同角三角函数关系式
同角三角函数关系
cot αtan α同角三角函数关系一 知识点精讲：同角三角函数的关系：〔1〕平方关系222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= 〔2〕倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1,〔3〕商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα== 注意：〔1〕“同角〞的概念与角的表达形式无关，如： 13cos 3sin 22=+αα2tan 2cos2sinααα=〔2〕运用同角三角函数关系式化简、证明常用的变形措施有：大角化小，切割化弦等，应用 “弦化切〞的技巧，即分子、分母同除以一个不为零的cos α，得到一个只含tan α的教简单的三角函数式。
几个常用关系式： ①,cos sin αα+,cos sin αα-ααcos sin ⋅之间关系：2)cos (sin cos sin 21αααα±=±设]2,2[cos sin -∈=+t αα，两边平方，得21cos sin cos sin 2122-=⇒=+t t αααα222cos sin 2cos sin 21t t -±=-⇒-=-αααα②2)2cos2(sinsin 1ααα+=+③)4cos 1(4112sin 211cos sin 21cos sin 22244αααααα--=-=-=+ ④αααααααα22224466cos sin 31cos sin cos sin cos sin -=-+=+ ⑤当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有sin tan x x x <<。
二 典例解析：例12tan α=-，试确定使等式成立的角α的集合。
①对角线上两个函数的乘积为1 (倒数关系)②任一角的函数等于与其相邻的 两个函数的积(商数关系) ③阴影局部，顶角两个函数的平 方和等于底角函数的平方(平方关系)例2．〔1〕证明：()ααααααααcos 1sin sin 1cos cos sin 1sin cos 2+-+=++-； 〔2〕求证：cos 1sin 1sin cos x xx x+=-。
4.同角基本关系式
同角三角函数的关系 关系式：22sin sin cos 1,tan cos ααααα+==。
文字叙述：同一个角α的正弦，余弦的平方和等于1，商等于角α的正切。
（作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。
）变形应用： ①22sin cos 1αα+=的变形：221sin cos αα=+，2sin α= ，2cos α= sin α= ，cos α= ②sin tan cos ααα=的变形： sin α= ，cos α=③sin cos ,sin cos ,2sin cos sin 2a αααααα+-⋅即这三者之间的关系非同一般，因为已知任何一个可研究另外两个，你掌握了吗？例题例1：已知3cos 5α=-，求sin ,tan αα的值。
例2：已知tan 3α=，求sin cos αα和。
例3：已知tan 7α=，求下列各式的值。
（1）sin cos 2sin cos αααα+- （2）22sin sin cos 3cos αααα++例4：已知221sin cos ,(0,),sin cos 5θθθπθθ+=∈-求的值。
基础巩固：1．已知2cos 3α=，则2sin α= 。
2．已知43sin ,cos 55αα=-=，则tan α= 。
3．已知2sin ,3αα=是锐角，则cos α= 。
4．已知απ=，则22sin cos αα+= 。
5．已知2sin 2cos ,sin 1x x x =+=则 。
6．2sin cos tan 2,sin 2cos ααααα-==+若则222sin sin cos 3cos αααα+-=7．已知1sin cos ,sin cos 5αααα=-=则 。
8．已知5cos ,13α=且α是第四象限，求sin tan αα和。
同角三角函数的两个基本关系式
同角三角函数的两个基本关系式
同角三角函数是指在一个角度上的正弦、余弦和正切的比值关系。
这三个函数在数学中有很重要的应用，特别是在三角学和几何学中。
第一个基本关系式是正弦函数的定义：在一个角度上，正弦函数的值等于对边与斜边的比值。
用数学符号表示，正弦函数可以表示为sin(θ) = opposite/hypotenuse，其中θ代表角度，opposite代表对边的长度，hypotenuse代表斜边的长度。
第二个基本关系式是余弦函数的定义：在一个角度上，余弦函数的值等于邻边与斜边的比值。
用数学符号表示，余弦函数可以表示为cos(θ) = adjacent/hypotenuse，其中θ代表角度，adjacent代表邻边的长度，hypotenuse代表斜边的长度。
这两个基本关系式可以帮助我们计算任意给定角度上的正弦和余弦值。
它们是通过比较三角形的不同边的长度与斜边的长度来定义的。
这些定义为我们提供了一种准确计算角度上三角函数值的方法，在解决各种问题时非常有用。
同角三角函数的基本关系式
证法二：因为
(1 sin )(1 sin ) 1 sin cos
2 2
由原题可知 1 - sin 0, cos 0, cos 1 sin 所以 1 sin cos
证法三：
cos 0,1 sin 0 cos cos (1 sin ) 原式左边 2 1 sin cos cos (1 sin ) cos (1 sin ) 2 2 1 sin cos 1 sin 右边 cos
同角三角函数基本关系式的应用
1.求值题型
已知某个角的一个三角函数 值,求这个角的其余三角函数值.
3 例6 已知 sin ， 求 cos ，tan 的值． 5
注意开方运算时根号前正、负号的选取， 即根据角所在的象限讨论正负号。
课本P23 练习 1，2，3
2.化简三角函数式. 函数种类要最少，项数要最少，函数 次数尽量低，能求出值的要求出数值，尽 量使分母不含三角形式和根式。
主客呀."能给咱壹千斤吗?"根汉问道."壹千斤..."在场の十几人都张大了嘴巴,这还是人吗,这小子也太能吃了,买壹千斤腌牛肉吃?（正文贰叁贰7壹千斤）贰叁贰捌赚钱"有!"中年老板立即拍板道："小老弟呀,给你算便宜壹些吧,你给二十二壹斤就好了,壹共是二万二...""好, 谢谢了..."根汉立即就掏出了二万五千星海币,厚厚の壹大叠放在桌上,又说道："再给咱准备十几缸红米酒吧,这里剩下の钱能装多少装多少吧...""好の..."中年老板笑得合不拢嘴,赶紧将这壹大叠钱给收好了,开什么玩笑,这壹天の功夫,就做了两个月の生意.今天真得烧香 拜拜财神了,壹斤少说也得赚个八到十块星海币
同角三角函数的基本关系与诱导公式-高考数学复习
3
θ＝ ，
5
cos
π
θ＜0，所以可得θ∈（ ，π），
2
sin θ cos
θ）2＝1－2
sin θ＋ cos
4
θ＝－ ，tan
5
1
θ＝ ，可得
25
sin θ cos
1
θ＝－ ，
5
sin θ cos θ
49
θ＝ ，所以
25
sin θ－ cos
sin θ
7
θ＝ ，联
5
3
θ＝－ ，故B错误，C正确.
