工科数学分析课件 Chap7第1节 定积分的概念

（2）近似
si v( i )ti
部分路程值
某时刻的速度
n
（3）求和 s v( i )ti i 1
（4）取极限 max{t1, t2 ,, tn }
n
路程的精确值
s
lim
0
i 1
v(
i
)ti
定积分的基本概念
定积分的定义
定义1.1
在[a, b]中任意插入
若干个分点 a x0 x1 x2 xn1 xn b
点i 怎样的取法，只要当 0时，和 S 总趋于
确定的极限I ，我们称这个极限 I 为函数 f ( x )
记为
积分上限
积分下限
被
积 函
数
被
积
积
分
（Riemann和）
表
变
积分和
达
量
式
[a,b] 积分区间
注意：
定积分的基本概念
（1） 积分值仅与被积函数及积分区间有关，
而与积分变量的字母无关.
b a
f
( x)dx
（四个小矩形）
a
b
（九个小矩形）
x
可以看出，小矩形越多，矩形总面积越 接近曲边梯形面积．
定积分的基本概念
曲边梯形如图所示，在区间 [a,b]内插入若干 个分点，a x0 x1 x2 xn1 xn b,
把区间 [a,b] 分成 n y
个小区间 [ xi1, xi ]， 长度为 xi xi xi1;
把区间[a, b]分成n个小区间， 各小区间的长度依次为
xi xi xi1，(i 1,2,)， 在各小区间上任取 一点i （i xi ）， 作乘积 f ( i )xi (i 1,2,)
记 max{x1 , x2 ,, xn }，如果不论对[a, b]
定积分的基本概念
怎样的分法，也不论在小区间[ xi1 , xi ]上
在每个小区间 [ xi1, xi ]
上任取一点 i，
o a x1
b x xi1ixi xn1
以 [ xi1, xi ]为底，f (i ) 为高的小矩形面积为
Ai f (i )xi
定积分的基本概念
曲边梯形面积的近似值为
n
A f (i )xi i 1
当分割无限加细 ,即小区间的最大长度
max{ x1 , x2 , xn } 0时，
i 1
i 1
i 1
定积分的基本概念
n
i
2
1
i1 n n
1 n3
n
i 1
i2
1 n3
n(n
1)(2n 6
1)
1 1 1 2 1 , 6 n n
0 n
1 x2dx 0
n
lim 0 i1
i 2xi
lim 1 1 1 2 1 1 . n 6 n n 3
定积分的基本概念
第六章 定积分
可积的条件
§1 定积分的基本概念
定积分的基本概念
问题的提出
实例1 （求曲边梯形的面积）
曲边梯形由连续曲线 y y f ( x)( f ( x) 0)、
y f (x)
x轴与两条直线x a、
A?
x b所围成.
oa
bx
定积分的基本概念
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
o
a
b xo
定积分的基本概念
小结
１．定积分的实质：特殊和式的极限． ２．定积分的思想和方法：
分割 求和 取极限
化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
积零为整
取极限
精确值——定积分
作业 习题7.1 1(2)(3)
定积分的基本概念
求简单函数积分
例1 利用定义计算定积分 1 x2dx. 0
解
将[0,1]n等分，分点为 xi
i ，(i n
1,2,, n)
小区间[ xi1 , xi ]的长度xi
1 ，(i n
1,2,, n)
取i xi ，(i 1,2,, n)
n
n
n
f (i )xi i 2xi xi2xi
例2 将和式极限表示成定积分.
lim 1 n n
sin
n
sin 2
n
sin (n 1)
n
解 原式
lim
n
1 n
sin
n
sin
2 n
sin
(n
1) n
sin
n n
lim 1 n sin i
n n i1 n
1
lim
n
n i 1
sin
i
n
n
1
sin xdx.
0
i xi
b a
f
(t )dt
b百度文库a
f
(u)du
(3)规定：若a
a
b, b
f
xdx
b a
f
xdx
定积分的基本概念
几何意义
f ( x) 0,
b a
f
( x)dx
A
曲边梯形的面积
f ( x) 0,
b a
f
(
x
)dx
A
曲边梯形的面积 的负值
几何意义：
定积分的基本概念
它是介于 x 轴、函数 f ( x) 的图形及两条 直线 x a, x b 之间的各部分面积的代 数和． 在 x 轴上方的面积取正号； 在 x 轴下方的面 积取负号．
n
曲边梯形面积为
A lim 0 i1
f (i )xi
定积分的基本概念
实例2 （求变速直线运动的路程）
思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值．
定积分的基本概念
（1）分割 T1 t0 t1 t2 tn1 tn T2 ti ti ti1