数值实验报告
数值分析综合实验报告

一、实验目的通过本次综合实验,掌握数值分析中常用的插值方法、方程求根方法以及数值积分方法,了解这些方法在实际问题中的应用,提高数值计算能力。
二、实验内容1. 插值方法(1)拉格朗日插值法:利用已知数据点构造多项式,以逼近未知函数。
(2)牛顿插值法:在拉格朗日插值法的基础上,通过增加基函数,提高逼近精度。
2. 方程求根方法(1)二分法:适用于函数在区间内有正负值的情况,通过不断缩小区间来逼近根。
(2)Newton法:利用函数的导数信息,通过迭代逼近根。
(3)不动点迭代法:将方程转化为不动点问题,通过迭代逼近根。
3. 数值积分方法(1)矩形法:将积分区间等分,近似计算函数值的和。
(2)梯形法:将积分区间分成若干等分,用梯形面积近似计算积分。
(3)辛普森法:在梯形法的基础上,将每个小区间再等分,提高逼近精度。
三、实验步骤1. 拉格朗日插值法(1)输入已知数据点,构造拉格朗日插值多项式。
(2)计算插值多项式在未知点的函数值。
2. 牛顿插值法(1)输入已知数据点,构造牛顿插值多项式。
(2)计算插值多项式在未知点的函数值。
3. 方程求根方法(1)输入方程和初始值。
(2)选择求解方法(二分法、Newton法、不动点迭代法)。
(3)迭代计算,直到满足精度要求。
4. 数值积分方法(1)输入被积函数和积分区间。
(2)选择积分方法(矩形法、梯形法、辛普森法)。
(3)计算积分值。
四、实验结果与分析1. 插值方法(1)拉格朗日插值法:通过构造多项式,可以较好地逼近已知数据点。
(2)牛顿插值法:在拉格朗日插值法的基础上,增加了基函数,提高了逼近精度。
2. 方程求根方法(1)二分法:适用于函数在区间内有正负值的情况,计算简单,但收敛速度较慢。
(2)Newton法:利用函数的导数信息,收敛速度较快,但可能存在数值不稳定问题。
(3)不动点迭代法:将方程转化为不动点问题,收敛速度较快,但可能存在初始值选择不当的问题。
3. 数值积分方法(1)矩形法:计算简单,但精度较低。
数值分析实验报告

实验2.1 多项式插值的振荡现象实验目的:在一个固定的区间上用插值逼近一个函数,显然Lagrange 插值中使用的节点越多,插值多项式的次数就越高。
我们自然关心插值多项式的次数增加时,Ln(x)是否也更加靠近被逼近的函数。
Runge 给出的一个例子是极著名并富有启发性的。
实验容:设区间[-1,1]上函数 f(x)=1/(1+25x 2)。
考虑区间[-1,1]的一个等距划分,分点为 x i = -1 + 2i/n ,i=0,1,2,…,n ,则拉格朗日插值多项式为201()()125nn i i i L x l x x ==+∑. 其中,l i (x),i=0,1,2,…,n 是n 次Lagrange 插值基函数。
实验步骤与结果分析:实验源程序function Chap2Interpolation% 数值实验二:“实验2.1:多项式插值的震荡现象”% 输入:函数式选择,插值结点数% 输出:拟合函数及原函数的图形promps = {'请选择实验函数,若选f(x),请输入f,若选h(x),请输入h,若选g(x),请输入g:'};titles = 'charpt_2';result = inputdlg(promps,'charpt 2',1,{'f'});Nb_f = char(result);if(Nb_f ~= 'f' & Nb_f ~= 'h' & Nb_f ~= 'g')errordlg('实验函数选择错误!');return;endresult = inputdlg({'请输入插值结点数N:'},'charpt_2',1,{'10'});Nd = str2num(char(result));if(Nd <1)errordlg('结点输入错误!');return;endswitch Nb_fcase 'f'f=inline('1./(1+25*x.^2)'); a = -1;b = 1;case 'h'f=inline('x./(1+x.^4)'); a = -5; b = 5;case 'g'f=inline('atan(x)'); a = -5; b= 5;endx0 = linspace(a, b, Nd+1); y0 = feval(f, x0);x = a:0.1:b; y = Lagrange(x0, y0, x);fplot(f, [a b], 'co');hold on;plot(x, y, 'b--');xlabel('x'); ylabel('y = f(x) o and y = Ln(x)--');%--------------------------------------------------------------------function y=Lagrange(x0, y0, x);n= length(x0); m=length(x);for i=1:mz=x(i);s=0.0;for k=1:np=1.0;for j=1:nif(j ~= k)p = p*(z - x0(j))/(x0(k) - x0(j));endends = s + p*y0(k);endy(i) = s;end实验结果分析(1)增大分点n=2,3,…时,拉格朗日插值函数曲线如图所示。
东北大学数值分析实验报告

数值分析实验班级 姓名 学号实验环境: MATLAB实验一 解线性方程组的迭代法(1)一、实验题目 对以下方程组分别采用Jacobi 迭代法, Gaaus-Seidel 迭代法求解和SOR 迭代法求解。
(2)线性方程组⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------------------------13682438141202913726422123417911101610352431205362177586832337616244911315120130123122400105635680000121324⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡10987654321x x x x x x x x x x =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-2119381346323125 (2)对称正定线性方程组⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------------------1924336021411035204111443343104221812334161206538114140231212200420424⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡87654321x x x x x x x x =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---4515221123660(3)三对角线性方程组⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------------4100000000141000000001410000000014100000000141000000001410000000014100000000141000000001410000000014⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡10987654321x x x x x x x x x x =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----5541412621357 二、实验要求(1)应用迭代法求线性方程组, 并与直接法作比较。
数值分析积分实验报告(3篇)

