强连通分支、桥和割点

把所有入度为0的点编号 0,1,2,3,4 ....N -1 为所有从编号为i的入度0点可达的出度0点，添加 一条出边，连到编号为(i+1)%N 的那个出度0点, 这需要加n条边


若 m <= n，则 加了这n条边后，已经没有入度0点，则问题解决 ，一共加了n条边
若 m > n，则还有m-n个入度0点，则从这些点以 外任取一点，和这些点都连上边，即可，这还需 加m-n条边。 所以，max(m,n)就是第二个问题的解
ACM1236: 解题思路


1. 求出所有强连通分量
2. 每个强连通分量缩成一点，则形成一个有 向无环图DAG。 3. DAG上面有多少个入度为0的顶点，问题1的 答案就是条边，才能使得DAG变成强连通 的，问题2的答案就是多少 加边的方法：
要为每个入度为0的点添加入边，为每个出度 为0的点添加出边 假定有 n 个入度为0的点，m个出度为0的点， 如何加边？
Tarjan 算法
Q：为什么要膜拜Tarjan？ 1.DFS是Hopcroft和Tarjan提出的 2.今天介绍的求强连通分支的一个算法是 Tarjan提出的，被称为Tarjan算法 3.Tarjan对DFS做了大量研究，包括离线的 LCA算法和平面图判定算法都是使用了DFS的 经典算法
4.Tarjan是大牛！
当深搜过程中遇到一个分量，首先发现的顶点v肯定是树根， 由于分量是一棵子树，且分量间顶点可互达，那么其他顶点 肯定能由v 发起的路径到达，那么其他节点都是v的子孙。 定义dfn数组，dfn[u] 表示u在深度优先遍历中的序号 我们定义 low 数组，low[v] 表示，从v出发经过v 的子孙形成 的路径和一条回退边，能够到达的最浅层次的顶点的序号。 注意这里到达的顶点必须是可用的，我们说当一个分量完成， 其包括的顶点全部设置为不可用。其实如果边是一条不同子 树之间的横跨边，它到达的顶点肯定是不可用的，因为那个 点已经属于另一个分量。 参考:/lewutian/archive/2009/08/30/4499657.aspx
/Algorithm/ShowArticle.asp?ArticleID=58
(a)为有向图G， 其中的阴影部分 是G的强连通分 支，对每个顶点 都标出了其发现 时刻与完成时刻 ，黑色边为深度 优先搜索的树 枝； (b)G的转置图GT 依次以b,c,g,h 为起点做DFS, 得到4个强连通 分量
给定一个有向图，求有多少个顶点是由任何顶 点出发都可达的。
顶点数<= 10,000,边数 <= 50,000

有用的定理:
有向无环图中唯一出度为0的点，一定可 以由任何点出发均可达(由于无环，所 以从任何点出发往前走，必然终止于 一个出度为0的点)
ACM2186: 解题思路


1. 求出所有强连通分量



tarjan(u) { DFN[u]=Low[u]=++time // 为节点u设定次序编号和Low初值 Stack.push(u) // 将节点u压入栈中 for each (u, v) in E // 枚举每一条边 if (v is not visted) // 如果节点v未被访问过 tarjan(v) // 继续向下找 Low[u] = min(Low[u], Low[v]) else if (v in Stack ) // 如果节点u还在栈内 Low[u] = min(Low[u], DFN[v]) //Low[u] = min(Low[u],Low[v]) 可否？ if (DFN[u] == Low[u]) // 如果节点u是强连通分量的根 repeat v = Stack.pop // v为该强连通分量中的一个顶点 print v until (u== v) }
在dfs过程中，遇到新点令其dfn[u] = low[u] =当前遍历序 号 . 回溯时，如果发现dfn[u] == low[u], 则u是分量子树的 树根。 这是一个充要条件。 -->: 如果u 是树根，且由于 是强分量，其子孙都可达到u, 则子孙的low 都是u 的编号。 则low[u] = dfn[u]. <--: 如果low[u] == dfn[u], 假设u不是 树根，那么肯定有u的祖先是树根，那么low[u]肯定比当前 值小，矛盾，因此u是树根。 如何取出分量？ 我们遇到新顶点时将顶点入栈，在回溯 时发现了根，且根是先被压入栈的，那么在根之后压入的 顶点都是分量中的顶点，否则如果有顶点属于其他分量， 就出现矛盾，因为在那个分量完成时，这个顶点已经弹出 不可用了。
算法复杂度分析
深度优先搜索的复杂度:Θ(V + E) 计算GT的复杂度:0或者Θ(V + E)(临接表) 所以总的复杂度为:Θ(V + E) 非常好的算法!

