解析几何同步练习(椭圆及其标准方程2a)1
高中解析几何辅导练习：椭圆的的方程及其性质
训练四 椭圆的的方程及其性质一.概念:1.椭圆的定义及第二定义; 2.椭圆的标准方程; 3.椭圆的性质;4.椭圆的焦半径;5.直线与椭圆的问题.二. 例题1、(5分)(2001全国文7)若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21F F ，则其离心率为（A ）43 （B ）32 （C ）21 （D ）41 2、(5分)(2004河南理7)椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF =（ ）A ．23B ．3C ．27 D ．4 3、(4分)(2004湖南文15)F 1，F 2是椭圆C ：14822=+x x 的焦点，在C 上满足PF 1⊥PF 2的点P 的个数为__________.4、(4分)(2004重庆理16)对任意实数K ，直线：y kx b =+与椭圆：)20(sin 41cos 23πθθθ<≤⎩⎨⎧+=+=y x 恒有公共点，则b 取值范围是_______________5．过椭圆14922=+y x 内一点D （1，0）引动弦AB ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程。
6．椭圆141622=+y x 上有两点P 、Q ，O 是原点，若OP 、OQ 斜率之积为41-。
求证22||||OQ OP +为定值。
训练题四: 椭圆及其性质1、(5分)(2004春安徽理3)已知F 1、F 2为椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的焦点；M 为椭圆上一点，MF 1垂直于x 轴，且∠F 1MF 2＝600，则椭圆的离心率为( )（A ）21 （B ）22 （C ）33 （D ）23 2、(5分)(2004湖北理6)已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ）A ．59B ．3C ．779D ．49 3、(5分)(2004福建理4)已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A ．33B ．32C ．22D ．23 4、(5分)(2004重庆理10)已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为：（ ）A ．43B ．53C ．2D ．735．一个圆的圆心在椭圆的右焦点2F 上，且过椭圆的中心D （0，0），该圆与椭圆交于点P ，设1F 是椭圆的左焦点，直线1PF 恰好与圆相切于点P ，则椭圆的离心率是（ ）A ．13-B ．32-C ．22D ．23 6．设椭圆1204522=+y x 的两个焦点分别为1F 和2F ，P 为椭圆上一点，并且21PF PF ⊥，则||||||21PF PF -等于（ ）A ．56B ．52C ．531 D ．532 7．过点M （-2，0）的直线l 与椭圆2222=+y x 交于1P 、2P 两点，线段21P P 的中点为P ，设直线l 的斜率为)0(11≠k k ，直线OP 的斜率为2k ，则21k k 的值为（ ）A ．2B ．-2C ．21D ．21- 8．方程1)4csc(3322=+-παy x 表示椭圆时，α适合的条件是（ ） A ．παπ4743≤≤ B ．παπ4743<< C ．)(472432Z ∈+<<+k k k ππαππ D ．)(4743Z ∈+<<+k k k ππαππ 9．设b ≥2a>0，则曲线122=+by ax 上对两焦点张角为直角的点有（ ）A ．0个B ．0个或2个C ．2 个或4个D ．0个或2个或4个10．点P 在椭圆284722=+y x 上，则点P 到直线3x-2y-16=0的距离的最大值是（ ） A ．13132 B ．131316 C ．131324 D ．131328 11、已知双曲线22154x y -=，若将该双曲线绕着它的右焦点逆时针旋转90︒后，所得双曲线的一条准线方程是 （ ）（A ）43y =- （B ）43y = （C ）163y = （D ）163y =- 12、直线10x y --=与实轴在y 轴上的双曲线22(0)x y m m -=≠的交点在以原点为中心、边长为2且各边分别平行于坐标轴的正方形的内部，则m 的取值范围是 （ ）（A ）01m << （B ）0m < （C ）10m -<< （D ）1m <-13．△ABC 中，三边a 、c 、b 成等差数列，且a>c>b ，若A （-1，0），B （1，0），则动点C 的轨迹方程为____________。
《解析几何》第10讲 椭圆及其标准方程
椭圆及其标准方程
1．椭圆的定义
文字语言：
平 面 内 与 两 个 定 点 F1 ， F2 的 距 离 的 和 等 于 常 数 ( 大 于
|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．
符号语言：
平面内点M满足|MF1|+|MF2|＝2a（2a>|F1F2|）,点M的轨 迹叫做椭圆．
2．椭圆的标准方程
标准 方程
且△F1AB的面积为9, 则b= 3 .
2
2
的焦点,点P在椭圆上满足 ∠F1 PF2=90°,
P
m
F1
2c
n
F2
例题 3. 已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)， 1 D . 离心率等于 ，则 C 的方程是 2 x2 y2 x2 y2 A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1 3 4 4 3 x2 y2 x2 y2 C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1 4 2 4 3
x y 1 上一点 例题2. 已知椭圆 16 9 P 到一个焦点的距离为 3 , 则它到
另一个焦点的距离是
2
2
5
.
变式1. 已知椭圆中心为原点，一个焦点 F1(3,0),过F2的直线与椭圆交于AB,且 △F1AB的周长为16, 椭圆的方程是 .
已知F1 , F2是椭圆 2 2 1 a b
x 2 y2 2＋ 2＝ 1(a>b>0) a b
y2 x2 2＋ 2＝1(a>b>0) a b
图形
性 质
范 围
－a≤x≤a －b≤y≤b
－b≤x≤b －a≤y≤a
x y 例题 1. 若方程 ＋ ＝1 表示椭圆， 则 5－ k k － 3 k 的取值范围是
2
2
椭圆及其标准方程(一)1
b a c 5 4 9
2 2 2 2 2
x y 1 ∴ 所求的椭圆的标准方程为 25 9
2
2
教材例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（2）两个焦点的坐标分别是（0，－2）、（0，2）， 并且椭圆经过点 3 , 5
2 2
解：∵ 椭圆的焦点在y轴上，
教材例2 ：
2c=6， 2a=16-6=10，c=3，a=5, b a c 5 3 16. 但当点A在直线BC上，即y=0时，A、B、C三点不能 构成三角形，所以点 A的轨迹方程是: 2 2
2 2 2 2 2
x y 1. ( y 0). 25 16
教材例3: 如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，
所以 ( x c) 2 y 2 2a ( x c) 2 y 2 两边平方得 : ( x c) 2 y 2 4a 2 4a ( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 即 : a 2 cx a ( x c) 2 y 2
2 2
y x ∴ 所求的椭圆的标准方程为 1 10 6
b a c 10 4 6 2 2
2
已知B、C是两个定点，|BC|=6， 且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程。 分析：在解析几何里，求符合某种条件的点的轨 迹方程，要建立适当的坐标系。为选择适当的坐标系， 常常需要画出草图。 经画图分析，点A的轨迹是椭圆。 Y 解：建立如图坐标系，使 A x轴经过点B、C，原点O与 BC的中点重合。 O C X |BC|=6 ，|AB|+|AC|=16－6=10， B 所以点A的轨迹是椭圆，
教材例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
第二关 以解析几何中与椭圆相关的综合问题为解答题-(解析版)
压轴解答题第二关 以解析几何中与椭圆相关的综合问题【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系．类型一 中点问题典例1已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率13e =，焦距为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()0,2Q 作斜率为()0k k ≠的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若x 轴上的一点E 满足AE BE =，试求出点E 的横坐标的取值范围．【来源】河南省温县第一高级中学2021-2022学年高三上学期1月月考文科数学试题 【答案】(1)22198x y ；(2)220,12⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦. 【解析】（1）由已知可求得a 、c 的值，可求得b 的值，由此可得出椭圆C 的标准方程；（2）设点设()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，求出线段AB 的中点G 的坐标，由题意可知EG AB ⊥，可得1EG k k=-，可得出m 关于k 的表达式，分0k <、0k >两种情况讨论，结合基本不等式可求得m 的取值范围.(1)解：由已知得1322c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以，1c =，3a =，2228b a c =-=，因此，椭圆C 的方程为22198x y .(2)解：根据题意可知直线l 的方程为2y kx =+，设()11,A x y 、()22,B x y ， 线段AB 的中点为()00,G x y ，设点(),0E m ，使得AE BE =，则EG AB ⊥．联立222198y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()228936360k x kx ++-=，()()22223614498288940k k k ∆=++=+>，由韦达定理可得1223698k x x k +=-+，所以，021898k x k -=+，00216298y kx k =+=+， 因为EG AB ⊥，所以，1EGk k =-，即221601981898k k k m k -+=---+， 则2228989k m k k k--==++，当0k >时，89298122k k +≥⨯=22k =20m ≤<； 当0k <时，()()8889929122k k k k k k⎡⎤+=--+≤--⋅-⎢⎥--⎣⎦ 当且仅当22k =20m <≤综上所述，点E 的横坐标的取值范围为220,12⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.【举一反三】已知椭圆C ：()222210y x a b a b+=>>的焦距与椭圆2213x y +=的焦距相等，且C 经过抛物线()212y x =- （1）求C 的方程；（2）若直线y kx m =+与C 相交于A ，B 两点，且A ，B 关于直线l ：10x ty ++=对称，O 为C 的对称中心，且AOB 10k 的值． 