工科数学分析课件 Chap7第1节 定积分的概念
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定积分的概念 课件
a
f(x)dx等于由直线x＝a，x＝b，y＝0与
曲线y＝f(x)围成曲边梯形的面积，这是定积分的几何意义．
b
(2)计算
a
f(x)dx时，先明确积分区间[a，b]，从而确定曲
边梯形的三条直边x＝a，x＝b，y＝0，再明确被积函数f(x)，
从而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求曲边梯形的面积
S而得到定积分的值：
c
f(x)dx
(其中a<c<b)．
[点睛] 性质(1)的等式左边是一个定积分，等式右边是常数与 一个定积分的乘积． 性质(2)对于有限个函数(两个以上)也成立． 性质(3)对于把区间[a，b]分成有限个(两个以上)区间也 成立．
利用定义求定积分
3
[典例] 利用定义求定积分0x2dx. [解] 令f(x)＝x2，
n
(3)求和：
i＝1Leabharlann f(ξi)·b－n a；
b
(4)取极限：a
n
f(x)＝lim n i＝1
b－a f(ξi)· n .
用定积分的性质求定积分
[典例]
(1)f(x)＝x2＋ x2，1，1≤0≤x≤x<21.，
2
则
f(x)dx＝(
0
)
2
A. (x＋1)dx 0
2
B. 2x2dx 0
1
2
C. (x＋1)dx＋ 2x2dx
(1)如果被积函数是几个简单函数的和的形式，利用定 积分的线性性质进行计算，可以简化计算．
(2)如果被积函数含有绝对值或被积函数为分段函数， 一般利用积分区间的连续可加性计算．
用定积分的几何意义求定积分
[典例] 根据定积分的几何意义，求下列定积分的值．
《定积分的概念》ppt课件
f
()(ba)
(ab).
性质7的几何意义：
在[a,b]上至少有 ，一使得 [a,以 b]为底边，以曲
y f (x)为曲边的曲A边a梯 B的 b形 面积等于同一
而高f为 ()的矩形的. 面积
假如函数f〔x〕在闭区间[a,b]上连续，我们
称b1aabf (x)dx
如已知某为地函某数时f自〔0x至〕2在4时[a,天b]上气的温平度均曲值线.为f(t),
曲线 f(x)f((x)0 )、x轴及两条直线x=a,x=b所围 成的曲边梯形面积A等于函数f(x)在区间[a,b]上的定积 分，即
Aabf(x)dx.
质点在变力F(s)作用下作直线运动，由起始位置a 移动到b，变力对质点所做之功等于函数F(s)在[a,b] 上的定积分，即
WabF(s)ds
假如函数f〔x〕在区间[a,b]上的定积分存在， 那么称函数f〔x〕在区间[a,b]上可积.
如果在[a,b]上 f(x)0，此时由曲线y=f(x)，直线 x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，则
定积分ab f (x)dx在几何上表示上述曲边梯形的面积A的
相反数.
假如在[a,b]上f〔x〕既可取正值又可取负值，那
么定积ab分f (x)dx 在几何上表示介于曲线y=f〔x〕，
直线x=a，x=b及x轴之间的各部分面积的代数和.
[x0,x1],[x1,x2],,[xi1,xi],,[xn1,xn]
各个小区间的长度为
xi xi xi1
在每一个小[x区 i1,x间 i]上任取一i(点 xi 1ixi),
n
作和 (简式 称积 ) 分 f和 (i)x式 i
i1
记max{xi,x2,...,xn}，如果对[a区 ,b]间 任一分法 和小区[x间 i1,xi]上点 i任意取法，只 要0时 当，上
定积分的概念 课件
答案 相等.
梳理 从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有 f(x)≥0， 那么定积分ʃ baf(x)dx表示由 直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f(x) 所围 成的曲边梯形的面积.这就是定积分ʃ baf(x)dx的几何意义. 注意：f(x)<0(图象在x轴的下方)时，ʃ baf(x)dx<0，－ ʃ baf(x)dx等于曲边梯 形的面积.
n b－a
n
取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式 f(ξi)Δx＝ i＝1
n
f(ξi) ，当n→∞时，
i＝1
上述和式无限接近某个 常数 ，这个 常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定
积分，记作 ʃ baf(x)d，x 即 ʃ baf(x＝)
n f，(ξi)这里，a与b分别叫做
知识点三 定积分的性质
思考 你能根据定积分的几何意义解释 ʃ baf(x)dx＝ʃ caf(x)dx＋ʃ bcf(x)dx(其中 a<c<b)吗？ 答案 直线x＝c把一个大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此大曲 边梯形的面积S是两个小曲边梯形的面积S1，S2之和，即S＝S1＋S2.