第1篇一、实验目的本次实验旨在通过数值分析的方法,研究几种常见的数值积分方法,包括梯形法、辛普森法、复化梯形法和龙贝格法,并比较它们在计算精度和效率上的差异。
通过实验,加深对数值积分理论和方法的理解,提高编程能力和实际问题解决能力。
二、实验内容1. 梯形法梯形法是一种基本的数值积分方法,通过将积分区间分割成若干个梯形,计算梯形面积之和来近似积分值。
实验中,我们选取了几个不同的函数,对积分区间进行划分,计算积分近似值,并与实际积分值进行比较。
2. 辛普森法辛普森法是另一种常见的数值积分方法,它通过将积分区间分割成若干个等距的区间,在每个区间上使用二次多项式进行插值,然后计算多项式与x轴围成的面积之和来近似积分值。
实验中,我们对比了辛普森法和梯形法的计算结果,分析了它们的精度差异。
3. 复化梯形法复化梯形法是对梯形法的一种改进,通过将积分区间分割成多个小区间,在每个小区间上使用梯形法进行积分,然后计算所有小区间积分值的和来近似积分值。
实验中,我们对比了复化梯形法和辛普森法的计算结果,分析了它们的精度和效率。
4. 龙贝格法龙贝格法是一种通过外推加速提高计算精度的数值积分方法。
它通过比较使用不同点数(n和2n)的积分结果,得到更高精度的积分结果。
实验中,我们使用龙贝格法对几个函数进行积分,并与其他方法进行了比较。
三、实验步骤1. 编写程序实现梯形法、辛普森法、复化梯形法和龙贝格法。
2. 选取几个不同的函数,对积分区间进行划分。
3. 使用不同方法计算积分近似值,并与实际积分值进行比较。
4. 分析不同方法的精度和效率。
四、实验结果与分析1. 梯形法梯形法在计算精度上相对较低,但当积分区间划分足够细时,其计算结果可以接近实际积分值。
2. 辛普森法辛普森法在计算精度上优于梯形法,但当积分区间划分较细时,计算量较大。
3. 复化梯形法复化梯形法在计算精度上与辛普森法相当,但计算量较小。
4. 龙贝格法龙贝格法在计算精度上优于复化梯形法,且计算量相对较小。
数值计算基础实验报告(3篇)
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第1篇一、实验目的1. 理解数值计算的基本概念和常用算法;2. 掌握Python编程语言进行数值计算的基本操作;3. 熟悉科学计算库NumPy和SciPy的使用;4. 分析算法的数值稳定性和误差分析。
二、实验内容1. 实验环境操作系统:Windows 10编程语言:Python 3.8科学计算库:NumPy 1.19.2,SciPy 1.5.02. 实验步骤(1)Python编程基础1)变量与数据类型2)运算符与表达式3)控制流4)函数与模块(2)NumPy库1)数组的创建与操作2)数组运算3)矩阵运算(3)SciPy库1)求解线性方程组2)插值与拟合3)数值积分(4)误差分析1)舍入误差2)截断误差3)数值稳定性三、实验结果与分析1. 实验一:Python编程基础(1)变量与数据类型通过实验,掌握了Python中变量与数据类型的定义方法,包括整数、浮点数、字符串、列表、元组、字典和集合等。
(2)运算符与表达式实验验证了Python中的算术运算、关系运算、逻辑运算等运算符,并学习了如何使用表达式进行计算。
(3)控制流实验学习了if-else、for、while等控制流语句,掌握了条件判断、循环控制等编程技巧。
(4)函数与模块实验介绍了Python中函数的定义、调用、参数传递和返回值,并学习了如何使用模块进行代码复用。
2. 实验二:NumPy库(1)数组的创建与操作通过实验,掌握了NumPy数组的基本操作,包括创建数组、索引、切片、排序等。
(2)数组运算实验验证了NumPy数组在数学运算方面的优势,包括加、减、乘、除、幂运算等。
(3)矩阵运算实验学习了NumPy中矩阵的创建、操作和运算,包括矩阵乘法、求逆、行列式等。
3. 实验三:SciPy库(1)求解线性方程组实验使用了SciPy库中的线性代数模块,通过高斯消元法、LU分解等方法求解线性方程组。
(2)插值与拟合实验使用了SciPy库中的插值和拟合模块,实现了对数据的插值和拟合,并分析了拟合效果。
数值分析原理实验报告

一、实验目的通过本次实验,掌握数值分析的基本原理和方法,了解数值分析在科学和工程领域的应用,培养动手能力和分析问题的能力。
二、实验内容1. 二分法求方程根(1)原理:二分法是一种在实数域上寻找函数零点的算法。
对于连续函数f(x),如果在区间[a, b]上f(a)f(b)<0,则存在一个根在区间(a, b)内。
二分法的基本思想是将区间[a, b]不断二分,缩小根所在的区间,直到满足精度要求。
(2)实验步骤:① 输入函数f(x)和精度要求;② 初始化区间[a, b]和中间点c=a+(b-a)/2;③ 判断f(c)与f(a)的符号,若符号相同,则将区间缩小为[a, c],否则缩小为[c,b];④ 重复步骤②和③,直到满足精度要求;⑤ 输出根的近似值。
2. 牛顿法求方程根(1)原理:牛顿法是一种在实数域上寻找函数零点的算法。
对于可导函数f(x),如果在点x0附近,f(x0)f'(x0)≠0,则存在一个根在点x0附近。
牛顿法的基本思想是通过泰勒展开近似函数,然后求解近似方程的根。
(2)实验步骤:① 输入函数f(x)和精度要求;② 初始化迭代次数n=0,近似根x0;③ 计算导数f'(x0);④ 求解近似方程x1=x0-f(x0)/f'(x0);⑤ 判断|x1-x0|是否满足精度要求,若满足,则停止迭代;否则,将x0更新为x1,n=n+1,返回步骤③。
3. 雅可比迭代法解线性方程组(1)原理:雅可比迭代法是一种解线性方程组的迭代算法。
对于线性方程组Ax=b,雅可比迭代法的基本思想是利用矩阵A的对角线元素将方程组分解为多个一元线性方程,然后逐个求解。
(2)实验步骤:① 输入系数矩阵A和常数向量b;② 初始化迭代次数n=0,近似解向量x0;③ 计算对角线元素d1, d2, ..., dn;④ 更新近似解向量x1=x0-A/d1, x2=x0-A/d2, ..., xn=x0-A/dn;⑤ 判断|x1-x0|是否满足精度要求,若满足,则停止迭代;否则,将x0更新为x1, x2, ..., xn,n=n+1,返回步骤③。
数值分析实验报告--实验2--插值法

