数理方程第一讲 定解问题1-1
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《数理方程》热传导的可视化演示
2.2 两端固定的弦振动
定解问题是
utt a 2 u xx , 0 x l , t 0, t 0, u (0, t ) 0,u (l , t ) 0, u ( x, 0) ( x), u ( x, 0) ( x), 0 x l t
2.1.2 无限长的弦的自由振动
a=1
10 l 10
2.1.2 无限长的弦的自由振动
a=1
10 l 10
( x at ) 1 x at s ds 2a
2.1.2 无限长的弦的自由振动
a=1
10 l 10
( x at ) 1 x at s ds 2a
解是
n at n at n u ( x, t ) an cos bn sin x sin l l l n 1
n bn ( x) sin xdx n a 0 l 2
l
2 l n an ( x) sin xdx l 0 l
2.2.1 两端固定的弦振动
2.1.2 无限长的弦的自由振动
由初始条件得
0, x at 0, x at 1 1 s ds ( x at ),0 x at 1, 2a 2a 1 , 1 x at 2a 0, x at 0, 1 x at 1 s ds ( x at ),0 x at 1, 2a 2a 1 , 1 x at 2a
则解是
3na 4na bn 2 2 cos cos 7 7 n a 2l
2.2.2 两端固定的弦振动 (l 1,a 1)
数理方程 - 01 - 数理方程绪论
201653041总结泛定方程初始条件边界条件dirichletneumannrobin201653042kuhuback第四节定解问题的叠加原理我们考虑一般二阶线性偏微分方程其中abc为常数f为已知函数且则上述方程可以简写为201653043ijijbucu的解则对任意的常数c在求解区域上是一致收敛的并对自变皆可逐项微分两次则u也是该齐次方程的解即lu0其中c是非齐次方程lu根据叠加原理我们可以将复杂的问题分解为一些简单的定解问题进行求解
2015/10/13
11
通解（一般解）
• 一般来讲，一阶偏微分方程的解依赖一个任意函数， 二阶方程依赖两个任意函数。 • 通解或一般解：m 阶偏微分方程的解如果包含有 m 个任意函数。 • 注意：这 m 个函数不能合并，如 f + g 其实就相当于 一个任意函数。
2015/10/13
12
例
• 求 tuxt 2ux 2 xt 的通解
M1
M2 d
O
x
x+x
x
2015/10/13
15
受力分析
3. 惯性力：
▫ 惯性会使物体有保持原有运动状态的倾向，若是以该 物体为参照物，看起来就仿佛有一股方向相反的力作 用在该物体上，故称之为惯性力：F = -ma。 每点的质量为 dm ( x)dx ，每点的加速度为 a utt ， 所有点求和得到积分，即惯性力为
2 ▫ 设 v ux ，则化为 vt v 2 x t
▫ 视 x 为参数，则为关于 v 的一阶常微分方程，
2 2 dt dt 2 2 3 t t ▫ 由求解公式可得 v e 2 xe dt G( x) t G ( x) xt 3
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通解（一般解）
• 一般来讲，一阶偏微分方程的解依赖一个任意函数， 二阶方程依赖两个任意函数。 • 通解或一般解：m 阶偏微分方程的解如果包含有 m 个任意函数。 • 注意：这 m 个函数不能合并，如 f + g 其实就相当于 一个任意函数。
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例
• 求 tuxt 2ux 2 xt 的通解
M1
M2 d
O
x
x+x
x
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受力分析
3. 惯性力：
▫ 惯性会使物体有保持原有运动状态的倾向，若是以该 物体为参照物，看起来就仿佛有一股方向相反的力作 用在该物体上，故称之为惯性力：F = -ma。 每点的质量为 dm ( x)dx ，每点的加速度为 a utt ， 所有点求和得到积分，即惯性力为
2 ▫ 设 v ux ，则化为 vt v 2 x t
▫ 视 x 为参数，则为关于 v 的一阶常微分方程，
2 2 dt dt 2 2 3 t t ▫ 由求解公式可得 v e 2 xe dt G( x) t G ( x) xt 3
数理方程中典型方程和定解条件的推导PPT课件
P i di
●
Gdx v dv
x
●
x dx
第16页/共87页
电路准备知识 电容元件：
du
i C C
C
dt
q Cu
i dq d(Cu) C du
dt dt
dt
q idt
电感元件：
uL
L
diL dt
uL
dL dt
L Li
di uL L dt
i
1 L
udt
换路定理: 在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。
a2ux x utt
第14页/共87页
一维波动方程
二. 传输线方程(电报方程)的建立
现在考虑电流一来一往的高频传输线，它被当作具有分布参数的导体, 每单位长导线所具有的电阻、电感、电容、电导分别以 R、L、C、G 表示。
对于直流电或低频的交流电,电路的基尔霍夫（Kirchhoff）定律指出, 同一支路中的电流相等。但对于较高频率的电流（指频率还未高到显著 辐射电磁波出去的程度），电路导线中的自感和电容的效应不能被忽视， 因而同一支路中电流呈现瞬态变化。
g)
②一般说来，ut t g ， 将 g 略去，上式变为
T
u x
xdx T
u x
x
ds ut t
T( u x
u xdx x
x ) d x ut t
第12页/共87页
T T
T( u x
u xdx x
x ) d x ut t
T T 指出，即张力不随地点 而异，它在整根弦中取 同一数值。
“今考虑一来一往的高频传输线，每单位长一来一往所具有的电阻，电感，电容， 电漏分别记以 R，L，C，G。于是
数理方程第一章定解问题liu婧-1
utt (r ,t) T u utt (r ,t) a2u
二、热传导问题
所谓热传导就是由于物体内
部温度分布的不均匀, 热量要 从物体内温度较高的点处流 向温度较低的点处. 热传导问 题归结为求物体内部温度分 布规律
三维热传导方程的导出
设物体在Ω内无热源. 在Ω中任取一闭曲面 S， 以函数u(x, y,z,t )表示物体在t 时刻, M = M (x, y,z ) 处的温度. 根据Fourier 热传导定律 , 在无穷小时段dt 内流过物体的一个无穷小 面积dS 的热量dQ 与时间dt 、曲面面积dS 以 及物体温度u 沿曲面dS 的外法线n 的方向导 数三者成正比, 即
数学物理方程
第一章 绪论
第一节 引言
1. 数理方程发展历史、与其他学科的关系、研 究现状 2. 数理方程及其定解问题的求解方法 经典解、数值解、广义解。
第二节 基本概念
微分方程：含有未知函数的导数或微分的等式 分类
按自变量的个数，分为常微分方程和偏微分
方程；
按未知函数及其导数的次数，分为线性微分
2
u u u 2 u 2 a 2 2 2 a u. t x y z
2 2 2
(1.2.7)
它称为三维热传导方程。
若考虑物体内有热源，其热源密度函数为F(x, y, z, t)，则 有热源的热传导方程为
ut a u f ( x, y, z, t ).
