方法技巧练——数形结合的解题策略
数形结合思想在小学数学教学中的应用策略
数形结合思想在⼩学数学教学中的应⽤策略引⾔随着我国教育事业的不断发展以及素质教育的改⾰，在对⼩学⽣进⾏数学知识传授的过程中，教师不应仅注重课本及理论知识，还应培养学⽣的逻辑思维能⼒和实践应⽤能⼒。
⼩学⽣的思维模式都较为具象化，很难理解较为抽象的知识内容。
当前我国⼩学阶段的数学教材本⾝就涉及很多理论知识，教学内容也涉及抽象的知识，这便加⼤了学⽣的理解难度，导致很多⼩学⽣畏惧数学课，失去了学习的兴趣和信⼼。
为了能够提升⼩学数学的教学质量，锻炼学⽣的实践能⼒及应⽤能⼒，同时加强学⽣的逻辑思维能⼒，进⽽提⾼学⽣对数学知识的学习兴趣，教师需要改变现有的思维模式，并且通过数形结合的⽅式，使抽象的知识变得更加形象化和具象化。
⼀、在⼩学数学课堂教学中运⽤数形结合思想需要注意的问题为了能够在⼩学数学教学中更好地应⽤数形结合思想，教师需要正确引导学⽣。
所以在采⽤数形结合思想时，教师必须注意到以下⼏点。
（⼀）学⽣的数形结合思维习惯受应试教育的影响，学⽣在学习过程中已经习惯死记硬背，对数学教材上的概念及知识点缺少转化和吸收能⼒。
为了能够帮助学⽣更好地理解抽象的数学知识，培养良好的数形结合思维模式，教师需要潜移默化地引导学⽣，使他们建⽴数形结合的思维模式，对所遇见的问题及新的知识点进⾏思考和转化。
（⼆）数形结合的解题模式采⽤数形结合教学⽅式的根本⽬的是锻炼学⽣的逻辑思维能⼒，通过采⽤图形、表格及相关的条件，将学⽣从已经固化的解题模式中解放出来；最主要的⽬的还是期望学⽣能够将数形结合思想模式应⽤于实践，更好地理解数学知识。
（三）教学⽅式的改变除上述⼏点之外，为了能够更好地培养学⽣创造能⼒、想象能⼒等，教师需要采⽤各种教学⼿段帮助学⽣进⾏数形结合思考，同时在教学过程中还需要对⾃⼰的教学⽅式进⾏改变和完善。
传统的应试教育早已⽆法满⾜当今的教学要求，因此，教师也需要做到与时俱进,不断完善教学措施。
⼆、⼩学数学教学运⽤数形结合思想的策略（⼀）把抽象的数学知识具象化⼩学数学课本上的知识通常都⽐较抽象，同时包含了⼤量的理论及概念，⽽⼩学⽣的认知能⼒及逻辑思维能⼒正处于发展阶段，其对当前数学教材中⼤部分概念化的知识很难深⼊理解。
数形相依 珠联璧合———数形结合思想在初中数学解题中的策略探究
数形相依㊀珠联璧合数形结合思想在初中数学解题中的策略探究林㊀越(江苏省无锡市积余实验学校ꎬ江苏无锡２１４０４３)摘㊀要:数形结合思想在数学学科的学习中一直占据着不可替代的地位.文章将在阐述数形结合思想对学生思维培养和解题方法重要性的基础上ꎬ具体分析数形结合思想在各类数学题目中的解题策略.关键词:数形结合ꎻ初中数学ꎻ解题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１４－００１７－０３收稿日期:２０２３－０２－１５作者简介:林越(１９７８.１２－)ꎬ男ꎬ江苏省无锡人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀数学的抽象性和复杂性让学生心生恐惧ꎬ使他们丧失学习数学的信心和热情.数形结合使数字关系可以和直观图像发生有效转换ꎬ不易理解的数据变得更加形象透明ꎬ学生可以从图像中观察数据ꎬ也可以将数据构建成图像.在解题过程中ꎬ应用数形结合思想能使学生们更加深入地理解题目中的有效信息和关键所在ꎬ提高学生探索问题㊁解决问题的热情和兴趣ꎬ促进学生形成高效的思维方式和解题方法ꎬ提高学生的认知理解水平和逻辑思维能力.１代数问题几何化代数问题是初中数学中最常见㊁最重要的题型之一ꎬ大多数情况下在选择题和填空题部分出现ꎬ也会与其他问题结合以应用题的形式出现.在选择题和填空题部分ꎬ学生不应该耗费太多时间ꎬ因此学生需要掌握答题技巧ꎬ将部分代数问题几何化ꎬ既能够缩短计算过程和解题时间ꎬ也能够提高答案的准确性.教师应传授数形结合技巧ꎬ帮助学生搞清问题的本质ꎬ简化代数问题ꎬ切实提高解题效率和质量.１.１构造点之间的关系例１㊀求代数式ｘ２＋１＋(ｘ－３)２＋４的最小值.图１解㊀如图１ꎬ在平面直角坐标系中取ｘ轴上一点Ｐ(ｘꎬ０)ꎬ则(ｘ－０)２＋１ꎬ(ｘ－３)２＋４可以看成点Ｐ与点Ａ(０ꎬ１)的距离和点Ｐ与点Ｂ(３ꎬ２)的距离ꎬ所以原代数式的值可以看成线段ＰＡ与ＰＢ长度之和ꎬ它的最小值就是ＰＡ＋ＰＢ的最小值.平面直角坐标系是一个将代数和几何衔接的有效工具.本题引入了平面直角坐标系ꎬ将代数式化为点之间的距离ꎬ使本看上去计算难度非常大的式子简单化了.１.２构造图形例２㊀求ｙ＝１ｘ２＋ｘ２＋１－ｘ２＋１ｘ２的最大值.解㊀原式可变形为ｙ＝(ｘ－１ｘ)２＋３－７１(ｘ－１ｘ)２＋２ꎬ其中(ｘ－１ｘ)２＋３可以看成以ｘ－１ｘꎬ３为直角边的直角三角形的斜边长ꎬ(ｘ－１ｘ)２＋２可以看成以ｘ－１ｘꎬ２为直角边的直角三角形中的斜边长.因此可构造图２.当Ｃ点与Ｄ点不重合时ꎬ即ｘ－１ｘʂ０时ꎬ在әＡＢＣ中有ＡＣ图２－ＢＣ<ＡＢꎬ即ｙ<ＡＢ＝３－２ꎬ当Ｃ点与Ｄ点重合时ꎬ即ｘ－１ｘ＝０时ꎬｙ＝ＡＣ－ＢＣ＝ＡＤ－ＢＤ＝３－２ꎬ所以当ｘ－１ｘ＝０时即ｘ＝ʃ１时ｙ取最大值３－２.本题采用了构造法ꎬ将代数式的数式关系转化为三角形边的关系ꎬ再利用三角形内部性质解决问题.数形结合的方法可以为复杂的代数问题另辟蹊径ꎬ帮助学生以更加简洁的方法把握问题的核心ꎬ用数学的方法㊁眼光分析问题ꎬ研究世界ꎬ提高学习和解题的效率.２方程不等式图像化方程和不等式问题是中考数学的必考内容.在解决方程和不等式问题时ꎬ数形结合的方法至关重要ꎬ通常需要结合函数图像使题干的含义更加直观明确.数学习题中ꎬ有很多综合性较强的数学题都涉及到了函数与其他知识点的结合.教师在日常教学中要提高学生绘图的动手实践能力ꎬ教授学生如何快速画出一幅简单明了的函数图像ꎬ引导学生运用函数图像巧妙解决相关数学问题.当遇到与不等式和方程相联系的题目时ꎬ学生可以借助函数图像解决解的取值范围以及方程的根等问题.例３㊀抛物线ｙ＝ａ(ｘ－ｈ)２＋ｋ与直线ｙ＝ｎ相交于(１ꎬｎ)ꎬ(５ꎬｎ)两点ꎬ则关于ｘ的方程ａ(ｘ－ｈ－２)２＋ｋ－ｎ＝０的解是.解㊀抛物线ｙ＝ａ(ｘ－ｈ)２＋ｋ与直线ｙ＝ｎ相交于(１ꎬｎ)ꎬ(５ꎬｎ)两点ꎬ方程ａ(ｘ－ｈ)２＋ｋ＝ｎ的解为ｘ１＝１ꎬｘ２＝５.把方程ａ(ｘ－ｈ－２)２＋ｋ－ｎ＝０看作关于ｘ－２的方程ꎬ即在图３中将函数图像向右平移两个单位ꎬｘ－２＝１或ｘ－２＝５ꎬ关于ｘ的方程ａ(ｘ－ｈ－２)２＋ｋ－ｎ＝０的解是ｘ１＝３ꎬｘ２＝７.本题化抽象的方程为可视化的函数图像ꎬ大大提高了解题效率ꎬ也进一步提高了学生的形象化思维能力和逻辑推理能力.图３３平面几何代数化爱因斯坦曾说: 单凭传统的逻辑思维而想有所发现是困难的甚或是不可能的. 平面几何在初中数学教材中占据了很大篇幅ꎬ旨在培养学生的逻辑思维ꎬ提升他们的推理能力.相比于纯几何解法ꎬ平面几何的代数解法往往更加简洁ꎬ思路更加明确.