2019-2020学年北京市海淀区清华附中八年级(上)期中数学试卷解析版
2019-2020学年北京师大附属实验中学八年级(上)期中数学试卷 (解析版)
2019-2020学年北京师大附属实验中学八年级（上）期中数学试卷一．选择题（共10小题）1．在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列说法正确的是（）A．形状相同的两个三角形全等B．面积相等的两个三角形全等C．完全重合的两个三角形全等D．所有的等边三角形全等3．点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（﹣2，5）B．（2，5）C．（﹣2，﹣5）D．（2，﹣5）4．如图所示，△ABC≌△ECD，∠A＝48°，∠D＝62°，则图中∠B的度数是（）A．38°B．48°C．62°D．70°5．下列各式分解因式正确的是（）A．（a2+b2）﹣（a+b）＝（a+b）（a+b﹣1）B．3x2﹣6xy﹣x＝x（3x﹣6y）C．a2b2﹣ab3＝ab2（4a﹣b）D．x2﹣5x+6＝（x﹣1）（x﹣6）6．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是（）A．AM＝BM B．AP＝BN C．∠MAP＝∠MBP D．∠ANM＝∠BNM 7．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条角平分线的交点8．如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD 的度数为（）A．65°B．60°C．55°D．45°9．平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（0，2）若在坐标轴上取C点，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）A．4B．6C．7D．810．如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）A．1个B．2个C．3个D．3个以上二．填空题（共8小题）11．已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是．12．已知一个多边形的内角和与它的外角和正好相等，则这个多边形是边形．13．如果x2+mx+1＝（x+n）2，且m＞0，则n的值是．14．如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为．15．若等腰三角形的一个角等于120°，则它的底角的度数为．16．如图，△ABC中，AB＝14，AM平分∠BAC，∠BAM＝15°，点D、E分别为AM、AB 的动点，则BD+DE的最小值是．17．已知a+b＝4，ab＝﹣5，则﹣ab＝．18．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当P A＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为．三．解答题19．因式分解：2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）20．因式分解：（2a+b）2﹣（a+2b）221.如图，已知A（1，2），B（3，1），C（4，3）．（1）作△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，写出点C1的坐标；（2）直线m平行于x轴，在直线m上求作一点P使得△ABP的周长最小，请在图中画出P点．22.如图，长方形台球桌ABCD上有两个球P，Q．（1）请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边AB反弹后，正好撞到球Q；（2）请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q；23.如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，∠A＝∠D．（1）求证：AC∥DE；（2）若BF＝13，EC＝5，求BC的长．24.如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O（1）求证：OB＝OC；（2）若∠ABC＝50°，求∠BOC的度数．25.对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1，可以得到（a+a）2＝a2+2aa+a2这个等式，请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式．（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式．（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+a2+a2＝．（4）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张长宽分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+4b）的长方形，则x+y+z＝．26.我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似的，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等边四边形．（1）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，设CD，BE相交于点O，若∠A ＝60°，∠DCB＝∠EBC＝∠A．请你写出图中一个与∠A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形？（2）在△ABC中，如果∠A是不等于60°的锐角，点D，E分别在AB，AC上，且∠DCB＝∠EBC═∠A．探究：满足上述条件的图形是否存在等对边四边形，并证明你的结论．27.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”．（1）请说明28是否为“神秘数”；（2）下面是两个同学演算后的发现，请选择一个“发现”，判断真假，并说明理由．①小能发现：两个连续偶数2k+2和2k（其中k取非负整数）构造的“神秘数”也是4的倍数．②小仁发现：2016是“神秘数”．28.在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形．有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题：（1）非等边的等腰三角形有条对称轴，非正方形的长方形有条对称轴，等边三角形有条对称轴；（2）观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有1条对称轴，其中图2和图3都可以看作由图1修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图4和图5中，分别修改图2和图3，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形；（3）小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图6中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形；（4）请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴．29.（1）如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，填空：当点A位于时，线段AC的长取到最大值，且最大值为；（用含a、b的式子表示）．（2）如图2，若点A为线段BC外一动点，且BC＝6，AB＝3，分别以AB，AC为边，作等边△ABD和等边△ACE，连接CD，BE．①图中与线段BE相等的线段是线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值为．（3）如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（10，0），点P为线段AB外一动点，且P A＝4，PM＝PB，∠BPM＝90°，请直接写出线段AM长的最大值为，及此时点P的坐标为．（提示：等腰直角三角形的三边长a、b、c满足a：b：c＝1：1：）2019-2020学年北京师大附属实验中学八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A、不是轴对称图形，故选项错误；B、是轴对称图形，故选项正确；C、不是轴对称图形，故选项错误；D、不是轴对称图形，故选项错误．故选：B．2．下列说法正确的是（）A．形状相同的两个三角形全等B．面积相等的两个三角形全等C．完全重合的两个三角形全等D．所有的等边三角形全等【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形，以及全等三角形的判定定理可得答案．【解答】解：A、形状相同的两个三角形全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个三角形全等；B、面积相等的两个三角形全等，说法错误；C、完全重合的两个三角形全等，说法正确；D、所有的等边三角形全等，说法错误；故选：C．3．点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（﹣2，5）B．（2，5）C．（﹣2，﹣5）D．（2，﹣5）【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而得出答案．【解答】解：∵点P（2，﹣5）关于x轴对称，∴对称点的坐标为：（2，5）．故选：B．4．如图所示，△ABC≌△ECD，∠A＝48°，∠D＝62°，则图中∠B的度数是（）A．38°B．48°C．62°D．70°【分析】用△ABC≌△ECD求出∠E＝∠A＝48°，再运用三角形内角和求出∠ECD和∠ACB，从而得到结论．【解答】解：∵△ABC≌△ECD，∠A＝48°，∠D＝62°，点B、C、D在同一直线上∴∠ACB＝∠D＝62°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝70°，故选：D．5．下列各式分解因式正确的是（）A．（a2+b2）﹣（a+b）＝（a+b）（a+b﹣1）B．3x2﹣6xy﹣x＝x（3x﹣6y）C．a2b2﹣ab3＝ab2（4a﹣b）D．x2﹣5x+6＝（x﹣1）（x﹣6）【分析】各项分解得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式不能分解，不符合题意；B、原式＝x（3x﹣6y﹣1），不符合题意；C、原式＝ab2（4a﹣b），符合题意；D、原式＝（x﹣2）（x﹣3），不符合题意，故选：C．6．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是（）A．AM＝BM B．AP＝BN C．∠MAP＝∠MBP D．∠ANM＝∠BNM 【分析】根据直线MN是四边形AMBN的对称轴，得到点A与点B对应，根据轴对称的性质即可得到结论．【解答】解：∵直线MN是四边形AMBN的对称轴，∴点A与点B对应，∴AM＝BM，AN＝BN，∠ANM＝∠BNM，∵点P时直线MN上的点，∴∠MAP＝∠MBP，∴A，C，D正确，B错误，故选：B．7．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条角平分线的交点【分析】因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．【解答】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，∴到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．故选：D．8．如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD 的度数为（）A．65°B．60°C．55°D．45°【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠C＝∠DAC，求得∠DAC＝30°，根据三角形的内角和得到∠BAC＝95°，即可得到结论．【解答】解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，则AD＝DC，故∠C＝∠DAC，∵∠C＝30°，∴∠DAC＝30°，∵∠B＝55°，∴∠BAC＝95°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝65°，故选：A．9．平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（0，2）若在坐标轴上取C点，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）A．4B．6C．7D．8【分析】分为AB＝AC、BC＝BA，CB＝CA三种情况画图判断即可．【解答】解：如图所示：当AB＝AC时，符合条件的点有3个；当BA＝BC时，符合条件的点有3个；当点C在AB的垂直平分线上时，符合条件的点有一个．故符合条件的点C共有7个．故选：C．10．如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）A．1个B．2个C．3个D．3个以上【分析】如图在OA、OB上截取OE＝OF＝OP，作∠MPN＝60°，只要证明△PEM≌△PON即可推出△PMN是等边三角形，由此即可得结论．【解答】解：如图在OA、OB上截取OE＝OF＝OP，作∠MPN＝60°．∵OP平分∠AOB，∴∠EOP＝∠POF＝60°，∵OP＝OE＝OF，∴△OPE，△OPF是等边三角形，∴EP＝OP，∠EPO＝∠OEP＝∠PON＝∠MPN＝60°，∴∠EPM＝∠OPN，在△PEM和△PON中，，∴△PEM≌△PON．∴PM＝PN，∵∠MPN＝60°，∴△PNM是等边三角形，∴只要∠MPN＝60°，△PMN就是等边三角形，故这样的三角形有无数个．故选：D．二．填空题（共8小题）11．已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是10．【分析】根据任意两边之和大于第三边，知道等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，把三条边的长度加起来就是它的周长．【解答】解：因为2+2＝4，所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，周长：4+4+2＝10，答：它的周长是10，故答案为：1012．已知一个多边形的内角和与它的外角和正好相等，则这个多边形是四边形．【分析】根据多边形的外角和为360°，由一个多边形的内角和与它的外角和正好相等，得到内角和，再根据多边形的内角和定理即可得到多边形的边数．【解答】解：∵多边形的外角和为360°，而一个多边形的内角和与它的外角和正好相等，设这个多边形为n边形，∴（n﹣2）•180°＝360°，∴n＝4，故答案为：四．13．如果x2+mx+1＝（x+n）2，且m＞0，则n的值是1．【分析】先根据两平方项确定出这两个数，即可确定n的值．【解答】解：∵x2+mx+1＝（x+n）2＝x2+2nx+n2∴m＝2n，n2＝1，∵m＞0，∴n＝1．故答案为：1．14．如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为13．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，则△BCE的周长＝BC+EC+EB＝BC+EC+EA＝BC+AC＝13，故答案为：13．15．若等腰三角形的一个角等于120°，则它的底角的度数为30°．【分析】因为三角形的内角和为180°，所以120°只能为顶角，从而可求出底角．【解答】解：∵等腰三角形的两底角相等，∴120°只能是等腰三角形的顶角，∴底角为：（180°﹣120°）÷2＝30°．故答案为：30°．16．如图，△ABC中，AB＝14，AM平分∠BAC，∠BAM＝15°，点D、E分别为AM、AB 的动点，则BD+DE的最小值是7．【分析】根据题意可以画出相应的图形，然后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可以解答本题．【解答】解：作BF⊥AC于点F，如右图所示，∵在△ABC中，AB＝14，AM平分∠BAC，∠BAM＝15°，∠BF A＝90°，∴∠BAC＝30°，∴AB＝2BF，∴BF＝7，∵AM平分∠BAC，点D、E分别为AM、AB的动点，F∴BD+DE的最小值是BF，∴BD+DE＝7，故答案为：7．17．已知a+b＝4，ab＝﹣5，则﹣ab＝18．【分析】直接利用完全平方公式将原式变形进而把已知代入求出答案．【解答】解：﹣ab＝＝，∵a+b＝4，ab＝﹣5，∴原式＝＝18．故答案为：18．18．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当P A＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为．【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP＝PF＝QC，根据等腰三角形性质求出EF＝AE，证△PFD≌△QCD，推出FD＝CD，推出DE＝AC即可．【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形，∴AP＝PF＝AF，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ．∵在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD＝CD，∵AE＝EF，∴EF+FD＝AE+CD，∴AE+CD＝DE＝AC，∵AC＝1，∴DE＝．故答案为：．三．解答题19．因式分解：2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）【分析】直接找出公因式（a﹣b），进而提取公因式得出答案．【解答】解：2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）＝2m（a﹣b）+3n（a﹣b）＝（a﹣b）（2m+3n）．20．因式分解：（2a+b）2﹣（a+2b）2【分析】直接利用平方差公式法分解因式得出答案．【解答】解：原式＝（2a+b+a+2b）（2a+b﹣a﹣2b）＝3（a+b）（a﹣b）．21.如图，已知A（1，2），B（3，1），C（4，3）．（1）作△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，写出点C1的坐标；（2）直线m平行于x轴，在直线m上求作一点P使得△ABP的周长最小，请在图中画出P点．【考点】P7：作图﹣轴对称变换；PA：轴对称﹣最短路线问题．【专题】13：作图题．【分析】（1）首先确定A、B、C三点关于y轴的对称点位置，再连接即可；（2）根据轴对称进行画图即可．【解答】解：（1）如图1所示：C1（﹣4，3）；（2）如图2所示：点P即为所求．22.如图，长方形台球桌ABCD上有两个球P，Q．（1）请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边AB反弹后，正好撞到球Q；（2）请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q；【考点】P1：生活中的轴对称现象．【专题】13：作图题；558：平移、旋转与对称；69：应用意识．【分析】（1）作点P关于AB是对称点P′，连接QP′交AB于M，点M即为所求．（2）作点P关于AB是对称点P′，点Q关于BC的对称点Q′，连接QP′交AB于E，交BC于F，点E，点F即为所求．【解答】解：（1）如图，点M即为所求．（2）如图，点E，点F即为所求．23.如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，∠A＝∠D．（1）求证：AC∥DE；（2）若BF＝13，EC＝5，求BC的长．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【分析】（1）首先证明△ABC≌△DFE可得∠ACE＝∠DEF，进而可得AC∥DE；（2）根据△ABC≌△DFE可得BC＝EF，利用等式的性质可得EB＝CF，再由BF＝13，EC＝5进而可得EB的长，然后可得答案．【解答】（1）证明：在△ABC和△DFE中，∴△ABC≌△DFE（SAS），∴∠ACE＝∠DEF，∴AC∥DE；（2）解：∵△ABC≌△DFE，∴BC＝EF，∴CB﹣EC＝EF﹣EC，∴EB＝CF，∵BF＝13，EC＝5，∴EB＝＝4，∴CB＝4+5＝9．24.如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O（1）求证：OB＝OC；（2）若∠ABC＝50°，求∠BOC的度数．【考点】KH：等腰三角形的性质．【分析】（1）首先根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，然后利用高线的定义得到∠ECB＝∠DBC，从而得证；（2）首先求出∠A的度数，进而求出∠BOC的度数．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD、CE是△ABC的两条高线，∴∠BEC＝∠BDC＝90°∴△BEC≌△CDB∴∠DBC＝∠ECB，BE＝CD在△BOE和△COD中∵∠BOE＝∠COD，BE＝CD，∠BEC＝∠BDE＝90°∴△BOE≌△COD，∴OB＝OC；（2）∵∠ABC＝50°，AB＝AC，∴∠A＝180°﹣2×50°＝80°，∴∠DOE+∠A＝180°∴∠BOC＝∠DOE＝180°﹣80°＝100°．25.对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1，可以得到（a+a）2＝a2+2aa+a2这个等式，请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式．（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+a2+a2＝30．（4）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张长宽分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+4b）的长方形，则x+y+z＝15．【考点】4B：多项式乘多项式；4D：完全平方公式的几何背景．【专题】512：整式；69：应用意识．【分析】（1）依据正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，可得等式；（2）运用多项式乘多项式进行计算即可；（3）依据a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，进行计算即可；（4）依据所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，而（2a+b）（a+4b）＝2a2+8ab+ab+4b2＝2a2+4b2+9ab，即可得到x，y，z的值，即可求解．【解答】解：（1）∵正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）证明：（a+b+c）（a+b+c），＝a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2，＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（3）a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，＝102﹣2（ab+ac+bc），＝100﹣2×35，＝30．故答案为：30；（4）由题可知，所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，∵（2a+b）（a+4b），＝2a2+8ab+ab+4b2，＝2a2+4b2+9ab，∴x＝2，y＝4，z＝9．∴x+y+z＝2+4+9＝15．故答案为：15．26.我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似的，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等边四边形．（1）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，设CD，BE相交于点O，若∠A ＝60°，∠DCB＝∠EBC＝∠A．请你写出图中一个与∠A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形？（2）在△ABC中，如果∠A是不等于60°的锐角，点D，E分别在AB，AC上，且∠DCB＝∠EBC═∠A．探究：满足上述条件的图形是否存在等对边四边形，并证明你的结论．【考点】LO：四边形综合题．【专题】553：图形的全等；554：等腰三角形与直角三角形；67：推理能力．【分析】（1）利用三角形的外角的性质，求出∠BOD即可解决问题，通过证明△BGO≌△CFO，再证△BGD≌△CFE，可得BD＝CE，即可求解；（2）可证△BGO≌△CFO，再证△BGD≌△CFE，可得到结论BD＝CE．【解答】解：（1）∵∠A＝60°，∠DCB＝∠EBC＝∠A，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∴∠BOD＝∠EOC＝∠OBC+∠OCB＝60°，∴与∠A相等的角是∠BOD，∠EOC．如图1，过点B作BG⊥CD于G，过点C作CF⊥BE于F．∵∠DCB＝∠EBC＝∠A，∴OB＝OC，在△BGO和△CFO中，，∴△BGO≌△CFO（AAS），∴BG＝CF，∵∠BOD＝∠A，∴∠BDG＝∠BOD+∠ABE＝∠A+∠ABE＝∠CEF，∵∠BDG＝∠CEF，∠BGD＝∠CEF＝90°，BG＝CE，∴△BGD≌△CFE（AAS）∴BD＝CE，∴四边形BCED是等对边四边形；（3）结论：四边形BCED是等对边四边形．理由如下：如图2中，作BG⊥CD于G，CF⊥BE于F．∵∠DCB＝∠EBC＝∠A，∴OB＝OC，在△BGO和△CFO中，，∴△BGO≌△CFO（AAS），∴BG＝CF，∵∠BOD＝∠A，∴∠A+∠DOE＝180°，∠ADO+∠AEO＝180°，∵∠AEO+∠CEF＝180°，∠ADO＝∠BDG，∴∠BDG＝∠CEF，∵∠BDG＝∠CEF，∠BGD＝∠CEF＝90°，BG＝CE，∴△BGD≌△CFE（AAS）∴BD＝CE，∴四边形BCED是等对边四边形．27.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”．（1）请说明28是否为“神秘数”；（2）下面是两个同学演算后的发现，请选择一个“发现”，判断真假，并说明理由．①小能发现：两个连续偶数2k+2和2k（其中k取非负整数）构造的“神秘数”也是4的倍数．②小仁发现：2016是“神秘数”．【考点】59：因式分解的应用．【专题】23：新定义；512：整式；67：推理能力．【分析】（1）根据题意，可以写出28是否可以表示为两个连续的偶数的平方之差，从而可以解答本题；（2）选择其中的一个，先判断，然后说明理由即可．【解答】解：（1）∵28＝82﹣62，∴28是神秘数；（2）当选择①时，两个连续偶数2k+2和2k（其中k取非负整数）构造的“神秘数”也是4的倍数是真命题，理由：∵（2k+2）2﹣（2k）2＝4k2+8k+4﹣4k2＝8k+4，k取非负整数，∴8k+4一定能被4整除，∴两个连续偶数2k+2和2k（其中k取非负整数）构造的“神秘数”也是4的倍数；当选择②时，2016是“神秘数”是假命题，理由：∵（2k+2）2﹣（2k）2＝4k2+8k+4﹣4k2＝8k+4，令8k+4＝2016，得k＝251.5，∵k为非负整数，∴k＝251.5不符合实际，舍去，∴2016是“神秘数”错误．28.在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形．有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题：（1）非等边的等腰三角形有1条对称轴，非正方形的长方形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴；（2）观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有1条对称轴，其中图2和图3都可以看作由图1修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图4和图5中，分别修改图2和图3，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形；（3）小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图6中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形；（4）请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴．【考点】38：规律型：图形的变化类；KJ：等腰三角形的判定与性质；P3：轴对称图形；P7：作图﹣轴对称变换．【专题】13：作图题；558：平移、旋转与对称．【分析】（1）根据等腰三角形的性质、矩形的性质以及等边三角形的性质进行判断即可；（2）中图1﹣2和图1﹣3都可以看作由图1﹣1修改得到的，在图1﹣4和图1﹣5中，分别仿照类似的修改方式进行画图即可；（3）长方形具有两条对称轴，在长方形的右侧补出与左侧一样的图形，即可构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形；（4）在等边三角形的基础上加以修改，即可得到恰好有3条对称轴的凸六边形．【解答】解：（1）非等边的等腰三角形有1条对称轴，非正方形的长方形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴，故答案为：1、2、3；（2）恰好有1条对称轴的凸五边形如图中所示．（3）恰好有2条对称轴的凸六边形如图所示．（4）恰好有3条对称轴的凸六边形如图所示．29.（1）如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，填空：当点A位于CB的延长线上时时，线段AC的长取到最大值，且最大值为a+b；（用含a、b的式子表示）．（2）如图2，若点A为线段BC外一动点，且BC＝6，AB＝3，分别以AB，AC为边，作等边△ABD和等边△ACE，连接CD，BE．①图中与线段BE相等的线段是线段CD＝BE，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值为9．（3）如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（10，0），点P为线段AB外一动点，且P A＝4，PM＝PB，∠BPM＝90°，请直接写出线段AM长的最大值为4+6，及此时点P的坐标为（4﹣2，2）或（4﹣2，﹣2）．（提示：等腰直角三角形的三边长a、b、c满足a：b：c＝1：1：）【考点】KY：三角形综合题．【专题】152：几何综合题；69：应用意识．【分析】（1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；（2）①根据等边三角形的性质得到AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，推出△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质得到CD＝BE；②由于线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN 是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN＝P A＝4，BN＝AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为4+6；如图2，过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB＝a+b，故答案为：CB的延长线上，a+b；（2）①CD＝BE，理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴CD＝BE．②∵线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，∴最大值为BD+BC＝AB+BC＝9；故答案为CD＝BE，9．（3）如图1，∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，∴PN＝P A＝2，BN＝AM，∵A的坐标为（4，0），点B的坐标为（10，0），∴OA＝4，OB＝10，∴AB＝6，∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值＝AB+AN，∵AN＝AP＝4，∴最大值为4+6．如图2，过P作PE⊥x轴于E，∵△APN是等腰直角三角形，∴PE＝AE＝2，∴OE＝BO﹣AB﹣AE＝10﹣6﹣2＝4﹣2，∴P（4﹣2，2）．如图3中，根据对称性可知当点P在第四象限时，P（4﹣2，﹣2）时，也满足条件．综上所述，满足条件的点P坐标（4﹣2，2）或（4﹣2，﹣2），AM的最大值为4+6．故答案为4+6，（4﹣2，2）或（4﹣2，﹣2）．。
北京2019学年八年级上学期期中考试数学试题 (解析版)
上学期初中八年级期中考试数学试卷（考试时间为100分钟，试卷满分为100分，另20分附加题）一、选择题（每题3分共30分，四个选项中只有一个正确答案） 1. 计算25-的结果是（ ）。