一维弦振动
固定端 u |x=0 =0 受力端 ux|x=0 = F/ρ
一维杆振动
固定端 u |x=0 = 0 自由端 ux|x=0 = 0 受力端 ux|x=0 = F/YS
二、热传导问题
所谓热传导就是由于物体内
部温度分布的不均匀, 热量要 从物体内温度较高的点处流 向温度较低的点处. 热传导问 题归结为求物体内部温度分 布规律
三维热传导方程的导出
设物体在Ω内无热源. 在Ω中任取一闭曲面 S， 以函数u(x, y,z,t )表示物体在t 时刻, M = M (x, y,z ) 处的温度. 根据Fourier 热传导定律 , 在无穷小时段dt 内流过物体的一个无穷小 面积dS 的热量dQ 与时间dt 、曲面面积dS 以 及物体温度u 沿曲面dS 的外法线n 的方向导 数三者成正比, 即
数学物理方程
第一章 绪论
第一节 引言
1. 数理方程发展历史、与其他学科的关系、研 究现状 2. 数理方程及其定解问题的求解方法 经典解、数值解、广义解。
第二节 基本概念
微分方程：含有未知函数的导数或微分的等式 分类
按自变量的个数，分为常微分方程和偏微分
方程；
按未知函数及其导数的次数，分为线性微分
2
u u u 2 u 2 a 2 2 2 a u. t x y z
2 2 2
(1.2.7)
它称为三维热传导方程。
若考虑物体内有热源，其热源密度函数为F(x, y, z, t)，则 有热源的热传导方程为
ut a u f ( x, y, z, t ).
一维弦振动
固定端 u |x=0 =0 受力端 ux|x=0 = F/ρ
一维杆振动
固定端 u |x=0 = 0 自由端 ux|x=0 = 0 受力端 ux|x=0 = F/YS
数理方程重点总结
X (0) A 0 B 1 0
断 言: B 0， 于 是 有
u
u
0,
0 (2)
x x0
x xl
X ( x) A sin x
又 由 边 界 条 件u
0， 得
x xl
sin l 0
于 是 ， 得 到 空 间 变 量 问题 的 本 征 值
l n
或
n
( n l
)2
(n 1,2,3,)
据此，解得H( y)
H ( y) cos y 1 y2 1 H (0) 6
(7)
将 （5） 、 （7） 代 入 （4） 式 ， 即 得 特 解
u( x, y) 1 x3 y2 cos y 1 y2 1 x2
6
6
再另附：直接积分法 求偏微分方程的通解
2u u
t
2 2xt
xt x
可 以 由 两 个 边 界 条 件 唯一 地 被 确 定 。
例如 f (x) x
W (x)
1 6a 2
x3
C1 x C2
W (0) M1
M1 C2
W (l) M2
l3 M2 6a2 C1l M1
据此，得到W ( x) 的解
C1
M2
M1
l3 6a 2
l
M2
l
M1
l2 6a 2
X X 0
(1)
u x
0 , u
x0
x
0
xl
(2)
(1) 式的通解为
X ( x) Acos x B sin x
(3)
对上式求导，得
X ( x) A sin x B cos x
X ( x) A sin x B cos x
数理方程课件
详细描述
一阶常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
一阶常微分方程可以用于描述各种实际问题中变量的变化规律，如物理中的自由落体运动、电路中的电流变化等。在经济学中，一阶常微分方程可以用于描述供求关系的变化、消费和储蓄的动态过程等。在工程学中，一阶常微分方程也广泛应用于控制系统、化学反应动力学等领域。
数理方程可以根据其形式和性质进行分类。
总结词
根据其形式和性质，数理方程可以分为线性与非线性、自治与非自治、常系数与变系数等多种类型。这些分类有助于更好地理解和研究数理方程的性质和应用。
详细描述
数理方程的分类
总结词
数理方程在各个领域都有广泛的应用。
详细描述
数理方程在物理学、工程学、经济学、生物学等许多领域都有重要的应用。例如，在物理学中，描述波动、热传导、引力场等问题的方程都是数理方程。在工程学中，流体动力学、电磁学等领域的问题也都可以通过数理方程来描述和解决。
总结词
一阶常微分方程的定义
一阶常微分方程的解法
求解一阶常微分方程的方法主要有分离变量法、积分因子法、常数变易法和线性化法等。
总结词
分离变量法是将方程中的变量分离出来，使方程变为可求解的形式。积分因子法是通过引入一个因子，使方程变为全微分方程，从而简化求解过程。常数变易法适用于形式为y' = f(x)y的方程，通过代入可求解。线性化法则是将非线性方程转化为线性方程，便于求解。
分离变量法
有限差分法
有限元法
变分法
用离散的差分近似代替连续的微分，适用于求解初值问题和边界问题。
将连续的求解区域离散化为有限个小的子区域，适用于求解复杂的几何形状和边界条件。
通过求某个泛函的极值来求解偏微分方程，适用于求解某些特殊类型的方程。
一阶常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
一阶常微分方程可以用于描述各种实际问题中变量的变化规律，如物理中的自由落体运动、电路中的电流变化等。在经济学中，一阶常微分方程可以用于描述供求关系的变化、消费和储蓄的动态过程等。在工程学中，一阶常微分方程也广泛应用于控制系统、化学反应动力学等领域。
数理方程可以根据其形式和性质进行分类。
总结词
根据其形式和性质，数理方程可以分为线性与非线性、自治与非自治、常系数与变系数等多种类型。这些分类有助于更好地理解和研究数理方程的性质和应用。
详细描述
数理方程的分类
总结词
数理方程在各个领域都有广泛的应用。
详细描述
数理方程在物理学、工程学、经济学、生物学等许多领域都有重要的应用。例如，在物理学中，描述波动、热传导、引力场等问题的方程都是数理方程。在工程学中，流体动力学、电磁学等领域的问题也都可以通过数理方程来描述和解决。
总结词
一阶常微分方程的定义
一阶常微分方程的解法