梳理 (1)ʃ bakf(x)dx＝ kʃ baf(x)dx (k 为常数). (2)ʃ ba[f1(x)±f2(x)]dx＝ ʃ baf1(x)dx±ʃ baf2(x)dx . (3)ʃ baf(x)dx＝ ʃ caf(x)dx＋ʃ bcf(x)dx (其中 a<c<b).
类型一 利用定积分的定义求定积分 例 1 利用定积分的定义，计算 ʃ 21(3x＋2)dx 的值.
类型二 利用定积分的性质求定积分
例 2 已知 ʃ10x3dx＝14，ʃ21x3dx＝145，ʃ21x2dx＝73，ʃ42x2dx＝536，求下列各式的值. (1)ʃ 20(3x3)dx； 解 ʃ 20(3x3)dx＝3ʃ 20x3dx
梳理 从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有 f(x)≥0， 那么定积分ʃ baf(x)dx表示由 直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f(x) 所围 成的曲边梯形的面积.这就是定积分ʃ baf(x)dx的几何意义. 注意：f(x)<0(图象在x轴的下方)时，ʃ baf(x)dx<0，－ ʃ baf(x)dx等于曲边梯 形的面积.
n b－a
n
取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式 f(ξi)Δx＝ i＝1
n
f(ξi) ，当n→∞时，
i＝1
上述和式无限接近某个 常数 ，这个 常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定
积分，记作 ʃ baf(x)d，x 即 ʃ baf(x＝)
n f，(ξi)这里，a与b分别叫做
知识点三 定积分的性质
思考 你能根据定积分的几何意义解释 ʃ baf(x)dx＝ʃ caf(x)dx＋ʃ bcf(x)dx(其中 a<c<b)吗？ 答案 直线x＝c把一个大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此大曲 边梯形的面积S是两个小曲边梯形的面积S1，S2之和，即S＝S1＋S2.
梳理 (1)ʃ bakf(x)dx＝ kʃ baf(x)dx (k 为常数). (2)ʃ ba[f1(x)±f2(x)]dx＝ ʃ baf1(x)dx±ʃ baf2(x)dx . (3)ʃ baf(x)dx＝ ʃ caf(x)dx＋ʃ bcf(x)dx (其中 a<c<b).
类型一 利用定积分的定义求定积分 例 1 利用定积分的定义，计算 ʃ 21(3x＋2)dx 的值.
类型二 利用定积分的性质求定积分
例 2 已知 ʃ10x3dx＝14，ʃ21x3dx＝145，ʃ21x2dx＝73，ʃ42x2dx＝536，求下列各式的值. (1)ʃ 20(3x3)dx； 解 ʃ 20(3x3)dx＝3ʃ 20x3dx
定积分的概念【高等数学PPT课件】
4
2
ba , 24 4
2 4
2 4
sin xdx x
2 2, 4
1
2
2
4
sin xdx x
2. 2
性质7（定积分中值定理）
如果函数f ( x)在闭区间[a, b]上连续，
则在积分区间[a, b]上至少存在一点,
使
b
f ( x)dx
则 b a
f
(
x
)dx
0.
(a b)
例3 比较积分值 -2 e xdx和 2 xdx的大小.
0
0
解 令 f ( x) e x x, x [2, 0]
f ( x) 0,
0 (e x x)dx 0, 2
0 e xdx
0
xdx,
2
2
f ()(b a)
(a b).
a
积分中值公式
证
m(b
a)
b
a
f
( x)dx
M(b
a)
m
1b
b a a
f ( x)dx
M
由闭区间上连续函数的介值定理知
在区间[a, b]上至少存在一个点 ，
使
f
()
b
1
a
b
a
f
(
x)dx,
即
b
a f ( x)dx
dx x
的值.