1 / 21数值分析实验二:插值法1 多项式插值的震荡现象1.1 问题描述考虑一个固定的区间上用插值逼近一个函数。
显然拉格朗日插值中使用的节点越多,插值多项式的次数就越高。
我们自然关心插值多项式的次数增加时, 是否也更加靠近被逼近的函数。
龙格(Runge )给出一个例子是极著名并富有启发性的。
设区间[-1,1]上函数21()125f x x=+ (1)考虑区间[-1,1]的一个等距划分,分点为n i nix i ,,2,1,0,21 =+-= 则拉格朗日插值多项式为201()()125nn ii iL x l x x ==+∑(2)其中的(),0,1,2,,i l x i n =是n 次拉格朗日插值基函数。
实验要求:(1) 选择不断增大的分点数目n=2, 3 …. ,画出原函数f(x)及插值多项式函数()n L x 在[-1,1]上的图像,比较并分析实验结果。
(2) 选择其他的函数,例如定义在区间[-5,5]上的函数x x g xxx h arctan )(,1)(4=+=重复上述的实验看其结果如何。
(3) 区间[a,b]上切比雪夫点的定义为 (21)cos ,1,2,,1222(1)k b a b ak x k n n π⎛⎫+--=+=+ ⎪+⎝⎭(3)以121,,n x x x +为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式,比较其结果,试分析2 / 21原因。
1.2 算法设计使用Matlab 函数进行实验, 在理解了插值法的基础上,根据拉格朗日插值多项式编写Matlab 脚本,其中把拉格朗日插值部分单独编写为f_lagrange.m 函数,方便调用。
1.3 实验结果1.3.1 f(x)在[-1,1]上的拉格朗日插值函数依次取n=2、3、4、5、6、7、10、15、20,画出原函数和拉格朗日插值函数的图像,如图1所示。
Matlab 脚本文件为Experiment2_1_1fx.m 。
可以看出,当n 较小时,拉格朗日多项式插值的函数图像随着次数n 的增加而更加接近于f(x),即插值效果越来越好。
插值数值实验报告(3篇)

第1篇一、实验目的1. 理解并掌握插值法的基本原理和常用方法。
2. 学习使用拉格朗日插值法、牛顿插值法等数值插值方法进行函数逼近。
3. 分析不同插值方法的优缺点,并比较其精度和效率。
4. 通过实验加深对数值分析理论的理解和应用。
二、实验原理插值法是一种通过已知数据点来构造近似函数的方法。
它广泛应用于科学计算、工程设计和数据分析等领域。
常用的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、样条插值法等。
1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法。
其基本思想是:给定一组数据点,构造一个次数不超过n的多项式,使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是一种基于插值多项式的差商的插值方法。
其基本思想是:给定一组数据点,构造一个次数不超过n的多项式,使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等,并且满足一定的差商条件。
三、实验内容1. 拉格朗日插值法(1)给定一组数据点,如:$$\begin{align}x_0 &= 0, & y_0 &= 1, \\x_1 &= 1, & y_1 &= 4, \\x_2 &= 2, & y_2 &= 9, \\x_3 &= 3, & y_3 &= 16.\end{align}$$(2)根据拉格朗日插值公式,构造插值多项式:$$P(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)}y_0 + \frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)}y_1 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)}y_2 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)}y_3.$$(3)计算插值多项式在不同点的函数值,并与实际值进行比较。
数值分析实验报告模板

数值分析实验报告模板篇一:数值分析实验报告(一)(完整)数值分析实验报告12345篇二:数值分析实验报告实验报告一题目:非线性方程求解摘要:非线性方程的解析解通常很难给出,因此线性方程的数值解法就尤为重要。
本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。
利用二分法求解给定非线性方程的根,在给定的范围内,假设f(x,y)在[a,b]上连续,f(a)xf(b) 直接影响迭代的次数甚至迭代的收敛与发散。
即若x0 偏离所求根较远,Newton法可能发散的结论。
并且本实验中还利用利用改进的Newton法求解同样的方程,且将结果与Newton法的结果比较分析。
前言:(目的和意义)掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。
掌握二分法的原理,验证二分法,在选对有根区间的前提下,必是收敛,但精度不够。
熟悉Matlab语言编程,学习编程要点。
体会Newton使用时的优点,和局部收敛性,而在初值选取不当时,会发散。
数学原理:对于一个非线性方程的数值解法很多。
在此介绍两种最常见的方法:二分法和Newton法。
对于二分法,其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x),其在[a,b]上连续,f(a)f(b) Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0,然后根据其迭代公式xk?1?xk?f(xk) f'(xk)产生逼近解x*的迭代数列{xk},这就是Newton法的思想。
当x0接近x*时收敛很快,但是当x0选择不好时,可能会发散,因此初值的选取很重要。
另外,若将该迭代公式改进为xk?1?xk?rf(xk) 'f(xk)其中r为要求的方程的根的重数,这就是改进的Newton 法,当求解已知重数的方程的根时,在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。
程序设计:本实验采用Matlab的M文件编写。
其中待求解的方程写成function的方式,如下function y=f(x);y=-x*x-sin(x);写成如上形式即可,下面给出主程序。
数值分析绪论实验报告