4
目录
高中总复习·数学
可求解；
（2）若齐次式为二次整式，可将其视为分母为1的分式，然后将分母
1用 sin 2α＋ cos 2α替换，再将分子与分母同除以 cos 2α，化为只
含有tan α的式子，代入tan α的值即可求解.
目录
高中总复习·数学
考向3 “ sin α±cos α， sin α cos α”之间关系的应用
可以知一求二.
目录
高中总复习·数学
1. 若 sin θ＋ cos
2 3
θ＝
，则
3
解析：由 sin θ＋ cos
θ cos
1
θ＝ ，∴
6
sin 4θ＋ cos 4θ＝（
2 3
θ＝
，平方得1＋2
3
）
sin θ cos
4
θ＝ ，∴
3
sin
sin 4θ＋ cos 4θ＝（ sin 2θ＋ cos 2θ）2－2 sin 2θ cos 2θ
（1）思路：①分析结构特点，选择恰当的公式；②利用公式化成单
（4） sin α＝tan α cos
同角三角函数的基本关系式与诱导公式
课堂互动讲练
考点一
诱导公式的应用
应用诱导公式进行化简或证明时， 首先根据题意选准公式再用，一般是负 变正、大变小的思想．
在使用诱导公式时，α可为任意角， 并不一定要为锐角，只不过是在运用的 过程中把它“看作”是锐角而已．“奇 变偶不变，符号看象限”同样适用于正 切和余切．如tan(270°－α)＝cotα等．
cos2x－1 sin2x＝
cos2x＋sin2x cos2x－sin2x
，想法
使分
子分
母都出现 tanx 即可．
课堂互动讲练
【解】 (1)法一：联立方程：
sinx＋cosx＝15， sin2x＋cos2x＝1.
① 2分
②
①式两边平方得：sin2x＋cos2x＋2sinxcosx
＝215，
∴2sinxcosx＝－2245.4 分 ∵－π2<x<0，∴sinx<0，cosx>0. ∴sinx－cosx＝－ sin2x－2sinxcosx＋cos2x
三基能力强化
5．已知scions2θθ＋＋14＝2，那么(cosθ ＋ 3)(sinθ＋1)的值为________．
解析：∵scions2θθ＋＋14＝2，∴sin2θ＋4＝ 2cosθ＋2，
∴cos2θ＋2cosθ－3＝0，解得 cosθ＝ 1 或 cosθ＝－3(舍去)，由 cosθ＝1 得 sinθ ＝0，∴(cosθ＋3)(sinθ＋1)＝4.
规律方法总结
公式中 k·π2＋α 的整数 k 来讲的．“象
限”指在 k·π2＋α 中，将 α 看作锐角时 k·π2＋
α
所在的象限，如将
cos(32π＋α)写成
π cos(3·2
三角函数的基本关系式
1. 同角三角函数的基本关系式 tan α ⋅ cot α = 1 sin α ⋅ csc α = 1 cos α ⋅ sec α = 1 2. 倒数关系:
tan α =
sin α sec α = cos α csc α 1 cos α csc α = = tan α sin α sec α
正弦为奇函数 余弦为偶函数 正切为奇函数 sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝ sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα (其中 k∈Z)
3. 商的关系： cot α = 4. 平方关系：
sin 2 α + cos 2 α = 1
1 + tan 2 α = sec2 α =
(对应于勾股定理)
1 (上述公式的扩展) cos 2 α 1 1 + cot 2 α = csc2 α = sin 2 α
5. 诱导公式 单一角公式 sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα
同角三角函数基本关系式与诱导公式知识点讲解+例题讲解(含解析)
同角三角函数基本关系式与诱导公式一、知识梳理1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tanα.2.三角函数的诱导公式总结：1.同角三角函数关系式的常用变形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.()(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.()(3)若α∈R，则tan α＝sin αcos α恒成立.()(4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.( ) 解析 (1)中对于任意α∈R ，恒有sin(π＋α)＝－sin α. (3)中当α的终边落在y 轴，商数关系不成立. (4)当k 为奇数时，sin α＝13， 当k 为偶数时，sin α＝－13. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.已知tan α＝－3，则cos 2α－sin 2α＝( ) A.45B.－45C.35D.－35解析 由同角三角函数关系得cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－91＋9＝－45.答案 B3.已知α为锐角，且sin α＝45，则cos (π＋α)＝( ) A.－35B.35C.－45D.45解析 因为α为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝35， 故cos(π＋α)＝－cos α＝－35. 答案 A4.(2017·全国Ⅲ卷)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A.－79B.－29C.29D.79 解析 ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α， ∴sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝－79.答案 A5.(2019·济南质检)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α＝( ) A.125B.－125C.512D.－512解析 ∵sin α＝－513，α为第四象限角，∴cos α＝1－sin 2α＝1213，因此tan α＝sin αcos α＝－512. 答案 D6.(2018·上海嘉定区月考)化简：sin 2(α＋π)·cos(π＋α)·cos(－α－2π)tan(π＋α)·sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin(－α－2π)＝________.解析 原式＝sin 2α·(－cos α)·cos αtan α·cos 3α·(－sin α)＝sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α＝1.答案 1考点一 同角三角函数基本关系式 角度1 公式的直接运用【例1－1】 (2018·延安模拟)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π4，且sin α＝－13，则cos α＝( ) A.－223 B.223 C.±223 D.23解析 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π4，且sin α＝－13>－22＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，所以α为第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝－223. 答案 A角度2 关于sin α，cos α的齐次式问题 【例1－2】 已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值.(1)sin α－3cos αsin α＋cos α；(2)sin 2α＋sin αcos α＋2.解 由已知得tan α＝12. (1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53. (2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＋2＝135.角度3 “sin α±cos α，sin αcos α”之间的关系 【例1－3】 已知x ∈(－π，0)，sin x ＋cos x ＝15. (1)求sin x －cos x 的值； (2)求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值.解 (1)由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125， 整理得2sin x cos x ＝－2425.所以(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925. 由x ∈(－π，0)，知sin x <0，又sin x ＋cos x >0， 所以cos x >0，则sin x －cos x <0， 故sin x －cos x ＝－75.(2)sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝2sin x （cos x ＋sin x ）1－sin x cos x＝2sin x cos x （cos x ＋sin x ）cos x －sin x＝－2425×1575＝－24175.【训练1】 (1)(2019·烟台测试)已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为( )A.－32B.32C.－34D.34(2)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是( )A.35B.－35C.－3D.3解析 (1)∵5π4<α<3π2，∴cos α<0，sin α<0且cos α>sin α， ∴cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34， ∴cos α－sin α＝32.(2)由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5，可得tan α＝2，则cos 2α＋12sin 2α＝cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋tan α1＋tan 2α＝35.