在解决几何问题的过程中ꎬ初中生能够在逻辑的演绎和一步步地推理中对平面几何知识有综合的应用和把握ꎬ也能够提升自己数形结合解决问题的能力.例４㊀已知әＡＢＣ是边长为３的等边三角形.在边ＡＣ上有一点Ｐꎬ过Ｐ点做ＡＣ的垂线ＰＤꎬ交ＡＢ延长线上于Ｄ点ꎬ使得ＰＣ＝ＢＤ.过点Ｐ做另一边ＢＣ的垂线ＰＦꎬ交ＢＣ于点Ｆ.求线段ＥＦ长度是多少?解㊀如图４ꎬ由әＡＢＣ是正三角形ꎬ得øＰＣＥ＝øＡＢＣ＝６０ʎ.由三角形内角和等于１８０ʎ得到øＣＰＦ＝øＰＥＦ＝３０ʎꎬ由对顶角相等得øＢＥＤ＝３０ʎꎬ又因为øＡＢＣ＝øＢＥＤ＋øＢＤＥ＝６０ʎꎬ所以øＢＤＥ＝３０ʎ.设ＥＦ＝ＸꎬＣＦ＝ＹꎬＢＥ＝Ｚꎬ由边长为３得到方程Ｘ＋Ｙ＋Ｚ＝３(方程１)做辅助线ＢＧʅＡＣ于点Ｇꎬ８１由әＡＢＣ是正三角形ꎬ得ＣＧ＝ＡＣ２＝３２.图４由以上角度关系我们得到әＣＧＢꎬәＣＰＥꎬәＣＦＰ均相似.(１)øＢＥＤ＝øＢＤＥꎬ则ＢＥ＝ＢＤ.因为ＰＣ＝ＢＤꎬ所以ＣＰ＝ＢＥ＝Ｚ.(２)әＣＦＰ㊁әＣＧＢ相似ꎬ则ＣＰＣＦ＝ＣＢＣＧꎬ所以ＺＹ＝２.得到方程２Ｙ－Ｚ＝０(方程２).(３)әＣＰＥ㊁әＣＧＢ相似ꎬ则ＣＥＣＰ＝ＣＢＣＧꎬ所以Ｘ＋ＹＺ＝２ꎬ得到方程Ｘ＋Ｙ－２Ｚ＝０(方程３).由方程１ꎬ２ꎬ３联立ꎬ解得Ｘ＝３２.一些几何问题具有条件隐晦㊁技巧性强的特点ꎬ很多学生遇到这种问题往往像无头苍蝇ꎬ无从下手.与其作很多的辅助线ꎬ还不如将平面几何问题代数化ꎬ这个方法有助于形象思维和想象能力较弱的学生解决平面几何问题ꎬ使解题思路更加明晰.４应用题用数形结合求解将数学知识应用到具体问题中一直是学习数学的最终目的之一.然而ꎬ应用题相比于填空题与选择题ꎬ难度更高ꎬ计算更复杂ꎬ因此具体的应用题一直是教师感到头疼ꎬ学生害怕遇上的题目.如果学生不能在计算的过程中融入自身的理解ꎬ则解应用题就可能变得非常难懂和困难.对于初中学生ꎬ运用数形结合的方法解决应用题ꎬ既有利于学生对题意的理解使解题过程直观化ꎬ提高解决数学问题的能力ꎬ还有利于减轻学生对应用题的抗拒㊁抵触等消极情绪ꎬ从本质上激发学生学习数学的好奇心和探索欲ꎬ使枯燥的解题过程具有吸引力.４.１引入数轴㊁平面直角坐标系解决应用题数轴是数形结合的基础和平面直角坐标系的初始形态ꎬ数轴部分也是初中数学教学中的基础知识点ꎬ可以把点和线更加直观地反映在数轴上ꎬ使学生们对负数㊁零㊁正数㊁相反数㊁绝对值等概念获得更加清晰的把握ꎬ在解决题目中引入数轴也能使题目化繁为简.教师需要引导学生熟悉将数轴引入题目的技巧ꎬ利用数轴比较数的大小ꎬ划分数集范围ꎬ培养数形结合的思维习惯.例５㊀一条笔直的公路连接着城市Ｎ和５个村庄ＡꎬＢꎬＣꎬＤꎬＥ(距离Ｎ的距离分别是２０千米ꎬ３０千米ꎬ４０千米ꎬ５０千米ꎬ９０千米).汽车以２０千米/小时的速度从Ｎ出发沿射线ＮＥ行驶ꎬ那么多少小时后汽车到５个村庄的距离和最短.图５解㊀在射线上找一点Ｐꎬ使ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣ＋ＰＤ＋ＰＥ值最小ꎬ由于５是奇数ꎬ所以当Ｐ在正中间的Ｃ点时ꎬ上面的距离和最小.答案是４０ː２０＝２(小时)如果把Ｎ看作数轴的原点ꎬＡꎬＢꎬＣꎬＤꎬＥ代表的数分别是２０ꎬ３０ꎬ４０ꎬ５０ꎬ９０.那么相当于求下面式子的最小值ｘ－２０＋ｘ－３０＋ｘ－４０＋ｘ－５０＋ｘ－９０.４.２概率统计应用题虽然初中数学课程仅包含基础的概率学和统计学知识ꎬ但是这对于刚刚接触概率统计相关知识的初中学生来说依旧很难上手ꎬ难度较高ꎬ这使得很多学生在学习以及做题时都困难重重ꎬ有很重的思想包袱.在教学中ꎬ教师要关注学生吸收和理解知识的状况ꎬ将数形结合思想逐渐渗透进概率和统计的学习之中ꎬ注重培养学生的数学逻辑和思维ꎬ帮助学生在解题中将知识和方法融会贯通ꎬ这对学生后续学习统计知识意义重大[１].参考文献:[１]韦秀美ꎬ冯吉伟. 数形结合 思想在初中数学解题中的运用技巧[Ｊ].中学数学ꎬ２０２２(０８):７５－７７.[责任编辑:李㊀璟]９１。
高中数学几何解题技巧之数形结合策略
高中数学几何解题技巧之"数""形"结合策略摘要："数""形"结合策略是高中数学几何解题的重要技巧，通过将几何形状与数学关系相结合，利用数学方法解决几何问题。
关键词：高中数学；几何解题技巧；数""形"结合策略前言在高中数学几何解题中，"数""形"结合策略是一种重要的技巧。
通过将几何形状与数学关系相结合，可以更好地理解和解决几何问题。
一、介绍"数""形"结合策略的概念和重要性"数""形"结合策略是在解决高中数学几何问题时常用的一种方法。
它结合了数学的抽象思维和几何的形象思维，通过数学的计算和几何的图形分析相互支持，从而更全面地理解和解决问题。
这种策略的重要性在于它能够帮助我们从不同的角度来理解几何问题。
几何问题通常涉及到图形的形状、大小、位置等方面的特征，而数学则提供了精确的计算和推理工具。
通过将数学和几何结合起来，我们可以更好地理解几何问题的本质，并找到解决问题的有效方法。
"数""形"结合策略的基本思路是将几何问题转化为数学问题，然后利用数学的方法进行计算和推理，最后再将结果转化回几何语言。
这种策略使我们能够通过数学的计算和推理来揭示几何问题的隐藏规律和性质，从而更深入地理解几何概念。
例如，在解决三角形的问题时，我们可以利用角度和边长的关系，通过数学计算来推导出三角形的性质和关系。
同时，我们也可以通过几何图形的分解和组合，利用图形的对称性和变换来简化问题的解决过程。
这种数形结合的策略使我们能够更全面地理解和解决几何问题[1]。
二、解释为什么这种策略在解决几何问题时很有用"数""形"结合策略在解决几何问题时非常有用，原因如下：首先，几何问题通常涉及到图形的形状、大小、位置等方面的特征。
利用数形结合 提高解题能力——以分数问题的教学为例
究 探 讨 、验 证 :
上图中,清楚的看到,求 １ 公顷的 １ 就 是 把 １ 公 顷 平 均
２
５
２
分成５份,取其中的 一 份,也 就 是 相 当 于 把 １ 公 顷 平 均 分 成
了(２×５)份,取了其中 的 一 份,即２１×５×１＝１２××１５＝１１０,所 以
பைடு நூலகம்
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周刊
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合具体的情境:求 １ 公 顷 的 １ 是 多 少、１ 公 顷 的 ３ 是 多 少?
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据
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法
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义