一、实验目的1. 了解数值分析的基本概念和主要内容;2. 掌握数值计算的基本方法,如插值、求根、数值积分等;3. 培养使用计算机进行数值计算的能力;4. 增强对数值分析在实际问题中的应用意识。
二、实验内容1. 插值法:拉格朗日插值、牛顿插值;2. 求根法:二分法、牛顿法、不动点迭代法;3. 数值积分:矩形法、梯形法、辛普森法。
三、实验步骤1. 插值法实验(1)编写拉格朗日插值程序,以x1, x2, ..., xn为节点,y1, y2, ..., yn为函数值,求插值多项式P(x)。
(2)编写牛顿插值程序,以x1, x2, ..., xn为节点,y1, y2, ..., yn为函数值,求插值多项式P(x)。
2. 求根法实验(1)编写二分法程序,求方程f(x) = 0在区间[a, b]上的根。
(2)编写牛顿法程序,求方程f(x) = 0在初始值x0附近的根。
(3)编写不动点迭代法程序,求方程f(x) = 0在初始值x0附近的根。
3. 数值积分实验(1)编写矩形法程序,求定积分∫f(x)dx在区间[a, b]上的近似值。
(2)编写梯形法程序,求定积分∫f(x)dx在区间[a, b]上的近似值。
(3)编写辛普森法程序,求定积分∫f(x)dx在区间[a, b]上的近似值。
四、实验结果与分析1. 插值法实验(1)使用拉格朗日插值法,以x1, x2, ..., xn为节点,y1, y2, ..., yn为函数值,求插值多项式P(x)。
(2)使用牛顿插值法,以x1, x2, ..., xn为节点,y1, y2, ..., yn为函数值,求插值多项式P(x)。
2. 求根法实验(1)使用二分法,求方程f(x) = 0在区间[a, b]上的根。
(2)使用牛顿法,求方程f(x) = 0在初始值x0附近的根。
(3)使用不动点迭代法,求方程f(x) = 0在初始值x0附近的根。
3. 数值积分实验(1)使用矩形法,求定积分∫f(x)dx在区间[a, b]上的近似值。
数值分析实验报告5篇

误差分析实验1.1(问题)实验目的:算法有“优”与“劣”之分,问题也有“好”与“坏”之别。
对数值方法的研究而言,所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者,反之属于好问题。
通过本实验可获得一个初步体会。
数值分析的大部分研究课题中,如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。
病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决,当然一般要付出一些代价(如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等)。
问题提出:考虑一个高次的代数多项式)1.1()()20()2)(1()(201∏=-=---=k k x x x x x p显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个,且每个根都是单重的。
现考虑该多项式的一个扰动)2.1(0)(19=+x x p ε其中ε是一个非常小的数。
这相当于是对(1.1)中19x 的系数作一个小的扰动。
我们希望比较(1.1)和(1.2)根的差别,从而分析方程(1.1)的解对扰动的敏感性。
实验内容:为了实现方便,我们先介绍两个Matlab 函数:“roots ”和“poly ”。
roots(a)u =其中若变量a 存储n+1维的向量,则该函数的输出u 为一个n 维的向量。
设a 的元素依次为121,,,+n a a a ,则输出u 的各分量是多项式方程01121=+++++-n n n n a x a x a x a的全部根;而函数poly(v)b =的输出b 是一个n+1维变量,它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。
可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。
;000000001.0=ess );21,1(zeros ve = ;)2(ess ve =))20:1((ve poly roots +上述简单的Matlab 程序便得到(1.2)的全部根,程序中的“ess ”即是(1.2)中的ε。
实验要求:(1)选择充分小的ess ,反复进行上述实验,记录结果的变化并分析它们。
数值分析实验报告三

grid
[k,x,wuca,yx]=erfen (﹣1,1,10^-5)
2)运行结果
ans =
0 -1.0000 1.0000 0 1.0000 -11.6321 10.7183 -1.0000
ans =
1.0000 0 1.0000 0.5000 0.5000 -1.0000 10.7183 4.6487
ans =
11.0000 0.0898 0.0908 0.0903 0.0005 -0.0076 0.0033 -0.0021
ans =
12.0000 0.0903 0.0908 0.0906 0.0002 -0.0021 0.0033 0.0006
ans =
13.0000 0.0903 0.0906 0.0905 0.0001 -0.0021 0.0006 -0.0008
ans =
7.0000 0.1256 0.0008 0.0033 0.0262
ans =
8.0000 0.1240 0.0002 0.0016 0.0129
ans =
9.0000 0.1233 0.0000 0.0007 0.0056
ans =
9.0000 0.1233 0.0000 0.0007 0.0056
(2)、Use the iteration method ,the initial value .
2、The equation has two roots near 0.1.
Determine them by means ofNewton’s method.
(with accuracy )
3、用迭代法求方程 附近的一个根。方程写成下
k = 9
数值分析实验报告