求解一阶常微分方程的方法主要有分离变量法、积分因子法、常数变易法和线性化法等。
总结词
分离变量法是将方程中的变量分离出来，使方程变为可求解的形式。积分因子法是通过引入一个因子，使方程变为全微分方程，从而简化求解过程。常数变易法适用于形式为y' = f(x)y的方程，通过代入可求解。线性化法则是将非线性方程转化为线性方程，便于求解。
分离变量法
有限差分法
有限元法
变分法
用离散的差分近似代替连续的微分，适用于求解初值问题和边界问题。
将连续的求解区域离散化为有限个小的子区域，适用于求解复杂的几何形状和边界条件。
通过求某个泛函的极值来求解偏微分方程，适用于求解某些特殊类型的方程。
数学物理方程：第1章 数学物理方程的定解问题
第1章 数学物理方程的定解问题§1.1 数学物理方程的一般概念本节讨论：①数学物理方程的基本概念，②三类基本方程的数学表示，③一些简单解法▲数学物理方程的任务与特点 数学物理方程（亦称数理方程）在数学上为二阶偏微分方程。
它的任务有两个方面：①寻找数学定解问题的求解方法，给出解的表达式和计算方法；②通过理论分析得出问题的通解或某些特解的一般性质。
数学物理方程有如下特点：①它紧密地、直接地联系物理学、力学与工程技术中的许多问题。
②它广泛地运用数学物理中许多的技术成果。
如：数学中的复变函数、积分变换、常微分方程、泛函分析、广义函数等等，物理学中的力学、电学、磁学、热力学、原子物理学、振动与波、空气动力学等等。
⒈ 一些基本概念数学物理方程是物理过程中的一些偏微分方程。
由于物理过程是十分复杂的，故它们的数学表达式也是十分广泛的。
本书不能将众多的数学物理方程一一讨论，仅讨论一些常用的二阶线性微分方程。
一般而言，二阶线性偏微分方程可写为2,11nn ij i i j i i j i u u Lu a b cu f x x x ==∂∂=++=∂∂∂∑∑ （1.1.1） 式中：自变量),,(1n x x x ⋅⋅⋅=，系数ij a 、i b 、c 为x 的函数或为常数，并且ji ij a a =。
由于式中关于未知函数u 的导数最高为二阶导数，故方程称为二阶微分方程；同样，由于x 为n 维向量，方程也称为n 维方程；由于方程中对u 的各阶偏导数为线性的，故称为线性方程，否则就称为非线性方程。
若系数ij a 、i b 、c 均为常数，则称为常系数方程，否则称为变系数方程；若0≡f ，则称为齐次方程，反之称为非齐次方程。
▲方程的数学形式 在所有的自变量i x 中，时间变量t 常常被使用，由于它的独特性，人们常常直接用t 表示而不置于i x 之中，关于t 的导数式为：22u u L u a b t t t∂∂=+∂∂ (1.1.2) 故上述方程可改写为：f Lu u L t += (1.1.3)上述方程习惯上也称为n 维方程。
数理方程第一章典型方程与定解条件共31页文档
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
数学物理方程与特殊函数
☆ 数学和物理的关系 数学和物理从来是没有分开过的
☆ 数学物理方程的定义 用微分方程来描述给定的物理现象和物理规律。
☆ 课程的主要内容
三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数
波动方程 热传导 拉普拉斯方程
1
分离变量法 行波法 积分变换法 格林函数法
例2、时变电磁场
从麦克斯韦方程出发：
v H v E
v Jc
v B
v D t
v
t
D v
v
B 0
在自由空间：Jrc 0,v0
D E
B H
H
E
E
t H
t
E 0
H 0
15
19.05.2020
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
H
E
E
t H
t
E 0
对第一方程两边取旋度，得：
H (E )
t
根据矢量运算：
r
rr
H ( H ) 2 H
H 0
r
由此得：2H r (H)
即：
t t
2H2H
t2
2tH 2 1 ( 2 x H 2 2 yH 2 2 zH 2) ——磁场的三维波动方程
同理可得：
2E t2
1
2E
——电场的三维波动方程
其中：cos1cos'1
sin tan u(x,t)
x
T
x
M'
ds
T'
'
gds x dx x
sin ' tan ' u(x dx,t)
第1章 典型方程和定解条件的推导
数学物理方程与特殊函数
☆ 数学和物理的关系 数学和物理从来是没有分开过的
☆ 数学物理方程的定义 用微分方程来描述给定的物理现象和物理规律。
☆ 课程的主要内容
三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数
波动方程 热传导 拉普拉斯方程
1
分离变量法 行波法 积分变换法 格林函数法
例2、时变电磁场
从麦克斯韦方程出发：
v H v E
v Jc
v B
v D t
v
t
D v
v
B 0
在自由空间：Jrc 0,v0
D E
B H
H
E
E
t H
t
E 0
H 0
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19.05.2020
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
H
E
E
t H
t
E 0
对第一方程两边取旋度，得：
H (E )
t
根据矢量运算：
r
rr
H ( H ) 2 H
H 0
r
由此得：2H r (H)
即：
t t
2H2H
t2
2tH 2 1 ( 2 x H 2 2 yH 2 2 zH 2) ——磁场的三维波动方程
同理可得：
2E t2
1
2E
——电场的三维波动方程
其中：cos1cos'1
sin tan u(x,t)
x
T
x
M'
ds
T'
'
gds x dx x
sin ' tan ' u(x dx,t)
chapter1_偏微分方程定解问题
.