解
f
(
x)
3
1 sin 3
定积分的概念及性质课件
度、磁场强度等；在弹性力学中，定积分可以用于求解应力和应变等问题。
06
定积分的进一步应用
积分变换
积分变换的定义
积分变换是一种将函数在某一区间内的行为转化为另一种函数的方法，常见的积分变换包括傅里叶变换和拉普拉斯变 换等。
积分变换的性质
积分变换具有一些重要的性质，例如线性性质、时间平移性质和微分性质等，这些性质在解决实际问题中具有广泛的 应用。
积分变换的应用
积分变换在信号处理、图像处理和控制系统等领域有着广泛的应用，通过积分变换可以将复杂的信号或 系统转换为易于分析和处理的函数形式。
傅里叶变换
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种将时间域函数转换为频域函数的方法， 它可以将一个时间函数分解成一系列不同频率的正弦和余 弦函数的线性组合。
傅里叶变换的性质
傅里叶变换具有一些重要的性质，例如线性性质、对称性 质和微分性质等，这些性质在解决实际问题中具有广泛的 应用。
傅里叶变换的应用
傅里叶变换在信号处理、图像处理和控制系统等领域有着 广泛的应用，通过傅里叶变换可以将复杂的信号或系统转 换为易于分析和处理的频域函数形式。
反常积分
反常积分的定义
反常积分是一种在无穷区间上定 义的积分，它通常用于处理一些 在无穷远处收敛的函数。
符号的意义
定积分的符号表示一个函 数在一个区间上的总值， 其中“∫”表示积分号。
计算公式
定积分可以通过一个公式
来计算x，其中a和b
是区间的端点。
02
定积分的性质
连续函数的积分性质
积分区间可加性
对于任意两个不相交的区间[a,b]和[b,c]，有$\int_{a}^{c}f(x)dx = \int_{a}^{b}f(x)dx + \int_{b}^{c}f(x)dx$。
06
定积分的进一步应用
积分变换
积分变换的定义
积分变换是一种将函数在某一区间内的行为转化为另一种函数的方法，常见的积分变换包括傅里叶变换和拉普拉斯变 换等。
积分变换的性质
积分变换具有一些重要的性质，例如线性性质、时间平移性质和微分性质等，这些性质在解决实际问题中具有广泛的 应用。
积分变换的应用
积分变换在信号处理、图像处理和控制系统等领域有着广泛的应用，通过积分变换可以将复杂的信号或 系统转换为易于分析和处理的函数形式。
傅里叶变换
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种将时间域函数转换为频域函数的方法， 它可以将一个时间函数分解成一系列不同频率的正弦和余 弦函数的线性组合。
傅里叶变换的性质
傅里叶变换具有一些重要的性质，例如线性性质、对称性 质和微分性质等，这些性质在解决实际问题中具有广泛的 应用。
傅里叶变换的应用
傅里叶变换在信号处理、图像处理和控制系统等领域有着 广泛的应用，通过傅里叶变换可以将复杂的信号或系统转 换为易于分析和处理的频域函数形式。
反常积分
反常积分的定义
反常积分是一种在无穷区间上定 义的积分，它通常用于处理一些 在无穷远处收敛的函数。
符号的意义
定积分的符号表示一个函 数在一个区间上的总值， 其中“∫”表示积分号。
计算公式
定积分可以通过一个公式
来计算x，其中a和b
是区间的端点。
02
定积分的性质
连续函数的积分性质
积分区间可加性
对于任意两个不相交的区间[a,b]和[b,c]，有$\int_{a}^{c}f(x)dx = \int_{a}^{b}f(x)dx + \int_{b}^{c}f(x)dx$。
定积分概念、性质ppt课件
上例曲边图形的面积用定积分表示
S1x2d x lin m (n 1 )2 (n 1 )1
0
n 6 n 3
3
注意：据定义有如下说明:
(1)定积分是特殊和式极限,它是一个定数;
(2)定积分的大小仅与区间[a,b]和被积函数f(x)有关；
(3)规定：
a
f(x)d x0,
b
a
f(x)d x f(x)dx
b f (x)dx
b
g ( x)dx
a
a
推2 论 ：b
.
f(x)d
x
b
f（ x） dx,(ab)
a
a
因f(x)f(x)f(x)
.
