复数 总结
(完整版)复数知识点总结
复数一、复数的概念1. 虚数单位i（1） 它的平方等于1-，即 2i 1=-；（2） 实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律．（3） i 的乘方： 4414243*i 1,i i,i 1,i i,N n n n n n +++===-=-∈，它们不超出i b 的形式．2. 复数的定义形如i(,)R a b a b +∈的数叫做复数， ,a b 分别叫做复数的实部与虚部3. 复数相等 i i a b c d +=+，即,a c b d ==，那么这两个复数相等4. 共轭复数 i z a b =+时，i z a b =-． 性质：z z =；2121z z z z ±=±；1121z z z z ⋅=⋅； );0()(22121≠=z z z z z 二、复平面及复数的坐标表示1. 复平面在直角坐标系里，点z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i z a b =+可用点(,)Z a b 来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴为实轴，y 轴出去原点的部分称为虚轴．2. 复数的坐标表示 点(,)Z a b3. 复数的向量表示 向量OZ ．4. 复数的模在复平面内，复数i z a b =+对应点(,)Z a b ，点Z 到原点的距离OZ 叫做复数z 的模，记作z ．由定义知，z =．三、复数的运算1. 加法 (i)(i)()()i a b c d a c b d +++=+++．几何意义： 设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z +对应的向量为12(,)OZ OZ a c b d +=++．因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释．2. 减法 (i)(i)()()i a b c d a c b d +-+=-+-．几何意义： 设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z -对应的向量为1221(,)OZ OZ Z Z a c b d -==--．12()()i z z a c b d -=-+-=1Z 、2Z 两点之间的距离，也等于向量12Z Z 的模．3. 乘法 ()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±.4. 乘方 m n m n z z z +⋅= ()m n mn z z = 1212()n n n z z z z ⋅=⋅5. 除法 ()()()()()()()()22a bi c di ac bd bc ad i a bi a bi c di c di c di c di c d+-++-++÷+===++-+. 6. 复数运算的常用结论 （1） 222(i)2i a b a b ab +=-+， 22(i)(i)a b a b a b +-=+（2） 2(1i)2i +=， 2(1i)2i -=-（3） 1i i 1i +=-， 1i i 1i-=-+ （4） 1212z z z z ±=±， 1212z z z z ⋅=⋅， 1122z z z z ⎛⎫=⎪⎝⎭，z z =．（5） 2z z z ⋅=， z z =（6） 121212z z z z z z -≤+≤+ （7） 1212z z z z ⋅=⋅，1212z z z z ⋅=⋅，nn z z = 四、复数的平方根与立方根1. 平方根 若2(i)i a b c d +=+，则i a b +是i c d +的一个平方根，(i)a b -+也是i c d +的平方根． （1的平方根是i ±．） 2. 立方根 如果复数1z 、2z 满足312z z =，则称1z 是2z 的立方根．（1） 1的立方根： 21,,ωω．12ω=-+，212ωω==--，31ω=． 210ωω++=． （2） 1-的立方根：111,22z z -=+=-． 五、复数方程1. 常见图形的复数方程（1） 圆：0z z r -=（0r >，0z 为常数），表示以0z 对应的点0Z 为圆心，r 为半径的圆（2） 线段12Z Z 的中垂线：12z z z z -=-（其中12,z z 分别对应点12,Z Z ）（3） 椭圆： 122z z z z a -+-=（其中0a >且122z z a -<），表示以12,z z 对应的点F1、F2为焦点，长轴长为2a 的椭圆（4） 双曲线： 122z z z z a ---=（其中0a >且122z z a ->），表示以12,z z 对应的点F1、F2为焦点，实轴长为2a 的双曲线2. 实系数方程在复数范围内求根（1）求根公式：1,21,21,20 20 20 2b x a b x a b x a ⎧-∆>=⎪⎪⎪-∆==⎨⎪⎪-±∆<=⎪⎩一对实根一对相等的实根一对共轭虚根 （2） 韦达定理：1212b x x a cx x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩。
(完整版)高考复数知识点精华总结
复 数1．复数的概念： （1）虚数单位i ；（2）复数的代数形式z=a+bi ，(a, b ∈R)； （3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。
2．复数集整 数有 理 数实数(0)分 数复 数(,)无理数(无限不循环小数)纯 虚 数(0)虚 数(0)非 纯 虚 数(0)b a bi a b R a b a ⎧⎧⎧⎪⎪⎨=⎨⎪⎩⎪⎪+∈⎨⎩⎪⎧≠⎪≠⎨⎪=⎩⎩3．复数a+bi(a, b ∈R)由两部分组成，实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部，1与i 分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi 就是实数，当b ≠0时，a+bi 是虚数，其中a=0且b ≠0时称为纯虚数。
应特别注意，a=0仅是复数a+bi 为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。