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１ ５
、１ ２
×
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果
是多少,怎样计算 呢? 此 时 先 让 学 生 大 胆 猜 测,然 后 根 据 对
分数的意义的理解,用 折 一 折、画 一 画 等 直 观 的 方 式 进 行 研
例谈小学数学数形结合解题思路
例谈小学数学数形结合解题思路我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休。
”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。
我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。
数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。
数形结合的思想常常贯穿在数学教材之中，教师教学时引导学生采用数形结合的分析方法是获取数学知识简单易行的好方法。
作为教师要时时以数形结合的思想影响熏陶学生。
让学生深入体会数形结合百般好的解题策略。
下面是小学数学十一册“分数除法”单元的一个例题：小明的体重是35KG，他的体重比爸爸的体重轻，小明爸爸的体重是多少千克？问题：1从题目中你知道了什么？2怎样理解“小明的体重比爸爸的体重轻？3这道题怎样解答，请你根据题意先画出线段图，再找出爸爸体重和小明体重之间的等量关系，最后列方程解答。
此题是“已知比一个数多（少）几分之几是多少求这个数”类型的分数除法应用题，分析数量关系并利用等量关系式解题是本课的重难点。
学生往往将数量关系理解为“爸爸体重小明的体重”。
而这个例题的这种对等量关系式的理解也是分数乘法单元学习中的重点与难点。
在听课中我发现许多老师侧重从“已知量已知量的对应分率=单位“1”来引导学生得出数量关系，但经过反复讲解，学生解题中的错误率仍然高达30%。
这种逻辑思维的训练使学生不能很好地理解与小明的体重比爸爸的体重轻的体重之间的对应关系，从而导致错误。
拿出教材，我们会发现教材利用长条分别表示爸爸的体重与小明的体重。
为什么呢？编者的意图很明显——希望教师利用“数形结合”，借助形象思维，帮助理解，突破难点，强化学生记忆，从而举一反三，较好地完成教学任务。
教师可以利用下面的程序进行教学：（1）师生共同探究用线段图表示爸爸的体重和小明的体重和小明比爸爸轻的体重。
小学数学论文：巧用“数形结合”解决问题
“学”海无涯“画”作舟——巧用“数形结合”解决问题【内容摘要】 “数形结合”是一种重要的数学思想，在高年级数学教学中更是一种重要的解题策略。
运用“数形结合”有助于把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，几何问题明显化，从而起到优化解题途径的目的。
“数形结合”不但能提高学生的数学兴趣，又能有效地利用形象化的思维延深学生抽象化的数学思维。
【关键词】 数形结合 小学数学 形象思维 抽象思维 【正文】曾在网上看到老师们在讨论：运用下图来说明“方程和等式”的关系，是不是渗透“数形结合”的思想。
因为我同存疑惑，于是就想对这早已流行的词汇进行进一步的了解。
1、利用“集合图”理解概念之间的关系不是渗透“数形结合”的思想方法。
如上例等式与方程的关系。
数学概念是数学大厦的基石，数学概念之间有着千丝万缕的联系，“画图”是学习数学概念的一种重要方法，这里老师运用“集合图”来帮助学生区分、理解概念之间的关系，类似案例还有“长方形和正方形的关系”、“质数合数及1的集合图”等等。
2、“有余数除法”教学时也不是渗透“数形结合的思想。
例如教学17÷4＝4……1， 老师经常让学生用学具先动手操作分一分理解算理，再出示左下图借助“形”来理解算式中每个数字及运算符号的意义，建立“形”与“有余数除法”算式之间的联系，但这也不是真正意义上的“数形结合”。
3、（如右图）这一教学目的渗透的是“符号思想”，也不是“数形结合”的思想。
因为这里并不关注“图形”的几何特征，这里的“小正方形、小三角形、圆形”都只是表示未知量，渗透的是“符号思想”，可以理解为是X 的前身。
以上都不是数学意义上的“数形结合”。
“数的概念”缘于“数”，“数”源于“计数”。
在古代的各种各样的计数法中，都是以具体的“图形”来表示抽象的“数”，直到出现表示“数”的各种抽象符号，“数”才真正脱去了“形”的束缚，从而极大地拓展了人们对“数”的认识和应用。
浅谈初中数学数形结合题型的解题策略
浅谈初中数学数形结合题型的解题策略作者：罗朝进来源：《中学课程辅导·教师通讯》2018年第13期【内容摘要】在初中数学教学中，数形结合的题型是一类非常普遍的题型。
它主要考查学生是否全面掌握了数学知识之间的内在联系。
培养学生的数形结合的思想以及数形转换的思想，通过将复杂的问题简单化，有效提高学生数学解题的能力水平，从而促进初中数学教学质量的提高。
基于此，本文对代数问题几何化、几何问题代数化以及图形分析应用题这三大类典型数学问题的解题策略进行了详细的探索和分析。
【关键词】初中数学数形结合解题策略“数”与“形”是初中数学的两大主要内容，两者之间有着密不可分的联系，并且在一定条件下，“数”与“形”之间可以相互转化，两者之间相辅相成。
数形结合也是初中数学解题过程中一种无法替代的数学思想。
数学中的数与公式是对实践生活的抽象，但是在数量式的背后又隐藏着相应的图形，通过充分挖掘出数量关系式与图形之间的联系，可以发挥图形具象、直观的特点，去解决数学中繁琐的问题。
因此，本文将对初中数学数形结合题型的解题策略进行详细的探究。
一、代数问题中的几何化解题技巧分析代数知识是初中数学中重要的组成内容。
将代数问题转化为几何方法进行解决，可以明显提高解题的效率。
将代数通过几何化的方式进行解题，可以借助于函数图像、数轴以及几何模型等辅助工具，大大提高代数类数学题目的解题效率。
在对这类问题进行研究的时候，要按照科学合理的分析方法，将代数类问题转化为图形类问题，将数形结合以及数形转化的思想有机统一起来，从而将想象能力以及数学能力充分的发挥出来，从而有利于学生能够深刻理解和掌握数学方法以及其中所蕴含的所学知识，从而促进学生数学综合能力的提升以及思维能力的拓展。
例如，不等式型的代数类题目，大多数都是在数形结合的范围内。
通过利用函数图像以及数轴等辅助话图形，可以更快更高效的解决问题。
如，不等式组合2x-1>0，4-2x1，由第二个不等式得到的解为x>2，因此，通过将其具体在数轴上进行表示，就可以很直观的得到在数轴上的解为x>2的区域。
数形结合思想方法在小学数学教学中的应用策略分析
数形结合思想方法在小学数学教学中的应用策略分析数形结合思想方法是指将数学概念与几何形状相结合，通过观察、比较、归纳等思维活动，加深学生对数学概念的理解与应用。