【答案】（1）22142y x +=；（2）3k = 【解析】（1）由题意：()212y x =-(2，焦距为22故22222112a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得：24a =，22b =，所以C 的方程为：22142y x +=； （2）因为直线y kx m =+与C 相交于A ，B 两点，且A ，B 关于直线l ：10x ty ++=对称，故直线l 垂直AB ，所以k t =，联立22142y kx my x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()2222240k x kmx m +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB的中点为()00,P x y ，则()228240k m∆=+->，022km xk =-+，00222my kx m k =+=+，因为()00,P x y 在直线l ：10x ky ++=上，所以2221022km km k k -++=++，即2m k k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以22480k k ⎛⎫∆=-> ⎪⎝⎭，即：22k >，()()()2222222212122k k AB k k k k +-∆=+=++，O 到直线AB 的距离()222211m d k k k ==++，()2241102AOBk SAB d -===，解得：23k =，3k =类型二 垂直问题典例2 已知椭圆1C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为22，1C 的长轴是圆2C ：222x y +=的直径.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆1C 的左焦点F 作两条相互垂直的直线1l ，2l ，其中1l 交椭圆1C 于P ，Q 两点，2l 交圆2C 于M ，N 两点，求四边形PMQN 面积的最小值.【来源】广东省肇庆市2021届高三二模数学试题【答案】（1）2212x y +=；（2）2.【解析】（1）由222a =，得2a =由2c e a ==，得1c =，所以1b =.所以椭圆的方程为2212x y +=.（2）由（1）可得()1,0F -.①当过点F 的直线1l 的斜率不存在时，22MN =2PQ =这时11222222PMQN S MN PQ ==⨯=. ②当过点F 的直线1l 的斜率为0时，2MN =，22PQ =， 这时112222222PMQN S MN PQ ==⨯⨯=③当过点F 的直线1l 的斜率存在且不为0时，设直线1l 的方程为1x my =-，()11,P x y ，()22,Q x y .由22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得()222210m y my +--=. 12222m y y m +=+，12212y y m -=+. 所以())222212121222211142m m y m y y y y m PQ +=+-=++-=+.直线2l 的方程为0mx y m ++=，坐标原点O 到2l 的距离21d mm =+所以2222222211m m MN m m +=-=++22211122221222PMQN m S MN PQ m m +===-++由222m +>，得2122122m->+，即(2,22PMQN S ∈. 综上所述，四边形PMQN 的面积的最小值为2.【举一反三】已知椭圆222:1(1)x C y a a+=>，离心率6e ．直线:1l x my =+与x 轴交于点A ，与椭圆C 相交于,E F 两点．自点,E F 分别向直线3x =作垂线，垂足分别为11,E F ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及焦点坐标；（Ⅱ）记1AEE ，11AE F ，1AFF 的面积分别为1S ，2S ，3S ，试证明1322S S S 为定值．【答案】（Ⅰ）椭圆C 的方程为2213x y +=，焦点坐标为(2,0)±；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】（Ⅰ）由题意可知1b =，又63c e a ==，即22123a a -=．解得23a =．即3a =． 所以222c a b =-=．所以椭圆C 的方程为2213x y +=，焦点坐标为(2,0)±．（Ⅱ）由221330x my x y =+⎧⎨+-=⎩得22(3)220m y my ++-=，显然m R ∈． 设()11,E x y ，()22,F x y ，则12122222,33m y y y y m m --+==++，()113,E y ，()123,F y ，因为13112211(3)(3)22S S x y x y =-⋅-12121(2)(2)4my my y y =--21212121[42()]4m y y m y y y y =-++ 22221222(42)4333m m m m m m ---=-⋅+⋅+++2223(2)(3)m m +=+， 又因为22221212121[2]()42S y y y y y y =⨯-=+-()22224833m m m =+++()222248243m m m ++=+()22212243m m +=+．所以22213222223(2)1(3)12(2)4(3)m S S m m S m ++==++． 类型三 面积问题典例3如图，已知椭圆221:12x y Γ+=和抛物线22:3x y Γ=，斜率为正的直线l 与y 轴及椭圆1Γ依次交于P 、A 、B 三点，且线段AB 的中点C 在抛物线2Γ上．(1)求点P 的纵坐标的取值范围；(2)设D 是抛物线2Γ上一点，且位于椭圆1Γ的左上方，求点D 的横坐标的取值范围，使得PCD 的面积存在最大值．【来源】浙江省2022届高三水球高考命题研究组方向性测试Ⅴ数学试题 【答案】(1)3,22⎛⎫⎪⎝⎭；(2)323,2⎛-- ⎝⎭. 【解析】（1）设直线l 的方程为()0,0y kx b k b =+>>，则()0,P b ，将直线l 的方程与椭圆的方程联立，可求得点C 的坐标，将点C 的坐标代入抛物线的方程，可得出()223214k b k +=，结合0∆>可得出2k 的取值范围，进而可求得b 的取值范围，即可得解；（2）设点()23,3D t t ，计算得出PCD 的面积239142416t S t k k ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭，令1u k =，记()()32424f u u t u t =-+--，则60u <()f u '，分析可知函数()f u 在6⎛ ⎝⎭内有唯一的极值点，且为极大值点，结合已知条件可得出关于t 的不等式组，解出t 的取值范围，即可得出点D 的横坐标的取值范围.(1)解：由题意可设直线l 的方程为()0,0y kx b k b =+>>，则()0,P b ，联立2222y kx b x y =+⎧⎨+=⎩可得()222214220k x kbx b +++-=， ()()()2222221682118210k b k b k b ∆=-+-=+->，可得2221b k <+，① 设点()11,A x y 、()22,B x y ，由韦达定理可得122421kb x x k +=-+，21222221b x x k -=+，设点()00,C x y ，则12022221x x kb x k +==-+，00221by kx b k =+=+， 将点C 的坐标代入抛物线2Γ的方程得224630k b k --=，则()223214k b k+=，代入①可得()22249212116k k k +<+，可得42161890k k -->，解得232k >， 因此()222321333,24242k b k k +⎛⎫==+∈ ⎪⎝⎭. 因此，点P 的纵坐标的取值范围是3,02⎛⎫⎪⎝⎭.(2)解：设点()23,3D t t，则点D 到直线l 的距离为22223311tk t bd k k -+==++，221kb k PC +=PCD 的面积()22331221kb t tk b S PC d k --=⋅=+，② 将()223214k b k +=代入②得239142416t S t k k ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭， 令1u k =，记()()32424f u u t u t =-+--，则60u <()22342f u u t '=-+-， 因为()f u '在6⎛ ⎝⎭上单调递减，所以，函数()f u 在6⎛ ⎝⎭内有唯一的极值点，且为极大值点，所以，()2204206440f t f t ⎧=->⎪⎨=-<⎪⎭'⎝⎩'，可得2112t <<，③ 因为点D 在椭圆1Γ的左上方，则2409182t t t <⎧⎨+>⎩，④ 由③④可得21t -<<D 的横坐标的取值范围是323,⎛- ⎝⎭. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．【举一反三】已知椭圆C ：22221(x y a b a b+=>>0)的右焦点F 与右准线l ：x ＝4的距离为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线():0m y kx t t =+≠与椭圆C 相交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与直线m 及x 轴和y 轴分别相交于点D ，E ，G ，直线GF 与右准线l 相交于点H ．记AEGF ，ADGH 的面积分别为S 1，S 2，求12S S 的值．【来源】江苏省苏州中学等四校2021-2022学年高三下学期期初联合检测数学试题 【答案】(1)22184x y +=；(2)12 【解析】（1）根据已知条件求得,,a b c ，由此求得椭圆C 的方程.（2）结合根与系数关系求得D 点坐标，进而求得,,E G H 点坐标，利用“中点”求得面积比.(1)依题意2222242a c a c ca b c ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得22,2a b c ===，所以椭圆方程为22184x y +=. (2)右焦点()2,0F .直线():0m y kx t t =+≠，由于线段AB 的垂直平分线与,x y 轴都相交，所以0k ≠，由22184y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并化简得()222124280k x ktx t +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ， 则()1212122242,21212kt tx x y y k x x t k k -+=+=++=++， 所以222,1212ktt D k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭.线段AB 的垂直平分线的方程为22121212t kt y x k k k ⎛⎫-=-⋅+ ⎪++⎝⎭，令0y =，解得22,01212E kt kt x E k k --⎛⎫=⇒ ⎪++⎝⎭， 令0x =，解得220,1212G t t y G k k --⎛⎫=⇒ ⎪++⎝⎭. 所以,D G 关于E 点对称，所以DE EG =， 所以ADEAEGSS=.直线GF 的方程为()20120220tk y x --+-=--，令4x =，解得224,1212H t t y H k k ⎛⎫=⇒ ⎪++⎝⎭， 所以,G H 关于F 对称，所以GF FH =， 所以AGFAFHSS=.结合图象可知：1212S S =.【点睛】本题求四边形AEGF 和四边形ADGH 的面积比，常规的方法是借助弦长公式和点到直线距离来求面积，但本题用这个方法很难.在解题的过程中，求出,,,,D E G F H 的坐标后，要注意观察坐标间的对称性，结合对称性来求面积比，将问题求解大大简化.类型四 范围与定值问题典例4已知椭圆C ：()2222 1x y a b c a b +=>>2()2,1P ．(1)求C 的方程；(2)若A ，B 是C 上两点，直线AB 与曲线222x y +=相切，求AB 的取值范围． 【来源】重庆市2022届高三下学期开学考试数学试题【答案】(1)22163x y +=；(2)22,3⎡⎤⎣⎦ 【解析】（1）根据已知条件求得,,a b c ，由此求得椭圆C 的方程.（2）对直线AB 的斜率分成不存在，0k =，0k ≠三种情况进行分类讨论，结合弦长公式、基本不等式求得AB 的取值范围.(1)依题意22222224116,3c aa b c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⇒===⎨⎪=+⎪⎪⎩所以椭圆C 的方程为22163x y +=.