个常用的统计量。
还应当看看分组的描述情况。
这里要用到文件分割功能，请切换回数据管理窗口，选择Data==>Split File菜单，系统弹出文件分割对话框如下：选择单选按钮Organize output by groups，将变量GROUP选入右侧的选入变量框，单击OK钮，此时界面不会有任何改变，但请再做一次数据描述，你就可以看到现在数据是分Group=1和Group=2两种情况在描述了！如果定义了文件分割，则它会在以后的所有统计分析中起作用，直到你重新定义文件分割方式为止。
绘制直方图统计指标只能给出数据的大致情况，没有直方图那样直观，我们就来画个直方图瞧瞧！选择Graphs==>Histogram，系统会弹出绘制直方图对话框如下：将变量X 选入Variable 选择框内，单击OK 按钮。
此时结果浏览窗口内会绘制出如下二个直方图：两组的数据没有特别偏的分布，也没有十分突出的离群值，因此无须变换，可以直接采用参数分析方法来分析。