在小学数学教学中，采用数形结合思想方法可以培养学生的观察力、空间想象力和逻辑思维能力，提高他们的数学素养和解决问题的能力。
本文将从概念培养、问题解决和教学手段三个方面对数形结合思想方法在小学数学教学中的应用策略进行分析。
一、概念培养1.概念的引入在引入新的数学概念时，可以通过观察图形的特征来引发学生的兴趣，增强他们的主动探索欲望。
在引入平行线的概念时，可以放置两根相距较远的直线，让学生观察并比较其特点，引导学生发现平行线的性质。
2.概念的巩固在巩固已学概念时，可以通过观察、比较和归纳等方式加深学生对数学概念的理解。
在巩固三角形的认识时，可以通过比较不同形状的三角形，让学生找出它们的共同点，进而归纳出三角形的定义。
3.概念的拓展在拓展已学概念时，可以通过观察和归纳等方式将已学概念与新的概念联系起来。
在拓展矩形的认识时，可以通过观察正方形、长方形等特殊的矩形，引导学生理解矩形的定义，并进一步认识与矩形相关的概念如正方形、长方形等。
二、问题解决1.问题的提出在提出问题时，可以通过构造有趣的图形或模型，使问题的描述更加生动形象，激发学生的思维。
在解决计数问题时，可以使用格子纸或数棋子等方法，引导学生通过观察和比较来解决问题。
2.问题的解决在教学中，可以引导学生通过观察图形和归纳规律的方法找出解题的思路，并通过数学计算的方式求解。
在解决面积问题时，可以通过观察图形的形状和属性，推导出计算公式，并运用公式进行计算。
三、教学手段1.图形展示在教学中，可以通过使用多媒体或实物模型等手段展示图形，使学生更加直观地理解数学概念。
通过投影仪将图形投影到黑板上，让学生观察和比较图形的特点。
2.教学辅助工具在教学中，可以使用教学辅助工具来帮助学生进行数形结合思考。
使用几何模型、拼图、形状卡片等教具，让学生通过拼装、比较等操作，巩固和拓展数学概念的理解。
解析几何解题技巧之“数”“形”结合策略份
解析几何解题技巧之“数”“形”结合策略(一)份解析几何解题技巧之“数”“形”结合策略 1解析几何解题技巧之“数”“形”结合策略一、“数”“形”结合解题法的理论概述（一）方法释义首先，关于解析几何的释义，其泛指几何学上一个小分支，主要用代数方法研究集合对象之间的关系和性质，因此也称作“坐标几何”。
其包括平面解析几何和立体解析几何两部分，其中，平面解析几何是二维空间上的解析几何；立体解析几何是三维空间上的解析几何，而立体解析几何则比平面解析几何更加复杂、抽象。
其次，关于数形结合的.释义，即是把题目所给条件中的“数”与“形”一一对应，用简单的、直观的几何图形以及条件之间的位置关系把复杂的、抽象的数学语言以及条件之间的数量关系结合起来，通过形象思维与抽象思维之间的结合，以形助数，或以数解形，从而使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，以起到优化解题途径的目的。
（二）解题思路在遇到解析几何时，能清楚条件与问题之间的数量关系与位置关系，将“数”与“形”一一对应，便能够快速找到解题突破点。
事实上，当熟练掌握到数形结合方法，能够举一反三时，遇到的所有题目都将是同一题目了。
因此，掌握数形结合思，就必须厘清下列关系：第一点，复数、三角函数等以几何条件和几何元素为背景建立的概念；第二点，题目所给的等式或代数方程式的结构中所含明显的几何意义；第三点，函数与图象的对应关系；第四点曲线与方程的对应关系；第五点，实数与数轴上的点的对应关系。
二、“数”“形”结合法在几何解题中的实例解析（一）解析几何中圆类问题实践证明，数形结合对速解圆类问题的帮助很大，因为在一般解题过程中，解析几何圆类问题主要围绕求圆与圆之间的位置关系、圆与直线的位置关系、圆的标准方程等几方面展开。
比如在判断圆与直线的位置关系时，通过建立直角坐标系，便可以直观地观察到直线在圆外，但是答题需要写出确切的答题步骤才能得分。
这时就需要有“数”“形”结合解题思想的辅导——以数解形：通过计算圆心到直线的距离，距离比圆的半径大即表明直线在圆外。
中职数学解题技巧之“数”“形”结合———以高教版教材为例
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１２２数学学习与研究㊀２０２３ １６中职数学解题技巧之 结合中职数学解题技巧之 数 形 结合㊀㊀㊀ 以高教版教材为例Һ张泽润㊀（安徽亳州新能源学校，安徽㊀亳州㊀２３６７００）㊀㊀ʌ摘要ɔ解题教学一直都是中职数学教学的重中之重．在解题教学中渗透数学思想有利于增进学生对数学解题技巧的感悟，进一步提高学生审题㊁解题的效率．文章基于中职数学解题教学实际教情对应用数形结合思想传授学生解题技巧展开研究，在指出 数 形 定义㊁介绍数形结合思想的同时，结合高教版课程教学案例指出教师可以从以形助数㊁以数解形㊁数形结合三个层面出发落实解题教学工作，希望为提升中职数学解题教学质量提供参考．ʌ关键词ɔ中职数学；解题；数形结合；技巧中职数学解题教学中，教师应认识到 数 与 形 的教育价值，同时结合中职数学解题教学的根本需求合理设计解题教学方案，引导学生在以形助数㊁以数解形㊁数形结合的过程中体会化简问题㊁转换问题的方法，进一步丰富学生的解题技巧．一㊁ 数 与 形 的定义及数形结合思想的应用价值（一） 数 与 形 的定义数 是一种抽象的概念，用于表示长短㊁多少㊁高低等，本质上是一种度量符号．在数学研究中， 数 的定义十分广泛，包括整数㊁分数㊁小数㊁无理数㊁负数㊁用字母表示的数㊁方程㊁函数㊁代数等． 形 是一种直观概念，指的是可以看得见的图形．在数学研究中， 形 可以指代直线㊁圆㊁三角形㊁球㊁正方体㊁双曲线㊁正方形等多种可以用肉眼直接观察的图形．（二）数形结合思想的应用价值数 与 形 相互依存，也可以相互转化．数形结合思想的应用价值主要体现在以下两方面：一方面，有助于加深学生对数学解题理论的理解．数学解题理论包括数学概念㊁数学性质㊁数学方法等多项内容．中职数学教学内容具有一定的抽象性，直接为学生讲解的话，无法使其在第一时间领会解题理论，会限制其解题能力的形成与发展．借助数形结合思想，教师可以用直观的图示将复杂㊁抽象的数学理论展示出来，增进学生对数学理论的理解，进一步提升学生的解题能力．另一方面，有利于提升学生数学解题思维的灵活性．中职数学解题教学涉及一些形式新颖㊁内容复杂的数学习题．常规思路无法快速㊁高效地解决此类问题，容易使学生产生负面的解题情绪．将数形结合思想用于中职数学解题教学中，有利于引导学生从 数 形 两个角度分析数学问题，让其在形转数㊁数转形的过程中开展一系列的思维活动，增强学生的思维灵活性，使学生总结出更多的解题技巧．二㊁ 数 形 结合解决中职数学问题的基本技巧（一）以形助数，加强直观，快速解决问题中职数学解题教学中的代数问题具有抽象性强㊁复杂程度高的特征．