性质6（介值定理）：设f(x)在[a,b]上可取得最大值M和最
小值m， 于是， 由性质5有
b
m (ba)af(x)d xM (ba)
几何意义也很明显
性质 7（积分中值若定函理 f(数 x)） 在[a： ,b]上连续，
S曲
lim n
n i 1
S i矩
lim
n
(n
1)( 2n 6n 2
1)
1 0.333 3
.
总结：求曲边梯形面积的步骤 v
引例1——曲边梯形的面积（演示） 引例2——变速直线运动的路程
设物体的运动速度 vvt
分割区间 作和
取近似值 取极限
T1
ti-1 i ti T2 t
（1）细分区间 [ T 1 ,T 2 ] [ T 1 ,t 1 ] U [ t 1 ,t2 ] U L U [ tn 1 ,T 2 ]
曲边梯形的面积，即：
n
S曲
.
lim
n i1
第一节-定积分的概念与性质PPT课件
A
C
oa
Ex
b
它们的面积计算都由公式给定，理解也相对简单。但是， 现实中还会有另外一些图形，它们的面积计算就无法由 给定的公式给出。如右上图。这样的图形面积应该怎么 计算呢？
考虑这样一个问题：
由连续曲线y=f (x) ( f(x)0,x [a,b])、x轴与两条直线
x=a、x=b所围成的图形，这个图像成为曲边梯形(如图)，
Solution: Divide the interval to four equal interval [0,1],[1,2],[2,3] and [3,4].
Left Riemann sum:
Right Riemann sum:
Midpoint Riemann sum:
Example 2: The function is continuous on the closed interval [0,10] and has values as shown in the table above. Using the intervals [0,2] [2,5] [5,8] and [8,10],what is
通常称F(x)是f(x)的一个原函数
(2) 在计算定积分时，常常用符号
来表示
F(b)−F(a)，牛顿—莱布尼茨公式也可以写作
常见函数的原函数
(1)0 的原函数＝__c_； (2)1 的原函数＝__x_＋__c___；
xα＋1
(3)xα 的原函数＝__α_＋__1___＋c(α≠－1，x>0)
(4)1x的原函数＝_____ln_|x_|＋__c_______(x≠0)；
(5)ex 的原函数＝_____ex_＋__c________； (6)ax 的原函数＝____l_an_xa＋__c________；
定积分的概念201901-PPT精选文档
n n
x
（4）取极限
1 i 1 S lim S lim f n n n i 1n n
n
引入2：汽车行驶的路程
问题：汽车以速度 v 匀速直线运动时， 经过时间 t 所行驶的路程为 S vt ．如果 汽车作变速直线运动，在时刻 t 的速度 2 为 v t t 2 （单位： km/h） ，那么它在 0≤ t ≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程 S （单位： km）是多少？
b
积 分 f ( x ) d x 在 几 何 上 表 示 yf (x)
a
y
上述曲边梯形面积的负值。
S [f(x)] dx
a
b
S[ f(x )] dx
a
b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
S f f ( x ) d x ( x ) d x f ( x ) d x 。 y f ( x)
练习：
i 1 i 2 , f ( x ) x n 1、当n很大时，函数 在区间 n
上的值，可以用( C )近似代替 1 2 ) ) A. f ( B. f ( n n C. f ( i ) D. f 0
x 2、在“近似代替”中，函数f(x)在区间 i,x i 1 上的 C 近似值等于（ ） A.只能是左端点的函数值 f ( xi ) B.只能是右端点的函数值 f ( xi1 ) C.可以是该区间内任一点的函数值 f ( )( x , x ) i i i i 1 D.以上答案均不正确
(2) 设物体运动的速度vv(t)，则此物体在时间区间 v v (t ) [a, b]内运动的距离s为 v
b a
s v ( t ) d t 。
定积分的概念-PPT精选
b
s a v(t)dt;
密 度 为 ( x ) 线 状 物 体 的 质 量 为
m b(x)dx. a 前页 后页 返回
关于定积分定义，应注意以下几点：
n
注1 表 达 式 JlT im 0i1f(i)xi 不 仅 与 n和 T有
关 , 还 与 { 1 ,2 , ,n } 有 关 , 因此定积分既不是数 列极限，也不是函数极限.
区 间 [xi1, xi]的长度不趋于 0 . 要 保 证 每 个 区 间 [ x i 1 , x i ] 的 长 度 趋 于 0 , 需 引 入 分 割 T 的 细 度 ( 模 ) :
T m a x x i i 1 ,2 , ,n .
