三角 模型
初中几何专项——三角形模型
初中几何专项——三角形模型
介绍
三角形是初中几何学中重要的概念之一。
通过构造三角形模型，学生可以更好地理解和记忆三角形的性质和特点。
本文档将介绍如
何制作一个简单的三角形模型，并提供一些使用该模型进行学习的
相关练习和思考题。
制作三角形模型材料清单
纸板或卡纸
剪刀
胶水或胶带
制作步骤
1.使用剪刀和纸板或卡纸剪出一个等边三角形的形状。
2.将剪下的三角形形状弯曲，将三个顶点相连接，形成一个三
维的等边三角形模型。
3.使用胶水或胶带将三个边连接在一起，固定模型的形状。
学习和练习
1.使用三角形模型进行观察，思考以下问题：
等边三角形的三条边相等吗？为什么？
三角形的角度之和是多少？如何计算？
在三角形中，两条边之和必须大于第三条边。
观察模型，你认
为为什么会有这个规律？
2.使用三角形模型进行测量和计算练习：
测量模型的边长和角度，与等边三角形的性质进行比较。
计算不等边三角形的角度之和。
利用三角形模型解决实际问题，如建筑设计中的角度测量等。
总结
通过制作和使用三角形模型，学生可以直观地了解和掌握三角
形的基本概念和性质。
同时，通过思考和练习，可以提升对三角形
知识的深入理解和运用能力。
祝你在学习初中几何学中取得好成绩！。
全等三角形八大基本模型
全等三角形八大基本模型摘要：一、全等三角形的概念和性质1.全等三角形的定义2.全等三角形的性质二、全等三角形的判定方法1.SSS（边-边-边）2.SAS（边-角-边）3.AAS（角-角-边）4.RHS（直角边-斜边-直角边）5.SS（边-边）三、全等三角形的应用1.几何证明2.测量问题3.实际问题四、全等三角形模型的构建1.模型一：SSS2.模型二：SAS3.模型三：AAS4.模型四：RHS5.模型五：SS6.模型六：HL（斜边-直角边）7.模型七：AA（两角-一边）8.模型八：梯形-平行四边形正文：全等三角形是几何学中一个重要的概念，指的是具有相同形状和相同大小的两个三角形。
全等三角形具有许多有趣的性质，如对应边相等、对应角相等、对应中线相等等。
在解决几何问题时，掌握全等三角形的性质和判定方法具有很高的实用价值。
全等三角形的判定方法有五种，分别是SSS（边-边-边）、SAS（边-角-边）、AAS（角-角-边）、RHS（直角边-斜边-直角边）和SS（边-边）。
这些方法各有适用范围，需要根据具体问题灵活选用。
全等三角形在几何证明、测量问题以及实际问题中都具有广泛的应用，例如，可以用全等三角形证明两个图形是全等的，从而解决一些复杂的几何问题；在测量问题中，全等三角形可以帮助我们准确地测量未知长度；在实际问题中，全等三角形可以用来分析建筑物的结构，解决实际工程问题等。
在全等三角形的八大基本模型中，SSS、SAS、AAS、RHS和SS是最基本的模型，可以通过这五种模型构建出许多具体的全等三角形问题。
此外，还有模型六HL（斜边-直角边）、模型七AA（两角-一边）和模型八梯形-平行四边形，这些模型在解决一些特殊问题时具有很高的实用价值。
总之，全等三角形作为几何学中的一个重要概念，具有丰富的性质和判定方法，广泛应用于几何证明、测量问题以及实际问题。
专题02 全等三角形中的六种模型梳理
专题02 全等三角形中的六种模型梳理一、概述全等三角形是初中数学中一个重要且常见的概念，对于几何学的学习具有重要的意义。
在全等三角形的学习中，有六种基本模型，它们是解决全等三角形问题的重要工具。
本文将对全等三角形中的六种模型进行深入探讨和梳理，帮助读者更加全面地理解和掌握这一知识点。
二、模型一：SSS全等模型在全等三角形中，如果两个三角形的三条边分别相等，则可以确定它们是全等三角形，这就是SSS全等模型。
如果已知两个三角形的三边分别相等，那么这两个三角形一定是全等的。
模型二：SAS全等模型SAS全等模型是指如果两个三角形的一条边和夹角以及另一边的长度分别相等，则可以确定它们是全等三角形。
如果已知两个三角形的一个角和两边分别相等，那么可以确定这两个三角形是全等的。
模型三：ASA全等模型在全等三角形中，如果两个三角形的一个角和两个角边相等，则可以确定它们是全等三角形，这就是ASA全等模型。
如果已知两个三角形的一个角和两个角边分别相等，那么可以确认这两个三角形是全等的。
模型四：HL全等模型HL全等模型是指如果两个直角三角形的斜边和一个直角边的长度分别相等，则可以确定它们是全等三角形。
如果已知两个直角三角形的斜边和一个直角边的长度分别相等，那么可以确定这两个三角形是全等的。