A. －10B. －25C.251D. 251-2. 图中全等的三角形是（ ）。
A. Ⅰ和ⅡB. Ⅱ和ⅣC. Ⅱ和ⅢD. Ⅰ和Ⅲ 3. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）。
A. 1)(12222--=-+-b a b ab a B. )11(22222xx x x +=+ C. 4)2)(2(2-=-+x x xD. )1)(1)(1(124-++=-x x x x4. 如图，已知AB ＝AD ，则添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（ ）。
A. CB ＝CDB. ∠BCA ＝∠DCAC. ∠BAC ＝∠DACD. ∠B ＝∠D ＝90° 5. 下列分式中，最简分式是（ ）。
A. 1122+-x xB. 112-+x xC. xy x y xy x -+-2222 D. 122362+-x x6. 如图，已知钝角△AB C ，老师按如下步骤尺规作图：步骡1：以C 为圆心，CA 为半径画弧①；步骤2：以B 为圆心，BA 为半径画弧②，交弧①于点D ； 步骤3：连接AD ，交BC 延长线于点H 。
小明说：图中的BH ⊥AD 且平分AD 。
小丽说：图中AC 平分∠BAD 。
小强说：图中点C 为BH 的中点。
你认为（ ）。
A. 小明说得对B. 小丽说得对C. 小强说得对D. 他们都不对 7. 学完分式运算后，老师出了一道题：化简：42232--+++x xx x 。
小明的做法是：原式＝48426424)2)(3(222222--=----+=-----+x x x x x x x x x x x ； 小亮的做法是：原式＝426)2()2)(3(22-=-+-+=-+-+x x x x x x x ； 小芳的做法是：原式＝12132123)2)(2(223=+-+=+-++=-+--++x x x x x x x x x x 。
2019-2020海淀区人大附中初二上学期期中数学试卷.pdf
22222
如图
，中，和
为角平分线，且，求证：．
2△ABC BD CE AE =AD AB =AC 28.（1）如图，点在直线的右侧，求证：．
（2）【阅读材料】关于与的大小关系，教材中有一般性的论述．
实验与探究
三角形中边与角之间的不等关系
学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也打吗？
如图，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点落在上的
点，折线交于点，则．
我们知道：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
如图，点是线段的垂直平分线上的一点，由线段的垂直平分线的性质可知，．由等腰三角形的性质进一步可以得到．
在此基础上，若平面上的一个点在直线的右侧，连接，．思考并解决：此时和，与的大小关系又是怎样呢？【运用学过的知识解决问题】
1A BC MN AB =AC ∠ABC =∠ACB P MN P B P C P B P C ∠P BC ∠P CB 2P MN P B >P C ∠P BC ∠P CB 1△ABC AB >AC △ABC AC AB C AB D BC E ∠C =∠ADE
（2）。
2019-2020学年北京海淀区8年级上-数学期中试题及答案
2019-2020学年北京海淀区八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）符合题意的选项只有一个1．（3分）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（）A．B．C．D．2．（3分）等腰三角形一边长等于5，一边长等于10，它的周长是（）A．20B．25C．20或25D．153．（3分）如图，在△ABC中，BC边上的高为（）A．BE B．AE C．BF D．CF4．（3分）如图，盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其不变形，这种做法的根据是（）A．两点之间，线段最短B．三角形的稳定性C．长方形的四个角都是直角D．四边形的稳定性5．（3分）如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是（）A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC＝ODC．∠OPC＝∠OPD D．PC＝PD6．（3分）如图，△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．25°7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，P为边AB上的一个动点（不与顶点A重合），则∠BPC的值可能是（）A．135°B．85°C．50°D．40°8．（3分）在课堂上，张老师布置了一道画图题：画一个Rt△ABC，使∠B＝90°，它的两条边分别等于两条已知线段．小刘和小赵同学先画出了∠MBN＝90°之后，后续画图的主要过程分别如图所示．那么小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别是（）A．SAS，HL B．HL，SAS C．SAS，AAS D．AAS，HL 9．（3分）在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（）A．△ABC的重心处B．AD的中点处C．A点处D．D点处10．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC 交AB于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列四个结论：①EF＝BE+CF；②∠BGC＝90°+∠A；③点G到△ABC各边的距离相等；④设GD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn．其中正确的结论有（）A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为．12．（3分）一个多边形的每个外角都等于40°，则它的内角和是°．13．（3分）如图，一副三角板△AOC和△BCD如图摆放，则∠AOB＝．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，将AB边沿AD折叠，发现B点的对应点E正好在AC的垂直平分线上，则∠C＝．15．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AE是∠BAC的平分线，点E到AB的距离等于3cm，则CF＝cm．16．（3分）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰直角三角形，则符合条件的点C有个．三、解答题（本题共52分，17、18、21题5分，25题7分，其余题目各6分）17．（5分）已知：如图∠B＝40°，∠B＝∠BAD，∠C＝∠ADC，求∠DAC的度数．18．（5分）已知：如图，BC∥EF，点C，点F在AD上，AF＝DC，BC＝EF．求证：AB＝DE．19．（6分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）．（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A'B'C'（2）写出A′、B′、C′的坐标（直接写出答案）A'；B'；C'；（3）写出△A'B'C'的面积为．（直接写出答案）20．（6分）已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）．①在射线BM上作一点C，使AC＝AB；②作∠ABM的角平分线交AC于D点；③在射线CM上作一点E，使CE＝CD，连接DE．（2）在（1）所作的图形中，猜想线段BD与DE的数量关系，并证明．21．（5分）如图，A，B分别为CD，CE的中点，AE⊥CD于点A，BD⊥CE于点B．求∠AEC的度数．22．（6分）两个大小不同的等腰直角三角形三角板，如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，点B，C，E在同一条直线上，连接DC．（1）请找出图②中的全等三角形，并给予证明．（说明：结论中不得含有未标识的字母）（2）证明：DC⊥BE．23．（6分）在△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，如果∠BAD＝30°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝（2）如图2，如果∠BAD＝40°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD＝AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．24．（6分）（1）阅读理解：我们知道，只用直尺和圆规不能解决的三个经典的希腊问题之一是三等分任意角，但是这个任务可以借助如图1所示的一边上有刻度的勾尺完成，勾尺的直角顶点为P，“宽臂”的宽度＝PQ＝QR＝RS，（这个条件很重要哦！）勾尺的一边MN满足M，N，Q 三点共线（所以PQ⊥MN）．下面以三等分∠ABC为例说明利用勾尺三等分锐角的过程：第一步：画直线DE使DE∥BC，且这两条平行线的距离等于PQ；第二步：移动勾尺到合适位置，使其顶点P落在DE上，使勾尺的MN边经过点B，同时让点R落在∠ABC的BA边上；第三步：标记此时点Q和点P所在位置，作射线BQ和射线BP．请完成第三步操作，图中∠ABC的三等分线是射线、．（2）在（1）的条件下补全三等分∠ABC的主要证明过程：∵，BQ⊥PR，∴BP＝BR．（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）∴∠＝∠．∵PQ⊥MN，PT⊥BC，PT＝PQ，∴∠＝∠．（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上）∴∠＝∠＝∠．（3）在（1）的条件下探究：是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请在图2中∠ABC的外部画出（无需写画法，保留画图痕迹即可）．25．（7分）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H 为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC、于点N、E、M．（1）当直线l经过点C时（如图2），求证：BN＝CD；（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．2019-2020学年北京海淀区八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）符合题意的选项只有一个1．（3分）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（3分）等腰三角形一边长等于5，一边长等于10，它的周长是（）A．20B．25C．20或25D．15【分析】此题先要分类讨论，已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于10，先根据三角形的三边关系判定能否组成三角形，若能则求出其周长．【解答】解：当5为腰，10为底时，∵5+5＝10，∴不能构成三角形；当腰为10时，∵5+10＞10，∴能构成三角形，∴等腰三角形的周长为：10+10+5＝25．故选：B．【点评】此题考查了等腰三角形的基本性质及分类讨论的思想方法，另外求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．3．（3分）如图，在△ABC中，BC边上的高为（）A．BE B．AE C．BF D．CF【分析】根据三角形的高线的定义解答．【解答】解：根据高的定义，AE为△ABC中BC边上的高．故选：B．【点评】本题主要考查了三角形的高的定义，熟记概念是解题的关键．4．（3分）如图，盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其不变形，这种做法的根据是（）A．两点之间，线段最短B．三角形的稳定性C．长方形的四个角都是直角D．四边形的稳定性【分析】在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，则分成了两个三角形，据此即可判断．【解答】解：在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，则分成了两个三角形，利用了三角形的稳定性．故选：B．【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．5．（3分）如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是（）A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC＝ODC．∠OPC＝∠OPD D．PC＝PD【分析】要得到△POC≌△POD，现有的条件为有一对角相等，一条公共边，缺少角，或着是边，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．于是答案可得．【解答】解：A．PC⊥OA，PD⊥OB得出∠PCO＝∠PDO＝90°，根据AAS判定定理成立，B．OC＝OD，根据SAS判定定理成立，C．∠OPC＝∠OPD，根据ASA判定定理成立，D．PC＝PD，根据SSA无判定定理不成立，故选：D．【点评】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．6．（3分）如图，△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．25°【分析】根据三角形的内角和定理列式求出∠BAC，再根据全等三角形对应角相等可得∠DAE＝∠BAC，然后根据∠EAC＝∠DAE﹣∠DAC代入数据进行计算即可得解．【解答】解：∵∠B＝80°，∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣80°﹣30°＝70°，∵△ABC≌△ADE，∴∠DAE＝∠BAC＝70°，∴∠EAC＝∠DAE﹣∠DAC，＝70°﹣35°，＝35°．故选：B．【点评】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，P为边AB上的一个动点（不与顶点A重合），则∠BPC的值可能是（）A．135°B．85°C．50°D．40°【分析】根据等边对等角可得∠B＝∠ACB＝50°，再根据三角形内角和计算出∠A的度数，然后根据三角形内角与外角的关系可得∠BPC＞∠A，进而可得答案．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝50°，∴∠A＝180°﹣50°×2＝80°，∵∠BPC＝∠A+∠ACP，∴∠BPC＞∠A，∴∠BPC＞80°，故选：B．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形两底角相等．8．（3分）在课堂上，张老师布置了一道画图题：画一个Rt△ABC，使∠B＝90°，它的两条边分别等于两条已知线段．小刘和小赵同学先画出了∠MBN＝90°之后，后续画图的主要过程分别如图所示．那么小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别是（）A．SAS，HL B．HL，SAS C．SAS，AAS D．AAS，HL【分析】分别根据全等三角形的判定定理进行解答即可．【解答】解：∵小刘同学先确定的是直角三角形的两条直角边，∴确定依据是SAS定理；∵小赵同学先确定的是直角三角形的一条直角边和斜边，∴确定依据是HL定理．故选：A．【点评】本题考查的是作图﹣复杂作图，熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键．9．（3分）在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（）A．△ABC的重心处B．AD的中点处C．A点处D．D点处【分析】连接BP，根据等边三角形的性质得到AD是BC的垂直平分线，根据三角形的周长公式、两点之间线段最短解答即可．【解答】解：连接BP，∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴AD是BC的垂直平分线，∴PB＝PC，△PCE的周长＝EC+EP+PC＝EC+EP+BP，当B、P、E在同一直线上时，△PCE的周长最小，∵BE为中线，∴点P为△ABC的重心，故选：A．【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．10．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC 交AB于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列四个结论：①EF＝BE+CF；②∠BGC＝90°+∠A；③点G到△ABC各边的距离相等；④设GD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn．其中正确的结论有（）A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④【分析】①根据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G可得出∠EBG＝∠CBG，∠BCG＝∠FCG，再由EF∥BC可知∠CBG＝∠EGB，∠BCG＝∠CGF，故可得出BE＝EG，GF ＝CF，由此可得出结论；②先根据角平分线的性质得出∠GBC+∠GCB＝（∠ABC+∠ACB），再由三角形内角和定理即可得出结论；③根据三角形内心的性质即可得出结论；④连接AG，根据三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：①∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，∴∠EBG＝∠CBG，∠BCG＝∠FCG．∵EF∥BC，∴∠CBG＝∠EGB，∠BCG＝∠CGF，∴∠EBG＝∠EGB，∠FCG＝∠CGF，∴BE＝EG，GF＝CF，∴EF＝EG+GF＝BE+CF，故本小题正确；②∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，∴∠GBC+∠GCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），∴∠BGC＝180°﹣（∠GBC+∠GCB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，故本小题正确；③∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，∴点G是△ABC的内心，∴点G到△ABC各边的距离相等，故本小题正确；④连接AG，∵点G是△ABC的内心，GD＝m，AE+AF＝n，∴S△AEF＝AE•GD+AF•GD＝（AE+AF）•GD＝nm，故本小题正确．故选：D．【点评】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，熟知角平分线的性质、三角形内角和定理及三角形内心的性质是解答此题的关键．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为（2，5）．【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接得到答案．【解答】解：点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为：（2，5），故答案为：（2，5）．【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．12．（3分）一个多边形的每个外角都等于40°，则它的内角和是1260°．【分析】由一个多边形的每个外角都等于40°，根据n边形的外角和为360°计算出多边形的边数n，然后根据n边形的内角和定理计算即可．【解答】解：设这个多边形是n边形，则40°×n＝360°，解得n＝9．这个多边形的内角和为（9﹣2）×180°＝1260°．答：这个多边形的内角和为1260°．故答案为：1260．【点评】本题考查了多边形的内角和外角，n边形的内角和定理：n边形的内角和＝（n ﹣2）•180°；注意熟记n边形的外角和为360°．13．（3分）如图，一副三角板△AOC和△BCD如图摆放，则∠AOB＝165°．【分析】根据邻补角求出∠ADO的度数，再利用外角的性质，即可解答．【解答】解：∵∠BDC＝60°，∴∠ADO＝180°﹣∠BDC＝120°，∴∠OAD＝45°，∴∠AOB＝∠OAD+∠ADO＝165°．故答案为：165°．【点评】本题考查了三角形外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．充分利用三角板中的特殊角进行计算．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，将AB边沿AD折叠，发现B点的对应点E正好在AC的垂直平分线上，则∠C＝30°．【分析】由折叠的性质可知∠B＝∠AEB，因为E点在AC的垂直平分线上，故EA＝EC，可得∠EAC＝∠C，根据外角的性质得∠B＝∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C，在Rt△ABC中，∠B+∠C＝90°，由此可求∠C．【解答】解：由折叠的性质，得∠B＝∠AEB，∵E点在AC的垂直平分线上，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，由外角的性质，可知∠B＝∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C，在Rt△ABC中，∠B+∠C＝90°，即2∠C+∠C＝90°，解得∠C＝30°．故本题答案为：30°．【点评】本题考查了折叠的性质，线段垂直平分线的性质．关键是把条件集中到直角三角形中求解．15．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AE是∠BAC的平分线，点E到AB的距离等于3cm，则CF＝3cm．【分析】由角平分线的性质易得CE＝点E到AB的距离等于3cm，需求CF，根据等角的余角相等可得∠CEF＝∠CFE，∴CF＝CE＝3cm．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AE是∠BAC的平分线，∴CE＝点E到AB的距离＝3cm，∠BAE＝∠CAE，∵∠AEC+∠CAE＝90°，∠AFD+∠BAE＝90°，∴∠AEC＝∠AFD，∵∠CFE＝∠AFD，∴∠CEF＝∠CFE，∴CF＝CE＝3cm．故答案为：3．【点评】此题主要考查角平分线的性质和等角对等边，注意利用直角三角形的有关性质．16．（3分）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰直角三角形，则符合条件的点C有6个．【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰．【解答】解：如上图：分情况讨论①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有2个；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故答案为：6【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．三、解答题（本题共52分，17、18、21题5分，25题7分，其余题目各6分）17．（5分）已知：如图∠B＝40°，∠B＝∠BAD，∠C＝∠ADC，求∠DAC的度数．【分析】直接利用三角形的外角的性质得出∠ADC＝80°，进而利用三角形内角和定理得出答案．【解答】解：∵∠B＝40°，∴∠B＝∠BAD＝40°，∴∠ADC＝80°，∴∠C＝∠ADC＝80°，∴∠DAC＝180°﹣80°﹣80°＝20°．【点评】此题主要考查了三角形的外角的性质以及三角形内角和定理，正确应用三角形外角和定理是解题关键．18．（5分）已知：如图，BC∥EF，点C，点F在AD上，AF＝DC，BC＝EF．求证：AB＝DE．【分析】由平行线的性质得出∠ACB＝∠DFE，证出AC＝DF，证明△ABC≌△DEF（SAS），即可得出AB＝DE．【解答】证明：∵BC∥EF，∴∠ACB＝∠DFE，∵AF＝DC，∴AC＝DF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴AB＝DE．【点评】本题考查了全等三角形的判定由性质、平行线的性质；证明三角形全等是解题的关键．19．（6分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）．（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A'B'C'（2）写出A′、B′、C′的坐标（直接写出答案）A'（3，2）；B'（4，﹣3）；C'（1，﹣1）；（3）写出△A'B'C'的面积为 6.5．（直接写出答案）【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于y轴对称的图形△A'B'C'；（2）依据△A'B'C'各顶点的位置，即可得出A′、B′、C′的坐标；（3）依据割补法进行计算，即可得到△A'B'C'的面积．【解答】解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求；（2）由图可得，A′（3，2）、B′（4，﹣3）、C′（1，﹣1）；故答案为：（3，2）、（4，﹣3）、（1，﹣1）；（3）△A'B'C'的面积为：3×5﹣×2×3﹣×1×5﹣×2×3＝15﹣3﹣2.5﹣3＝6.5．故答案为：6.5．【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．20．（6分）已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）．①在射线BM上作一点C，使AC＝AB；②作∠ABM的角平分线交AC于D点；③在射线CM上作一点E，使CE＝CD，连接DE．（2）在（1）所作的图形中，猜想线段BD与DE的数量关系，并证明．【分析】（1）①以A为圆心，AB长为半径画弧交BC于C；②根据角平分线的作法作∠ABM的角平分线；③以C为圆心CD长为半径画弧交CM于E，再连接ED即可；（2）根据角平分线的性质可得∠1＝∠ABC，根据等边对等角可得∠ABC＝∠4，∠2＝∠3，然后再证明∠1＝∠3，根据等角对等边可得BD＝DE．【解答】解：（1）如图所示：（2）BD＝DE，证明：∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠ABC．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠4．∴∠1＝∠4．∵CE＝CD，∴∠2＝∠3．∵∠4＝∠2+∠3，∴∠3＝∠4．∴∠1＝∠3．∴BD＝DE．【点评】此题主要考查了复杂作图，以及等腰三角形的性质，关键是正确画出图形，掌握等边对等角和等角对等边．21．（5分）如图，A，B分别为CD，CE的中点，AE⊥CD于点A，BD⊥CE于点B．求∠AEC的度数．【分析】根据题意得出△CDE为等边三角形，进而得出∠AEC的度数．【解答】解：连接DE∵A，B分别为CD，CE的中点，AE⊥CD于点A，BD⊥CE于点B，∴CD＝CE＝DE，∴△CDE为等边三角形．∴∠C＝60°．∴∠AEC＝90°﹣∠C＝30°．【点评】此题主要考查了等边三角形的判定，正确得出△CDE为等边三角形是解题关键．22．（6分）两个大小不同的等腰直角三角形三角板，如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，点B，C，E在同一条直线上，连接DC．（1）请找出图②中的全等三角形，并给予证明．（说明：结论中不得含有未标识的字母）（2）证明：DC⊥BE．【分析】根据等腰直角三角形的性质利用SAS判定△ABE≌△ACD；因为全等三角形的对应角相等，所以∠ACD＝∠ABE＝45°，已知∠ACB＝45°，所以可得到∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°，即DC⊥BE．【解答】解：（1）△ABE≌△ACD，证明：∵AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠BAC+∠CAE＝∠EAD+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD，∴△ABE≌△ACD（SAS）；（2）由△ABE≌△ACD得∠ACD＝∠ABE＝45°，又∵∠ACB＝45°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°，∴DC⊥BE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法以及性质是并准确确定出全等三角形是解题的关键．23．（6分）在△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，如果∠BAD＝30°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝15°（2）如图2，如果∠BAD＝40°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝20°（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：∠EDC＝∠BAD（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD＝AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．【分析】（1）等腰三角形三线合一，所以∠DAE＝30°，又因为AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED＝75°，所以∠DEC＝15°．（2）同理，易证∠ADE＝70°，所以∠DEC＝20°．（3）通过（1）（2）题的结论可知，∠BAD＝2∠EDC（或∠EDC＝∠BAD）．（4）由于AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED，根据已知，易证∠BAD+∠B＝2∠EDC+∠C，而B＝∠C，所以∠BAD＝2∠EDC．【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD＝30°，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝75°，∴∠EDC＝15°．（2）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD＝40°，∴∠BAD＝∠CAD＝40°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝70°，∴∠EDC＝20°．（3）∠BAD＝2∠EDC（或∠EDC＝∠BAD）（4）仍成立，理由如下∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∴∠BAD+∠B＝∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠AED+∠EDC＝（∠EDC+∠C）+∠EDC ＝2∠EDC+∠C又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C∴∠BAD＝2∠EDC．故分别填15°，20°，∠EDC＝∠BAD【点评】本题考查了等腰三角形三线合一这一性质，即等腰三角形底边上中线、高线以及顶角的平分线三线合一．得到角之间的关系是正确解答本题的关键．24．（6分）（1）阅读理解：我们知道，只用直尺和圆规不能解决的三个经典的希腊问题之一是三等分任意角，但是这个任务可以借助如图1所示的一边上有刻度的勾尺完成，勾尺的直角顶点为P，“宽臂”的宽度＝PQ＝QR＝RS，（这个条件很重要哦！）勾尺的一边MN满足M，N，Q 三点共线（所以PQ⊥MN）．下面以三等分∠ABC为例说明利用勾尺三等分锐角的过程：第一步：画直线DE使DE∥BC，且这两条平行线的距离等于PQ；第二步：移动勾尺到合适位置，使其顶点P落在DE上，使勾尺的MN边经过点B，同时让点R落在∠ABC的BA边上；第三步：标记此时点Q和点P所在位置，作射线BQ和射线BP．请完成第三步操作，图中∠ABC的三等分线是射线BP、BQ．（2）在（1）的条件下补全三等分∠ABC的主要证明过程：∵PQ＝QR，BQ⊥PR，∴BP＝BR．（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）∴∠ABQ＝∠PBQ．∵PQ⊥MN，PT⊥BC，PT＝PQ，∴∠PBQ＝∠PBC．（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上）∴∠ABQ＝∠PBQ＝∠PBC．（3）在（1）的条件下探究：是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请在图2中∠ABC的外部画出（无需写画法，保留画图痕迹即可）．【分析】（1）根据图形可知BP、BQ是角的三等分线；（2）根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等和角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上结合图形填空即可；（3）根据阅读材料进行判断并作出图形．【解答】解：（1）∠ABC的三等分线是射线是BP、BQ；（2）∵PQ＝QR，BQ⊥PR，∴BP＝BR．（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）∴∠ABQ＝∠PBQ．∵PQ⊥MN，PT⊥BC，PT＝PQ，∴∠PBQ＝∠PBC．（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上）∴∠ABQ＝∠PBQ＝∠PBC．故答案为：（1）BP，BQ；（2）PQ＝QR，ABQ，PBQ，PBQ，ABQ，PBQ，PBC；（3）在（1）的条件下探究：∠ABS＝∠ABS不成立，在∠ABC外部所画∠ABV＝∠ABC如图．【点评】本题考查了角平分线的性质，主要利用了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，读懂题目信息是解题的关键．25．（7分）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H 为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC、于点N、E、M．（1）当直线l经过点C时（如图2），求证：BN＝CD；（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．【分析】（1）连接ND，先由已知条件证明DN＝DC，再证明BN＝DN即可；（2）当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为CD＝2CE，过点C作CN'⊥AO 交AB于N'．过点C作CG∥AB交直线l于G，再证明△BNM≌△CGM问题得证；（3）BN、CE、CD之间的等量关系要分三种情况讨论：①当点M在线段BC上时；②当点M在BC的延长线上时；③当点M在CB的延长线上时；由（2）即可得出结论．【解答】（1）证明：连接ND，如图2所示：∵AO平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵直线l⊥AO于H，∴∠AHN＝∠AHE＝90°，∴∠ANH＝∠AEH，∴AN＝AC，∴NH＝CH，∴AH是线段NC的中垂线，∴DN＝DC，∴∠DNH＝∠DCH，∴∠AND＝∠ACB，∵∠AND＝∠B+∠BDN，∠ACB＝2∠B，∴∠B＝∠BDN，∴BN＝DN，∴BN＝DC；（2）解：当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为CD＝2CE，理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，过点C作CG∥AB交直线l于点G，如图3所示：由（1）得：BN'＝CD，AN'＝AC，AN＝AE，∴∠ANE＝∠AEN，NN'＝CE，∴∠ANE＝∠CGE，∠B＝∠BCG，∴∠CGE＝∠AEN，∴CG＝CE，∵M是BC中点，∴BM＝CM，在△BNM和△CGM中，，∴△BNM≌△CGM（ASA），∴BN＝CG，∴BN＝CE，∴CD＝BN'＝NN'+BN＝2CE；（3）解：BN、CE、CD之间的等量关系：当点M在线段BC上时，CD＝BN+CE；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图3所示：由（2）得：NN'＝CE，CD＝BN'＝BN+CE；当点M在BC的延长线上时，CD＝BN﹣CE；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图4所示：同（2）得：NN'＝CE，CD＝BN'＝BN﹣CE；当点M在CB的延长线上时，CD＝CE﹣BN；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图5所示：同（2）得：NN'＝CE，CD＝BN'＝CE﹣BN．【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．。