数值分析实验报告数值分析实验报告姓名:张献鹏学号:173511038专业:冶金工程班级:重冶二班目录1拉格朗日插值 (1)11.1问题背景.....................................................................................................11.2数学模型.....................................................................................................1.3计算方法1.....................................................................................................21.4数值分析.....................................................................................................2复化辛普森求积公式 (2)2.1问题背景2.....................................................................................................32.2数学模型.....................................................................................................32.3计算方法.....................................................................................................2.4数值分析5.....................................................................................................3矩阵的 LU 分解 (6)63.1问题背景.....................................................................................................3.2数学模型6.....................................................................................................3.2.1理论基础 (6)3.2.2实例 (7)73.3计算方法.....................................................................................................3.4小组元的误差 (8)4二分法求方程的根 (9)94.1问题背景.....................................................................................................94.2数学模型.....................................................................................................4.3计算方法9.....................................................................................................4.4二分法的收敛性 (11)5雅可比迭代求解方程组 (11)115.1问题背景...................................................................................................5.2数学模型11...................................................................................................5.2.1理论基础 (11)5.2.2实例 (12)5.3计算方法 (12)5.4收敛性分析 (13)6Romberg 求积法 (14)6.1问题背景 (14)6.2数学模型: (14)6.2.1理论基础 (14)6.2.2实例 (14)6.3计算方法 (15)6.4误差分析 (16)7幂法 (16)7.1问题背景 (16)7.2数学模型 (16)7.2.1理论基础 (16)7.2.2实例 (17)7.3计算方法 (17)7.4误差分析 (18)8改进欧拉法 (18)8.1问题背景 (18)8.2数学模型 (19)8.2.1理论基础 (19)8.2.2实例 (19)8.3数学模型 (19)8.4误差分析 (21)1拉格朗日插值1.1问题背景1f ( x)2, 5 x 5 求拉格朗日插值。
数值_分析实验报告

一、实验目的1. 理解数值分析的基本概念和方法;2. 掌握线性方程组的求解方法,如雅可比迭代法、高斯赛德尔迭代法和SOR迭代法;3. 利用MATLAB软件进行数值计算,并分析结果。
二、实验原理1. 数值分析是研究如何用数值方法求解数学问题的学科,其核心是误差分析和算法设计。
2. 线性方程组是数值分析中的基本问题之一,常见的求解方法有直接法和迭代法。
3. 雅可比迭代法、高斯赛德尔迭代法和SOR迭代法是三种常用的迭代法,它们通过迭代过程逐步逼近方程组的解。
4. MATLAB是一种高性能的科学计算软件,具有强大的数值计算和可视化功能。
三、实验内容1. 实验一:雅可比迭代法(1)原理:雅可比迭代法是求解线性方程组的迭代法之一,其基本思想是将线性方程组分解为多个子方程,然后依次求解子方程,逐步逼近方程组的解。
(2)步骤:a. 输入系数矩阵A和常数向量B;b. 初始化迭代变量X0;c. 计算对角矩阵D、上三角矩阵L和下三角矩阵U;d. 进行迭代计算,直到满足精度要求或达到最大迭代次数;e. 输出解向量X。
(3)MATLAB代码实现:```MATLABfunction [X, K] = JACOBI(A, B, X0, E, N)[n, n] = size(A);D = diag(A);L = tril(A - D, -1);U = triu(A - D);K = 0;for i = 1:NX_new = (B - L \ U \ X0) / D;if norm(X_new - X0) < Ebreak;endX0 = X_new;K = K + 1;endX = X_new;end```2. 实验二:高斯赛德尔迭代法(1)原理:高斯赛德尔迭代法是另一种求解线性方程组的迭代法,其基本思想是在每次迭代中,利用已求得的近似解来更新下一个近似解。
(2)步骤:a. 输入系数矩阵A和常数向量B;b. 初始化迭代变量X0;c. 进行迭代计算,直到满足精度要求或达到最大迭代次数;d. 输出解向量X。
数值分析拟合实验报告(3篇)

第1篇一、实验目的本次实验旨在通过数值分析方法对一组已知数据点进行拟合,掌握线性插值、多项式插值、样条插值等方法的基本原理和实现过程,并学会使用MATLAB进行数值拟合。
二、实验内容1. 线性插值线性插值是一种简单的插值方法,适用于数据点分布较为均匀的情况。
其基本原理是通过两个相邻的数据点,利用线性关系拟合出一条直线,然后通过该直线来估算未知的值。
2. 多项式插值多项式插值是一种较为精确的插值方法,通过构造一个多项式函数来逼近已知数据点。
其基本原理是利用最小二乘法求解多项式的系数,使得多项式在已知数据点上的误差最小。
3. 样条插值样条插值是一种更灵活的插值方法,通过构造一系列样条曲线来逼近已知数据点。
其基本原理是利用最小二乘法求解样条曲线的系数,使得样条曲线在已知数据点上的误差最小。
三、实验步骤1. 线性插值(1)在MATLAB中输入已知数据点,如:x = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2, 4, 6, 8, 10];(2)使用MATLAB内置函数`linspace`生成插值点:xi = linspace(1, 5, 100);(3)使用MATLAB内置函数`interp1`进行线性插值:yi = interp1(x, y, xi, 'linear');(4)绘制插值曲线:plot(xi, yi, 'b-', x, y, 'ro');2. 多项式插值(1)在MATLAB中输入已知数据点,如:x = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2, 4, 6, 8, 10];(2)使用MATLAB内置函数`polyfit`求解多项式系数:p = polyfit(x, y, 3);(3)使用MATLAB内置函数`polyval`进行多项式插值:yi = polyval(p, xi);(4)绘制插值曲线:plot(xi, yi, 'b-', x, y, 'ro');3. 样条插值(1)在MATLAB中输入已知数据点,如:x = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2, 4, 6, 8, 10];(2)使用MATLAB内置函数`spline`进行样条插值:yi = spline(x, y, xi);(3)绘制插值曲线:plot(xi, yi, 'b-', x, y, 'ro');四、实验结果与分析1. 线性插值线性插值方法简单易行,但精度较低,适用于数据点分布较为均匀的情况。
数值分析的实验报告