模型五：LL全等模型LL全等模型是指如果两个三角形的两个角和一个边分别相等，则可以确定它们是全等三角形。
如果已知两个三角形的两个角和一个边分别相等，那么可以确定这两个三角形是全等的。
模型六：对顶全等模型对顶全等模型是指如果两个三角形的两个对顶角和一个边分别相等，则可以确定它们是全等三角形。
如果已知两个三角形的两个对顶角和一个边分别相等，那么可以确定这两个三角形是全等的。
三、总结与回顾通过上述对全等三角形中六种模型的梳理，我们可以发现几何学中的相似和全等的概念是非常重要的。
在实际问题中，我们可以通过判断形状的相似或全等，推断出一些未知的信息，帮助我们解决问题。
中考数学全等三角形的五种模型
结论
①△ABF≌△BCE； ②EC＝AB－FC
模型应用
7. (2016·深圳改编)如图，CB＝CA，∠ACB＝ 90°，点D在边BC上(与B，C不重合)，四边 形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA 的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给 出以下结论：①AC＝FG；②S△FAB∶S四边形 CBFG＝1∶2；③∠ABC＝∠ABF. 其中正确的结论的个数是( )
∵∠1＝∠2，AD⊥FG于D，AH⊥EF于H， ∴AD＝AH， ∵AD＝AB， ∴AH＝AB， 又∵AH⊥EF于H，AB⊥BC于B， ∴AE平分∠BEF，故①正确； ∵AE平分∠BEF， ∴∠AEB＝∠AEH， ∵∠AEB＋∠BAE＝90°，
∠AEH＋∠HAE＝90°， ∴∠BAE＝∠HAE，
又∵EH⊥AH于H，EB⊥AB于B， ∴BE＝HE， ∵BE＝DG， ∴HE＝DG， ∵EF＝HE＋FH，GF＝DG＋FD，EF＝GF， ∴FH＝FD，故②正确； ∵△AEF≌△AGF， ∴S△EAF＝S△GAF. ∵△ABE≌△ADG，
叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在
有如下4个结论：
①△ADG≌△FDG；②GB＝2AG；③∠GDE
＝45°；④DG＝DE.
在以上4个结论中，正确的共有
()
A. 1个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4个
3. C 解析：由折叠可知，DF＝DC＝DA，∠DFE＝ ∠C＝90°， ∴∠DFG＝∠A＝90°， ∴△ADG≌△FDG，①正确； ∵正方形边长是12， ∴BE＝EC＝EF＝6， 设AG＝FG＝x，则EG＝x＋6，BG＝12－x， 由勾股定理，得EG2＝BE2＋BG2， 即(x＋6)2＝62＋(12－x)2，解得x＝4， ∴AG＝GF＝4，BG＝8， ∴BG＝2AG，②正确；
专题四 三角形模型归纳
专题四三角形模型归纳
专题四三角形模型归纳
引言
本文将对三角形模型进行归纳总结，包括三角形的定义、分类、性质和应用等方面内容。
三角形的定义
三角形是由三条线段相连而成的多边形，其中每条线段称为一
条边，相邻两条边的交点称为一个顶点。
三角形的顶点总数恰好是
3个。
三角形的分类
根据边长和角度的关系，三角形可以分为以下几类：
1. 等边三角形：三条边的长度相等。
2. 等腰三角形：两条边的长度相等。
3. 直角三角形：其中一个角为直角（90度）。
4. 钝角三角形：其中一个角大于90度。
5. 锐角三角形：其中所有角都小于90度。
三角形的性质
三角形有许多重要的性质，包括：
1. 角的和定理：三角形的三个内角之和等于180度。
2. 外角定理：三角形的一个内角和与它相邻的外角之和等于180度。
3. 相似三角形：具有相同角度的三角形，对应边的比例相等。
4. 三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
三角形的应用
三角形广泛应用于几何学和实际生活中。
它们可以用于测量地理距离、计算航空航天器的轨迹、建筑设计等领域。
结论
通过对三角形的定义、分类、性质和应用的归纳总结，我们更深入地了解了三角形的特点和作用，为进一步研究和应用三角形提供了基础。
请注意，本文的内容仅供参考，具体问题需要根据实际情况进行具体分析和解决。
三角形常见模型
三角形常见模型三角形，作为几何学中最基本且最常用的图形之一，以其独特的稳定性和多样的形状在各个领域都有广泛的应用。
在数学中，三角形有许多常见的模型，这些模型不仅简化了复杂的问题，还为我们提供了解决各种问题的新视角。