2020-2021学年北京市海淀区八年级上期中数学试卷及答案解析
2020-2021学年北京市海淀区八年级上期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分，每题只有一个正确选项，请填写在后边给出的括号内）. 1．（3分）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
2．（3分）点P（3，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为（）
A．（﹣3，﹣5）B．（5，3）C．（﹣3，5）D．（3，5）
3．（3分）如图，点E，F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（）
A．∠A＝∠C B．∠D＝∠B C．AD∥BC D．DF∥BE
4．（3分）下列计算中正确的是（）
A．2x+3y＝5xy B．x•x4＝x4
C．（x2y）3＝x6y3 D．x8﹣x2＝x6
5．（3分）若一个正多边形的每一个内角为156°，则这个正多边形的边数是（）A．14B．15C．16D．17
6．（3分）如果等腰三角形的两边长是10cm和5cm，那么它的周长为（）A．20cm B．25cm C．20cm或25cm D．15cm
7．（3分）AD是△ABC的角平分线，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，下列结论错误的是（）
A．BD＝CD B．AE＝AF C．DE＝DF D．∠ADE＝∠ADF 8．（3分）如图所示，把一个正方形对折两次后沿虚线剪下，展开后所得的图形是（）
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北京市清华大学附属中学2019-2020学年八年级上学期期中数学试题(解析版)
初二第一学期期中试卷数学一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1.在下列图形中是轴对称图形是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形的概念求解．【详解】A.不是轴对称图形，故本选项不符合题意，B.是轴对称图形，故本选项符合题意，C.不是轴对称图形，故本选项不符合题意，D.是不轴对称图形，故本选项不符合题意.故选B.【点睛】本题考查了轴对称的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.2.下列计算正确的是（）A a+ a= a B. (ab) = ab C. a• a= a D. a÷a= a【答案】C【解析】【分析】根据整式的四则运算和积的乘方对选项进行分析即可得到答案.【详解】A. a与a不是同类项，无法合并，故A错误；B. (ab) = a2b，故B错误；C. a• a= a，故C正确；D. a÷a= a8，故D错误；故选择C.【点睛】本题考查同底数幂的混合运算和积的乘方，解题的关键是掌握同底数幂的混合运算和积的乘方运算.3.如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A. ∠A=∠DB. AB=DCC. ∠ACB=∠DBCD. AC=BD【答案】D【解析】A．添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；B．添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；C．添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；D．添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意．故选D．4.若2x + m 与x + 2 的乘积中不含的x 的一次项，则m 的值为（）A. －4B. 4C. －2D. 2【答案】A【解析】【分析】先将(2x + m) (x + 2)根据多项式乘多项式展开，找出所有含x的一次项，合并系数，使含x的一次项的系数为0，即可求出m的值．【详解】解：，∵乘积中不含x的一次项，∴，∴．故答案选：A．【点睛】本题考查多项式乘多项式的运算，属于基础题．理解不含某一项就是指含有这项的系数为0，注意合并同类项求解．5.如图，已知 AB⊥BC 于 B，CD⊥BC 于 C，BC=12，AB=5，且 E 为 BC 上一点，∠AED=90°，AE=DE，则 BE=（）A. 13B. 8C. 7D. 5【答案】C【解析】【分析】先根据题意证明△ABE≌△ECD，再根据全等三角形的性质得到CE值，即可求出BE．【详解】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC∴∠B=90°=∠C∴∠A+∠AEB=90°∵∠AED=90°∴∠DEC+∠AEB=90°∴∠A=∠DEC在△ABE和△ECD中∴△ABE≌△ECD（AAS）．∴CE=AB=5．∴BE=BC-CE=12-5=7．故选C．【点睛】本题考查全等三角形的判定（AAS）和性质，解题关键在于掌握判定定理.6.如图，在△ABC中，∠C = 90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP,交CB于点D，若CD = 4，AB = 15．则△ABD的面积是【】A. 15B. 30C. 45D. 60【答案】B【解析】【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE=DC=4，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：作DE⊥AB于E，由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，∵∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC=4，∴△ABD的面积=×AB×DE=30，故选B．【点睛】本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．7.等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是（）A. 80°B. 80°或20°C. 80°或50°D. 20°【答案】B【解析】试题分析：分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解．①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°，综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．考点：等腰三角形的性质．8.如图的方格纸中每一个小方格都是边长为 1 的正方形，A、B 两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点 C，使△ABC 为等腰三角形，这样的格点的个数有（）A. 8 个B. 9 个C. 10 个D. 11 个【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理计算出AB=，然后分类讨论确定C点位置．【详解】AB==，以B为顶点，BC=BA，这样的C点有3个；以A为顶点，AC=AB，这样的C点有6个；以C为顶点，CA=CB，这样的点不存在，所以使△ABC的等腰三角形，这样的格点C的个数有9个.故选B.【点睛】本题考查等腰三角形的判定和勾股定理，解题的关键是掌握等腰三角形的判定和勾股定理的应用.二、填空题（共8题，每小题3分，共24分）9.等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为．【答案】17【解析】试题分析：因为边为3和7，没明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论：当3为底时，其它两边都为7，3、7、7可以构成三角形，周长为17；当3为腰时，其它两边为3和7，3+3=6＜7，所以不能构成三角形，故舍去．∴等腰三角形的周长为17．10.如图，△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC，∠C=65°，则∠BAD 度数为___________.【答案】25°【解析】【分析】先由等腰三角形的性质得到∠C=∠B=65°,再结合题意和三角形的内角和定理得到∠BAD=25°. 【详解】∵AB ＝AC ，∠C=65°，∴∠C=∠B=65°,∵AD ⊥BC ，∴∠ADB=90°,根据三角形内角和定理可知∠BAD=180°-90°-65°=25°，故答案为25°. 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形内角和是解答本题的关键.11.计算：20192018014()1)4⨯-⨯=_________. 【答案】4【解析】【分析】 先根据零指数幂化简并变形得到2018201814()144⨯-⨯⨯，再进行乘法计算即可得到答案.【详解】20192018014()1)4⨯-⨯ =2018201814()144⨯-⨯⨯ =4【点睛】本题考查有理数的乘法、零指数幂和整数指数幂，解题的关键是有理数的乘法、零指数幂和整数指数幂.12.如图，△ABC 是等边三角形，D 点是AC 的中点，延长BC 到E ，使CE=CD ，若BD=3，则DE= ．【答案】3【解析】试题分析：△ABC 是等边三角形，D 点是AC 的中点，可得∠DCB=60°，BD ⊥AC ，所以∠DBC=30°，因为CE=CD ，所以∠CDE=∠E=30°，故∠DBC=∠E ，DE=BD=3．考点: 等边三角形的性质；等腰三角形的判定；三角形的外角13.若(x －2)(x +3)= x + ax －6 ，则a =________【答案】1【解析】【分析】先根据多项式乘以多项式的方法计算(x－2)(x +3)，得到x+x－6，再结合题意即可得到答案.【详解】因为(x－2)(x +3)= x+ 3x -2x－6= x+x－6，且(x－2)(x +3)= x+ ax－6 ，所以a =1.【点睛】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是掌握多项式乘以多项式的方法.14.已知，如图 AB=AC，∠BAC=40°，D 为 AB 边上的一点，过 D 作 DF⊥AB，交 AC 于 E，交 BC 延长线于点 F 则∠F=________°.【答案】20【解析】【分析】由AB=AC，∠BAC=40°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠ABC=∠A C B=70°；再由DF⊥AB，根据三角形内角计算即可得到答案.【详解】因为AB=AC，∠BAC=40°，所以根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠ABC=∠A C B==70°；因为DF⊥AB，所以∠BDF=90°，则根据三角形内角和可得∠F=180°-90°-70°=20°.【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和三角形内角和定理.15.在△ABC中，已知AB=5，BC=6，∠B=30°，那么S△ABC为_________．【答案】7.5【解析】【分析】根据直角三角形的性质求出AD，根据三角形的面积公式计算．【详解】过点A作AD⊥BC于D，如图，∵∠ADB=90°，∠B=30°，∴AD=AB=，∴S△ABC=×BC×AD=××6=7.5.【点睛】本题考查直角三角形的性质、三角形的面积公式，掌握在直角三角形中30°的直角边等于斜边的一半是解题的关键．16.如图，等边△ABC边长为10，P在AB上，Q在BC延长线，CQ＝P A，过点P作PE⊥AC点E，过点P 作PF∥BQ，交AC边于点F，连接PQ交AC于点D，则DE的长为_____．【答案】5【解析】【分析】先证明△PFD和△QCD全等，推出FD=CD，再通过证明△APF是等边三角形和PE⊥AC，推出AE=EF，即可推出AE+DC=EF+FD，可得DE= AC，即可推出DE的长度．【详解】∵PF∥BQ，∴∠Q＝∠FPD，∵△ABC是等边三角形，∴∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，∴△APF是等边三角形，∴AP＝PF，∵AP＝CQ，∴PF＝CQ，∵在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD＝CD，∵PE⊥AC于E，△APF是等边三角形，∴AE＝EF，∴AE+DC＝EF+FD，∴DE＝AC，∵AC＝10，∴DE＝AC＝5．故答案为5．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定（AAS）与性质，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．三、解答题（共7小题，共52分）17.如图，B、C、E、F 在同一直线上，AB∥CD，BF=CE，∠A=∠D. 求证：△ABE≌△DCF【答案】证明见解析【解析】【分析】由AB∥CD得到∠B=∠C，由BF=CE得到BE=CF，根据全等三角形的判定（AAS）即可得到答案.【详解】因为AB∥CD，所以∠B=∠C；又因为BF=CE，则BE=CF，在△ABE和△DCF中，∵，∴△ABE≌△DCF（AAS）.【点睛】本题考查全等三角形的判定（AAS）和平行线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定（AAS）和平行线的性质.18.计算下列各题：（1）(x－3y)(－6x)；（2） (x－1)(x + 2)；【答案】（1）－6x2+18 xy；（2）x2+ x－2【解析】【分析】（1）先进行多项式乘以多项式运算，再合并同类项，即可得到答案；（2）先进行多项式乘以多项式运算得到x2+2 x－x－2，再合并同类项，即可得到答案.【详解】（1）(x－3y)(－6x)=－6x2+18 xy；（2）(x－1)(x + 2)=x2+2 x－x－2= x2+ x－2【点睛】本题考查多项式乘以多项式和合并同类项，解题的关键是掌握多项式乘以多项式和合并同类项法则.19.如图所示的坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标依次为A（﹣1，2），B（﹣4，1），C（﹣2，﹣2）．（1）请在这个坐标系中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．（2）分别写出点A1、B1、C1的坐标．（3）求△A1B1C1的面积．【答案】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）A1的坐标为（1，2）、B1的坐标（4，1）、C1的坐标为（2，﹣2）；（3）△A1B1C1的面积为.【解析】【分析】（1）分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；（2）由（1）中所作图形可得答案；（3）利用割补法求解可得．【详解】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．（2）由图知，A1的坐标为（1，2）、B1的坐标为（4，1）、C1的坐标为（2，﹣2）；（3）△A1B1C1的面积为3×4﹣×1×4﹣×1×3﹣×2×3＝.【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．20.如图1，在△ABC中，AB=AC， D为直线BC上一动点（不与B，C重合），在AD的右侧作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）当D在线段BC上时，求证:△BAD ≌△CAE；（2）当点D运动到何处时，AC⊥DE，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）当D运动到BC中点时，AC⊥DE，理由见解析【解析】分析】（1）根据SAS即可证明；（2）当点D运动到BC中点时，AC⊥DE，由AB=AC知∠1=∠2，结合∠1=∠3，得出∠2=∠3．根据AE=AD，即可得.【详解】（1）∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE．又∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD ≌△CAE（SAS）．（2）当D运动到BC中点时，AC⊥DE ．∵D 是BC 中点，AB=AC ，∴∠1=∠2．∵△BAD ≌△CAE ，∴∠1=∠3．∴∠2=∠3．∵AD=AE ，∴AC ⊥DE ．∴当D 运动到BC 中点时，AC ⊥DE ．【点睛】本题考查三角形综合题、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．21.先化简再求值：(x + 2 y )+(x + 2 y )(x －2 y )+ 2 y ，其中 x =－1，y = 2 ；【答案】；2【解析】【分析】先由完全平方公式、平方差公式得到x 2+ 4x y+4y 2+x 2-4 y 2+ 2 y，再合并同类项得到2x 2+ 4x y + 2 y ，将x =－1，y = 2代入即可得到答案.【详解】(x + 2 y)+(x + 2 y)(x －2 y)+ 2 y=x 2+ 4x y+4y 2+x 2-4 y 2+ 2 y= 2x 2+ 4x y + 2 y=2（x 2+ 2x y + y ）=2（x+y ）2则x =－1，y = 2代入得到=2.【点睛】本题考查代数式、完全平方公式、平方差公式和合并同类项，解题的关键是掌握完全平方公式、平方差公式和合并同类项的计算.22.规定两数a ，b 之间的一种运算，记作(a ，b)：如果，那么(a ，b)=c ．例如：因为23=8，所以(2，8)=3．(1)根据上述规定，填空：（3，9）=_____，（5，125）=_____，（，）=_____，（-2，-32）=_____．(2)令，()46b =，，()430c =，，试说明下列等式成立的理由：. 【答案】（1）2，3，4，5（2）见解析【解析】 【分析】（1）根据规定的运算法则计算即可；（2）令，()46b =，，()430c =，，根据规定的运算法则及同底数幂乘法的运算法则即可证明a+b=c ，即可得结论. 【详解】（1）∵32=9，53=125，(-)4=，(-2)5=-32， ∴（3，9）=2，（5，125）=3，（，）=4，（-2，-32）=5. 故答案为2；3；4；5(2)令，()46b =，，()430c =，，则，，， ∵5630⨯=， ∴444a b c ⨯=， ∴， ∴， ∴.【点睛】本题主要考查了实数的运算，解题的关键是理解（a ，b ）=c ，a c =b ，即b 是a 的c 次方，按此规律进行计算即可．23.如图，△ABC 中，AB=AC ，射线AP 在△ABC 的外侧，点B 关于AP 的对称点为D ，连接CD 交射线AP 于点E ，连接BE. (1)根据题意补全图形； (2)求证：CD=EB+EC ； (3)求证：∠ABE=∠ACE.【答案】(1)补图见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据要求画出图象即可；（2）根据点B 、D 关于AP 对称得AP 垂直平分BD ，故ED=EB ，从而得证；（3）连接AD ，由线段垂直平分线的性质得AD=AB ，ED=EB ，可证∠1=∠ABE ；由AB=AC 得AD=AC,所以∠1=∠ACE,从而得证. 【详解】(1)如图；(2)∵点B、D关于AP对称∴ AP垂直平分BD∴ ED=EB∴ CD=CE+ED=CE+EB；(3)连接AD∵ AP垂直平分BD∴ AD=AB=AC∴∠1=∠ACE ∠1+∠EDB=∠ABE +∠EBD∵ ED=EB∴∠EDB =∠EBD∴∠1=∠ABE∴∠ABE=∠ACE .【点睛】本题考查线段垂直平分线的判定与性质，熟记线段垂直平分线的判定与性质是解题的关键.附加题（24，25每题3分，26，27每题4分，28题6分，共20分）24.已知x += 4 ，则x +=___________.【答案】14【解析】【分析】由x += 4得到（x +）2= 16，计算可得x+2+=16，则可得答案为14.【详解】因为x += 4，所以（x +）2= 16，即x+2+=16，则x +=14.【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式的运用.25.如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，AH⊥BC于H，FD=12，则HE等于__________.【答案】12【解析】【分析】先根据三角形中位线定理求出AC的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【详解】∵D、F是BC、AB的中点，∴AC=2FD=2×12=24，∵E是AC的中点，AH⊥BC于点H，∴EH=AC=12．【点睛】本题考查三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是掌握三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.26.如图△ABC 中，AC=BC，∠ACB=120°，点 D 在线段 AB 上运动（D 不与 A、B 重合），连接 CD，作∠CDE=30°，DE 交 BC 于点 E，若△CDE 是等腰三角形，则∠ADC 的度数是___________.【答案】60°或105°【解析】【分析】分类讨论：当CD=DE时；当DE=CE时；当EC=CD时；然后利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行计算.【详解】△CDE可以是等腰三角形，∵△CDE是等腰三角形；①当CD=DE时，∵∠CDE=30°，∴∠DCE=∠DEC=75°，∴∠ADC=∠B+∠DCE=105°，②当DE=CE时,∵∠CDE=30°，∴∠DCE=∠CDE=30°，∴∠ADC=∠DCE+∠B=60°.③当EC=CD时，∠BCD=180°−∠CED−∠CDE=180°−30°−30°=120°∵∠ACB=180°−∠A−∠B=120°，∴此时，点D与点A重合，不合题意. 综上,△ADC可以是等腰三角形,此时∠ADC的度数为60°或105°. 故答案为60°或105°.【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，解题的关键是分情况讨论.27.对于平面直角坐标系中的任意两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，我们把|x1－x2|+|y1－y2|叫做P1、P2两点间的直角距离，记作d(P1,P2)．(1) 令P0(2,－3)，O为坐标原点，则d(O,P0)＝；(2)已知O为坐标原点，动点P(x,y)满足d(O,P)＝1，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形.【答案】(1)5;(2)如图所示.【解析】【分析】（1）、根据直角距离的计算公式进行计算得出答案；（2）、根据题意得出|x|+|y|=1，从而得出图形.【详解】（1）、根据题意得：d（O，P0）=|2﹣0|+|﹣3﹣0|=2+3=5；（2）、由题意，得|x|+|y|=1，所有符合条件的点P组成的图形如图所示；【点睛】本题考查绝对值、作图，解题的关键是读懂题意，掌握新的定义运算规则.28.在△ABC 中，AB =BC =AC，∠A =∠B =∠C = 60°．点D、E 分别是边AC、AB 上的点（不与A、B、C 重合），点P 是平面内一动点．设∠PDC=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．（1）若点P 在边BC 上运动（不与点B 和点C 重合），如图⑴所示，则∠1+∠2 =．（用α 的代数式表示）（2）若点P 在△ABC 的外部，如图⑵所示，则∠α、∠1、∠2 之间有何关系？写出你的结论，并说明理由．【答案】（1）如图（1）60︒+α ；（2）∠2=60︒+∠1-α；理由见解析.【解析】【分析】（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义得出∠1+∠2=∠C+∠α，进而得出即可；（2）利用三角形内角和定理以及邻补角的性质可得出∠α=∠1-∠2+60°.【详解】（1）如图（1），∵∠1+∠2+∠ADP+∠AEP=360°，∠A+α+∠ADP+∠AEP=360°，∴∠1+∠2=∠A+α，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，∴∠1+∠2=60°+α．故答案是：60°+α；（2）∠2=60︒+∠1-α，证明：如图（2），∵∠1 是△POD 的外角，∴∠1=α+∠POD，∵∠POD=∠AOE，∴∠1=α+∠AOE，∴∠AOE=∠1-α，∵∠2 是△AOE 的外角，∴∠2=∠A +∠AOE，∴∠2=60︒+∠1-α；【点睛】本题考查三角形内角和定理和外角的性质、对顶角相等的性质，熟练利用三角形外角的性质是解题的关键．：。
海淀区2019-2020年初二上数学期中考试试题及答案解析
海淀区2019-2020年初二上数学期中考试试题及答案解析 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（每题3分，共30分）1．下列说法正确的是……（）A ．0的平方根是0B ．1的平方根是1C ．－1的平方根是－1D ．()21-的平方根是－12．在实数范围内,下列各式一定不成立的有( )(1)21a +=0; (2)1a -+a=0; (3)23a -+32a -=0; (4)12a -=0. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3．如图是经过轴对称变换后所得的图形，与原图形相比A ．形状没有改变，大小没有改变B ．形状没有改变，大小有改变C ．形状有改变，大小没有改变D ．形状有改变，大小有改变4．下列图形：其中所有轴对称图形的对称轴条数之和为A ．13B ．11C ．10D ．85．如图所示，△ABC ≌△CDA ，且AB ＝CD ，则下列结论错误的是（ ）A. ∠1＝∠2B. AC ＝CAC. ∠B ＝∠DD. AC ＝BC6．如图，点P 为∠AOB 内一点，分别作出点P 关于OA 、OB 的对称点P 1、P 2，连接P 1P 2交OA 于M ，交OB 于N ，若P 1P 2=6，则△PMN 的周长为（ ） A 、4 B 、5 C 、6 D 、77．下列说法中正确的是（）A．绝对值最小的实数是零;B．两个无理数的和、差、积、商仍是无理数;C．实数a的倒数是1 a ;D．一个数平方根和它本身相等，这个数是0或18．如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数（）（A）1个（B）3个（C）4个（D）5个9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC、∠ACB的平分线BD，CE相交于O点，且BD交AC 于点D，CE交AB于点E.某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD≌△CBE；②△BAD≌△BCD；③△BDA≌△CEA；④△BOE≌△COD；⑤△ACE≌△BCE.上述结论一定正确的是( )A．①②③ B．②③④C．①③⑤ D．①③④10．如图所示，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，使点C落在点C´的位置，则图中的一个等腰直角三角形是（）A. △ADCB. △BDC’C. △ADC´D. 不存在二、填空题（每题3分，共24分）11．实数4的平方根是 ． 12． 点A （－5，－6）与点B （5，－6）关于__________对称。
2020-2021学年北京市海淀区八年级上期中数学试卷
2020-2021学年北京市海淀区八年级上期中数学试卷解析版一、选择题（每题3分，共30分，每题只有一个正确选项，请填写在后边给出的括号内）. 1．（3分）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：观察图形可知A、B、C都是轴对称图形；
D、不是轴对称图形．
故选：D．
2．（3分）点P（3，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为（）
A．（﹣3，﹣5）B．（5，3）C．（﹣3，5）D．（3，5）
【解答】解：根据轴对称的性质，得点P（3，﹣5）关于y轴对称的点的坐标为（3，5）．故选：D．
3．（3分）如图，点E，F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（）
A．∠A＝∠C B．∠D＝∠B C．AD∥BC D．DF∥BE
【解答】解：当∠D＝∠B时，
在△ADF和△CBE中
∵{AD=BC ∠D=∠B DF=BE
，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
故选：B．
4．（3分）下列计算中正确的是（）
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2019-2020学年北京八中八年级(上)期中数学试卷