则 当T0时 ,就能保证分割越来越细.
n
当v(t)v0为 匀 速 运 动 时 ， s v 0 ( b a ) ; 当质量是
均 匀 分 布 时 ， 即 x 为 常 数 时 , m(ba).
这就是说,在“常值”、“均匀”、“不变”的情况下
前页 后页 返回
可以用简单的乘法进行计算. 而现在遇到的问题 是“非常值” 、“不均匀”、“有变化”的情形， 如来何解决这些问题呢？ 以下我们以求曲边梯形的面积为例，把这类问题 合理地归为一类特殊的和式的极限. 中心思想： 把曲边梯形看作许许多多小的曲边梯形之和，每 个小曲边梯形面积，可近似地用矩形的面积来替
与S的差距就会越来越小.
i 1
问题是：
(1 )如 何 刻 划 分 割 越 来 越细？
n
(2 )如 何 刻 划 f(i)x i越 来 越 逼 近 于 S ? i 1
下面依次讨论这两个问题.
前页 后页 返回
( 1 ) 对 于 一 般 的 T : a 0 x 0 x 1 x n b , 不 能 用n来表示分割 T 越来越细,因为可能某些
s a v(t)dt;
密 度 为 ( x ) 线 状 物 体 的 质 量 为
m b(x)dx. a 前页 后页 返回
关于定积分定义，应注意以下几点：
n
注1 表 达 式 JlT im 0i1f(i)xi 不 仅 与 n和 T有
关 , 还 与 { 1 ,2 , ,n } 有 关 , 因此定积分既不是数 列极限，也不是函数极限.
区 间 [xi1, xi]的长度不趋于 0 . 要 保 证 每 个 区 间 [ x i 1 , x i ] 的 长 度 趋 于 0 , 需 引 入 分 割 T 的 细 度 ( 模 ) :
T m a x x i i 1 ,2 , ,n .
则 当T0时 ,就能保证分割越来越细.
n
当v(t)v0为 匀 速 运 动 时 ， s v 0 ( b a ) ; 当质量是
均 匀 分 布 时 ， 即 x 为 常 数 时 , m(ba).
这就是说,在“常值”、“均匀”、“不变”的情况下
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可以用简单的乘法进行计算. 而现在遇到的问题 是“非常值” 、“不均匀”、“有变化”的情形， 如来何解决这些问题呢？ 以下我们以求曲边梯形的面积为例，把这类问题 合理地归为一类特殊的和式的极限. 中心思想： 把曲边梯形看作许许多多小的曲边梯形之和，每 个小曲边梯形面积，可近似地用矩形的面积来替
与S的差距就会越来越小.
i 1
问题是：
(1 )如 何 刻 划 分 割 越 来 越细？
n
(2 )如 何 刻 划 f(i)x i越 来 越 逼 近 于 S ? i 1
下面依次讨论这两个问题.
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( 1 ) 对 于 一 般 的 T : a 0 x 0 x 1 x n b , 不 能 用n来表示分割 T 越来越细,因为可能某些
定积分的概念 课件
1n3·n1＋2n3·1n＋…＋nn3·n1.＝i＝n1 ni 3·n1.
(因为 x3 连续，所以 ξi 可随意取而不影响极限，故我们此处将 ξi 取为[xi，xi＋1] 的右端点也无妨)
(3)取极限：
n
i＝1
ni 3·1n＝n14i＝n1i3＝n14nn＋ 2 12＝411＋2n＋n12，
∴1x3dx＝lim
[解析] ∵y＝x3＋3x 为[－1,1]上的奇函数，图象关于原点对称，∴曲边梯形 在 x 轴上方部分面积与在 x 轴下方部分面积相等，由积分的几何意义知1 (x3＋
－1
3x)dx＝0.
『规律总结』 若函数f(x)的图象是某些特殊的图形，其面积运用几何方法 容易求解，求定积分时还可以利用几何意义求解．
定积分的概念
1．定积分的概念
如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b 将区
间[a，b]等分成 n 个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点 ξi(i＝1,2，…，n)， n b－a
作和式 Sn＝n f(ξi)Δx＝___i＝_1___n___f(_ξ_i)___(其中 Δx 为小区间长度)，当 n→∞时，上
2
5352－2xdx＝12×2×1＝1. ∴50f(x)dx＝20xdx＋32(4－x)dx＋5352－2xdx＝2＋32＋1＝92.
