垂径定理-圆周角与圆心角的关系
圆的性质知识点总结
圆的性质知识点总结圆是数学中一个非常重要的几何图形，它具有许多独特而有趣的性质。
下面我们就来详细总结一下圆的性质知识点。
一、圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点称为圆心，定长称为半径。
二、圆的相关元素1、圆心圆心是圆的中心，用字母“O”表示。
2、半径连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，用字母“r”表示。
在同一个圆中，半径都相等。
3、直径通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，用字母“d”表示。
直径是圆中最长的弦，且直径等于半径的 2 倍，即 d ＝ 2r 。
4、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。
5、弧圆上任意两点间的部分叫做弧。
大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。
6、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。
7、圆周角顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
三、圆的性质1、圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。
圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
2、垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。
推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
3、圆心角、弧、弦之间的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。
4、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等；（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
5、圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补。
四、圆的周长和面积1、圆的周长圆的周长 C ＝2πr 或 C ＝πd ，其中π是圆周率，约等于 314 。
圆的性质定理
圆的性质定理一．定理：1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并平分弦所对的两条弧。
2.垂径定理的推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
（5个条件：①直径②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧，满足其中两个，其他三个也成立。
注：当具备①③时，需对另一条弦增加它不是直径的限制。
）3.圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
4．圆周角定理的推论：(1)同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等；(2)半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.5.切线长定理：从圆外一点引两条切线，它们的切线长相等圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角。
5.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
6.弦切角定理的推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
7.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
8.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线这一点到每条割线与园的交点的两条线段长的积相等。
8.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线二．性质：1.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧，两条弦，两个弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量分别相等。
2.确定圆的条件：定理：不在同一条直线上的三个点确定（有且只有）一个圆。
（作法：连接任意两点并作其中垂线，以这两条中垂线的交点为圆心，以这一点到已知三点中任意一点的距离为半径作圆）3.切线性质概述：（1）垂直于切线（2）过切点（3）过圆心，如果一条直线满足这三个条件中任意2个，那么就满足第3个。
（遇到切点连半径）补充3：切线五大性质：（1）切线与圆只有一个公共点（2）圆心到切线的距离等于半径（3）切线垂直于过切点的半径（4）经过圆心垂直于切线的直线必经过切点（5）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。
初中圆的考点梳理
初中圆的考点梳理圆是一种几何图形。
根据定义，通常用圆规来画圆。
同圆内圆的直径、半径的长度永久相同，圆有无数条半径和无数条直径。
圆是轴对称、中心对称图形。
今天作者在这给大家整理了一些初中圆的考点梳理，我们一起来看看吧!初中圆的考点梳理一、圆及圆的相干量的定义1.平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点称为圆心，定长称为半径。
2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
3.顶点在圆心上的角叫做圆心角。
顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
4.过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。
和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。
5.直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离;有2个公共点为相交;圆与直线有公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个的公共点叫做切点。
6.两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含;有公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切;有2个公共点的叫相交。
两圆圆心之间的距离叫做圆心距。
7.在圆上，由2条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。
圆锥侧面展开图是一个扇形。
这个扇形的半径成为圆锥的母线。
二、有关圆的字母表示方法圆--⊙半径—r 弧--⌒直径—d扇形弧长/圆锥母线—l 周长—C 面积—S三、有关圆的基本性质与定理1.点P与圆O的位置关系(设P是一点，则PO是点到圆心的距离)：P在⊙O外，PO P在⊙O上，PO=r;P在⊙O内，PO2.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
4.在同圆或等圆中，如果2个圆心角，2个圆周角，2条弧，2条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
垂径定理和圆周角圆心角
一、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 二、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④ 弧BA =弧BD 三、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：在△ABC 中，∵OC OA OB ==DBABA∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 四、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
圆的12条常用结论
圆的12条常⽤结论垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
如图，AB 是圆O 的⼀条弦，CD 是直径，如果CD ⊥AB 于点M ，则AM=BM ，AC=CB ；如果AM=BM ，则CD ⊥AB ，AC=CB。
同⼀条弧所对的圆周⾓等于它所对的圆⼼⾓的⼀半。
如图①②③，下⾯仅证明图③⼀种情况。
已知：如图，∠BAC 是弧BC 所对的圆周⾓，∠BOC 是弧BC 所对的圆⼼⾓求证：∠BAC=1/2∠BOC01垂径定理02圆周⾓与圆⼼⾓关系证明：连接O 、A 与B 、C ，则△OAC 为等腰三⾓形则∠COA=180°-2∠OAC=180°-2（∠BAC+∠BAO ）⼜因为均为等腰三⾓形所以∠BOA+2∠BAO=180°即（∠BOC+∠COA ）+2∠BAO=180°即[∠BOC+180°-2（∠BAC+∠BAO ）]+2∠BAO=180°化简得∠BAC=1/2∠BOC同圆或等圆中，如果两个圆周⾓、两个圆⼼⾓、两条弧、两条弦、两条弦⼼距这五个量中只要有⼀组量相等，那么它们所对的其余各组量也分别相等。
直径（或半圆）所对的圆周⾓是直⾓；90°的圆周⾓所对的弦是直径。
如图，圆O 的两条弦AB 、CD 相交与点E ，则AE·EB=CE·ED圆的切线垂直于过其切点的半径；经过半径的⾮圆⼼⼀端，并且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的⼀条切线。
切线与弦所夹的⾓等于它们所夹的弧所对的圆周⾓。
如图，AB 切O 于点A ，AC 是O 的⼀条弦，D 为圆上⼀点，则∠BAC=∠ADC03五等关系04直径（或半圆）所对的圆周⾓是直⾓05相交弦定理06切线垂直于过切点的半径07弦切⾓定理证明：连接OA 、OC ，则OA ⊥AB ，即∠BAC+∠OAC ＝90°⼜因为在等腰△OAC 中，∠OAC=1/2（180°-∠AOC ）=90°-1/2∠AOC所以∠BAC+90°-1/2∠AOC=90°即∠BAC=1/2∠AOC所以∠BAC=∠ADC如图，AB 切O 于点B ，过A 点的割线分别交O 于点C 、D ，则AB²=AC·AD 证明：连接BC 、BD ，由弦切⾓定理可知∠ABC=∠BDA⼜因为 ∠A=∠A所以△ABC ∽△ADB所以AB/AD=AC/AB 即AB²=AC·AD08切割线定理如图，AB 、AC 均是O 的切线，则AB=AC 如图，AB ∥CD ，则AC=BD共斜边的两直⾓三⾓形共圆，如图①②对⾓互补的四边形四个顶点共圆。