2019-2020学年北京八中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）下面四幅画分别是体育运动长鼓舞，武术，举重、摔跤抽象出来的简笔画，其中是轴对称图形的是()A．B．C．D．2．（3分）计算25-的结果是()A．10-B．25-C．125D．125-3．（3分）如图，ABC DEC∆≅∆，70A∠=︒，60ACB∠=︒，则E∠的度数为()A．70︒B．50︒C．60︒D．30︒4．（3分）下列各式从左到右的变形是因式分解的是()A．()a b c ab ac-=-B．2223(1)2x x x-+=-+ C．24(2)(2)x x x-=+-D．2(1)(2)32x x x x++=++5．（3分）下列分式中，是最简分式的是()A．2xxB．242xx y-C．22x yx y-+D．23x-6．（3分）如图，用尺规作图作AOC AOB∠=∠的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法是()A．以点F为圆心，OE长为半径画弧B ．以点F 为圆心，EF 长为半径画弧C ．以点E 为圆心，OE 长为半径画弧D ．以点E 为圆心，EF 长为半径画弧7．（3分）若1x =-，则下列分式值为0的是( )A ．2x xB ．1x x +C ．1x x-D ．21x x-8．（3分）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在( )A ．ABC ∆的三条中线的交点B ．ABC ∆三边的中垂线的交点C ．ABC ∆三条角平分线的交点D ．ABC ∆三条高所在直线的交点9．（3分）下列各式从左到右的变形正确的是( ) A ．1x yx y-+=-- B ．11x x y y +=+C ．11x x y y =++ D ．22233()x x y y-=10．（3分）已知：如图，在长方形ABCD 中，4AB =，6AD =．延长BC 到点E ，使2CE =，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC CD DA --向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为( )秒时．ABP ∆和DCE ∆全等．A ．1B ．1或3C ．1或7D ．3或7二、填空题（11～13每题2分，其他每题3分，共21分） 11．（2分）（1）分式132x x +-有意义的条件是 ． （2）分式211x x --的值为0的条件是 ．12．（2分）如图，点B 、A 、D 、E 在同一直线上，BD AE =，//BC EF ，要使ABC DEF ∆≅∆，则只需添加一个适当的条件是 ．（只填一个即可）13．（2分）某微生物的直径为0.000 005 035m ，用科学记数法表示该数为 ． 14．（3分）若关于x 的二次三项式2x kx b ++因式分解为(1)(3)x x --，则k b +的值为 ． 15．（3分）如果2210a a +-=，那么代数式24()2a a a a --的值是 ．16．（3分）如图的25⨯的正方形网格中，ABC ∆的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与ABC ∆成轴对称的格点三角形一共有 个，请在图中至少画一个满足题意的图形．（请画在答题纸的图形上）17．（3分）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下： 立方和公式：3322()()x y x y x xy y +=+-+； 立方差公式：3322()()x y x y x xy y -=-++；根据材料和已学知识，化简22332428x x x x x x ++---结果为 ；当3x =时分式的值为 ． 18．（3分）如图，点A ，C ，D ，E 在Rt MON ∆的边上，90MON ∠=︒，AE AB ⊥且AE AB =，BC CD ⊥且BC CD =，BH ON ⊥于点H ，DF ON ⊥于点F ，12OM =，6OE =，3BH =，4DF =，8FN =，图中阴影部分的面积为 ．三、解答题（共49分）19．（9分）分解因式： （1）26mx my -； （2）232x x -+；（3）229()()a x y b y x -+-． 20．（8分）计算：（1）2222424436x y x x x x xy-+⋅+++； （2）53(2)224m m m m -+-÷--． 21．（5分）解分式方程：2311xx x x +=--． 22．（4分）如图，AB AD =，AC AE =，BAE DAC ∠=∠．求证：C E ∠=∠．23．（5分）先化简：22211()a a a a a a---÷+，然后从1-，0，1，2中选一个你认为合适的a 值，代入求值．24．（6分）阅读下面材料，并补全证明过程：在学习“全等三角形”一章时，课本中介绍了一个平分角的仪器：老师倡议班上同学动手制作这个仪器，并思考平分角的仪器能否进行三等分角？同学们展开了研究，有的同学在二等分角的仪器基础上进行了拓展，设计制作了三等分角仪器，如图3．小易同学对制作等分角工具的数学活动非常感兴趣，他通过查阅资料，发现了一个工具——“勾尺”：“勾尺”的直角顶点为P ，“宽臂”的宽度PQ QR ==，勾尺的一边为MN ，且满足M ，N ，Q 三点共线（所以)PQ MN ⊥．小易自己制作了一把勾尺，通过实践探索发现：勾尺既可以把角二等分，也可以把角三等分，以下是他想到的两种二等分角的方法． 方法一：简要步骤：1．如图4，将勾尺OP 边与已知角BC 边重合，沿勾尺MN 边画直线EF ； 2．如图5，将勾尺OP 边与已知角BA 边重合，沿勾尺MN 边画直线GH ， 3．如图6，直线EF 与GH 交于点D ，作射线BD ；射线BD 即为ABC ∠的平分线． （1）证明过程：过点D 分别作DS BC ⊥于S ，DT BA ⊥于T ，勾尺宽臂的宽度相同， DS DT ∴=，BD ∴平分(ABC ∠ )．方法二：简要步骤：1．如图7移动勾尺到合适位置，使其顶点P 落在BC 边上，使勾尺的MN 边经过点B ，同时让点R 落在BA 边上；2．标记此时点Q 所在位置，作射线BQ ．射线BQ 是ABC ∠的平分线．证明过程： ；（2）您还有其他利用勾尺将已知角二等分的画法吗？请画出数学示意图并写出简要步骤．25．（6分）列方程解应用题：“绿色环保，健康出行”新能源汽车越来越占领汽车市场，以“北汽”和“北汽新能源500EV “为例，分别在某加油站和某充电站加油和充电的电费均为300元，而续航里程之比则为1:4，经计算新能源汽车相比燃油车节约0.6元/公里．（1）分别求出燃油车和新能源汽车的续航单价（每公里费用）；（2）随着更多新能源车进入千家万户，有条件的小区及用户将享受0.48元/度的优惠专用电费，以新能源500EV 为例，充电55度可续航400公里，试计算每公里所需电费，并求出与燃油车相同里程下的所需费用（油电）百分比．26．（6分）如图，在ABC ∆中，已知45ABC ∠=︒，过点C 作CD AB ⊥于点D ，过点B 作BM AC ⊥于点M ，连接MD ，过点D 作DN MD ⊥，交BM 于点N ．（1）求证：DBN DCM ∆≅∆；（2）设CD 与BM 相交于点E ，若点E 是CD 的中点，试探究线段NE 、ME 、CM 之间的数量关系，并证明你的结论．附加题27．（5分）将44⨯的棋盘沿格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种．28．（6分）一张边长为a 的大正方形卡片和三张边长为b 的小正方形卡片1()2a b a <<如图1，取出两张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图2，再重新用三张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图3．已知图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大29ab -，则小正方形卡片的面积是 ．29．（9分）已知，如图1，A 在x 轴负半轴上，(0,4)B -、点(6,4)E -在射线BA 上． （1）求证：点A 为BE 的中点；（2）在y 轴正半轴上有一点F ，使45FEA ∠=︒，求点F 的坐标；（3）如图2，点M 、N 分别在x 轴正半轴、y 轴正半轴上，MN NB MA ==，点I 为MON ∆的内角平分线的交点，AI 、BI 分别交y 轴正半轴、x 轴正半轴于P 、Q 两点，IH ON ⊥于H ，求证：2OP PQ OQ HI ++=．参考答案一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）下面四幅画分别是体育运动长鼓舞，武术，举重、摔跤抽象出来的简笔画，其中是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 、不是轴对称图形，故错误；B 、不是轴对称图形，故错误；C 、是轴对称图形，故正确；D 、不是轴对称图形，故错误．故选：C ．2．（3分）计算25-的结果是( ) A ．10- B ．25- C ．125D ．125-【解答】解：22115525-==． 故选：C ．3．（3分）如图，ABC DEC ∆≅∆，70A ∠=︒，60ACB ∠=︒，则E ∠的度数为( )A ．70︒B ．50︒C ．60︒D ．30︒【解答】解：70A ∠=︒，60ACB ∠=︒， 50B ∴∠=︒， ABC DEC ∆≅∆， 50E B ∴∠=∠=︒，故选：B ．4．（3分）下列各式从左到右的变形是因式分解的是( )A ．()a b c ab ac -=-B ．2223(1)2x x x -+=-+C ．24(2)(2)x x x -=+-D ．2(1)(2)32x x x x ++=++【解答】解：A 、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；B 、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；C 、是因式分解，故本选项正确；D 、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；故选：C ．5．（3分）下列分式中，是最简分式的是( )A ．2x xB ．242x x y -C ．22x y x y-+D ．23x - 【解答】解：A 、2x x x=，不是最简分式，不符合题意；B 、2422x xx y x y=--，不是最简分式，不符合题意； C 、22x y x y x y-=-+，不是最简分式，不符合题意； D 、23x -，是最简分式，符合题意； 故选：D ．6．（3分）如图，用尺规作图作AOC AOB ∠=∠的第一步是以点O 为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA 、OB 于点E 、F ，那么第二步的作图痕迹②的作法是( )A ．以点F 为圆心，OE 长为半径画弧B ．以点F 为圆心，EF 长为半径画弧C ．以点E 为圆心，OE 长为半径画弧D ．以点E 为圆心，EF 长为半径画弧【解答】解：用尺规作图作AOC AOB ∠=∠的第一步是以点O 为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA 、OB 于点E 、F ，第二步的作图痕迹②的作法是以点E 为圆心，EF 长为半径画弧． 故选：D ．7．（3分）若1x =-，则下列分式值为0的是( )A ．2x xB ．1x x +C ．1x x-D ．21x x-【解答】解：当1x =-时，211101x x --==-．故选：D ．8．（3分）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在( )A ．ABC ∆的三条中线的交点B ．ABC ∆三边的中垂线的交点C ．ABC ∆三条角平分线的交点D ．ABC ∆三条高所在直线的交点【解答】解：凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭选择ABC ∆三条角平分线的交点．故选：C ．9．（3分）下列各式从左到右的变形正确的是( ) A ．1x yx y-+=-- B ．11x x y y +=+C ．11x x y y =++ D ．22233()x x y y-=【解答】解：（B ）分子分母同时加1，左右两边不一定相等，故B 错误； （C ）原式已为最简分式，故C 错误； （D ）原式229x y=，故D 错误；故选：A ．10．（3分）已知：如图，在长方形ABCD 中，4AB =，6AD =．延长BC 到点E ，使2CE =，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC CD DA --向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为( )秒时．ABP ∆和DCE ∆全等．A．1B．1或3C．1或7D．3或7【解答】解：因为AB CD=，若90ABP DCE∠=∠=︒，2BP CE==，根据SAS证得ABP DCE∆≅∆，由题意得：22BP t==，所以1t=，因为AB CD=，若90BAP DCE∠=∠=︒，2AP CE==，根据SAS证得BAP DCE∆≅∆，由题意得：1622AP t=-=，解得7t=．所以，当t的值为1或7秒时．ABP∆和DCE∆全等．故选：C．二、填空题（11～13每题2分，其他每题3分，共21分）11．（2分）（1）分式132xx+-有意义的条件是23x≠．（2）分式211xx--的值为0的条件是．【解答】解：（1）分式132xx+-有意义的条件是：23x≠．故答案为：23x≠；（2）分式211xx--的值为0的条件是：210x-=，10x-≠，解得：1x=-．故答案为：1x=-．12．（2分）如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD AE=，//BC EF，要使ABC DEF∆≅∆，则只需添加一个适当的条件是BC EF=或BAC EDF∠=∠．（只填一个即可）【解答】解：若添加BC EF =， //BC EF ，B E ∴∠=∠， BD AE =，BD AD AE AD ∴-=-，即BA ED =，在ABC ∆和DEF ∆中， BC EF B E BA ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABC DEF SAS ∴∆≅∆；若添加BAC EDF ∠=∠， //BC EF ，B E ∴∠=∠， BD AE =，BD AD AE AD ∴-=-，即BA ED =，在ABC ∆和DEF ∆中， B E BA EDBAC EDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ABC DEF ASA ∴∆≅∆，故答案为：BC EF =或BAC EDF ∠=∠13．（2分）某微生物的直径为0.000 005 035m ，用科学记数法表示该数为 65.03510-⨯ ． 【解答】解：0.000 005 6035 5.03510-=⨯， 故答案为：65.03510-⨯．14．（3分）若关于x 的二次三项式2x kx b ++因式分解为(1)(3)x x --，则k b +的值为 1- ．【解答】解：由题意得：22(1)(3)43x kx b x x x x ++=--=-+， 4k ∴=-，3b =，则431k b +=-+=-． 故答案为：1-15．（3分）如果2210a a +-=，那么代数式24()2a a a a --的值是 1 ．【解答】解：24()2a a a a --2242a a a a -=- 2(2)(2)2a a a a a +-=- (2)a a =+ 22a a =+， 2210a a +-=， 221a a ∴+=，∴原式1=，故答案为：1．16．（3分）如图的25⨯的正方形网格中，ABC ∆的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与ABC ∆成轴对称的格点三角形一共有 4 个，请在图中至少画一个满足题意的图形．（请画在答题纸的图形上）【解答】解：如图所示：都是符合题意的图形． 故在网格中与ABC ∆成轴对称的格点三角形一共有4个， 故答案为：4．17．（3分）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：立方和公式：3322()()x y x y x xy y +=+-+； 立方差公式：3322()()x y x y x xy y -=-++；根据材料和已学知识，化简22332428x x x x x x ++---结果为 22x - ；当3x =时分式的值为 ．【解答】原式22324(2)(2)(24)x x x x x x x x ++=---++ 3122x x =--- 22x =-， 把3x =代入原式22325=+． 故答案为：22x -，25． 18．（3分）如图，点A ，C ，D ，E 在Rt MON ∆的边上，90MON ∠=︒，AE AB ⊥且AE AB =，BC CD ⊥且BC CD =，BH ON ⊥于点H ，DF ON ⊥于点F ，12OM =，6OE =，3BH =，4DF =，8FN =，图中阴影部分的面积为 50 ．【解答】解：90EAO BAH ∠+∠=︒，90EAO AEO ∠+∠=︒， BAH AEO ∴∠=∠，在AEO ∆和BAH ∆中， 90AEO BAHO BHA AE AB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ()AEO BAH AAS ∴∆≅∆，同理()BCH CDF AAS ∆≅∆，3AO BG ∴==，6AH EO ==，4CH DF ==，3BH CF ==， 梯形DEOF 的面积1()802EF DH FH =+⋅=，192AEO ABH S S AF AE ∆∆==⋅=， 162BCH CDF S S CH DH ∆∆==⋅=，∴图中实线所围成的图形的面积80292650S =-⨯-⨯=，故答案为：50． 三、解答题（共49分） 19．（9分）分解因式： （1）26mx my -； （2）232x x -+；（3）229()()a x y b y x -+-． 【解答】解：（1）原式2(3)m x y =-；（2）原式(1)(2)x x =--；（3）原式229()()a x y b x y =---22()(9)x y a b =-- ()(3)(3)x y a b a b =-+-．20．（8分）计算：（1）2222424436x y x x x x xy-+⋅+++； （2）53(2)224m m m m -+-÷--． 【解答】解：（1）原式2(2)(2)2(2)3(2)x y x y x x x x y -++=⋅++ 23(2)x yx x -=+；（2）原式252(2)()123m m x m +-=-⋅-- 2452(2)23m m m m ---=⋅-- 2(3)(3)3m m m -+=- 26m =+．21．（5分）解分式方程：2311xx x x +=--． 【解答】解：去分母得：223x x x +-=， 解得：3x =，经检验3x =是分式方程的解．22．（4分）如图，AB AD =，AC AE =，BAE DAC ∠=∠．求证：C E ∠=∠．【解答】证明：BAE DAC ∠=∠ BAE CAE DAC CAE ∴∠+∠=∠+∠CAB EAD ∴∠=∠，且AB AD =，AC AE =()ABC ADE SAS ∴∆≅∆ C E ∴∠=∠23．（5分）先化简：22211()a a a a a a---÷+，然后从1-，0，1，2中选一个你认为合适的a 值，代入求值．【解答】解：原式222211a a a a a a-+-=÷+ 2(1)(1)(1)(1)a a a a a a -+=-+ 1a =-，当2a =时，原式1121a =-=-=-．24．（6分）阅读下面材料，并补全证明过程：在学习“全等三角形”一章时，课本中介绍了一个平分角的仪器：老师倡议班上同学动手制作这个仪器，并思考平分角的仪器能否进行三等分角？同学们展开了研究，有的同学在二等分角的仪器基础上进行了拓展，设计制作了三等分角仪器，如图3．小易同学对制作等分角工具的数学活动非常感兴趣，他通过查阅资料，发现了一个工具——“勾尺”：“勾尺”的直角顶点为P ，“宽臂”的宽度PQ QR ==，勾尺的一边为MN ，且满足M ，N ，Q 三点共线（所以)PQ MN ⊥．小易自己制作了一把勾尺，通过实践探索发现：勾尺既可以把角二等分，也可以把角三等分，以下是他想到的两种二等分角的方法． 方法一：简要步骤：1．如图4，将勾尺OP 边与已知角BC 边重合，沿勾尺MN 边画直线EF ； 2．如图5，将勾尺OP 边与已知角BA 边重合，沿勾尺MN 边画直线GH ， 3．如图6，直线EF 与GH 交于点D ，作射线BD ；射线BD 即为ABC ∠的平分线． （1）证明过程：过点D 分别作DS BC ⊥于S ，DT BA ⊥于T ， 勾尺宽臂的宽度相同， DS DT ∴=，BD ∴平分(ABC ∠ 到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上 )．方法二：简要步骤：1．如图7移动勾尺到合适位置，使其顶点P 落在BC 边上，使勾尺的MN 边经过点B ，同时让点R 落在BA 边上；2．标记此时点Q 所在位置，作射线BQ ．射线BQ 是ABC ∠的平分线．证明过程： ；（2）您还有其他利用勾尺将已知角二等分的画法吗？请画出数学示意图并写出简要步骤．【解答】解：（1）方法一：如图6中，过点D 分别作DS BC ⊥于S ，DT BA ⊥于T ，勾尺宽臂的宽度相同，DS DT∴=，∴平分ABCBD∠（到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上）．故答案为：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上．方法二：如图8中，=，⊥，PQ QRBQ PR∴=，BR BPQBR QBP∴∠=∠，∴平分ABCBQ∠．（2）如图9中，利用“勾尺”分别在BC，BA上截取BM BN OP==，==，BH BG PR连接NH，GM交于点O，作射线BO，则BO平分ABC∠．GB BH=，∠=∠，BM BN=，GBM HBN∴∆≅∆，()GBM HBN SAS∴∠=∠，BMG BAH=，=，BG BHBN BM∴=，NG MH∠=∠，NOG MOH∴∆≅∆，NOG MOH AAS()∴=，OG OHBO BO =，()BOG BOH SSS ∴∆≅∆，GBO HBO ∴∠=∠，BO ∴平分ABC ∠．25．（6分）列方程解应用题：“绿色环保，健康出行”新能源汽车越来越占领汽车市场，以“北汽”和“北汽新能源500EV “为例，分别在某加油站和某充电站加油和充电的电费均为300元，而续航里程之比则为1:4，经计算新能源汽车相比燃油车节约0.6元/公里．（1）分别求出燃油车和新能源汽车的续航单价（每公里费用）；（2）随着更多新能源车进入千家万户，有条件的小区及用户将享受0.48元/度的优惠专用电费，以新能源500EV 为例，充电55度可续航400公里，试计算每公里所需电费，并求出与燃油车相同里程下的所需费用（油电）百分比．【解答】解：（1）设燃油车的续航里程为x 公里，则新能源汽车的续航里程为4x 公里， 由题意得：3003000.64x x-=， 解得：375x =，经检验，375x =是原方程的解，则燃油车的续航单价为：3003750.8÷=（元/公里），新能源汽车的续航单价为：300\(4375)0.2÷⨯=（元/公里），答：燃油车的续航单价为0.8元/公里，新能源汽车的续航单价为0.2元/公里；（2）新能源500EV 续航400公里所需费用为：0.485526.4⨯=（元)，∴新能源500EV 每公里所需电费为：26.44000.066÷=（元)，则0.0660.88.25%÷=，答：新能源500EV 每公里所需电费为0.066元，与燃油车相同里程下的所需费用（油电）百分比为8.25%．26．（6分）如图，在ABC ∆中，已知45ABC ∠=︒，过点C 作CD AB ⊥于点D ，过点B 作BM AC ⊥于点M ，连接MD ，过点D 作DN MD ⊥，交BM 于点N ．（1）求证：DBN DCM ∆≅∆；（2）设CD 与BM 相交于点E ，若点E 是CD 的中点，试探究线段NE 、ME 、CM 之间的数量关系，并证明你的结论．【解答】（1）证明：45ABC ∠=︒，CD AB ⊥，45ABC DCB ∴∠=∠=︒，BD DC ∴=，90BDC MDN ∠=∠=︒，BDN CDM ∴∠=∠，CD AB ⊥，BM AC ⊥，90ABM A ACD ∴∠=︒-∠=∠，在DBN ∆和DCM ∆中，BDN CDM BD DCDBN DCM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()DBN DCM ASA ∴∆≅∆．（2）结论：NE ME CM -=．证明：由（1）DBN DCM ∆≅∆ 可得DM DN =．作DF MN ⊥于点F ，又ND MD ⊥，DF FN ∴=，在DEF ∆和CEM ∆中，DEF CEM DFE CME DE EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DEF CEM AAS ∴∆≅∆，ME EF ∴=，CM DF =，CM DF FN NE FE NE ME ∴===-=-．易证CME BDE ∆∆∽， ∴2CM BD EM DE==，2CM EM∴=，3NE EM=，::1:2:3EM CM NE∴=．综上所述，CM NE ME=-，::1:2:3EM CM NE=．附加题27．（5分）将44⨯的棋盘沿格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种．【解答】解：如图所示，（答案不唯一）28．（6分）一张边长为a的大正方形卡片和三张边长为b的小正方形卡片1()2a b a<<如图1，取出两张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图2，再重新用三张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图3．已知图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大29ab-，则小正方形卡片的面积是3．【解答】解：由图可得，图2中阴影部分的面积是：2(2)b a -，图3中阴影部分的面积是：()()a b a b --， 则2()()(2)29a b a b b a ab ----=-，化简，得23b =，故答案为：3．29．（9分）已知，如图1，A 在x 轴负半轴上，(0,4)B -、点(6,4)E -在射线BA 上．（1）求证：点A 为BE 的中点；（2）在y 轴正半轴上有一点F ，使45FEA ∠=︒，求点F 的坐标；（3）如图2，点M 、N 分别在x 轴正半轴、y 轴正半轴上，MN NB MA ==，点I 为MON ∆的内角平分线的交点，AI 、BI 分别交y 轴正半轴、x 轴正半轴于P 、Q 两点，IH ON ⊥于H ，求证：2OP PQ OQ HI ++=．【解答】（1）证明：过E 点作EG x ⊥轴于G ， (0,4)B -，(6,4)E -，4OB EG ∴==，在AEG ∆和ABO ∆中，90EAG BAO EGA BOA EG BO ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()AEG ABO AAS ∴∆≅∆，AE AB ∴=，∴点A 为BE 的中点；（2）解：过A 作AD AE ⊥交EF 的延长线于D ，过D 作DK x ⊥轴于K ，如图11-所示： 则90EGA DAE AKD ∠=∠=∠=︒，90GAE AEG GAE DAK ∴∠+∠=∠+∠=︒，AEG DAK ∴∠=∠，45FEA ∠=︒，ADE ∴∆是等腰直角三角形，AE AD ∴=，在AEG ∆和DAK ∆中，EGA AKD AEG DAK AE DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AEG DAK AAS ∴∆≅∆，EG AK ∴=，AG DK =，(0,4)B -，(6,4)E -，(3,0)A ∴-，6OG =，4EG =，3OA ∴=，3AG DK ==，4AK EG ==，1OK AK OA ∴=-=，(1,3)D ∴，设(0,)F y ，梯形EGKD 的面积=梯形EGOF 的面积+梯形FOKD 的面积， ∴111(34)(34)(4)6(3)1222y y ⨯+⨯+=⨯+⨯+⨯+⨯， 解得：227y =， ∴点F 的坐标为22(0,)7；（3）证明：如图2，连接MI 、NI ， I 为MON ∆内角平分线交点，NI ∴平分MNO ∠，MI 平分OMN ∠，在MIN ∆和MIA ∆中，MN MA NMI AMI MI MI =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MIN MIA SAS ∴∆≅∆，MIN MIA ∴∠=∠，同理可得，MIN NIB ∠=∠， NI 平分MNO ∠，MI 平分OMN ∠，90MON ∠=︒， 135MIN ∴∠=︒，135MIN MIA NIB ∴∠=∠=∠=︒，135336045AIB ∴∠=︒⨯-︒=︒，连接OI ，过I 作IS OM ⊥于S ，IH ON ⊥，OI 平分MON ∠，IH IS OH OS ∴===，90HIS ∠=︒，45HIP QIS ∠+∠=︒， 在SM 上截取SC HP =，连接CI ，在HIP ∆和SIC ∆中，IH IS IHP ISC HP SC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()HIP SIC SAS ∴∆≅∆，IP IC ∴=，HIP SIC ∠=∠，45QIC QIP ∴∠=︒=∠，在QIP ∆和QIC ∆中，IP IC QIP QIC QI QI =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()QIP QIC SAS ∴∆≅∆，PQ QC QS HP∴==+，∴++=+++=+=．2OP PQ OQ OP PH OQ OS OH OS HI。
2019-2020北京第八中学初二上册期中考试试卷数学(含解析).docx
北京第八中学初二上期中数学试卷一、选择题1．下列图形中，是轴对称图形的是 （ ）．A ．B ．C ．D ．2．下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）．A ．()a x y ax ay +=+B ．244(4)4x x x x -+=-+C ．21055(21)x x x x -=-D ．2163(4)(4)3x x x x x -+=+-+3．下列运算中，正确的是（ ）．A ．222235x x x +=B ．236x x x ⋅=C ．238()x x =D ．222()x y x y +=+4．已知：如图，D 、E 分别在AB 、AC 上，若AB AC =，AD AE =，60A ∠=︒，35B ∠=︒，则B D C ∠的度数是（ ）．A ．95︒B ．90︒C ．85︒D ．80︒5．如图，OP 平分MON ∠，PA ON ⊥于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若2PA =，则PQ 的最小值为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．46．下列各式中，正确的是（ ）．A ．3355x x y y --=-B ．a b a b c c +-+-=C ．a a b a a b -=--D ．a b a b c c ---=-7．如图，已知ABC △的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和ABC △全等的图形是（ ）． A ．甲B ．乙C ．丙D ．乙与丙8．如图，把ABC △沿EF 对折，叠合后的图形如图所示．若60A ∠=︒，195∠=︒，则2∠的度数为（ ）． A ．24︒B ．25︒C ．30︒D ．35︒二、填空题9．当x __________时，分式11x-有意义．10．在解分式方程2231111x x x -=+--时，小兰的解法如下： 解：方程两边同乘以(1)(1)x x +-，得2(1)31x --=．① 2131x --=． ② 解得：52x =． 检验：52x =时，(1)(1)0x x +-≠， ③ 所以，原分式方程的解为52x =． ④如果假设基于上一步骤正确的前提下，你认为小兰在哪些步骤中出现了错误__________（只填序号）．11．如图，将ABC △绕点A 旋转到ADE △，75BAC ∠=︒，25DAC ∠=︒，则CAE ∠=__________．12．如图，已知AB BD ⊥，AB ED ∥，AB ED =，要说明ABC △≌EDC △，若以“SAS ”为依据，还要添加的条件为__________．若添加条件AC EC =，则可以用__________判定全等．13．如图，在ABC △中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ．若ADC ∆的周长为16，12AB =，则ABC △的周长为__________．14．若关于x 的二次三项式2+x kx b +因式分解为(1)(3)x x --，则+k b 的值为__________．15．计算：321(3)()x x y ---÷=__________．16．在平面直角坐标系中，已知点(1,2)A ，(5,5)B ，(5,2)C ，存在点E ，使ACE △和ACB △全等，写出所有满足条件的E 点的坐标__________．三、解答题17．因式分解：（1）256x x --（2）33312a b ab -18．因式分解：2269x x y -+-．19．计算：211(1)m m m-+÷．20．如图，点B ，E ，F ，C 在一条直线上，AB DC =，BE CF =，B C ∠=∠．求证：A D ∠=∠．21．已知2430x x --=，求代数式22(23)()()x x y x y y --+--的值．22．先化简，再对a 取一个适当的数，代入求值．221369324a a a a a a a +--+--+-÷．四、作图题（本题5分）23．电信部门要在．P 区域内．．．修建一座电视信号发射塔．如图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A 、B的距离必须相等，到两条高速公路m 和n 的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图中标出它的位置．（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论）五、解答题24．已知：ABC △中，AC BC ⊥，CE AB ⊥于E ，AF 平分CAB ∠交CE 于F ，过F 作FD BC ∥交AB于D ．求证：AC AD =．25．赵老师为了响应市政府“绿色出行”的号召，上下班由自驾车方式改为骑自行车方式．已知赵老师家距学校20千米，上下班高峰时段，自驾车的速度是自行车速度的2倍，骑自行车所用时间比自驾车所用时间多59小时．求自驾车速度和自行车速度各是多少？26．在ABC △中，（1）如图1，BP 为ABC ∆的角平分线，PM AB ⊥于M ，PN BC ⊥于N ，50AB =，60BC =，请补全图形，并直接写出ABP △与BPC △面积的比值．（2）如图2，分别以ABC ∆的边AB 、AC 为边向外作等边三角形ABD 和ACE ，CD 与BE 相交于点O ，求证：BE CD=．（3）在（2）的条件下判断AOD∠的数量关系，并加以证明．∠与AOE（注：可以直接应用等边三角形每个角为60︒）北京第八中学初二上期中数学试卷参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 B C A A B C D B二、填空题9．1x ≠10．①②11．50︒12．BC DC =，HL13．2814．1-15．27yx16．(1,5)、(1,1)-、(5,1)三、解答题17．因式分解解：（1）原式(+1)(6)x x =-（2）原式223()ab a b =-3(2)(2)ab a b a b =+-18．解：原式22(3)x y =--(3)(3)x y x y =-+--．19．解：原式1(1)(1)m m m m m ++-=÷1(1)(1)m mm m m +=⋅-+1-1m =．20．解：∵BE CF =，EF EF =，∴BF CE =，在ABF △和DCE △中，AB DCABF DCE BF CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABF △≌DCE △，∴A D ∠=∠．21．解：∵0342=--x x ，∴24360x x -+-=，∴(1)(3)6x x --=．22(23)()()x x y x y y --+--2222(23)x x y y =--+-22(23)x x =--(3)(33)x x =--3(1)(3)x x =--，将(1)(3)6x x --=代入上式，则22(23)()()3618x x y x y y --+--=⨯=．22．解：221369324a a a a a a a +--+--+-÷213(2)(2)32(3)a a a a a a a +-+-=-⨯-+-1233a a a a +-=---33a =-．令1a =，得原式33132==--．23．解：如图所示．线段AB 的中垂线与m 、n 的角平分线的交点就是所求的点．24．解：过F 点作FG AC ⊥交AC 于点G ，∵AF 平分CAB ∠，∴GAF EAF ∠=∠，在Rt AGF △和Rt AEF △中，AF AF GAF EAF=⎧⎨∠=∠⎩， ∴Rt AGF △≌Rt AEF △，∴AG AE =，FG FE =，∵DG 与CE 相交于点F ，∴CFG DFE ∠=∠，在Rt CFG △和Rt DFE △中，FG FECFG DFE =⎧⎨∠=∠⎩，∴Rt CFG △和Rt DFE △，∴CG DE =，∴AC AD =．25．解：设自行车速度为x 千米/时， 则2020529x x -=18x =．∴自行车的速度为18千米/时，自驾车的速度是36千米/时．26．解：（1）∵BP 平分ABC ∠，PM AB ⊥且PN AB ⊥，∴PM PN =， ∴1252ABP S AB PM PM =⋅=△，1302PBC S BC PN PN =⋅=△，∴:25:305:6ABP BPC S S ==△△．（2）∵等边ABD △和等边ACE △，∴AD AB =，AC AE =，60BAD CAE ∠=∠=︒，∵DAC BAC BAD ∠=∠+∠，BAE BAC CAE ∠=∠+∠，∴DAC BAE ∠=∠，在DAC △和BAE △中，AD ABDAC BAE AC AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DAC △≌BAE △，∴EB CD =．（3）∵AOE ∠是ABO △的外角，∴AOE BAO ABO ∠=∠+∠，∵AOD ∠是AOD △的内角，∴180120AOD ADO DAO ADO BAO ∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠，∵DAC △≌BAE △，∴ADC ABE ∠=∠，∴120AOD ABO BAO ∠=︒-∠-∠，∴120AOD AOE ∠=︒-∠，即120AOD AOE ∠+∠=︒．北京第八中学初二上期中数学试卷参考答案一、选择题1．【答案】B【解析】轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴。