(2)圆222x y +=的圆心为()0,0，半径2r =当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为2x 2x = 2222163x y x y ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩2222163x y x y ⎧=-⎪⇒=⎨+=⎪⎩ 所以22AB =当直线AB 的斜率为0时，直线AB 的方程为2y 2y =-2222163y x x y ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩2222163y x x y ⎧=-⎪⇒=⎨+=⎪⎩ 所以22AB =当直线AB 的斜率0k ≠时，设直线AB 的方程为,0y kx b kx y b =+-+=， 由于直线AB 和圆222x y +=()2222211b b k k =++.22163y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并化简得()222124260k x kbx b +++-=， ()()222222164122648248k b k b k b ∆=-+-=+- ()22248248213280k k k =+-⨯+=+>.设()()1122,,,A x y B x y 则2121222426,1212kb b x x x x k k --+=⋅=++， 所以()2222212122242614141212kb b AB k x x x x k k k --⎛⎫=++-=+-⋅ ⎪++⎝⎭()2422224242232845112222144144112k k k k k k k k k k ++++++++++2212122144k k=+>++另一方面，由于22221144448k k k k +⋅+≥=，当且仅当222114,2k k k ==时等号成立. 所以2211212131844k k++=++，即223AB ≤. 综上所述，AB 的取值范围是22,3⎡⎤⎣⎦.【举一反三】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(2,0)F ，过点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆内一点P （0，t ），斜率为k 的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，设直线OM ，ON （O 为坐标原点）的斜率分别为k 1，k 2，若对任意k ，存在实数λ，使得12k k k λ+=，求实数λ的取值范围． 【来源】江苏省扬州大学附中2021届高三下学期2月检测数学试题【答案】（1）22142x y +=；（2）[2,)+∞． 【解析】（1）椭圆2222:1(0) x y C a b a b+=>>的右焦点为(2,0)F ，则2c =∵过点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，22221c y a b ∴+=，解得2b y a =±，222b a∴=，即2b a =，∴2222a b c a =+=+， 解得2a =，∴椭圆的方程为22142x y +=，（2）设直线l 的方程为y kx t =+．由221? 42x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消元可得()222214240k x ktx t +++-=， 设()()1122,,,M x y N x y ，则122421kt x x k -+=+，21222421t x x k -=+， 而121212*********y y kx t kx tk k k t x x x x x x ⎛⎫+++=+=+=++ ⎪⎝⎭1222124422242x x kt kk t k t x x t t +--=+⋅=+⋅=--， 由12k k k λ+=，242kk t λ-=-， 因为此等式对任意的k 都成立，所以242t λ-=-，即242t λ=-． 由题意得点(0,)P t 在椭圆内，故202t ≤<，即4022λ≤-<，解得2λ≥，故实数λ的取值范围为[2,)+∞．典例5 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点与短轴的两个端点组成的三角形是等腰直角三角形，点(10,1)P 是椭圆C 上一点． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设(,)R s t 是椭圆C 上的一动点，由原点O 向22()()4x s y t -+-=引两条切线，分别交椭圆C 于点P ，Q ，若直线,OP OQ 的斜率均存在，并分别记为12,k k ，求证：12k k ⋅为定值． 【来源】云南省昭通市2022届高三期末数学（理）试题 【答案】(1)22:1126x y C +=；(2)证明见解析【解析】（1）由椭圆的性质得出b c =，再将(10,1)P 代入椭圆方程，结合222a b c =+得出椭圆C 的标准方程；（2）设直线1:OP y x k =，直线2:OQ y k x =，根据距离公式得出12,k k 是方程()2224240s k stk t --+-=的两根，由韦达定理结合点(,)R s t 在椭圆上，得出12k k ⋅为定值．(1)解：由已知有222222,(10)11,,b c b a b c =⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩解得22212,6,6,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ ∴椭圆C 的方程为22:1126x y C +=.(2)证明：设直线1:OP y x k =，直线2:OQ y k x = 又直线OP 为圆R 12121k s t k -=+，化简可得()222114240s k stk t --+-=，同理可得()222224240s k stk t --+-=，∴12,k k 是方程()2224240s k stk t --+-=的两根，由()240,0s -≠∆>，可知212244t k k s -⋅=-， 又(,)R s t 在椭圆上，即22162t s =-，∴22122212412442s t k k s s --⋅===---，∴12k k ⋅为定值12-． 【举一反三】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过两点33,M ⎭，242N ⎝⎭. (1)求椭圆C 的方程：(2)A 、B 分别为椭圆C 的左、右顶点，点P 为圆224x y +=上的动点（P 不在坐标轴上），P A 与PB 分别与椭圆C 交E 、F 两点，直线EF 交x 轴于H 点，请问点P 的横坐标与点H 的横坐标之积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由.【来源】江西省景德镇市2022届高三第二次质检数学（理）试题【答案】(1)22143x y +=(2)点P 的横坐标与点H 的横坐标之积为定值，定值为4 【解析】（1）将两点代入椭圆方程解方程求出,a b 的值，确定椭圆方程（2）设P A 与PB 直线与椭圆联立，求出E 、F 两点的坐标表达式，写出直线EF 方程，求出与x 轴的交点H 点的坐标，联立两条直线求出P 点的坐标，计算乘积判断是否为定值(1)将,M N 点坐标代入椭圆方程得：222233141421216a b a b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ，解得：2234a b =⎧=⎪⎨⎪⎩ ，所以椭圆方程为22143x y +=(2)根据圆方程为224x y +=可知，AB 为圆的直径，点P 在圆上，所以PA PB ⊥，设直线PA 方程为：()2,0y k x k =+≠，联立()222143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 得：()2222341616120k x k x k +++-=，所以221612234A E E k x x x k -⋅=-=+，所以228634E k x k -+=+，代入直线得：21234E k y k =+；同理设直线PB 方程为：()12y x k =--，联立()2212143y x k x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：2222416163120x x k k k ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，则22221612161224343B F F k k x x x k k--⋅===++， 所以228643F k x k -=+，21243Fk y k =+， 所以2337E F EFE F y y k k x x k --==- ，直线EF 的方程为：222212338634734k k k y x k k k ⎛⎫--+-=- ⎪++⎝⎭，令0y =得：()()()()222222222234661278666343334333433H k k k k k k x k k k k k k -++-++=-⋅+==+-+-+-， 联立直线PA ，PB ()()212y k x y x k =+⎧⎪⎨=--⎪⎩得：22221P k x k -=+，所以222222664133P H k k x x k k -+⋅=⋅=+-，所以点P 的横坐标与点H 的横坐标之积为定值，定值为4【精选名校模拟】1．已知椭圆2222C :1(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，直线1:22l y x =-+与椭圆C 有且仅有一个公共点A ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及A 点坐标；（Ⅱ）设直线l 与x 轴交于点B ．过点B 的直线与C 交于E ，F 两点，记点A 在x 轴上的投影为G ，T 为BG 的中点，直线AE ，AF 与x 轴分别交于M ，N 两点．试探究||||TM TN ⋅是否为定值?若为定值，求出此定值；否则，请说明理由．【来源】湖南省长沙市第一中学、广东省深圳实验学校2021届高三下学期联考数学试题【答案】（1）2231,1,432x y A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；（2）||||TM TN ⋅为定值94 【解析】（1）设椭圆C 的半焦距为c ，则12c a =，则224a c =，22223b a c c =-=， 所以椭圆C 的方程为：2222143x y c c+=，将椭圆C 的方程与直线l 的方程联立得：222430x x c -+-=, 所以244(43)0c ∆=-⨯-=，解得：21c =，所以24a =，23b =，故椭圆C 的方程为22143x y +=，此时将21c =代入222430x x c -+-=得：2210x x -+=， 所以1x =，此时32y =。
高二数学椭圆的标准方程2
♦ 1求动点轨迹方程的一般步骤： （1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线 上任意一点M的坐标； （2）写出适合条件P的点M的集合；(可以省略， 直接列出曲线方程) （3）用坐标表示条件P（M），列出方程 f ( x, y) 0 （4）化方程 f ( x, y) 0 为最简形式； （5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是 曲线上的点(可以省略不写,如有特殊情况，可以 适当予以说明)
2 2
y + =1 m - 1 3- m
.
2
2
表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范 围是 (1,2)
练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)a= 6 ,b=1,焦点在x轴上; (2)焦点为F1(0,－3),F2(0,3),且a=5. (3)两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过 P(2,3)点； (4)经过点P(－2,0)和Q(0,－3).
F(±c，0)
F(0，±c)
c2=a2-b2
注: 共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上， 中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1. 2 不同点：焦点在x轴的椭圆 x 项分母较大. 2 y 焦点在y轴的椭圆 项分母较大.
练习：
1.口答：下列方程哪些表示椭圆？ 若是,则判定其焦点在何轴？ 并指明 a 2 , b 2 ，写出焦点坐标.
