初一数学培优练习(六)
初一下数学期末培优含详细解析
2020年06月20日初一下期末培优一．选择题（共6小题）1．已知关于x，y的方程组以下结论：①当k＝0，方程组的解也是方程x﹣2y＝﹣4的解；②存在实数k，使得x+y＝0；③当y﹣x＞﹣1时，k＞1；④不论k取什么实数，x+3y的值始终不变，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④2．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为3mm的小正方形，则每个小长方形的面积为（）A．120mm2B．135mm2C．108mm2D．96mm23．如图，已知直线a∥b，点A，B分别在直线a，b上，连结AB．点D是直线a，b之间的一个动点，作CD∥AB交直线b于点C，连结AD．若∠ABC＝70°，则下列选项中∠D不可能取到的度数为（）A．60°B．80°C．150°D．170°4．郑奶奶提着篮子去农贸市场买鸡蛋，摊主按郑奶奶的要求，用电子秤称了5千克鸡蛋，郑奶奶怀疑重量不对，把鸡蛋放入自带的质量为0.6千克的篮子中（篮子质量准确），要求放在电子秤上再称一遍，称得为5.75千克，老板客气地说：“除去篮子后为5.15千克，老顾客啦，多0.15千克就算了”，郑奶奶高兴地付了钱，满意地回家了．以下说法正确的A．郑奶奶赚了，鸡蛋的实际质量为5.15千克B．郑奶奶亏了，鸡蛋的实际质量为4千克C．郑奶奶亏了，鸡蛋的实际质量为4.85千克D．郑奶奶不亏也不赚，鸡蛋的实际质量为5千克5．如图1，当光线在空气进入水中时，会发生折射，满足入射角∠1与折射角∠2的度数比为4：3﹒如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气进入水中，两条入射光线与水面夹角分别为α，β，在水中两条折射光线的夹角为γ，则α，β，γ三者之间的数量关系为（）A．B．C．α+β＝γD．α+β+γ＝180°6．如图，宽为60cm的矩形图案由10个完全一样的小长方形拼成，则其中一个小长方形的周长为（）A．60cm B．120cm C．312cm D．576cm二．填空题（共7小题）7．已知实数a，b，定义运算：a※b＝，若a※（a﹣3）＝1，则a8．若实数a，b满足a2+5b2+4ab+6b+9＝0，则a+5b的值为．9．下列有四个结论：①若（1﹣x）x+1＝1，则x＝0；②若a2+b2＝3，a﹣b＝1，则（2﹣a）（2﹣b）的值为5﹣2；③若（x+1）（x2﹣ax+1）的运算结果中不含x项，则a＝1；④若4x＝a，8y＝b，则24x﹣3y可表示为其中正确的是（填序号）是：．10．一个自然数若能表示为相邻两个自然数的平方差，则这个自然数为“智慧数”，比如：22﹣12＝3，3就是智慧数，从0开始，不大于2019的智慧数共有个．11．如图，一副三角板的三个内角分别是90°，45°，45°和90°，60°，30°，按如图所示叠放在一起（点A，D，B在同一直线上），若固定△ABC，将△BDE绕着公共顶点B顺时针旋转α度（0＜α＜180），当边DE与△ABC的某一边平行时，相应的旋转角α的值为．12．如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝13．E，F，G，H分别是线段AB，BC，CD，AD上的定点，现分别以BE，BF为边作长方形BEQF，以DG为边作正方形DGIH．若长方形BEQF与正方形DGIH的重合部分恰好是一个正方形，且BE＝DG，Q，I均在长方形ABCD内部．记图中的阴影部分面积分别为S1，S2，S3，若，则S3＝．13．极坐标系也可用来确定点的位置﹒如图，过平面内一点O，作一条射线OX，点M的极坐标就可以用线段OM的长度以及OX转动到OM的角度θ（规定取逆时针方向为角的正方向，0°≤θ≤360°）来确定﹒已知OM＝3，θ＝45°，点M的极坐标表示为（3，45°），平面内现有一点N，满足∠MON＝90°，ON＝OM，则点N的极坐标可以表示为．三．解答题（共9小题）14．阅读下列材料：已知实数x，y满足（x2+y2+1）（x2+y2﹣1）＝63，试求x2+y2的值．