自学初中数学资料 圆之垂径定理、圆心角、圆周角定理 (资料附答案)
自学资料一、圆的相关定义【知识探索】1．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．【说明】（1）过平面上一点能作无数多个圆；（2）过平面上两点能做无数多个圆，这些圆的圆心在两点连线的垂直平分线上；（3）过平面上三点：①三点不在同一直线上，能作唯一一个圆；②三点在同一直线上，不能作圆．【错题精练】例1．下列命题正确的个数有（）①过两点可以作无数个圆；②经过三点一定可以作圆；③任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆；④任意一个圆有且只有一个内接三角形．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个第1页共23页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训【解答】解：①过两点可以作无数个圆，正确；②经过三点一定可以作圆，错误；③任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆，正确；④任意一个圆有且只有一个内接三角形，错误，正确的有2个，故选：B．【答案】B例2．有下列四个命题，其中正确的有（）①圆的对称轴是直径；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】C例3．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（﹣4，0），⊙O与x轴的负半轴交于B（﹣2，0）．点P是⊙O上的一个动点，PA的中点为Q．当点Q也落在⊙O上时，cos∠OQB的值等于（）A.B.C.D.【解答】第2页共23页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训【答案】C例4．如图，已知△ABC．（1）尺规作图作△ABC的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）；（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC=10，腰AB=6，求圆的半径r．【答案】解：（1）如图所示；（2）连接OB，连接OA交BC于点E，∵△ABC是等腰三角形，底边BC=10，腰AB=6，∴BE=CE=5，AE=√AB2−BE2=√11，在Rt△BOE中，r2=52+（r-√11）2∴r=18√11=18√1111．第3页共23页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训第4页 共页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训【解答】【解答】解：如图：连接OA，作OM⊥AB与M，∵⊙O的直径为10，∴半径为5，∴OP的最大值为5，∵OM⊥AB与M，∴AM=BM，∵AB=6，∴AM=3，在Rt△AOM中，OM==4，OM的长即为OP的最小值，∴4≤OP≤5．【答案】4≤OP≤55．已知：△ABC（如图）（1）求作：△ABC的外接圆（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法及证明）．（2）若∠A=60°，BC=8√3，求△ABC的外接圆的半径．【答案】解：（1）如图所示：⊙O即为所求△ABC的外接圆；（2）过点O作OD⊥BC于点D，∵∠A=60°，BC=8√3，∴∠COD=60°，CD=4√3，第5页共23页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训∴CO=4√3sin60°=8，答：△ABC的外接圆的半径为8．二、圆心角、弧、弦、弦心距、圆周角之间的关系【知识探索】年份题量分值考点题型2015114圆内接四边形的性质；点与圆的位置关系选择、简答201613圆周角定理；填空2017219弧长面积；切线的性质；圆周角定理选择、填空、简答201824圆周角定理；填空2019216扇形面积；切线长定理；圆心角、圆周角、垂径定理填空、解答【错题精练】例1．如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=52°，则α的度数是（）A. 51.5°B. 60°C. 72°D. 76°【解答】解：连接OD．∵∠BAO=∠CBO=α，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，∵∠AOE=52°，∴∠AOB=（360°-52°）÷4=77°，第6页共23页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训第7页 共23页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼 非学科培训∴α=（180°-77°）÷2=51.5°． 故选：A ．【答案】A例2．如图，在△ABC 中，∠C=90°，以点C 为圆心，BC 为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点E ．（1）若∠A=25°，求BD̂的度数． （2）若BC=9，AC=12，求BD 的长．【答案】解：（1）连接CD ，如图， ∵∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠A=90°-25°=65°，∵CB=CD ，∴∠CDB=∠B=65°， ∴∠BCD=180°-2∠B=50°， ∴BD ̂的度数为50°；（2）作CH ⊥BD ，如图，则BH=DH ， 在Rt △ACB 中，AB=√92+122=15， ∵12CH•AB=12BC•AC ， ∴CH=9×1215=365， 在Rt △BCH 中，BH=√92−（365）2=275，∴BD=2BH=545．̂的度数为（）例3．已知如图，在⊙O中，OA⊥OB，∠A=35°，则CDA. 20°B. 25°C. 30°D. 35°【解答】解：连接OC，∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∵∠A=35°，∴∠OBC=90°-35°=55°，∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=55°，∴∠COB=70°，∴∠COD=90°-70°=20°，̂的度数为20°，∴CD故选：A．【答案】A例4．已知AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，∠A=50°，∠B=70°，连接DO，CO，DC （1）如图①，求∠OCD的大小：（2）如图②，分别过点C，D作OC，OD的垂线，相交于点P，连接OP，交CD于点M已知⊙O的半径为2，求OM及OP的长．第8页共23页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训【答案】解：（1）∵OA=OD，OB=OC，∴∠A=∠ODA=50°，∠B=∠OCB=70°，∴∠AOD=80°，∠BOC=40°，∴∠COD=180°-∠AOD-∠BOC=60°，∵OD=OC，∴△COD是等边三角形，∴∠OCD=60°；（2）∵PD⊥OD，PC⊥OC，∴∠PDO=∠PCO=90°，∴∠PDC=∠PCD=30°，∴PD=PC，∵OD=OC，∴OP垂直平分CD，∴∠DOP=30°，∵OD=2，∴OM=√32OD=√3，OP=4√33．例5．如图，AB为⊙O的直径，△ABC的边AC，BC分别与⊙O交于D，E，若E为BD̂的中点．（1）求证：DE=EC；（2）若DC=2，BC=6，求⊙O的半径【答案】解：（1）连结AE，BD，∵E为BD̂的中点，∴ED̂=BÊ，∴∠CAE=∠BAE，∵∠AEB是直径所对的圆周角，第9页共23页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训第10页 共23页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练 非学科培训∴∠AEB=90°， 即AE ⊥BC ，∴∠AEB=∠AEC=90°，在△AEC 和△AEB 中{∠CAE =∠BAE AE =AE ∠AEC =∠AEB ，∴△AEC ≌△AEB （ASA ）， ∴CE=BE ， ∴DE=CE=BE=12BC ；（2）在Rt △CBD 中，BD 2=BC 2-CD 2=32， 设半径为r ，则AB=2r ， 由（1）得AC=AB=2r ， AD=AC-CD=2r-2，在Rt △ABD 中AD 2+BD 2=AB 2， ∴（2r-2）2+32=（2r ）2， 解得：r=4.5，∴⊙O 的半径为4.5．例6．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，AB ∥OC ．（1）求证：∠ACB+∠BOC=90°；（2）若⊙O 的半径为5，AC=8，求BC 的长度．【答案】（1）证明：∵AB̂对的圆周角是∠ACB ，对的圆心角是∠AOB ， ∴∠AOB=2∠ACB ， ∵OB=OA ，∴∠ABO=∠BAO ， ∵AB ∥OC ，∴∠ABO=∠BOC ，∠BAO+∠AOC=180°， ∴∠BAO+∠AOB+∠BOC=180°， 即2∠ACB+2∠BOC=180°， ∴∠ACB+∠BOC=90°；（2）延长AO 交⊙O 于D ，连接CD ，则∠ACD=90°，由勾股定理得：CD=√AD2−AC2=√（5+5）2−82=6，∵OC∥AB，∴∠BOC=∠ABO，∠COD=∠BAO，∵∠BAO=∠ABO，∴∠BOC=∠COD，在△BOC和△DOC中{OB=OD∠BOC=∠DOC OC=OC∴△BOC≌△DOC（SAS），∴BC=CD，∵CD=6，∴BC=6．例7．如图，AB是半圆O的直径，AC是弦，∠CAB=60∘，若AB=6cm．（1）求弦AC的长；（2）点P从点A开始，以1cm/s的速度沿AB向点B运动，到点B停止，过点P作PQ∥AC，交半圆O于点Q，设运动时间为t（s）．①当t=1时，求PQ的长；②若△OPQ为等腰三角形，直接写出t（t＞0）的值．