(2)
若取 为齐次一阶线性偏微分方程
a ( x, y )
b ( x, y ) 0 x y
(3)
的解，则新方程 (2) 成为 (1) 型的方程
(a u b ) cu f x y
，
(Hale Waihona Puke ”)对 积分便可求出通解。 由于对 只要求它是 a( x, y)
1.2 定解问题及其适定性：
1.2.1 通解和特解
偏微分方程的解族很大，可以包含任意函数，例如： 例 1.2.1：求解二阶偏微分方程
2u 0 ，u u ( , ) 。
解：两边依次对 ， 积分，得
u f ( ) g ( ) ，
对于任意C 1 ( R) 函数 f 和 g ，都是方程在全平面的解。
r
u x 2 y 2 等。
1.2.2 定解条件
方程的解中可以出现任意函数， 不能确定一个真实的运动， 这是因为在建立方程的过程中， 仅仅考虑了系统内部的各部分之间的相互作用，以及外界对系统内部的作用。而一个确定的 物理过程还要受到历史情况的影响和周围环境通过边界对系统内部运动的制约。通常把反映 系统内部作用导出的偏微分方程称为泛定方程，把确定运动的制约条件称为定解条件。泛定 方程配以适当的定解条件构成一个偏微分方程的定解问题。 常见的定解条件有： 1. 初始条件：如果方程中关于时间自变量 t 的最高阶导数是 m 阶的，则
当n 时，初始条件一致趋于 0，但对任意固定的 y，当n 时，解u ( x, y ) 无界，因而解 不稳定。这说明调和方程的混合问题是不适定的。
1.3 一阶线性（拟线性）偏微分方程的通解法和特征线法
1.3.1 两个自变量的一阶线性偏微分方程的解法：
数理方程第1讲
么称它们为方程的解。在这些可能解中，我们还要 选出一个满足某些合适的附加条件的特解来。
例如偏微分方程：
2u 2u 0
(1.2)
x2 y2
容易验证下列两个函数： u(x,y)(xy)3
u(x,y)six n(y)
都是(1.2)的解。
6
2. 方程的阶：包含在偏微分方程中的未知函数的偏 导数的最高阶数称为方程的阶。
3. 线性偏微分方程：如果一个偏微分方程对于未知 函数及它的所有偏导数来说都是线性的，且方程中 的系数都仅依赖于自变量，那么这样的偏微分方程 就称为线性偏微分方程。
例如： 书中例1.1、1.2
y2u2xy2uu1
x2
y2
(二阶线性偏微分方程)
否则称之为非线性偏微分方程。 书中例1.5
7
divF在这里可看作稳定流动的不可压缩流 体在点M的源头强度—在单位体积内所产 生的流体的质量. 如果为负, 表示点M处 流体在消失.
27
向量场函数F(M)=P(M)i+Q(M)j+R(M)k在点M 处的旋度是一个向量场函数, 记为rot F,
rot
பைடு நூலகம்
F
R y
Qz i
1
第一章 一些典型方程和定解条件的推导
2
数学物理方程，是指在物理学、力学等自然科 学及工程技术中所提出来的偏微分方程。
拉普利斯方程和泊松方程(描述引力势)
古 纳维-斯托克斯方程组(流体力学有黏
典 数
性)和欧拉方程组(无黏性)
理 圣维南方程组(弹性力学)
方 波动方程
程 热传导方程
3
新
麦克斯韦方程组(描述电磁场变化)
(1.5)
例如偏微分方程：
2u 2u 0
(1.2)
x2 y2
容易验证下列两个函数： u(x,y)(xy)3
u(x,y)six n(y)
都是(1.2)的解。
6
2. 方程的阶：包含在偏微分方程中的未知函数的偏 导数的最高阶数称为方程的阶。
3. 线性偏微分方程：如果一个偏微分方程对于未知 函数及它的所有偏导数来说都是线性的，且方程中 的系数都仅依赖于自变量，那么这样的偏微分方程 就称为线性偏微分方程。
例如： 书中例1.1、1.2
y2u2xy2uu1
x2
y2
(二阶线性偏微分方程)
否则称之为非线性偏微分方程。 书中例1.5
7
divF在这里可看作稳定流动的不可压缩流 体在点M的源头强度—在单位体积内所产 生的流体的质量. 如果为负, 表示点M处 流体在消失.