4．复数的四则运算若两个复数z1=a1+b1i ，z2=a2+b2i ， （1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i ； （2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i ； （3）乘法：z1·z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i ；（4）除法：11212211222222()()z a a b b a b a b i z a b ++-=+；（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。
（6）特殊复数的运算：① ni (n 为整数)的周期性运算； ②(1±i)2 =±2i ；③ 若ω=-21+23i ，则ω3=1，1+ω+ω2=0.5．共轭复数与复数的模（1）若z=a+bi ，则z a bi =-，z z +为实数，z z -为纯虚数(b ≠0).（2）复数z=a+bi 的模且2||z z z ⋅==a 2+b 2.6.根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d ∈R ，两个复数a+bi 和c+di 相等规定为a+bi=c+di a c b d =⎧⇔⎨=⎩. 由这个定义得到a+bi=0⇔00a b =⎧⎨=⎩. 两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。
小学复数知识点总结
小学复数知识点总结一、名词的复数形式1.名词的复数形式通常是在词尾加“s”。
例如：book-books，girl-girls，car-cars等。
2.以s,sh,ch,x结尾的名词，加-es。
例如：bus-buses, brush-brushes, watch-watches, box-boxes等。
3.以辅音字母+y结尾的名词，变y为i再加-es。
例如：city-cities, baby-babies, family-families等。
4.以o结尾的名词，加-es。
例如：potato-potatoes, tomato-tomatoes, hero-heroes等。
5.以辅音字母+o结尾的名词，直接加-s。
例如：photo-photos, piano-pianos等。
6.以f或fe结尾的名词，变f或fe为v再加-es。
例如：leaf-leaves, knife-knives, loaf-loaves等。
7.不规则变化：man-men, woman-women, child-children, tooth-teeth, foot-feet等。
以上就是名词的复数形式的一些常见规则，学生在学习复数形式时可以通过记忆这些规则来加强复数形式的掌握。
二、名词的复数形式的用法1.表示多个事物名词的复数形式主要用来表示多个事物。
例如：There are three cats in the garden.（花园里有三只猫。
）2.表示一般真理名词的复数形式有时也用来表示一般真理。
例如：Birds build nests.（鸟儿筑巢。
）3.表示数量当名词的数量是不确定的时候，复数形式可以用来表示数量。
例如：I have many friends.（我有很多朋友。
）三、名词的复数形式的扩展运用1.句子中的主谓一致在句子中，主语与谓语应该保持一致。
当主语是复数形式的名词时，谓语动词需要用复数形式。
例如：The girls are playing in the park.（女孩们在公园里玩。
复数知识点总结数学
复数知识点总结数学一、复数的定义1. 复数的引入复数是在解决二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 时引入的，因而对于该方程抽象出来的解 -b/2a 即不存在，于是引入了虚数单位 i（i^2 = -1）。
因此，考虑了实数范围外的概念：负数的平方根。
2. 复数的定义复数由实部和虚部组成，一般表示为 a+bi，其中a为实部，bi为虚部。
当a=0时，复数为纯虚数；当b=0时，复数为实数。
3. 复数的性质复数具有共轭、实部、虚部等性质。
共轭：复数 a+bi 的共轭为 a-bi；实部：复数 a+bi 的实部为 a；虚部：复数 a+bi 的虚部为 b。
4. 复数的绝对值和幅角复数 a+bi 的绝对值定义为|a+bi| = √(a²+b²)；复数 a+bi 的幅角定义为 arg(a+bi) =arctan(b/a)。
二、复数的运算1. 复数的加法和减法复数的加法和减法都是按照实部和虚部进行赋值运算。
2. 复数的乘法复数的乘法是按照展开式进行计算的，需要注意 i² = -1。
3. 复数的除法复数的除法需要将分母有理化，然后乘以共轭复数得到结果。
4. 复数的乘方和开方复数的乘方需要注意按照展开式进行计算；复数的开方需要注意共轭复数和幂次根的计算。
三、复数的代数方程1. 一元二次方程一元二次方程的解一般为复数，根据判别式可以判断方程有几个实根、虚根或不等实根。
2. 一元高次方程一元高次方程的根可能为复数，可以根据综合定理推导出复数根的情况。
3. 复数系数方程对于复数系数方程，可以使用复数的性质进行求解，得到复数解。
四、复数平面1. 复数的几何表示在复数平面中，实部和虚部分别对应坐标轴上的 x 轴和 y 轴，复数 a+bi 对应于点 (a,b)。
2. 复数的运算复数的几何表示可以利用向量的方法进行解释，加法和乘法对应于向量的平移和旋转。
3. 复数的几何性质复数的绝对值对应于复数到原点的距离，复数的幅角对应于复数到 x 轴的角度。
复数的特殊知识点总结
复数的特殊知识点总结一、复数的一般形式1.在名词后面加-s或-es大部分的英语名词，在单数形式的基础上，加上-s或-es就可以构成复数。
如：book —books, cat — cats, bus — buses, box — boxes等。
在词尾是s, x, es, ch, sh结尾的词后加-es，如：glass — glasses, bus — buses, box — boxes 等。
特殊情况1：在辅音字母+y结尾的单词，变复数时，把y变为i, 再加-es. 如：baby —babies, lady — ladies。
但是，在元音字母+y结尾的单词，变复数时直接加-s。
如：boy —boys, day — days。
特殊情况2：有些名词的复数形式并不是在词尾加s或es，而是改变词根的拼写。
如：man — men, woman — women。
2.某些名词有单复数同形。
如：deer, sheep, fish等。
3.某些名词的复数形式是不规则的。
如：child — children, foot — feet, tooth — teeth, mouse — mice, person — people等。