【解答】（1）解：如图1中，∵OA=OC，∠CAB=60∘，∴△AOC是等边三角形，∴AC=OA=3（cm）；（2）解：①如图2中，作OH⊥PQ于H，连接OQ，由题意得：AP=1，OP=2，∵PQ∥AC，∴∠OPH=∠CAB=60∘，在Rt△OPH中，∵∠POH=90∘−∠OPH=30∘，OP=2，∴PH=1OP=1，OH=√3PH=√3，2在Rt△QOH中，HQ=√OQ2−OH2=√6，∴PQ=PH+HQ=1+√6；②如图3中，∵△OPQ是等腰三角形，观察图象可知，只有OP=PQ，作PH⊥OQ于H．∵PQ∥AC，∴∠QPB=∠CAB=60∘，∵PQ=PO，PH⊥OQ，，∠POQ=∠PQO=30∘，∴OH=HQ=32∴OP=OH÷cos30∘=√3，∴AP=3+√3，∴t=3+√3秒时，△OPQ是等腰三角形．【答案】（1）3cm；（2）①1+√6；②t=3+√3．例8．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sin∠ABD的值．【解答】（1）解：△ABC为等腰三角形．理由如下：连结AE，如图，∵，∴∠DAE=∠BAE，即AE平分∠BAC，∵AB为直径，∴∠AEB=90∘，∴AE⊥BC，∴△ABC为等腰三角形；（2）解：∵△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，∴BE=CE=12BC=12×12=6，在Rt△ABE中，∵AB=10，BE=6，∴AE=√102−62=8，∵AB为直径，∴∠ADB=90∘，∴12AE⋅BC=12BD⋅AC，∴BD=8×1210=485，在Rt△ABD中，∵AB=10，BD=485，∴AD=√AB2−BD2=145，∴sin∠ABD=ADAB =14510=725．【答案】（1）略；（2）725．【举一反三】1．如图，弦AC、BD相交于点E，且AB̂=BĈ=CD̂，若∠AED=80°，则∠ACD的度数为（）A. 20°B. 25°C. 30°D. 15°【解答】解：如图，设AB̂的度数为m，AD̂的度数为n，∵AB̂=BĈ=CD̂，∴BĈ、CD̂的度数都为m，∴3m+n=360°①∵∠AED=80°，∴∠C+∠D=80°，∴12m+12n=80°②，由①②组成{3m+n=360°12m+12n=80°，解得m=100°，n=60°∴∠ACD=12n=30°．故选：C．【答案】C2．已知△ABC内接于⊙O，点D平分弧BmĈ．（1）如图①，若∠BAC=2∠ABC．求证：AC=CD；（2）如图②，若BC为⊙O的直径，且BC=10，AB=6，求AC，CD的长．【答案】（1）证明：∵点D平分弧BmĈ，∴弧DC=弧DB，∵∠BAC=2∠ABC，∴弧BDC=2弧AC，∴弧CA=弧CD，∴AC=CD；（2）解：连结BD，如图②，∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC=∠BDC=90°，在Rt △BAC 中，∵BC=10，AB=6，∴AC=√BC 2−AB 2=8；∵弧DC=弧DB ，∴DB=DC ，∴△BCD 为等腰直角三角形，∴CD=√22BC=5√2．3．如图，在⊙O 中，点C 是优弧ACB 的中点，D 、E 分别是OA 、OB 上的点，且AD=BE ，弦CM 、CN 分别过点D 、E ．（1）求证：CD=CE ．（2）求证：AM̂=BN ̂．【答案】（1）证明：连接OC ．∵AĈ=BC ̂， ∴∠COD=∠COE ，∵OA=OB ，AD=BE ，∴OD=OE ，∵OC=OC ，∴△COD ≌△COE （SAS ），∴CD=CE ．（2）分别连结OM ，ON ，∵△COD ≌△COE ，∴∠CDO=∠CEO ，∠OCD=∠OCE ，∵OC=OM=ON ，∴∠OCM=∠OMC ，∠OCN=∠ONC ，∴∠OMD=∠ONE ，∵∠ODC=∠DMO+∠MOD ，∠CEO=∠CNO+∠EON ，∴∠MOD=∠NOE ，∴AM̂=BN ̂．4．如图，已知△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC相交于点D，过点D作⊙O的切线与AC交于点E．（1）求BDBC的值．（2）判断DE与AC的位置关系，并证明你的结论．（3）已知BC:AB=2:3，DE=4√2，求⊙O的直径．【解答】（1）解：如图，连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=DC，∴BDBC =12；（2）解：DE⊥AC；连接OD，∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∴∠ODB=∠C，∴AC∥OD，∴DE⊥AC；（3）解：∵BDBC =12且BC:AB=2:3，∴AB:CD=3，∵∠ADB =∠DEC =90∘，∠B =∠C ，∴△ABD ∽△DCE ，∴DC AB =CE BD =13，设CE =a ，则BD =CD =3a ，AB =9a ，在Rt△DEC 中，由勾股定理得：DE =2a √2=4√2，∴a =2，∴AB =18．【答案】（1）12；（2）DE ⊥AC ；（3）18．5．已知直径CD ⊥弦BF 于 E ，AB 为ʘO 的直径．（1）求证：FD̂=AC ̂； （2）若∠DAB=∠B ，求∠B 的度数．【答案】（1）证明：∵直径CD ⊥弦BF ，∴FD̂=BD ̂， ∵∠AOC=∠BOD ，∴BD̂=AC ̂， ∴FD̂=AC ̂； （2）解：由圆周角定理得，∠BOD=2∠DAB ，∵∠DAB=∠B ，∴∠BOD=2∠B ，∵CD ⊥BF ，∴∠B=30°．6．如图，⊙O 的半径为2，弦BC =2√3，点A 是优弧BC 上一动点（不包括端点），△ABC 的高BD 、CE 相交于点F ，连结ED ．下列四个结论：①∠A 始终为60°；②当∠ABC =45∘时，AE =EF ；③当△ABC 为锐角三角形时，ED =√3；④线段ED 的垂直平分线必平分弦BC ．其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）【答案】①②③④．7．圆O的直径为10cm，A是圆O内一点，且OA=3cm，则圆O中过点A的最短弦长=__________cm【答案】88．如图，在圆O中，AB为直径，CD为弦，已知∠ACD=40°，则∠BAD=__________°【答案】501．如图，AB圆O的直径，点C在圆O上，若∠OCA=50°，AB=4，则弧BC的长为（）πA. 103B. 109π C. 59πD. 518π【答案】B2．如图，将钢珠放在一个边长AB=8mm 的正方形的方槽内，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，则这个钢珠的直径为______mm ．【答案】103．如图，AB 是半圆的直径，E 是弦AC 上一点，过点E 作EF ⊥EB ，交AB 于点F ，过点A 作AD ∥EF ，交半圆于点D ．若C 是BD ̂的中点，AF AE =√54，则EFAD 的值为 ．【解答】解：延长BE 交AD 于A'，∵AD ∥EF ，EF ⊥BE ，∴AA'⊥BA'，∴∠AA'B=90°，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，∴D 与A'重合，∵AFAE =√54，∴设AF=√5a，AE=4a，过F作FG⊥AE于G，∵C是BD̂的中点，∴CD̂=BĈ，∴∠DAC=∠BAC，∵AD∥EF，∴∠BFE=∠DAB=2∠BAC=∠BAC+∠AEF，∴∠BAC=∠AEF，∴AF=EF，∴AG=EG=2a，由勾股定理得：FG=a，∵∠DAE=∠GAF，∠ADE=∠AGF=90°，∴△ADE∽△AGF，∴ADAE =AGAF，∴AD4a =2a√5a，AD=8a√5，∴EFAD =√5a8a√5=58，故答案为：58．【答案】584．在⊙O的内接△ABC中，AD⊥BC于D，（1）①图1中，若作直径AP，求证：AB.AC=AD.AP；②已知AB+AC=12，AD=3，设⊙O的半径为y，AB的长为x．求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）图2中，点E为⊙O上一点，且弧AE=弧AB，求证：CE+CD=BD．【答案】5．在⊙O的内接△ABC中，AB+AC=12，AD⊥BC，垂足为D，且AD=3，设⊙O的半径为y，AB的长为x。
圆圆周角和圆心角的关系、确定圆的条件1 - 【本讲教育信息】
【本讲教育信息】一. 教学内容：圆（二）圆周角和圆心角的关系、确定圆的条件二. 教学要求1、理解圆周角的概念及其相关性质，并能熟练地运用它们进行论证和计算。
2、了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念。
三. 重点及难点重点：圆周角定理及其推论，不在同一条直线上的三个点确定一个圆，掌握过不在同一直线上的三个点作圆的方法。
难点：圆周角定理的证明，不在同一直线上的三个点作圆的方法。
四. 课堂教学［知识要点］知识点1、圆周角的概念顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
说明：圆周角的两个特征：角的顶点在圆上；两边在圆内的部分是圆的两条弦，二者缺一不可。
知识点2、圆周角定理定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
说明：（1）定理的要求是同一条弧所对的圆周角和圆心角，从数值上来看，圆周角是圆心角的一半。
（2）不能忽略“同一条弧”这个基本前提，不能简单表述成“圆周角等于圆心角的一半”。
知识点3、圆周角定理的推论推论1、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。
如图所示，AB所对的圆周角有∠ACB，∠ADB，∠AEB，因此∠ACB＝∠ADB＝∠AEB。
说明：（1）若将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论不成立如图1所示，∠ACB，∠ADB，∠AEB所对的弦是同一条弦AB，∠ADB＝∠AEB，但∠ACB与∠ADB，∠AEB与∠ACB却不相等。
（2）此推论的逆命题是一个真命题，可以作为圆周角定理的一个推论，其表述为：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
如图（2）中所示，如果∠ACB ＝∠DFE ，那么⋂⋂=DE AB推论2、直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
如图3所示，若AB 为直径，则∠ACB ＝90°，若∠ACB ＝90°，则AB 为直径。
知识点4、过三点的圆由圆的定义可知，圆有两个要素，一个是圆心，另一个是半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，作圆的关键是确定圆心的位置和半径的大小。