答案 (1)B (2)A考点二 诱导公式的应用【例2】 (1)设f (α)＝2sin （π＋α）cos （π－α）－cos （π＋α）1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(1＋2sin α≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76π＝________. (2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值是________. 解析 (1)∵f (α)＝（－2sin α）（－cos α）＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α（1＋2sin α）sin α（1＋2sin α）＝1tan α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76π＝1tan 76π＝1tan π6＝ 3. (2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝－a ＋a ＝0.答案 (1)3 (2)0【训练2】 (1)(2019·衡水中学调研)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝23，则cos(π－2α)＝( )A.29B.59C.－29D.－59 (2)(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若sin α＝13，则sin β＝________. 解析 (1)由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝23，得sin α＝23.∴cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×29－1＝－59. (2)α与β的终边关于y 轴对称，则α＋β＝π＋2k π，k ∈Z ，∴β＝π－α＋2k π，k ∈Z .∴sin β＝sin(π－α＋2k π)＝sin α＝13. 答案 (1)D (2)13考点三 同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用【例3】 (1)(2019·菏泽联考)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，则tan(π＋2α)＝( ) A.427B.±225C.±427D.225(2)(2019·福建四地六校联考)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( ) A.355B.377C.31010D.13解析 (1)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，∴cos α＝13，sin α＝－223，tan α＝sin αcos α＝－2 2.∴tan(π＋2α)＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－421－（－22）2＝427. (2)由已知得⎩⎨⎧3sin β－2tan α＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0.消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，化简得sin 2α＝910，则sin α＝31010(α为锐角). 答案 (1)A (2)C(3)已知－π<x <0，sin(π＋x )－cos x ＝－15. ①求sin x －cos x 的值； ②求sin 2x ＋2sin 2 x 1－tan x的值.解 ①由已知，得sin x ＋cos x ＝15， 两边平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，整理得2sin x cos x ＝－2425.∵(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925，由－π<x <0知，sin x <0， 又sin x cos x ＝－1225<0， ∴cos x >0，∴sin x －cos x <0， 故sin x －cos x ＝－75.②sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝2sin x （cos x ＋sin x ）1－sin x cos x＝2sin x cos x （cos x ＋sin x ）cos x －sin x＝－2425×1575＝－24175.【训练3】 (1)(2019·湖北七州市联考)已知α∈(0，π)，且cos α＝－513，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·tan α＝( ) A.－1213 B.－513C.1213D.513(2)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.解析 (1)∵α∈(0，π)，且cos α＝－513，∴sin α＝1213，因此sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·tan α＝cos α·sin αcos α＝sin α＝1213.(2)由题意，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝34.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－43. 答案 (1)C (2)－43三、课后练习1.若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( ) A.1＋ 5 B.1－5 C.1± 5D.－1－5解析 由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θ·cos θ＝m4.又()sin θ＋cos θ2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1± 5.又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5. 答案 B2.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝1225，且0<α<π4，则sin α＝________，cos α＝________.解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝1225.∵0<α<π4，∴0<sin α<cos α.又∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin α＝35，cos α＝45. 答案 35 453.已知k ∈Z ，化简：sin （k π－α）cos[（k －1）π－α]sin[（k ＋1）π＋α]cos （k π＋α）＝________.解析 当k ＝2n (n ∈Z )时，原式＝sin （2n π－α）cos[（2n －1）π－α]sin[（2n ＋1）π＋α]cos （2n π＋α）＝sin （－α）·cos （－π－α）sin （π＋α）·cos α＝－sin α（－cos α）－sin α·cos α＝－1；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，原式＝sin[（2n ＋1）π－α]·cos[（2n ＋1－1）π－α]sin[（2n ＋1＋1）π＋α]·cos[（2n ＋1）π＋α]＝sin （π－α）·cos αsin α·cos （π＋α）＝sin α·cos αsin α（－cos α）＝－1. 综上，原式＝－1. 答案 －14.是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由. 解 假设存在角α，β满足条件，则由已知条件可得⎩⎨⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β，②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2. ∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＝±π4. 当α＝π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式成立； 当α＝－π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式不成立，故舍去.∴存在α＝π4，β＝π6满足条件.5.已知sin α＝23，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(π－α)＝________，cos 2α＝________.解析 cos(π－α)＝－cos α＝－1－sin 2α＝－73，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－732－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝59.答案 －73 59。
同角三角函数基本关系式及诱导公式
＝sin2θ＋sinθcosθ－ 2cos2θ
＝sin2θ＋ssiinn2θθc＋oscθo－s2θ 2cos2θ＝tan2θta＋n2tθa＋nθ1－ 2
＝
22＋ 2－ 22＋1
2＝23..
答案：D
(2)已知 tan(π－α)＝－23，且 α∈－π，－π2，则cocso－sπα－＋α3＋sin9sπin＋αα＝________. 解析：由 tan(π－α)＝－23，得 tanα＝23， 则cocso－sπα－＋α3＋sin9sπin＋αα＝－cocosαsα－＋39sisninαα＝－11－＋39tatnanαα＝－1－ 1＋26＝－15.
解析：∵sinθ＋cosθ＝43，∴sinθcosθ＝178.
