函数单调性的应用 教案

《函数单调性的应用》教案
一、教材分析-----教学内容、地位和作用
本课是北师大版新课标普通高中数学必修一第二章第三节《函数的单调性》的内容，该节中内容包括：函数的单调性、函数的最值。

总课时安排为3课时，《函数单调性的应用》是本节中的第三课时。

函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、最值，比较两个函数值的大小或自变量的大小、求参变量的取值范围以及解函数不等式等具体问题中均有着广泛的应用；在历年的高考中对函数的单调性的应用考查每年都有涉及；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。

在本节课是以函数的单调性的应用为主线，它始终贯穿于整个课堂教学过程；这是本节课的重点内容。

二、学情分析
教学目标的制定与实现，主要取决于我们对学习者掌握的程度。

只有了解学习者原来具有的认知结构，学习者的准备状态，学习风格，情感态度等，我们才能制定合适的教学目标，安排合适的教学活动与评价标准。

不同的教学环境，不同的学习主体有着不同的学习动机和学习特点。

我所教授的班级的学生具体学情具体到我们班级学生而言有以下特点：学习习惯不太好，需要不断的引导和规范；数学基本功不太扎实，演算不能做到又准又快；独立解决问题能力弱，畏难情绪严重，探索精神不足。

只有少部分学生学习习惯良好，学风严谨，思维缜密。

三、教学目标：
根据新课标的要求，以及对教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，制定如下教学目标：
(一)三维目标
1 知识与技能：
（1）.会利用函数单调性求最值或值域.
（2）.会利用函数单调性比较两个函数值或两个自变量的大小.
（3）.会利用函数单调性求参变量的取值范围.
（4）.会利用函数单调性解函数不等式.
（5) .通过函数单调性应用的教学，逐步培养学生观察、分析、概括与合作能力；
2 过程与方法：
（1）通过本节课的学习，通过“数与形”之间的转换，渗透数形结合的数学思想。

（2）通过合作探究活动，明白考虑问题要细致、缜密，说理要严密、明确。

3 情感，态度与价值观：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作与评价，拉近学生之间、师生之间的情感距离，培养学生对数学的兴趣。

（二）重点、难点
重点：利用函数单调性求最值或值域，求参变量的取值范围
难点：利用函数单调性解函数不等式
四、教学方法： 合作学习认为教学是师生之间、生生之间相互作用的过程，强调多边互动，共同掌握知识。

视教学为师生平等参与和互动的过程，强调教师只是小组中的普通一员，起到一个引导者，管理者角色。

在课堂教学中要加强知识发生过程的教学，充分调动学生的参与的积极性，有效地渗透数学思想方法，发展学生个性品质，从而达到提高学生整体的数学素养的目的。

结合教学目标和学生情况我采用合作交流，探究学习相结合的教学方法。

五、教学过程及设计：
第一环节：复习回顾以下知识点：
1.回顾增函数和减函数的定义.
2.复习函数最值的定义.
3. 函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M （f(x)≥M ）．
第二环节：学习 学习目标
第三环节：自主学习与合作探究（学习提示：函数单调性的应用主要体现在以下四个方面 ：1.利用函数单调性求最值或值域.2.利用函数单调性比较两个函数值或两个自变量的大小.3.利用函数单调性求参变量的取值范围.4.利用函数单调性解函数不等式.）
1.利用函数单调性求最值或值域.
例1.求函数2
)(+=
x x x f 在区间[2，4]上的最大值和最小值.
练习：求二次函数]3,2[,222∈--=x x x y 在上的最值.
2.利用函数单调性比较两个函数值或两个自变量的大小.
例2：已知)(x f 是),0[+∞上的增函数，比较)2
1(f 与)1(2++a a f 的大小.
练习：如果c bx x x f ++=2)(，对称轴为x=2，试比较)4()2()1(f f f 、、 的大小.
3.利用函数单调性求参变量的取值范围.
例3.已知函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间]4,(-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A.]3
- C.]3,
,3[+∞
[+∞
(-∞ D.) (-
,
-∞ B.)
,3
变式练习：已知函数2
a
x
=x
x
f的减区间为]4,
)
+
(2
)1
-
(2+
(-∞，求实数a的值.
活动实施：前三个例题及练习题自主学习与合作交流相结合，学生分组合作与交流，分小组展示和讲解，学生评价与老师评价相结合，并且体现了一题多解和一题多变。

在判断函数单调性时引导学生用不同的方法判断，比如例题1可以用定义法和图像法.通过例题1的学习要知道：
（一）利用函数单调性求最值的三个常用结论
1.如果函数f(x)在区间［a,b］上是增(减)函数，则f(x)在区间［a,b］的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值.
2.如果函数f(x)在区间(a,b］上是增函数，在区间［b,c)上是减函数，则函数f(x)在区间(a,c)上有最大值f(b).
3.如果函数f(x)在区间(a,b］上是减函数，在区间［b,c)上是增函数，则函数f(x)在区间(a,c)上有最小值f(b).
（二）求最大值、最小值时的三个关注点
(1)利用图象写出最值时要写最高(低)点的纵坐标，而不是横坐标.
(2)单调性法求最值勿忘求定义域.
(3)单调性法求最值,尤其是闭区间上的最值，最忌不判断单调性而直接将两端点值代入求解时一定要注意.
例题2的练习注意引导学生用不同的方法解决，并且要知道：当自变量的取值不在同一个单调区间时，要先根据函数的性质化到同一个单调区间上。

例题3要学生比较例题与变式练习的区别，让学生明白函数在区间A上单调与单调区间是A的区别.
4.利用函数单调性解函数不等式.
例4.已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数，且f(1-a)<f(2a-1)，求a的取值范围.
活动：这是本节的难点，通过分析条件引导学生思考，利用函数的单调性脱掉“f”的外衣，进而化解这个难点。

变式练习：已知y=f(x)在定义域(1，+∞)上是增函数，且f(1+a)<f(2a-1)，求a的取值范围.
活动：本小题独立完成并且各小组可以抢答，为本小组加分。

第四个环节：课堂小结
本节主要学习了函数单调性的应用，主要体现在以下四个方面：1.会利用函数单调性求最值或值域.2.会利用函数单调性比较两个函数值或两个自变量的大小. 3.会利用函数单调性求参变量的取值范围.4.会利用函数单调性解函数不等式. 并且表扬本节课表现比较好的小组与同学，鼓励大多数学生积极参与与学习.
第五个环节：作业布置
必做题：
3.已知)
x
f-
-求x的取值范围.
(x
<
f
)1
(x
[-上的增函数，且)
f是定义在]1,1
3
1(
4.函数)
y
+
=f
f
f解函
(=
xy
f
x
)
,0(+∞上的增函数，满足3 (x
)
)8( f是定义在)
(
(
),
数不等式3
f
+x
x
f.
)
)2
(
(>
-
选做题：
已知f(x)是定义在R上的函数，并且对任意x, y，都有f(x+ y)=f(x)+f(y)-1成立，当x>0时，f(x)>1,
（1）证明f (x)在R上是增函数;
（2）若f(4)=5,求f(2)的值;
（3）若f(4)=5，解不等式f (3 m2-m-2)<3.。