离散数学总复习

总复习题1. 设︱A ︱=5, ︱P(B)︱=512, ︱P(A ∩B)︱=8, 则︱A ⊕B ︱＝ , ︱A ∪B ︱＝ 。

2. 设p :选小王当班长，q ：选小李当班长，则选小王或小李中的一人当班长可符号化为____。

3. 命题公式根据赋值可分为________________、________________和______________三类。

4. 含N 个个命题变项的命题公式有______________组赋值，有_____________个真值。

5. ()A A B ∨∧=______________，()A A B ∧∨=__________________。

6. 设{|3,,14}A x x k k N k ==∈≤≤，则用列举法表示A =________________________。

7. 集合A ={1，2}的幂集P (A )与A 的笛卡尔积()P A A ⨯=________________________________________________________________________________________________________。

8. 某无向图G 中，共有边15条，该图中共有5度顶点2个，4度顶点3个，剩下的均为2度顶点，则该图中共有顶点 个。

9. 一个结点为n 的无向完全图，其边的数目为 。

10．已知<Z 6, ⊕>是一个群，则这个群的幺元是 ，这个群当中，逆元和自身相等的元素有 。

11. 已知关系R 1＝{<a,a>,<a,c>,<b,d>,<c,b>},R 2={<c,a>,<b,c><a,d><d,b>}，写出下列关系 R 2◦R 1= ,R 13= 。

12、设Φ是一个空集，则下列之一哪一个不成立（ ）。

①、Φ∈Φ②、Φ⊆Φ③、Φ∈{Φ}④、Φ⊆{Φ} 13、如果命题公式G=P ∧Q ，则下列之一哪一个成立（ ）。

①、G=⌝(P →Q) ②、G=⌝(P →⌝Q)③、G=⌝(⌝P →Q)④、G=⌝(⌝P →⌝Q)14、设X 、Y 是两个集合，|X|＝n ，|Y|＝m ，则从X 到Y 可产生（ ）个二元关系。

①、mn②、nm③、n m ⨯④、2m n⨯15、若复合映射τσ⋅是满射，则 ( )。

①、τ是满射 ②、σ 是满射③、τ是单射 ④、σ是单射16、若<G,*>是一个群，则运算“*”一定满足（ ）。

①、交换律②、消去律③、幂等律④、分配律17、量词的约束范围称为量词的（ ）。

①、定义域②、个体域③、辖域④、值域18、下列公式中，（ ）是析取范式。

①、⌝(P ∧Q) ②、⌝(P ∨Q)③、(P ∨Q) ④、(P ∧Q)19、设G 是一个12阶循环群，则该群一定有（ ）个不变子群。

①、2②、4③、6④、820、图的构成要素是（ ）。

①、结点②、边③、结点与边④、结点、变和面21、下列图中，（ ）是平面图。

①②③④22、每个非平凡的无向树至少有（ ）片树叶。

①、1②、2③、3④、423、每个无限循环群有（ ）个生成元。

①、1②、2③、3④、424、设R 是集合A ＝{1,2,3,4}上的二元关系，R ＝{<2,1>,<2,3>,<1,3>},则下列（ ）不成立。

①、R 是自反关系 ②、R 是反自反关系 ③、R 是反对称关系 ④、R 是传递关系 25、对一阶逻辑公式((,)(,))(,)x y P x y Q y z xP x y ∀∀∧∧∃的说法正确的是( )。

①、x 是约束的，y 是约束的，z 是自由的；②、x 是约束的，y 既是约束的又是自由的，z 是自由的； ③、x 是约束的，y 既是约束的又是自由的，z 是约束的； ④、x 是约束的，y 是约束的，z 是约束的。

26、下列命题中，（ ）不是真命题。

①、海水是咸的当且仅当蝙蝠是瞎子 ②、如果南京是直辖市，那么北京是中国的首都 ③、若太阳从西边落下，则2是奇数 ④、夏天冷当切仅当冬天热27、解释包括哪些内容。

28、试述函数单射的定义。

29、试述等价关系的定义。

30、试述握手定理的内容。

31、试述欧拉公式 32、试述环的定义。

33、试述零元、逆元`和幺元的定义。

34、P126页代数系统的积。

35、命题符号化⑴ 只有天下大雨，他才坐公共汽车上班 (2) 如果天气凉快，小王就不去游泳。

(3) 2是偶数又是素数。

(4) 除非天下大雨，否则他不坐公共汽车上班） (5)小王在图书馆或者在教学楼 36、用等值演算的方法证明下列等式。

⌝(p ↔q ) ⇔ ((p ∨q ) ∧⌝（p ∧q ）)37．试证明1V =<R ，+，0>和2V =<R +，×，1>两个代数系统中，有映射φ：R →R +，φ(x)=xe 证明该映射是从1V 到2V 的同态映射。