应用以数解数的方法可以解决大部分代数问题，但其解题过程复杂，错误率高．在解决代数问题时，教师可以指导学生应用以形助数的方法解决代数问题，将代数问题转化为直观㊁具体的图形简化问题，帮助学生快速确定解题思路，快速解决代数问题．１．用 形 助力集合问题求解，提高学生审题能力审题是解决数学问题的第一项程序，也是正确解题的关键．让学生掌握审题技巧可以极大程度地缩短学生的审题时间，从而提高学生的解题效率．集合问题看似抽象，但应用数形结合思想却可以快速提炼题目的主干信息，从而确定解题思路，加快解题步伐．解决集合问题时，教师可以指导学生根据题意绘制数轴图㊁文氏图等多种图形，让学生在绘图㊁看图的过程中明确题目关键信息，确定问题求解思路，为高效解题奠定基础．以高教版 集合的运算 一课的解题教学为例，教师可以先应用多媒体课件呈现典型例题，再指导学生用以形助数的方式解决问题．㊀㊀㊀解题技巧与方法１２３㊀数学学习与研究㊀２０２３ １６例１㊀设集合Ａ＝｛ｘ｜１＜ｘ＜４｝，集合Ｂ＝｛ｘ｜ｘ２－２ｘ－３ɤ０｝，则Ａɘ（∁ＲＢ）＝（㊀㊀）．Ａ．（１，４）㊀Ｂ．（３，４）㊀Ｃ．（１，３）㊀Ｄ．（１，２）ɣ（３，４）这一问题的正确答案为Ｂ，主要考查学生对求不等式型集合的交㊁并集方法的掌握情况．在解决这一问题时，教师可以指导学生通过绘制数轴图的方式将复杂问题直观呈现出来，让学生在观察图形㊁分析图形的过程中确定正确答案．求解这一例题的思路如下：求出集合Ｂ中ｘ的取值范围，即Ｂ＝｛ｘ｜ｘ２－２ｘ－３ɤ０｝＝｛ｘ｜－１ɤｘɤ３｝；绘制数轴图，并根据计算求值结果在数轴图上画出ｘ的范围；接着，将求值结果代入原问题中，根据所求内容，推理出Ａɘ（∁ＲＢ）＝｛ｘ｜１＜ｘ＜４｝ɘ｛ｘ｜ｘ＜－１或ｘ＞３｝．这时，学生将这一步骤的计算结果同样表现在数轴图上，即可直观观察出问题答案为｛ｘ｜３＜ｘ＜４｝，最终得到正确答案．２．用 形 助力不等式问题求解，提高学生解题效率不等式问题是中职数学解题教学中的常见问题．很多学生在解不等式问题时习惯性地使用作差法㊁作比法等代数方法．然而，此类方法的计算量较大，对学生的运算能力要求较高．部分学生存在运算能力差㊁马虎的问题，得出的运算结果准确率不高，继而影响不等式问题的求解质量．为此，教师可以指导学生应用 形 解决不等式问题，让学生在直观看图的过程中比较大小，从而提高学生的解题效率．以高教版 一元二次不等式 一课的解题教学为例，有问题如下：例２㊀设函数ｆ（ｘ）＝１２æèçöø÷１＋ｘ，ｘɤ０，ｘ，ｘ＞０，ìîíïïïï若ｆ（ｘ０）＞１，则ｘ０的取值范围是（㊀㊀）．Ａ．（－１，１）㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ｂ．（－１，＋ɕ）Ｃ．（－ɕ，－２）ɣ（０，＋ɕ）Ｄ．（－ɕ，－１）ɣ（１，＋ɕ）这一问题是典型的求不等式解集的问题，不仅考查了不等式的基本知识，还考查了函数㊁利用函数的单调性解不等式等知识．解这一题时，教师可以指导学生借助数形结合思想解决问题，用以形助数的方式简化问题．比如，教师可以根据原题信息，在平面直角坐标系中绘制出函数图像，并在图像中绘制直线ｙ＝１，直线ｙ＝１与函数图像分别交于点（－１，１）与（１，１）．这时，教师再指导学生观察图像，就可以由ｆ（ｘ）＞１推理出ｘ＜－１或ｘ＞１，从而确定问题的正确选项为Ｄ选项．这样，学生就能在解题学习中体会到以形助数方法的优越性，不仅丰富了解题方法，还锻炼了数学联想㊁几何直观㊁逻辑推理等综合能力．（二）以数解形，细致入微，巧妙解决问题中职数学解题教学中的几何问题具有直观性强的特征．但是，直观性强并不意味着题目简单．很多学生在解决几何问题时缺乏解题思路，最终解题失败．对此，教师可以指导学生应用以数解形的方法解决此类问题，通过为图形赋值等方式帮助学生理解图形的真正含义，从而帮助学生确定解题方向，巧妙解决几何问题．１．用 数 助力立体几何问题求解，培养学生直观想象素养立体几何问题看似简单，实则不易解决．由于部分学生缺乏良好的几何直观㊁数学联想㊁数学抽象等能力，不能在解题时快速找到 题眼 ，导致几何问题解决效率低下．为此，教师可以将数形结合思想用于立体几何解题教学中，通过指导学生应用代数的方法解决立体几何问题，为学生指明解决立体几何问题的方向，从而提升其数学直观水平，使学生能够巧妙地解决立体几何难题．以高教版 柱㊁锥㊁球及其简单组合体 一课的解题教学为例，有问题如下：例３㊀әＡＢＣ的平面直观图әＡᶄＢᶄＣᶄ是边长为ａ的正三角形，那么әＡＢＣ的面积是（㊀㊀）．Ａ．３２ａ２㊀㊀Ｂ．３４ａ２㊀㊀Ｃ．６２ａ２㊀㊀Ｄ．６ａ２这一问题是典型的立体几何直观图问题．在这一问题中，已知信息只有 әＡＢＣ的平面直观图әＡᶄＢᶄＣᶄ是边长为ａ的正三角形 这一句话，部分学生很容易陷入解题的迷雾中．这时，教师可以应用以数解形的思想方法，指导学生解题．比如，先绘制әＡＢＣ的直观图әＡᶄＢᶄＣᶄ，取ＢᶄＣᶄ所在的直线为ｘᶄ轴，ＢᶄＣᶄ的中点为Ｏᶄ，以过Ｏᶄ与Ｏᶄｘᶄ成４５ʎ角的直线为ｙᶄ轴，过Ａᶄ作ＭᶄＡᶄʊＯᶄｙᶄ，交ｘᶄ轴于点Ｍᶄ，则在ＲｔәＡᶄＯᶄＭᶄ中，ＯᶄＡᶄ＝３２ａ，øＡᶄＭᶄＯᶄ＝４５ʎ，接着展开相应的推理与运算，即可得到正确答案为Ｃ选项．２．用 数 助力解析几何问题求解，培养学生逻辑推理素养解析几何具有点与实数对一一对应㊁曲线与方程㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１２４数学学习与研究㊀２０２３ １６一一对应的特征，是中职数学几何教学的重点内容．在中职数学解题教学中，解析几何问题多体现为求直线与圆的位置关系㊁圆与圆的位置关系，等等．同时，受题目信息限制，很多时候学生无法应用几何方法求证直线与圆㊁圆与圆的位置关系，不能正确解答数学题目．为此，教师可以在教学中渗透数形结合思想，指导学生应用代数的方式进行逻辑推理，构建数学模型，以此求解出问题答案．以高教版 两点间的距离与线段中点的坐标 一课的解题教学为例，例４㊀已知әＡＢＣ的三个顶点分别为Ａ（１，０），Ｂ（－２，１），Ｃ（０，３），试求ＢＣ边上的中线ＡＤ的长度．针对这一问题进行解题教学时，教师可以适时渗透以数解形的数学思想方法，先根据原题绘制出解题示意图，再指导学生假设ＢＣ的中点Ｄ的坐标为（ｘＤ，ｙＤ），进行推理：解㊀由Ｂ（－２，１），Ｃ（０，３）得到ｘＤ＝（－２）＋０２＝－１，ｙＤ＝１＋３２＝２，故：｜ＡＤ｜＝（－１－１）２＋（２－０）２＝２２，则ＢＣ边上的中线ＡＤ的长度为２２．（三）数形结合，综合应用，高效解决问题数形结合百般好，隔离分家万事休．我国数学家华罗庚的这句名言说明了 数 形 结合的重要性．在中职数学解题教学中，很多学生在解题时存在解题视野局限㊁解题思路单一的问题，不能高效解决数学问题．为此，教师可以在解题教学中渗透数形结合思想，指导学生综合代数㊁几何的相关知识解决问题，从而提高学生灵活解决数学应用问题的能力．