二、复数的形式变化受限定词和修饰语的影响1.表示一些或若干的限定词与复数名词连用时，复数名词的形式应该是不定式。
如：a few books, some books。
2.表示一个的限定词与复数名词连用时，复数名词的形式应该是定式。
如：an apple, a dozen apples。
3.表示具体的某个限定词与复数名词连用时，复数名词的形式应该是定式。
如：this book, these books。
如果名词前面有修饰语，也应该注意修饰语的变化。
如：a red book, two red books。
三、复数名词的用法1.在句子中作主语时，复数名词要和动词保持一致。
如果复数名词作为主语，谓语动词通常用复数形式。
复数计算知识点总结
复数计算知识点总结一、复数的定义复数是数学中的一个重要概念，它是由实数和虚数组成的数。
复数通常以“a+bi”的形式表示，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
例如：3+4i就是一个复数，其中实部为3，虚部为4。
二、复数的加法和减法1. 复数的加法复数的加法和实数的加法类似，只不过需要将实部和虚部分别相加即可。
例如：(3+4i) + (5+2i) = 8+6i2. 复数的减法复数的减法也和实数的减法类似，同样需要将实部和虚部分别相减。
例如：(3+4i) - (5+2i) = -2+2i三、复数的乘法和除法1. 复数的乘法复数的乘法要利用到实数的乘法和虚数单位的性质，即i²=-1。
例如：(3+4i) * (5+2i) = 15+6i+20i+8i² = 15+26i-8 = 7+26i2. 复数的除法复数的除法可以转化为乘法的倒数来进行运算，需要借助到共轭复数。
例如：(3+4i) / (5+2i) = (3+4i) * (5-2i) / (5²+2²) = (15-6i+20i+8) / (25+4) = (23+14i) / 29 = 23/29 + 14i/29四、复数的模和幅角1. 复数的模复数的模即为复数到原点的距离，即复数a+bi的模为√(a²+b²)。
例如：复数3+4i的模为√(3²+4²) = √(9+16) = √25 = 52. 复数的幅角复数的幅角即为复数与实轴正半轴的夹角，通常用θ表示，可以通过反正切函数来计算。
例如：对于复数3+4i，可以计算出其幅角为arctan(4/3) ≈ 53.13°。
五、复数的共轭和乘幂1. 复数的共轭复数的共轭是指将复数中的虚部取相反数，即a+bi的共轭为a-bi。
例如：复数3+4i的共轭为3-4i2. 复数的乘幂复数的乘幂可以通过极坐标形式来计算，利用欧拉公式e^(iθ) = cosθ + i·sinθ可以得到。
复数知识点总结
复数知识点总结复数是数学中的一个基本概念，它扩展了实数的概念，包括了实数和虚数。
复数的引入极大地丰富了数学理论，并在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
以下是复数的知识点总结：1. 复数的定义：复数是形如a+bi的数，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。
复数由实部a和虚部b组成。
2. 复数的表示：复数可以用直角坐标系中的点表示，实部a对应x轴，虚部b对应y轴，因此复数也可以表示为有序对(a, b)。
3. 复数的四则运算：复数的加法、减法、乘法和除法都有特定的运算规则。
加法和减法通过分别对实部和虚部进行运算实现；乘法和除法则需要使用分配律和共轭复数的概念。
4. 共轭复数：一个复数的共轭复数是其实部相同，虚部相反的复数。
例如，对于复数z=a+bi，其共轭复数为z*=a-bi。
5. 复数的模：复数的模是其实部和虚部平方和的平方根，表示为|z|=√(a^2+b^2)。
模可以用来度量复数在复平面上的大小。
6. 复数的指数形式：欧拉公式表明，复数可以表示为指数形式，即z=r(cosθ+isinθ)，其中r是复数的模，θ是复数的辐角。
7. 复数的极坐标形式：复数也可以表示为极坐标形式，即z=r(cosθ+isinθ)，其中r是复数的模，θ是复数的辐角。
8. 复数的辐角：复数的辐角是其在复平面上与正实轴的夹角，通常用θ表示。
辐角的取值范围是[0, 2π)。
9. 复数的代数形式：复数可以表示为代数形式，即z=a+bi，其中a是实部，b是虚部。
10. 复数的几何意义：在复平面上，复数对应一个向量，其长度是复数的模，方向是复数的辐角。
11. 复数的解析函数：在复分析中，复数的解析函数是复数域上的函数，满足柯西-黎曼方程，即函数的实部和虚部都是调和函数。
12. 复数的积分：复数的积分在复分析中有着重要的地位，包括柯西积分定理和留数定理等。
13. 复数的应用：复数在信号处理、控制系统、量子力学等领域有着广泛的应用，例如在信号处理中，复数可以用来表示振荡信号的幅度和相位。
复数的性质-总结
12.复数的运算律
（1）复数的乘方：
（2）对任何 ， 及 有
13.复数的几何意义
，加减法的几何意义：平行四边形法则
注：复数几何意义给数形结合提供了条件.
⑴复平面内的两点间距离公式： .其中 是复平面内的两点 所对应的复数 间的距离.
⑵曲线方程的复数形式：
① 为圆心，r为半径的圆的方程.
② 表示线段 的垂直平分线的方程.
②z是纯虚数 z＋ ＝0（z≠0）; ③z是纯虚数 z2<0
4.复数相等
如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等
5.复数的模
= =
6.较大小
两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.
（1）若 为复数，则
①若 ，则 .（×）[ 为复数，而不是实数]
②若 ，则 .（√）
（2）若 ，则 是 的必要不充分条件.
（当 ， 时，上式成立）
8.共轭复数
复数z=a+bi与复数z=a-bi互为共轭复数(当虚部不为零时，也可说成互为共轭虚数)．
9.复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫虚轴．
10.复数四则运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则：
复数
1.复数定义
形如 的数叫做复数,a,b分别叫它的实部和虚部．（复数集C—全体复数的集合）
2.复数单位
复数的单位为i，它的平方等于－1，即 .
3.复数分类
（1）复数—形如z=a+bi（其中 ）；
（2）实数— 当b = 0时的复数z=a+bi，即a；
（3）虚数—当 时的复数z=a+bi；
（4）纯虚数—①当a= 0且 时的复数z=a+bi，即bi.