专题12垂径定理、圆周角和圆心角的关系(6个知识8种题型)(原卷版)-初中数学北师大版9年级上册
专题12垂径定理、圆周角和圆心角的关系（6个知识8种题型）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.垂径定理（重点）知识点2.垂径定理的推论（难点）知识点3.圆周角（重点）知识点4.圆周角定理（重点）知识点5.圆周角定理的推论（难点）知识点6.圆内接四边形的概念与性质（重点）【方法二】实例探索法题型1.最短距离问题题型2.辅助线的添加方法题型3.方程思想题型4.垂径定理的实际应用题型5.圆中角度的计算题型6.圆内接四边形与圆周角定理的综合应用题型7.动点问题题型8.圆周角定理与其他几何知识的综合【方法三】成果评定法【学习目标】1.掌握垂径定理，并会运用垂径定理进行简单的计算。
2.掌握与垂径定理有关的推论，并能运用这一推论解决相关问题。
3.认识圆周角，掌握圆周角和圆心角的关系，直径所对的圆周角的特征。
4.能运用圆心角和圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征解决相关问题。
【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.垂径定理（重点）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．【例1】．（2022秋•锡山区校级月考）如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，若⊙O的半径为10，AB＝16，则OC的长为．【变式】．（2022秋·江苏南京·九年级南京市第一中学校考阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB 于点E，则下列结论一定正确的个数有（）①CE =DE ；②BE =OE ；③ CBBD =；④∠CAB =∠DAB ．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个知识点2.垂径定理的推论（难点）推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．【例2】．（2022秋·九年级统考期中）如图，O 的弦8AB =，M 是AB 的中点，且3OM =，则O 的半径等于（）A ．7B ．4C ．5D ．6【变式】．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过、、A B C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）．A ．点PB ．点QC ．点RD ．点M知识点3.圆周角（重点）1.圆周角定义：像图中∠AEB 、∠ADB 、∠ACB 这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆心角与圆周角的区别与联系【例3】观察下图中角的顶点与两边有何特征?指出哪些角是圆周角?知识点4.圆周角定理（重点）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．【例4】如图，100AOB ∠= ，点C 在O 上，且点C 不与A、B 重合，则ACB ∠的度数为（）A．50 B．80 或50 C．130 D．50 或130【变式】如图，AB 是⊙O 的弦，∠AOB＝80°则弦AB 所对的圆周角是.知识点5.圆周角定理的推论（难点）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）【例5】（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，CD 是O 的直径，A 、B 是O 上的两点，若40ACD ∠=︒，则ABC ∠的度数为（）A ．50︒B ．40︒C ．20︒D ．140︒【变式】如图，⊙A 过点O(0，0)，C(3，0)，D(0，1)，点B 是x 轴下方⊙A 上的一点，连接BO 、BD ，则∠OBD 的度数是．知识点6.圆内接四边形的概念与性质（重点）（1）定义:圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．【例6】（2022秋•靖江市期末）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O．求证：∠A+∠C＝180°．【变式】如图已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数是．【方法二】实例探索法题型1.最短距离问题题型2.辅助线的添加方法A．6B．题型3.方程思想3.（2022秋•江宁区校级月考）如图是一个隧道的横截图，它的形状是以点O为圆心的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，若CD＝4m，EM＝6m，则⊙O的半径为m．题型4.垂径定理的实际应用4.（2022秋•如皋市校级月考）兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，高度CD为m．5.（2022•钟楼区校级模拟）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．1米B．2米C．米D．米6.（2022秋•泰州月考）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？题型5.圆中角度的计算7．（2022秋•鼓楼区期末）如图，AB为⊙O的直径，D是弦AC延长线上一点，AC＝CD，DB的延长线交⊙O 于点E，连接CE．（1）求证∠A＝∠D；（2）若的度数为108°，求∠E的度数．题型6.圆内接四边形与圆周角定理的综合应用8．（2022秋•宿城区期末）如图，四边形ABCD内接于一圆，CE是边BC的延长线．（1）求证∠DAB＝∠DCE；（2）若∠DAB＝60°，∠ACB＝70°，求∠ABD的度数．9．（2022秋•镇江期中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠EAD＝∠BAC，BA、CD延长线交于点E．求证：BD＝BC．题型7.动点问题10．（2023·江苏泰州·统考中考真题）已知：A 、B 为圆上两定点，点C 在该圆上，C ∠为 AB 所对的圆周角．知识回顾(1)如图①，O 中，B 、C 位于直线AO 异侧，135AOB C ︒∠+∠=．①求C ∠的度数；②若O 的半径为5，8AC =，求BC 的长；逆向思考(2)如图②，P 为圆内一点，且120APB ∠<︒，PA PB =，2APB C ∠=∠．求证：P 为该圆的圆心；拓展应用(3)如图③，在（2）的条件下，若90APB ∠=︒，点C 在P 位于直线AP 上方部分的圆弧上运动．点D 在P 上，满足2CD CB CA =-的所有点D 中，必有一个点的位置始终不变．请证明．题型8.圆周角定理与其他几何知识的综合11．（2023•滨江区一模）如图1，AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB 于点E ，，BF 与CD 交于点G ．（1）求证：CD ＝BF ．（2）若BE ＝1，BF ＝4，求GE 的长．（3）连结GO ，OF ，如图2，求证：．【方法三】成果评定法一．选择题（共6小题）1．（2023秋•惠山区校级期中）如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，10AB cm =，8CD cm =，则BE 的长为()A ．5cmB ．3cmC ．2cmD ．1.5cm2．（2023春•鼓楼区校级月考）如图，在正方形ABCD 中，4AB =，以边CD 为直径作半圆O ，E 是半圆O 上的动点，EF DA ⊥于点F ，EP AB ⊥于点P ，设EF x =，EP y =22x y +()A ．231-B ．423-C ．251-D ．252-3．（2023秋•滨湖区校级期中）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦AB CD ⊥，垂足为点D ，1CD =寸，1AB =尺(10寸），则圆的直径长度是()A ．12寸B ．24寸C ．13寸D ．26寸4．（2023秋•铜山区校级月考）如图，点A 、B 、C 在O 上，30ACB ∠=︒，则AOB ∠的度数是()A ．30︒B ．40︒C ．60︒D ．65︒5．（2023•苏州）如图，AB 是半圆O 的直径，点C ，D 在半圆上， CDDB =，连接OC ，CA ，OD ，过点B 作EB AB ⊥，交OD 的延长线于点E ．设OAC ∆的面积为1S ，OBE ∆的面积为2S ，若1223S S =，则tan ACO ∠的值为()A 2B ．223C ．75D ．326．（2023秋•梁溪区校级期中）如图，DCE ∠是O 内接四边形ABCD 的一个外角，若82DCE ∠=︒，那么BOD ∠的度数为()A．160︒B．164︒C．162︒D．170︒二．填空题（共6小题）7．（2023秋•滨海县期中）如图，点A，B，C，D在OABD∠=．∠=︒，则ADC上，30CAD∠=︒，508．（2023秋•镇江期中）如图，某圆弧形拱桥的跨度16=，则该拱桥的半径为m．CD m=，拱高5AB m9．（2023秋•高新区校级期中）如图是一个圆柱形的玻璃保温水杯，将其横放，截面是个半径为5cm的圆，杯内水面8=，则水的最大深度CD是cm．AB cm10．（2023秋•丰县期中）如图，点A是半圆上的一个三等分点，点B是 AD的中点，P是直径CD上一动点，O+的最小值为．的半径是2，则PA PB11．（2023秋•鼓楼区校级月考）如图，已知OPA=，的弦，点P在弦AB上．若4的半径为7，AB是OPB=，则OP的长为．612．（2023秋•建湖县期中）如图，点A 、B 、C 在O 上，//BC OA ，连接BO 并延长，交O 于点D ，连接AC 、DC ．若18A ∠=︒，则D ∠的大小为︒．三．解答题（共6小题）13．（2023秋•仪征市期中）如图，在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C 、D ．（1）求证AC BD =；（2）若3AC =，大圆和小圆的半径分别为6和4，则CD 的长度是．14．（2023秋•广陵区期中）如图，四边形ABCD 内接于O ，BC 为O 的直径，//OA CD ．（1）若70ABC ∠=︒，求BAD ∠的度数；（2）求证： AB AD =．15．（2023秋•句容市期中）已知：如图，C ，D 是以AB 为直径的O 上的两点，分别连接OC 、OD 、AD 、CD 、BC ，且//OD BC ，求证：AD DC =．16．（2023秋•淮安区期中）某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为24m，拱顶高出水面8m（即8)=，CD m ⊥，OC AB（1）求出该圆弧形拱桥所在圆的半径；（2）现有一艘宽10m，船舱高出水面7.5m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座桥吗？17．（2023秋•邳州市期中）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题的实质是解决下面的问题：如图，CD为OAB=，求CD的长．的直径，弦AB CDCE=，10⊥于点E，118．（2023秋•泗阳县期中）如图，AB是O∠的度数．∠=︒，求ABDDCB的弦，30的直径，CD是O。