以高教版 函数的应用 一课的解题教学为例，教师可以为学生呈现典型例题：例５㊀已知ｆ（ｘ）＝ｘ２＋３ｘ－５，ｘɪ［ｔ，ｔ＋１］，若ｆ（ｘ）的最小值记为ｈ（ｔ），请写出ｈ（ｔ）的表达式．针对这一例题进行解题教学时，教师可以先给学生３ ５分钟的时间自主思考，之后应用数形结合思想进行思路点拨：依据函数ｆ（ｘ）＝ｘ２＋３ｘ－５的对称轴与区间的位置关系，结合函数图像确定ｆ（ｘ）在ｘɪ［ｔ，ｔ＋１］上的增减情况，进而可以明确在何处取最小值．之后，教师可以在黑板上演绎解题过程，让学生学习更加新颖的解题方法：解㊀由于ｆ（ｘ）＝ｘ２＋３ｘ－５＝ｘ＋３２æèçöø÷２－２９４，所以抛物线ｆ（ｘ）的对称轴为直线ｘ＝－３２，开口向上（如图１）．图１根据图像推导可得：ｈ（ｔ）＝ｔ２＋５ｔ－１，ｔɤ－５２，－２９４，－５２＜ｔɤ－３２，ｔ２＋３ｔ－５，ｔ＞－３２．ìîíïïïïïïï通过解题可以发现，将数形结合思想用于函数问题的求解，可以使函数问题变得清晰㊁直观，有利于学生明确自身解题思路，从而快速求解函数问题．解题教学中，教师应抓住数形结合思想的渗透时机，同时不断组织类似的演绎教学活动，以此加深学生对数形结合思想的认识，提升学生的数学解题思维水平．结束语中职数学教学以培养学生的数学抽象㊁建模应用㊁几何直观等核心素养为主要教学追求，将更多教学资源融入数学解题教学是非常有必要的．在具体的解题教学过程中，教师应把握 数 形 的本质，根据 数 形 之间的具体关联合理开展解题教学工作，以此锻炼学生的审题㊁析题㊁解题能力，有效培养中职学生的数学学科综合素养．ʌ参考文献ɔ［１］袁亮驹．关于中职数学解题教学的思考［Ｊ］．数理化解题研究，２０２２（２７）：６５－６７．［２］星蓉生．浅谈核心素养视角下的中职数学解题策略 直线与圆的方程 示例［Ｊ］．数学大世界（上旬），２０２２（０７）：６８－７０．［３］成江涛．中职数学应用题解题策略［Ｊ］．数学大世界（中旬），２０２０（０９）：７７．［４］洪巧云．中职数学学生常用解题方法［Ｊ］．试题与研究，２０１８（３２）：６２－６３．。
例谈初中数学的数形结合解题策略
例谈初中数学的数形结合解题策略发表时间：2018-01-30T15:11:47.203Z 来源：《中学课程辅导●教学研究》2017年9月下作者：张怡红[导读] 数与形是数学中两个最基本的研究对象，数形结合就是把抽象的数量关系和直观的几何图形有机地结合起来。
摘要：数与形是数学中两个最基本的研究对象，数形结合就是把抽象的数量关系和直观的几何图形有机地结合起来。
这主要包括两方面的内容：一是“以形助数”，即数量关系借助于图形及其性质使之直观化、形象化，从而获得解题方法；二是“用数解形”，即将几何图形的问题经过数量化描述，借助代数计算获得解题方法。
关键词：数形结合；以形助数；用数解形数形结合思想在新课程背景下，有其广阔的应用空间。
“数”与“形”是数学中两个最基本的研究对象，每一个“形”中，即每一个几何图形中都蕴含着一定的数量关系，而“数”中又常常可以通过几何图形做出直观的描述和反映。
“数无形少直观，形无数难入微”，数形结合就是把抽象的数量关系和直观的几何图形有机地结合起来。
就初中数学而言，数轴建立起实数与数轴上点之间的一一对应关系，使得一元代数式与一元方程、不等式有了直观的几何意义；平面直角坐标系建立起有序实数对与平面上的点之间的一一对应的关系，使任何一个二元方程或不等式都与平面曲线或平面区域相对应，函数及其图像诠释了这种对应关系；另外线段的长度、平面图形的面积、角的大小以三角函数度量等又从另一角度勾勒了数与形有机结合。
在数与形转换的理论基础上自然地产生了数形结合的解题策略：一是“以形助数”，即数量关系借助于图形及其性质使之直观化、形象化，从而获得解题方法；二是“用数解形”，即将几何图形的问题经过数量化描述，借助代数计算获得解题方法。
一、以形助数“以形助数”，即将代数问题转化成几何图形问题，由图形性质的启示抓住问题的本质，以达到解决问题的目的，从而提高分析问题、解决问题的能力。
1.利用数轴将代数问题转化成几何图形问题在初中阶段所学过的数的最大范围是实数，而点是最简单的几何图形，数轴恰好把这两个不同的事物有机地结合起来，使它们建立一一对应关系，数轴是解数形结合问题的强有力工具之一。
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数形结合思想在解题中的应用（包含30例子）一、知识整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。
所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
如等式()()x y -+-=214223．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。
这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。
二、例题分析例1.的取值范围。
之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++ 分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，()()02bf f k a-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法：“数形结合”在解题中的应用原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪⎩⎪<+≥⎧⎨⎩02020202 解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222 法二、数形结合解法： 令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x y x 121222=+=+>=+在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。
人教版数学五年级下册第六单元第8课时喝牛奶问题——数形结合的解题策略.doc
第8课时 喝牛奶问题——数形结合的解题策略 学习内容 书第99页例3内容及101页练习二十五的第8-10题编写人 学习目标 1、培养数形结合的数学思想能力。
2、体会转化思想，提高解决实际问题的技能。
重 难 点 重点：借助形感受与数之间的关系。
难点：理解12 杯的12是多少杯？会用数形结合的思想解决问题。