又∵(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝29，θ∈0，π4，
∴sinθ－cosθ＝－
2 3.
答案：－
2 3
6．已知 α 为锐角，cos32π＋α＝45，则 cos(π＋α)＝________.
解析：∵cos32π＋α＝sinα＝45，且 α 为锐角， ∴cosα＝35，∴cos(π＋α)＝－cosα＝－35. 答案：－35
答案：32
(2)已知 cosπ6－θ＝a，则 cos56π＋θ＋sin23π－θ的值是________． 解 析 ： 因 为 cos 56π＋θ ＝ cos π－π6－θ ＝ － cos π6－θ ＝ － a ， sin 23π－θ ＝ sinπ2＋π6－θ＝cosπ6－θ＝a，所以 cos56π＋θ＋sin23π－θ＝0. 答案：0
题型二 诱导公式的应用 例 1 (1)tancoπs＋－ααc－os32ππs＋inα－si3nπα－－α32π＝________. 解析：原式＝tanαcosαsin－2π＋α＋π2
5.3 同角三角函数的基本关系式及诱导公式
高考总复习·数学 高考总复习 数学 证法二：由题意知 cos x ≠ 0 ，所以 1 + sin x ≠ 0,1 − sin x ≠ 0
(1 − sin x)(1 + sin x) = 1 − sin 2 x = cos 2 x = cos x ⋅ cos x 又∵ cos x 1 + sin x = ∴ 1 − sin x cos x
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sin α ⋅ ( − tan α ) ⋅ (− sin α ) sin 2 α = = tan α ⋅ sin α 解：（ ）原式＝ 1 − tan α ⋅ (− cos α ) cos α π 1 1 (2)由 cos(α + ) = ,得 : − sin α = , 2 5 5 1 2 6 ∵α 是第三象限的角， cos α = − 1 − (− ) 2 = − ∴ , 5 5 1 2 5 6 ∴ f (α ) = (− ) × (− )=− . 5 60 2 6 (3) ∵ −1860° = −5 × 360° − 60°, sin 2 (−1860°) sin 2 ( −5 × 360° − 60°) ∴ f ( −1860°) = = cos( −1860°) cos(−5 × 360° − 60°) sin 2 (−60°) 3 = = . cos(−60°) 2
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利用诱导公式进行化简、 利用诱导公式进行化简、求值
已知α 为第三象限角，
3π sin(π − α ) ⋅ tan(2π − α ) ⋅ cos(−α + ) 2 且 f (α ) = tan(−α − π ) cos(−π − α )
（1）化简 f (α ) π 1 （2）若 cos(α + ) = , 求f (α ) 的值； 2 5 （3）若 α = −1860°, 求f (α ) 的值。
同角三角函数关系
1.2.2 同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系式 1．公式(1)平方关系： sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系： sin αcos α＝tan α. 2．公式推导如图，以正弦线MP 、余弦线OM 和半径OP 的长作为直角三角形三边长，而且OP ＝1．由勾股定理，得OM 2＋MP 2＝1，因此x 2＋y 2＝1， 即sin 2α＋cos 2α＝1．根据三角函数的定义，当α≠k π＋π2(k ∈Z )时，有sin αcos α＝tan α．这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切． [知识点拨]对同角三角函数基本关系式的理解(1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin 23α＋cos 23α＝1成立，但是sin 2α＋cos 2β＝1就不一定成立．(2)sin 2α是(sin α)2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin 2α写成sin α2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写．(3)同角三角函数的基本关系式是针对使三角函数有意义的角而言的，sin 2α＋cos 2α＝1对一切α∈R 恒成立，而tan α＝sin αcos α仅对α≠π2＋k π(k ∈Z )成立．3．常用的等价变形sin 2α＋cos 2α＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α，sin α＝±1－cos 2α，cos α＝±1－sin 2α；tan α＝sin αcos α⇒⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝tan αcos α，cos α＝sin αtan α.[拓展]变形公式的应用要注意哪些方面？(1)使用变形公式sin α＝±1－cos 2α，cos α＝±1－sin 2α时，“±”号是由α的终边所在的象限确定的，而对于其他形式的变形公式就不必考虑符号问题．(2)对这些关系式不仅要牢牢掌握，还要能灵活运用(正用、逆用、变形应用)． Y 预习自测u xi zi ce1．已知sin α＝78，cos α＝158，则tan α等于( D )A ．78B ．158C ．157D ．715152．(2015·福建文)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( D ) A ．125B ．－125C ．512D ．－5123．化简1－sin 2440°＝__cos80°__．4．化简sin 2α＋sin 2β－sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β＝__1__．H 互动探究解疑u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨根据同角三角函数关系求值 典例1 (1)已知sin α＝15，求cos α，tan α的值；(2)已知cos α＝－35，求sin α，tan α的值．[解析] (1)∵sin α＝15>0，∴α是第一或第二象限角．当α为第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝1－125＝265，tan α＝sin αcos α＝612；当α为第二象限角时，cos α＝－265，tan α＝－612．(2)∵cos α＝－35<0，∴α是第二或第三象限角．当α是第二象限角时，sin α>0，tan α<0， ∴sin α＝1－cos 2α＝1－(－35)2＝45，tan α＝sin αcos α＝－43；当α是第三象限角时，sin α<0，tan α>0，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－(－35)2＝－45，tan α＝sin αcos α＝43．『规律总结』 在使用开平方关系sin α＝±1－cos 2α和cos α＝±1－sin 2α时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据是角α所在的象限，如果角α所在的象限是已知的，则按三角函数在各个象限的符号来确定正负号；如果角α所在的象限是未知的，则需要按象限进行讨论．〔跟踪练习1〕已知sin α＝－45，并且α是第三象限的角，求cos α、tan α的值．[解析] ∵sin 2α＋cos 2α＝1， ∴cos 2α＝1－sin 2α＝1－(－45)2＝925．又∵α是第三象限角，∴cos α<0 即cos α＝－925＝－35， ∴tan α＝sin αcos α＝(－45)×(－53)＝43．命题方向2 ⇨弦化切求值 典例2 已知tan α＝3． (1)求sin α和cos α的值； (2)求3sin α－cos α2cos α＋sin α的值；(3)求sin 2α－3sin αcos α＋1的值．