利用定积分求平面图形的面积
将下列曲线围成的平面区域的面积用定积分表示. (1)y＝0，y＝ x，x＝2； (2)y＝x－2，x＝y2.
[思路分析] 可先作出函数图象，再根据图象及几何意义把围成的平面区域的 面积进行表示．
kb
f(x)dx
(因为 x3 连续，所以 ξi 可随意取而不影响极限，故我们此处将 ξi 取为[xi，xi＋1] 的右端点也无妨)
(3)取极限：
n
i＝1
ni 3·1n＝n14i＝n1i3＝n14nn＋ 2 12＝411＋2n＋n12，
∴1x3dx＝lim
[解析] ∵y＝x3＋3x 为[－1,1]上的奇函数，图象关于原点对称，∴曲边梯形 在 x 轴上方部分面积与在 x 轴下方部分面积相等，由积分的几何意义知1 (x3＋
－1
3x)dx＝0.
『规律总结』 若函数f(x)的图象是某些特殊的图形，其面积运用几何方法 容易求解，求定积分时还可以利用几何意义求解．
定积分的概念
1．定积分的概念
如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b 将区
间[a，b]等分成 n 个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点 ξi(i＝1,2，…，n)， n b－a
作和式 Sn＝n f(ξi)Δx＝___i＝_1___n___f(_ξ_i)___(其中 Δx 为小区间长度)，当 n→∞时，上
2
5352－2xdx＝12×2×1＝1. ∴50f(x)dx＝20xdx＋32(4－x)dx＋5352－2xdx＝2＋32＋1＝92.
利用定积分求平面图形的面积
将下列曲线围成的平面区域的面积用定积分表示. (1)y＝0，y＝ x，x＝2； (2)y＝x－2，x＝y2.
[思路分析] 可先作出函数图象，再根据图象及几何意义把围成的平面区域的 面积进行表示．
kb
f(x)dx
定积分的概念 课件
(2)
2
1
1
-1
2d = 2.
d表示的是图②中阴影部分所示的梯形的面积,由于
3
2
这个梯形的面积为 , 所以
(3)
1
0
2
1
3
2
d = .
1- 2 d表示的是图③中阴影部分所示的半径为 1 的半
1
π
圆的面积,其值为 , 所以 -1
2
1- 2 d
=
π
.
2
①
②
③
定积分的概念
利用定义计算定积分
【例 1】 利用定积分的定义,计算
2
1
(3 + 2)d的值.
分析:将区间[1,2]等分为n个小区间,利用函数在每个小区间上的
左端点值求出Sn,其极限即为所求.
解:令 f(x)=3x+2.
(1)分割
在区间[1,2]上等间隔地插入(n-1)个分点,把区间[1,2]等分成 n
个小区间
+-1
1
,
( = 1,2, …,n),每个小区间的长度为 Δx=
+
−
(2)近似代替、求和
n+t-1
(t = 1,2, …,n),
n
n
n 3(n+t-1)
n 3(t-1)
n+i-1
1
5
则 Sn= ∑ n ·Δx= ∑
+
2
·
=
∑
+
n
n
n2
n
t=1
【例2】 说明下列定积分所表示的意义,并根据其意义求出定积分
的值:
(1)
2
1
1
-1
2d = 2.
d表示的是图②中阴影部分所示的梯形的面积,由于
3
2
这个梯形的面积为 , 所以
(3)
1
0
2
1
3
2
d = .
1- 2 d表示的是图③中阴影部分所示的半径为 1 的半
1
π
圆的面积,其值为 , 所以 -1
2
1- 2 d
=
π
.
2
①
②
③
定积分的概念
利用定义计算定积分
【例 1】 利用定积分的定义,计算
2
1
(3 + 2)d的值.
分析:将区间[1,2]等分为n个小区间,利用函数在每个小区间上的
左端点值求出Sn,其极限即为所求.
解:令 f(x)=3x+2.
