垂径定理-圆周角与圆心角的关系

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目录

一.圆的定义及相关概念

二.垂经定理及其推论

三.圆周角与圆心角

四.圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五.圆内接四边形

六.会用切线, 能证切线

七.切线长定理

八.三角形的内切圆

九.了解弦切角与圆幂定理(选学)十.圆与圆的位置关系

十一.圆的有关计算

十二.圆的基础综合测试

十三.圆的终极综合测试

一.圆的定义及相关概念

【考点速览】

考点1:

圆的对称性:圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。

考点2:

确定圆的条件;圆心和半径

①圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小;

②不在同一条直线上的三点确定一个圆;

考点3:

弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。

弦心距:圆心到弦的距离叫做弦心距。

弧:圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆,优弧、劣弧三种。

(请务必注意区分等弧,等弦,等圆的概念)

弓形:弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。

弓高:弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。

(请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形,对应两个弓高)

固定的已经不能再固定的方法:

求弦心距,弦长,弓高,半径时通常要做弦心距,并连接圆心和弦的一个端点,得到直角三角形。如下图:

考点4:

三角形的外接圆:

锐角三角形的外心在 ,直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。 考点5

点和圆的位置关系 设圆的半径为r ,点到圆心的距离为d , 则点与圆的位置关系有三种。

①点在圆外⇔d >r ;②点在圆上⇔d=r ;③点在圆内⇔ d <r ;

【典型例题】

例1 在⊿ABC 中,∠ACB =90°,AC =2,BC =4,CM 是AB 边上的中线,以点C 为圆心,以5为半径作圆,试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系,并说明你的理由。

例2.已知,如图,CD 是直径,︒=∠84EOD ,

的度数。

例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ,最大为8cm ,则这圆的半径是_________cm 。

例4 在半径为5cm 的圆中,弦AB ∥CD ,AB=6cm ,CD=8cm ,则AB 和CD 的距离是多少?

例5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ,已知AE=6cm ,EB=2cm,

30=∠CEA , 求CD 的长.

A

B D

C

O

· E

例6.已知:⊙O 的半径0A=1,弦AB 、AC 的长分别为3,2,求BAC 的度数.

【考点速练】

1.下列命题中,正确的是( ) A .三点确定一个圆

B .任何一个三角形有且仅有一个外接圆

C .任何一个四边形都有一个外接圆

D .等腰三角形的外心一定在它的外部 2.如果一个三角形的外心在它的一边上,那么这个三角形一定是( ) A .等腰三角形B .直角三角形 C .等边三角形 D .钝角三角形 3.圆的内接三角形的个数为( ) A .1个 B .2 C .3个 D .无数个

4.三角形的外接圆的个数为( ) A .1个 B .2 C .3个 D .无数个 5.下列说法中,正确的个数为( )

①任意一点可以确定一个圆;②任意两点可以确定一个圆;③任意三点可以确定一个圆;④经过任一点可以作圆;⑤经过任意两点一定有圆. A .1个 B .2个 C .3个

D .4个

6.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是( )

A.圆的外部(包括边界);

B.圆的内部(不包括边界);

C.圆;

D.圆的内部(包括边界) 7.已知⊙O 的半径为6cm,P 为线段OA 的中点,若点P 在⊙O 上,则OA 的长( ) A.等于6cm B.等于12cm ; C.小于6cm D.大于12cm 8.如图,⊙O 的直径为10cm,弦AB 为8cm,P 是弦AB 上一点,若OP 的长为整数, 则满足条件的点P 有( )

A.2个

B.3个

C.4个

D.5个 9.如图,A 是半径为5的⊙O 内一点,且OA=3,过点A 且长小于8的弦有( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.4条

第8题

10.要浇铸一个和残破轮片同样大小的圆形轮片,需要知道它的半径,用圆规和直尺在图中作出它的一条半径.(要求保留作图痕迹)

B

P

A

O

B

11.如图,已知在ABC ∆中,︒=∠90A ,AB=3cm

,AC=4cm ,以点A 为圆心,AC 长为半径画弧交CB 的延长线于点D ,求CD 的长.

12、如图,有一圆弧开桥拱,拱的跨度AB =16cm ,拱高CD =4cm ,那么拱形的半径是__m 。

13、 △ABC 中,AB=AC=10,BC=12,则它的外接圆半径是__。

14、如图,点P 是半径为5的⊙O 内一点,且OP =3,在过点P 的所有的⊙O 的弦中,弦长为整数的弦的条数为__。

15.思考题

如图所示,已知⊙O 的半径为10cm ,P 是直径AB 上一点,弦CD 过点P,CD=16cm,过点A 和B 分别向CD 引垂线AE 和BF,求AE-BF 的值.

【作业】日期 姓名 完成时间 成绩

1、在半径为2的圆中,弦长等于的弦的弦心距为 ____

2. △ABC 的三个顶点在⊙O 上,且AB=AC=2,∠BAC=120º,则⊙O 的半径= __, BC= ___.

C

B D

A ·

A

B D

C

E

P F

O

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