数值分析的实验报告数值分析的实验报告导言数值分析是一门研究数值计算方法和数值计算误差的学科,它在科学计算、工程技术和社会经济等领域具有广泛的应用。
本实验旨在通过对数值分析方法的实际应用,验证其有效性和可靠性。
实验一:方程求根方程求根是数值分析中的基础问题之一。
我们选取了一个非线性方程进行求解。
首先,我们使用二分法进行求解。
通过多次迭代,我们得到了方程的一个近似解。
然后,我们使用牛顿法进行求解。
与二分法相比,牛顿法的收敛速度更快,但需要选择一个初始点。
通过比较两种方法的结果,我们验证了牛顿法的高效性。
实验二:插值与拟合插值与拟合是数值分析中常用的数据处理方法。
我们选取了一组实验数据,通过拉格朗日插值法和最小二乘法进行插值和拟合。
通过对比两种方法的拟合效果,我们验证了最小二乘法在处理含有噪声数据时的优势。
同时,我们还讨论了插值和拟合的精度与样本点数量之间的关系。
实验三:数值积分数值积分是数值分析中的重要内容之一。
我们选取了一个定积分进行计算。
首先,我们使用复化梯形公式进行积分计算。
通过增加分割区间的数量,我们得到了更精确的结果。
然后,我们使用复化辛普森公式进行积分计算。
与复化梯形公式相比,复化辛普森公式具有更高的精度。
通过比较两种方法的结果,我们验证了复化辛普森公式的优越性。
实验四:常微分方程数值解常微分方程数值解是数值分析中的重要应用之一。
我们选取了一个常微分方程进行数值解的计算。
首先,我们使用欧拉方法进行数值解的计算。
然后,我们使用改进的欧拉方法进行数值解的计算。
通过比较两种方法的结果,我们验证了改进的欧拉方法的更高精度和更好的稳定性。
实验五:线性方程组的数值解法线性方程组的数值解法是数值分析中的重要内容之一。
我们选取了一个线性方程组进行数值解的计算。
首先,我们使用高斯消元法进行数值解的计算。
然后,我们使用追赶法进行数值解的计算。
通过比较两种方法的结果,我们验证了追赶法在求解三对角线性方程组时的高效性。
数值分析实验报告

数值分析实验报告一、实验目的数值分析是一门研究用计算机求解数学问题的数值方法及其理论的学科。
本次实验的目的在于通过实际操作和编程实现,深入理解和掌握数值分析中的常见算法,提高运用数值方法解决实际问题的能力,并对算法的精度、稳定性和效率进行分析和比较。
二、实验环境本次实验使用的编程语言为 Python,使用的开发工具为 PyCharm。
实验所依赖的主要库包括 NumPy、Matplotlib 等。
三、实验内容(一)函数逼近与插值1、拉格朗日插值法通过给定的离散数据点,构建拉格朗日插值多项式,对未知点进行函数值的估计。
2、牛顿插值法与拉格朗日插值法类似,但采用了不同的形式和计算方式。
(二)数值积分1、梯形公式将积分区间划分为若干个梯形,通过计算梯形面积之和来近似积分值。
2、辛普森公式基于抛物线拟合的方法,提高积分近似的精度。
(三)线性方程组求解1、高斯消元法通过逐行消元将线性方程组化为上三角形式,然后回代求解。
2、 LU 分解法将系数矩阵分解为下三角矩阵 L 和上三角矩阵 U,然后通过两次前代和回代求解。
(四)非线性方程求解1、二分法通过不断将区间一分为二,逐步缩小根所在的区间,直到满足精度要求。
2、牛顿迭代法利用函数的切线来逼近根,通过迭代逐步收敛到根的近似值。
四、实验步骤(一)函数逼近与插值1、拉格朗日插值法定义计算拉格朗日基函数的函数。
根据给定的数据点和待求点,计算插值多项式的值。
输出插值结果,并与真实值进行比较。
2、牛顿插值法计算差商表。
构建牛顿插值多项式。
进行插值计算和结果分析。
(二)数值积分1、梯形公式定义积分区间和被积函数。
按照梯形公式计算积分近似值。
分析误差。
2、辛普森公式同样定义积分区间和被积函数。
运用辛普森公式计算积分近似值。
比较与梯形公式的精度差异。
(三)线性方程组求解1、高斯消元法输入系数矩阵和右端项向量。
进行消元操作。
回代求解方程。
输出解向量。
2、 LU 分解法对系数矩阵进行 LU 分解。
工程数值分析实验报告(3篇)