(1)分割
在区间[1,2]上等间隔地插入(n-1)个分点,把区间[1,2]等分成 n
个小区间
+-1
1
,
( = 1,2, …,n),每个小区间的长度为 Δx=
+
−
(2)近似代替、求和
n+t-1
(t = 1,2, …,n),
n
n
n 3(n+t-1)
n 3(t-1)
n+i-1
1
5
则 Sn= ∑ n ·Δx= ∑
+
2
·
=
∑
+
n
n
n2
n
t=1
【例2】 说明下列定积分所表示的意义,并根据其意义求出定积分
的值:
(1)
定积分的概念 课件
a
若 f(x)≤0，则在[a，b]上曲边梯形的面积 S＝－bf(x)dx；
a
若在[a，c]上，f(x)≤0，在[c，b]上，f(x)≥0，则在[a，
b]上曲边梯形的面积 S＝－cf(x)dx＋bf(x)dx.
a
c
【正解】 05(x－2)dx＝S2－S1＝12×32－12×22＝52，故502(x －2)dx＝5.
∴05(x－2)dx＝S1＋S2＝12×22＋12×32＝123，
∴052(x－2)dx＝2×123＝13.
【错因分析】 在应用定积分的几何意义求定积分时，
错解中没有考虑在 x 轴下方的面积取负号，x 轴上方的面积取
正号，导致错误． 【防范措施】 若 f(x)≥0，则在[a，b]上曲边梯形的面
积 S＝bf(x)dx；
间[xi－1，xi]上任取一点 ξi(i＝1,2，…，n)，作和式 f(ξi)Δx
＝
，当 n→∞时，上述和式无限接近某个常
数，这个常数叫做函数 f(x)在区间[a，b]上的 定积分 ，记作
bf(x)dx，
a
即bf(x)dx＝
．
a
其中 a 与 b 分别叫做 积分下限 与 积分上限 ，区间 [a，b]叫做 积分区间 ，函数 f(x)叫做 被积函数 ，x 叫做 积分变量 ，f(x)dx 叫做 被积式 .
定积分的概念
定积分的概念 【问题导思】 分析求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程的步 骤，试找出它们的共同点． 【提示】 两个问题均可通过“分割、近似代替、求和、 取极限”解决．都可以归结为一个特定形式和的极限．
如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0<x1<…<xi －1<xi<…<xn＝b 将区间[a，b]等分成 n 个小区间，在每个小区
若 f(x)≤0，则在[a，b]上曲边梯形的面积 S＝－bf(x)dx；
a
若在[a，c]上，f(x)≤0，在[c，b]上，f(x)≥0，则在[a，
b]上曲边梯形的面积 S＝－cf(x)dx＋bf(x)dx.
a
c
【正解】 05(x－2)dx＝S2－S1＝12×32－12×22＝52，故502(x －2)dx＝5.
∴05(x－2)dx＝S1＋S2＝12×22＋12×32＝123，
∴052(x－2)dx＝2×123＝13.
【错因分析】 在应用定积分的几何意义求定积分时，
错解中没有考虑在 x 轴下方的面积取负号，x 轴上方的面积取
正号，导致错误． 【防范措施】 若 f(x)≥0，则在[a，b]上曲边梯形的面
积 S＝bf(x)dx；
间[xi－1，xi]上任取一点 ξi(i＝1,2，…，n)，作和式 f(ξi)Δx
＝
，当 n→∞时，上述和式无限接近某个常
数，这个常数叫做函数 f(x)在区间[a，b]上的 定积分 ，记作
bf(x)dx，
a
即bf(x)dx＝
．
a
其中 a 与 b 分别叫做 积分下限 与 积分上限 ，区间 [a，b]叫做 积分区间 ，函数 f(x)叫做 被积函数 ，x 叫做 积分变量 ，f(x)dx 叫做 被积式 .
定积分的概念
定积分的概念 【问题导思】 分析求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程的步 骤，试找出它们的共同点． 【提示】 两个问题均可通过“分割、近似代替、求和、 取极限”解决．都可以归结为一个特定形式和的极限．
如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0<x1<…<xi －1<xi<…<xn＝b 将区间[a，b]等分成 n 个小区间，在每个小区
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b a
f
(t )பைடு நூலகம்t
b a
f
(u)du
(3)规定：若a
a
b, b
f
xdx
b a
f
xdx
定积分的基本概念
几何意义
f ( x) 0,
b a
f
( x)dx
A
曲边梯形的面积
f ( x) 0,
b a
f
(
x
)dx
A
曲边梯形的面积 的负值
几何意义：
定积分的基本概念
它是介于 x 轴、函数 f ( x) 的图形及两条 直线 x a, x b 之间的各部分面积的代 数和． 在 x 轴上方的面积取正号； 在 x 轴下方的面 积取负号．
第六章 定积分
可积的条件
§1 定积分的基本概念
定积分的基本概念
问题的提出
实例1 （求曲边梯形的面积）
曲边梯形由连续曲线 y y f ( x)( f ( x) 0)、
y f (x)
x轴与两条直线x a、
A?