[思路分析] tan α＝3，即sin α＝3cos α，结合sin 2α＋cos 2α＝1，解方程组可求出sin α和cos α；对于(2)，注意到分子分母都是sin α与cos α的一次式，可分子分母同除以cos α化为tan α的表达式；对于(3)，如果把分母视作1，进行1的代换，1＝sin 2α＋cos 2α然后运用(2)的方法，分子分母同除以cos 2α可化为tan α的表达式，也可以将sin α＝3cos α代入sin 2α＋cos 2α＝1中求出cos 2α，把待求式消去sin α，也化为cos 2α的表达式求解．[解析] (1)tan α＝3＝sin αcos α>0，∴α是第一或第三象限角．当α是第一象限角时，结合sin 2α＋cos 2α＝1，有 ⎩⎨⎧sin α＝31010cos α＝1010．当α是第三象限角时，结合sin 2α＋cos 2α＝1，有⎩⎨⎧sin α＝－31010cos α＝－1010．(2)∵tan α＝3，∴3sin α－cos α2cos α＋sin α＝3tan α－12＋tan α＝85．(3)∵tan α＝3，sin 2α＋cos 2α＝1， ∴原式＝sin 2α－3sin αcos α＋11＝2sin 2α－3sin α·cos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan α＋11＋tan 2α＝2×32－3×3＋11＋32＝1．『规律总结』 1.若已知tan α＝m ，求形如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α(或a sin 2α＋b cos 2αc sin 2α＋d cos 2α)的值，其方法是将分子、分母同除以cos α(或cos 2α)转化为tan α的代数式，再求值，如果先求出sin α和cos α的值再代入，那么运算量会很大，问题的解决就会变得繁琐．2．形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α通常把分母看作1，然后用sin 2α＋cos 2α代换，分子、分母同除以cos 2α再求解．〔跟踪练习2〕已知tan α＝－12，求下列各式的值：(1)sin α＋2cos α； (2)cos α－5sin α3cos α＋sin α； (3)sin 2α－sin αcos α－3cos 2α5sin αcos α＋sin 2α＋1；(4)2sin 2α－sin αcos α＋cos 2α．[解析] (1)tan α＝sin αcos α＝－12，∴cos α＝－2sin α又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＋4sin 2α＝1 ∴sin 2α＝15，∴sin α＝±55当α为第二象限角时，sin α＝55，cos α＝－255， sin α＋2cos α＝－355，当α为第四象限角时，cos α＝255，sin α＝－55，sin α＋2cos α＝355．(2)cos α－5sin α3cos α＋sin α＝1－5tan α3＋tan α＝1－5×(－12)3－12＝75．(3)sin 2α－sincos α－3cos 2α5sincos α＋sin 2α＋1＝sin 2α－sin αcos α－3cos 2α5sin αcos α＋2sin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan α－32tan 2α＋5tan α＋1＝(－12)2－(－12)－32(－12)2＋5(－12)＋1＝94． (4)2sin 2α－sin αcos α＋cos 2α＝2sin 2α－sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－tan α＋1tan 2α＋1＝85．命题方向3 ⇨化简三角函数式典例3 (1)1－2sin10°cos10°sin10°－1－sin 210°；(2)1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α．[思路分析] (1)把二次根式中的被开方式化为完全平方式．(2)中所含角α的三角函数次数相对较高，且分子、分母含常数“1”．解答本题中的(1)、(2)时应充分利用“sin 2α＋cos 2α＝1”这一条件．[解析] (1)原式＝(cos10°－sin10°)2sin10°－cos 210°＝|cos10°－sin10°|sin10°－cos10°＝cos10°－sin10°sin10°－cos10°＝－1．(2)解法一：原式＝(cos 2α＋sin 2α)2－cos 4α－sin 4α(cos 2α＋sin 2α)3－cos 6α－sin 6α＝2cos 2α·sin 2α3cos 2α·sin 2α(cos 2α＋sin 2α)＝23． 解法二：原式＝1－(cos 4α＋sin 4α)1－(cos 6α＋sin 6α)＝1－[(cos 2α＋sin 2α)2－2sin 2αcos 2α]1－(cos 2α＋sin 2α)(cos 4α－cos 2αsin 2α＋sin 4α) ＝1－1＋2cos 2αsin 2α1－[(cos 2α＋sin 2α)2－3cos 2αsin 2α] ＝2cos 2αsin 2α3cos 2αsin 2α＝23． 『规律总结』 三角函数式的化简过程中常用的方法：(1)化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．〔跟踪练习3〕已知α是第三象限角，化简：1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α．[解析] 1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝(1＋sin α)2cos 2α－(1－sin α)2cos 2α＝1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|＝2sin α|cos α|． ∵α是第三象限角，∴|cos α|＝－cos α． 原式＝2sin α－cos α＝－2tan α， 故1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝－2tan α．命题方向4 ⇨三角恒等式的证明 典例4 求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α．[思路分析] 思路一右式分子分母同乘以tan α－sin α→由右式向左式转化思路二 左右两式切化弦→整理化简得证[解析] 方法一：∵右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边，∴原等式成立．方法二：∵左边＝tan αsin αtan α－tan αcos α＝sin α1－cos α，右边＝tan α＋tan αcos αtan αsin α＝1＋cos αsin α＝1－cos 2αsin α(1－cos α)＝sin 2αsin α(1－cos α)＝sin α1－cos α，∴左边＝右边，原等式成立．『规律总结』 利用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式 三角恒等式的证明方法非常多，其主要方法有： (1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简； (2)左右归一，即证明左右两边都等于同一个式子；(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异； (4)变更命题法，如要证明a b ＝c d ，可证ad ＝bc 或证d b ＝ca等；(5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“左边右边＝1”．〔跟踪练习4〕证明下列三角恒等式： 2sin x cos x(sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)＝1＋cos x sin x ．[解析] 左边＝2sin x cos x[sin x ＋(cos x －1)][sin x －(cos x －1)]＝2sin x cos x sin 2x －(cos x －1)2＝sin x1－cos x ＝sin x (1＋cos x )1－cos 2x＝1＋cos xsin x＝右边，所以原等式成立． X 学科核心素养ue ke he xin su yang sin θ±cos θ，sin θ·cos θ三者的关系及方程思想的运用 sin θ±cos θ，sin θ·cos θ三者的关系：(1)对于三角函数式sin θ±cos θ，sin θ·cos θ之间的关系，可以通过(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θ·cos θ进行转化．