2
解：设｜PB｜＝r．
∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10． ∴两圆的圆心距｜PA｜＝10－r， 即｜PA｜＋｜PB｜＝10(大于｜AB｜)． ∴点P的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆． ∴2a＝10， 2c＝｜AB｜＝6， ∴ a＝ 5， c＝ 3． ∴b2＝a2－c2＝25－9＝16．
x y ＝ 1． 即点P的轨迹方程为 25 16
人教新课标版(A)高二选修1-1 2.1.1椭圆及其标准方程(一)同步练习题
人教新课标版（A ）高二选修1-1 2.1.1 椭圆及其标准方程（一）同步练习题【基础演练】题型一：椭圆的定义平面内与两个定点1F 、2F 距离的和等于常数（大于|F F |21）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，请根据以上知识解决以下1~4题。
1. 到两定点1F （-2，0）和2F （2，0）的距离之和为4的点M 的轨迹是A. 椭圆B. 线段C. 圆D. 以上都不对2. 椭圆125y 9x 22=+的焦点为1F 、2F ，AB 是椭圆过焦点1F 的弦，则△2ABF 的周长是A. 20B. 12C. 10D. 6 3. 椭圆1y 25x 22=+上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为A. 5B. 6C. 7D. 84. 命题甲：动点P 到两定点A 、B 的距离之和()为常数且a ,0a a 2|PB ||PA |>=+； 命题乙：P 点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分且必要条件D. 既不充分又不必要条件题型二：椭圆的标准方程椭圆的两种标准方程1b y a x 2222=+，1bx a y 2222=+中都有：（1）0b a >>；（2）222b a c -=或222c b a +=；（3）焦点坐标（c ±，0）或（0，c ±）；（4）2x 与2y 所对应的分母，哪个大，焦点就在哪个轴上，请用以上知识解决以下5~8题。
5. 椭圆116y 32x 22=+的焦距等于A. 312B. 8C. 6D. 46. 若方程1a y ax 222=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则a 的取值范围是A. 0a <B. 0a 1<<-C. 1a <D. 无法确定7. 椭圆0ab by ax 22=++（0b a <<）的焦点坐标是A. ()0,b a -±B. ()0,a b -±C. ()b a ,0-±D. ()a b ,0-±8. 椭圆112y 13x 22=+上一点到两个焦点的距离和为A. 26B. 24C.134D. 132题型三：椭圆的标准方程的应用 紧扣标准方程的两种方式，焦点位置取决于两个分母哪个大，特别注意看似非标准形式的标准形式，如11k y kx 222=--，这说明01k <-，另外注意c 2|PF ||PF |21>+的约束条件，请用以上知识解决以下9~10题。
人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件 第二章 平面解析几何 分层作业21 椭圆的标准方程
2.[探究点一](多选题)已知在平面直角坐标系中,点A(-3,0),B(3,0),点P为一
动点,且|PA|+|PB|=2a(a≥0),下列说法中正确的是( AC )
A.当a=2时,点P的轨迹不存在
B.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为3
C.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为6
D.当a=3时,点P的轨迹是以AB为直径的圆
.
15.已知椭圆C:
2 2
+ =1内有一点M(2,3),F1,F2分别为椭圆的左、右焦
25 16
点,P为椭圆C上的一点,求:
(1)|PM|-|PF1|的最大值与最小值;
(2)|PM|+|PF1|的最大值与最小值.
解 (1)由椭圆
2
C:25
+
2
=1 可知
16
a=5,b=4,c=3,
则 F1(-3,0),F2(3,0),
256
2
2
2
即 144=1 + 2 -r1r2=(r1+r2) -3r1r2=400-3r1r2,则 r1r2= ,
所以△ =
1 2
1
r1r2sin
2
1
60°=
2
×
256
3
×
设点 P 到 x 轴的距离为 d,则△ =
1 2
3
2
=
64 3
.
3
3
1
64 3
32 3
×|F1F2|×d=6d,故 6d= 3 ,解得 d= 9 .
根据椭圆的定义可知,点B的轨迹是以A(-1,0),C(1,0)为焦点,以4为长轴长的
椭圆,
故顶点 B
高中数学椭圆及其标准方程解析几何同步练习1苏教版选修2-1
分析几何同步练习（椭圆及其标准方程）知识重点：①定义： | PF1 | |PF2 | 2a 2a | F1F2 | ；②标准方程：x2 y 2 1 a b 0； y 2 x 2 1 a b 0 。
一、选择题a2 b 2 a 2 b21、若点 P 到两定点 F1（-4 ， 0），F2（ 4， 0）的距离和是8，则动点 P 的轨迹为[ ]A. 椭圆B. 线段 F1F2C.直线 F1F2D. 不可以确立2. 以下说法正确的个数是[ ]①平面内与两个定点 F 、F 的距离和等于常数的点的轨迹是椭圆②与两个定点 F 、F 的距离1 2 1 2的和等于常数（大于| F 1F2|）的点的轨迹是椭圆③方程x2 y21（a>c>0）表示焦c 2 a 2 c 2y2 x2点在 x 轴上的椭圆④方程1（a>0,b>0)表示焦点在y轴上的椭圆a2 b2A． 13.椭圆 x 2 y 2 1的焦距为2，则m的值等于[ ]m 4或34. 过点（ 3， -2 ）且与x2 y2 1 有同样焦点的椭圆是[ ] 9 4A. x2 y2 1B. x2 y 2 1C. x 2 y 2 1D. x 2 y 2 115 10 225 100 10 15 100 225 5．已知方程x2 my2 1 表示焦点在y轴上的椭圆，则m 的取值范围是[ ]A． m<1 B ． -1<m<1 C ．m>1 D ．0<m<16. 椭圆 ax2+by2 +ab=0（ a<b<0）的焦点坐标是[ ]A. （a b,0)B. （ 0， a b ）C.（ b a ，0）D.（0， b a ）二、填空题7. 假如椭圆x2 y 2 1上一点P到焦点F1的距离等于6，则点 P 到另一个焦点100 36F2的距离是；8 过椭圆 C：x 2 y21 的焦点引垂直于x 轴的弦，则弦长为a 2 b2三、解答题：9．求经过点A(0,2) 和 B( 1, 3 )的椭圆的标准方程210. 椭圆的两个焦点 F1、F2在 x 轴上，以 | F1F2| 为直径的圆与椭圆的一个交点为（3， 4），求椭圆标准方程 .11．已知点Ｐ在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点Ｐ到两个焦点的距离分别为 4 5,2 5，过3 3 Ｐ作焦点所在轴的垂线恰巧过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程参照答案一、选择题：BAAA DD二、填空题：1、 14； 2 、2b2。
【配套K12】高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程优化练习
2.2.1 椭圆及其标准方程[课时作业][A 组 基础巩固]1．椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，则M 到另一个焦点F 2的距离为( ) A ．3B ．6C ．8D ．以上都不对 解析：由椭圆的定义知|MF 1|＋|MF 2|＝10，∴|MF 2|＝10－2＝8，故选C.答案：C 2．(2015·高考广东卷)已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m ＞0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( ) A ．2B ．3C ．4D ．9解析：由左焦点为F 1(－4,0)知c ＝4，又a ＝5，∴25－m 2＝16，解得m ＝3或－3，又m ＞0，故m ＝3.答案：B3．椭圆x 216＋y 27＝1的左、右焦点为F 1、F 2，一直线过F 1交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．32B ．16C ．8D ．4 解析：∵|AF 1|＋|AF 2|＝8，|BF 1|＋|BF 2|＝8.又∵|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |，∴△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋ (|BF 1|＋|BF 2|)＝16.故选B. 答案：B4．方程x 2sin 2＋cos 2－y 2cos 2－sin 2＝1所表示的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在x 轴上的双曲线D ．焦点在y 轴上的双曲线解析：∵π2<2<3π4，∴sin 2>0，cos 2<0 且|sin 2|>|cos 2|，∴sin 2＋cos 2>0，cos 2－sin 2<0且sin 2－cos 2>sin 2＋cos 2，故表示焦点在y 轴上的椭圆． 答案：B5．已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x 轴的距离为( ) A.233B.263C.33D. 3解析：由MF 1→·MF 2→＝0，得MF 1⊥MF 2，可设|MF 1→|＝m ，|MF 2→|＝n ，在△F 1MF 2中，由m 2＋n 2＝4c 2得(m ＋n )2－2mn ＝4c 2，根据椭圆的定义有m ＋n ＝2a ，所以2mn ＝4a 2－4c 2，故mn ＝2b 2，即mn ＝2，∴S △F 1MF 2＝12·mn ＝1，设点M 到x 轴的距离为h ，则12×|F 1F 2|×h ＝1，又|F 1F 2|＝23，故h ＝33，故选C. 答案：C6．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－23)且a ＝2b ，则椭圆的标准方程为________． 解析：由c ＝23，a ＝2b ，a 2＝b 2＋c 2，∴3b 2＝12，b 2＝4，a 2＝16，∴标准方程为y 216＋x 24＝1. 答案：y 216＋x 24＝1 7．已知椭圆的两焦点为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，P 为椭圆上的一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项．该椭圆的方程是________．解析：由题意知椭圆焦点在x 轴上，c ＝2，|F 1F 2|＝4，由于|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝8，∴a ＝4，b 2＝a 2－c 2＝42－22＝12，故椭圆的方程为x 216＋y 212＝1. 答案：x 216＋y 212＝1 8．若F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠F 1AF 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为________．解析：如图所示，|F 1F 2|＝22，|AF 1|＋|AF 2|＝6，由|AF 1|＋|AF 2|＝6，得|AF 1|2＋|AF 2|2＋2|AF 1||AF 2|＝36.又在△AF 1F 2中，|AF 1|2＋|AF 2|2－|F 1F 2|2＝2|AF 1||AF 2|cos 45°，∴36－2|AF 1||AF 2|－8＝2|AF 1||AF 2|，∴|AF 1||AF 2|＝282＋2＝14(2－2)． ∴S △AF 1F 2＝12|AF 1||AF 2|sin 45° ＝12×14(2－2)×22＝7(2－1)． 答案：7(2－1)9．已知点P (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2是椭圆左、右焦点，若PF 1⊥PF 2，试求：(1)椭圆方程；(2)△PF 1F 2的面积．解析：(1)由PF 1⊥PF 2，可得|OP |＝c ，得c ＝5.设椭圆方程为x 2a ＋y 2a －25＝1，代入P (3,4)， 得9a 2＋16a 2－25＝1，解得a 2＝45. ∴椭圆方程为x 245＋y 220＝1. (2)S △PF 1F 2＝12|F 1F 2||y P |＝5×4＝20. 10．已知B ，C 是两个定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长等于18，求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．解析：以过B ，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy ，如图所示．由|BC |＝8，可知点B (－4,0)，C (4,0)，c ＝4.由|AB |＋|AC |＋|BC |＝18，|BC |＝8，得|AB |＋|AC |＝10.因此，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10，但点A 不在x 轴上．由a ＝5，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．[B 组 能力提升]1．已知方程x 2|m |－1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( ) A ．m <2B ．1<m <2C ．m <－1或1<m <32D ．m <－1或1<m <2 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ |m |－1>0，2－m >0，|m |－1<2－m ，解得m <－1或1<m <32.故选C. 答案：C2．椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上．如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的( )A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍 解析：不妨设F 1(－3,0)，F 2(3,0)，由条件知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，±32，即|PF 2|＝32， 由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝43，则|PF 1|＝732， 即|PF 1|＝7|PF 2|，故选A.