北京市海淀区2019-2020八年级上学期期末数学试卷 及答案解析
北京市海淀区2019-2020八年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列图案是轴对称图形的是()．A. B.C. D.2.用科学记数法表示−0.0000031，结果是()A. −3.1×10−4B. 3.1×10−6C. −0.31×10−5D. −3.1×10−63.下列运算的结果为a6的是()A. a3+a3B. (a3)3C. a3⋅a3D. a12÷a24.下列分解因式正确的是()A. x2−4=(x−4)(x+4)B. 2x3−2xy2=2x(x+y)(x−y)C. x2+y2=(x+y)2D. x2−2x+1=x(x−2)+15.如图，在△ABC中，AB=AC.在AB、AC上分别截取AP，AQ，使AP=AQ.再分别以点P，Q为圆心，以大于12PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D.若BC=6，则BD的长为()A. 2B. 3C. 4D.56.一个长方形的面积为2x2y−4xy3+3xy，长为2xy，则这个长方形的宽为()A. x−2y2+32B. x−y3+32C. x−2y+3D. xy−2y+327.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则有下列结论：(1)△ADE≌△ADF；(2)△BDE≌△CDF；(3)△ABD≌△ACD；(4)AE=AF；(5)DE=DF；(6)BD=CD；(7)∠ADE=∠ADF，错误的个数有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8.如图，在正方形ABCD中，点E、F在边BC、CD上，且CE=CF.则图中全等的三角形的对数为()A. 6B. 7C. 8D. 99.分式1a+1+1a(a+1)的计算结果是()．A. 1a+1B. aa+1C. 1aD. a+1a10.一个大长方形ABCD按如图方式分割成九个四边形，且只有标号为①和②的两个正好为正方形，其余均为长方形.若已知小正方形①的周长为12，小长方形③的周长为2m，小长方形④的周长为2n，且3(m+n)+mn=61，这个大长方形ABCD的面积()A. 60B. 70C. 80D. 90二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）11.如果分式x(x−2)x−2的值为0，则x的值是______．12.计算(−x2)2⋅(2xy2)2=______ ．13.如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，在河岸BM上截取BC=CD，作DE⊥BD交AC的延长线于点E，垂足为点D，测得ED=3，CD=4，则A、B两点间的距离等于______．14.两点之间________叫做这两点之间的距离．15.在平面直角坐标系xOy中，如果AB//y轴，点A的坐标为(−3,4)，A、B两点的距离为5，那么点B的坐标为____________。
【20套试卷合集】北京市海淀区名校2019-2020学年数学八上期中模拟试卷含答案
_-4_-1_4_3_2_1_02019-2020学年八上数学期中模拟试卷含答案一 精心选一选（每题3分，共30分）1.下列图形中，是轴对称图形的为 （ ）2.下列各组数中互为相反数的是（ ）A.2)2(2--与 B.382--与 C.2)2(2-与 D.22与-3．不用计算器，估算95的值应在（ ）A ． 8~9之间B ． 9~10之间C ． 11~12之间D ． 11~12之间4.如图：AB=AD ，AE 平分∠BAD ，则图中有（ ）对全等三角 形。
A ：2B ：3C ：4D ：55. 下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ）A 1,2,3B 2,3,4C 3,4,5D 4,5,66．在3π-，－2，4，22，3.14，()02中无理数的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 7. 和数轴上的点一一对应的是 （ ） A ．实数 B ．有理数 C ．整数 D ．无理数 8. 到三角形各个顶点距离都相等的点是这个三角形的 （ ） A ．三条中线的交点 B ．三条高的交点 C ．三条边的垂直平分线的交点 D ．三条角平分线的交点9.已知等腰三角形的周长为15 cm ，其中一边长为7 cm ，则该等腰三角形的底边长为（ ） A.3 cm 或5 cmB.1 cm 或7 cmC.3 cmD.5 cm10．如图所示，一条数轴被一滩墨迹覆盖了一部分．下列实数中，被墨迹覆盖的是（ ）A ．3-B ．11C ．7D ．27（第4题）EDCBA二 用心填一填（每空2分，共20分）11. 16的平方根是 ，－64的立方根是 ，25的算术平方根是_______ 12.按要求对下列各数取近似值 3.14159（精确到0.001）≈___________. 13.23 的绝对值是 14．等腰△ABC 中，若∠A=30°，则∠B=________．15．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2．16. 如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是 . 17. 如图所示，点为∠内一点，分别作出点关于、的对称点，，连接交于点，交于点，已知，则△的周长为_______.18.如图，ΔABC 中，AB=AC=14cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，ΔDBC 的周长是24cm ，则BC= cm .第16题图 第18题第15题图三．耐心画一画（共10分）19（4分）．画出下列△ABC 关于直线l 的轴对称图形．A BCMDNOBEDCAB20. （6分）如图：已知∠AOB 和C 、D 两点，求作一点P ，使PC=PD ，且P 到∠AOB 两边的距离相等．（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹） 四．细心解一解（本大题共60分）21.（每小题4分，共8分）求下列各式中的x（1）622=x ； （2）()813-=+x ．22．（6分）如图，∠DAC 是△ABC 的一个外角，AE 平分∠DAC ，且AE ∥BC ，那么AB 与AC 相等吗？为什么？23.（8分）如图，有一块四边形花圃ABCD ，∠A=90°，AD=6m ，AB=8m ，BC=24m ，DC=26m ，若在这块花圃上种植花草，已知每种植1m 2需50元，则共需多少元？DCB A25.（8分）已知，如图，四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90°，M 、N 分别是AC 、BD 的中点，则结论：（1）MD=MB ；（2）MN ⊥BD 成立吗？请说明理由。
北京师大附中2019-2020学年八年级(上)期中数学试卷 含解析
2019-2020学年八年级（上）期中数学试卷一．选择题（共10小题）1．下列各式：，，x2+y2，5，，，其中分式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．已知，那么等于（）A．B．C．D．3．如图，AE∥DF，AE＝DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（）A．AB＝CD B．EC＝BF C．∠A＝∠D D．AB＝BC4．使分式有意义的x的取值范围是（）A．x≠0 B．x≠﹣1 C．x≠1 D．x≠25．如图，AB＝CD，AD＝CB，判定△ABD≌△CDB的依据是（）A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS6．下列各式中最简分式是（）A．B．C．D．7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD＝4cm，则点D到AB的距离DE是（）A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm8．若分式方程有增根，则a的值是（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣29．如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．AB＝DC，AC＝DB B．AB＝DC，∠ABC＝∠DCBC．BO＝CO，∠A＝∠D D．AB＝DC，∠DBC＝∠ACB10．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于G．则下列结论中错误的是（）A．AD＝BE B．BE⊥ACC．△CFG为等边三角形D．FG∥BC二．填空题（共8小题）11．用科学记数法表示：0.00000108＝．12．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第块．13．若（2x+5）﹣3有意义，则x满足的条件是．14．计算：．15．如果多项式y2﹣（m﹣1）y+1是完全平方式，那么m的值为．16．当x＝时，分式的值为0．17．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝°．18．已知：（n＝1，2，3，…），记b1＝2（1﹣a1），b2＝2（1﹣a1）（1﹣a2），…，b n＝2（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n），则通过计算推测出b n的表达式b n＝．（用含n的代数式表示）三．解答题（共11小题）19．分解因式：（1）（2）a3﹣2a2b+ab220．计算：（1）（2）（3）21．先化简1﹣÷，再任取一个你喜欢的x的值，代入求值．22．解方程：﹣＝1．23．已知：如图，D是BC上一点，AB＝BD，DE∥AB，∠A＝∠DBE．求证：AC＝BE．24．北京时间2015年7月31日，国际奥委会主席巴赫宣布：中国北京获得2022年第24届冬季奥林匹克运动会举办权．北京也创造历史，成为第一个既举办过夏奥会又举办冬奥会的城市，张家口也成为本届冬奥会的协办城市．近期，新建北京至张家口铁路可行性研究报告已经获得国家发改委批复，同意新建北京至张家口铁路，铁路全长约180千米．按照设计，京张高铁列车的平均行驶速度是普通快车的1.5倍，用时比普通快车用时少了20分钟，求高铁列车的平均行驶速度．25．阅读下面的材料，解决问题．例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0，∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0，∴m+n＝0，n﹣3＝0，∴m＝﹣3，n＝3．问题：（1）若2x2+4x﹣2xy+y2+4＝0，求x y的值；（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2＝10a+8b﹣41，求c的取值范围．26．一块含45°的直角三角板ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为射线CB上一点，且不与点C，点B重合，连接AD．过点A作线段AD的垂线l，在直线l上，截取AE＝AD（点E与点C在直线AD的同侧），连接CE．（1）当点D在线段CB上时，如图1，线段CE与BD的数量关系为，位置关系为；（2）当点D在线段CB的延长线上时，如图2，①请将图形补充完整；②（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．27．【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：（1）根据图2，写出一个代数恒等式：．（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝．（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形，则x+y+z＝．【知识迁移】（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：．28．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p ≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）＝．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）＝．（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）＝1；（2）如果一个两位正整数t，t＝10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F（t）的最大值．29．已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝α，直线AE与BD交于点F．（1）如图1所示，①求证AE＝BD．②求∠AFB（用含α的代数式表示）．（2）将图1中的△ACD绕点C顺时针旋转某个角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），得到如图2所示的图形，若∠AFB＝150°，请直接写出此时对应的α的大小（不用证明）．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列各式：，，x2+y2，5，，，其中分式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据分式的定义对上式逐个进行判断，得出正确答案．【解答】解：，这2个式子分母中含有字母，因此是分式．其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．故选：B．2．已知，那么等于（）A．B．C．D．【分析】由题干条件求出a、b的关系，然后求出．【解答】解：由原式子可得出：5（a﹣b）＝3a，即：2a＝5b；所以＝，故选：B．3．如图，AE∥DF，AE＝DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（）A．AB＝CD B．EC＝BF C．∠A＝∠D D．AB＝BC【分析】由条件可得∠A＝∠D，结合AE＝DF，则还需要一边或一角，再结合选项可求得答案．【解答】解：∵AE∥DF，∴∠A＝∠D，∵AE＝DF，∴要使△EAC≌△FDB，还需要AC＝BD，∴当AB＝CD时，可得AB+BC＝BC+CD，即AC＝BD，故选：A．4．使分式有意义的x的取值范围是（）A．x≠0 B．x≠﹣1 C．x≠1 D．x≠2【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：∵使分式有意义，∴x﹣2≠0，解得：x≠2．故选：D．5．如图，AB＝CD，AD＝CB，判定△ABD≌△CDB的依据是（）A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS【分析】根据AB＝CD、AD＝CB、BD＝DB，利用全等三角形判定定理SSS即可证出△ABD ≌△CDB．【解答】解：在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（SSS）故选：A．6．下列各式中最简分式是（）A．B．C．D．【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．【解答】解：A、原式＝﹣1，不是最简分式；B、是最简分式；C、原式＝，不是最简分式；D、原式＝＝，不是最简分式；故选：B．7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD＝4cm，则点D到AB的距离DE是（）A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝CD．【解答】解：∵∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∴DE＝CD，∵CD＝4cm，∴点D到AB的距离DE是4cm．故选：B．8．若分式方程有增根，则a的值是（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【分析】分式方程的增根即为使分式方程无意义的解，即使分式分母为零的解，可得方程的增根是x＝2．先求出分式方程的根，使其等于2，可求a的值．【解答】解：程方成左右同时乘2（x﹣2），得2+6（x﹣2）＝a解得：x＝∵x＝2是分式方程的增根，∴＝2∴a＝2故选：B．9．如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．AB＝DC，AC＝DB B．AB＝DC，∠ABC＝∠DCBC．BO＝CO，∠A＝∠D D．AB＝DC，∠DBC＝∠ACB【分析】本题要判定△ABC≌△DCB，已知BC是公共边，具备了一组边对应相等．所以由全等三角形的判定定理作出正确的判断即可．【解答】解：根据题意知，BC边为公共边．A、由“SSS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；B、由“SAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；C、由BO＝CO可以推知∠ACB＝∠DBC，则由“AAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；D、由“SSA”不能判定△ABC≌△DCB，故本选项正确．故选：D．10．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于G．则下列结论中错误的是（）A．AD＝BE B．BE⊥ACC．△CFG为等边三角形D．FG∥BC【分析】A、证明△ACD≌△BCE即可得出答案；B、根据等边三角形性质得出AB＝BC，只有F为AC中点时，才能推出AC⊥BE．C、由△ACG≌△BCF，推出CG＝CF，根据∠ACG＝60°即可证明；D、根据等边三角形性质得出∠CFG＝∠ACB＝60°，根据平行线的判定推出即可．【解答】解：A、∵△ABC和△CDE均为等边三角形，∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACD＝∠ECB，在△ACD与△BCE中，∵，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，正确，故本选项错误；B、根据已知不能推出F是AC中点，即AC和BF不垂直，所以AC⊥BE错误，故本选项正确；C、△CFG是等边三角形，理由如下：∵∠ACG＝180°﹣60°﹣60°＝60°＝∠BCA，∵△ACD≌△BCE，∴∠CBE＝∠CAD，在△ACG和△BCF中∵，∴△ACG≌△BCF（ASA），∴CG＝CF，又∵∠ACG＝60°∴△CGH是等边三角形，正确，故本选项错误；D、∵△CFG是等边三角形，∴∠CFG＝60°＝∠ACB，∴FG∥BC，正确，故本选项错误；故选：B．二．填空题（共8小题）11．用科学记数法表示：0.00000108＝ 1.08×10﹣6．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.00000108＝1.08×10﹣6．故答案为：1.08×10﹣6．12．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第 2 块．【分析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．【解答】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．故答案为：2．13．若（2x+5）﹣3有意义，则x满足的条件是．【分析】根据负整数指数幂的底数不等于0列式计算即可得解．【解答】解：∵（2x+5）﹣3有意义，∴2x﹣5≠0，∴x满足的条件是x≠﹣．故答案为：x≠﹣．14．计算：＝1 ．【分析】题目中只有乘除运算，按照运算法则按顺序计算即可．【解答】解：原式＝x＝1故答案为1．15．如果多项式y2﹣（m﹣1）y+1是完全平方式，那么m的值为3或﹣1 ．【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．【解答】解：∵多项式y2﹣（m﹣1）y+1是完全平方式，∴m﹣1＝±2，解得：m＝3或﹣1，故答案为：3或﹣116．当x＝﹣1 时，分式的值为0．【分析】分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零．【解答】解：依题意，得x2﹣1＝0，且x2﹣2x+1≠0，∴（x﹣1）（x+1）＝0且（x﹣1）2≠0，解得，x＝﹣1．故答案是：﹣1．17．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝135 °．【分析】观察图形可知∠1与∠3互余，∠2是直角的一半，利用这些关系可解此题．【解答】解：观察图形可知：△ABC≌△BDE，∴∠1＝∠DBE，又∵∠DBE+∠3＝90°，∴∠1+∠3＝90°．∵∠2＝45°，∴∠1+∠2+∠3＝∠1+∠3+∠2＝90°+45°＝135°．故答案为：135．18．已知：（n＝1，2，3，…），记b1＝2（1﹣a1），b2＝2（1﹣a1）（1﹣a2），…，b n＝2（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n），则通过计算推测出b n的表达式b n＝．（用含n的代数式表示）【分析】根据题意按规律求解：b1＝2（1﹣a1）＝2×（1﹣）＝＝，b2＝2（1﹣a1）（1﹣a2）＝×（1﹣）＝＝，…．所以可得：b n的表达式b n＝．【解答】解：根据以上分析b n＝2（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n）＝．三．解答题（共11小题）19．分解因式：（1）（2）a3﹣2a2b+ab2【分析】（1）原式利用平方差公式计算即可求出值；（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式＝（x+y）（x﹣y）；（2）原式＝a（a2﹣2ab+b2）＝a（a﹣b）2．20．计算：（1）（2）（3）【分析】（1）根据实数的混合运算顺序和绝对值的意义求解可得；（2）根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得；（3）根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣1﹣（﹣1）＝﹣2﹣+1＝﹣1﹣；（2）原式＝÷•＝••＝；（3）原式＝﹣＝＝﹣．21．先化简1﹣÷，再任取一个你喜欢的x的值，代入求值．【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后选一个使得原分式有意义的x的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：1﹣÷＝1﹣＝1﹣＝＝，当x＝2时，原式＝＝．22．解方程：﹣＝1．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x（x+2）﹣2＝x2﹣4，去括号得：x2+2x﹣2＝x2﹣4，解得：x＝﹣1，经检验x＝﹣1是分式方程的解．23．已知：如图，D是BC上一点，AB＝BD，DE∥AB，∠A＝∠DBE．求证：AC＝BE．【分析】证明△ABC≌△BDE（AAS），即可求解．【解答】证明：∵DE∥AB，∴∠EDB＝∠CBA，而∠A＝∠DBE，AB＝BD，∴△ABC≌△BDE（ASA），∴AC＝BE．24．北京时间2015年7月31日，国际奥委会主席巴赫宣布：中国北京获得2022年第24届冬季奥林匹克运动会举办权．北京也创造历史，成为第一个既举办过夏奥会又举办冬奥会的城市，张家口也成为本届冬奥会的协办城市．近期，新建北京至张家口铁路可行性研究报告已经获得国家发改委批复，同意新建北京至张家口铁路，铁路全长约180千米．按照设计，京张高铁列车的平均行驶速度是普通快车的1.5倍，用时比普通快车用时少了20分钟，求高铁列车的平均行驶速度．【分析】首先设普通快车的平均行驶速度为x千米/时，则高铁列车的平均行驶速度为1.5x千米/时，利用高铁列车比普通快车用时少了20分钟得出等式进而求出答案．【解答】解：设普通快车的平均行驶速度为x千米/时，则高铁列车的平均行驶速度为1.5x千米/时．根据题意得：﹣＝，解得：x＝180，经检验，x＝80是所列分式方程的解，且符合题意．则1.5x＝1.5×180＝270．答：高铁列车的平均行驶速度为270千米/时．25．阅读下面的材料，解决问题．例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0，∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0，∴m+n＝0，n﹣3＝0，∴m＝﹣3，n＝3．问题：（1）若2x2+4x﹣2xy+y2+4＝0，求x y的值；（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2＝10a+8b﹣41，求c的取值范围．【分析】（1）已知等式左边变形后，利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出x与y的值，即可求出所求；（2）已知等式配方变形后，利用非负数的性质求出a与b的值，再利用三角形三边关系求出c的范围即可．【解答】解：（1）∵2x2+4x﹣2xy+y2+4＝0，∴x2 +4x+4+x2﹣2xy+y2＝0，∴（x+2）2+（x﹣y）2＝0，∴x＝﹣2，y＝﹣2，∴x y＝（﹣2）﹣2＝；（2）∵a2+b2＝10a+8b﹣41，∴a2﹣10a+25+b2﹣8b+16＝0，∴（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0，∴a＝5，b＝4，∴1＜c＜9．26．一块含45°的直角三角板ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为射线CB上一点，且不与点C，点B重合，连接AD．过点A作线段AD的垂线l，在直线l上，截取AE＝AD（点E与点C在直线AD的同侧），连接CE．（1）当点D在线段CB上时，如图1，线段CE与BD的数量关系为CE＝BD，位置关系为CE⊥BD；（2）当点D在线段CB的延长线上时，如图2，①请将图形补充完整；②（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得CE＝BD，∠ACE＝∠ABC，即可证BD⊥CE；（2）①由题意画出图形；②由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得CE＝BD，∠ACE＝∠ABC，即可证BD⊥CE；【解答】解：（1）如图1，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，且AD＝AE，AB＝AC，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴CE＝BD，∠ACE＝∠ABC＝45°，∴∠BCE＝90°，∴BD⊥CE，故答案为：CE＝BD，CE⊥BD；（2）①如图2所示：②仍成立．证明：∵AD⊥AE，∴∠DAE＝90°，∵∠BAC＝90°＝∠DAE，∴∠DAB＝∠EAC，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴CE＝BD，∠ACE＝∠ABD，∵∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ACE＝∠ABD＝135°，∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACB＝90°，∴CE⊥BD．27．【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：（1）根据图2，写出一个代数恒等式：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝30 ．（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形，则x+y+z＝9 ．【知识迁移】（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．．【分析】（1）依据正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，可得等式；（2）依据a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，进行计算即可；（3）依据所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，而（2a+b）（a+2b）＝2a2+4ab+ab+2b2＝2a2+5b2+2ab，即可得到x，y，z的值．（4）根据原几何体的体积＝新几何体的体积，列式可得结论．【解答】解：（1）由图2得：正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，…（2分）故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∵a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，∴102＝a2+b2+c2+2×35，∴a2+b2+c2＝100﹣70＝30，故答案为：30；…（4分）（3）由题意得：（2a+b）（a+2b）＝xa2+yb2+zab，∴2a2+5ab+2b2＝xa2+yb2+zab，∴，∴x+y+z＝9，故答案为：9；…（6分）（4）∵原几何体的体积＝x3﹣1×1•x＝x3﹣x，新几何体的体积＝（x+1）（x﹣1）x，∴x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．故答案为：x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．…（8分）28．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p ≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）＝．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）＝．（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）＝1；（2）如果一个两位正整数t，t＝10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F（t）的最大值．【分析】（1）根据题意可设m＝n2，由最佳分解定义可得F（m）＝＝1；（2）根据“吉祥数”定义知（10y+x）﹣（10x+y）＝18，即y＝x+2，结合x的范围可得2位数的“吉祥数”，求出每个“吉祥数”的F（t），比较后可得最大值．【解答】解：（1）对任意一个完全平方数m，设m＝n2（n为正整数），∵|n﹣n|＝0，∴n×n是m的最佳分解，∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）＝＝1；（2）设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10y+x，∵t为“吉祥数”，∴t′﹣t＝（10y+x）﹣（10x+y）＝9（y﹣x）＝18，∴y＝x+2，∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，∴“吉祥数”有：13，24，35，46，57，68，79，∴F（13）＝，F（24）＝＝，F（35）＝，F（46）＝，F（57）＝，F（68）＝，F（79）＝，∵＞＞＞＞＞，∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值是．29．已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝α，直线AE与BD交于点F．（1）如图1所示，①求证AE＝BD．②求∠AFB（用含α的代数式表示）．（2）将图1中的△ACD绕点C顺时针旋转某个角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），得到如图2所示的图形，若∠AFB＝150°，请直接写出此时对应的α的大小（不用证明）．【分析】（1）①由“SAS”可证△ACE≌△DCB，可得AE＝BD；②由全等三角形的性质可得∠AEC＝∠DBC，由三角形内角和定理可求解；（2）由“SAS”可证△ACE≌△DCB，可得∠AEC＝∠DBC，由三角形内角和定理可求解．【解答】证明：（1）①∵∠ACD＝∠BCE＝α，∴∠ACE＝∠DCB，且AC＝DC，CB＝CE，∴△ACE≌△DCB（SAS）∴AE＝BD，②∵△ACE≌△DCB，∴∠AEC＝∠DBC，∵∠AFB＝180°﹣∠EAC﹣∠DBC＝180°﹣（∠EAC+∠AEC），且∠AEC+∠EAC＝∠BCE＝α，∴∠AFB＝180°﹣α；（2）∵∠ACD＝∠BCE＝α，∴∠ACE＝∠DCB，且AC＝DC，CB＝CE，∴△ACE≌△DCB（SAS）∴∠AEC＝∠DBC，∵CB＝CE，∠ECB＝α，∴∠CEB+∠CBE＝180°﹣α；∵∠AFB＝∠AEB+∠FBE＝∠AEC+∠CEB+∠FBE＝∠DBC+∠FBE+∠CEB＝∠CBE+∠CEB，∴∠AFB＝180°﹣α，且∠AFB＝150°，∴α＝30°。