下面，我们将探讨几个常见的三角形模型。
等边三角形，顾名思义，是所有边都相等的三角形。
这种三角形的所有角都是60度，它具有高度的对称性和均衡性。
在几何学中，等边三角形经常被用来作为其他复杂图形的参照物。
在现实生活中，等边三角形的运用也很广泛，比如在建筑设计、工程绘图和计算机图形学等领域。
等腰三角形是两边相等的三角形。
它的两个底角是相等的，顶角与底角的和等于180度。
这种三角形在现实生活中也很常见，比如衣帽架、梯子和平面设计等。
直角三角形是一个角为90度的三角形。
在这个三角形中，斜边是最大的边，两条直角边可以根据勾股定理进行计算。
直角三角形在数学、工程、建筑等领域都有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，直角三角形经常被用来构建稳定的结构。
相似三角形是形状相同但大小不同的三角形。
它们的对应角相等，对应边的比也相等。
在解决一些复杂的问题时，相似三角形的运用可以大大简化计算过程。
例如，在物理学和工程学中，相似三角形被用来解决许多复杂的问题。
以上就是三角形的几种常见模型。
这些模型各有其独特的性质和应用领域，但它们都以各自的方式展示了三角形的魅力和价值。
无论是等边三角形等腰三角形、直角三角形还是相似三角形，它们都在各自的领域中发挥着重要的作用。
这些模型的运用不仅简化了问题的解决过程，也为我们提供了深入理解和探索三角形世界的工具。
全等三角形常用辅助线模型，常见的全等三角形的模型归纳在几何学中，全等三角形是一个重要的概念，它指的是两个或多个三角形，其边长和角大小均相等。
全等三角形的证明和应用在几何学中具有广泛的应用价值。
为了更有效地构造和证明全等三角形，下面将介绍几种常见的全等三角形辅助线模型，并对常见的全等三角形模型进行归纳。
八年级上册数学三角形五种基本模型
八年级上册数学学科包含了各种重要概念和技能，其中三角形的五种基本模型是其中的重要一部分。
在本篇文章中，我们将深入探讨这五种基本模型，包括它们的性质、特点以及在实际问题中的应用。
通过对这些内容的深入讨论，我们可以更好地理解三角形的基本知识，并且可以在解决实际问题时更加灵活地应用这些知识。
让我们来回顾一下三角形的基本概念。
三角形是由三条边和三个角组成的多边形，其中最基本的三角形模型包括等边三角形、等腰三角形、直角三角形、普通三角形和直角等腰三角形。
这五种基本模型在数学中具有重要的地位，不仅在几何学中有着广泛的应用，而且在实际问题中也经常出现。
我们首先来讨论等边三角形。
等边三角形是指三条边长度均相等的三角形。
它有着特殊的性质，例如它的三个内角均相等，每个角都是60度，而且它的高度、中位线和重心重合于同一点。
在实际问题中，等边三角形常常出现在建筑、工程等领域中，例如在建筑设计中，我们常常会使用等边三角形来布局房屋的基础结构，利用它的稳定性来确保建筑物的安全性。
接下来，我们来讨论等腰三角形。
等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。
它也有着特殊的性质，例如它的两个底角相等，而顶角则不一定相等，而且它的高度、中位线和重心也有着特殊的关系。
在实际问题中，等腰三角形也经常出现，在日常生活中，我们可以用等腰三角形的性质来设计各种图案和装饰，从而增加空间的美感和艺术性。
第三个基本模型是直角三角形。
直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
它有着独特的性质，例如勾股定理的适用以及三条边的关系。
直角三角形在实际问题中有着广泛的应用，例如在测量、地理勘测和导航等领域中，我们常常会用到直角三角形的性质来解决实际问题。
接下来是普通三角形，即没有边相等的三角形。
普通三角形具有较为普遍的性质，例如它的三个内角的和为180度，而且它也有着丰富的性质和定理，如三角形内角和定理、外角定理等。
在实际问题中，普通三角形也经常出现，例如在地理测量、建筑设计和工程建设等领域中，我们经常需要利用普通三角形的性质来解决各种实际问题。
三角形的三大模型
“8字形”模型
线段AB 、CD相交于点O，连结AB、CD，我们把这样的基本图形称之为''对顶三角形''。 ''对顶三角形形''有如下性质:∠A+∠D=∠C+∠B。对于求角问题，若图形中含有“8字形”， 运用''8字形''的性质求解。
飞镖模型： 证明结论:∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C
角分线模型：