导学流程 自主空间【独立自主学习】1、口算34 +14 79 －49 37 +57 715 －4151112 －512 617 +817 1721 －1321 914 +51421+31 91+101 41+71 51+81 21-31 91-101 41-71 51-81 2、折一折：取出一张长方形纸，涂色表示出12 和41 12 +41＝42+41＝ 3、说一说：“喝了一杯奶的34 ”表示（ ）【合作互助学习】1、自学课本第99页例3：一杯纯牛奶，乐乐喝了半杯后，觉得有些凉，就兑满了热水。
又喝了半杯，就出去玩了。
他一共喝了多少杯纯牛奶？多少杯水？2、阅读与理解 ： 你知道了哪些信息？写在下面。
喝了 _____ 次纯牛奶。
思考：第二次喝的有牛奶也有水，第二次喝了多少牛奶呢？ 12 杯的12是多少杯？ 第一次：______________________________。
第二次：______________________________。
3、分析与解答因为：第一次喝完后剩（ ）杯纯牛奶，喝了（ ） 杯；加满水，纯牛奶还是只有原来的（ ）杯。
又喝了加满水后的（ ） ，也就是把（ ）杯的纯牛奶再平均分成2份，喝的纯牛奶就是其中的 1 份了。
把 （ ）平均分成 2 份，可以把（ ） 化成（ ），其中 1 份就是 _____ 。
第二次喝的纯牛奶是 _____ 杯，水是_____ 杯。
所以列式计算一共喝的纯牛奶是：__________ 杯 ， 水是：__________杯。
回顾与反思可以怎样检验？解决这道题的关键是什么？关键步骤利用了什么知识？答：______________________________【展示引导学习】1、完成教材第101页第8 题。
浅析“数形结合”教学实践困难与解决策略
浅析“数形结合”教学实践困难与解决策略作者：金明来源：《阅读（教学研究）》2023年第11期数形结合是数学学习的基本方法。
它涉及将数学概念与几何图形、图像、模型等相结合，以帮助学生理解数学概念。
数形结合的思想对小学数学的学习非常重要，因为它为学生提供了一种直观、形象、有趣的学习方式，从而帮助学生更好地理解数学知识。
例如，在学习小数时，尺子、线段等工具被用于帮助学生理解小数的性质和意义。
在学习乘法口诀时，各种图形可以帮助学生理解乘法的含义以及口诀的推导。
在学习三角形有关知识时，教师可以让学生通过动手操作，把一个三角形的三个内角拼成一个平角，直观感受三角形内角和为180°的知识。
一、教学实践中的困境1.教学理念有待提升一些数学教师的教学方式存在问题。
教师过分强调学生的成绩，只注重讲解解题技巧和布置作业。
他们缺乏完善的教学方法和理念，导致数学教学效果受到影响。
2.对于多媒体辅助教学设备使用不当在小学数学教学活动中，使用多媒体辅助工具有助于降低学生的理解难度并培养他们对数学学习的兴趣。
但现实情况是，有的教师认为所有的备课活动和授课活动都可以交给计算机去完成。
在课堂上只展示现成的PPT和教学视频，在进行课堂导入时也没有考虑学生的實际情况；有的教师对于多媒体不信任，认为这些并不能真正地提高师生之间互动交流的频率，还会挤占课堂时间，因此将其束之高阁。
二、解决策略总体而言，小学数学讲授数形结合思想需要教师具备相应的知识和技能，并通过创新和多样化的教学方法来克服这些困难。
1.思想上，教师应当意识到学生是小学数学课堂的主角教师应围绕学生进行教学，学生是一切教学活动的出发点。
教师在选择数形结合教学方法时要考虑学生的不同情况，小学生的知识储备量、数学反应能力不同，作为小学数学教师，应该对此有所关注。
2.课堂上，教师应重视师生交流教师要开展多样的课堂调研活动，用生活化、现代化的数学问题进行相应的导入，将数形结合的思想巧妙地渗透其中，对于重点、难点，要注重把握学生的掌握情况，降低学生的理解难度，提高学生的学习兴趣。
数形结合在初三总复习课中有效教学策略
数形结合在初三总复习课中的有效教学策略【摘要】本文从初三总复习课的特殊背景出发，结合具体实例介绍了数形结合的有效教学策略，从而使学生善于以数助形，见形思数的思维策略。
【关键词】数形结合有效策略“数形本是相倚依，焉能分作两边飞。
数无形时少直觉，形无数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事非。
几何代数统一体，永远联系莫分离。
”这是著名数学家华罗庚《数形诗》。
在诗中我们体会到是研究数学的一种重要的思想方法，它是指把代数的精确刻划与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象直观相结合的一种思想方法。
数形结合的思想贯穿初中数学教学的始终，它根据学生的年龄特征，在学习的各阶段逐步渗透，螺旋上升，不断的丰富自身的内涵。
实际上数形结合的思想方法，不像一般数学知识那样，通过几节课的教学就可掌握，但是在初三面对中考的特殊环境下，如何在总复习课中的有效地让学生掌握这种美妙而重要的方法呢？下面结合题例，对若干有效教学策略做一些探讨。
一、有效认识数形结合（1）了解数形结合发展史（2）寻找教材中数形结合实例为了落实好上面两项任务，可以采取以下策略：策略一：以小组为单位，组织课外查阅数形结合的历史资料。
策略二：以班为单位开展分享会，展示学生收集和整理的内容。
策略三：老师点评，给予鼓励与肯定，并在讲授新课时展示和补充。
例如：绝对值的概念；有理数加法法则，我们利用数轴，规定向东正，向西为负，运用数形结合法探讨了两数相加法则；巧用图形来证明平方差公式和完全平方公式；勾股定理的证明；多边形内角和定理，由数形结合法想到把n边形分割成若干个三角形，将多边形内角和的问题转化成几个三角形的内角总和，从而得到多边形内角和（n-2）180；列方程解应用题利用图示法帮助分析，充分利用图形的直观性和具体性，发现数量关系，找出解决问题的突破口……这些数学概念、数学法则、数学公式、数学定理都是渗透数形结合思想。
我们发现，教学过程让学生多一些思考的空间和时间，通过小组的收集、讨论、决定、总结、展示的方式，获得的知识比起老师的满堂灌要深刻得多，有价值得多。
例谈高中数学数形结合解题法教学的有效策略
例 １ 已知某 比赛共 ４ ０人 参加 ， 参 加 Ａ 项 目 的有 １ ５人 ，
， ３ ２ －ｌ ｏ ｏ ） ｚ ＋
图 １
参加 Ｂ项 目的 ３ ０人． 问同时参 加 ２个项 目的有 几人 ？
分析
所以， 当 一 １ ０ ０时 ， ｆ ｏ ｒ ． ， （ ） 一 ≈３ ３ ３ ３ ．
・
在 高 中数学 的教学 中 ， 经常 会 遇到 十分 复杂 的 考 查思维 能力 的题 型． 这 类 题 型往 往 抽 象 且 难 以理 解． 在解 答这类 题 型 时 ， 运 用 数 形 结合 的 方 法 ， 往往可 以
（ ） 可 以达 到 最 大 ， 并求出最大值（ 精 确 到 １辆 ・
① 文 氏 图 法
Ｊ ／ ３ ， ６ —２ ０ ０ ／ ３ ． 故 函数 （ ＿ ｚ ） 的表达式 为
， 、
， ６ Ｏ ，
ｏ ≤ ｚ ＜ ０ ，
｝ 一÷ （ ２ ２ —２ ０ ０ ） ， ２ ０ ≤ｚ ≤２ ０ ０ ．