第1篇一、实验目的本次实验旨在通过数值分析的方法,对工程实际问题进行建模、求解和分析。
通过学习数值方法的基本原理和算法,提高解决实际工程问题的能力。
二、实验内容1. 线性方程组的求解2. 矩阵特征值与特征向量的计算3. 函数插值与曲线拟合4. 数值微分与积分三、实验步骤1. 线性方程组的求解(1)编写程序实现高斯消元法、克劳斯消元法和列主元素法(2)设计输入界面,用户输入增广矩阵的行和列,填写系数及常数项(3)分别运用三种方法求解线性方程组,比较求解结果的正确性、数值稳定性和计算效率2. 矩阵特征值与特征向量的计算(1)编写程序实现幂法、QR算法和逆幂法(2)设计输入界面,用户输入矩阵的行和列,填写矩阵元素(3)分别运用三种方法计算矩阵的特征值与特征向量,比较求解结果的准确性和计算效率3. 函数插值与曲线拟合(1)编写程序实现拉格朗日插值、牛顿插值和样条插值(2)设计输入界面,用户输入函数的自变量和函数值,选择插值方法(3)分别运用三种方法进行函数插值,比较插值结果的准确性和光滑性4. 数值微分与积分(1)编写程序实现有限差分法、龙格-库塔法和辛普森法(2)设计输入界面,用户输入函数的导数或积分的上下限,选择数值方法(3)分别运用三种方法进行数值微分和积分,比较求解结果的准确性和计算效率四、实验结果与分析1. 线性方程组的求解通过实验,我们发现列主元素法在求解线性方程组时具有较好的数值稳定性,计算效率也较高。
而高斯消元法和克劳斯消元法在处理大型稀疏矩阵时存在一定的困难。
2. 矩阵特征值与特征向量的计算实验结果表明,QR算法和逆幂法在计算矩阵特征值与特征向量时具有较高的准确性和计算效率。
幂法在处理大型稀疏矩阵时表现出较好的性能。
3. 函数插值与曲线拟合在函数插值和曲线拟合实验中,样条插值方法具有较好的准确性和光滑性。
拉格朗日插值和牛顿插值方法在处理简单函数时表现良好,但在处理复杂函数时可能存在精度问题。
数值分析实验报告doc

数值分析实验报告篇一:数值分析实验报告(一)(完整)数值分析实验报告12345篇二:数值分析实验报告数值分析实验报告课题一:解线性方程组的直接方法1.实验目的:1、通过该课题的实验,体会模块化结构程序设计方法的优点;2、运用所学的计算方法,解决各类线性方程组的直接算法;3、提高分析和解决问题的能力,做到学以致用;4、通过三对角形线性方程组的解法,体会稀疏线性方程组解法的特点。
2.实验过程:实验代码:#include "stdio.h"#include "math.h"#includeusing namespace std;//Gauss法void lzy(double **a,double *b,int n) {int i,j,k;double l,x[10],temp;for(k=0;k {for(j=k,i=k;j {if(j==k)temp=fabs(a[j][k]);else if(temp {temp=fabs(a[j][k]);i=j;}}if(temp==0){cout return;}elsefor(j=k;j {temp=a[k][j];a[k][j]=a[i][j];a[i][j]=temp;}temp=b[k];b[k]=b[i];b[i]=temp;}for(i=k+1;i {l=a[i][k]/a[k][k];for(j=k;j a[i][j]=a[i][j]-l*a[k][j]; b[i]=b[i]-l*b[k];}}if(a[n-1][n-1]==0){cout return;}x[n-1]=b[n-1]/a[n-1][n-1];for(i=n-2;i>=0;i--)temp=0;for(j=i+1;j temp=temp+a[i][j]*x[j]; x[i]=(b[i]-temp)/a[i][i];}for(i=0;i {printf("x%d=%lf\t",i+1,x[i]);printf("\n");}}//平方根法void pfg(double **a,double *b,int n) {int i,k,m;double x[8],y[8],temp;for(k=0;k {temp=0;for(m=0;m temp=temp+pow(a[k][m],2); if(a[k][k] return;a[k][k]=pow((a[k][k]-temp),1.0/2.0); for(i=k+1;i {temp=0;for(m=0;m temp=temp+a[i][m]*a[k][m]; a[i][k]=(a[i][k]-temp)/a[k][k];}temp=0;for(m=0;m temp=temp+a[k][m]*y[m];y[k]=(b[k]-temp)/a[k][k];}x[n-1]=y[n-1]/a[n-1][n-1];for(k=n-2;k>=0;k--){temp=0;for(m=k+1;m temp=temp+a[m][k]*x[m];x[k]=(y[k]-temp)/a[k][k];}for(i=0;i {printf("x%d=%lf\t",i+1(转自:小草范文网:数值分析实验报告),x[i]);printf("\n");}}//追赶法void zgf(double **a,double *b,int n){int i;double a0[10],c[10],d[10],a1[10],b1[10],x[10],y[10];for(i=0;i {a0[i]=a[i][i];if(i c[i]=a[i][i+1];if(i>0)d[i-1]=a[i][i-1];}a1[0]=a0[0];for(i=0;i {b1[i]=c[i]/a1[i];a1[i+1]=a0[i+1]-d[i+1]*b1[i];}y[0]=b[0]/a1[0];for(i=1;i y[i]=(b[i]-d[i]*y[i-1])/a1[i];x[n-1]=y[n-1];for(i=n-2;i>=0;i--)x[i]=y[i]-b1[i]*x[i+1];for(i=0;i {printf("x%d=%lf\t",i+1,x[i]);printf("\n");}}int main(){int n,i,j;double **A,**B,**C,*B1,*B2,*B3;A=(double **)malloc(n*sizeof(double)); B=(double **)malloc(n*sizeof(double));C=(double **)malloc(n*sizeof(double));B1=(double *)malloc(n*sizeof(double));B2=(double *)malloc(n*sizeof(double));B3=(double *)malloc(n*sizeof(double));for(i=0;i {A[i]=(double *)malloc((n)*sizeof(double));B[i]=(double*)malloc((n)*sizeof(double));C[i]=(double*)malloc((n)*sizeof(double)); }cout cin>>n;cout for(i=0;i for(j=0;j篇三:数值分析实验报告(包含源程序)课程实验报告课程实验报告。
数值计算方法实验报告