解：设x2+y2＝a，则原方程变为（a+1）（a﹣1）＝63，整理得a2﹣1＝63，a2＝64，根据平方根意义可得a＝±8，由于x2+y2≥0，所以可以求得x2+y2＝8．这种方法称为“换元法”，用一个字母去代替比较复杂的单项式、多项式，可以达到化繁为简的目的．根据阅读材料内容，解决下列问题：（1）已知实数x，y满足（2x+2y+3）（2x+2y﹣3）＝27，求x+y的值．（2）填空：①分解因式：（x2+4x+3）（x2+4x+5）+1＝．②已知关于x，y的方程组的解是，关于x，y的方程组的解是．15．学期即将结束，为了表彰优秀，班主任王老师用W元钱购买奖品．若以2支钢笔和3本笔记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以2支钢笔和6本笔记本为一份奖品，则可以买40份奖品．设钢笔单价为x元/支，笔记本单价为y元/本．（1）请用y的代数式表示x．（2）若用这W元钱全部购买笔记本，总共可以买几本？（3）若王老师用这W元钱恰好能买30份同样的奖品，可以选择a支钢笔和b本笔记本作为一份奖品（两种奖品都要有）．请求出所有可能的a，b值．16．如图所示，图甲由长方形①，长方形②组成，图甲通过移动长方形②得到图乙．（1）S甲＝，S乙＝（用含a、b的代数式分别表示）；（2）利用（1）的结果，说明a2、b2、（a+b）（a﹣b）的等量关系；（3）现有一块如图丙尺寸的长方形纸片，请通过对它分割，再对分割的各部分移动，组成新的图形，画出图形，利用图形说明（a+b）2、（a﹣b）2、ab三者的等量关系．17．实验室里，水平桌面上有甲、乙两个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2，用一个管子在甲、乙两个容器的15厘米高度处连通（即管子底端离容器底15厘米）．已知只有乙容器中有水，水位高2厘米，如图所示．现同时向甲、乙两个容器注水，平均每分钟注入乙容器的水量是注入甲容器水量的k倍．开始注水1分钟，甲容器的水位上升a厘米，且比乙容器的水位低1厘米．其中a，k均为正整数，当甲、乙两个容器的水位都到达连通管子的位置时，停止注水．甲容器的水位有2次比乙容器的水位高1厘米，设注水时间为t分钟．（1）求k的值（用含a的代数式表示）．（2）当甲容器的水位第一次比乙容器的水位高1厘米时，求t的值．（3）当甲容器的水位第二次比乙容器的水位高1厘米时，求a，k，t的值．18．【知识拓展】（1）你能对a3+b3因式分解吗？（2）求最大正整数n，使得n3+2017，能被n+13整除．19．5月12日是全国防震减灾日，各校都组织紧急疏散演习．某校有一栋教学楼共有30个班级，每班40名学生；南面和北面各有两个大小相同的楼道，安全检查中，对4道门进行了测试：当同时往两个南面楼道和一个北面楼道疏散时，每分钟最快可以疏散320名学生；当同时往一个南面楼道和两个北面楼道疏散时，每分钟最快可以疏散280名学生．（1）求平均每分钟每一个南面楼道和北面楼道各可以疏散多少名学生？（2）根据该校测试情况，疏散时最快几分钟可以疏散完毕？（3）请直接写出按问题（2）的要求疏散，每一个南面楼道安排疏散班级个；每一个北面楼道安排疏散班级个．20．如图，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE 平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE，BE交于点E，∠CBN＝120°．（1）若∠ADQ＝110°，求∠BED的度数；（2）将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若∠ADQ ＝n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）21．如图1，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE 平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE、BE交于点E，∠CBN＝100°．