(2)若已知sin θ±cos θ，sin θ·cos θ中三者之一，利用方程思想进一步可以求得sin θ，cos θ的值，从而求出其余的三角函数值．典例5 已知sin θ＋cos θ＝15，θ∈(0，π)，求sin θ，cos θ，sin θ－cos θ，tan θ，sin 3θ＋cos 3θ的值．[解析] 本题考查已知三角函数的关系式，求其他三角函数式的值．解题时先根据已知关系式求出角的范围和三角函数值，进而解决问题．∵sin θ＋cos θ＝15，θ∈(0，π)，∴1＋2sin θ·cos θ＝125，∴2sin θ·cos θ＝－2425<0．又θ∈(0，π)，sin θ>0，∴cos θ<0，∴θ∈(π2，π)．∴sin θ－cos θ>0．∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ·cos θ＝1＋2425＝4925，∴sin θ－cos θ＝75，∴⎩⎨⎧sin θ＋cos θ＝15，sin θ－cos θ＝75⇒⎩⎨⎧sin θ＝45，cos θ＝－35，∴tan θ＝sin θcos θ＝45－35＝－43，sin 3θ＋cos 3θ＝37125．『规律总结』 在解三角函数问题时要注意题目中的隐含条件，本题就是灵活运用了平方关系，列方程求出sin θ，cos θ，使问题得解．〔跟踪练习5〕已知sin θ、cos θ是方程4x 2－4mx ＋2m －1＝0的两个根，3π2<θ<2π，求角θ．[解析]∵⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝m ，sin θ·cos θ＝2m －14，Δ＝16(m 2－2m ＋1)≥0，代入(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ，得m ＝1±32．又∵3π2<θ<2π.∴sin θ·cos θ＝2m －14<0，sin θ＋cos θ＝m ＝1－32，∴sin θ＝－32，cos θ＝12．又∵3π2<θ<2π，∴θ＝5π3．Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi典例6 已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝3－12，则tan θ的值为__________． [错解] 将sin θ＋cos θ＝3－12两边平方，得1＋2sin θcos θ＝1－32，即sin θcos θ＝－34，易知θ≠π2．故sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ1＋tan 2θ＝－34，解得tan θ＝－3或tan θ＝－33． [错因分析] 题设条件sin θ＋cos θ＝3－12隐含sin θ>－cos θ这一条件，结合所得sin θcos θ＝－34<0可进一步得到θ的范围，错解忽略了这一点，从而造成增解． [正解] 同错解，解得tan θ＝－3或tan θ＝－33． ∵θ∈(0，π)，sin θcos θ＝－34<0，∴θ∈(π2，π)，由sin θ＋cos θ＝3－12>0可得sin θ>－cos θ，即|sin θ|>|cos θ|，故θ∈(π2，3π4)，则tan θ<－1，∴tan θ＝－3．[点评] 有些关于三角函数的条件求值问题，表面上角的范围不受条件限制，实际上只要对已知式稍加变形，就会推出三角函数值间的限制关系，这种限制关系本身就隐含了角的取值范围．解题时，同学们如果忽略了对已知条件中三角函数值间限制关系的挖掘，就很可能出错．〔跟踪练习6〕已知sin αcos α＝18，且π<α<5π4，则cos α－sin α的值为 －2 ．[解析] ∵(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，且π<α<5π4，∴cos α<sin α，∴cos α－sin α<0， ∴cos α－sin α＝－34＝－32． K 课堂达标验收e tang da biao yan shou 1．化简1－sin 23π5的结果是( C )A ．cos 3π5B ．sin 3π5C ．－cos 3π5D ．－sin 3π52．已知tan α＝12，0<α<π，则sin α－cos α＝ －5．． [解析] 由tan α＝12>0，知α为锐角，所以sin α＝55，cos α＝255，∴sin α－cos α＝－55．3．(2016·四川资阳阳安中学月考)已知tan α＝－43，则sin α＋cos αsin α－cos α等于( A )A ．17B ．－17C ．－7D ．74．化简：(1sin α＋1tan α)(1－cos α)＝__sin α__．A 级 基础巩固一、选择题1．α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α等于( B ) A ．513B ．－513C ．512D ．－512[解析] ∵α是第四象限角，∴sin α<0． ∵⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝1213，sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin α＝－513．2．已知cos α＝23，则sin 2α等于( A )A ．59B ．±59C ．53D ．±53[解析] sin 2α＝1－cos 2α＝59．3．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝( D )A ．15B ．－15C ．513D ．－513[解析] 不妨设α对应的锐角为α′，tan α′＝512，构造直角三角形如图，则|sin α|＝sin α′＝513， ∵α为第四象限角，∴sin α<0，∴sin α＝－513．4．化简：(1＋tan 2α)·cos 2α等于( C ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2[解析] 原式＝(1＋sin 2αcos 2α)·cos 2α＝cos 2α＋sin 2α＝1．5．已知sin α－3cos α＝0，则sin 2α＋sin αcos α值为( B ) A ．95B ．65C ．3D ．4[解析] 由sin α－3cos α＝0，∴tan α＝3， 又sin 2α＋sin αcos α＝sin 2α＋sin αcod αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋tan α1＋tan 2α＝1210＝65．6．已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，那么这个三角形的形状为( B )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形[解析] (sin α＋cos α)2＝49，∴2sin αcos α＝－59<0，又∵α∈(0，π)，sin α>0.∴cos α<0，∴α为钝角． 二、填空题7．在△ABC 中，2sin A ＝3cos A ，则∠A ＝__60°__．[解析] ∵2sin 2A ＝3cos A ，∴2(1－cos 2A )＝3cos A ，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，∴cos A ＝12，cos A ＝－2(舍去)，∴A ＝60°．8．已知tan α＝cos α，那么sin α＝ 2． [解析] 由于tan α＝sin αcos α＝cos α，则sin α＝cos 2α，所以sin α＝1－sin 2α，解得sin α＝－1±52． 又sin α＝cos 2α≥0，所以sin α＝－1＋52．三、解答题9．求证：sin α(1＋tan α)＋cos α(1＋1tan α)＝1sin α＋1cos α． [证明] 左边＝sin α(1＋sin αcos α)＋cos α(1＋cos αsin α)＝sin α＋sin 2αcos α＋cos α＋cos 2αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin α＋sin 2α＋cos 2αcos α＝1sin α＋1cos α＝右边． 