复数知识点精心总结
复数知识点精心总结复数的概念：形如a+bi(a，b∈R)的数叫复数，其中i叫做虚数单位。
全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。
复数的表示：复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。
复数的几何意义：(1)复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。
显然，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数(2)复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。
这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。
复数的模：虚数单位i：(1)它的平方等于-1，即i2=-1;(2)实数可以与它进展四那么运算，进展四那么运算时，原有加、乘运算律仍然成立(3)i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是-i。
(4)i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。
复数模的性质：复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a+bi(a、b∈R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数0。
两个复数相等的定义：假如两个复数的实部和虚局部别相等，那么我们就说这两个复数相等，即：假如a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d。
特殊地，a，b∈R时，a+bi=0a=0，b=0.复数相等的充要条件，提供了将复数问题化归为实数问题解决的途径。
复数相等特别提醒：一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比拟大小。
关于复数的知识点总结
关于复数的知识点总结复数的知识点总结篇1复数的概念：形如a+bi(a，b∈R)的数叫复数，其中i叫做虚数单位。
全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。
复数的表示：复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。
复数的几何意义：(1)复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。
显然，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 (2)复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。
这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。
复数的模：复数z=a+bi(a、b∈R)在复平面上对应的点Z(a，b)到原点的距离叫复数的模，记为|Z|，即|Z|=虚数单位i：(1)它的平方等于-1，即i2=-1;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立(3)i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是-i。
(4)i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。
复数模的性质：复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a+bi(a、b∈R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数0。
两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d。
(完整版)高考复数知识点精华总结
1.复数的概念: (1 )虚数单位i ;(2) 复数的代数形式z=a+bi , (a, b € R)； (3) 复数的实部、虚部、虚数与纯虚数 2 .复数集3 .复数a+bi(a, b € R)由两部分组成，实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部，1与i 分别是实数单位和虚数单位，当 b=0时，a+bi 就是实数，当b 工0时，a+bi 是虚数，其中 a=0且b 工0时称为纯虚数。
应特别注意，a=0仅是复数a+bi 为纯虚数的必要条件，若 a=b=0，则a+bi=0是实数。
4. 复数的四则运算若两个复数 z1=a1+b1i ，z2=a2+b2i ， (1) 加法:z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；(2) 减法:z1 - z2=(a1 - a2)+(b1 - b2)i ； (3) 乘法:z1 z 2=(a1a2 - b1b2)+(a1b2+a2b1)i;z-i (a-i a 2 t 1b 2) (a 2t 1 a-|b 2)i— 2~Z~2(4)除法：z 2a 2b 2;(5) 四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况 (6) 特殊复数的运算：n2①i (n 为整数)的周期性运算； ②(1 ± i) = ±2i ;丄 3③若 3 =- 2 + 2 i ，则 3 3=1 ， 1+ 3 + 3 2=0.5. 共轭复数与复数的模实数(b 复数 a bi (a, b R) 0)无理数(无限不循环小数)虚数(b纯虚数(a 0) 非纯虚数(a 0)(1 )若z=a+bi，则z a bi，z z 为实数,(2)复数z=a+bi 的模|Z|= b ,且z zz z为纯虚数(b工0).2|z| =a2+b2.两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。
4 •复数a+bi 的共轭复数是a - bi ，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称 若b=0，贝U 实数a 与实数a 共轭，表示点落在实轴上。
复数的计算知识点总结
复数的计算知识点总结一、复数的构成规则1. 一般情况下，名词的复数形式是在单数名词后面加-s或-es，例如：cats（猫）、dogs （狗）、buses（公共汽车）等。
2. 对于以-s、-x、-z、-ch和-sh结尾的名词，其复数形式通常在词尾加-es，例如：boxes （盒子）、buzzes（嗡嗡声）、washes（洗涤）等。
3. 以辅音字母+y结尾的名词，变复数时要先将y变为i，再加-es，例如：babies（婴儿）、cherries（樱桃）等。
4. 以-o结尾的名词通常在词尾加-es，但也有少数名词是以-s结尾的，例如：pianos（钢琴）、photos（照片）等。
5. 有些名词的复数形式是不规则的，例如：child（孩子）的复数是children（孩子们）、person（人）的复数是people（人们）等。
二、复数的用法1. 表示数量超过一个时，名词需要用复数形式，例如：There are many books in the library.（图书馆里有很多书。
）2. 用于一般性陈述时，名词通常使用单数形式，例如：The cat likes to sleep.（猫喜欢睡觉。