27
向量场函数F(M)=P(M)i+Q(M)j+R(M)k在点M 处的旋度是一个向量场函数, 记为rot F,
rot
பைடு நூலகம்
F
R y
Qz i
1
第一章 一些典型方程和定解条件的推导
2
数学物理方程，是指在物理学、力学等自然科 学及工程技术中所提出来的偏微分方程。
拉普利斯方程和泊松方程(描述引力势)
古 纳维-斯托克斯方程组(流体力学有黏
典 数
性)和欧拉方程组(无黏性)
理 圣维南方程组(弹性力学)
方 波动方程
程 热传导方程
3
新
麦克斯韦方程组(描述电磁场变化)
(1.5)
数理方程第二版 课后习题答案讲解学习
数理方程第二版课后习题答案第一章曲线论§1 向量函数1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。
略2. 求证常向量的微商等于零向量。
证：设，为常向量，因为所以。
证毕3. 证明证：证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。
证：设，为定义在区间上的向量函数，因为在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。
所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有其中，，介于与之间。
从而上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。
如果在区间上处处有，则在区间上处处有，从而，于是。
证毕5. 证明具有固定方向的充要条件是。
证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。
充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是因为，故，从而为常向量，于是，，即具有固定方向。
证毕6. 证明平行于固定平面的充要条件是。
证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。
充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。
如果，则与不共线，又由可知，，，和共面，于是，其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。
证毕§2曲线的概念1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。
解：，点对应于参数，于是当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为2. 求三次曲线在点处的切线和法平面的方程。
解：，当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为3. 证明圆柱螺线的切线和轴成固定角。
证：令为切线与轴之间的夹角，因为切线的方向向量为，轴的方向向量为，则证毕4. 求悬链线从起计算的弧长。
数理方程第一章、第二章习题全解
u( 0 , t) = u( l, t) = 0 现考虑初始条件,当冲量 k 作用于 x = c处时, 就相当于在这点 给出了一个初速度 , 我们考虑以 c点为中心 , 长为 2δ的一小段弦 ( c δ, c + δ) , 设弦是均匀的 , 其线密度为 ρ, 则这 一小段 弦的质量 为 2δρ, 受冲击时速度为 ut ( x, 0) , 由动量定理得
h c
x
l
h -
c(
l
-
x)
(0 ≤ x ≤ c) ( c < x ≤ l)
ut ( x, 0) = ψ( x ) = 0
则 u( x, t) 是下列定解问题的解 :
utt - a2 uxx = 0
( 0 < x < l, t > 0)
u( x, 0) = φ( x ) , ut ( x, 0 ) = ψ( x )
2 .4 习题全解
1. 设弦的两端固定于 x = 0 及 x = l, 弦的初始位称如图 2 2 所 示,初速度为零, 又设有外力作用, 求弦作横向振动时的位移函数 u( x, t) 。
解 如图 2 2 所示, 弦作横向振动时初始条件为
62
数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
图2 2
u( x, 0) = φ( x ) =
5. 若 F( z) , G( z) 是任意两个二次连续可微函数 , 验证
u = F( x + at ) + G( x - at )
满足方程
2u t2
=
a2
2x2u。
解 作自变量代换ξ= x + at,η= x - at, 由复合函数求导法则
有
所以 于是
u t
定解问题完整PPT
定沿回路顺时针方向的电动势和电流都为正，反之为
n
n
负)．即 Ik Rk k
k 1
k 1
(10)Faraday 电磁感应定律 不论任何原因使通过回路面 积的磁通量发生变化时，回路中产生的感应电动势与磁通 量对时间的变化率的负值成正比。即 N d 其中，N 为
dt 感应回路串联线圈的匝数．此即法拉第电磁感应定律。由 该定律知，当闭合回路(或线圈)中的电流发生变化而引起
c
为杆的导热率（与材料有关），c 为杆的比热容(即，单位物质
升高单位温度所需的热量。与材料有关）， 为杆的体密度，
F 为热源密度(即，单位时间内单位体积所放出的热量)。
2 建立(导出)方程时常用到的物理学定律
（1）Newton 第二定律：F ma
（2）Fourier 实验定律（即热传导定律） 当物体内存在温
自身回路的磁通量改变而产生的自感电动势为 L dI
dt 其中， L为自感系数．
(11)Hooke 定律 在弹性限度内，弹性体的弹力和弹性体
的形变量成正比。即 f kx 其中，k 为弹性体的劲度系 数．负号表示弹力的方向和形变量的方向相反．
应力＝杨氏棋量×相对伸长
(三)定解条件
定解条件是确定数理方程解中所含的任意函数或常数， 使解具有惟一性的充分而且必要的条件。它又分为初始条 件和边界条件两种。若所研究的系统是由几种不同介质组 成的，则在两种介质的交界面上定解条件还应当有衔接条 件。