垂径定理及圆周角和圆心角的关系
垂径定理及圆周角和圆心角的关系垂径定理及圆周角和圆心角的关系垂径定理圆周角和圆心角的关系垂径定理垂径定理的推论圆周角定理圆周角定理的推论知识点1 垂径定理及其推论示意图垂径定理推论垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧．如图,'AA 是⊙O 的弦,CD 是⊙O 的直径,'AA CD ⊥于点M ,则M A AM '=,⌒AD =⌒A `D , ⌒AC =⌒A `C ．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．如图,'AA 是⊙O 的弦,CD 是⊙O 的直径,CD AA <','AA 与CD 交于点M ,M A AM '=,则'AA CD ⊥,⌒AD =⌒A `D ,⌒AC =⌒A `C ．圆是 图形,它有 对称轴,每一条过 的直线都是它的对称轴．例1.《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著,代表了东方数学的最高成就,他的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载：“今有圆材埋在壁中,不知大小,以锯锯之,锯口深一寸,锯道长一尺.问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯木料,锯口深一寸（ED =1寸）,锯道长一尺（AB =1尺=10寸）.问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示,请根据所学知识计算：圆形木材的直径是 （ ）A .13寸B . 20寸C .26寸D . 28寸例 2.已知：如图，AB 为O ⊙的直径，AB AC BC =，交O ⊙于点D ，AC 交O ⊙于点45E BAC ∠=，°．（1）求EBC ∠的度数； （2）求证：BD CD =．例3.如图，在半径为5cm 的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离为3cm ，则弦AB 的长是（ ） A ．4cm B ．6cm C ．8cm D ．10cm例4.如图，AB 是⊙的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不成立的是（ ） A .CM =DM B . CB BD = C .∠ACD =∠ADC D .OM =MD例5.如图，A 、B 、C 、D 是⊙O 上的三点，∠BAC =30°，则∠BOC 的大小是( )A 、60°B 、45°C 、30°D 、15°例6.下列命题中正确的有（ ）①垂直于弦的直径平分这条弦；②与弦垂直的直线必过圆心； ③平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦；④平分弦的直径垂直于弦，并且平分这条弦所对的两条弧． A . 1 个B . 2 个C . 3 个D . 4 个例7.某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB ＝3 m ，弓形的高EF ＝1 m ，现计划安装玻璃，请帮工程师求出弧AB 所在圆O 的半径．例8.如图所示，⊙O 的弦AB ，CD 的延长线相交于点M ，AD 与CB 交于点E .若AC ︵所对的圆心角为72°，BD ︵所对的圆心角为18°，求∠M ＋∠AEC 的度数．例9. 如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=8cm，CD=3cm，则圆O 的半径为（）A．cm B．5cm C．4cm D．cm例10.如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm例11.如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=84°，则∠E等于（）A．42 °B．28°C．21°D．20°知识点2 圆周角定理及其推论示意图圆周角的定义圆周角定理推论1 推论2ABCO顶点在圆上,并且两边都与圆相交,我们把这样的角叫做圆周角．在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半．在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,那么它们所对的弧长也相等．半圆（或直径）所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径．同一条弧所对的圆周角有个．如上图,我们可以得到：∠AOB＝∠ACB．例1.如图，⊙O的半径OA⊥OB，弦AC⊥BD.求证：AD∥BC.例2.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠BCD=110°，则∠BAD为（）A．140°B．110°C．90°D．70°例3.一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆周角为．例4.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为mm.例5.如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，则AB＝．例6.如图，AC为⊙O的直径，点B在圆上，OD⊥AC交⊙O于点D，连接BD，∠BDO＝15°，则∠ACB＝____．。
垂径定理
A O B D C
图① 第（22）题
A O B l D E
图②
F
l
2013 年广东省梅州市初中毕业生学业考试数学试卷（圆） 11． （3 分）如图，在△ABC 中，AB=2，AC= 切，则∠BAC 的度数是 度． ，以 A 为圆心，1 为半径的圆与边 BC 相
（2012•贵港）如图，MN 为⊙O 的直径，A、B 是⊙O 上的两点，过 A 作 AC⊥MN 于点 C， 过 B 作 BD⊥MN 于点 D，P 为 DC 上的任意一点，若 MN=20，AC=8，BD=6，则 PA+PB 的最小值是 _________ ．
启示一：点与圆的位置关系 例 6、点 P 到圆 O 的最大距离为 6，最小距离为 2，求圆 O 的半径
启示二：点与弦的位置关系 例 7、 ABC 三个顶点都在圆 O 上， OD BC 于点 D，且 BOD 48 ,求 BAC
启示三：弦所对的圆周角 例 8、半径为 1 的圆中有一条长为 3 的弦，求弦所对圆周角的度数。
1 2
四、弧、弦、圆心角的关系 在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角只要有一组量相等 其他两组量就都相等， 五、拓展内容（与相似三角形综合） 1、圆的内接四边形的一个外角等于与它相邻的内角的对角
2、相交弦定理： AE BE CE DE
3、割线定理 PA PB PC PD
例 1：
圆 垂径定理 要点 1、垂径定理及推论 2、圆周角定理及推论 3、圆周角、圆心角、弧的度数 4、弧、弦、圆心角的关系 5、补充内容 一、垂径定理： 1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并平分弦所对的两条弧。 2、推论：①直径（过圆心的线段）②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对的优弧
⑤平分弦所对的劣弧，以其中的两个为条件，一定能得到其他三个结论， 即”知二推三” 二、圆周角定理 1、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 2、推论1：半圆或直径所对的圆周角为 90 3、推论2：圆的内接四边形对角互补 三、圆周角、圆心角、弧的度数 1、弧的度数就是它所对圆心角的度数 2、弧的度数和它所对的圆心角度数相等 3、同弧所对的圆周角的度数，为它所对圆心角的度数的
圆周角和圆心角的关系ppt课件
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3.4 圆周角和圆心角的关系
解析：如解析图，连接 AB，DE，则∠ABE=∠ADE. ∵ 所对的圆心角的度数为 50°，∴∠ABE= ∠ADE =25°. ∵ 点 A，B，C，D 在 ⊙O 上 ，∴四边形 ABCD 是圆内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∴∠ABE+∠EBC+∠ADC=180°， ∴∠EBC+∠ADC=180°-∠ABE=180°-25°=155°． 答案：155° 题型解法：本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的 性质，作出辅助线构建圆内接四边形是解题的关键．
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3.4 圆周角和圆心角的关系
■考点四 圆内接四边形
定义
四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个 圆叫做四边形的外接圆
推论 圆内接四边形的对角互补
拓展 圆内接四边形的任何外角等于内对角
注意 并不是所有的四边形都存在外接圆，只有对角互补的四边形才存在外接圆
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3.4 圆周角和圆心角的关系
A． 20° B． 40°
C． 50° D． 70°
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3.4 圆周角和圆心角的关系
3. 如图，已知△ABC 的三个顶点都在同一圆上，且 AC=6，BC=8，AB=10， 则该圆的半径长是 ________.