）3. 复数名词通常与复数动词连用，例如：The students are studying in the classroom.（学生们在教室里学习。
）三、名词的不可数名词有些名词是不可数名词，例如：water（水）、furniture（家具）、money（钱）等，它们没有复数形式，表示数量时需要用量词来修饰，例如：a bottle of water（一瓶水）、a piece of furniture（一件家具）等。
四、不可数名词与可数名词的区分不可数名词没有复数形式，表示无法数清的东西，而可数名词有复数形式，表示可以数清的东西。
在句子中的用法也有所区别，需要根据具体情况来判断使用。
五、名词的复数形式相关注意事项1. 一些名词的复数形式与单数形式相同，例如：fish（鱼）、sheep（羊）等。
复数概念知识点总结
复数概念知识点总结一、复数形式的构成大多数情况下，英语名词的复数形式是在单数形式后加-s或-es构成。
具体规则如下：1. 单数名词以辅音字母+y结尾，变复数时，将y改为i再加-es。
如：city→cities；baby→babies。
2. 单数名词以s, ss, sh, ch, x, o结尾，变复数时直接加-es。
如：bus→buses；dress→dresses；watch→watches；box→boxes；tomato→tomatoes。
3. 绝大多数情况下，单数名词加-s构成复数形式。
如：book→books；car→cars。
这是最基本的复数形式构成规则，大多数情况下都可以依据这些规则正确构造复数形式。
然而，也有一些特殊情况需要特别注意。
二、复数形式的使用规则1. 表示两个或两个以上数量的名词复数名词在句中用来表示两个或两个以上的数量。
例如：There are many books on the shelf.（书架上有很多书。
）2. 与其他名词或代词的搭配在英语中，有些名词和代词有固定的复数形式。
例如：men, women, children, people等。
3. 表示单数名词的复数概念有些名词在单数情况下表示一种概念，在复数情况下则表示多种概念。
例如：a flower（一朵花）→ flowers（多朵花）。
三、不规则复数形式除了按照基本规则变化的复数形式外，还有一些名词复数形式是不规则的，需要单独记忆。
例如：1. 单复数形式一样的名词如：sheep, deer, fish等，它们的单数和复数形式是一样的。
2. 完全不规则的名词如：man→men；woman→women；child→children等，这些名词的复数形式和单数形式完全不规则，需要特别注意。
四、特殊情况处理1. 复合名词的复数形式对于由两个或多个词组成的复合名词，通常是将最后一个词变为复数形式。
例如：brother-in-law→brothers-in-law；father-in-law→fathers-in-law。
复数知识点总结笔记
复数知识点总结笔记一、名词的复数形式1. 名词的复数形式的构成：(1) 一般情况下，在名词末尾加-s构成复数形式。
例如：book-books, table-tables, cat-cats等。
(2) 以s, sh, ch, x结尾的名词加-es构成复数形式。
例如：bus-buses, box-boxes, watch-watches等。
(3) 以辅音字母+y结尾的名词，变y为i加-es构成复数形式。
例如：baby-babies, city-cities等。
(4) 以f或fe结尾的名词变f或fe为v再加-es构成复数形式。
例如：leaf-leaves, knife-knives等。
(5) 以-o结尾的名词，加-es构成复数形式。
例如：potato-potatoes, hero-heroes等。
2. 单复数同形的名词有：sheep, deer, fish, series, means, species等。
3. 不规则名词的复数形式名词复数形式child childrenman menwoman womentooth teethfoot feetgoose geesemouse micelouse liceox oxenperson people二、名词的复数形式所表示的意义1. 表示一般意义的名词加复数形式，表示该类事物的众多或多种。
例如：children, books 等。
2. 双数形式名词的变复数形式所表示的意义是：表示成对出现的事物，如: trousers, glasses, scissors等。
三、不可数名词1. 不可数名词没有复数形式，表示一般意义时，用单数形式；表示特定量时，用量词或数词修饰。
2. 不可数名词有以下几类：(1) 抽象名词：love, hate, anger, kindness等。
(2) 物质名词：gold, silver, water, iron等。
(3) 抽象而可测量的名词：knowledge, air, music等。
复数知识点总结
复数知识点总结复数是指一个名词表示的是多个个体或者事物的形式。
在英文中，名词的复数形式有很多不同的规则，本文将总结一些常见的复数形式规则和例外情况。
1. 大多数名词，直接在词尾加上-s。
例如：book - books（书 - 书籍）、car - cars（车 - 车辆）2. 以s、x、ch、sh或o结尾的名词，在词尾加 -es。
例如：box - boxes（盒子 - 盒子们）、watch - watches（手表 - 手表们）、church - churches（教堂 - 教堂们）、dish - dishes （盘子 - 盘子们）、tomato - tomatoes（番茄 - 番茄们）3. 以辅音字母+y结尾的名词，将y变为-i，再加-es。
例如：party - parties（派对 - 派对们）、baby - babies（宝宝 - 宝宝们）4. 以f或fe结尾的名词，将f或fe变为v，再加-es。
例如：leaf - leaves（叶子 - 叶子们）、knife - knives（小刀 - 小刀们）5. 以元音字母+o结尾的名词，直接在词尾加-s。
例如：radio - radios（收音机 - 收音机们）、piano - pianos（钢琴 - 钢琴们）6. 一些名词的复数形式不规则，需要单独记忆。
例如：man - men（男人 - 男人们）、woman - women（女人 -女人们）、child - children（孩子 - 孩子们）7. 一些名词的复数形式和单数形式相同。
例如：sheep - sheep（羊 - 羊）、deer - deer（鹿 - 鹿）需要注意的是，单复数形式的不同也会影响到其他部分的语法，比如冠词和动词的使用。
例如，复数名词前通常会使用冠词"the"。
在动词方面，如果主语是复数形式，动词也要用复数形式。
总的来说，掌握名词复数形式的规则和例外情况是学习英语的基础，深入理解这些规则和形式能够帮助我们更准确地表达自己的意思。
英语单词复数形式大总结