答案：A 3．已知曲线C ：x 2k －5＋y 23－k ＝－1，则“4≤k <5”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆”的________条件．解析：将曲线C 的方程化为：x 25－k ＋y 2k －3＝1，若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆， 则k －3>5－k >0，即4<k <5，故“4≤k <5”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆”的必要不充分条件．答案：必要不充分4．在平面直角坐标系中，A (4,0)，B (－4,0)，且sin A ＋sin B sin C ＝54，则△ABC 的顶点C 的轨迹方程为________．解析：在△ABC 中，由正弦定理|BC |＝2R sin A ，|AC |＝2R sin B ，|AB |＝2R sin C ，∴|BC |＋|AC ||AB |＝54，又|AB |＝8，∴|BC |＋|AC |＝10＞8，由椭圆的定义2a ＝10，a ＝5，c ＝4， ∴b 2＝a 2－c 2＝9，又C 与AB 不共线，∴顶点C 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)． 答案：x 225＋y 29＝1(y ≠0) 5．△ABC 的三边a ，b ，c 成等差数列，且a >b >c ，A ，C 的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，求顶点B 的轨迹方程．解析：由已知得b ＝2，又a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b ＝4，即|AB |＋|BC |＝4，∴点B 到定点A ，C 的距离之和为定值4，由椭圆定义知B 点的轨迹为椭圆的一部分，其中a ′＝2，c ′＝1.∴b ′2＝3.又a >b >c ，∴顶点B 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(－2<x <0)． 6．动圆C 与定圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝32内切，与定圆C 2：(x －3)2＋y 2＝8外切，A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，92. (1)求动圆C 的圆心C 的轨迹方程；(2)若轨迹C 上的两点P ，Q 满足AP →＝5AQ →，求|PQ |的值．解析：(1)如图，设动圆C 的半径为R ，则|CC 1|＝42－R ，①|CC 2|＝22＋R ，②①＋②得，|CC 1|＋|CC 2|＝62>6＝|C 1C 2|，由椭圆的定义知C 点的轨迹是以C 1，C 2为焦点，长轴长为62的椭圆，其轨迹方程为x 218＋y 29＝1. (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，y 1－92，AQ →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2，y 2－92. 由AP →＝5AQ →可得⎝⎛⎭⎪⎫x 1，y 1－92＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2－92， 所以x 1＝5x 2，y 1＝5y 2－92×5＋92＝5y 2－18， ③由P ，Q 是椭圆C 上的两点，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 2218＋y 229＝1， ④25x 2218＋y 2－29＝1， ⑤由④、⑤得y 2＝3，将y 2＝3代入③，得y 1＝－3， 将y 2＝3代入④，得x 2＝0，所以x 1＝0， 所以P (0，－3)，Q (0,3)，|PQ |＝6.。
备战2022年高考数学复习之解析几何知识讲解专练05 椭圆(原卷版)
专题05 椭圆一相关知识点1．椭圆的定义把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．(1)当2a>|F1F2|时，P点的集合是椭圆；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的集合是线段；(3)当2a<|F1F2|时，P点不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)x2b2＋y2a2＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 对称性对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca，e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b23．i．点P(x0，y0)和椭圆的位置关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b2＜1.(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1.(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔x20a2＋y20b2＞1.ii．焦点三角形椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中：(1)当r 1＝r 2时，即点P 的位置为短轴端点时，θ最大；(2)S ＝b 2ta n θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc .(3) S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ，当|y 0|＝b ，即P 为短轴端点时，S △PF 1F 2取最大值为bc .(4)焦半径公式：|PF 1|＝a ＋ex 0，|PF 2|＝a －ex 0. (5)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ. (6)a －c ≤|PF 1|≤a ＋c .(7)焦点三角形的周长为2(a ＋c )． (8)过点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b2＝1.(9)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边长，a 2＝b 2＋c 2. (10)已知过焦点F 1的弦AB ，则△ABF 2的周长为4a . 4．椭圆中点弦的斜率公式若M (x 0，y 0)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的弦AB (AB 不平行y 轴)的中点，则有k AB ·k OM ＝－b 2a 2，即k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.5．弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长 (1)|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝1＋1k2|y 1－y 2|＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率)． (2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长2b 2a，最长为 2a .题型一 椭圆的定义及其应用1．过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为2．已知动点P (x ，y )的坐标满足x 2＋(y ＋7)2＋x 2＋(y －7)2＝16，则动点P 的轨迹方程为________．3．如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆题型二 椭圆的标准方程类型一 利用椭圆定义求椭圆的标准方程1．已知动点M 到两个定点A (－2,0)，B (2,0)的距离之和为6，则动点M 的轨迹方程为2．在△ABC 中，A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长是18，则顶点C 的轨迹方程是A.x 225＋y 29＝1(y ≠0) B ．y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D ．y 216＋x 29＝1(y ≠0)3．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为4．与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为_______．5．已知A (－1,0)，B 是圆F ：x 2－2x ＋y 2－11＝0(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为7．已知A ⎝⎛⎭⎫－12，0，B 是圆⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为________．8．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且椭圆G 上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为9．已知点P 是圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝16上任意一点(F 1是圆心)，点F 2与点F 1关于原点对称．线段PF 2的垂直平分线m 分别与PF 1，PF 2交于M ，N 两点．求点M 的轨迹C 的方程．类型二 利用待定系数法求椭圆标准方程1．若直线x －2y ＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为________．2．已知椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点，则椭圆C 的标准方程为____________．3．已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为4．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，离心率为63，则此椭圆的方程为________．5．已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是6．已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F (－2，0)，且长轴长与短轴长的比是2∶3，则椭圆C 的方程是________________．7．过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．8．过点A (3，－2)且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程为9．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为10．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝⎛⎭⎫－32，52，(3，5)，则椭圆方程 为11．与椭圆x 24＋y 23＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)的椭圆方程为12．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为10，一个焦点的坐标是(－5，0)，则椭圆的标准方程为________．13．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为14．椭圆E 的焦点在x 轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E 的标准方程为15．已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5,3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点的椭圆的标准方程为________．16．已知中心在坐标原点的椭圆过点A (－3,0)，且离心率e ＝53，则椭圆的标准方程为________．17．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过P (－5,4)，则椭圆的方程为________．18．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为19．一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的标准方程为20．设F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，经过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若△F 2AB是面积为43的等边三角形，则椭圆C 的方程为__________．21．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．22．如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－5,0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝6，则椭圆C 的方程为23．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B ．(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程．题型三 椭圆的几何性质类型一 识别椭圆相关性质概念1．椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标为2．已知椭圆的标准方程为x 2＋y 210＝1，则椭圆的焦点坐标为 3．椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于4．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________．5．