备战中考数学圆与相似(大题培优易错试卷)及答案解析

备战中考数学圆与相似(大题培优易错试卷)及答案解析

一、相似

1．如图，△ABC是一锐角三角形余料，边BC=16cm，高AD=24cm，要加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC上．

求：

（1）AK为何值时，矩形EFGH是正方形？

（2）若设AK=x，S EFGH=y，试写出y与x的函数解析式．

（3）x为何值时，S EFGH达到最大值．

【答案】（1）解：设边长为xcm，

∵矩形为正方形，

∴EH∥AD，EF∥BC，

根据平行线的性质可以得出： = 、 = ，

由题意知EH=x，AD=24，BC=16，EF=x，即 = ， = ，

∵BE+AE=AB，

∴ + = + =1，

解得x= ，

∴AK= ，

∴当时，矩形EFGH为正方形

（2）解：设AK=x，EH=24-x，

∵EHGF为矩形，

∴ = ，即EF= x，

∴S EFGH=y= x•（24-x）=- x2+16x（0＜x＜24）

（3）解：y=- x2+16x

配方得：y= （x-12）2+96，

∴当x=12时，S EFGH有最大值96

【解析】【分析】（1）设出边长为xcm，由正方形的性质得出，EH∥AD，EF∥BC，根据平行线的性质，可以得对应线段成比例，代入相关数据求解即可。

（2）设AK=x，则EH=16-x，根据平行的两三角形相似，再根据相似三角形的对应边上的高之比等于相似比，用含x的代数式表示出EF的长，根据矩形面积公式即可得出y与x的函数解析式。

（3）将（2）中的函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可得出矩形EFGH的面积取最大值时的x的值。

2．如图所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，EC的延长线交BD于点P．

（1）把△ABC绕点A旋转到图1，BD，CE的关系是（选填“相等”或“不相等”）；简要说明理由；

（2）若AB=3，AD=5，把△ABC绕点A旋转，当∠EAC=90°时，在图2中作出旋转后的图形，求PD的值，简要说明计算过程；

（3）在（2）的条件下写出旋转过程中线段PD的最小值为________，最大值为________．

【答案】（1）解：相等

理由：∵△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，

∴BA=CA，∠BAD=∠CAE，DA=EA，

∴△ABD≌△ACE，

∴BD=CE；

（2）解：作出旋转后的图形，若点C在AD上，如图2所示：

∵∠EAC=90°，

∴CE= ，

∵∠PDA=∠AEC，∠PCD=∠ACE，

∴△PCD∽△ACE，

∴，

∴PD= ；

若点B在AE上，如图2所示：

∵∠BAD=90°，

∴Rt△ABD中，BD= ，BE=AE﹣AB=2，

∵∠ABD=∠PBE，∠BAD=∠BPE=90°，

∴△BAD∽△BPE，

∴，即，

解得PB= ，

∴PD=BD+PB= + = ，

（3）1；7

【解析】【解答】解：（3）如图3所示，以A为圆心，AC长为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PD的值最小；当CE在在⊙A右上方与⊙A相切时，PD的值最大．

如图3所示，分两种情况讨论：

在Rt△PED中，PD=DE•sin∠PED，因此锐角∠PED的大小直接决定了PD的大小．

①当小三角形旋转到图中△ACB的位置时，

在Rt△ACE中，CE= =4，

在Rt△DAE中，DE= ，

∵四边形ACPB是正方形，

∴PC=AB=3，

∴PE=3+4=7，

在Rt△PDE中，PD= ，

即旋转过程中线段PD的最小值为1；

②当小三角形旋转到图中△AB'C'时，可得DP'为最大值，

此时，DP'=4+3=7，

即旋转过程中线段PD的最大值为7．

故答案为：1，7．

【分析】（1）BD，CE的关系是相等，理由如下：根据同角的余角相等得出∠BAD=∠CAE，根据等腰直角三角形的性质得出BA=CA，DA=EA，从而利用SAS判断出△ABD≌△ACE，根据全等三角形对应边相等得出BD=CE；

（2）作出旋转后的图形，若点C在AD上，如图2所示：首先根据勾股定理算出CE的

长，然后判断出△PCD∽△ACE，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式列出方程，求解得出PD的长；若点B在AE上，如图2所示：根据勾股定理算出BD的

长，然后判断出△BAD∽△BPE，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式列出方程，求解得出PB的长，根据线段的和差即可得出PD的长；

（3）如图3所示，以A为圆心，AC长为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PD 的值最小；当CE在在⊙A右上方与⊙A相切时，PD的值最大．

如图3所示，分两种情况讨论：在Rt△PED中，PD=DE•sin∠PED，因此锐角∠PED的大小直接决定了PD的大小．①当小三角形旋转到图中△ACB的位置时，根据勾股定理算出CE,DE的长，根据正方形的性质得出PC=AB=3，进而得出PE的长，根据勾股定理算出PD 的长，即旋转过程中线段PD的最小值为1；②当小三角形旋转到图中△AB'C'时，可得DP'为最大值，此时，DP'=4+3=7，即旋转过程中线段PD的最大值为7．

3．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-5与x轴交于A(-1，0)，B(5，0)两