三角形的两个内(外)角平分线所夹的角与第三个角之间的数量关系： 一、当这两个角为内角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的和(如图1)； 二、当这两个角为外角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的差(如图2)； 三、当这两个角为一内角、一外角时：这个夹角等于第三个角一半(如图3)；
例1、如图1，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＋∠F=_____度。
例5、如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。
飞镖模型应用 如图，已知AB//DE，BF，EF分别平分∠ABC与∠CED交于点F，探索∠BFE与 ∠BCE之间的数量关系，并证明你的结论．
Thank you
解:图中有若干个现成的''8字形''。 ∵∠A+∠B=∠1+∠3 ，∠C+∠D=∠1+∠2，∠E+∠F=∠2+∠3， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2(∠1+∠2+∠3)=2×180°=360°．
例2、求五角星的五个角之和；
例3、如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数。
三角形理论模型
三角形理论模型
三角形理论模型是一种用来描述社会关系的模型，它把社会关系比喻成一个三角形，每个角代表一种关系，比如父母与孩子的关系，朋友之间的关系，甚至是领导与下属之间的关系。
三角形理论模型的核心思想是，社会关系是一种相互依存的关系，每个角都是相互依存的，如果其中一个角发生变化，整个三角形都会受到影响。
比如，父母与孩子之间的关系，如果父母发生变化，孩子也会受到影响，反之亦然。
三角形理论模型的另一个重要思想是，社会关系是一种动态的关系，它不断发生变化，每个角都会受到影响。
比如，父母与孩子之间的关系，随着孩子的成长，父母与孩子之间的关系也会发生变化，父母会更加关心孩子，孩子也会更加尊重父母。
三角形理论模型的最后一个重要思想是，社会关系是一种复杂的关系，它不仅仅是一个三角形，而是一个复杂的网络，
每个角都会受到其他角的影响，比如父母与孩子之间的关系，孩子的朋友也会影响父母与孩子之间的关系。
总之，三角形理论模型是一种有效的描述社会关系的模型，它把社会关系比喻成一个三角形，每个角代表一种关系，它把社会关系描述成一种相互依存的关系，一种动态的关系，一种复杂的网络。
它可以帮助我们更好地理解社会关系，更好地处理社会关系，从而更好地发展社会关系。
一网打尽全等三角形模型-十个模型(解析版)
一网打尽全等三角形模型(10个模型)目录模型梳理题型一倍长中线模型题型二一线三等角模型题型三半角模型2022·山东日照真题题型四手拉手模型2022·张家界真题2022·贵阳中考题型五对角互补+邻边相等模型题型六平行线夹中点模型题型七截长补短模型题型八绝配角模型2023·深圳宝安区二模2023·深圳中学联考二模题型九婆罗摩笈模型2022武汉·中考真题2020·宿迁中考真题题型十脚蹬脚模型(海盗埋宝藏)模型梳理模型1倍长中线模型(一)基本模型已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到点E，使ED=AD，连接BE．结论1：△ACD≌△EBD．已知：在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AB边上一点，连接ED，延长ED到点F，使DF=DE，连接CF．结论2：△BDE≌△CDF．(二)结论推导结论1：△ACD≌△EBD．证明：∵AD是BC边上的中线，∴CD=BD．∵∠ADC=∠EDB，AD=ED，∴△ACD≌△EBD．结论2：△BDE≌△CDF．证明：∵点D是BC边的中点，∴BD=CD．∵∠BDE=∠CDF，DE=DF，∴△BDE≌△CDF．(三)解题技巧遇到中点或中线，则考虑使用“倍长中线模型”，即延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，构造出全等三角形．模型2一线三等角模型(一)基本模型已知：点P在线段AB上，∠1=∠2=∠3，AP=BD(或AC=BP或CP=PD)．结论1：△CAP≌△PBD．已知：点P在AB的延长线上，∠1=∠2=∠3，AP=BD(或AC=BP或CP=PD)．