（第 3 题图）
（第 4 题图）
4. 如图，AB=BC，∠ABC =120°，AD 为 ⊙O 的直径 ，AD=6，那么 AB 的
值为 ______.
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3.4 圆周角和圆心角的关系
5. 如图，AB=AC，AB 是直径，求证：BC=2DE． （第 5 题图）
第14讲：垂径定理及圆周角与圆心角的关系-教案
2. 如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
【答案】C
【解析】作垂直，连半径，根据勾股定理易得。
3.如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB， ∠AOC=84°，则∠E等于（ ）
3.如图，AC为⊙O的直径，点B在圆上，OD⊥AC交⊙O于点D，连接BD，∠BDO＝15°，则∠ACB＝____．
【答案】60°
【解析】连接AD．∵AC为⊙O的直径，点D在圆上，OD⊥AC，∴△AOD是等腰直角三角形，∴∠ADO＝45°，又∠BDO＝15°，∴∠ADB＝60°，∵∠ACB与∠ADB所对的弧都是AB弧，∴∠ACB＝∠ADB＝60°．
【答案】见解析
【解析】如下图，连接AC，作AC的垂直平分线交AC于点G，交BD于点N，交圆的另一点为M，则MN为圆弧形所在圆的直径，取MN的中点O，则点O为圆心，连接OA，OC.
∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴AB∥CD.
∵AB＝CD，∴四边形ABDC为矩形，
∴AC＝BD＝200cm，GN＝AB＝CD＝20cm，
1.下列命题中正确的有（ ）
①垂直于弦的直径平分这条弦；
②与弦垂直的直线必过圆心；
③平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦；
④平分弦的直径垂直于弦，并且平分这条弦所对的两条弧．
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个
【答案】D
【解析】根据垂径定理的逆定理易得。
2.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠BCD=110°，则∠BAD为（ ）
A．140°B．110°C．90°D．70°
垂径定理-弦-弧-圆心角-圆周角-
圆的对称性，圆周角1. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。
2. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。
3. 定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。
推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.圆周角和圆心角的关系:1. 圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.2. 圆周角定理； 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等； 推论2: 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；1、如图，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中，•错误的是（A 、CE=DEB 、BC BD = C 、∠BAC=∠BAD D 、AC >AD2、如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM的长为3，则弦AB 的长是（A 、4 B 、6 C 、7 D 、83、某居民小区一处圆形下水管道破裂，维修人员准备更换一段新管道，如图所示，污水水面宽度为60cm ，水面到管道顶部距离为10cm，则修理人员应准备_________cm 内径的管道（内径指内部直径）． 4、如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD ，点O 是CD 的圆心，•其中CD=600m ，E 为CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90m ，求这段弯路的半径．5、如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD 长．6、如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 为弦，D 是AC 的中点，6BC cm =，求OD 的长.7. 已知：AB 交圆O 于C 、D ，且AC ＝BD.你认为OA ＝OB 吗？为什么？第4题CE O A D B 8. 等腰三角形ABC 中，B 、C 为定点，且AC=AB ，D 为BC 中点，以BC 为直径作圆D 。
《圆周角和圆心角的关系1》教案 (公开课)2022年北师大版数学
3.4 圆周角和圆心角的关系 第1课时 圆周角和圆心角的关系1．理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；(重点) 2．能运用圆周角定理及其推论进行简单的证明计算．(难点)一、情境导入在以下图中，当球员在B, D, E 处射门时，他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC ，∠AEC .这三个角的大小有什么关系？二、合作探究探究点：圆周角定理及其推论【类型一】 利用圆周角定理求角的度数如图，CD 是⊙O 的直径，过点D的弦DE 平行于半径OA ，假设∠D 的度数是50°，那么∠C 的度数是( )A ．25°B ．30°C ．40°D ．50°解析：∵OA ∥DE ，∠D ＝50°，∴∠AOD ＝50°.∵∠C ＝12∠AOD ，∴∠C ＝12×50°＝25°.应选A.方法总结：解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练〞第2题【类型二】 利用圆周角定理的推论求角的度数如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠A＝30°，那么∠B ＝( )A ．150°B ．75°C ．60°D ．15°解析：因为AB ︵＝AC ︵，根据“同弧或等弧所对的圆周角相等〞得到∠B ＝∠C ，因为∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，所以∠A ＋2∠B ＝180°，又因为∠A ＝30°，所以30°＋2∠B ＝180°，解得∠B ＝75°.应选B.方法总结：解题的关键是掌握在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．注意方程思想的应用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练〞第8题【类型三】 圆周角定理与垂径定理的综合如以下图，AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB ，垂足为点C ，交⊙O 于点D ，E 在⊙O 上．(1)∠AOD ＝52°，求∠DEB 的度数； (2)假设AC ＝7，CD ＝1，求⊙O 的半径．解析：(1)由OD ⊥AB ，根据垂径定理的推论可求得AD ︵＝BD ︵，再由圆周角定理及其推论求∠DEB 的度数；(2)首先设⊙O 的半径为x ，然后由勾股定理得到方程解答．解：(1)∵AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB ，∴AD ︵＝BD ︵，∴∠DEB ＝12∠AOD ＝12×52°＝26°；(2)设⊙O 的半径为x ，那么OC ＝OD －CD ＝x －1.