《空间直角坐标系》典型例题解析

《空间直角坐标系》典型例题解析

例1：在空间直角坐标系中，作出点M(6，

－2, 4)。 点拨点M 的位置可按如下步骤作出：先在x

轴上作出横坐标是6的点1M ，再将1M 沿与y

轴平行的方向向左移动2个单位得到点2M ，然

后将2M 沿与z 轴平行的方向向上移动4个单位

即得点M 。

解答M 点的位置如图所示。

总结对给出空间直角坐标系中的坐标作出这个点、给出具体的点写出它的空间直角坐标系中的坐标这两类题目，要引起足够的重视，它不仅可以加深对空间直角坐标系的认识，而且有利于进一步培养空间想象能力。

变式题演练

在空间直角坐标系中，作出下列各点：A(-2,3，3)；B(3，-4,2)；C(4,0，-3)。

答案：略

例2：已知正四棱锥P-ABCD 的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标。

点拨先由条件求出正四棱锥的高，再根据正

四棱锥的对称性，建立适当的空间直角坐标系。 解答 正四棱锥P-ABCD 的底面边长为4，侧

棱长为10，

∴正四棱锥的高为232。 以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB 、BC 所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示

的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2，-2,0)、B(2,2，0)、C(-2,2，0)、D(-2，-2,0)、P(0,0，232)。

总结在求解此类问题时，关键是能根据已知图形，建立适当的空间直角坐标系，从而便于计算所需确定的点的坐标。

1M 2M M （6，-2,4） O x y z 6 2 4 O A B C D P x y z

变式题演练

在长方体1111D C B A ABCD -中，AB=12，AD=8，1AA =5，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标。

答案：以A 为原点，射线AB 、AD 、1AA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0，0)、B(12,0，0)、C(12,8，0)、D(0,8，0)、1A (0,0，

5)、1B (12,0，5)、1C (12,8，5)、1D (0,8，5)。

例3：在空间直角坐标系中，求出经过A(2,3，1)且平行于坐标平面yOz 的平面α的方程。 点拨求与坐标平面yOz 平行的平面的方程，即寻找此平面内任一点所要满足的条件，可利用与坐标平面yOz 平行的平面内的点的特点来求解。 解答 坐标平面yOz ⊥x 轴，而平面α与坐标平面yOz 平行，

∴平面α也与x 轴垂直，

∴平面α内的所有点在x 轴上的射影都是同一点，即平面α与x 轴的交点， ∴平面α内的所有点的横坐标都相等。

平面α过点A(2,3，1)，∴平面α内的所有点的横坐标都是2，

∴平面α的方程为x=2。

总结对于空间直角坐标系中的问题，可先回忆与平面直角坐标系中类似问题的求解方法，再用类比方法求解空间直角坐标系中的问题。本题类似于平面直角坐标系中，求过某一定点且与x 轴(或y 轴)平行的直线的方程。

变式题演练

在空间直角坐标系中，求出经过B(2,3，0)且垂直于坐标平面xOy 的直线方程。

答案：所求直线的方程为x=2,y=3.