曲线C 1：x 225＋y 29＝1与曲线C 2：x 225－k ＋y 29－k＝1(k <9)的( )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等6．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为____________．7．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为8．椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|等于9．椭圆mx 2＋ny 2＋mn ＝0(m ＜n ＜0)的焦点坐标是10．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．类型二 求离心率的值(或范围)1．椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是2．若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为________．4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和直线l ：x 4＋y3＝1，若过C 的左焦点和下顶点的直线与直线l 平行，则椭圆C 的离心率为5．若椭圆x 24＋y 2m ＝1上一点到两焦点的距离之和为m －3，则此椭圆的离心率为6．焦点在x 轴上的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为b3，则椭圆的离心率为7．若一个椭圆长轴的长、短轴的长和焦距成等比数列，则该椭圆的离心率是8．如图，F 1，F 2是双曲线C 1：x 2－y 28＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限内的交点，若|F 1F 2|＝|F 1A |，则C 2的离心率是A.23B.45C.35D.259．已知F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，A 为右顶点，P 是椭圆上的一点，PF ⊥x 轴，若|PF |＝34|AF |，则该椭圆的离心率是________．10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y轴于点P .若AP ―→＝2PB ―→，则椭圆的离心率是11．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为12．已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为13．P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，A 为左顶点，F 为右焦点，PF ⊥x 轴，若tan ∠P AF ＝12，则椭圆的离心率e 为14．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为15.如图，底面直径为12 cm 的圆柱被与底面成30°角的平面所截，截口是一个椭圆，则这个椭圆的离心率为16．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为17．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率等于13，其焦点分别为A ，B ，C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC 中，sin A ＋sin B sin C＝________.18．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为M ，上顶点为N ，右焦点为F ，若NM ―→·NF ―→＝0，则椭圆的离心率为19．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右顶点和上顶点分别为A ，B ，左焦点为F .以原点O 为圆心的圆与直线BF 相切，且该圆与y 轴的正半轴交于点C ，过点C 的直线交椭圆于M ，N 两点．若四边形F AMN 是平行四边形，则该椭圆的离心率为20．已知F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，现以F 2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M ，N ，若过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为21．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为22．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，AF →＝2FB →.则椭圆C 的离心率是________．23．已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上一点， 且PF 1―→·(OF 1―→＋OP ―→)＝0(O 为坐标原点)，若|PF 1―→|＝2|PF 2―→|，则椭圆的离心率为24．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 为椭圆上一点， |OP |＝24a ，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等比数列，则椭圆的离心率为25．椭圆C 的两个焦点分别是F 1，F 2，若C 上的点P 满足|PF 1|＝32|F 1F 2|，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是26．在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中，F 1，F 2分别是其左、右焦点，若|PF 1|＝2|PF 2|，则该椭圆离心率的取值范围是27．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F 2，若13<k <12，则椭圆的离心率的取值范围是__________.28.如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1P A 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为______．29．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF →1·MF →2＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．30．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则该椭圆的离心率的取值范围是31．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点E (0，t )(0＜t ＜b )．已知动点P 在椭圆上，且点P ，E ，F 2不共线，若△PEF 2的周长的最小值为4b ，则椭圆C 的离心率为32．已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2＝2π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则3e 21＋1e 22＝33．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是34．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >c >0，a 2＝b 2＋c 2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若以F 2为圆心，b －c 为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于32(a－c)，则椭圆的离心率e的取值范围是____．35．已知F1，F2分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B 上下两点，若△ABF2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e的取值范围是36．如图，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.(1)若|PF1|＝2＋2，|PF2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e.37．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点P使1－cos 2∠PF1F21－cos 2∠PF2F1＝a2c2，求该椭圆的离心率的取值范围．38．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，M为椭圆上任意一点．过F ，B ，A 三点的圆的圆心坐标为(p ，q )．(1)当p ＋q ≤0时，求椭圆的离心率的取值范围；(2)若点D (b ＋1,0)，在(1)的条件下，当椭圆的离心率最小时，(MF →＋OD →)·MO →的最小值为72，求椭圆的方程．类型三 求参数的值(或范围)1．若焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为12，则m 的值为________．2．若方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆，则m 的取值范围是3．已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是4．方程kx 2＋4y 2＝4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是5．若x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是________．6．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________．7．“2<m <6”是“方程x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件8．已知椭圆mx 2＋4y 2＝1的离心率为22，则实数m 等于9．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ＝23，则实数k 的值是________．10．“m ＞n ＞0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 11．已知椭圆x 24＋y 2b2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点， 若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是12．设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是13．椭圆x 24＋y 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一动点，若∠F 1PF 2为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是________________．14．已知动点M 到定点F 1(－2,0)和F 2(2,0)的距离之和为4 2.(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)设N (0,2)，过点P (－1，－2)作直线l ，交C 于不同于N 的两点A ，B ，直线NA ，NB 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值．类型四 焦点三角形1．椭圆C ：x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆C 于A ，B 两点，则△F 1AB 的周长为________．2．过椭圆x 24＋y 2＝1的左焦点F 1作直线l 交椭圆于A ，B 两点，F 2是椭圆右焦点，则△ABF 2的周长为3．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是________．4．已知点F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，若点P 在椭圆C 上，且∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝5．F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为6．如图，椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a ＞2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是椭圆上的一点，若∠F 1PF 2＝60°，那么△PF 1F 2的面积为7．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.8．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为9．已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为10．已知F 1，F 2是长轴长为4的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 是椭圆上一点， 则△PF 1F 2面积的最大值为________．11．P 为椭圆x 225＋y 29＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆的左焦点和右焦点，过P 点作PH ⊥F 1F 2于点H ，若PF 1⊥PF 2，则|PH |＝12．设F 1，F 2分别为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，且|PF 1→＋PF 2→|＝23，则∠F 1PF 2等于13．设P 为椭圆C ：x 249＋y 224＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，且△PF 1F 2的重心为 点G ，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，那么△GPF 1的面积为14．