英语单词复数形式大总结LEKIBM standardization office【IBM5AB- LEKIBMK08- LEKIBM2C】复数形式大总结一、最常见的名词复数(Plural)就是在单数(Singular)名词后边加上一个s--boy--boys tree--trees二、如果名词是以sh,ch,s或x结尾的话，那就要在单数的后面加上es--lash--lashes 鞭子 push--pushes --branch branches--coach--coaches 教练 gas-- gases --ass-- asses--驴子--class--classes box-- boxes --fox-- foxes三、如果名词结尾是一个子音(consonant,就是除了a,e,i,o,u之外的字母)加一个y，--那就要将y换成i，再加上es--baby--babies --family families pony--ponies--city--cities --country countries四、可是，如果名词结尾是一个母音(vowel，就是a,e,i,o,u)加一个y，那只要在单--数词后加一个s就成了--play-- plays --way----ways --valley--valleys 山谷--donkey--donkeys --toy----toys --boy----boys--guy----guys五、当单数名词的结尾是f或fe时，复数的写法就是将f改为v，再加es--thief--thieves --shelf--shelves leaf-- leaves--calf-- calves --half-- halves ----wolf-- wolves--wife-- wives --life-- lives可是，f结尾的单数字，有许多只需加个s就成复数（你看，这又是英文的bugs）--roof--roofs -- hoof--hoofschief--chiefs--cliff--cliffs -- gulf--gulfs六、结尾是o的单数词，一部份只加s就成复数词，但有的却需加es，真令人捉摸不定呀--piano--pianos --photo--photos---- bamboo--bamboos--zoo-- zoos --kangaroo kangaroos 袋鼠hero-- heroes--mango--mangoes --potato--potatoesvolcano volcanoes--negro--negroes--黑人--cargo--cargoesecho-- echoes--buffalo buffaloes --tomato--tomatoesmosquito mosquitoes七、由于古老传统的原因，一些单数词得加en才能变成复数词（鬼知道是什么原因）：--ox----oxen 牛--child-- children (你看，这个就不守规矩了，不是加en ,是ren呀) 八、一些单数词得改头换面一番,才能变成复数词的哦：--analysis--analyses 分析--basis-- bases--基础---- datum-- data--foot----feet -- --formula--formulae/formulas 公式 goose-- geese--louse-- lice--虱子--man----menmouse-- mice--radius-- radii 半径--tooth----teethwoman----women九、有些名词是单数、复数不分的，很可爱是吗？--Deer ----fish --cannon --sheep --salmon 鲑鱼-- trout 鳟鱼--（许多鱼类都是这么"可爱"的呀。
复数知识点总结
复数知识点总结在英语语法中，复数是指表示多个数量的名词。
学好和正确使用复数形式是培养良好英语语言能力的重要一环。
本文将总结一些常见的复数形式和使用规则。
1. 一般名词的复数形式一般情况下，名词的复数形式是在词尾加上 -s。
例如：- book（书）- books（书们）- student（学生）- students（学生们）2. 以s、x、ch、sh结尾的名词以字母 s、x、ch、sh 结尾的名词，在词尾直接加上 -es 形成复数形式。
例如：- bus（公共汽车）- buses（公共汽车们）- box（盒子）- boxes（盒子们）- watch（手表）- watches（手表们）- brush（刷子）- brushes（刷子们）3. 以辅音字母+y结尾的名词以辅音字母+y结尾的名词，在词尾的y变为i，再加上 -es 形成复数形式。
例如：- city（城市）- cities（城市们）- baby（婴儿）- babies（婴儿们）4. 以元音字母+y结尾的名词以元音字母+y结尾的名词，直接加上 -s 形成复数形式。
例如：- day（天）- days（天们）- key（钥匙）- keys（钥匙们）5. 以f或fe结尾的名词以f或fe结尾的名词，将f或fe变为v，再加上-es 形成复数形式。
例如：- leaf（叶子）- leaves（叶子们）- knife（刀）- knives（刀们）6. 不规则名词复数形式有一些名词的复数形式是不规则的，需要记住。
例如：- man（男人）- men（男人们）- woman（女人）- women（女人们）- child（孩子）- children（孩子们）- tooth（牙齿）- teeth（牙齿们）- foot（脚）- feet（脚们）7. 以-o结尾的名词以-o结尾的名词，有一些需要加上 -es 形成复数形式，而另一些则直接加上 -s。
例如：- tomato（番茄）- tomatoes（番茄们）- potato（土豆）- potatoes（土豆们）- photo（照片）- photos（照片们）- radio（收音机）- radios（收音机们）总结：学习并正确使用名词的复数形式对于掌握英语语法是至关重要的。
《复数》知识点总结
《复数》知识点总结1、复数的概念形如(,)a bi a b R +∈的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足21i =-，a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部.(1)纯虚数：对于复数z a bi =+，当00a b =≠且时，叫做纯虚数.(2)两个复数相等：,()a bi c di a b c d R ++∈、、、相等的充要条件是=a c b d =且.(3)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，横轴为实轴，竖轴除去原点为虚轴.(4)复数的模：复数z a bi =+可以用复平面内的点Z(,)a b 表示，向量OZ 的模叫做复数z a bi =+的模，表示为：||||z a bi =+=（5）共轭复数：两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做共轭复数.2、复数的四则运算（1）加减运算：()()()()a bi c di a c b d i +±+=±++；（2）乘法运算：()()()()a bi c di ac bd ad bc i +⋅+=-++；（3）除法运算：2222()()()()(0)ac bd bc ad a bi c di i c di c d c d +-+÷+=++≠++； （4）i 的幂运算：41n i =，41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-.()n Z ∈（5）22||||z z z z ==3、 规律方法总结（1）对于复数(,)z a bi a b R =+∈必须强调,a b 均为实数，方可得出实部为a ，虚部为b（2）复数(,)z a bi a b R =+∈是由它们的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法．对于一个复数(,)z a bi a b R =+∈，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识（3）对于两个复数，若不全是实数，则不能比较大小，在复数集里一般没有大小之分，但却有相等与不等之分.（4）数系扩充后，数的概念由实数集扩充到复数集，实数集中的一些运算性质、概念、关系就不一定适用了，如绝对值的性质、绝对值的定义、偶次方非负等1、基本概念计算类例1．若,43,221i z i a z -=+=且21z z 为纯虚数，则实数a 的值为_________ 解：因为，21z z ＝25)46(83258463)43)(43()43)(2(432i a a ia i a i i i i a i i a ++-=-++=+-++=-+， 又21z z 为纯虚数，所以，3a －8＝0，且6＋4a ≠0。