∵OC 2＋AC 2＝OA 2，∴(x －1)2＋(7)2＝x 2，解得x ＝4，∴⊙O 的半径为4.方法总结：此题综合考查了圆周角定理及其推论、垂径定理以及勾股定理．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练〞第3题【类型四】 圆周角定理的推论与圆心角、弧、弦之间的关系的综合如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，点D 在弧AB 上，连接CD 交AB 于点E ，点B 是CD ︵的中点，求证：∠B ＝∠BEC .解析：由点B 是CD ︵的中点，得∠BCE ＝∠BAC ，即可得∠BEC ＝∠ACB ，然后由等腰三角形的性质，证得结论．证明：∵B 是CD ︵的中点，∴BC ︵＝BD ︵，∴∠BCE ＝∠BAC .∵∠BEC ＝180°－∠B －∠BCE ，∠ACB ＝180°－∠BAC －∠B ，∴∠BEC ＝∠ACB .∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ，∴∠B ＝∠BEC .方法总结：此题考查了圆周角定理的推论以及等腰三角形的性质．解答时一定要结合图形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后稳固提升〞第7题【类型五】 圆周角定理的推论与三角形知识的综合如图，A 、P 、B 、C 是⊙O 上四点，且∠APC ＝∠CPB ＝60°.连接AB 、BC 、AC .(1)试判断△ABC 的形状，并给予证明；(2)求证：CP ＝BP ＋AP .解析：(1)利用圆周角定理可得∠BAC ＝∠CPB ，∠ABC ＝∠APC ，而∠APC ＝∠CPB ＝60°，所以∠BAC ＝∠ABC ＝60°，从而可判断△ABC 的形状；(2)在PC 上截取PD ＝AP ，那么△APD 是等边三角形，然后证明△APB ≌△ADC ，证明BP ＝CD ，即可证得．(1)解：△ABC 是等边三角形．证明如下：在⊙O 中，∵∠BAC 与∠CPB 是BC ︵所对的圆周角，∠ABC 与∠APC 是AC ︵所对的圆周角，∴∠BAC ＝∠CPB ，∠ABC ＝∠APC .又∵∠APC ＝∠CPB ＝60°，∴∠ABC ＝∠BAC ＝60°，∴△ABC 为等边三角形；(2)证明：在PC 上截取PD ＝AP ，连接AD .又∵∠APC ＝60°，∴△APD 是等边三角形，∴AD ＝AP ＝PD ，∠ADP ＝60°，即∠ADC ＝120°.又∵∠APB ＝∠APC ＋∠BPC ＝120°，∴∠ADC ＝∠APB .在△APB 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠APB ＝∠ADC ，∠ABP ＝∠ACD ，AP ＝AD ，∴△APB≌△ADC (AAS)，∴BP ＝CD .又∵PD ＝AP ，∴CP ＝BP ＋AP .方法总结：此题考查了圆周角定理的理论以及三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键． 【类型六】 圆周角定理的推论与相似三角形的综合如图，点E 是BC ︵的中点，点A 在⊙O 上，AE 交BC 于D .求证：BE 2＝AE ·DE .解析：点E 是BC ︵的中点，根据圆周角定理的推论可得∠BAE ＝∠CBE ，可证得△BDE ∽△ABE ，然后由相似三角形的对应边成比例得结论．证明：∵点E 是BC ︵的中点，即BE ︵＝CE ︵，∴∠BAE ＝∠角)，∴△BDE ∽△DE ∶BE ，∴BE 2＝AE 方法总结：角形的问题常常考虑此定理．三、板书设计圆周角和圆心角的关系1．圆周角的概念2．圆周角定理3．圆周角定理的推论本节课的重点是圆周角与圆心角的关系，难点是应用所学知识灵活解题．在本节课的教学中，学生对圆周角的概念和“同弧所对的圆周角相等〞这一性质较容易掌握，理解起来问题也不大，而对圆周角与圆心角的关系理解起来那么相对困难，因此在教学过程中要着重引导学生对这一知识的探索与理解．还有些学生在应用知识解决问题的过程中往往会忽略同弧的问题，在教学过程中要对此予以足够的强调，借助多媒体加以突出.第2课 伟大的历史转折1 教学分析【教学目标】教学重点：中共十一届三中全会教学难点：中共十一届三中全会在政治上、思想上、组织上的转变以及历史意义2教学过程一、导入新课“文化大革命〞时期，我国教育遭到了很大破坏，高考中断了十年。
垂径定理、圆周角
教学目的掌握垂径定理、圆周角和圆心角的关系教学重点垂径定理、圆周角教学内容（一）垂径定理1、圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．圆有无数条对称轴。
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性。
2、垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
3、推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
①平分弧的直径必平分弧所对的弦。
( )②平分弦的直线必垂直弦。
( )③垂直于弦的直径平分这条弦。
( )④平分弦的直径垂直于这条弦。
( )⑤弦的垂直平分线是圆的直径。
( )⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦。
( )⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧。
( )例题赏析如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．小试牛刀1、如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．2、我市某居民区一处圆形地下水管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，经测量得到如图所示的数据，修理工人应准备内径多大的管道？若此题只知下面弓形的高和AB的长，你仍然会做吗？60cm10cmA BO3、如图，直径是50cm圆柱形油槽装入油后，油深CD为15cm，求油面宽度ABD OBCA（二）弧、弦、圆心角1、圆心角的概念：顶点在圆心的角ABCDO2、弧、弦与圆心角的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。
在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。
1、相等的圆心角所对的弧相等。
( )2、相等的弧所对的弦相等。
( )3、相等的弦所对的弧相等。
与圆有关的几个定理
A F
E
B
O
D
C
难点概念：三角形的外接圆和内切圆：
A
A
O
I
C
B
C
B
实质
性质
三角形的 三角形三边垂直 到三角形各顶
外心
平分线的交点 点的距离相等
三角形的 三角形三内角角 到三角形各边
内心
平分线的交点 的距离相等
特别的:
等边三角形的外心与内心重合. 内切圆半径与外接圆半径的比是1:2.
A
O
B
D
C
同 如图，从⊙O外一点P作⊙O的两条切线，分别 步 切⊙O于A 、B，在AB上任取一点C作⊙O的切线 自 分别交PA 、PB于D 、E 测
M└
若 ① CD是直径
●O
② CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
D
基本模型“垂径定理、直角三角形”
(2）垂径定理以及推论
C
(1)直径 (过圆心的线)；(2)垂直弦； A M└
B
(3) 平分弦 ；
(4)平分劣弧；
●O
(5)平分优弧.
知二得三
D
注意: “ 直径平分弦则垂直弦.” 这句话对吗?