结论2：△APC≌△BDP．(二)结论推导结论1：△CAP≌△PBD．证明：∵∠1+∠C+∠APC=180°，∠2+∠BPD+∠APC=180°，∠1=∠2，∴∠C=∠BPD．∵∠1=∠3，AP=BD(或AC=BP或CP=PD)，∴△CAP≌△PBD．结论2：△APC≌△BDP．证明：∵∠1=∠C+∠APC，∠2=∠BPD+∠D，∠3=∠BPD+∠APC，∠1=∠2=∠3，∴∠C=∠BPD，∠APC=∠D．∵AP=BD(或AC=BP或CP=PD)，∴△APC≌△BDP．(三)解题技巧在一条线段上出现三个相等的角，且有一组边相等时，则考虑使用一线三等角全等模型．找准三个等角，再根据平角性质、三角形内角和进行等角代换，判定三角形全等，然后利用全等三角形的性质解题．一线三等角模型常以等腰三角形、等边三角形、四边形(正方形或矩形)为背景，在几何综合题中考查．模型3半角模型(一)基本模型等边三角形含半角已知：△ABC是等边三角形，D为△ABC外一点，∠BDC=120°，BD=CD，点E，F分别在AB，AC上，∠EDF=60°．结论1：EF=BE+CF，∠DEB=∠DEF，∠DFC=∠DFE．正方形含半角已知：四边形ABCD是正方形，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF=45°．结论2：EF=BE+DF，∠AEB=∠AEF，∠AFD=∠AFE．等腰直角三角形含半角已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D，E在BC上，∠DAE=45°．结论3：DE2=BD2+CE2．(二)结论推导结论1：EF=BE+CF，∠DEB=∠DEF，∠DFC=∠DFE．证明：延长AC到点G，使CG=BE，连接DG．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°．∵∠BDC=120°，BD=CD，∴∠DBC=∠DCB=30°，∴∠DBE=∠DCF=90°，∴∠DBE=∠DCG=90°，∴△BDE≌△CDG，∴DE=DG，∠DEB=∠G，∠BDE=∠CDG．∵∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠CDG+∠CDF=60°，即∠GDF=60°．∵DF=DF，∴△DEF≌△DGF，∴EF=FG，∠DEF=∠G，∠DFC=∠DFE．∴∠DEB=∠DEF．∵FG=CG+CF，∴EF=BE+CF．结论2：EF=BE+DF，∠AEB=∠AEF，∠AFD=∠AFE．证明：延长CB到点G，使BG=DF，连接AG．∵正方形ABCD，∴∠ABG=∠D=90°，AB=AD，∴△ABG≌△ADF，∴AG=AF，∠G=∠AFD，∠BAG=∠DAF．∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠BAE+∠BAG=45°，即∠EAG=45°．∵AE=AE，∴△AEF≌△AEG，∴EF=EG，∠AEB=∠AEF，∠AFE=∠G．∴∠AFD=∠AFE．∵EG=BE+BG，∴EF=BE+DF．结论3：DE2=BD2+CE2．证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°到△ACF，连接EF．∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠ACF=∠B=45°，∴∠ECF=90°，∴EF2=CF2+CE2=BD2+CE2，∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠CAE=45°，∴∠CAF+∠CAE=45°，即∠FAE=45°．∵AE=AE，∴△AEF≌△AED，∴EF=DE，∴DE2=BD2+CE2．(三)解题技巧对于半角模型，一般情况下都需要做辅助线(延长或旋转)，构造全等，通过等量代换得到相关的结论．模型4手拉手模型(一)基本模型已知：在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，连接BD，CE相交于O，连接OA．结论1：△ABD≌△ACE，BD=CE，结论2：∠BOC=∠BAC，结论3：OA平分∠BOE．(二)结论推导结论1：△ABD≌△ACE，BD=CE．证明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE．∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE．结论2：∠BOC=∠BAC．证明：设OB与AC相交于点F．∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD=∠ACE．∵∠AFB=∠OFC，∴∠BOC=∠BAC．结论3：OA平分∠BOE．证明：过点A分别做BD，CE的垂线，垂足为G，H．∵△ABD≌△ACE，∴S△ABD=S△ACE，∴12BD⋅AG=12CE⋅AH．∵BD=CE，∴AG=AH，∴OA平分∠BOE．(三)解题技巧如果题目中出现两个等腰三角形，可以考虑连接对应的顶点，用旋转全等模型；如果只出现一个等腰三角形，可以用旋转的方法构造旋转全等．模型5对角互补+邻边相等模型模型解读：通过做垂线或者利用旋转构造全等三角形解决问题。
全等三角形13种基本模型
序号
模型名称
描述与判定方法
1
边边边（SSS）
三边对应相等的两个三角形全等。
2
边角边（SAS/边-角-边）
两边பைடு நூலகம்它们之间的夹角对应相等的两个三角形全等。
3
角边角（ASA/角-边-角）
两角及它们之间的夹边对应相等的两个三角形全等。
4
角角边（AAS/角-角-边）
两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
12
“构造等腰三角形”型全等
通过添加辅助线构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质证明全等。
13
“构造平行四边形”型全等
通过添加辅助线构造平行四边形，利用平行四边形的性质（对边相等、对角相等）证明全等。
5
斜边、直角边（HL/直角三角形的HL）
在直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（仅适用于直角三角形）。
6
“K”型全等
通过构造辅助线，形成两个具有公共边的三角形，利用SAS或ASA证明全等。
7
“X”型全等
通过两条相交线形成的四个三角形，利用对顶角相等和公共边证明全等。
8
“中线”型全等
利用三角形中线性质（中线将对边平分），结合其他条件证明全等。
9
“角平分线”型全等
利用角平分线性质（角平分线上的点到角两边距离相等），结合其他条件证明全等。
10
“高”型全等
利用三角形高（从顶点垂直于对边或对边的延长线）的性质证明全等。
11
“中位线”型全等
利用三角形中位线性质（中位线平行于第三边且等于第三边的一半），结合其他条件证明全等。
三角形旋转全等常见模型
1•绕点型（手拉手模型）（1 ）自旋转:自旋转构造放方法：①遇60°旋60°,构造等边三角形;②遇90°旋90°，构造等腰直角三角形;③遇等腰旋转顶角，构造旋转全等;④遇中点180°，构造中心对称。
（2）共旋转（典型的手拉手模型）例1、在直线ABC的同一侧作两个等边三角形4ABD和aBCE,连接AE与CD,证明：(1)A ABE^A DBC(2)) AE=DC(3)AE与DC的夹角为60。
(4)A AGB^A DFB(5)A EGB^A CFB(6)BH 平分N AHC(7)GFllAC变式练习1、如果两个等边三角形4ABD和aBCE,连接AE与CD,证明：(1) A ABE^A DBC(2 ) AE=DC(3)AE与DC的夹角为60。
(4)AE与DC的交点设为H,BH平分N AHC变式练习2、如果两个等边三角形MBD和aBCE,连接AE与CD,证明：⑴MBE空4DBC(2)AE=DC(3)AE与DC的夹角为60。
(4)AE与DC的交点设为H,BH平分N AHC(1)如图1,点C是线段AB上一点，分别以AC, BC为边在AB的同侧作等边MCM和4BN，连接AN,BM .分别取BM , AN的中点E,F,连接CE,CF,EF .观察并猜想^CEF的形状，并说明理由.（2）若将（1）中的“以AC, BC为边作等边MCM和482 改为“以AC, BC为腰在AB的同侧作等腰4ACM和4BN，〃如图2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由.例4、例题讲解：1.已知^ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B,C重合），以AD为边作菱形ADEF（按A,D,E,F逆时针排列），使NDAF=60°,连接CF.⑴如图1,当点D在边BC上时，求证：①BD=CF ,②AC=CF+CD.（2）如图2,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系。