38．已知100个学生中有32人学数学，20人学物理，45人学生物，15 人学数学和生物，7人学 数学和物理，10人学物理和生物，30人这三门课一门也没学。

问三门课全部都学的学生人数有多少？38、设{0,1,2}A =，{,}B a b =，求A B 。

39． 集合A={1，2， 3，4，5}，(),P A <⊕>构成群，其中⊕为集合的对称差。

求解方程{1,3}{3,4,5}X ⊕=。

40. 已知图G 中有10条边，4个3度顶点，其余顶点的度数均小于等于2，求图G 中至少有多少个顶点？为什么？41．写出下图的关联矩阵。

2e 25442．已知有向图D 的顶点集合V(D)={v 1,v 2,v 3,v 4}，如下图所示。

求从v1到v3长度小于等于3的通路个数。

2343．某通信体系统中有八种信源，分别为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，x 8，它们出现的概率为0.3，0.2，0.15，0.1，0.1，0.05，0.05，0.05。

请画出对应的哈夫曼树，写出相应的编码方案，并求出该编码方案的平均码字长度。

44．对下图给出的赋权图G ，求出结点v 1到其余各个结点的最短路径。

45．对下图给出的赋权图G ，求出结点v 0到其余各个结点的最短路径。

v 0v 2v 4v 546． 在如图所示的PERT 图中求关键路径，以及每一点的最早，最晚时间，和缓冲时间。

vv 45847．设{|,}S x x a a b Q ==+∈，+和∙为普通加法和乘法。

证明,,S <+∙>是域。

48. 设,,S <+∙>是环，,a b R ∀∈计算2()a b -和3()a b -。

49．设{,,,}A a b c d =，{,,,,,,,}R a b b a b c c d =<><><><>，求R 、()r R 、()s R 和()t R 的关系图。

50．设{1,2,3}A =，求A 上的所有等价关系。

51． 关系分为__________和___________两类。

52. 求在1和1000之间不能被5或6。

也不能被8整除的数的个数。

53．求(())p q r p ∨→→的主析取范式。

54．判断()p q q ⌝→∧、(())p q p q →∧→、()p q q →∧命题公式的类型。

55. 设{|0,1}A x x R x =∈∧≠。

在A 上定义6个函数如下:1()f x x =,21()f x x =,3()1f x x =-, 41()1f x x =-, 51()x f x x -=，6()1x f x x =-。

,V S =<> ，其中126{,,,}S f f f = ， 为函数的合成。

（1）给出V 的计算表；（2）说明V的幺元和所有可逆元素的逆元。

56. 求在1到1，000，000之间（包括1和1，000，000在内）有多少个整数既不是完全平方数，也不是完全立方数。

57. 以下两个置换是6S 中的置换，其中123456246135σ⎛⎫= ⎪⎝⎭，123456654123τ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1） 试把σ和τ表示成不交的轮换之积；（2）求στ、1στσ-。

58. 设{,,,}S a b c d =，1R 、2R 为S 上的关系，1{,,,,,}S a a a b b d =<><><>，2{,,,,,,,}S a d b c b d c b =<><><><>，计算12R R 、21R 、32R 。

59. 最短路径 60、完备匹配 61、哈密尔顿图 62、基本回路 63、最优2元树 64、有序完全正则树65、下面（ ）不能成为图的度数序列① (3,2,5,8) ②(1,9,7,3) ③(5,5,5,5) ④(3,2,1,5)66、简单连通图G 中，若节点数为5，边数为（ ），则G 不可能是平面图 ①7 ②8 ③9 ④1067、设S={1, 2, 3, 4}，R 为S 上的关系，其关系矩阵如下：1001100000011000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则R 上的关系表达式为( )① {<1,1>, <1,2>, <1,4>, <4,1>, <4,3>} ②{<1,1>, <1,4>, <2,1>, <4,1>, <3,4>} ③ {<1,1>, <1,2>, <1,4>, <1,4>, <4,3>} ④{<1,1>, <4,1>, <2,1>, <1,4>, <4,3>}R R 中有（ ）个有序对。

①1 ② 3 ③ 6 ④768、设,V R +=<∙>，其中∙为普通乘法，对任意x R +∈，令1()||x x φ=，2()2x x φ=，23()x x φ=，41()x xφ=，5()x x φ=-，其中V 的自同态的映射有（ ）个。

①0 ②1 ③ 2 ④3 ⑤4 ⑥5。