x b所围成.
oa
bx
定积分的基本概念
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
o
a
b xo
把区间[a, b]分成n个小区间， 各小区间的长度依次为
xi xi xi1，(i 1,2,)， 在各小区间上任取 一点i （i xi ）， 作乘积 f ( i )xi (i 1,2,)
记 max{x1 , x2 ,, xn }，如果不论对[a, b]
定积分的基本概念
怎样的分法，也不论在小区间[ xi1 , xi ]上
n
曲边梯形面积为
A lim 0 i1
f (i )xi
定积分的基本概念
实例2 （求变速直线运动的路程）
思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值．
定积分的基本概念
（1）分割 T1 t0 t1 t2 tn1 tn T2 ti ti ti1
点i 怎样的取法，只要当 0时，和 S 总趋于
确定的极限I ，我们称这个极限 I 为函数 f ( x )
记为
积分上限
积分下限
被
积 函
数
被
积
积
分
（Riemann和）
表
变
积分和
达
量
式
[a,b] 积分区间
注意：
定积分的基本概念
（1） 积分值仅与被积函数及积分区间有关，
而与积分变量的字母无关.
b a
f
( x)dx
定积分的基本概念
求简单函数积分
例1 利用定义计算定积分 1 x2dx. 0
解
将[0,1]n等分，分点为 xi
i ，(i n
1,2,, n)
小区间[ xi1 , xi ]的长度xi
1 ，(i n
1,2,, n)
取i xi ，(i 1,2,, n)
n
n
n
f (i )xi i 2xi xi2xi
（2）近似
si v( i )ti
部分路程值
某时刻的速度
n
（3）求和 s v( i )ti i 1
（4）取极限 max{t1, t2 ,, tn }
n
路程的精确值
s
lim
0
i 1
v(
i
)ti
定积分的基本概念
定积分的定义
定义1.1
在[a, b]中任意插入
若干个分点 a x0 x1 x2 xn1 xn b
定积分的基本概念
小结
１．定积分的实质：特殊和式的极限． ２．定积分的思想和方法：
分割 求和 取极限
化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
积零为整
取极限
精确值——定积分
作业 习题7.1 1(2)(3)
在每个小区间 [ xi1, xi ]
上任取一点 i，
o a x1
b x xi1ixi xn1
以 [ xi1, xi ]为底，f (i ) 为高的小矩形面积为
Ai f (i )xi
定积分的基本概念
曲边梯形面积的近似值为
n
A f (i )xi i 1
当分割无限加细 ,即小区间的最大长度
max{ x1 , x2 , xn } 0时，
例2 将和式极限表示成定积分.
lim 1 n n
sin
n
sin 2
n
sin (n 1)
n
解 原式
lim
n
1 n
sin
n
sin
2 n
sin
(n
1) n
sin
n n
lim 1 n sin i
n n i1 n
1
lim
n
n i 1
sin
i
n
n
1
sin xdx.
0
i xi
（四个小矩形）
a
b
（九个小矩形）
x
可以看出，小矩形越多，矩形总面积越 接近曲边梯形面积．
定积分的基本概念
曲边梯形如图所示，在区间 [a,b]内插入若干 个分点，a x0 x1 x2 xn1 xn b,
把区间 [a,b] 分成 n y
个小区间 [ xi1, xi ]， 长度为 xi xi xi1;
i 1
i 1
i 1
定积分的基本概念
n
i
2
1
i1 n n
1 n3
n
i 1
i2
1 n3
n(n
1)(2n 6
1)
1 1 1 2 1 , 6 n n
0 n
1 x2dx 0
n
lim 0 i1
i 2xi
lim 1 1 1 2 1 1 . n 6 n n 3
定积分的基本概念