（1）若∠ADQ＝130°，求∠BED的度数；（2）将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若∠ADQ ＝n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）．22．共享单车作为一种低碳、时尚、绿色的出行方式，它俨然成为市民出行的“新宠”．某公司准备安装完成5700辆共享单车投入市场运营的计划．由于抽调不出足够的熟练工人完成安装，公司准备招聘一批新工人，将他们培训到能独立进行安装后上岗．生产开始后发现：1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天安装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多．（1）求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车？（2）若公司招聘m名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工人刚好一个月（30天）完成安装任务，已知工人们安装的共享单车中不能正常投入运营的占5%，且招聘的新工人数比抽调的熟练工人数少，求m的值．2020年06月20日初一下期末培优参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．已知关于x，y的方程组以下结论：①当k＝0，方程组的解也是方程x﹣2y＝﹣4的解；②存在实数k，使得x+y＝0；③当y﹣x＞﹣1时，k＞1；④不论k取什么实数，x+3y的值始终不变，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【解答】解：①把k＝0代入方程组得：，解得：，代入方程得：左边＝﹣2﹣2＝﹣4，右边＝﹣4，左边＝右边，此选项正确；②由x+y＝0，得到y＝﹣x，代入方程组得：，即k＝3k﹣1，解得：k＝，则存在实数，使x+y＝0，本选项正确；③，①×2﹣②得：y＝1﹣k，把y＝1﹣k代入①得：x＝3k﹣2，y﹣x＝1﹣k﹣3k+2＝3﹣4k，代入不等式得：3﹣4k＞﹣1，解得：k＜1，此选项错误；④x+3y＝3k﹣2+3﹣3k＝1，本选项正确，故选：B．2．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为3mm的小正方形，则每个小长方形的面积为（）A．120mm2B．135mm2C．108mm2D．96mm2【解答】解：设每个长方形的长为xmm，宽为ymm，由题意，得，解得：．9×15＝135（mm2）．故选：B．3．如图，已知直线a∥b，点A，B分别在直线a，b上，连结AB．点D是直线a，b之间的一个动点，作CD∥AB交直线b于点C，连结AD．若∠ABC＝70°，则下列选项中∠D不可能取到的度数为（）A．60°B．80°C．150°D．170°【解答】解：延长CD交直线a于E．∵a∥b，∴∠AED＝∠DCF，∵AB∥CD，∴∠DCF＝∠ABC＝70°，∴∠AED＝70°∵∠ADC＝∠AED+∠DAE，∴∠ADC＞70°，故选：A．4．郑奶奶提着篮子去农贸市场买鸡蛋，摊主按郑奶奶的要求，用电子秤称了5千克鸡蛋，郑奶奶怀疑重量不对，把鸡蛋放入自带的质量为0.6千克的篮子中（篮子质量准确），要求放在电子秤上再称一遍，称得为5.75千克，老板客气地说：“除去篮子后为5.15千克，老顾客啦，多0.15千克就算了”，郑奶奶高兴地付了钱，满意地回家了．以下说法正确的是（）A．郑奶奶赚了，鸡蛋的实际质量为5.15千克B．郑奶奶亏了，鸡蛋的实际质量为4千克C．郑奶奶亏了，鸡蛋的实际质量为4.85千克D．郑奶奶不亏也不赚，鸡蛋的实际质量为5千克【解答】解：设鸡蛋的实际质量为x千克，根据题意，得＝解得x＝4因为4＜5.15所以郑奶奶亏了，鸡蛋的实际质量为4千克．故选：B．5．如图1，当光线在空气进入水中时，会发生折射，满足入射角∠1与折射角∠2的度数比为4：3﹒如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气进入水中，两条入射光线与水面夹角分别为α，β，在水中两条折射光线的夹角为γ，则α，β，γ三者之间的数量关系为（）A．