2019-2020学年北京大学附属实验校中学八年级上学期期中数学试卷 (学生版+解析版)
2019-2020学年北京大学附属实验校中学八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10个小题）．1．下面计算正确的是( )A ．23a a a -÷=-B ．326a a a =gC ．224()a a =D ．2323()a b a b =2．下面是同学们设计的一些美丽有趣的图案，其中是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．3．在ABC ∆中，3AB =，5AC =，第三边BC 的取值范围是( )A ．1013BC <<B ．412BC << C ．38BC <<D ．28BC <<4．下列多边形中，内角和为720︒的图形是( )A ．B ．C ．D ．5．已知点(2,3)P -关于y 轴的对称点为(,)Q a b ，则a b +的值是( )A ．1B ．1-C ．5D ．5-6．等腰三角形的一个外角是100︒，它的顶角的度数为( )A ．80︒B ．20︒C ．80︒或20︒D ．80︒或50︒7．如图，ABC DCB ∆≅∆，若80A ∠=︒，40ACB ∠=︒，则ACD ∠等于( )A ．80︒B ．60︒C ．40︒D ．20︒8．如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a 的正方形卡片4张，边长为b 的正方形卡片1张，长，宽分别为a ，b 的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为( )A ．2a b +B ．4a b +C ．2a b +D ．3a b +9．如图，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若150∠=︒，则(AEF ∠= )A ．110︒B ．115︒C ．120︒D ．130︒10．如图，ABC ∆是等边三角形，AD 是BC 边上的高，E 是AC 的中点，P 是AD 上的一个动点，当PC 与PE 的和最小时，CPE ∠的度数是( )A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒二.填空题（本题共16分，每小题3分）11．若3a x =，4b x =，5c x =，则2a b c x +-= ．12．多项式(8)(23)mx x +-展开后不含x 一次项，则m = ．13．若216x mx ++是完全平方式，则m 的值是 ．14．如图所示，在ABC ∆中，9AC cm =，DE 垂直平分AB ，如果DBC ∆的周长是16cm ，那么BC 的长度为 ．15．如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥，6AB =，60B ∠=︒，若3DC BD =，则DC = ．16．如图，在ABC ∆中，AB AC =，20BAD ∠=︒，且AE AD =，则CDE ∠= 度．17．若22m n =+，22()n m m n =+≠，则332m mn n -+的值为 ．18．样例：将多项式241x +加上一个整式Q ，使它成为某一个多项式的平方，写出一个满足条件的整式Q解：当4Q x =时，22241414(21)x Q x x x ++=++=+仿照样例，解答下面的问题：将多项式2116x +加上一个整式P ，使它成为某一个多项式的平方，写出三个满足条件的整式P = ．三.解答题（本题共54分）19．计算：（1）2332(2)x y xy -（2）2342(315)(3)m m n m m +-÷-20．因式分解：（1）228x -（2）321025x y x y xy -+21．先化简，再求值：2(21)(2)(2)4(1)x x x x x -++---，其中13x =-． 22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC ∆的三个顶点的坐标分别是(2,3)A ，(1,0)B ，(1,2)C ．（1）在图中画出ABC ∆关于y 轴对称的△111A B C（2）直接写出1A ，1B ，1C 三点的坐标：1(A )，1(B )，1(C )；（3）如果要使以B 、C 、D 为顶点的三角形与ABC ∆全等，直接写出所有符合条件的点D 坐标．23．已知：如图，线段AB 和射线BM 交于点B ．（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）．①在射线BM 上作一点C ，使AC AB =；②作ABM ∠的角平分线交AC 于D 点；③在射线CM 上作一点E ，使CE CD =，连接DE ．（2）在（1）所作的图形中，猜想线段BD 与DE 的数量关系，并证明．24．如图，点B 、F 、C 、E 在直线l 上(F 、C 之间不能直接测量），点A 、D 在l 异侧，测得AB DE =，//AB DE ，A D ∠=∠．（1）求证：ABC DEF ∆≅∆；（2）若10BE m =，3BF m =，求FC 的长度．25．已知：如图，点E 是ABC ∆外角CAF ∠平分线上的一点．（1）比大小：BE EC + AB AC +（填“>”、“ <”或“=” )（2）证明（1）中的结论．26．阅读下列材料在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，使于观察如何进行因式分解我们把这种因式分解的方法称为“换元法”下面是小涵同学用换元法对多项式22(41)(47)9x x x x +++++进行因式分解的过程．解：设24x x y +=原式(1)(7)9y y =+++（第一步）2816y y =++（第二步）2(4)y =+（第三步）22(44)x x =++（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 ．A ．提取公因式法B ．平方差公式法C ．完全平方公式法（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： ．（3）请你用换元法对多项式22(2)(22)1x x x x --++进行因式分解（4）当x = 时，多项式22(2)(22)1x x x x --+-存在最 值（填“大”或“小” )．请你求出这个最值27．已知C 是线段AB 垂直平分线m 上一动点，连接AC ，以AC 为边作等边三角形ACD ，点D 在直线AB 的上方，连接DB 与直线m 交于点E ，连接BC ，AE ．（1）如图1，点C 在线段AB 上．①根据题意补全图1②求证：EAC EDC ∠=∠；（2）如图2，点C 在直线AB 的上方，030CAB ︒<∠<︒，用等式表示线段BE ，CE ，DE 之间的数量关系，并证明．参考答案一、选择题：在下面四个选项中只有一个是正确的.（本题共30分，每小题3分）1．下面计算正确的是( )A ．23a a a -÷=-B ．326a a a =gC ．224()a a =D ．2323()a b a b = 解：A ．2a a a -÷=-，故本选项不合题意；B ．325a a a =g ，故本选项不合题意；C ．224()a a =，正确，故本选项符合题意；D ．2363()a b a b =，故本选项不合题意．故选：C ．2．下面是同学们设计的一些美丽有趣的图案，其中是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．解：A 、是轴对称图形；B 、不是轴对称图形；C 、不是轴对称图形；D 、不是轴对称图形；故选：A ．3．在ABC ∆中，3AB =，5AC =，第三边BC 的取值范围是( )A ．1013BC <<B ．412BC << C ．38BC <<D ．28BC << 解：第三边BC 的取值范围是5353BC -<<+，即28BC <<．故选：D ．4．下列多边形中，内角和为720︒的图形是( )A ．B ．C ．D ． 解：这个正多边形的边数是n ，则(2)180720n -︒=︒g ，解得：6n =．则这个正多边形的边数是六，故选：D ．5．已知点(2,3)P -关于y 轴的对称点为(,)Q a b ，则a b +的值是( )A ．1B ．1-C ．5D ．5-解：根据两点关于y 轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变，得(2)2a =--=，3b =．5a b ∴+=故选：C ．6．等腰三角形的一个外角是100︒，它的顶角的度数为( )A ．80︒B ．20︒C ．80︒或20︒D ．80︒或50︒ 解：①若100︒的外角的邻角是等腰三角形顶角，则它的顶角的度数为：18010080︒-︒=︒；②若100︒的外角的邻角是等腰三角形底角，则它的底角的度数为：18010080︒-︒=︒；∴它的顶角为：180808020︒-︒-︒=︒；∴它的顶角的度数为：80︒或20︒．故选：C ．7．如图，ABC DCB ∆≅∆，若80A ∠=︒，40ACB ∠=︒，则ACD ∠等于( )A ．80︒B ．60︒C ．40︒D ．20︒解：80A ∠=︒Q ，40ACB ∠=︒，60ABC ∴∠=︒，ABC DCB ∆≅∆Q ，60DCB ABC ∴∠=∠=︒，20ACD DCB ACB ∴∠=∠-∠=︒，故选：D ．8．如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a 的正方形卡片4张，边长为b 的正方形卡片1张，长，宽分别为a ，b 的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为( )A ．2a b +B ．4a b +C ．2a b +D ．3a b + 解：由题可知，9张卡片总面积为2244a ab b ++，22244(2)a ab b a b ++=+Q ，∴大正方形边长为2a b +．故选：A ．9．如图，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若150∠=︒，则(AEF ∠= )A ．110︒B ．115︒C ．120︒D ．130︒ 解：Q 矩形ABCD 沿EF 对折后两部分重合，150∠=︒，1805032652︒-︒∴∠=∠==︒， Q 矩形对边//AD BC ，180318065115AEF ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．故选：B ．10．如图，ABC∆是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，CPE∠的度数是()A．30︒B．45︒C．60︒D．90︒解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE PC+最小，⊥，Q是等边三角形，AD BC∆ABC∴=，PC PB∴+=+=，PE PC PB PE BE即BE就是PE PC+的最小值，Q是等边三角形，ABC∆∴∠=︒，BCE60=，Q，AE EC=BA BC∴⊥，BE AC∴∠=︒，BEC90∴∠=︒，EBC30Q，=PB PC∴∠=∠=︒，PCB PBC30∴∠=∠+∠=︒，CPE PBC PCB60故选：C．二.填空题（本题共16分，每小题3分）11．若3a x =，4b x =，5c x =，则2a b c x +-=5． 解：3a x =Q ，4b x =，5c x =，2a b c x +-∴ 2()a b c x x x =÷g2345=⨯÷ 945=⨯÷365=． 故答案为：365 12．多项式(8)(23)mx x +-展开后不含x 一次项，则m = 12 ．解：(8)(23)mx x +-2231624mx mx x =-+-23(224)16mx m x =-+-+，Q 多项式(8)(23)mx x +-展开后不含x 项，2240m ∴-=，解得：12m =，故答案为：12．13．若216x mx ++是完全平方式，则m 的值是 8± ．解：216x mx ++Q 是一个完全平方式，2216(4)x mx x ∴++=±，2816x x =±+．8m ∴=±，故答案为：8±．14．如图所示，在ABC ∆中，9AC cm =，DE 垂直平分AB ，如果DBC ∆的周长是16cm ，那么BC 的长度为 7cm ．解：DE Q 垂直平分AB ，DB DA ∴=，DBC ∆Q 的周长是16cm ，16BC CD BD cm ∴++=，即16BC AC cm +=，又9AC cm =，7BC cm ∴=，故答案为：7cm ．15．如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥，6AB =，60B ∠=︒，若3DC BD =，则DC = 9 ．解：AD BC ⊥Q ，90ADB ∴∠=︒，60B ∠=︒Q ，18030BAD ADB B ∴∠=︒-∠-∠=︒，6AB =Q ，132BD AB ∴==， 3DC BD =Q ，9DC ∴=，故答案为：9．16．如图，在ABC ∆中，AB AC =，20BAD ∠=︒，且AE AD =，则CDE ∠= 10 度．解：AB AC =Q ，∴设B C x ∠=∠=度，EDC a ∠=，DEA ∠Q 是DCE ∆的外角，故DEA x a ∠=+，在等腰三角形ADE 中，AE AD =，ADE x a ∴∠=+．在ABD ∆中，20x x a a +=++，解得10a =，则10CDE ∠=度．故填10．17．若22m n =+，22()n m m n =+≠，则332m mn n -+的值为 2- ．解：22m n =+Q ，22()n m m n =+≠，22m n n m ∴-=-，m n ≠Q ，1m n ∴+=-，∴原式(2)2(2)m n mn n m =+-++222mn m mn mn n =+-++2()m n =+2=-．故答案为2-．18．样例：将多项式241x +加上一个整式Q ，使它成为某一个多项式的平方，写出一个满足条件的整式Q解：当4Q x =时，22241414(21)x Q x x x ++=++=+仿照样例，解答下面的问题：将多项式2116x +加上一个整式P ，使它成为某一个多项式的平方，写出三个满足条件的整式P = 464x 或8x 或8x - ．解：根据完全平方公式定义得，当464P x =时，组成的完全平方式可变为22(18)x +；当8P x =时，组成的完全平方式可变为2(14)x +；当8P x =-时，组成的完全平方式可变为2(14)x -；故答案为：464x 或8x 或8x -．三.解答题（本题共54分）19．计算：（1）2332(2)x y xy -（2）2342(315)(3)m m n m m +-÷-解：（1）2332(2)x y xy -2326(4)x y x y =g494x y =；（2）2342(315)(3)m m n m m +-÷-21153mn m =--+． 20．因式分解：（1）228x -（2）321025x y x y xy -+解：（1）22282(4)2(2)(2)x x x x -=-=+-；（2）32221025(1025)(5)x y x y xy xy x x xy x -+=-+=-．21．先化简，再求值：2(21)(2)(2)4(1)x x x x x -++---，其中13x =-． 解：原式2(21)(2)(2)4(1)x x x x x =-++---222441444x x x x x =-++--+23x =-， 当13x =-时，原式269=-． 22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC ∆的三个顶点的坐标分别是(2,3)A ，(1,0)B ，(1,2)C ．（1）在图中画出ABC ∆关于y 轴对称的△111A B C（2）直接写出1A ，1B ，1C 三点的坐标：1(A 2-，3 )，1(B )，1(C )；（3）如果要使以B 、C 、D 为顶点的三角形与ABC ∆全等，直接写出所有符合条件的点D 坐标．解：（1）如图1，△111A B C 即为所求；（2）由（1）可知，答案为：2-，3；1-，0；1-，2；（3）如图2所示，点D的坐标为(0,1)-或(2,1)-或(0,3)．23．已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）．①在射线BM上作一点C，使AC AB=；②作ABM∠的角平分线交AC于D点；③在射线CM上作一点E，使CE CD=，连接DE．（2）在（1）所作的图形中，猜想线段BD与DE的数量关系，并证明．解：（1）如图所示：（2）BD DE=，证明：BDQ平分ABC∠，1 12ABC∴∠=∠．AB AC=Q，4ABC∴∠=∠．114∴∠=∠．2Q，CE CD=∴∠=∠．23Q，∠=∠+∠4231∴∠=∠．342∴∠=∠．13∴=．BD DE24．如图，点B、F、C、E在直线l上(F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB DE∠=∠．=，//AB DE，A D（1）求证：ABC DEF∆≅∆；（2）若10BF m=，求FC的长度．=，3BE m【解答】（1）证明：//Q，AB DE∴∠=∠，ABC DEF在ABC∆中∆与DEFABC DEFAB DE A D∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ABC DEF ∴∆≅∆；（2）ABC DEF ∆≅∆Q ，BC EF ∴=，BF FC EC FC ∴+=+，BF EC ∴=，10BE m =Q ，3BF m =，10334FC m ∴=--=．25．已知：如图，点E 是ABC ∆外角CAF ∠平分线上的一点．（1）比大小：BE EC+ > AB AC +（填“>”、“ <”或“=”)（2）证明（1）中的结论．解：（1）结论：BE EC AB AC +>+．故答案为>．（2）理由：在AF 上截取AH ，使得AH AC =．AC AE =Q ，CAF HAE ∠=∠，AE AE =，()EAC EAH SAS ∴∆≅∆，EC EH ∴=，EB EH BH +>Q ，EB EC AB AC ∴+>+．26．阅读下列材料在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，使于观察如何进行因式分解我们把这种因式分解的方法称为“换元法”下面是小涵同学用换元法对多项式22(41)(47)9x x x x +++++进行因式分解的过程．解：设24x x y +=原式(1)(7)9y y =+++（第一步）2816y y =++（第二步）2(4)y =+（第三步）22(44)x x =++（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 C ．A ．提取公因式法B ．平方差公式法C ．完全平方公式法（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： ．（3）请你用换元法对多项式22(2)(22)1x x x x --++进行因式分解（4）当x = 时，多项式22(2)(22)1x x x x --+-存在最 值（填“大”或“小” )．请你求出这个最值解：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式法；（2）22(41)(47)9x x x x +++++，设24x x y +=，原式(1)(7)9y y =+++2816y y =++2(4)y =+22(44)x x =++4(2)x =+；（3）设22x x y -=，原式(2)1y y =++221y y =++2(1)y =+22(21)x x =-+4(1)x =-；（4）22(2)(22)1x x x x --+-222(2)2(2)1x x x x =-+--222(2)2(2)12x x x x =-+-+-22(21)2x x =-+-4(1)2x =--，故当1x =时，多项式22(2)(22)1x x x x --+-存在最小值，最小值为2-． 故答案为：C ；4(2)x +；1，小．27．已知C 是线段AB 垂直平分线m 上一动点，连接AC ，以AC 为边作等边三角形ACD ，点D 在直线AB 的上方，连接DB 与直线m 交于点E ，连接BC ，AE ．（1）如图1，点C 在线段AB 上．①根据题意补全图1②求证：EAC EDC ∠=∠；（2）如图2，点C 在直线AB 的上方，030CAB ︒<∠<︒，用等式表示线段BE ，CE ，DE 之间的数量关系，并证明．解：（1）①根据题意补全图1，如图所示．②证明：Q 直线m 是线段AB 的垂直平分线， AC BC ∴=，EA EB =，EAC EBC ∴∠=∠．ACD ∆Q 为等边三角形，CD AC BC ∴==，EDC EBC ∴∠=∠，EAC EDC ∴∠=∠．（2）如图2中，结论：EB EC ED =+．理由：设CD 交AE 于J ，在EA 上取一点H ，使得EH ED =． ADC ∆Q 是等边三角形，DA DC AC ∴==，60ADC DCA ∠==︒， Q 直线m 垂直平分线段AB ， CA CB CD ∴==，CDB CBE ∴∠=∠，EA EB =Q ，CA CB =，EAB EBA ∴∠=∠，CAB CBA ∠=∠， EAC EBC ∴∠=∠，JDE JAC ∴∠=∠，DJE AJC ∠=∠Q ，DJE AJC∽，∴∆∆∴∠=∠=︒，60DEJ JCAQ，=ED EH∴∆是等边三角形，DEH=，ADJ HDE∴∠=∠，DH DE Q，DA DC=ADH CDE SAS∴∆≅∆，()∴=，AH EC∴=+=+，EA EH AH DE ECQ直线m垂直平分线段AB，∴=，EA EB∴=+．EB EC ED。
2019-2020学年北京市海淀区清华附中八年级(上)期中数学试卷解析版
2019-2020学年北京市海淀区清华附中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1．（3分）在下列图形中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列计算正确的是（）A．a4+a2＝a6B．（ab5）2＝ab10C．a4•a3＝a7D．a10÷a2＝a53．（3分）如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD4．（3分）若2x+m与x+2的乘积中不含的x的一次项，则m的值为（）A．﹣4B．4C．﹣2D．25．（3分）如图，已知AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，BC＝13，AB＝5，且E为BC上一点，∠AED＝90°，AE＝DE，则BE＝（）A．13B．8C．6D．56．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD＝5，AB＝18，则△ABD的面积是（）A．15B．30C．45D．607．（3分）等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是（）A．50°B．80°C．50°或80°D．20°或80°8．（3分）如图的方格纸中每一个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC为等腰三角形，这样的格点的个数有（）A．8个B．9个C．10个D．11个二、填空题（共8题，每小题3分，共24分9．（3分）等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为．10．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠C＝65°，则∠BAD的度数为．11．（3分）计算＝．12．（3分）如图，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE＝CD，若BD＝3，则DE＝．13．（3分）若（x﹣2）（x+3）＝x2+ax﹣6，则a＝．14．（3分）已知，如图AB＝AC，∠BAC＝40°，D为AB边上的一点，过D作DF⊥AB，交AC于E，交BC延长线于点F，则∠F＝°．15．（3分）已知，如图，AB＝BC＝6，∠A＝15°，则△ABC的面积为．16．（3分）如图，已知等边△ABC的边长为4，过AB边上一点P作PN⊥AC于点N，Q为BC延长线上一点，取CQ＝P A，连接PQ交AC于M，则MN的长为．三、解答题（共7小题，共52分）17．（5分）如图，B、C、E、F同一直线上，AB∥CD，BF＝CE，∠A＝∠D．求证：△ABE≌△DCF18．（12分）计算下列各题（1）（x﹣3y）（﹣6x）；（2）（6x4﹣8x2y）÷2x2；（3）（x﹣1）（x+2）；（4）（x+y﹣3）（x﹣y+3）19．（5分）已知△ABC，A（﹣4，1）、B（﹣1，﹣1）、C（﹣3，2）．（1）请在平面直角坐标系中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）请在同一平面直角坐标系中画出△A1B1C1关于直线m（直线m上各点的横坐标都是1）对称的△A2B2C2，并直接写出点A2，C2的坐标；（3）直接写出△ABC边上一点M（x，y），经过上述两次图形变换后得到△A2B2C2上的对应点M2的坐标．20．（6分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为直线BC上一动点，以AD为边在AD的右侧作△ADE，AE ＝AD，∠DAE＝90°，连接CE．（1）如图1，若点D在段BC上．求证：∠B＝∠ACE；（2）若BC＝5，CE＝2，直按写出CD的长度．21．（8分）（1）先化简再求值：（x+2y）2+（x+2y）（x﹣2y）+2y2，其中x＝﹣1，y＝2；（2）已知a2+b2＝3，a﹣b＝1，求①ab；②a+b的值．22．（8分）如果5a＝b，那么称a为b的幂指数，记为a＝λ（b）（1）因为52＝25，所以λ（25）＝2，根据上述规定：λ（5）＝；（2）已知幂指数有如下运算性质：若m，n为正数，则λ（mn）＝λ（m）+λ（n），λ（）＝λ（m）﹣λ（n）．根据以上运算性质：＝（x为正数）．若λ（2）≈0.4，则λ（4）≈，λ（10）≈，λ（）≈；（答案精确到小数点后一位）（3）已知λ（3）＝a，λ（0.14）＝b，λ（）＝c，试用等式表示a，b，c之间的数量关系，并说明理由．23．（8分）在等边△ABC的外侧作直线AP，∠CAP＝α，点C关于AP的对称点为D，连接CD、BD、AD．（1）如图1，若α＝70°，直接写出∠BDC的度数；（2）如图2，若0＜α＜60°，过点D作DE⊥BD交直线AP于点E，①依题意补全图形；②直接写出∠ADB的度数（用含α的代数式表示）；③求证：AE＝BD．二、附加题（24，25每题3分，26，27每题4分，28题6分，共20分）24．（3分）已知x+＝4，则x2+的值是．25．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△ABC面积为12，AD⊥BC于点D，直线EF垂直平分AB交AB于点E，交BC于点F，P为直线EF上一动点，则△PBD的周长的最小值为．26．（4分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D在线段AB上运动（D不与A，B重合），连接CD，作∠CDE＝30°，DE交BC于点E．若△CDE是等腰三角形，则∠ADC的度数是．27．（4分）如图1，在平面直角坐标系中，我们把d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|＝AC+BC定义为A（x1，y1）和B （x2，y2）两点之间的非常距离，在图2，图3的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．如图2，d（D，E）＝d（D，F）＝3，d（E，F）＝4，我们把到M、N两点非常距离相等的所有点组成的图形叫做M，N两点间的“非常垂直平分线“．如图3，d（M，N）＝，并在图3中画出M、N两点间的“非常垂直平分线”．28．（6分）如图，在等边△ABC中，AB＝8，P是线段BC上一动点（不与B、C重合），PD⊥AB于D，PE⊥AC 于E，对于△ABC所在平面内一点M，K M＝，我们把K M称为点M的“特征值”．（1）若BP＝CP，则点P的特征值k p＝；（2）若BP＝3CP，则点A的特征值k A＝；（3）试确定点Q的位置，使得当点P运动时，总有点Q的特征值k Q为定值，直接写出这个定值，并证明．2019-2020学年北京市海淀区清华附中八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1．【解答】解：A、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；B、是轴对称图形，符合题意；C、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；D、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意．故选：B．2．【解答】解：a4与a2不是同类项，所以不能合并，故选项A不合题意；（ab5）2＝a2b10，故选项B不合题意；a4•a3＝a7，正确，故选项C符合题意；a10÷a2＝a8，故选项D不合题意．故选：C．3．【解答】解：A、添加∠A＝∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；B、添加AB＝DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；C、添加∠ACB＝∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；D、添加AC＝BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；故选：D．4．【解答】解：（2x+m）（x+2）＝2x2+4x+mx+2m＝2x2+（4+m）x+2m，∵若2x+m与x+2的乘积中不含的x的一次项，∴4+m＝0，解得：m＝﹣4，故选：A．5．【解答】解：在△ABE和△ECD中∴△ABE≌△ECD（AAS）．∴CE＝AB＝5．∴BE＝BC﹣CE＝13﹣5＝8．故选：B．6．