设椭圆x 29＋y 25＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过焦点F 1的直线交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若△ABF 2的内切圆的面积为π，则|y 1－y 2|＝15．设椭圆x 216＋y 212＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，且满足PF 1→·PF 2→＝9，则|PF 1|·|PF 2|的值为16．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是17．椭圆x 29＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2的大小为18．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F 1，F 2的坐标分别为(3,0)和(－3,0)．(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为短轴的一个端点，求△F 1PF 2的面积．19．已知F 1，F 2分别为椭圆x 22＋y 2＝1的左、右焦点，过F 1的直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，连接AF 2和BF 2.(1)求△ABF 2的周长；(2)若AF 2⊥BF 2，求△ABF 2的面积．类型五 与椭圆的几何性质有关的最值问题1．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为2．已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1,1)是一定点，则|P A |＋|PF |的最大值为 ，最小值为 .3．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为________．4．在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆y 24＋x 23＝1上的一个动点，点A (1,1)，B (0，－1)， 则|P A |＋|PB |的最大值为5．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)， 则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．6．设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点， 则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为________．7．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为8．已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是9．如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·P A →的最大值为________．。
椭圆的常见题型及解法二
椭圆的常见题型及解法（二）一对称问题平面解析几何常遇到含参数的对称问题，常困扰学生思维.其实平面解析几何所有的对称只有以下四类,分别为“点关于点对称”；“点关于直线对称”；“曲线关于点对称”；“曲线关于直线对称”.①点A 关于B 的对称点为C ，点B 为A 、C 的中点，由中点坐标公式有：⎩⎨⎧-=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=11112222y b y x a x y y b x x a ； ②设点A(x 1,y 1)关于直线 ：ax+by+c=0的对称点为C(x,y),由AC 直线与 垂直，且AB的中点在 上，有：()();222202212211222211221111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+---=+---=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯--b a bc abx y b a y b a acaby x a b x c y y b x x a b a x x y y(当直线 中a=0或b=0时，上面结论也正确)③曲线F(x,y)=0关于点B(a,b)对称的曲线，在曲线F(x,y)=0上任取一点A(x 1,y 1)，它关于点B(a,b)的对称点为C(x,y).其实点A 为主动点,点C 为从动点,由中点坐标公式有:⎩⎨⎧-=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y b y xa x y yb x x a 22221111,代入到主动点的方程中,得对称曲线方程:0)2,2(=--y b x a F .④曲线F(x,y)=0关于点ax+by+c=0对称的曲线, 在曲线F(x,y)=0上任取一点A(x 1,y 1)，它关于直线ax+by+c=0的对称点为C(x,y),则有:()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+---=+---=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯--2222122221111122220221b a bcabx y b a y b a acaby x a b x c y y b x x a b a x x y y ,代入到主动点的方程中,得对称曲线方程:()()0)22,22(22222222=+---+---b a bcabx y b a b a ac aby x a bF .圆锥曲线上存在两点关于某直线对称，求某参变量的取值范围.这一类问题求解时,必须同时确保: ⑴垂直;⑵平分⑶存在,下面就实例说明三个确保的实施.例1.已知椭圆C: 191622=+y x ,试确定m 的取值范围,使得对于直线 :m x y +=4在椭圆C 上存在不同的两点关于直线 对称.解:椭圆上存在两点A,B 关于直线 m x y +=4对称, 设直线AB 为:n x y +-=41(确保垂直). 设直线AB 与椭圆有两个不同的交点()()2211,,,y x B y x A .0728451916412222=-+-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=n nx x y x n x y ()()072854422>-⨯⨯--=∆n n (确保存在)即：()10,10102-∈⇒<n n ()1545421nn x x =--=+ AB 两点的中点的横坐标为,52221n x x =+纵坐标为n n n 1095241=+⨯- 则点⎪⎭⎫⎝⎛n n 109,52在直线 m x y +=4上,m n n +⨯=524109. (确保平分).107n m -=⇒ 把上式代入(1)中,得：.1010710107<<-m 变式训练（2010年安徽理19）：已知椭圆E 经过点A （2，3），对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率.21=e （I ）求椭圆E 的方程；（II ）求21AF F ∠的角平分线所在直线l 的方程；（III ）在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由.本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式，点关于直线的对称等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合运算能力、探究意识与创新意识.解：（I ）设椭圆E 的方程为22221x y a b+=2222222211,,2,3,221.43c e a c b a c e a x yc e ====-=∴+=由即得椭圆方程具有形式 将A （2，3）代入上式，得22131,2,c c c+==解得 ∴椭圆E 的方程为22 1.1612x y += （II ）解法1：由（I ）知12(2,0),(2,0)F F -，所以直线AF 1的方程为：3(2),3460,4y x x y =+-+=即 直线AF 2的方程为： 2.x =由点A 在椭圆E 上的位置知，直线l 的斜率为正数. 设(,)P x y l 为上任一点，则|346||2|.5x y x -+=- 若346510,280x y x x y -+=-+-=得（因其斜率为负，舍去）. 所以直线l 的方程为：210.x y --= 解法2：121212121(2,3),(2,0),(2,0),(4,3),(0,3).114(4,3)(0,3)(1,2).535||||2,:32(1),210.A F F AF AF AF AF AF AF k l y x x y -∴=--=-∴+=--+-=-∴=∴-=---=即（III ）解法1：假设存在这样的两个不同的点1122(,)(,),B x y C x y 和2121121200001,.2(,),,,22BC y y BC l k x x x x y y BC M x y x y -⊥∴==-++==设的中点为则由于M 在l 上，故00210.x y -+= ①又B ，C 在椭圆上，所以有222211221 1.16121612x y x y +=+=与 两式相减，得222221210,1612x x y y --+=即12211221()()()()0.1612x x x x y y y y +-+-+=将该式写为122112211108262x x y y y y x x +-+⋅+⋅⋅=-，并将直线BC 的斜率BC k 和线段BC 的中点，表示代入该表达式中， 得0000110,320.812x y x y -=-=即 ② ①×2—②得202,3x y ==，即BC 的中点为点A ，而这是不可能的. ∴不存在满足题设条件的点B 和C. 解法2：假设存在1122(,),(,)B x y C x y l 两点关于直线对称， 则1,.2BC l BC k ⊥∴=-221,1,21612x y BC y x m =-++=设直线的方程为将其代入椭圆方程得一元二次方程2222134()48,120,2x x m x mx m +-+=-+-=即 则12x x 与是该方程的两个根， 由韦达定理得12,x x m +=于是121213()2,22m y y x x m +=-++= ∴B ，C 的中点坐标为3(,).24m m又线段BC 的中点在直线321,1, 4.4my x m m =-∴=-=上得即B ，C 的中点坐标为（2，3），与点A 重合，矛盾. ∴不存在满足题设条件的相异两点.二 中点弦问题例1、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等一轮复习专题练习(二)含答案新人教版高中数学名师一点通
高中数学专题复习
《解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等》
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第I 卷（选择题）
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得分 一、选择题
1．以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为（ ）
A ．22x +y +2x=0
B ．22x +y +x=0
C ．22x +y -x=0
D ．22x +y -2x=0(汇编福建理） 第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人
得分 二、填空题
2．椭圆21)0,0(12222
=>>=+e b a b y a x 的离心率，右焦点F （c,0），方程
02=-+c bx ax 的两个根分别为x 1,x 2，则点P （x 1,x 2）在与圆222=+y x 的位置。
2021年高中数学 2.2 椭圆及其标准方程(二)同步练习 理(普通班)新人教A版选修2-1
2021年高中数学 2.2 椭圆及其标准方程（二）同步练习 理（普通班）新人教A 版选修2-1一、选择题1．将椭圆C 1∶2x 2＋y 2＝4上的每一点的纵坐标变为原来的一半，而横坐标不变，得一新椭圆C 2，则C 2与C 1有( ) A ．相等的短轴长 B ．相等的焦距 C ．相等的离心率D ．相等的长轴长2．若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为F 1，则满足△ABF 1为等边三角形的椭圆的离心率是( )A.14B.12C.22D.32 3．椭圆C 1：x 225＋y 29＝1和椭圆C 2：x 29－k ＋y 225－k＝1 (0<k <9)有( )A ．等长的长轴B ．相等的焦距C ．相等的离心率D ．等长的短轴4．椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆离心率为( )A.22 B.32 C.53 D.635．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为13，长轴长为12，则椭圆方程为( )A.x 24＋y 26＝1B.x 26＋y 24＝1 C.x 236＋y 232＝1或x 232＋y 236＝1 D.x 236＋y 232＝1 6．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2b 2＝k (k >0)具有( )A ．相同的长轴B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的离心率二、填空题7．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________．8．经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点且垂直于椭圆长轴的弦长为________．三、解答题9．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.求椭圆的方程．2.2.2 一、选择题 1．[答案] C[解析] 把C 1的方程化为标准方程，即C 1：2x2＋4y2＝1，从而得C 2：2x2＋y 2＝1.因此C 1的长轴在y 轴上，C 2的长轴在x 轴上．e 1＝22＝e 2，故离心率相等，选C. 2．[答案] D[解析] △ABF 1为等边三角形， ∴2b ＝a ，∴c 2＝a 2－b 2＝3b 2∴e ＝a c ＝a2c2＝4b23b2＝23.3．[答案] B[解析] 依题意知椭圆C 2的焦点在y 轴上，对于椭圆C 1：焦距＝2＝8，对于椭圆C 2：焦距＝2＝8，故答案为B. 4．