B．C．α+β＝γD．α+β+γ＝180°【解答】解：如图2所示，过B，D，F分别作水平线的垂线，则PC∥DE∥QG，∴∠BDF＝∠BDE+∠FDE＝∠DBC+∠DFG，由题可得，∠DBC＝∠ABP＝（90°﹣α），∠DFG＝∠HFQ＝（90°﹣β），∴∠BDF＝（90°﹣α）+（90°﹣β）＝（180°﹣α﹣β），即γ＝135°﹣（α+β），∴（α+β）＝135°﹣γ，故选：B．6．如图，宽为60cm的矩形图案由10个完全一样的小长方形拼成，则其中一个小长方形的周长为（）A．60cm B．120cm C．312cm D．576cm【解答】解：设一个小长方形的长为xcm，宽为ycm，由图形可知，，解得：．所以一个小长方形的周长为：2（48+12）＝120（cm）．故选：B．二．填空题（共7小题）7．已知实数a，b，定义运算：a※b＝，若a※（a﹣3）＝1，则a ＝3或±1．【解答】解：∵a＞a﹣3，a※（a﹣3）＝1，根据题中的新定义得：a a﹣3＝1，∴a﹣3＝0或a＝1或a＝﹣1，∴a＝3或±1．故答案为：3或±1．8．若实数a，b满足a2+5b2+4ab+6b+9＝0，则a+5b的值为﹣9．【解答】解：∵a2+5b2+4ab+6b+9＝0，∴（a+2b）2+（b+3）2＝0，∴a+2b＝0，b+3＝0，解得：a＝6，b＝﹣3，∴a+5b＝6+5×（﹣3）＝﹣9．故答案为﹣9．9．下列有四个结论：①若（1﹣x）x+1＝1，则x＝0；②若a2+b2＝3，a﹣b＝1，则（2﹣a）（2﹣b）的值为5﹣2；③若（x+1）（x2﹣ax+1）的运算结果中不含x项，则a＝1；④若4x＝a，8y＝b，则24x﹣3y可表示为其中正确的是（填序号）是：③④．【解答】解：①若（1﹣x）x+1＝1，则x可以为﹣1，此时20＝1，故①选项错误；②∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝3﹣2ab＝1，∴ab＝1，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝1+4＝5，∴a+b＝±，∴（2﹣a）（2﹣b）＝4﹣2（a+b）+ab＝5±2，故②选项错误；③∵（x+1）（x2﹣ax+1）＝x3﹣（1﹣a）x2﹣（a﹣1）x+1，∵（x+1）（x2﹣ax+1）的运算结果中不含x项，∴a﹣1＝0，∴a＝1，故③选项正确；④∵4x＝a，8y＝b，∴a＝22x，b＝23y，∴24x﹣3y＝，故④选项正确．故答案为：③④．10．一个自然数若能表示为相邻两个自然数的平方差，则这个自然数为“智慧数”，比如：22﹣12＝3，3就是智慧数，从0开始，不大于2019的智慧数共有1010个．【解答】解：∵（n+1）2﹣n2＝2n+1，∴所有的奇数都是智慧数，∵2019÷2＝1009…1，∴不大于2019的智慧数共有：1009+1＝1010．故答案为：1010．11．如图，一副三角板的三个内角分别是90°，45°，45°和90°，60°，30°，按如图所示叠放在一起（点A，D，B在同一直线上），若固定△ABC，将△BDE绕着公共顶点B顺时针旋转α度（0＜α＜180），当边DE与△ABC的某一边平行时，相应的旋转角α的值为45°，75°，165°．【解答】解：①如图1中，当DE∥AB时，易证∠ABD＝∠D＝45°，可得旋转角α＝45°②如图2中，当DE∥BC时，易证∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝∠ABC+∠D＝75°，可得旋转角α＝75°③如图3中，当DE∥AC时，作BM∥AC，则AC∥BM∥DE，∴∠CBM＝∠C＝90°，∠DBM＝∠D＝45°，∴∠ABD＝30°+90°+45°＝165°，可得旋转角α＝165°，综上所述，满足条件的旋转角α为45°，75°，165°故答案为45°，75°，165°．12．如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝13．E，F，G，H分别是线段AB，BC，CD，AD上的定点，现分别以BE，BF为边作长方形BEQF，以DG为边作正方形DGIH．