差时，会产生热量的流动。热流密度q （即，单位时间内流
过 单 位 横 截面 积 的 热量 ），与 温 度 的下 降 率成 正 比 。 即
q ku 其中， k 为热传导系数，负号表示温度下降的方
向．写成分量式即 qx
深圳大学数理方程du第一章
深圳大学电子科学与技术学院
x=0 , u=0 x=l , u=e
l
初速度 ∂u = 0
0
x
ex
u
∂t t=0 u(x,t)指的是杆上x点在时 刻t的位移，不是此时杆
的长度，而是杆的伸长
（3）边界条件
深圳大学电子科学与技术学院
由坐标系的选取知，对 于任意时刻 t (t > 0) ，在 x = 0（左端，固定端），总 是有
l
x
+ 2B ∂2 ∂x∂y
+C
∂2 ∂y 2
+
D
∂ ∂x
+
E
∂ ∂y
+
F
Lu = f (x, y)
∆ = B 2 − AC
∆>0 （双曲型）
如一维波动方程
∆=0 （抛物线型）
如一维热传导方程
∆<0 （椭圆型）
如二维拉氏方程
∂ 2u ∂t 2
=
a2
∂ 2u ∂x 2
+
f (x,t)
∂u ∂t
=
a2
∂2u ∂x 2
热流
q
高温 u 低温
为 ∂u ∂x
，q
表示在单位时间
内流经单位面积的热量，
k 是热传导系数，负号表
0
x
示热流方向与温度梯度
方向相反。
∂u
0
∂x
温度梯度：低温→高温 热流动：高温→低温
深圳大学电子科学与技术学院
数理方程：定解问题的适定性
定解问题作为一个理论模型，是否能准确无误地描述 实际过程，需要对结果进一步检验，即考察解的“适 定性”： 1. 存在性：定解问题的解是否存在 2. 唯一性：实际问题的解往往是唯一的，但数学解可 能不唯一，需要舍去没有实际意义的数学解 3. 稳定性：定解条件或驱动项的微小变化是否导致解 的性质的改变
数理方法-第一讲-定解问题
1.初始条件
定义：初始条件是物理过程初始状况的数学表达式。
初始条件的个数：关于时间t的n阶偏微分方程，要给 出n个初始条件才能确定一个特解。波动方程1-1式中 需给出两个初始条件：
热传导(或扩散)方程1-2式需给出一个初始 条件，即：
泊松方程1-3式无需给出任何初始条件，其
中
和
为已知函数。
2. 边界条件
数理方法-第一讲-定解问题.ppt
教学主要内容
第一部分 定解问题 学习物理方程、初始条件和边界条件的导出：以 一维波动方程为例，掌握如何利用物理规律导出 物理方程，并根据具体情况设定初始条件和边界 条件，介绍偏微分方程的初步解法，并推广到三 维情况。
第二部分 分离变量法 学习用分离变量法解偏微分方程。包括齐次与非 齐次方程的解法以及在直角坐标系、柱坐标系和 球坐标中的分离变量法。
要想将一个具体的物理过程完整的翻译成数学语言，必
须要写出它的定解问题即：
泛定方程 数理方程
定解问题
初始条件
定解条件 边界条件
衔接条件
泛定方程即数理方程本身。泛定方程只能反映和描绘同
一类现象的共同规律。对于一个具体的物理问题的具体
特殊的一面，还必须通过定解条件来反映，而欲正确的
写出定解条件，必须注意以下几个方面的问题：
[解] 泛定方程：
初始条件：
例4 杆的纵向振动 当两端（x = 0，x= l）受沿外法线纵向 外力 f（t）作用时：
相对伸长：
根据胡克定律： 边界条件：
当两端（x = 0，x= l）不受外力自由振动时 ： 边界条件： 例5 细杆的导热问题 当一端（x= l）有热量流q（t）沿端点外法 线方向流出时：
积分
解方程组
定义：初始条件是物理过程初始状况的数学表达式。
初始条件的个数：关于时间t的n阶偏微分方程，要给 出n个初始条件才能确定一个特解。波动方程1-1式中 需给出两个初始条件：
热传导(或扩散)方程1-2式需给出一个初始 条件，即：
泊松方程1-3式无需给出任何初始条件，其
中
和
为已知函数。
2. 边界条件
数理方法-第一讲-定解问题.ppt
教学主要内容
第一部分 定解问题 学习物理方程、初始条件和边界条件的导出：以 一维波动方程为例，掌握如何利用物理规律导出 物理方程，并根据具体情况设定初始条件和边界 条件，介绍偏微分方程的初步解法，并推广到三 维情况。
第二部分 分离变量法 学习用分离变量法解偏微分方程。包括齐次与非 齐次方程的解法以及在直角坐标系、柱坐标系和 球坐标中的分离变量法。
要想将一个具体的物理过程完整的翻译成数学语言，必
须要写出它的定解问题即：
泛定方程 数理方程
定解问题
初始条件
定解条件 边界条件
衔接条件
泛定方程即数理方程本身。泛定方程只能反映和描绘同
一类现象的共同规律。对于一个具体的物理问题的具体
特殊的一面，还必须通过定解条件来反映，而欲正确的
写出定解条件，必须注意以下几个方面的问题：
[解] 泛定方程：
初始条件：
例4 杆的纵向振动 当两端（x = 0，x= l）受沿外法线纵向 外力 f（t）作用时：
相对伸长：
根据胡克定律： 边界条件：
当两端（x = 0，x= l）不受外力自由振动时 ： 边界条件： 例5 细杆的导热问题 当一端（x= l）有热量流q（t）沿端点外法 线方向流出时：
积分
解方程组
数学物理方程第一章定解问题
线性与非线性
热传导方程可以是线性的，也可以是非线性的，这取决于所描述的 物理现象和材料的属性。
热传导方程的定解问题分类
1 2
初始条件
描述某一时刻物体内部和表面的温度分布。
边界条件
描述物体边界上的温度分布或热量交换情况。
3
混合条件
同时包含初始条件和边界条件的问题。
热传导方程的定解问题求解方法
分离变量法
01
02
03
04
常微分方程
描述物理量随时间变化的规律 ，不涉及空间变量。
偏微分方程
描述物理量在空间和时间上的 变化规律，如波动方程、热传
导方程等。
积分微分方程
结合了积分和微分形式的方程 ，用于描述连续分布的物理量
。
泛函微分方程
在泛函分析框架下定义的微分 方程，用于描述动态系统的行
为。
数学物理方程的解法
有限差分法
用差分近似代替微分，将微分方程转 化为差分方程进行求解。
有限元法
将连续的求解域离散化为有限个小的 单元，对每个单元进行求解，再通过 组合得到原问题的解。
谱方法