[答案] A[解析] 由题意知b ＝c ，∴a ＝c ，∴e ＝a c ＝22.5．[答案] C[解析] ∵长轴长2a ＝12，∴a ＝6，又e ＝31∴c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝32，∵焦点不定，∴方程为36x2＋32y2＝1或32x2＋36y2＝1.6．[答案] D[解析] 椭圆a2x2＋b2y2＝1和a2x2＋b2y2＝k (k >0)中，不妨设a >b ，椭圆a2x2＋b2y2＝1的离心率e 1＝a a2－b2，椭圆a2k x2＋b2k y2＝1(k >0)的离心率e 2＝a a2－b2＝a a2－b2.二、填空题7． [答案] 36x2＋9y2＝1[解析] 设椭圆G 的标准方程为a2x2＋b2y2＝1 (a >b >0)，半焦距为c ，则3，∴3a ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9，∴椭圆G 的方程为36x2＋9y2＝1.8． [答案] a 2b2[解析] ∵垂直于椭圆长轴的弦所在直线为x ＝±c ，由＝1y2，得y 2＝a2b4，∴|y |＝a b2，故弦长为a 2b2. 三、解答题9． [解析] 椭圆方程可化为m x2＋m ＋3m＝1， ∵m －m ＋3m＝m ＋3m ＋2>0，∴m >m ＋3m.即a 2＝m ，b 2＝m ＋3m ，c ＝＝m ＋3m ＋2.由e ＝23得，m ＋3m ＋2＝23，∴m ＝1. ∴椭圆的标准方程为x 2＋41＝1，∴a ＝1，b ＝21，c ＝23.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F 1(－23，0)，F 2(23，0)；四个顶点分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1(0，－21)，B 2(0，21)．10．[解析] 由e ＝a c ＝23，得3a 2＝4c 2，再由c 2＝a 2－b 2，得a ＝2b .由题意可知21×2a ×2b ＝4，即ab ＝2. 解方程组ab ＝2，a ＝2b ，得a ＝2，b ＝1，所以椭圆的方程为4x2＋y 2＝1.21914 559A 喚 21021 521D 初21299 5333 匳26741 6875 桵35225 8999 覙39074 98A2 颢H B38628 96E4 雤36395 8E2B踫31653 7BA5 箥22276 5704 圄。
解析几何同步练习(椭圆及其标准方程2A)
解析几何同步练习（椭圆及其标准方程2A ）知识要点： ①定义： ()||22||||2121F F a a PF PF >=+；② 标准方程：()012222>>=+b a b y a x ；()012222>>=+b a bx a y 。
一、选择题1、已知椭圆的焦点是21,F F ，P 是椭圆上一个动点，如果延长P F 1到Q ，使得2PF PQ =，那么动点Q 的轨迹是[ ]A 圆B 椭圆C 直线D 线段2. △ABC 的两个顶点坐标A （-4，0），B （4，0），△ABC 的周长是18，则顶点C 的轨迹方程是 A. 192522=+y x B.192522=+x y （y ≠0） C.)0(191622≠=+y y x D.192522=+y x （y ≠0） 3.已知△ABC 的三边AB ，BC ，AC 的长依次成等差数列，且|AB|>|AC|，B （-1，0）C（1，0）则顶A 的轨迹方程为[ ] A. 13422=+y x B.13422=+y x （x>0） C.13422=+y x (x<0) D.13422=+y x (x>0y ≠0) 4.椭圆的方程为19222=+y ax ，它的两个焦点分别为F 1、F 2，若| F 1F 2|=8，弦AB 过F 1 则△ABF 2的周长为[ ] A.10 B.20 C.241 D.441二、填空题5.过点F 1（0，2）且与圆F 2：x 2+（y+2）2=36内切的动圆圆心的轨迹方程为 . 6．P 点在椭圆1204522=+y x 上，F 1、F 2是两个焦点，若21PF PF ⊥，则P 点的坐标是 7．P 是椭圆16410022=+y x 上的一点，F 1和F 2是焦点，若 6021=∠PF F ， 则21F PF ∆的面积为 。
8. 如图，F 1，F 2分别为椭圆12222=+by a x的左、右焦点， 点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b2 的值是三、解答题9.一动圆与圆x 2+y 2+6x+5=0外切，同时与圆x 2+y2-6x-91=0内切，求动圆圆心的轨迹.10.如图，线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴上，y 轴上滑动，|AB|=5点M 是AB 上一点，且|AM|=2，点M 随线段AB 的运动而变化，求点M 的轨迹方程.参考答案一、选择题： ADDB二、填空题：1、15922=+x y ； 2、()4,3±±； 3、3364； 4、32。
人教A版高中数学选修一解析几何同步练习(椭圆及其标准方程1A).docx
解析几何同步练习（椭圆及其标准方程1A ）知识要点： ①定义：()||22||||2121F F a a PF PF >=+；②标准方程：()012222>>=+b a b y a x ；()012222>>=+b a bx a y 。
一、选择题1、若点P 到两定点F 1（-4，0），F 2（4，0）的距离和是8，则动点P 的轨迹为 [ ]A.椭圆B.线段F 1F 2C.直线F 1F 2D.不能确定2.下列说法正确的个数是 [ ] ①平面内与两个定点F 1、F 2的距离和等于常数的点的轨迹是椭圆②与两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数（大于| F 1F 2|）的点的轨迹是椭圆③方程122222=-+c a y c x （a>c>0）表示焦点在x 轴上的椭圆④方程12222=+bx a y （a>0,b>0)表示焦点在y 轴上的椭圆A ．1B.2C.3D.43.椭圆1422=+y m x 的焦距为2，则m 的值等于 [ ]A.5或3B.8C.5D.164.过点（3，-2）且与14922=+y x 有相同焦点的椭圆是 [ ]A.1101522=+y x B. 110022522=+y x C. 1151022=+y x D.122510022=+y x5．已知方程122=+my x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 [ ] A ．m<1 B ．-1<m<1 C ．m>1 D ．0<m<16.椭圆ax 2+by 2+ab=0（a<b<0）的焦点坐标是 [ ]A.（)0,b a -±B.（0，b a -±）C.（a b -±，0）D.（0，a b -±）二、填空题7.如果椭圆13610022=+y x 上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点 F 2的距离是 ；8过椭圆C ：12222=+by a x 的焦点引垂直于x 轴的弦，则弦长为三、解答题：9．求经过点A(0,2)和B(3,21)的椭圆的标准方程10.椭圆的两个焦点F 1、F 2在x 轴上，以| F 1F 2|为直径的圆与椭圆的一个交点为（3，4），求椭圆标准方程.11．已知点Ｐ在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点Ｐ到两个焦点的距离分别为352,354，过Ｐ作焦点所在轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程参考答案一、选择题： BAAA DD二、填空题：1、14；2、ab 22。
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高中数学学习材料唐玲出品解析几何同步练习（椭圆及其标准方程1A ）知识要点： ①定义：()||22||||2121F F a a PF PF >=+；②标准方程：()012222>>=+b a b y a x ；()012222>>=+b a bx a y 。
一、选择题1、若点P 到两定点F 1（-4，0），F 2（4，0）的距离和是8，则动点P 的轨迹为 [ ]A.椭圆B.线段F 1F 2C.直线F 1F 2D.不能确定2.下列说法正确的个数是 [ ] ①平面内与两个定点F 1、F 2的距离和等于常数的点的轨迹是椭圆②与两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数（大于| F 1F 2|）的点的轨迹是椭圆③方程122222=-+c a y c x （a>c>0）表示焦点在x 轴上的椭圆④方程12222=+bx a y （a>0,b>0)表示焦点在y 轴上的椭圆A ．1B.2C.3D.43.椭圆1422=+y m x 的焦距为2，则m 的值等于 [ ]A.5或3B.8C.5D.164.过点（3，-2）且与14922=+y x 有相同焦点的椭圆是 [ ]A.1101522=+y x B. 110022522=+y x C. 1151022=+y x D.122510022=+y x5．已知方程122=+my x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 [ ] A ．m<1 B ．-1<m<1 C ．m>1 D ．0<m<16.椭圆ax 2+by 2+ab=0（a<b<0）的焦点坐标是 [ ]A.（)0,b a -±B.（0，b a -±）C.（a b -±，0）D.（0，a b -±）二、填空题7.如果椭圆13610022=+y x 上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点 F 2的距离是 ；8过椭圆C ：12222=+by a x 的焦点引垂直于x 轴的弦，则弦长为三、解答题：9．求经过点A(0,2)和B(3,21)的椭圆的标准方程10.椭圆的两个焦点F 1、F 2在x 轴上，以| F 1F 2|为直径的圆与椭圆的一个交点为（3，4），求椭圆标准方程.11．已知点Ｐ在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点Ｐ到两个焦点的距离分别为352,354，过Ｐ作焦点所在轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程参考答案一、选择题： BAAA DD二、填空题：1、14；2、ab 22。
椭圆及其标准方程
故由椭圆的标准方程可知P点的轨迹方程是：
x2 25（y＝0）
小结
教学重点
求椭圆的标准方程
教学难点
待定系数法的应用
课后作业
（一）课本第95页：第二题，第三题（2）（3）
（二）预习椭圆的几何性质
谢谢大家
椭圆及其标准方程（2）
曾都一中 宋旭
教学重点
求椭圆的标准方程
教学难点
待定系数法的应用
在一次校园足球赛中有一位足球爱好者 兼数学教师的我在绕足球场最近的一条路 道上跑步，目的是一边看足球赛一边锻炼身 体．但我发现了一个很奇怪的现象－我距离 两个队的守门员的距离之和总是不变的（两 个守门员都站在固定的位置，且他们两个人 相距80m），在好奇心的驱使下，我专门去 测量了一下这个距离，刚好是100m。
80m
问题： 设两守门圆所在的位置分别为A,B；足球爱好者为P； 已知|AB|＝80；|PA|+|PB|=100 . 求P点的轨迹方程？
分析：在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹，要建立适
当的坐标系。为选择适当的坐标系，常常需画出草图。
y P 解：如图建立坐标系，使x轴经过点A,B;原点 O与AB的中点重合。由已知|PA|+|PB|=100 可知P点的轨迹是椭圆，且2c=80；2a=100 ∴c=40；a=50，b =a -c =900 A 0 B x 故由椭圆的标准方程可知P点的轨迹方程是： x2 y2 + 2500 900
练习
已知B，C是两个定点，|BC|＝6，且⊿ABC 的周长等于16，求顶点A的轨迹方程？
y A 解：如图建立坐标系，使x轴经过点B,C;原点 O与BC的中点重合。由已知|AB|+|AC|=100 可知P点的轨迹是椭圆， 且2c=6；2a=16－6＝10 B 0 C x ∴c=3；a=5，b =a -c =16。
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解析几何同步练习（椭圆及其标准方程2A ）
知识要点： ①定义： ()||22||||2121F F a a PF PF >=+；
② 标准方程：()012222>>=+b a b y a x ；()0122
22>>=+b a b
x a y 。
一、选择题
1、已知椭圆的焦点是21,F F ，P 是椭圆上一个动点，如果延长P F 1到Q ，使得2PF PQ =，那么动点Q 的轨迹是 [ ]
A 圆
B 椭圆
C 直线
D 线段
2. △ABC 的两个顶点坐标A （-4，0），B （4，0），△ABC 的周长是18，则顶点C 的轨迹方程是 A. 192522=+y x B.1925
2
2=+x y （y ≠0） C.)0(191622≠=+y y x D.1925
2
2=+y x （y ≠0） 3.已知△ABC 的三边AB ，BC ，AC 的长依次成等差数列，且|AB|>|AC|，B （-1，0）C （1，0）则顶A 的轨迹方程为 [ ] A. 13422=+y x B.13422=+y x （x>0）C.13422=+y x (x<0) D.134
2
2=+y x (x>0y ≠0) 4.椭圆的方程为19222
=+y a
x ，它的两个焦点分别为F 1、F 2，若| F 1F 2|=8，弦AB 过F 1 则△ABF 2的周长为 [ ] A.10 B.20 C.241 D.441
二、填空题
5.过点F 1（0，2）且与圆F 2：x 2+（y+2）2=36内切的动圆圆心的轨迹方程
为 .
6．P 点在椭圆120
452
2=+y x 上，F 1、F 2是两个焦点，若21PF PF ⊥，则P 点的坐标是 7．P 是椭圆164
10022
=+y x 上的一点，F 1和F 2是焦点，若 6021=∠PF F ， 则21F PF ∆的面积为 。
8. 如图，F 1，F 2分别为椭圆12222=+b
y a x 的左、右焦点， 点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b
2 的值是
三、解答题
9.一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2-6x-91=0内切，求动圆圆心的轨迹.
10.如图，线段AB的两个端点A，B分别在x轴上，y轴上滑动，|AB|=5点M是AB上一点，且|AM|=2，点M随线段AB的运动而变化，求点M的轨迹方程.
参考答案
一、选择题： ADDB
二、填空题：
1、15
92
2=+x y ； 2、()4,3±±； 3、3364； 4、32。
三、解答题：
1、127362
2=+y x ；
2、14922=+y x 。