正交编码与伪随机序列 答案

12-1、设3级线性反馈移位寄存器的特征方程为：23()1f x x x =++，试验证它为本原多 项式。

解：由题意n=3，所以217n

m =-=。

而73243211(1)(1)m x x x x x x x +=+=+++++

上式说明()f x 可整除71x +，且()f x 既约，除不尽6541,1,1x x x +++所以f (x)为

本原多项式。

12-2、己知三级移位寄存器的原始状态为111，试写出两种m 序列的输出序列。 解：因为反馈移存器能产生m 序列的充要条件为：反馈移位寄存器的特征多项式为本原多项

式。当n=3时，有2个3阶本原多项式：

31()1f x x x =++，322()1f x x x =++

1()f x 和2()f x 为互逆的本原多项式，都可以产生m 序列。

根据第5题，由31()1f x x x =++产生的m 序列为11101000， 同理，由322()1f x x x =++产生的m 序列为11100100。

12-3、设4级线性反馈移存器的特征方程为：234

()1f x x x x x =++++，试证明此移位寄 存器产生的不是m 序列。

证明：方法一：由题意n ＝4，得2115n

m =-=。因为 4325

(1)(1)1x x x x x x +++++=+

()f x 可整除5

1x +，故()f x 不是本原多项式，它所产生的序列不是m 序列。 方法二：由特征多项式234

()1f x x x x x =++++构成的4级线性反馈移位寄存器如图9-4所示。

假设初始状态为：1 1 1 1 状态转换位： 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1

可见输出序列的周期为4

62115≠-=，故不是m 序列。

图 12-1

12-4、己知一个由9级移位寄存器所产生的m 序列，写出在每一周期内所有可能的游程长度的个数。

解：该m 序列中共有8

2256=个游程。

根据m 序列游程分布的性质，长度为k 的游程数目占游程总数的2,1(1)k k n -≤≤-。

而且在长度为k 的游程中[其中1(2)k n ≤≤-]，连“1”和连“0”的游程各占一半。所以：

长度为1的游程有128个，“1”和“0"各为64个， 长度为2的游程有64个，“11”和“00”各为32个， 长度为3的游程有32个，“111”和“000”各为16个， 长度为4的游程有16个，“1111”和“0000”各为8个， 长度为5的游程有8个，“11111”和“00000”各为4个， 长度为6的游程有4个，“111111”和“000000”各为2个， 长度为7的游程有2个，“1111111”和“0000000”各为1个， 长度为8的游程有1个，即“00000000”， 长度为9的游程有1个，即“111111111”。

12-5、有一个9级线性反馈移存器所组成的m 序列产生器，其第3、6和9级移存器的输出分别为369,,Q Q Q ，试说明：

（1）将它们通过“或”门后得到一个新的序列，得到序列的周期仍为9

21-，并且“1”的符号出现率约为7/8。

（2）将它们通过“与”门后得到一个新的序列，得到序列的周期仍为921-，并且“1”的符号出现率约为1/8。

解：设九级移存器所组成的序列为9{},1,

21i a i =-，则其周期为921T =-

则369,,Q Q Q 的输出序列分别为369{},{},{}i i i a a a +++ （1）设它们通过“或”门后得到的新序列为*{}i a ， 则*

369i i i i a a a a +++=∨∨ 因为{}i a 的周期为T ，

所以369{},{},{}i i i a a a +++的周期也为T ，

所以**369369i T i T i T i T i i i i a a a a a a a a ++++++++++=∨∨=∨∨= 所以*{}i a 的周期仍为T ，

九级移存器的状态共有9

21-种，并且一个周期内各种状态出现1次，即等概率出现，所以369{},{},{}i i i a a a +++在一个周期内000，001，010，…，111八种状态等概率出现，通过“或”门后，只有000输出为0，其余为1，所以为0的概率为1/8，为1 的概率为7/8。

（2）同理，经过“与”门后，*369i i i i a a a a +++=

所以*{}i a 的周期仍为T ，369{},{},{}i i i a a a +++通过“与”门后，只有111输出为1，其余为0，所以为1的概率为1/8，为0 的概率为7/8。

12-6、写出p=7和p=11的二次剩余序列。

考点分析：考察二次剩余式的概念和求解方法。如果能找到一个整数x ，它使21(mod )x p ≡。若方程成立，认为方程有解，满足此方程的i 就是模p 的二次剩余；否则i 就是模p 的非二次剩余。当规定01a =-时，有

1,1,i i a i ⎧=⎨

-⎩若是模p 的二次剩余

若是模p 的非二次剩余

解：（1）当p=7时，有

2222

2

2

11(mod 7),24(mod 7),32(mod 7)42(mod 7),54(mod 7),61(mod 7)

======

所以1，2，4为模7的二次剩余，3，5，6为模7的非二次剩余。因此得到p=7的

二次剩余序列：-111-11-1-1

（2）当p=7时，有

222222

2

2

2

2

11(mod11),24(mod11),39(mod11),45(mod11),53(mod11)63(mod11),75(mod11),89(mod11),94(mod11),101(mod11)

==========

所以1，3，4，5，9为模11的二次剩余，2，6，7，8，10为模11的非二次剩余。

因此得到p=11的二次剩余序列：-11-1111-1-1-11-1。

12-7、试验证p=3和p=7的二次剩余序列为m 序列。

解：（1）p=3，二次剩余序列：一＋一，用二进制表示即101。因为2

213-=，所以为两级

移存器。由序列可看出状态转换为100111→→，无重复，所以该序列为m 序列。