利用傅里叶变换或其它正交函数变换， 将原问题转化为易于求解的代数问题。
定解问题的应用实例
01
02
03
波动方程
描述波动现象，如声波、 光波和水波等。
数学物理方程第一章定解 问
• 引言 • 数学物理方程的基本概念 • 定解问题的分类与求解方法 • 偏微分方程的定解问题 • 波动方程的定解问题 • 热传导方程的定解问题
01
引言
背景介绍
01
数学物理方程是描述物理现象和 过程的数学模型，广泛应用于科 学、工程和技术领域。
热传导方程可以是线性的，也可以是非线性的，这取决于所描述的 物理现象和材料的属性。
热传导方程的定解问题分类
1 2
初始条件
描述某一时刻物体内部和表面的温度分布。
边界条件
描述物体边界上的温度分布或热量交换情况。
3
混合条件
同时包含初始条件和边界条件的问题。
热传导方程的定解问题求解方法
分离变量法
01
02
03
04
常微分方程
描述物理量随时间变化的规律 ，不涉及空间变量。
偏微分方程
描述物理量在空间和时间上的 变化规律，如波动方程、热传
导方程等。
积分微分方程
结合了积分和微分形式的方程 ，用于描述连续分布的物理量
。
泛函微分方程
在泛函分析框架下定义的微分 方程，用于描述动态系统的行
为。
数学物理方程的解法
有限差分法
用差分近似代替微分，将微分方程转 化为差分方程进行求解。
有限元法
将连续的求解域离散化为有限个小的 单元，对每个单元进行求解，再通过 组合得到原问题的解。
谱方法
利用傅里叶变换或其它正交函数变换， 将原问题转化为易于求解的代数问题。
定解问题的应用实例
01
02
03
波动方程
描述波动现象，如声波、 光波和水波等。
数学物理方程第一章定解 问
• 引言 • 数学物理方程的基本概念 • 定解问题的分类与求解方法 • 偏微分方程的定解问题 • 波动方程的定解问题 • 热传导方程的定解问题
01
引言
背景介绍
01
数学物理方程是描述物理现象和 过程的数学模型，广泛应用于科 学、工程和技术领域。
南邮数理方程1定解问题概要
T'
ds
'
u x, t ds 1 dx dx. x
2
T
M
gds
x x dx x
带入原方程中得： T sin T 'sin ' gds ma
2u x , t u x dx, t u x, t T dx gdx 2 x x t
其中 f ( x, t ) F x, t 表示t时刻单位质量的弦在x点所 受的外力。
1
Nanjing University of Posts and Telecommunications
数理方程
波动方程
一维形式 二维形式
2u x, y , t t 2
2 2u x, t u x, t 2 a f ( x, t ) 2 2 t x
cos 1
故：
ds
'
T
M
gds
x x dx x
2
2!
4
4!
cos 1 cos ' 1
T T'
Nanjing University of Posts and Telecommunications
数理方程 纵向： T sin T 'sin ' gds ma y
共性：数理方程是把物理规律用数学语言描述出来，也就是研究
某个物理量在空间的分布规律和随时间变化的规律。简单地说， 就是用数学物理方程表达物理规律。这种物理规律反映的是同一 类物理现象的共同规律，也就是所谓的共性。 泛定方程：数学上描述同一类物理现象共性的方程称为泛定方程。 个性：但同一类物理现象中，各个具体问题又具有特殊性，也就
数学物理方程01_数学物理方程定解问题共50页文档
数学物理方程01_数学物理方 程定解问题
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量Βιβλιοθήκη 己知道。——苏联13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量Βιβλιοθήκη 己知道。——苏联13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
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u2 x2
g………一维波动方程
自由项 ------非齐次方程
忽略重力作用：
2u t 2
a2
u2 x2
------齐次方程
t 设作用在该弧段上的外力密度函数为 F(x,t) ，那
末该弧段 M¼M 在时刻 t所受沿轴方向的外力近
似地等于 F(x,t)x. ，于是纵向方程为
T(u (x x,t) u (x,t)) F(x,t)x u x,
定解问题的分类
初值问题(Cauchy Problem)：无边界条件（环 境对问题的影响可以忽略不计）
边值问题：无初始条件（历史对问题的影响可 以忽略不计） 第一边值问题(Dirichlet Problem) 第二边值问题(Neumann Problem) 第三边值问题(Robin Problem)
的值，即
u f , n
(1.3.10)
其中n表示 的外法线方向。式(1.3.10)称为第二类边界条 件，又称诺伊曼(Neumann)边界条件。
在边界 上给出未知函数u及其沿 的外法线方
向导数的某一线性组合的值，即
u n
u
f
(1.3.11)
式(1.3.11)称为第三类边界条件，又称罗宾(Robin)边
第一章 典型方程和定解条件的推导
➢包含初值条件和边界条件的定解问题称为混合问题 (初边值问题)
uutt
0
a2(uxx
(x, y
u yy ,z)
uzz
)
0
(u u) f ( x, y, z, t )
数学物理方程
☆ 数学和物理的关系
数学和物理从来是没有分开过的
☆ 数学物理方程定义
用数学方程来描述一定的物理现象。
☆ 课程的内容
三个方程: 波动方程、热传导、拉普拉斯方程
四种方法: 分离变量法、行波法、积分变换法、
格林函数法
第一章 绪论
第一节 引言
1. 数理方程发展历史、与其他学科的关系、研 究现状
为常数
c
u t
x
k
u x
y
k
u y
z
k
u z
.
令 a2 k c
，则方程(1.2.6)化为
u t
a2
2u x2
2u y2
2u z 2
a2u.