即原等式成立．10．已知tan α＝7，求下列各式的值． (1)sin α＋cos α2sin α－cos α；(2)sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2α．[解析] (1)sin α＋cos α2sin α－cos α＝sin α＋cos αcos α2sin α－cos αcos α＝tan α＋12tan α－1＝7＋12×7－1＝813．(2)sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2α＝sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2αcos 2αsin 2α＋cos 2αcos 2α＝tan 2α＋tan α＋3tan 2α＋1＝49＋7＋349＋1＝5950． B 级 素养提升一、选择题1．已知sin α－cos α＝－54，则sin α·cos α等于( C )A ．74B ．－916C ．－932D ．932[解析] 将所给等式两边平方，得1－2sin αcos α＝2516，故sin αcos α＝－932．2．若π<α<3π2，1－cos α1＋cos α＋1＋cos α1－cos α的化简结果为( D )A ．2tan αB ．－2tan αC ．2sin αD ．－2sin α[解析] 原式＝(1－cos α)21－cos 2α＋(1＋cos α)21－cos 2α＝1－cos α|sin α|＋1＋cos α|sin α|＝2|sin α|∵π<α<3π2，∴原式＝－2sin α．3．若sin θ＋2cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θ·cos θ＝( D )A ．－417B ．45C ．±417D ．417[解析] 由sin θ＋2cos θsin θ－cos θ＝2，得tan θ＝4，sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ1＋tan 2θ＝417． 4．如果sin x ＋cos x ＝15，且0<x <π，那么tan x 的值是( A )A ．－43B ．－43或－34C ．－34D ．43或－34[解析] 将所给等式两边平方，得sin x cos x ＝－1225，∵0<x <π，∴sin x >0，cos x <0， ∴sin x ＝45，cos x ＝－35，∴tan x ＝－43．二、填空题5．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，则tan θ＝ －34或－512 ．[解析] 由sin 2θ＋cos 2θ＝1得，m ＝0或8． m ＝0时，sin θ＝－35，cos θ＝45，tan θ＝－34；m ＝8时，sin θ＝513，cos ＝－1213，tan θ＝－512．6．在△ABC 中，若tan A ＝23，则sin A ＝ 11． [解析] 因为tan A ＝23>0，则∠A 是锐角，则sin A >0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin 2A ＋cos 2A ＝1，sin A cos A ＝23，得sin A ＝2211． 7．已知tan 2α＝2tan 2β＋1，求证：sin 2β＝2sin 2α－1． [解析] 由tan 2α＝2tan 2β＋1，可得tan 2β＝12(tan 2α－1)，即sin 2βcos 2β＝12(sin 2αcos 2α－1)，故有sin 2β1－sin 2β＝12(sin 2α1－sin 2α－1)＝12×2sin 2α－11－sin 2α，整理得sin 2β1－sin 2β＝sin 2α－121－sin 2α，即sin 2β(1－sin 2α)＝(1－sin 2β)(sin 2α－12)，展开得12sin 2β＝sin 2α－12，即sin 2β＝2sin 2α－1．8．化简下列式子．(1)cos 6α＋sin 6α＋3sin 2αcos 2α； (2)若x 是第二象限角，化简sin x1－cos x·tan x －sin xtan x ＋sin x．[解析] (1)原式＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 4α－cos 2αsin 2α＋sin 4α)＋3sin 2α·cos 2α＝cos 4α＋2sin 2αcos 2α＋sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2＝1．(2)原式＝sin x 1－cos x·sin x －sin x cos x sin x ＋sin x cos x＝sin x 1－cos x·1－cos x 1＋cos x＝sin x 1－cos x·(1＋cos x )(1－cos x )(1＋cos x )2＝sin x 1－cos x ·|sin x |1＋cos x．∵x 为第二象限角，∴sin x >0，∴原式＝sin 2x1－cos 2x＝1．C 级 能力拔高设A 是三角形的内角，且sin A 和cos A 是关于x 的方程25x 2－5ax －12a ＝0的两个根． (1)求a 的值； (2)求tan A 的值．[解析] (1)∵sin A 和cos A 是关于x 的方程25x 2－5ax －12a ＝0的两个根，∴由韦达定理得 ⎩⎨⎧sin A ＋cos A ＝15a ，①sin A ·cos A ＝－1225a ，②将①两边分别平方得sin 2A ＋2sin A cos A ＋cos 2A ＝125a 2，即1－2425a ＝a 225，解得a ＝－25或a ＝1.当a ＝－25时，sin A ＋cos A ＝－5不合题意，故a ＝1．(2)由⎩⎨⎧sin A ＋cos A ＝a5，sin A cos A ＝－1225a ，得sin A >0，cos A <0，∴sin A ＝45，cos A ＝－35.∴tan A ＝sin Acos A＝－43．。
同角三角函数基本关系式
1弧度等于180/π度，可以利用这个公式将角度转换为弧度， 反之亦然。
三角函数和反三角函数的关系
正弦、余弦、正切的定义
正弦、余弦、正切是三角函数的基本形式，它们分别对应于直角三角形中的边的比值。
反三角函数的定义
反正弦、反余弦、反正切是反三角函数的基本形式，它们分别表示的是正弦、余弦、正切函数的反函数。
符号和表示
正弦函数sin(x)表示一个角度x的正弦值，余弦函数cos(x) 表示x的余弦值，正切函数tan(x)表示x的正切值。
对于角度的正弦、余弦和正切值，分别记为sin(x)、cos(x) 和tan(x)。
三角函数的概念和性质
三角函数是函数的一种，其定义是将一个角度作为自变量，将该角度的正弦、余弦和正切值作为因变 量。
同角三角函数基本关系式的应用和发展
应用
同角三角函数基本关系式是三角函数计算、化简、证明 的重要依据，也是三角函数图像分析的基础。在物理、 数学、工程等众多领域都有广泛的应用。
发展
同角三角函数基本关系式是三角函数理论的基础，它为 后续的三角函数学习提供了重要的基础。同时，它也是 连接初等数学和高等数学的重要纽带之一，为数学的学 习提供了重要的帮助。
三角函数在圆和椭圆中的应
用
圆和椭圆是常见的曲线形状，利用三角函数可以方便 地对其进行解析表达和性质研究。
三角函数在物理学中的应用
三角函数在力学中的应用
在研究物体的运动和受力时，可以将时间、位移等物理 量用三角函数表示，从而利用三角函数的性质得到物体 运动规律。
三角函数在电磁学中的应用
电磁学中，交流电的电压、电流等物理量可以用三角函 数表示，从而可以利用三角函数的性质得到交流电的规 律和性质。
第二节 同角三角函数的基本关系式
5.求下列函数的定义域 (1)y=tanx+cotx; (2)y= sinx +tanx. 求下列函数的定义域: 求下列函数的定义域 ≠ ∈ 解: (1)使 tanx 有意义的 x 的取值集合是 {x | x≠kπ+ π , k∈Z}, 使 2 使 cotx 有意义的 x 的取值集合是 {x | x≠kπ, k∈Z}, ≠ ∈ 故所求函数的定义域是: 故所求函数的定义域是 {x | x≠kπ+ π , k∈Z}∩{x | x≠kπ, k∈Z} ={x | x≠ kπ , k∈Z}; ≠ ∈ ≠ ≠ ∈ 2 ∈ ∩ 2 sinx≥0, (2)要使原函数有意义 则 x≠kπ+ π , k∈Z. 要使原函数有意义, 要使原函数有意义 ≠ ∈ 2 2kπ≤x≤2kπ+π, k∈Z, ∈ 即 x≠kπ+ π , k∈Z. ≠ ∈ 2 故原函数定义域为{x|2kπ≤x≤2kπ+π, 且 x≠2kπ+ π , k∈Z}. 故原函数定义域为 ≠ 2 ∈