直角三角形常见的几何模型
直角三角形常见的几何模型
直角三角形是一种拥有一个直角（90度角）的三角形。
在几何学中，有几个常见的直角三角形模型，它们具有特定的性质和特点。
1. 3-4-5直角三角形
3-4-5直角三角形是最简单和最常见的直角三角形模型之一。
它的三边长度比为3:4:5。
这意味着其中一条边长度为3，另一条边
长度为4，而斜边的长度为5。
这个比例关系使得计算三角形的各
个角度和边长变得更容易。
2. 45-45-90直角三角形
45-45-90直角三角形是另一种常见的直角三角形模型。
它的两
边长度相等，而斜边是边长的根号2倍。
这个模型常用于切割和拼
接方形或矩形的技术中。
3. 30-60-90直角三角形
30-60-90直角三角形是具有特殊角度关系的直角三角形。
它的角度分别为30度、60度和90度。
它的最短边与最长边长度的比为1:2，最短边和中间边的比为1:√3，中间边和最长边的比为√3:2。
这个模型在三角函数中经常被用于计算三角函数值。
这些直角三角形模型在几何学和数学中都有广泛的应用。
它们的特点和性质使得它们成为解决各种问题的基本工具。
熟悉这些模型可以帮助我们更好地理解和应用几何学的原理和方法。
> 注意：以上内容仅供参考，不得用于任何法律目的。
确保在几何计算中使用正确的公式和技巧，以得到准确的结果。
全等三角形八大基本模型
全等三角形八大基本模型摘要：1.全等三角形的定义与性质2.全等三角形的八大基本模型1.手拉手模型2.一线三垂直模型3.一线三等角模型4.等腰三角形中边边角模型5.背对背模型6.半角旋转模型7.角分线模型8.正方形手拉手模型正文：全等三角形是指两个三角形的对应边和对应角分别相等的三角形。
在解决全等三角形问题时，我们需要了解全等三角形的定义和性质，同时掌握一些常用的模型。
本文将介绍全等三角形的八大基本模型，希望能帮助大家更好地理解和解决全等三角形问题。
1.手拉手模型：两个三角形通过一个公共边，并且这个公共边的两个相邻角分别相等。
2.一线三垂直模型：两个三角形有一个公共边，并且这个公共边的两个相邻角分别相等，同时还有另一条公共边上的一个角与另一个角的补角相等。
3.一线三等角模型：两个三角形有一个公共边，并且这个公共边上的三个角分别相等。
4.等腰三角形中边边角模型：两个等腰三角形，其中一个等腰三角形的底边与另一个等腰三角形的腰相等，同时这两个等腰三角形的底角分别相等。
5.背对背模型：两个三角形分别有一个角和另一个角的补角相等，且这两个三角形的另一条边分别相等。
6.半角旋转模型：两个三角形有一个公共边，并且这个公共边的两个相邻角中有一个角是另一个角的一半。
7.角分线模型：两个三角形有一个公共边，并且这个公共边上的一个角平分另一个角。
8.正方形手拉手模型：两个正方形，其中一个正方形的边与另一个正方形的对角线相等。
在解决全等三角形问题时，我们可以根据题目所给的条件，结合全等三角形的性质和八大基本模型，通过适当的变换和推理，证明两个三角形全等。
角度三角形常见的几何模型
角度三角形常见的几何模型角度三角形是指三边的长度已知，而三个角度未知的三角形。
在几何学中，角度三角形有几种常见的模型，用于求解角度和相关的几何问题。
本文将介绍一些常见的角度三角形模型。
1. 等边三角形（Equilateral Triangle）等边三角形是一种特殊的角度三角形，其三个边长相等，每个角度都是60度。
等边三角形常见的性质有：- 三个角度都相等，每个角都是60度。
- 三个边长相等。
等边三角形常用于证明一些几何定理，如等腰三角形和正三角形的性质。
2. 直角三角形（Right-angled Triangle）直角三角形是一种其中一个角是直角（90度）的角度三角形。
直角三角形的性质包括：- 一个角是90度。
- 另外两个角的和为90度。
- 边长之间满足勾股定理：直角边的平方等于其他两边的平方和。
直角三角形在勾股定理的证明和三角函数的定义中经常出现。
3. 等腰三角形（Isosceles Triangle）等腰三角形是一种至少有两边长相等的角度三角形。
等腰三角形的性质有：- 至少有两个角是相等的。
- 两边的长度相等。
- 两个底角的和等于顶角。
等腰三角形常见的应用包括找到等腰三角形的高、证明等腰三角形的性质等。
以上是常见的角度三角形的几何模型。