A．35°
B.70°
C．110° D.140°
二、点和圆的位置关系
.o .p r
Op＜r Op=r Op＞r
.p .o
.o
.p
点p在⊙o内 点p在⊙o上 点p在⊙o外
三.直线与圆的位置关系
r ●O ┐d
相交
r ●O
d ┐ 相切
1、直线和圆相交
d < r;
2、直线和圆相切 3、直线和圆相离
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圆目录一．圆的定义及相关概念二．垂经定理及其推论三．圆周角与圆心角四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五．圆内接四边形六．会用切线, 能证切线七．切线长定理八．三角形的内切圆九．了解弦切角与圆幂定理（选学）十．圆与圆的位置关系十一．圆的有关计算十二．圆的基础综合测试十三．圆的终极综合测试一．圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点2：确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆，优弧、劣弧三种。
（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。
如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。
考点5点和圆的位置关系 设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ， 则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外⇔d ＞r ；②点在圆上⇔d=r ；③点在圆内⇔ d ＜r ；【典型例题】例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。
例2．已知，如图，CD 是直径，︒=∠84EOD ，的度数。
例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。
例4 在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 和CD 的距离是多少？例5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6cm ，EB=2cm,30=∠CEA ， 求CD 的长．AB DCO· E例6.已知：⊙O 的半径0A=1，弦AB 、AC 的长分别为3,2，求BAC 的度数．【考点速练】1.下列命题中，正确的是（ ） A ．三点确定一个圆B ．任何一个三角形有且仅有一个外接圆C ．任何一个四边形都有一个外接圆D ．等腰三角形的外心一定在它的外部 2．如果一个三角形的外心在它的一边上，那么这个三角形一定是（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．钝角三角形 3．圆的内接三角形的个数为（ ） A ．1个 B ．2 C ．3个 D ．无数个4．三角形的外接圆的个数为（ ） A ．1个 B ．2 C ．3个 D ．无数个 5．下列说法中，正确的个数为（ ）①任意一点可以确定一个圆；②任意两点可以确定一个圆；③任意三点可以确定一个圆；④经过任一点可以作圆；⑤经过任意两点一定有圆． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个6.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是( )A.圆的外部(包括边界)；B.圆的内部(不包括边界)；C.圆；D.圆的内部(包括边界) 7.已知⊙O 的半径为6cm,P 为线段OA 的中点,若点P 在⊙O 上,则OA 的长( ) A.等于6cm B.等于12cm ； C.小于6cm D.大于12cm 8.如图,⊙O 的直径为10cm,弦AB 为8cm,P 是弦AB 上一点,若OP 的长为整数, 则满足条件的点P 有( )A.2个B.3个C.4个D.5个 9.如图,A 是半径为5的⊙O 内一点,且OA=3,过点A 且长小于8的弦有( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.4条第8题10.要浇铸一个和残破轮片同样大小的圆形轮片，需要知道它的半径，用圆规和直尺在图中作出它的一条半径．（要求保留作图痕迹）BPAOB11.如图，已知在ABC ∆中，︒=∠90A ，AB=3cm，AC=4cm ，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧交CB 的延长线于点D ，求CD 的长．12、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度AB ＝16cm ，拱高CD ＝4cm ，那么拱形的半径是＿＿m 。
13、 △ABC 中，AB=AC=10，BC=12，则它的外接圆半径是＿＿。
14、如图，点P 是半径为5的⊙O 内一点，且OP ＝3，在过点P 的所有的⊙O 的弦中，弦长为整数的弦的条数为＿＿。
15.思考题如图所示,已知⊙O 的半径为10cm ，P 是直径AB 上一点,弦CD 过点P,CD=16cm,过点A 和B 分别向CD 引垂线AE 和BF,求AE-BF 的值.【作业】日期 姓名 完成时间 成绩1、在半径为2的圆中，弦长等于的弦的弦心距为 ____2. △ABC 的三个顶点在⊙O 上,且AB=AC=2,∠BAC=120º,则⊙O 的半径= __, BC= ___.CB DA ·AB DCEP FO3． P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为_________；•最长弦长为_______．4. 如图,A,B,C 三点在⊙O 上,且AB 是⊙O 的直径,半径OD ⊥AC,垂足为F,若∠A=30º,OF=3, 则OA=______ , AC=______ , BC= _________ .5.如图5,为直径是52cm 圆柱形油槽,装入油后,油深CD 为16cm,那么油面宽度AB= ____6.如图6, ⊙O 中弦AB ⊥AC,D,E 分别是AB,AC 的中点. ⑴若AB=AC,则四边形OEAD 是 形;⑵若OD=3,半径5 r ,则AB= _cm, AC= ___ _ cm7.如图7，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=8cm ，EB=4cm ，∠CEA=30°，则CD 的长为_________．(5) (6) (7)二．垂径定理及其推论【考点速览】考点1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤． 推论1：①平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤． ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤．③平分弦所对的一条孤的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤． 推论2．圆的两条平行弦所夹的孤相等． 垂径定理及推论1中的三条可概括为：① 经过圆心；②垂直于弦；③平分弦(不是直径)；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点D OBAAE DBO C FADCBO【典型例题】例1 如图AB 、CD 是⊙O 的弦，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且CNM AMN ∠=∠． 求证：AB=CD ．例2已知，不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥l 于E ，BF ⊥l 于F 。
求证：CE=DF ．l•问题一图1OHFE D CBA l•问题一图2O H F E DC BAl•问题一图3OH FE D C BA例3 如图所示，⊙O 的直径AB ＝15cm ，有一条定长为9cm 的动弦CD 在弧AmB 上滑动（点C 与点A ，点D 与B 不重合），且CE ⊥CD 交AB 于E ，DF ⊥CD 交AB 于F 。
（1）求证：AE ＝BF（2）在动弦CD 滑动的过程中，四边形CDEF 的面积是否为定值？若是定值，请给出证明，并求出这个定值，若不是，请说明理由。
例4 如图，在⊙O 内，弦CD 与直径AB 交成045角，若弦CD 交直径AB 于点P ，且⊙O 半径为1，试问：22PD PC + 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.A BCDPO。
A BDC O· NM【考点速练】1.已知⊙O 的半径为2cm ，弦AB 长cm 32，则这条弦的中点到弦所对劣孤的中点的距离为（ ）.A ．1cm B.2cm C.cm 2 D.cm 3cm3．如图1，⊙O 的半径为6cm ，AB 、CD 为两弦，且AB ⊥CD ，垂足为点E ，若CE=3cm ，DE=7cm ，则AB 的长为（ ）A ．10cm B.8cm C.cm 24 D.cm 284.有下列判断：①直径是圆的对称轴；②圆的对称轴是一条直径；③直径平分弦与弦所对的孤；④圆的对称轴有无数条.其中正确的判断有（ ） A ．0个 B.1个 C.2个 D.3个5．如图2，同心圆中，大圆的弦交AB 于C 、D 若AB=4，CD=2，圆心O 到AB 的距离等于1，那么两个同心圆的半径之比为（ ）A ．3:2 B.5:2 C.5:2 D.5:4 6.等腰三角形腰长为4cm,底角为 30,则外接圆直径为（ ） A ．2cm B.4cm C.6cm D.8cm7.如图,⊙O 的直径为10,弦AB=8,P 是弦AB 上的一个动点,那么OP 长的取值范围是 . 8.如图,已知有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,那么拱形的半径是_ ___m.9.如图，直径为1000mm 的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB 为800mm ，求BPAO D CB AA D EC B ·图1A ·O C D B图2水的最大深度CD ．10.如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6cm ，BC=8cm ，以C 为圆心，CA 为半径作圆交斜边AB 于D ，则AD 的长为 。
11.已知:如图,在⊙O 中,弦AB 的长是半径OA,C 为弧AB 的中点,AB 、OC 相交于点M.试判断四边形OACB 的形状,并说明理由.12.如图所示，在⊙O 中，弦AB ⊥AC ，弦BD ⊥BA ，AC 、BD 交直径MN 于E 、F.求证：ME=NF.13.（思考题）如图，1o Θ与2o Θ交于点A ，B ，过A 的直线分别交1o Θ，2o Θ于M,N ，C 为MN 的中点，P 为21O O 的中点，求证：PA=PC.图M CB AO·OA BDC E FM N1O AB2OMNC P【作业】日期 姓名 完成时间 成绩1.已知⊙O 的直径AB=10cm ，弦CD ⊥AB ，垂足为M 。
且OM=3cm ，则CD= .2．D 是半径为5cm 的⊙O 内的一点，且D0=3cm ，则过点D 的所有弦中，最小的弦AB= cm. 3.若圆的半径为2cm ，圆中一条弦长为32cm ，则此弦所对应弓形的弓高是 . 4.已知⊙O 的弦AB=2cm,圆心到AB 的距离为n,则⊙O 的半径R= ，⊙O 的周长为 . ⊙O 的面积为 .5．在⊙O 中，弦AB=10cm ，C 为劣孤AB 的中点，OC 交AB 于D ，CD=1cm ，则⊙O 的半径是 .6．⊙O 中，AB 、CD 是弦，且AB ∥CD ，且AB=8cm ，CD=6cm ，⊙O 的半径为5cm ，连接AD 、BC ，则梯形ABCD 的面积等于 .7．如图，⊙O 的半径为4cm ，弦AB 、CD 交于E 点，，OF ⊥CD 于F ，OF=2cm ，则∠BED= .8．已知⊙O 的半径为10cm ，弦MN ∥EF ，且MN=12cm ，EF=16cm ，则弦MN 和EF 之间的距离为 .三．圆周角与圆心角【考点速览】 考点1圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。