【解答】解：作DE⊥AB于E，由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC＝5，∴△ABD的面积＝×AB×DE＝45，故选：C．7．【解答】解：①当顶角是80°时，它的底角＝（180°﹣80°）＝50°；②底角是80°．所以底角是50°或80°．故选：C．8．【解答】解：图中的黑点为C点所在位置，这样的C点共有10个．故选：C．二、填空题（共8题，每小题3分，共24分9．【解答】解：分两种情况：当3为底时，其它两边都为7，3、7、7可以构成三角形，周长为17；当3为腰时，其它两边为3和7，3+3＝6＜7，所以不能构成三角形，故舍去，所以等腰三角形的周长为17．故答案为：17．10．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵∠C＝65°，∴∠BAD＝25°．故答案为：25°11．【解答】解：原式＝（﹣4×）2018×4×1＝4，故答案为412．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，BD是AC边的中线，∴BD⊥AC，BD平分∠ABC，∠DBE＝∠ABC＝30°．∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠E．∵∠ACB＝60°，且∠ACB为△CDE的外角，∴∠CDE+∠E＝60°．∴∠CDE＝∠E＝30°，∴∠DBE＝∠DEB＝30°，∴DE＝BD＝3．故答案为3．13．【解答】解：（x﹣2）（x+3）＝x2+3x﹣2x﹣6＝x2+x﹣6，∵（x﹣2）（x+3）＝x2+ax﹣6，∴a＝1，故答案为：1．14．【解答】解：过点A作AG⊥BC于点G，则∠AGB＝90°，∴∠B+∠BAG＝90°，∵DF⊥AB，∴∠BDF＝90°，∴∠B+∠F＝90°，∴∠F＝∠BAG，∵AB＝AC，AG⊥BC，∴∠BAG＝∠BAC，∴∠F＝∠BAC＝20°，故答案为：2015．【解答】解：∵AB＝BC＝6，∠A＝15°，∴∠ACB＝∠A＝15°，∴∠CBD＝∠A+∠ACB＝30°，过C作CD⊥AB交AB的延长线于D，∴∠D＝90°，∴CD＝BC＝3，∴△ABC的面积为AB•CD＝×6×3＝9，故答案为：9．16．【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFM＝∠QCM，△APF是等边三角形，∴AP＝PF＝AF，∵PN⊥AC，∴AN＝NF，∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ．∵在△PFM和△QCM中，，∴△PFM≌△QCM（AAS），∴FM＝CM，∵AN＝NF，∴NF+FM＝AN+CM，∴AN+CM＝MN＝AC，∵AC＝4，∴MN＝2．故答案为：2．三、解答题（共7小题，共52分）17．【解答】证明：∵AB∥CD（已知），∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等）∵BF＝CE（已知），∴BF+EF＝CE+EF，即BE＝CF．在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（AAS）．18．【解答】解：（1）（x﹣3y）（﹣6x）＝﹣6x2+18xy；（2）（6x4﹣8x2y）÷2x2＝3x2﹣4y；（3）（x﹣1）（x+2）＝x2+2x﹣x﹣2＝x2+x﹣2；（4）（x+y﹣3）（x﹣y+3）＝[x+（y﹣3）][x﹣（y﹣3）]＝x2﹣（y﹣3）2＝x2﹣y2﹣9+6y．19．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，点A2，C2的坐标分别为（6，﹣1）和（5，﹣2）；（3）点M（x，y）关于x轴对称的点M1的坐标为（x，﹣y），点M1关于直线m对称的点M2的坐标为（﹣x+2，﹣y）．∴经过上述两次图形变换后得到△A2B2C2上的对应点M2的坐标为（﹣x+2，﹣y）．20．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE；（2）解：∵△ABD≌△ACE，∴BD＝CE＝2，∴CD＝BC﹣BD＝5﹣2＝3．21．【解答】解：（1）原式＝x2+4xy+4y2+x2﹣4y2+2y2＝2x2+4xy+2y2，当x＝﹣1，y＝2时，原式＝2﹣8+8＝2；（2）①∵a2+b2＝3，a﹣b＝1，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝1，即3﹣2ab＝1，解得：ab＝1；②∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝3+2＝5，∴a+b＝±．22．【解答】解：（1）因为5a＝b，所以λ（5）＝a．故答案为a．（2）因为λ（mn）＝λ（m）+λ（n），所以＝＝2．∵λ（2）≈0.4，∴λ（4）＝λ（2）+λ（2）≈0.4，λ（10）＝λ（2）+λ（5）≈0.4+1＝1.4，λ（）＝λ（8）﹣λ（25）＝3λ（2）﹣2λ（5）≈3×0.4﹣2＝﹣0.8，故答案为2，0.4，1.4，﹣0.8；（3）λ（0.14）＝λ（14）﹣λ（100）＝λ（7）+λ（2）﹣2λ（10）＝λ（7）+λ（2）﹣2λ（2）﹣2＝λ（7）﹣λ（2）﹣2＝b，λ（）＝λ（63）﹣λ（2）＝λ（7）+λ（9）﹣λ（2）＝λ（7）+2λ（3）﹣λ（2）＝c，∴c＝b+2+2a．23．【解答】解：（1）∵点C关于AP对称点为D，∴AD＝AC，∠CAP＝∠DAP＝70°，∴∠ACD＝∠ADC＝20°，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠BAD＝360°﹣70°﹣70°﹣60°＝160°，∴∠ADB＝10°，∴∠BDC＝∠ADB+∠ADC＝30°．答：∠BDC的度数为30°．（2）①如图即为补全的图形．②如图，同（1）∠CAP＝∠DAP＝α，∠BAC＝60°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝60°+2α，∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD＝（180°﹣∠BAD）＝60°﹣α．答：∠ADB的度数为60°﹣α．③∵AD＝AC＝BC，∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣（60°﹣α）＝α，∴∠CBD＝∠DAE＝α，∵DE⊥BD，∴∠BDC+∠CDE＝90°，∵点C关于AP对称点为D，∴CD⊥AP，∴∠CDE+∠AED＝90°，∴∠BDC＝∠AED，∴△BDC≌△AED（AAS）∴BD＝AE．二、附加题（24，25每题3分，26，27每题4分，28题6分，共20分）24．【解答】解：x2+＝＝16﹣2＝14．故答案为：14．25．【解答】解：如图，连接P A．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC＝3，∵S△ABC＝•BC•AD＝12，∴AD＝4，∵EF垂直平分AB，∴PB＝P A，∴PB+PD＝P A+PD，∵P A+PD≥AD，∴P A+PD≥4，∴P A+PD的最小值为4，∴△PBD的最小值为4+3＝7，故答案为7．26．【解答】解：△CDE可以是等腰三角形，∵△CDE是等腰三角形；①当CD＝DE时，∵∠CDE＝30°，∴∠DCE＝∠DEC＝75°，∴∠ADC＝∠B+∠DCE＝105°，②当DE＝CE时，∵∠CDE＝30°，∴∠DCE＝∠CDE＝30°，∴∠ADC＝∠DCE+∠B＝60°．③当EC＝CD时，∠BCD＝180°﹣∠CED﹣∠CDE＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∵∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝120°，∴此时，点D与点A重合，不合题意．综上，△ADC可以是等腰三角形，此时∠ADC的度数为60°或105°．故答案为60°或105°．27．【解答】解：由题意：d（M，N）＝4+2＝6，满足条件的点组成的图形如图所示：故答案为6．28．【解答】解：（1）如图1中，连接P A．∵AB＝AC，BP＝PC，∴∠P AB＝∠P AC，∵PD⊥AB，PE⊥AC，∴PD＝PE，∴K P＝＝1，故答案为1．（2）如图2中，设AB＝BC＝AC＝4a，则PB＝3a，PC＝a．∵PE⊥AC，PD⊥AB，∴∠PEC＝∠PDB＝90°，∵∠B＝∠C＝60°，∴∠DPB＝∠CPE＝30°，∴BD＝PB＝1.5a，EC＝Pc＝0.5a，∴AD＝2.5a，A＝3.5a∴K A＝＝＝．故答案为．（3）如图3中，作AQ⊥BC于Q，连接P A，DQ，QE，取P A的中点Q，连接OD，OQ，OE．∵∠ADP＝∠AQP＝∠AEP＝90°，AO＝OP，∴OD＝OA＝OP＝OQ＝OE，∴A，D，P，Q，E五点共圆，∵AB＝AC，AQ⊥BC，∴∠QAB＝∠QAC，∴＝，∴DQ＝QE，∴K Q＝＝1＝定值，∴点Q即为所求，K Q＝1．。
2019-2020学年北京大学附属实验校中学八年级(上)期中数学试卷解析版
2019-2020学年北京大学附属实验校中学八年级（上）期中数学试卷一、选择题：在下面四个选项中只有一个是正确的.（本题共30分，每小题3分）1．（3分）下面计算正确的是（）A．﹣a2÷a＝﹣a3B．a3•a2＝a6C．（a2）2＝a4D．（a2b）3＝a2b32．（3分）下面是同学们设计的一些美丽有趣的图案，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）在△ABC中，AB＝3，AC＝5，第三边BC的取值范围是（）A．10＜BC＜13B．4＜BC＜12C．3＜BC＜8D．2＜BC＜84．（3分）下列多边形中，内角和为720°的图形是（）A．B．C．D．5．（3分）已知点P（﹣2，3）关于y轴的对称点为Q（a，b），则a+b的值是（）A．1B．﹣1C．5D．﹣56．（3分）等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数为（）A．80°B．20°C．80°或20°D．80°或50°7．（3分）如图，△ABC≌△DCB，若∠A＝80°，∠ACB＝40°，则∠ACD等于（）A．80°B．60°C．40°D．20°8．（3分）如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a的正方形卡片4张，边长为b的正方形卡片1张，长，宽分别为a，b的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（）A．2a+b B．4a+b C．a+2b D．a+3b9．（3分）如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1＝50°，则∠AEF＝（）A．110°B．115°C．120°D．130°10．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°二.填空题（本题共16分，每小题3分）11．（3分）若x a＝3，x b＝4，x c＝5，则x2a+b﹣c＝．12．（3分）多项式（mx+8）（2﹣3x）展开后不含x项，则m＝．13．（3分）若x2+mx+16是完全平方式，则m的值是．14．（3分）如图所示，在△ABC中，AC＝9cm，DE垂直平分AB，如果△DBC的周长是16cm，那么BC的长度为．15．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝6，∠B＝60°，若DC＝3BD，则DC＝．16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝20°，且AE＝AD，则∠CDE＝度．17．（3分）若m2＝n+2，n2＝m+2（m≠n），则m3﹣2mn+n3的值为．18．（3分）样例：将多项式4x2+1加上一个整式Q，使它成为某一个多项式的平方，写出一个满足条件的整式Q解：当Q＝4x时，4x2+1+Q＝4x2+1+4x＝（2x+1）2仿照样例，解答下面的问题：将多项式1+16x2加上一个整式P，使它成为某一个多项式的平方，写出三个满足条件的整式P＝．三.解答题（本题共54分）19．（6分）计算：（1）x2y3（﹣2xy3）2（2）（3m2+15m3n﹣m4）÷（﹣3m2）20．（6分）因式分解：（1）2x2﹣8（2）x3y﹣10x2y+25xy21．（5分）先化简，再求值：（2x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）﹣4x（x﹣1），其中x＝﹣．22．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（1，0），C（1，2）．（1）在图中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1（2）直接写出A1，B1，C1三点的坐标：A1（），B1（），C1（）；（3）如果要使以B、C、D为顶点的三角形与△ABC全等，直接写出所有符合条件的点D坐标．23．（6分）已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）．①在射线BM上作一点C，使AC＝AB；②作∠ABM的角平分线交AC于D点；③在射线CM上作一点E，使CE＝CD，连接DE．（2）在（1）所作的图形中，猜想线段BD与DE的数量关系，并证明．24．（5分）如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB＝DE，AB ∥DE，∠A＝∠D．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的长度．25．（4分）已知：如图，点E是△ABC外角∠CAF平分线上的一点．（1）比大小：BE+EC AB+AC（填“＞”、“＜”或“＝”）（2）证明（1）中的结论．26．（8分）阅读下列材料在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，使于观察如何进行因式分解我们把这种因式分解的方法称为“换元法”下面是小涵同学用换元法对多项式（x2+4x+1）（x2+4x+7）+9进行因式分解的过程．解：设x2+4x＝y原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步）＝y2+8y+16（第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2+4x+4）2（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的．A．提取公因式法B．平方差公式法C．完全平方公式法（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：．（3）请你用换元法对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解（4）当x＝时，多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）﹣1存在最值（填“大”或“小”）．请你求出这个最值27．（7分）已知C是线段AB垂直平分线m上一动点，连接AC，以AC为边作等边三角形ACD，点D在直线AB 的上方，连接DB与直线m交于点E，连接BC，AE．（1）如图1，点C在线段AB上．①根据题意补全图1②求证：∠EAC＝∠EDC；（2）如图2，点C在直线AB的上方，0°＜∠CAB＜30°，用等式表示线段BE，CE，DE之间的数量关系，并证明．2019-2020学年北京大学附属实验校中学八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：在下面四个选项中只有一个是正确的.（本题共30分，每小题3分）1．【解答】解：A．﹣a2÷a＝﹣a，故本选项不合题意；B．a3•a2＝a5，故本选项不合题意；C．（a2）2＝a4，正确，故本选项符合题意；D．（a2b）3＝a6b3，故本选项不合题意．故选：C．2．【解答】解：A、是轴对称图形；B、不是轴对称图形；C、不是轴对称图形；D、不是轴对称图形；故选：A．3．【解答】解：第三边BC的取值范围是5﹣3＜BC＜5+3，即2＜BC＜8．故选：D．4．【解答】解：这个正多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°＝720°，解得：n＝6．则这个正多边形的边数是六，故选：D．5．【解答】解：根据两点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变，得a＝﹣（﹣2）＝2，b＝3．∴a+b＝5故选：C．6．【解答】解：①若100°的外角的邻角是等腰三角形顶角，则它的顶角的度数为：180°﹣100°＝80°；②若100°的外角的邻角是等腰三角形底角，则它的底角的度数为：180°﹣100°＝80°；∴它的顶角为：180°﹣80°﹣80°＝20°；∴它的顶角的度数为：80°或20°．故选：C．7．【解答】解：∵∠A＝80°，∠ACB＝40°，∴∠ABC＝60°，∵△ABC≌△DCB，∴∠DCB＝∠ABC＝60°，∴∠ACD＝∠DCB﹣∠ACB＝20°，故选：D．8．【解答】解：由题可知，9张卡片总面积为4a2+4ab+b2，∵4a2+4ab+b2＝（2a+b）2，∴大正方形边长为2a+b．故选：A．9．【解答】解：∵矩形ABCD沿EF对折后两部分重合，∠1＝50°，∴∠3＝∠2＝＝65°，∵矩形对边AD∥BC，∴∠AEF＝180°﹣∠3＝180°﹣65°＝115°．故选：B．10．【解答】解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴PC＝PB，∴PE+PC＝PB+PE＝BE，即BE就是PE+PC的最小值，∵△ABC是等边三角形，∴∠BCE＝60°，∵BA＝BC，AE＝EC，∴BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠EBC＝30°，∵PB＝PC，∴∠PCB＝∠PBC＝30°，∴∠CPE＝∠PBC+∠PCB＝60°，故选：C．二.填空题（本题共16分，每小题3分）11．【解答】解：∵x a＝3，x b＝4，x c＝5，∴x2a+b﹣c＝（x a）2•x b÷x c＝32×4÷5＝9×4÷5＝．故答案为：12．【解答】解：（mx+8）（2﹣3x）＝2mx﹣3mx2+16﹣24x＝﹣3mx2+（2m﹣24）x+16，∵多项式（mx+8）（2﹣3x）展开后不含x项，∴2m﹣24＝0，解得：m＝12，故答案为：12．13．【解答】解：∵x2+mx+16是一个完全平方式，∴x2+mx+16＝（x±4）2，＝x2±8x+16．∴m＝±8，故答案为：±8．14．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴DB＝DA，∵△DBC的周长是16cm，∴BC+CD+BD＝16cm，即BC+AC＝16cm，又AC＝9cm，∴BC＝7cm，故答案为：7cm．15．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝60°，∴∠BAD＝180°﹣∠ADB﹣∠B＝30°，∵AB＝6，∴BD＝AB＝3，∵DC＝3BD，∴DC＝9，故答案为：9．16．【解答】解：∵AB＝AC，∴设∠B＝∠C＝x度，∠EDC＝a，∵∠DEA是△DCE的外角，故∠DEA＝x+a，在等腰三角形ADE中，AE＝AD，∴∠ADE＝x+a．在△ABD中，x+20＝x+a+a，解得a＝10，则∠CDE＝10度．故填10．17．【解答】解：∵m2＝n+2，n2＝m+2（m≠n），∴m2﹣n2＝n﹣m，∵m≠n，∴m+n＝﹣1，∴原式＝m（n+2）﹣2mn+n（m+2）＝mn+2m﹣2mn+mn+2n＝2（m+n）＝﹣2．故答案为﹣2．18．【解答】解：根据完全平方公式定义得，当P＝64x4时，组成的完全平方式可变为（1+8x2）2；当P＝8x时，组成的完全平方式可变为（1+4x）2；当P＝﹣8x时，组成的完全平方式可变为（1﹣4x）2；故答案为：64x4或8x或﹣8x．三.解答题（本题共54分）19．【解答】解：（1）x2y3（﹣2xy3）2＝x2y3•（4x2y6）＝4x4y9；（2）（3m2+15m3n﹣m4）÷（﹣3m2）＝﹣1﹣5mn+m2．20．【解答】解：（1）2x2﹣8＝2（x2﹣4）＝2（x+2）（x﹣2）；（2）x3y﹣10x2y+25xy＝xy（x2﹣10x+25）＝xy（x﹣5）2．21．【解答】解：原式＝（2x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）﹣4x（x﹣1）＝4x2﹣4x+1+x2﹣4﹣4x2+4x＝x2﹣3，当x＝﹣时，原式＝﹣．22．【解答】解：（1）如图1，△A1B1C1即为所求；（2）由（1）可知，答案为：﹣2，3；﹣1，0；﹣1，2；（3）如图2所示，点D的坐标为（0，﹣1）或（2，﹣1）或（0，3）．23．【解答】解：（1）如图所示：（2）BD＝DE，证明：∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠ABC．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠4．∴∠1＝∠4．∵CE＝CD，∴∠2＝∠3．∵∠4＝∠2+∠3，∴∠3＝∠4．∴∠1＝∠3．∴BD＝DE．24．【解答】（1）证明：∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF，在△ABC与△DEF中∴△ABC≌△DEF；（2）∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∴BF+FC＝EC+FC，∴BF＝EC，∵BE＝10m，BF＝3m，∴FC＝10﹣3﹣3＝4m．25．【解答】解：（1）结论：BE+EC＞AB+AC．故答案为＞．（2）理由：在AF上截取AH，使得AH＝AC．∵AC＝AE，∠CAF＝∠HAE，AE＝AE，∴△EAC≌△EAH（SAS），∴EC＝EH，∵EB+EH＞BH，∴EB+EC＞AB+AC．26．【解答】解：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式法；（2）（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9，设x2﹣4x＝y，原式＝（y+1）（y+7）+9＝y2+8y+16＝（y+4）2＝（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4；（3）设x2+2x＝y，原式＝y（y+2）+1＝y2+2y+1＝（y+1）2＝（x2+2x+1）2＝（x+1）4；（4）（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）﹣1＝（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）﹣1＝（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）+1﹣2＝（x2﹣2x+1）2﹣2＝（x﹣1）4﹣2，故当x＝1时，多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）﹣1存在最小值，最小值为﹣2．故答案为：C；（x﹣2）4；1，小．27．【解答】解：（1）①根据题意补全图1，如图所示．②证明：∵直线m是线段AB的垂直平分线，∴AC＝BC，EA＝EB，∴∠EAC＝∠EBC．∵△ACD为等边三角形，∴CD＝AC＝BC，∴∠EDC＝∠EBC，∴∠EAC＝∠EDC．（2）如图2中，结论：EB＝EC+ED．理由：设CD交AE于J，在EA上取一点H，使得EH＝ED．∵△ADC是等边三角形，∴DA＝DC＝AC，∠ADC＝DCA＝60°，∵直线m垂直平分线段AB，∴CA＝CB＝CD，∴∠CDB＝∠CBE，∵EA＝EB，CA＝CB，∴∠EAB＝∠EBA，∠CAB＝∠CBA，∴∠EAC＝∠EBC，∴∠JDE＝∠JAC，∵∠DJE＝∠AJC，∴△DJE∽△AJC，∴∠DEJ＝∠JCA＝60°，∵ED＝EH，∴△DEH是等边三角形，∴∠ADJ＝∠HDE，DH＝DE，∵DA＝DC，∴△ADH≌△CDE（SAS），∴AH＝EC，∴EA＝EH+AH＝DE+EC，∵直线m垂直平分线段AB，∴EA＝EB，∴EB＝EC+ED．。
2019-2020学年北京市海淀区首都师大附中八年级(上)期中数学试卷
2019-2020学年北京市海淀区首都师大附中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题2分，共16分）1．（2分）手机界面中有一些美观的图标，以下图标为轴对称的是（）A．B．C．D．2．（2分）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a5B．（a2）3＝a5C．a8÷a2＝a4D．2x+3y＝5xy 3．（2分）将多项式a2﹣6a﹣5变为（x+p）2+q的形式，结果正确的是（）A．（a+3）2﹣14B．（a﹣3）2﹣14C．（a+3）2+4D．（a﹣3）2+4 4．（2分）如图的方格纸中有若干个点，若AB两点关于过某点的直线对称，这个点可能是（）A．P1B．P2C．P3D．P45．（2分）下列说法正确的是（）A．不论x取何值时，（x﹣1）0＝1B．的值比大C．多项式x2+x+1是完全平方式D．4×3100﹣399是11的倍数6．（2分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，8），点B（6，8），若点P同时满足下列条件：①点P到A，B两点的距离相等；②点P到∠xOy的两边距离相等．则点P 的坐标为（）A．（3，5）B．（6，6）C．（3，3）D．（3，6）7．（2分）点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，﹣3）D．（3，﹣2）8．（2分）已知等边△ABC中AD⊥BC，AD＝12，若点P在线段AD上运动，当AP+BP 的值最小时，AP的长为（）A．4B．8C．10D．12二、填空题（每小题3分，共24分）9．（3分）等腰三角形的一个外角是100°，则这个等腰三角形的底角为．10．（3分）如图，已知AE平分∠BAC，点D是AE上一点，连接BD，CD．请你添加一个适当的条件，使△ABD≌△ACD．添加的条件是：．（写出一个即可）11．（3分）已知：4x•9x＝612，则x＝．12．（3分）已知x m＝2，x n＝3，则x m+n＝．13．（3分）如图，以等边△ABC的边AC为腰作等腰△CAD，使AC＝AD，连接BD，若∠DBC＝41°，∠CAD＝°．14．（3分）有一个边长为a的大正方形和四个边长为b的全等的小正方形（其中a＞2b），按如图方式摆放，并顺次连接四个小正方形落入大正方形内部的顶点，得到四边形ABCD．下面有四种说法：①阴影部分周长为4a；②阴影部分面积为（a+2b）（a﹣2b）；③四边形ABCD四位周长为8a﹣4b；④四边形ABCD的面积为a2﹣4ab+4b2．所有合理说法的序号是．15．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，AD⊥BC于点D，如果AB＝8，BC＝10，则△ABC的面积是．16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，BC的垂直平分线EF交BC于点E，交BD于点F，若BF＝6，则AC的长为．三、解答题（本大题共60分，其中17题4分；18题8分；19-24题，每题5分；第25-27题，每题6分）17．（4分）计算：（π﹣3）018．（8分）因式分解（1）x2﹣y2（2）ax2+4ax+4a19．（5分）已知4a2﹣b2＝6，2a+b＝1．（1）求2a﹣b的值．（2）化简代数式[a2+b2+2b（a﹣b）﹣（a﹣b）2]÷4b20．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝∠ACB，D是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF∥AB交DE的延长线于点F，DB＝3，CF＝7，求AE．21．（5分）先化简，再求值．（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）﹣2b（b+3a），其中a＝2，b＝﹣1．22．（5分）在△ABC的边AC上取一点，使得AB＝AD，若点D恰好在BC的垂直平分线上，写出∠ABC与∠C的数量关系，并证明．23．（5分）双十一购物节即将到来，某商场设计了两种的促销方案，并有以下两种销售量预期．预期一：第1步，销售量扩大为原来的a倍．第2步，再扩大为第1步销售量的b倍．预期二：第1步，销售量扩大为原来的倍．第2步，再扩大为第1步销售量的倍．其中a，b为不相等的正数，请问两种预期中，哪种销售量更多？试说明理由．24．（5分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD为中线，点P是AD上一点，点Q是AC 上一点，且∠BPQ+∠BAQ＝180°．（1）若∠ABP＝α，求∠PQC的度数（用含α的式子表示）；（2）求证：BP＝PQ．25．（6分）对于多项式A＝x2+bx+c（b，c为常数），作如下探究：（1）不论x取何值，A都是非负数，求b与c满足的条件；（2）若A是完全平方式，①当c＝9时，b＝；当b＝3时，c＝；②若多项式B＝x2﹣dx﹣c与A有公因式，求d的值．26．（6分）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点E是AC上一点，连接BE，且∠BEC＝50°，D为点B关于直线AC的对称点，连接CD，将线段EB绕点E顺时针旋转40°得到线段EF，连接DF．（1）请你在图中补全图形；（2）请写出∠EFD的大小，并说明理由；（3）连接CF，求证：DF＝CF．27．（6分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P与图形W，若点Q为图形W上任意一点，点Q关于第一、三象限角平分线的对称点为Q′，且线段PQ′的中点为M（m，0），则称点P是图形W关于点M（m，0）的“关联点”．（1）如图1，若点P是点Q（0，）关于原点的关联点，则点P的坐标为；（2）如图2，在△ABC中，A（2，2），B（﹣2，0），C（0，﹣2），①将线段AO向右平移d（d＞0）个单位长度，若平移后的线段上存在两个△ABC关于点（2，0）的关联点，则d的取值范围是．②已知点S（n+2，0）和点T（n+4，0），若线段ST上存在△ABC关于点N（n，0）的关联点，求n的取值范围．2019-2020学年北京市海淀区首都师大附中八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共16分）1．（2分）手机界面中有一些美观的图标，以下图标为轴对称的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．2．（2分）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a5B．（a2）3＝a5C．a8÷a2＝a4D．2x+3y＝5xy 【解答】解：A、a2•a3＝a5，故原题计算正确；B、（a3）2＝a6，故原题计算错误；C、a8÷a2＝a6，故原题计算错误；D、2x与3y不是同类项，不能合并，故原题计算错误；故选：A．3．（2分）将多项式a2﹣6a﹣5变为（x+p）2+q的形式，结果正确的是（）A．（a+3）2﹣14B．（a﹣3）2﹣14C．（a+3）2+4D．（a﹣3）2+4【解答】解：根据题意得：a2﹣6a﹣5＝（a2﹣6a+9）﹣14＝（a﹣3）2﹣14，故选：B．4．（2分）如图的方格纸中有若干个点，若AB两点关于过某点的直线对称，这个点可能是（）A．P1B．P2C．P3D．P4【解答】解：如图所示：AB两点关于过点P3的直线对称．故选：C．5．（2分）下列说法正确的是（）A．不论x取何值时，（x﹣1）0＝1B．的值比大C．多项式x2+x+1是完全平方式D．4×3100﹣399是11的倍数【解答】解：当x＝1时，（x﹣1）0无意义，故选项A错误；∵，，∴的值与的值一样，故选项B错误；多项式x2+x+1＝（x+）2+，故选项C错误；4×3100﹣399＝399×（4×3﹣1）＝399×11，则4×3100﹣399是11的倍数，故选项D正确；故选：D．6．（2分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，8），点B（6，8），若点P同时满足下列条件：①点P到A，B两点的距离相等；②点P到∠xOy的两边距离相等．则点P 的坐标为（）A．（3，5）B．（6，6）C．（3，3）D．（3，6）【解答】解：∵点A（0，8），点B（6，8），点P到A，B两点的距离相等，∴点P在线段AB的垂直平分线x＝3上，∵点P到∠xOy的两边距离相等，∴点P的坐标为（3，3）故选：C．7．（2分）点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，﹣3）D．（3，﹣2）【解答】解：根据轴对称的性质，得点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标为（﹣2，﹣3）．故选：C．8．（2分）已知等边△ABC中AD⊥BC，AD＝12，若点P在线段AD上运动，当AP+BP 的值最小时，AP的长为（）A．4B．8C．10D．12【解答】解：如图，作BE⊥AC于点E，交AD于点P，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴∠DAC＝30°∴PE＝AP当BP⊥AC时，AP+BP＝PE+BP的值最小，此时，AP＝AD＝8．故选：B．二、填空题（每小题3分，共24分）9．（3分）等腰三角形的一个外角是100°，则这个等腰三角形的底角为50°或80°．【解答】解：①若100°的外角是此等腰三角形的顶角的邻角，则此顶角为：180°﹣100°＝80°，则其底角为：＝50°；②若100°的外角是此等腰三角形的底角的邻角，则此底角为：180°﹣100°＝80°；故这个等腰三角形的底角为：50°或80°．故答案为：50°或80°．10．（3分）如图，已知AE平分∠BAC，点D是AE上一点，连接BD，CD．