复数知识总结
复数1. 定义：形如 a bi a b R 、的数叫复数①i 是虚数单位，规定i 2=﹣1 ②实数与复数进行运算时原有定理仍成立 ③当b=0时叫实数 ④b ≠0时叫虚数 ⑤a =0 b ≠0时叫纯虚数 ⑥a 叫实部，b 叫虚部 ⑦复数：实数与虚数2. 相等复数①,;a bi c di a c b d 则 ②00,0a bi a b ，则3. 两个虚数是不能比较大小的，但模可以比较大小Z 复数与复平面上的点是一一对应的4. 共轭复数,a b i a b i Z 与表示Z 、,其性质①Z Z ②22Z Z Z ZZ Z 或③2,2Z Z a Z Z bi ④1212Z Z Z Z ⑤1212Z Z Z Z ⑥1122Z Z Z Z5. 模的性质①2222Z Z Z Z Z Z②11121222;Z Z Z Z Z Z Z Z ③121212Z Z Z Z Z Z 注意取等号的条件 6. 复数的加减，符合△法则及 法则7. 复数的乘法()()()()a bi c di ac bd bc ad i ，其性质①m n m nZ Z Z ②nmm n mn ZZ Z ③1m m Z Z④44142431;;1;n n n n i i i i i i ⑤44142430n n n n i i i i8. 复数的除法2222a bi ac bd bc adi c di c d c d 9. 复数的轨迹①1Z Z ②1Z Z r ③12r Z r ④12z z z z ⑤122z z z z a ⑥122z z z z a 10. 常见结论①2(1)2i i ②11ii i③11i i i 11. 复数的三角形式 cos sin ,Z r i r 是模，是辅角，性质①12121212cos()sin()Z Z rr i ②11121222cos()sin()Z r i Z r12. 1的立方根有三个，①1②112③212；性质①33121 ②1210 ③221221; ④121 ⑤31n练习1. 已知 2,23121m R Z i m i m i ①若z 为实数，则m=---------② 若z 为纯虚数，则m=----------2. 若方程221x mx xi mi 有实根，求实数m3. 已知221,22z i z i 则的最小值。
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复 数一．本章知识结构 二．学习内容和要求 （一）学习目标1．了解引进复数的必要性，数集的扩展过程及复数的分类表； 2．理解复数的有关概念； 3．掌握复数的代数形式；4．掌握复数的代数形式的运算法则； 5．能进行复数的加、减、乘、除运算； 6．掌握某些特殊复数的运算特征7．能在复数集中因式分解、解一元二次方程等。
（二）本章知识精要 1．复数的概念： （1）虚数单位i ；（2）复数的代数形式z=a+bi ，(a, b ∈R)； （3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。
2．复数集 3．复数的四则运算若两个复数z1=a1+b1i ，z2=a2+b2i ， （1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i ； （2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i ； （3）乘法：z1·z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i ；（4）除法：11212211222222()()z a a b b a b a b i z a b ++-=+；（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。
（6）特殊复数的运算：① ni (n 为整数)的周期性运算； ② (1±i)2=±2i ；③ 若ω=－21+23i ，则ω3=1，1+ω+ω2=0.4．共轭复数与复数的模（1）若z=a+bi ，则z a bi =-，z z +为实数，z z -为纯虚数(b ≠0).（2）复数z=a+bi 的模，且2||z z z ⋅==a2+b2.三．学习方法与指导 （一）学习方法点拨：1．数的概念是从实践中产生和发展起来的。
随着生产和科学的发展，数的概念也不断的被扩大和充实，从自然数集、整数集、有理数集到实数集的每一次扩充，推动了生产的进一步发展，也使数的理论逐步深化和发展，复数最初是由于解方程得需要产生的，后来由于在科学技术中得到应用而进一步发展。
要求熟悉我们已经学过的各种数集之间的内在联系。
理解复数在其中所起到的重要作用，和各种数集之间的包含关系。
2．复数a+bi(a, b ∈R)由两部分组成，实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部，1与i 分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi 就是实数，当b ≠0时，a+bi 是虚数，其中a=0且b ≠0时称为纯虚数。
应特别注意，a=0仅是复数a+bi 为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。
3．根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d ∈R ，两个复数a+bi 和c+di 相等规定为a+bi=c+di a c b d =⎧⇔⎨=⎩. 由这个定义得到a+bi=0⇔00a b =⎧⎨=⎩. 两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。
两个复数相当的定义实际上给出了将复数问题转化为实数问题的方法，是求复数值、在复数集中解方程得重要依据。
4．复数a+bi 的共轭复数是a －bi ，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。
若b=0，则实数a 与实数a 共轭，表示点落在实轴上。
5．复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将i2=－1结合到实际运算过程中去。
如(a+bi)(a －bi)=a2－(bi)2=a2－b2i2=a2+b2.6．复数的除法是复数乘法的逆运算将满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi ≠0)的复数x+yi 叫做复数a+bi 除以复数c+di 的商。
由于两个共轭复数的积是实数，因此复数的除法可以通过将分母实化得到，即22()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad ic di c di c di cd ++-++-==++-+.7．复数a+bi 的模的几何意义是指表示复数a+bi 的点到原点的距离。
（二）典型例题讲解 1．复数的概念例1．实数m 取什么数值时，复数z=m+1+(m －1)i 是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）对应的点Z 在第三象限？解：复数z=m+1+(m －1)i 中，因为m ∈R ，所以m+1，m －1都是实数，它们分别是z 的实部和虚部，∴ （1）m=1时，z 是实数； （2）m ≠1时，z 是虚数；（3）当1010m m +=⎧⎨-≠⎩时，即m=－1时，z 是纯虚数；（4）当1010m m +<⎧⎨-<⎩时，即m<－1时，z 对应的点Z 在第三象限。