数值计算方法实验报告一、实验目的本实验旨在通过数值计算方法的实验操作,深入理解数值计算方法的原理与应用,掌握数值计算方法的相关技能,提高数值计算方法的实际应用能力。
二、实验内容1.数值微积分2.数值代数3.数值微分方程4.数值线性代数5.数值优化6.数值统计分析7.数值随机模拟8.数值傅立叶分析9.数值偏微分方程三、实验步骤1.数值微积分:通过不同的数值积分方法,计算给定函数的定积分值,并对不同数值积分方法的误差进行分析。
2.数值代数:通过使用线性代数方法,求解给定的线性方程组,并分析不同线性方程组求解方法的优劣。
3.数值微分方程:通过使用常微分方程数值解法,求解给定的微分方程,并比较不同求解方法的精度和稳定性。
4.数值线性代数:通过使用特征值分解方法,对给定的矩阵进行特征值分解,并分析不同特征值分解方法的优缺点。
5.数值优化:通过使用不同的优化方法,求解给定的优化问题,并比较不同的优化方法的效率和精度。
6.数值统计分析:通过使用不同的统计分析方法,对给定的数据进行统计分析,并分析不同的统计方法的优缺点。
7.数值随机模拟:通过使用随机模拟方法,模拟给定的概率分布,并分析不同随机模拟方法的效率和精度。
8.数值傅立叶分析:通过使用傅立叶分析方法,对给定的信号进行频谱分析,并分析不同的傅立叶分析方法的优缺点。
9.数值偏微分方程:通过使用偏微分方程数值解法,求解给定的偏微分方程,并比较不同求解方法的精度和稳定性。
四、实验结果与分析本实验中,通过对不同的数值计算方法的实验操作,我们可以更深入地理解数值计算方法的原理与应用,并掌握数值计算方法的相关技能,提高数值计算方法的实际应用能力。
同时,通过实验结果的分析,我们可以更好地比较不同数值计算方法的优缺点,为实际应用提供参考依据。
五、实验总结本实验旨在通过数值计算方法的实验操作,深入理解数值计算方法的原理与应用,掌握数值计算方法的相关技能,提高数值计算方法的实际应用能力。
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数值实验报告五
班级:2017级学号:**** 姓名:***
2017.12.5
1.数值实验问题
试用雅可比迭代法,高斯-赛德尔迭代法,超松驰迭代计算线性方程组:
取=(0,0,0,松弛因子分别取w=0.1t,1要求达到精度。
试通过数值计算得出不同的松弛因子所需要的迭代次数和收敛最快的松弛因子,并指出哪些松弛因子使得迭代发散。
2.数值方法
A=, L=-,
U=-, D=diag()
(1)雅可比迭代公式:
D.
(2)高斯-赛德尔迭代法公式:
(3)超松驰迭代方法公式:
其中w为松弛因子。
3.数值结果
如下表
最后四组,测得其在前10次内迭代所产生的结果,其中每一列为一
次迭代结果,分别如图:
SOR-1.6
SOR-1.7
SOR-1.8
SOR-1.9
由于计算数据限制,其前五十列数据基本为空,所以取51到60列
由此看出,最后四组数据是发散的,数据结果不稳定,不收敛。
所以最后四组得不到所需数据。
4.讨论
本次实验,分别用雅可比迭代公式,高斯-赛德尔迭代公式,超松驰迭代公式计算了此线性方程组。
其中,雅可比和高斯迭代能够很好的进行运算,而超松驰迭代方法中,若松弛因子取得不够恰当,则会导致整个运算失败,得不到所需的结果,迭代不收敛,发散。
此外,在进行初始值的赋值中,我是对每个矩阵都进行了赋值操作,而更简便的是,调用matlab中存在的函数,对矩阵进行运算,从而简化操作和代码,也使程序适用性更广。
程序代码:
1.雅可比迭代
function [x]=yakebi(D,L,U,b,j)
format long
B=D\(L+U);
k=0;
x=[0;0;0];
xk=zeros(size(x));
xk1=zeros(size(x));
for k=1:10000
xk=x;
x=B*x+f;
xk1=x;
C=xk1-xk;
if norm(C)<=j
disp(xk);
disp(xk1);
disp(k);
disp(norm(C));
break
end
end
function [x]=yakebi(D,L,U,b,j) format long
B=D\(L+U);
k=0;
x=[0;0;0];
xk=zeros(size(x));
xk1=zeros(size(x));
for k=1:10000
xk=x;
x=B*x+f;
xk1=x;
C=xk1-xk;
if norm(C)<=j
disp(xk);
disp(xk1);
disp(k);
disp(norm(C));
break
end
end
2.高斯迭代
function [x]=gs(D,L,U,b,j) format long
B=(D-L)\U;
f=(D-L)\b;
k=0;
x=[0;0;0];
xk=zeros(size(x));
xk1=zeros(size(x));
for k=1:10000
xk=x;
x=B*x+f;
xk1=x;
C=xk1-xk;
if norm(C)<=j
disp(xk);
disp(xk1);
disp(k);
disp(norm(C));
break
end
end
D=diag([-55 36 47]);
j=10^-4;
L=[0 0 0;-21 0 0;-24 -7 0];
U=[0 5 -12;0 0 13; 0 0 0];
b=[41;52;12];
x=[0;0;0];
l=gs(D,L,U,b,j);
3.超松驰迭代
function [x]=sor(D,L,U,b,j,w) format long
Q=(1-w).*D+w.*U;
B=(D-w.*L)\Q;
f=(D-w.*L)\(w.*b);
k=0;
x=[0;0;0];
xk=zeros(size(x));
xk1=zeros(size(x));
for k=1:100
xk=x;
x=B*x+f;
xk1=x;
C=xk1-xk;
if norm(C)<=j
disp(xk);
disp(xk1);
disp(k);
disp(norm(C));
break
end
end
D=diag([-55 36 47]);
j=10^-4;
L=[0 0 0;-21 0 0;-24 -7 0]; U=[0 5 -12;0 0 13; 0 0 0]; b=[41;52;12];
x=[0;0;0];
for t=1:19
w=0.1*t;
l=sor(D,L,U,b,j,w);
end。