Kosaraju's algorithm

思考：Professor Deaver声称，用于强 连通分支的算法可以这样简化，即在第 二次深度优先搜索中使用原图（而不是 其转置图），并按完成时间递增的顺序 来扫描各个节点。这位教授的说法正确 么？


其他题目

acm1236，acm3180，acm2762（强连通+拓扑排 序），acm2553，acm3114（强连通 +dijkstra), acm3160(强连通+DP）
参考： /blog/scc-tarjan/
Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分 量为搜索树中的一棵子树。既然强连通分量是深搜树的一棵 子树，要找到一个分量，只要找到树根( 连接不同分量的桥 的前端顶点) ，然后取出其所属分量的顶点即可。

Korasaju算法


procedure Strongly_Connected_Components(G); begin 1.深度优先遍历G，算出每个结点u的结束时间f[u],起 点如何选择无所谓。 2.深度优先遍历G的转置图GT，选择遍历的起点时， 按照结点的结束时间从大到小进行。遍历的过程中， 一边遍历，一边给结点做分类标记，每找到一个新的 起点，分类标记值就加1。 3. 第2步中产生的标记值相同的结点构成深度优先森 林中的一棵树，也即一个强连通分量 end; 证明参考：
ACM1236: Network of Schools

给定一个有向图，求：
1) 至少要选几个顶点，才能做到从这些顶点出 发，可以到达全部顶点 2) 至少要加多少条边，才能使得从任何一个顶 点出发，都能到达全部顶点

顶点数<= 100
有用的定理:
有向无环图中所有入度不为0的点，一定 可以由某个入度为0的点出发可达。 (由于无环，所以从任何入度不为0的 点往回走，必然终止于一个入度为0的 点)
两个算法的分析比较
1.都是很巧妙的算法 2.都很快 3.Tarjan的算法一般来说要快30%，因 为只需要一遍DFS，同时，这种找DFS 搜索树中的反向边的想法在别的地方也 很有用。包括：

◦ 证明并查集时间复杂度 ◦ 求桥或者割点 ◦ 树形DP
ACM2186:Popular Cows

有向图的强连通分支
本讲义部分内容引用北京大学信息学院实验班袁洋、陈科吉同学讲义， 特此致谢
定 义

在有向图G中，如果任意两个不同的顶点 相互可达，则称该有向图是强连通的。 有向图G的极大强连通子图称为G的强连 通分支。
转置图的定义：将有向图G中的每一条 边反向形成的图称为G的转置GT。（注 意到原图和GT的强连通分支是一样的）
2. 每个强连通分量缩成一点，则形成一个有 向无环图DAG。 3. DAG上面如果有唯一的出度为0的点,则该点 能被所有的点可达。那么该点所代表的连通分 量上的所有的原图中的点，都能被原图中的所 有点可达，则该连通分量的点数，就是答案。


4. DAG上面如果有不止一个出度为0的点，则 这些点互相不可达，原问题无解，答案为0
ACM1236: Network of Schools

题目大意：N(2<N<100)各学校之间有单向的 网络，每个学校得到一套软件后，可以通过单 向网络向周边的学校传输，问题1：初始至少 需要向多少个学校发放软件，使得网络内所有 的学校最终都能得到软件。2，至少需要添加 几条传输线路(边)，使任意向一个学校发放软 件后，经过若干次传送，网络内所有的学校最 终都能得到软件。