通过了解这些模型的性质和特点，我们可以在几何问题中更好地理解和应用角度三角形的知识。
参考文献：1. 高等数学朱建平主编北京：高等教育出版社, 2015.2. 高中数学达尔文高中数学课程研究中心编著北京：三星教育出版社, 2013.3. Euclidean Geometry: A Guided Inquiry Approach David M. Clark, Thomas Q. Sibley, Springer, 2016.。
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营销战略三角模型
营销战略三角模型
公司战略 ：不是要做什么，而是限制不能做什么 过程是：公司通过市场细分来识别市场中各种类型的需求群体；从中选择企业想要和能够服务的目标 市场，然后，企业必须建立一个清楚的定位，以求在购买者心理找到合适的位置。 （1） 市场细分：常见的细分变量有地理、人口、心理（生活方式）、行为等四种。四种细分各有千 秋：地理或人口细分便于操作，而心理与行为细分则能清楚描绘特定购买群的特征。 （2） 目标市场：在选择正确的目标市场时，有四个标准应当考虑：细分市场的大小、细分市场成长 潜力、公司竞争优势以及公司的竞争地位。通过这些标准的衡量，公司可以选择到既与其目标又与其 资源相匹配的目标细分市场。 （3） 市场定位：定位应与公司优势相匹配、定位应被顾客正面接受（喜欢和信任）、定位应持续一 段时间。
营销战略三角模型
公司价值：价值可用"总收入"与"总支出"之比来衡量（从顾客的角度）。"总收入"包括顾客获得的所有利 益（如产品的功能利益、方便性等等）。而"总支出"是顾客为获得这些利益必须付出的东西（如产品价 格、运费等等）。 基本的价值战略有五种：第一种是多对少，即顾客获得更多的利益却支付了更少的成本（与竞争者 相比，下同）；第二种是多对同，即顾客获得更多的利益却支付了相同的成本；第三种是同对少，即顾 客获得相同的利益却支付了更少的成本；第四种是多对多，即顾客获得更多的利益却支付了更多的成本； 第五种是少对少，即顾客获得更少的利益也支付了更少的成本。 (1) 品牌：对于顾客和潜在顾客来说，价值指示器--品牌显示了公司的属性、利益、价值、文化和个性。 (2) 服务：服务已不仅仅指售前或售后服务，它已成为市场竞争的一大利器，应当用大写的"S"表示（服 务的英文是"Service"）。事实上，每想业务都是一个服务过程。 (3) 流程：以上所述的八个要素还应有好的流程来组织。最重要的流程主要有三种：供给链治理、基于市 场的资本治理和新产品开发。供给链治理的目的是使供给链中的成本最小化；基于市场的资本治理的目 的是使所有基于市场的资本最优化（如对业务环境状况的把握、公司与各利益相关者之间的关系等）； 新产品开发则旨在生产革新产品和使生产流程达到最高效率。
体如何做。战术包括三个要素：差异化、营销组合和销售。差异 化是"核心"战术。差异化需要在营销组合中得以体现。 （1） 差异化 ：公司可以在三个层面实施差异化：内容（提供什么）、背景（如何提供）以及基础设 施（提供的辅助物）。“内容”是核心部分，是公司为顾客实际提供的东西；“背景”是辅助部分， 它是关于公司为帮助顾客“感受”提供物的差异性而做的努力；“基础设施”包括技术或人，用以支 持内容和背景的差异化。 （2） 营销组合：为使差异性有效，公司必须构建一个适当的营销组合，既众所周知的4Ps。其中，产 品和价格是价值的提供部分，渠道和促销是价值的传递部分。 （3） 销售：差异化和营销组合还需销售来支持。针对质量导向型（偏重产品质量）、价值导向型 （偏重价格与品质的平衡）或价格导向型（偏重价格）的目标市场，公司可以选择适当的销售技巧。
营销战略三角模型
该战略模型由三个维度构成：公司战略、公司战术和公司价值。 这三个维度又可细分成九个要素，分别是：市场细分、目标市场、市场定位、差异化、营销组合、 销售、品牌、服务、流程。 公司战略，旨在赢得“心智份额”，即在顾客的心智中占据一定的位置，核心要素是定位； 公司战术，是为了赢得“ 市场份额”，即用与众不同的营销策略来吸引顾客，核心要素是差异化； 公司价值，则意在“心理份额”，即使顾客内心接受，核心要素是品牌。 事实上，这三个核心要素是相互支持的整合关系，定位是企业对顾客作出的承诺，这个承诺应当具 有差异性，一旦这个差异性为顾客带来价值，酒会产生一个强势品牌，强势品牌又支持了定位。该 三角模型其实是一个战略业务架构，其意义在于：在经营环境不确定时，企业可依此更加系统化和 整合化地开展业务活动。