若长方形BEQF与正方形DGIH的重合部分恰好是一个正方形，且BE＝DG，Q，I均在长方形ABCD内部．记图中的阴影部分面积分别为S1，S2，S3，若，则S3＝．【解答】解：如图，设CG＝a，则DG＝GI＝BE＝10﹣a，∵AB＝10，BC＝13，∴AE＝AB﹣BE＝10﹣（10﹣a）＝a，PI＝IG﹣PG＝10﹣a﹣a＝10﹣2a，AH＝13﹣DH ＝13﹣（10﹣a）＝a+3，∵，即，4a2﹣9a＝0，a1＝0（舍），a2＝，则S3＝（10﹣2a）2＝（10﹣）2＝，故答案为：．13．极坐标系也可用来确定点的位置﹒如图，过平面内一点O，作一条射线OX，点M的极坐标就可以用线段OM的长度以及OX转动到OM的角度θ（规定取逆时针方向为角的正方向，0°≤θ≤360°）来确定﹒已知OM＝3，θ＝45°，点M的极坐标表示为（3，45°），平面内现有一点N，满足∠MON＝90°，ON＝OM，则点N的极坐标可以表示为（3，135°）或（3，315°）．【解答】解：当OM逆时针方向旋转90°得到ON时，∠NOX＝45°+90°＝135°，∵ON＝OM，∴点N的极坐标可以表示为（3，135°），当OM顺时针方向旋转90°得到ON时，∠NOX＝90°+45°＝45°，∵360°﹣45°＝315°，ON＝OM，∴点N的极坐标可以表示为（3，315°），则点N的极坐标可以表示为（3，135°）或（3，315°），故答案为：（3，135°）或（3，315°）．三．解答题（共9小题）14．阅读下列材料：已知实数x，y满足（x2+y2+1）（x2+y2﹣1）＝63，试求x2+y2的值．解：设x2+y2＝a，则原方程变为（a+1）（a﹣1）＝63，整理得a2﹣1＝63，a2＝64，根据平方根意义可得a＝±8，由于x2+y2≥0，所以可以求得x2+y2＝8．这种方法称为“换元法”，用一个字母去代替比较复杂的单项式、多项式，可以达到化繁为简的目的．根据阅读材料内容，解决下列问题：（1）已知实数x，y满足（2x+2y+3）（2x+2y﹣3）＝27，求x+y的值．（2）填空：①分解因式：（x2+4x+3）（x2+4x+5）+1＝（x+2）4．②已知关于x，y的方程组的解是，关于x，y的方程组的解是或．【解答】解：（1）设2x+2y＝a，则原方程变为（a+3）（a﹣3）＝27，整理，得：a2﹣9＝27，即a2＝36，解得：a＝±6，则2x+2y＝±6，∴x+y＝±3；（2）①令a＝x2+4x+3，则原式＝a（a+2）+1＝a2+2a+1＝（a+1）2＝（x2+4x+4）2＝（x+2）4；②由方程组得，整理，得：，∵方程组的解是，∴方程组的解是：∴x﹣1＝±3，且y＝5，解得：或，故答案为：（x+2）4，或．15．学期即将结束，为了表彰优秀，班主任王老师用W元钱购买奖品．若以2支钢笔和3本笔记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以2支钢笔和6本笔记本为一份奖品，则可以买40份奖品．设钢笔单价为x元/支，笔记本单价为y元/本．（1）请用y的代数式表示x．（2）若用这W元钱全部购买笔记本，总共可以买几本？（3）若王老师用这W元钱恰好能买30份同样的奖品，可以选择a支钢笔和b本笔记本作为一份奖品（两种奖品都要有）．请求出所有可能的a，b值．【解答】解：（1）由题意得：60（2x+3y）＝40（2x+6y），（2分）化简得：．（1分）（2）60（2x+3y）÷y＝360（本）．（2分）答：总共可以买卖360本；（1分）（3）由题意得：60（2x+3y）＝30（ax+by），把代入得：（1分）解得此方程的正整数解为，，．（3分）16．如图所示，图甲由长方形①，长方形②组成，图甲通过移动长方形②得到图乙．（1）S甲＝（a+b）（a﹣b），S乙＝a2﹣b2（用含a、b的代数式分别表示）；（2）利用（1）的结果，说明a2、b2、（a+b）（a﹣b）的等量关系；（3）现有一块如图丙尺寸的长方形纸片，请通过对它分割，再对分割的各部分移动，组成新的图形，画出图形，利用图形说明（a+b）2、（a﹣b）2、ab三者的等量关系．