（ ２ ） 根 据题 意并 由 （ １ ） 可 得
ｆ ６ ０ ｘ， ０ ≤ｚ ＜２ 。 ，
１ ）利 用 数 形 结 合 解 决 集 合 问题
［ ２ ０ ， ２ ０ ０ ］ 是减 函数．
由已 知 得 ２ ０ ０ ａ＋ ｂ 一０ ， ２ ０ ａ ＋ｂ 一６ ０ ， 解 得 ａ一
一
集合 问题是 高 中数学 的基 础 问题 ， 是解 决 其他 问 题 的关键 ， 因此 解决 集合 问题 可 以帮 助 我们 求 解 函数 的取值 范围 等数学 问题． 而应 用 文 氏 图以及 数 轴 等 数 形 结合方 法是 解决 集合 问题 的方 法之 一．
的一 次 函 数 ．
人教版小学五年级数学下册第8课时《喝牛奶问题——数形结合的解题策略》教学设计
人教版小学五年级数学下册第8课时《喝牛奶问题——数形结合的解题策略》教学设计一. 教材分析《喝牛奶问题——数形结合的解题策略》这一课时主要让学生通过数形结合的方法解决实际问题。
教材通过喝牛奶这个问题，引导学生运用数形结合的思想，培养学生解决问题的能力。
教材中包含了丰富的例题和练习题，供学生巩固所学知识。
二. 学情分析五年级的学生已经具备了一定的数学基础，对数形结合的思想有一定的了解。
但学生在解决实际问题时，还存在着一定的困难，需要通过数形结合的方法进行解答。
因此，在这一课时中，教师需要引导学生运用数形结合的方法，培养学生解决问题的能力。
三. 教学目标1.让学生理解数形结合的思想，并能够运用到实际问题中。
2.培养学生解决问题的能力，提高学生的数学思维。
3.通过对喝牛奶问题的探讨，培养学生学习的兴趣。
四. 教学重难点1.数形结合的思想。
2.如何引导学生运用数形结合的方法解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置喝牛奶的情境，让学生身临其境，提高学生的学习兴趣。
2.引导发现法：教师引导学生发现数形结合的思想，并运用到实际问题中。
3.讨论法：学生分组讨论，共同解决问题，培养学生的合作精神。
六. 教学准备1.准备喝牛奶的情境图片和题目。
2.准备数形结合的课件和教学道具。
3.准备练习题和拓展题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用情境图片，引入喝牛奶的问题。
引导学生思考：如何知道喝了多少牛奶？通过这个问题，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）出示喝牛奶的实际问题，让学生尝试解决。
教师引导学生发现数形结合的思想，并运用到实际问题中。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，共同解决问题。
教师巡回指导，帮助学生解答疑难问题。
4.巩固（10分钟）出示练习题，让学生运用数形结合的方法进行解答。
教师选取部分学生的解答进行点评，总结数形结合的解题方法。
5.拓展（10分钟）出示拓展题，让学生尝试解决。
教师引导学生运用数形结合的思想，培养学生解决问题的能力。
如何利用“数形结合”解决问题
如何利用“数形结合”解决问题作者：郭双来源：《学校教育研究》2020年第24期“数缺形，少直观;形缺数，难入微;数形结合百般好，隔离分家万事休。
”这是著名数学家华罗庚先生对数形结合思想的透彻的阐释。
数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们相互转化、相互渗透。
数形结合思想，就是在解决问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，利用数量关系突破图形性质的问题;或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，利用图形的性质解决数量关系的问题。
利用数与形的相互转化来解决数学问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简单易行的成功方案。
画图，是数学中常用的一种解题策略。
小学生年龄小，抽象思维水平不高，而画图比较直观。
通过画图能够把一些抽象的数学问题具体化，把一些复杂的问题简单化，容易找到解决问题的关键。
所以引导学生采用画图的策略，十分适合小学生的思维特点，也是我最常向学生推荐的一种解题策略。
下面谈谈我在教学中采用“数形结合”思想教学的方法。
一、数形结合，激发学习兴趣画图能把抽象的东西形象化、生动化，学生更能积极主动接受知识，变“被动学”为“主动学”。
例如，我在教学人教版二年级上册《有余数的除法》时，在讲授“余数”这一知识点时学生很难理解，于是教师便给学生提供小棒，用8根、9根、10根、11根、12根小棒摆正方形，可以摆几个正方形，还剩几根？通过拼摆正方形，学生很容易就得出结论：8根可拼成2个正方形;9根可拼成2个正方形，还剩1根;10根可拼成2个正方形，还剩2根;11根可拼成2个正方形，还剩3根;12根可拼成3个正方形;这里剩下的1根、2根、3根就是“余数”，表示剩余多出来的数。
为什么12根小棒摆正方形没有余数呢？通过图形也能很容易得知，11根再添1根，那么余数3根与新添的1根刚好又可以摆成一个正方形，所以没有余数。
也可得出结论：余数比除数小。
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方法技巧练——数形结合的解题策略
数形结合是指数与形是有联系的,作为一种数学思想方法,数形结合的应用大致可分为两种情形:一是“以数解形”,二是“以形助数”。
“以数解形”指有时图形直接观察看不出什么规律来,这时就需要给图形赋值。
“以形助数”是指借助几何图形描述数的特征,直观表示数量之间的关系,有助于揭示规律,解释现象。
应用1:借助数形结合理解分数本质。
1.下面有三幅图,请你分一分、画一画或涂一涂表示出1
4
2.涂一涂,表示出相等的分数并填在()里。
(1) ()(2) ()
() ()
() ()
应用2:借助数形结合直观表示数量关系
3.把4块松饼平均分给3只小松鼠,每只小松鼠分到多少块?下面三幅图哪一幅能表示出正确的分法,在括号里打“√”。
()
()
()
4.学校操场长60米,宽40米。
暑假期间,学校把操场进行了扩建,长和宽各增加了10米。
操场的面积增加了多少平方米?在下面画一画,然后计算解答。
(图中每个格子的边长是10米)
方法技巧练——数形结合的解题策略1.(答案不唯一)
)
2.(1) (6
9
)
(4
6
)
(2
3
)
(2) (8
16
)
(4
8
)
(1
2
3.
()
(√)
()
4.
60×40=2400(平方米) (60+10)×(40+10)=3500(平方米)3500-2400=1100(平方米)。