例2．已知(2x －1)+i=y －(3－y)i ，其中x, y ∈R ，求x, y.解：根据复数相等的意义，得方程组211(3)x y y -=⎧⎨=--⎩，得x=25, y=4.例3．已知x 与y 实部相等，虚部互为相反数，且(x+y)2－3xyi=4－6i ，求x, y. 解：由题意设x=a+bi ，y=a －bi (a, b ∈R)，则代入原式得(2a)2－3(a2+b2)i=4－bi ⇔222443()6a a b ⎧=⎨-+=-⎩，⇒11a b =⎧⎨=⎩或11a b =⎧⎨=-⎩或11a b =-⎧⎨=⎩或11a b =-⎧⎨=-⎩，∴ 11x i y i =+⎧⎨=-⎩或11x i y i =-⎧⎨=+⎩或11x i y i =-+⎧⎨=--⎩或11x iy i =--⎧⎨=-+⎩. 例4．当m 为何实数时，复数z ＝2223225m m m ---+(m2+3m －10)i ；（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数．解：此题主要考查复数的有关概念及方程（组）的解法．（1）z 为实数，则虚部m2+3m －10=0，即223100250m m m ⎧+-=⎨-≠⎩， 解得m=2，∴ m=2时，z 为实数。
（2）z 为虚数，则虚部m2+3m －10≠0，即223100250m m m ⎧+-≠⎨-≠⎩， 解得m ≠2且m ≠±5. 当m ≠2且m ≠±5时，z 为虚数．22223203100250m m m m m ⎧--=⎪+-≠⎨⎪-≠⎩，解得m=－21, ∴当m=－21时，z 为纯虚数．诠释：本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件，还应特别注意分母不为零这一要求．例5．计算：i ＋i2＋i3+……+i2005. 解：此题主要考查in 的周期性．i ＋i2＋i3+……+i2005=(i+i2+i3+i4)+……+(i2001+i2002+ i2003＋i2004)＋i2005 =(i －1－i+1)+ (i －1－i+1)+……+(i －1－i+1)+i ＝0＋0＋……＋0+i ＝i.或者可利用等比数列的求和公式来求解（略） 诠释：本题应抓住in 的周期及合理分组． 例8．使不等式m2－(m2－3m)i ＜(m2－4m ＋3)i ＋10成立的实数m ＝ . 解：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法． ∵ m2－(m2－3m)i ＜(m2－4m ＋3)i ＋10, 且虚数不能比较大小，∴2221030430m m m m m ⎧<⎪-=⎨⎪-+=⎩，解得||100或33或1m m m m m <⎧⎪==⎨⎪==⎩，∴ m=3.当m ＝3时，原不等式成立．诠释：本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件。
例9．已知z=x ＋yi(x ，y ∈R)，且222log 8(1log )x y i x y i++-=-，求z ．解：本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法．∵ 222log 8(1log )x y i x y i ++-=-，∴22280log 1log x y x y +⎧-=⎨=-⎩，∴32x y xy +=⎧⎨=⎩， 解得21x y =⎧⎨=⎩或12x y =⎧⎨=⎩, ∴ z ＝2＋i 或z ＝1＋2i ． 诠释：本题应抓住复数相等的充要条件这一关键，正确、熟练地解方程（指数，对数方程） 例10．已知x 为纯虚数，y 是实数，且2x －1＋i ＝y －(3－y)i ，求x 、y 的值．解：本题主要考查复数的有关概念，实数与i 的运算，复数相等的充要条件，方程组的解法． 设x ＝ti (t ∈R ，且t ≠0），则2x －1＋i ＝y －(3－y)i 可化为 2ti －1＋i ＝y －(3－y)i ，即(2t ＋1)i －1=y －(3－y)i ，∴21(3)1t y y +=--⎧⎨-=⎩, ∴y=－1, t=－25, ∴ x=－25i.2．复数的四则运算 例1．计算：（1）22(1)(1)(1)nn i i -+-，n ∈N+；（2）若ω=－21+23i ，ω3=1，计算66+；（3（4）S=1+2i+3i2+4i3+ (100i99)解：（1）22(1)(1)(1)n n i i -+-=2212(1)2[](1)()(2)(1)2(1)2n n n i i i i i i i ++⋅-=⋅-=-⋅--=221,22,i n k k N i n k k N ++⎧=-∈⎨-=∈⎩.（2）66)()22i i +=66662611()()[()]22i i i ωω---⋅+-⋅=⋅+=－2.（3i=, i=,∴=222|)||)|i i ⋅⋅===8. （4）S=1+2i+3i2+4i3+……+100i99=(1+2i+3i2+4i3)+(5i4+6i5+7i6+8i7)+……+(97i96+98i97+99i98+100i99) =(1+2i －3－4i)+(5+6i －7－8i)+……+(97+98i －99－100i) =25(－2－2i)=－50－50i.例2．已知复数z 满足|z －2|=2，z+4z ∈R ，求z.解：设z=x+yi, x, y ∈R ，则z+4z =z+22222244()44()z x yi x y x yi x y i zzx y x y x y -=++=++-+++， ∵ z+4z ∈R ，∴ 224y y x y -+=0， 又|z －2|=2, ∴ (x －2)2+y2=4,联立解得，当y=0时, x=4或x=0 (舍去x=0, 因此时z=0)，当y ≠0时, 1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩±3,∴ 综上所得 z1=4，z2=1+3i ，z3=1－3i.例3．设z 为虚数，求证：z+1z 为实数的充要条件是|z|=1.证明：设z=a+bi (a, b ∈R ，b ≠0)，于是z+1z =(a+bi)+2222221()()a bi a ba bi ab i a bia b a b a b -=++=++-++++, 所以b ≠0, (z+1z )∈R ⇔b －22b a b +=0⇔a2+b2=1⇔|z|=1.例4．复数z 满足(z+1)(z +1)=|z |2，且11z z -+为纯虚数，求z.解：设z=x+yi (x, y ∈R)，则(z+1)(z +1)=|z |2+z+z +1=|z |2，∴ z+z +1=0，z+z =－1，x=－21.11z z -+=22(1)(1)||1(1)(1)|1|z z z z z z z z -++--=+++=2221|1|x y x yi x yi z +++-+-+为纯虚数，∴ x2+y2－1=0, y=±23, ∴ z=－21+23i 或z=－21－23i.例5．复数z 满足(1+2i)z+(3－10i)z =4－34i ，求z.解：设z=x+yi (x, y ∈R)，则(1+2i)(x+yi)+(3－10i)(x －yi) =4－34i ， 整理得(4x －12y)－(8x+2y)i=4－34i.∴ 41248234x y x y -=⎧⎨+=⎩, 解得41x y =⎧⎨=⎩, ∴ z=4+i. 例6．设z 是虚数，ω=z+1z 是实数，且－1<ω<2，（1）求|z|的值及z 的实部的取值范围；（2）设u=11zz -+，求证u 为 纯虚数；（3）求ω－u2的最小值。