(1.2.7)
它称为三维热传导方程。
若考虑物体内有热源，其热源密度函数为F(x, y, z, t)，则
有热源的热传导方程为
ut a2u f (x, y, z, t). (1.2.8)
恒→能量守恒，扩散定律→ 热传导定律
方程：ut = D uxx+ F 标准方程：ut = a2 uxx+ F
推广3 情况：三维情况
分析：温度u成为空间变量x,y,z和 时间t的函数
方程：
cut(x, y,z，t) k(uxx uyy uzz)
cut(rv,t) ku ut(rv,t) a2u
三、稳定场方程
x
x
tt
由微分中值定理得
Tu (x x,t)x F(x,t)x u x0, 1.
xx
tt
消去x, 并取x 0极限得
Tu (x,t) F(x,t) u ,
xx
tt
即
u tt
a2u xx
f
( x, t ),
0 x L,t
0,
推广: 三维情况--位移u成为空间变量x,y,z 和时间t的函数, 忽略外力作用, 此时方 程
三者成正比, 即
dQ k u dSdt, n
对于Ω内任一封闭曲面S，设其所包围的空间
t 区域为V，那么从时刻t1到时刻 2经曲面S流出的热
量为
Q1
t2 t1
S
k udSdt n
设物体的比热为c(x, y, z)，密度为ρ(x, y, z)，则在
区域V内，温度由u(x, y, z, t1)变化到u(x, y, z, t2)所
S
k1
k
第三类边界条件
概况起来，无论对弦振动问题，还是热传导问题，它 们所对应当边界条件从数学的角度看有如下三种类型：
(1)在边界上直接给出未知函数u的值，即
u f.
(1.3.9)
式(1.3.9)称为第一类边界条件，又称狄利克雷(Dirichlet) 边界条件。
(2)在边界上给出未知函数u沿边界的外法线方向
2. 数理方程及其定解问题的求解方法 经典解、数值解、广义解。
第二节 基本概念
微分方程：含有未知函数的导数或微分的等式
分类
按自变量的个数，分为常微分方程和偏微分 方程；
按未知函数及其导数的次数，分为线性微分 方程和非线性微分方程；线性微分方程按未 知函数及其导数的系数是否变化分为常系数 和变系数微分方程，按自由项是否为零分为 齐次方程和非齐次方程；
当研究物理中各种现象(如振动、 热传导、扩散)的稳定过程时,
由于表示该过程的物理量u不随 时间t而变化, 因此 ut=0.
无外界作用情况拉普拉斯方程：
Δu = utt + uyy + uzz = 0
有外界作用情况泊松方程：
Δu = utt + uyy + uzz = f(x,y,z)
典型应用
静电场方程： Δu = -ρ/ε 稳定温度分布： Δu = - F/k
2.边界条件
意义 ：反映特定环境对系统的影响 分类 ：
按条件中未知函数及其导数的次数分为线性 边界条件和非线性边界条件；
线性边界条件中，按给出的是函数值或导数 值分为第一、二、三类边界条件；
按所给数值是否为零分为齐次边界条件和非 齐次边界条件。
A、 波动方程的边界条件
(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：
utt(x, y,z，t) T(uxx uyy uzz)
utt(rv,t) Tu utt(rv,t) a2u
二、热传导问题
所谓热传导就是由于物体内 部温度分布的不均匀, 热量要 从物体内温度较高的点处流 向温度较低的点处. 热传导问 题归结为求物体内部温度分 布规律
三维热传导方程的导出
设物体在Ω内无热源. 在Ω中任取一闭曲面 S， 以函数u(x, y,z,t )表示物体在t 时刻, M = M (x, y,z ) 处的温度. 根据Fourier 热传导定律, 在无穷小时段dt 内流过物体的一个无穷小面 积dS 的热量dQ 与时间dt 、曲面面积dS 以及 物体温度u 沿曲面dS 的外法线n 的方向导数
按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一 阶、二阶和高阶微分方程。
微分方程的基本概念例题
ut 4uxx 5x , 二阶线性非齐次偏微分方程 y" pyqy0 , 二阶线性齐次常微分方程
y'a22y xln x , 一阶线性非齐次常微分方程
utt 4uxx 5 f (x,t) , 二阶线性非齐次偏微分方程 3yy" xy'2y2 x2 , 二阶非线性非齐次常微分方程
界条件或称混合边界条件。需要注意的是上述边界
条件右端项f 都是定义在 边界上的已知函数。
对于拉普拉斯方程及泊松方程，也有上述三种边界 条件，只是由于它与时间变量t无关，式(1.3.9)， (1.3.10)，(1.3.11)右端函数f 不含t。
边界条件举例
典型线性边界条件
一维弦振动
固定端 u |x=0 =0 受力端 ux|x=0 = F/ρ
简化假设：
(1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。 (2)振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。
牛顿运动定律：
横向： T cos T 'cos '
纵向：T sin T 'sin ' gds ma y
其中：cos 1 cos ' 1
sin tan u(x,t)
x
sin ' tan ' u(x பைடு நூலகம்dx,t)
u |s f S——给定区域v 的边界 第一类边界条件
(2) 绝热状态 (3)热交换状态
u n
s
0
第二类边界条件
牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流
到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。
dQ
k1(u
u1)dSdt
k
u n
dSdt
k1交换系数；u1周围介质的温度
u n
u
S
u1
混合问题：同时有边界条件和初始条件。
第一章 典型方程和定解条件的推导
➢包含初值条件的定解问题称为初边值问题 （Cauchy 问题）
utt u |t0
a2uxx
(x)
0
ut |t0 (x)
( x ,t 0) ( x )
弦振动的Cauchy问题
uut|t0a2ux(xx) 0
( x ,t 0) ( x )
一维杆振动
固定端 u |x=0 = 0 自由端 ux|x=0 = 0 受力端 ux|x=0 = F/YS
一维热传导
恒温端 u |x=0 = a 绝热端 ux|x=0 = 0 吸热端 ux|x=0 = F/k
定解问题 定解问题的组成
定解条件：描述具体对象的特殊性。 泛定方程：反映同一类现象的普遍性；
故当 u 0 时，
n
向-n方向流去。
热量实际上是
根据热量守恒定律，有
Q2 Q1
即
V
c[u(x, y, z,t1) u(x, y, z,t2 )]dv
t2 t1
k udSdt S n
假设函数u(x, y, z, t)关于x, y, z具有二阶连续偏导 数，关于t具有一阶连续偏导数，那么由高斯