请你添加一个适当的条件，使△ABD≌△ACD．添加的条件是：AB＝AC（答案不唯一）．（写出一个即可）【解答】解：∵AE平分∠BAC，∵AD＝AD，添加AB＝AC，利用SAS可得△ABD≌△ACD，添加∠B＝∠C，利用AAS可得△ABD≌△ACD，添加∠ADB＝∠ADC，利用ASA可得△ABD≌△ACD，故答案为：AB＝AC（答案不唯一）11．（3分）已知：4x•9x＝612，则x＝6．【解答】解：∵4x•9x＝612，∴22x•32x＝62x＝612，∴2x＝12，解得：x＝6．故答案为：6．12．（3分）已知x m＝2，x n＝3，则x m+n＝6．【解答】解：∵x m＝2，x n＝3，∴x m+n＝x m•x n＝2×3＝6．故答案为：6．13．（3分）如图，以等边△ABC的边AC为腰作等腰△CAD，使AC＝AD，连接BD，若∠DBC＝41°，∠CAD＝82°．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵AC＝AD，设∠ACD＝∠ADC＝α，则∠BCD＝60°+α，∵∠DBC＝41°，∴∠ABD＝60°﹣41°＝19°，∵AB＝AC＝AD，∴∠ADB＝∠ABD＝19°，∴∠BDC＝180°﹣41°﹣（60°+α）＝α﹣19°，∴α＝49°，∴∠ACD＝∠ADC＝49°，∴∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝82°，故答案为：82．14．（3分）有一个边长为a的大正方形和四个边长为b的全等的小正方形（其中a＞2b），按如图方式摆放，并顺次连接四个小正方形落入大正方形内部的顶点，得到四边形ABCD．下面有四种说法：①阴影部分周长为4a；②阴影部分面积为（a+2b）（a﹣2b）；③四边形ABCD四位周长为8a﹣4b；④四边形ABCD的面积为a2﹣4ab+4b2．所有合理说法的序号是①②④．【解答】解：阴影部分周长＝大正方形的周长＝4a，所以①正确；阴影部分面积＝大正方形的面积﹣4个小正方形的面积＝a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b），所以②正确；四边形ABCD的周长＝2（a﹣2b）+2（a﹣2b）＝4a﹣8b，所以③错误；四边形ABCD的面积＝（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2．所以④正确．故答案为①②④．15．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，AD⊥BC于点D，如果AB＝8，BC＝10，则△ABC的面积是20．【解答】解：∵在△ABC中，AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝30°，AB＝8，∴AD＝，∴△ABC的面积＝，故答案为：2016．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，BC的垂直平分线EF交BC于点E，交BD于点F，若BF＝6，则AC的长为6．【解答】解：连接CF，如图所示：∵在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，∴AD＝DC，BD⊥AC，∵BC的垂直平分线EF交BC于点E，∴BF＝CF＝6，∴∠DFC＝2∠DBC＝∠ABC＝30°，∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∴DC＝，∴AC＝2DC＝6，故答案为：6．三、解答题（本大题共60分，其中17题4分；18题8分；19-24题，每题5分；第25-27题，每题6分）17．（4分）计算：（π﹣3）0【解答】解：（π﹣3）0＝1+＝1+＝1+（﹣1）＝0．18．（8分）因式分解（1）x2﹣y2（2）ax2+4ax+4a【解答】解：（1）原式＝（x+y）（x﹣y）；（2）原式＝a（x2+4x+4）＝a（x+2）2．19．（5分）已知4a2﹣b2＝6，2a+b＝1．（1）求2a﹣b的值．（2）化简代数式[a2+b2+2b（a﹣b）﹣（a﹣b）2]÷4b【解答】解：（1）∵4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b）＝6，2a+b＝1，∴2a﹣b＝6；（2）原式＝（a2+b2+2ab﹣2b2﹣a2+2ab﹣b2）÷4b＝（4ab﹣2b2）÷4b＝a﹣b＝（2a﹣b），当2a﹣b＝6时，原式＝3．20．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝∠ACB，D是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF∥AB交DE的延长线于点F，DB＝3，CF＝7，求AE．【解答】解：∵E是边AC的中点，∴AE＝CE．又∵CF∥AB，∴∠A＝∠ACF，∠ADF＝∠F，在△ADE与△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS）．∴CF＝AD＝7，∴AB＝AD+BD＝10，又∵∠B＝∠ACB，∴AB＝AC＝10，∵E是边AC的中点，∴AE＝AC＝5．21．（5分）先化简，再求值．（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）﹣2b（b+3a），其中a＝2，b＝﹣1．【解答】解：原式＝a2+2ab+b2﹣a2+b2﹣2b2﹣6ab＝﹣4ab，当a＝2，b＝﹣1时，原式＝8．22．（5分）在△ABC的边AC上取一点，使得AB＝AD，若点D恰好在BC的垂直平分线上，写出∠ABC与∠C的数量关系，并证明．【解答】解：结论：∠ABC＝3∠C．理由：设∠C＝x．∵点D在BC的垂直平分线上，∴DB＝DC，∴∠C＝∠CBD＝x，∴∠ADB＝∠C+∠CBD＝2x，∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD＝2x，∴∠ABC＝∠ABD+∠C＝3x，∴∠ABC＝3∠C．23．（5分）双十一购物节即将到来，某商场设计了两种的促销方案，并有以下两种销售量预期．预期一：第1步，销售量扩大为原来的a倍．第2步，再扩大为第1步销售量的b倍．预期二：第1步，销售量扩大为原来的倍．第2步，再扩大为第1步销售量的倍．其中a，b为不相等的正数，请问两种预期中，哪种销售量更多？试说明理由．【解答】解：预期二的销售量更多，理由为：根据题意得：设原来的销售量为“1”，预期一的销售量为：ab；预期二的销售量为：（）2，∵a≠b，且（）2﹣ab＝﹣ab＝＝＞0，∴（）2＞ab，则预期二的销售量更多．24．（5分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD为中线，点P是AD上一点，点Q是AC 上一点，且∠BPQ+∠BAQ＝180°．（1）若∠ABP＝α，求∠PQC的度数（用含α的式子表示）；（2）求证：BP＝PQ．【解答】解：（1）∵在四边形ABPQ中，∠BPQ+∠BAQ＝180°，∴∠ABP+∠AQP＝180°，∵∠AQP+∠CQP＝180°，∴∠CQP＝∠ABP，∵∠ABP＝α，∴∠CQP＝α；（2）连接PC，∵AB＝AC，AD为中线，∴AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∵点P是AD上一点，∴PB＝PC，∵AP＝AP，AB＝AC，PB＝PC，∴△ABP≌△ACP（SSS），∴∠ABP＝∠ACP，由（1）知∠CQP＝∠ABP，∴∠ACP＝∠CQP，∴PQ＝PC，∴PB＝PQ．25．（6分）对于多项式A＝x2+bx+c（b，c为常数），作如下探究：（1）不论x取何值，A都是非负数，求b与c满足的条件；（2）若A是完全平方式，①当c＝9时，b＝±6；当b＝3时，c＝；②若多项式B＝x2﹣dx﹣c与A有公因式，求d的值．【解答】解：（1）A＝x2+bx+c＝﹣+c＝+，∵≥0，不论x取何值，A都是非负数，∴≥0，∴4c﹣b2≥0；（2）①当c＝9时，∵A是完全平方式，即x2+bx+9＝x2+bx+32是完全平方式，∴b＝±2×3＝±6；当b＝3时，∵A是完全平方式，即x2+3x+c是完全平方式，∴c＝．故答案为：±6；．②∵A是完全平方式，∴设A＝x2+bx+c＝（x+y）2＝x2+2xy+y2①，∵B＝x2﹣dx﹣c与A有公因式，∴设B＝x2﹣dx﹣c＝（x+y）（x+z）＝x2+（y+z）x+yz②，由①式可得：c＝y2，由②式可得：﹣d＝y+z，﹣c＝yz，∴z＝﹣y，∴﹣d＝y+z＝0，∴d＝0．∴d的值为0．26．（6分）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点E是AC上一点，连接BE，且∠BEC＝50°，D为点B关于直线AC的对称点，连接CD，将线段EB绕点E顺时针旋转40°得到线段EF，连接DF．（1）请你在图中补全图形；（2）请写出∠EFD的大小，并说明理由；（3）连接CF，求证：DF＝CF．【解答】（1）解：图形如图1中所示：（2）解：如图2中，连接DE．∵B，D关于AC对称，∴EB＝ED，∠BEC＝∠DEC＝50°，∵EB＝EF，∠BEF＝40°，∴∠FEC＝∠BEC﹣∠BEF＝50°﹣40°＝10°，DE＝EF，∴∠DEF＝∠DEC+∠FEC＝60°，∴△DEF是等边三角形，∴∠EFD＝60°．（3）证明：如图2中，连接BD．∵B，D关于AC对称，∴CB＝CD，∠BCA＝∠ACD，∵BA＝BC，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠BCA＝30°，∴∠ACB＝∠ACD＝30°，∴∠BCD＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴DB＝DC，∠BDC＝60°，∵△DEF是等边三角形，∴DE＝DF，∠EDF＝60°，∴∠EDF＝∠BDC，∴∠EDB＝∠FDC，∴△EDB≌△FDC（SAS），∴∠EBD＝∠FCD，∵B，D关于AC对称，∴∠EDC＝∠EBC＝180°﹣50°﹣30°＝100°，∵∠EDF＝60°，∴∠FDC＝40°，∵EB＝ED，∠BED＝100°，∴∠EBD＝∠EDB＝40°，∴∠FCD＝∠EBD＝40°，∴∠FDC＝∠FCD＝40°，∴FD＝FC．27．（6分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P与图形W，若点Q为图形W上任意一点，点Q关于第一、三象限角平分线的对称点为Q′，且线段PQ′的中点为M（m，0），则称点P是图形W关于点M（m，0）的“关联点”．（1）如图1，若点P是点Q（0，）关于原点的关联点，则点P的坐标为（﹣，0）；（2）如图2，在△ABC中，A（2，2），B（﹣2，0），C（0，﹣2），①将线段AO向右平移d（d＞0）个单位长度，若平移后的线段上存在两个△ABC关于点（2，0）的关联点，则d的取值范围是2＜d≤3．②已知点S（n+2，0）和点T（n+4，0），若线段ST上存在△ABC关于点N（n，0）的关联点，求n的取值范围．【解答】解：（1）∵点P是点Q（0，）关于原点的关联点，∴Q′（，0），∵P，Q′关于原点对称，∴P（﹣，0），故答案为（﹣，0）．（2）①如图2中，作△ABC关于点（2，0）对称的△A′B′C′，当平移后的线段OA与△A′B′C′的边有两个交点时，满足条件，观察图象可知当平移后的线段OA经过C′（4，2）时，平移的距离d＝2，当平移后的线段OA经过点（3，0）时，平移的距离d＝3，∴当2＜d≤3时，平移后的线段上存在两个△ABC关于点（2，0）的关联点，故答案为：2＜d≤3．②由题意AC与x轴的交点（1，0），（1，0）关于N（n，0）的对称点坐标为（2n﹣1），B（﹣2，0）关于N（n，0）的对称点坐标（2n+2，0），∵线段ST上存在△ABC关于点N（n，0）的关联点，∴n+2≤2n﹣1≤n+4或n+2≤2n+2≤n+4，解得3≤n≤5或0≤n≤2，。
海淀区初二年级数学上册期中重点试题(含答案解析)
海淀区2019初二年级数学上册期中重点试题(含答案解析)海淀区2019初二年级数学上册期中重点试题(含答案解析) 一、选择题：（本题共36分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的. 请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置.题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案1．下列图形中，不是轴对称图形的是（A）（B）（C）（D）2．下列运算中正确的是（A）（B）（C）（D）3．在平面直角坐标系中，点（－3，5）关于x轴的对称点的坐标是（A）（3，5）（B）（3，－5）（C）（5，－3）（D）（－3，－5）4．如果在实数范围内有意义，那么x的取值范围是（A）x ≠－（B）x－（C）x≥－（D）≥5．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（A）（B）（C）（D）6．下列三个长度的线段能组成直角三角形的是（A）1，，（B）1，，（C）2，4，6 （D）5，5，6 7．计算，结果为（A）（B）（C）（D）8．下列各式中，正确的是（A）（B）（C）（D）9．若与的乘积中不含x的一次项，则实数m的值为（A）（B）（C）（D）10.如图，在△ABC和△CDE中，若,AB=CD，BC=DE，则下列结论中不正确的是（A）△ABC ≌△CDE （B）CE=AC（C）AB⊥CD （D）E为BC中点11．如图，由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形. 如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两条直角边的长分别是和，那么的值为（A）49 （B）25 （C）13 （D）112.当x分别取、、、….、、、、1、、、…、、、时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（A）（B）（C）（D）二、填空题:（本题共24分，每小题3分）13．若实数满足，则的值为.14．计算：= ．15．比较大小：.16．分解因式：= ．17．如图，△ABC≌△DEF，点F在BC边上，AB与EF相交于点P.若，PB=PF，则°.18．如图，△ABC是等边三角形，点D为AC边上一点，以BD为边作等边△BDE, 连接CE．若CD＝1，CE＝3，则BC＝_____．19．在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为（－6，0）、（0，8）．若△ABC是以∠BAC为顶角的等腰三角形，点C在x轴上，则点C的坐标为．20.如图，分别以正方形ABCD的四条边为边，向其内部作等边三角形，得到△ABE、△BCF、△CDG、△DAH，连接EF、FG、GH、HE.若AB=2，则四边形EFGH的面积为.三、解答题：（本题共14分，第21题5分，第22题9分）21．计算：+ ．22．（1）解方程：.（2））先化简，再求值：，其中.四、解答题：（本题共9分，第23题4分,第24题5分）23.点、在上，，，∠ =∠ .求证: ∠ =∠ .24. 列方程(组)解应用题:上图为地铁调价后的计价图. 调价后，小明、小伟从家到学校乘地铁分别需4元和3元.由于刷卡坐地铁有优惠，因此，他们平均每次实付3.6元和2.9元.已知小明从家到学校乘地铁的里程比小伟从家到学校乘地铁的里程多5千米，且小明每千米享受的优惠金额是小伟的2倍，求小明和小伟从家到学校乘地铁的里程分别是多少千米？五、解答题：（本题共17分，第25题5分，第26题6分，第27题6分）25．已知：△ABC，射线AM平分.（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）作BC的中垂线，与AM相交于点G，连接BG、CG.（2）在（1）的条件下，∠BAC和∠BGC的等量关系为，证明你的结论.26．阅读：对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则或.又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为，.应用上面的结论解答下列问题：（1）方程的两个解中较大的一个为；（2）关于x的方程的两个解分别为、（），若与互为倒数，则，；（3）关于x的方程的两个解分别为、（），求的值.27.阅读：在△ABC中，，，，求的长.小明的思路：如图2，作于点E，在AC的延长线上取点D，使得，连接BD,易得,△ABD为等腰三角形.由和，易得，△BCD为等腰三角形.依据已知条件可得AE和的长.解决下列问题：（1）图2中，= ，= ；（2）在△ABC中，、、的对边分别为a、b、c.①当时，用含a、c的式子表示b；（要求写解答过程）要练说，得练听。
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2019-2020学年北京市海淀区清华附中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1．（3分）在下列图形中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列计算正确的是（）A．a4+a2＝a6B．（ab5）2＝ab10C．a4•a3＝a7D．a10÷a2＝a53．（3分）如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD4．（3分）若2x+m与x+2的乘积中不含的x的一次项，则m的值为（）A．﹣4B．4C．﹣2D．25．（3分）如图，已知AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，BC＝13，AB＝5，且E为BC上一点，∠AED＝90°，AE＝DE，则BE＝（）A．13B．8C．6D．56．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD＝5，AB＝18，则△ABD的面积是（）A．15B．30C．45D．607．（3分）等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是（）A．50°B．80°C．50°或80°D．20°或80°8．（3分）如图的方格纸中每一个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC为等腰三角形，这样的格点的个数有（）A．8个B．9个C．10个D．11个二、填空题（共8题，每小题3分，共24分9．（3分）等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为．10．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠C＝65°，则∠BAD的度数为．11．（3分）计算＝．12．（3分）如图，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE＝CD，若BD＝3，则DE＝．13．（3分）若（x﹣2）（x+3）＝x2+ax﹣6，则a＝．14．（3分）已知，如图AB＝AC，∠BAC＝40°，D为AB边上的一点，过D作DF⊥AB，交AC于E，交BC延长线于点F，则∠F＝°．15．（3分）已知，如图，AB＝BC＝6，∠A＝15°，则△ABC的面积为．16．（3分）如图，已知等边△ABC的边长为4，过AB边上一点P作PN⊥AC于点N，Q为BC延长线上一点，取CQ＝P A，连接PQ交AC于M，则MN的长为．三、解答题（共7小题，共52分）17．（5分）如图，B、C、E、F同一直线上，AB∥CD，BF＝CE，∠A＝∠D．求证：△ABE≌△DCF18．（12分）计算下列各题（1）（x﹣3y）（﹣6x）；（2）（6x4﹣8x2y）÷2x2；（3）（x﹣1）（x+2）；（4）（x+y﹣3）（x﹣y+3）19．（5分）已知△ABC，A（﹣4，1）、B（﹣1，﹣1）、C（﹣3，2）．（1）请在平面直角坐标系中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）请在同一平面直角坐标系中画出△A1B1C1关于直线m（直线m上各点的横坐标都是1）对称的△A2B2C2，并直接写出点A2，C2的坐标；（3）直接写出△ABC边上一点M（x，y），经过上述两次图形变换后得到△A2B2C2上的对应点M2的坐标．20．（6分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为直线BC上一动点，以AD为边在AD的右侧作△ADE，AE ＝AD，∠DAE＝90°，连接CE．（1）如图1，若点D在段BC上．求证：∠B＝∠ACE；（2）若BC＝5，CE＝2，直按写出CD的长度．21．（8分）（1）先化简再求值：（x+2y）2+（x+2y）（x﹣2y）+2y2，其中x＝﹣1，y＝2；（2）已知a2+b2＝3，a﹣b＝1，求①ab；②a+b的值．22．（8分）如果5a＝b，那么称a为b的幂指数，记为a＝λ（b）（1）因为52＝25，所以λ（25）＝2，根据上述规定：λ（5）＝；（2）已知幂指数有如下运算性质：若m，n为正数，则λ（mn）＝λ（m）+λ（n），λ（）＝λ（m）﹣λ（n）．根据以上运算性质：＝（x为正数）．若λ（2）≈0.4，则λ（4）≈，λ（10）≈，λ（）≈；（答案精确到小数点后一位）（3）已知λ（3）＝a，λ（0.14）＝b，λ（）＝c，试用等式表示a，b，c之间的数量关系，并说明理由．23．（8分）在等边△ABC的外侧作直线AP，∠CAP＝α，点C关于AP的对称点为D，连接CD、BD、AD．（1）如图1，若α＝70°，直接写出∠BDC的度数；（2）如图2，若0＜α＜60°，过点D作DE⊥BD交直线AP于点E，①依题意补全图形；②直接写出∠ADB的度数（用含α的代数式表示）；③求证：AE＝BD．二、附加题（24，25每题3分，26，27每题4分，28题6分，共20分）24．（3分）已知x+＝4，则x2+的值是．25．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△ABC面积为12，AD⊥BC于点D，直线EF垂直平分AB交AB于点E，交BC于点F，P为直线EF上一动点，则△PBD的周长的最小值为．26．（4分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D在线段AB上运动（D不与A，B重合），连接CD，作∠CDE＝30°，DE交BC于点E．若△CDE是等腰三角形，则∠ADC的度数是．27．（4分）如图1，在平面直角坐标系中，我们把d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|＝AC+BC定义为A（x1，y1）和B （x2，y2）两点之间的非常距离，在图2，图3的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．如图2，d（D，E）＝d（D，F）＝3，d（E，F）＝4，我们把到M、N两点非常距离相等的所有点组成的图形叫做M，N两点间的“非常垂直平分线“．如图3，d（M，N）＝，并在图3中画出M、N两点间的“非常垂直平分线”．28．（6分）如图，在等边△ABC中，AB＝8，P是线段BC上一动点（不与B、C重合），PD⊥AB于D，PE⊥AC 于E，对于△ABC所在平面内一点M，K M＝，我们把K M称为点M的“特征值”．（1）若BP＝CP，则点P的特征值k p＝；（2）若BP＝3CP，则点A的特征值k A＝；（3）试确定点Q的位置，使得当点P运动时，总有点Q的特征值k Q为定值，直接写出这个定值，并证明．2019-2020学年北京市海淀区清华附中八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1．【解答】解：A、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；B、是轴对称图形，符合题意；C、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；D、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意．故选：B．2．【解答】解：a4与a2不是同类项，所以不能合并，故选项A不合题意；（ab5）2＝a2b10，故选项B不合题意；a4•a3＝a7，正确，故选项C符合题意；a10÷a2＝a8，故选项D不合题意．故选：C．3．【解答】解：A、添加∠A＝∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；B、添加AB＝DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；C、添加∠ACB＝∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；D、添加AC＝BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；故选：D．4．【解答】解：（2x+m）（x+2）＝2x2+4x+mx+2m＝2x2+（4+m）x+2m，∵若2x+m与x+2的乘积中不含的x的一次项，∴4+m＝0，解得：m＝﹣4，故选：A．5．【解答】解：在△ABE和△ECD中∴△ABE≌△ECD（AAS）．∴CE＝AB＝5．∴BE＝BC﹣CE＝13﹣5＝8．故选：B．6．【解答】解：作DE⊥AB于E，由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC＝5，∴△ABD的面积＝×AB×DE＝45，故选：C．7．【解答】解：①当顶角是80°时，它的底角＝（180°﹣80°）＝50°；②底角是80°．所以底角是50°或80°．故选：C．8．【解答】解：图中的黑点为C点所在位置，这样的C点共有10个．故选：C．二、填空题（共8题，每小题3分，共24分9．【解答】解：分两种情况：当3为底时，其它两边都为7，3、7、7可以构成三角形，周长为17；当3为腰时，其它两边为3和7，3+3＝6＜7，所以不能构成三角形，故舍去，所以等腰三角形的周长为17．故答案为：17．10．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵∠C＝65°，∴∠BAD＝25°．故答案为：25°11．【解答】解：原式＝（﹣4×）2018×4×1＝4，故答案为412．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，BD是AC边的中线，∴BD⊥AC，BD平分∠ABC，∠DBE＝∠ABC＝30°．∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠E．∵∠ACB＝60°，且∠ACB为△CDE的外角，∴∠CDE+∠E＝60°．∴∠CDE＝∠E＝30°，∴∠DBE＝∠DEB＝30°，∴DE＝BD＝3．故答案为3．13．【解答】解：（x﹣2）（x+3）＝x2+3x﹣2x﹣6＝x2+x﹣6，∵（x﹣2）（x+3）＝x2+ax﹣6，∴a＝1，故答案为：1．14．【解答】解：过点A作AG⊥BC于点G，则∠AGB＝90°，∴∠B+∠BAG＝90°，∵DF⊥AB，∴∠BDF＝90°，∴∠B+∠F＝90°，∴∠F＝∠BAG，∵AB＝AC，AG⊥BC，∴∠BAG＝∠BAC，∴∠F＝∠BAC＝20°，故答案为：2015．【解答】解：∵AB＝BC＝6，∠A＝15°，∴∠ACB＝∠A＝15°，∴∠CBD＝∠A+∠ACB＝30°，过C作CD⊥AB交AB的延长线于D，∴∠D＝90°，∴CD＝BC＝3，∴△ABC的面积为AB•CD＝×6×3＝9，故答案为：9．16．【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFM＝∠QCM，△APF是等边三角形，∴AP＝PF＝AF，∵PN⊥AC，∴AN＝NF，∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ．∵在△PFM和△QCM中，，∴△PFM≌△QCM（AAS），∴FM＝CM，∵AN＝NF，∴NF+FM＝AN+CM，∴AN+CM＝MN＝AC，∵AC＝4，∴MN＝2．故答案为：2．三、解答题（共7小题，共52分）17．【解答】证明：∵AB∥CD（已知），∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等）∵BF＝CE（已知），∴BF+EF＝CE+EF，即BE＝CF．在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（AAS）．18．【解答】解：（1）（x﹣3y）（﹣6x）＝﹣6x2+18xy；（2）（6x4﹣8x2y）÷2x2＝3x2﹣4y；（3）（x﹣1）（x+2）＝x2+2x﹣x﹣2＝x2+x﹣2；（4）（x+y﹣3）（x﹣y+3）＝[x+（y﹣3）][x﹣（y﹣3）]＝x2﹣（y﹣3）2＝x2﹣y2﹣9+6y．19．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，点A2，C2的坐标分别为（6，﹣1）和（5，﹣2）；（3）点M（x，y）关于x轴对称的点M1的坐标为（x，﹣y），点M1关于直线m对称的点M2的坐标为（﹣x+2，﹣y）．∴经过上述两次图形变换后得到△A2B2C2上的对应点M2的坐标为（﹣x+2，﹣y）．20．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE；（2）解：∵△ABD≌△ACE，∴BD＝CE＝2，∴CD＝BC﹣BD＝5﹣2＝3．21．【解答】解：（1）原式＝x2+4xy+4y2+x2﹣4y2+2y2＝2x2+4xy+2y2，当x＝﹣1，y＝2时，原式＝2﹣8+8＝2；（2）①∵a2+b2＝3，a﹣b＝1，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝1，即3﹣2ab＝1，解得：ab＝1；②∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝3+2＝5，∴a+b＝±．22．【解答】解：（1）因为5a＝b，所以λ（5）＝a．故答案为a．（2）因为λ（mn）＝λ（m）+λ（n），所以＝＝2．∵λ（2）≈0.4，∴λ（4）＝λ（2）+λ（2）≈0.4，λ（10）＝λ（2）+λ（5）≈0.4+1＝1.4，λ（）＝λ（8）﹣λ（25）＝3λ（2）﹣2λ（5）≈3×0.4﹣2＝﹣0.8，故答案为2，0.4，1.4，﹣0.8；（3）λ（0.14）＝λ（14）﹣λ（100）＝λ（7）+λ（2）﹣2λ（10）＝λ（7）+λ（2）﹣2λ（2）﹣2＝λ（7）﹣λ（2）﹣2＝b，λ（）＝λ（63）﹣λ（2）＝λ（7）+λ（9）﹣λ（2）＝λ（7）+2λ（3）﹣λ（2）＝c，∴c＝b+2+2a．23．【解答】解：（1）∵点C关于AP对称点为D，∴AD＝AC，∠CAP＝∠DAP＝70°，∴∠ACD＝∠ADC＝20°，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠BAD＝360°﹣70°﹣70°﹣60°＝160°，∴∠ADB＝10°，∴∠BDC＝∠ADB+∠ADC＝30°．答：∠BDC的度数为30°．（2）①如图即为补全的图形．②如图，同（1）∠CAP＝∠DAP＝α，∠BAC＝60°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝60°+2α，∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD＝（180°﹣∠BAD）＝60°﹣α．答：∠ADB的度数为60°﹣α．③∵AD＝AC＝BC，∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣（60°﹣α）＝α，∴∠CBD＝∠DAE＝α，∵DE⊥BD，∴∠BDC+∠CDE＝90°，∵点C关于AP对称点为D，∴CD⊥AP，∴∠CDE+∠AED＝90°，∴∠BDC＝∠AED，∴△BDC≌△AED（AAS）∴BD＝AE．二、附加题（24，25每题3分，26，27每题4分，28题6分，共20分）24．【解答】解：x2+＝＝16﹣2＝14．故答案为：14．25．【解答】解：如图，连接P A．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC＝3，∵S△ABC＝•BC•AD＝12，∴AD＝4，∵EF垂直平分AB，∴PB＝P A，∴PB+PD＝P A+PD，∵P A+PD≥AD，∴P A+PD≥4，∴P A+PD的最小值为4，∴△PBD的最小值为4+3＝7，故答案为7．26．【解答】解：△CDE可以是等腰三角形，∵△CDE是等腰三角形；①当CD＝DE时，∵∠CDE＝30°，∴∠DCE＝∠DEC＝75°，∴∠ADC＝∠B+∠DCE＝105°，②当DE＝CE时，∵∠CDE＝30°，∴∠DCE＝∠CDE＝30°，∴∠ADC＝∠DCE+∠B＝60°．③当EC＝CD时，∠BCD＝180°﹣∠CED﹣∠CDE＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∵∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝120°，∴此时，点D与点A重合，不合题意．综上，△ADC可以是等腰三角形，此时∠ADC的度数为60°或105°．故答案为60°或105°．27．【解答】解：由题意：d（M，N）＝4+2＝6，满足条件的点组成的图形如图所示：故答案为6．28．【解答】解：（1）如图1中，连接P A．∵AB＝AC，BP＝PC，∴∠P AB＝∠P AC，∵PD⊥AB，PE⊥AC，∴PD＝PE，∴K P＝＝1，故答案为1．（2）如图2中，设AB＝BC＝AC＝4a，则PB＝3a，PC＝a．∵PE⊥AC，PD⊥AB，∴∠PEC＝∠PDB＝90°，∵∠B＝∠C＝60°，∴∠DPB＝∠CPE＝30°，∴BD＝PB＝1.5a，EC＝Pc＝0.5a，∴AD＝2.5a，A＝3.5a∴K A＝＝＝．故答案为．（3）如图3中，作AQ⊥BC于Q，连接P A，DQ，QE，取P A的中点Q，连接OD，OQ，OE．∵∠ADP＝∠AQP＝∠AEP＝90°，AO＝OP，∴OD＝OA＝OP＝OQ＝OE，∴A，D，P，Q，E五点共圆，∵AB＝AC，AQ⊥BC，∴∠QAB＝∠QAC，∴＝，∴DQ＝QE，∴K Q＝＝1＝定值，∴点Q即为所求，K Q＝1．。