6.设 α 是第二象限的角 试问 -α, π-α, π+α 分别是第几象限 设 是第二象限的角, 试问: 的角? 的角 ∈ 是第二象限的角, 解: ∵α 是第二象限的角 ∴2kπ+ π <α<2kπ+π, k∈Z. 2 ∴ -2kπ-π<-α<-2kπ- π , k∈Z, -2kπ<π-α<-2kπ+ π , k∈Z, - 2 ∈ 2 ∈ 3π π 2kπ+ 2 <π+α<2kπ+2π, k∈Z. ∈ 是第一象限角, 是第三象限角, 是第四象限角. ∴-α 是第三象限角 π-α 是第一象限角 π+α 是第四象限角
三角函数之间的关系公式
三角函数之间的关系公式1. 同角三角函数的基本关系：倒数关系：tanα•cotα＝1 sinα•cscα＝1 cosα•secα＝1商的关系：sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝csc α/secα平方关系：sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝csc^2(α)平常针对不同条件的常用的两个公式：sin²α+cos²α=1 tan α*cot α=12. 一个特殊公式：（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=sin（a+θ）*sin （a-θ）证明：（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin（a+θ）*sin（a-θ）3. 锐角三角函数公式正弦：sin α=∠α的对边/∠α的斜边余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边4. 二倍角公式正弦sin2A=2sinA•cosA余弦1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) =2Cos^2(a)-1 =1-2Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a)3.Cos2a=2Cos^2(a)-1正切tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)）5. 三倍角公式sin3α=4sinα•sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα•cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a •tan(π/3+a)•tan(π/3-a)6. n倍角公式sin（n a）=Rsina sin（a+π/n）……sin（a+（n-1）π/n）. 其中R=2^（n-1）7. 半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA )=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2；cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))8. 和差化积sinθ+sinφ= 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ= 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ= 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)9. 两角和公式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ10. 积化和差sinαsinβ= [cos(α-β)-cos(α+β)] /2cosαcosβ= [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ= [sin(α+β)-sin(α-β)]/211. 双曲函数sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2tanh(a) = sin h(a)/cos h(a)公式一：设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （2kπ＋α）= sinαcos（2kπ＋α）= cosαtan（2kπ＋α）= tan αcot（2kπ＋α）= cotα公式二：设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinαcos（π＋α）= -cosαtan（π＋α）= tan αcot（π＋α）= cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sin αcos（-α）= cosαtan（-α）= -tanαcot（-α）= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tan αcot（π-α）= -cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tan αcot（2π-α）= -cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）= cosαcos（π/2+α）= -sinαtan（π/2+α）= -cotαcot （π/2+α）= -tanαsin（π/2-α）= cosαcos（π/2-α）= sinαtan （π/2-α）= cotαcot（π/2-α）= tanαsin（3π/2+α）= -cosαcos （3π/2+α）= sinαtan（3π/2+α）= -cotαcot（3π/2+α）= -tan αsin（3π/2-α）= -cosαcos（3π/2-α）= -sinαtan（3π/2-α）= cotαcot（3π/2-α）= tanα(以上k∈Z) A•sin(ωt+θ)+ B•sin(ωt+φ) = √{(A²+B²+2ABcos(θ-φ)} •sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } √表示根号,包括{……}中的内容12. 诱导公式sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (-α)=-tanαsin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαtanA= sinA/cosA tan（π/2＋α）＝－cotαtan（π/2－α）＝cotαtan（π－α）＝－tanαtan（π＋α）＝tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变,符号看象限13. 万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))²]cosα=[1-(tan(α/2))²]/[1+(tan(α/2))²]tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))²]14. 其它公式(1) (sinα)²+(cosα)²=1(2)1+(tanα)²=(secα)²(3)1+(cotα)²=(cscα)²证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)²,第二个除(cosα)²即可.(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA）²+(cosB）²+(cosC）²=1-2cosAcosBcosC(8)（sinA）²+（sinB）²+（sinC）²=2+2cosAcosBcosC其他非重点三角函数csc(a) = 1/sin(a) sec(a) = 1/cos(a)15. 两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)。