【解答】解：（1）由题可得，S甲＝（a+b）（a﹣b）；S乙＝a2﹣b2；故答案为：（a+b）（a﹣b）；a2﹣b2；（2）∵S甲＝S乙；∴a2、b2、（a+b）（a﹣b）的等量关系为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（3）如图①所示，将图丙分成四个长为a，宽为b的小长方形，再拼成如图②所示的正方形．根据图②可得：S大正方形＝（a+b）2，S大正方形＝（a﹣b）2+4ab，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．17．实验室里，水平桌面上有甲、乙两个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2，用一个管子在甲、乙两个容器的15厘米高度处连通（即管子底端离容器底15厘米）．已知只有乙容器中有水，水位高2厘米，如图所示．现同时向甲、乙两个容器注水，平均每分钟注入乙容器的水量是注入甲容器水量的k倍．开始注水1分钟，甲容器的水位上升a厘米，且比乙容器的水位低1厘米．其中a，k均为正整数，当甲、乙两个容器的水位都到达连通管子的位置时，停止注水．甲容器的水位有2次比乙容器的水位高1厘米，设注水时间为t分钟．（1）求k的值（用含a的代数式表示）．（2）当甲容器的水位第一次比乙容器的水位高1厘米时，求t的值．（3）当甲容器的水位第二次比乙容器的水位高1厘米时，求a，k，t的值．【解答】解：（1）根据题意得：a+1＝2+，解得；k＝4﹣．（2）根据题意得：at＝1+2+，∵k＝4﹣，∴at＝3+（4﹣）＝3+at﹣t，∴t＝3．（3）∵k＝4﹣，且a、k均为正整数，∴或．∵a＜＝5，k＜4，∴或符合题意．①当时，15+（14﹣2）×4＝at+akt＝2t+4t，解得：t＝；②当时，15+（14﹣2）×4＝at+akt＝4t+12t，解得：t＝．综上所述：a、k、t的值为2、2、或4、3、．18．【知识拓展】（1）你能对a3+b3因式分解吗？（2）求最大正整数n，使得n3+2017，能被n+13整除．【解答】解：（1）能，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）；（2）要使（n3+2017）÷（n+13）＝＝＝n2﹣13n+169﹣为整数，必须180能整除n+13，则n的最大值为167．19．5月12日是全国防震减灾日，各校都组织紧急疏散演习．某校有一栋教学楼共有30个班级，每班40名学生；南面和北面各有两个大小相同的楼道，安全检查中，对4道门进行了测试：当同时往两个南面楼道和一个北面楼道疏散时，每分钟最快可以疏散320名学生；当同时往一个南面楼道和两个北面楼道疏散时，每分钟最快可以疏散280名学生．（1）求平均每分钟每一个南面楼道和北面楼道各可以疏散多少名学生？（2）根据该校测试情况，疏散时最快几分钟可以疏散完毕？（3）请直接写出按问题（2）的要求疏散，每一个南面楼道安排疏散班级9个；每一个北面楼道安排疏散班级6个．【解答】解：（1）设平均每分钟每一个南面楼道可以疏散x名学生，每一个北面楼道可以疏散y名学生，依题意，得：，解得：．答：平均每分钟每一个南面楼道可以疏散120名学生，每一个北面楼道可以疏散80名学生．（2）30×40÷[2×（120+80）]＝3（分钟）．答：疏散时最快3分钟可以疏散完毕．（3）30÷2×＝9（个），30÷2×＝6（个）．故答案为：9；6．20．如图，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE 平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE，BE交于点E，∠CBN＝120°．（1）若∠ADQ＝110°，求∠BED的度数；（2）将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若∠ADQ ＝n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）【解答】解：（1）如图1中，延长DE交MN于H．∵∠ADQ＝110°，ED平分∠ADP，∴∠PDH＝∠PDA＝35°，∵PQ∥MN，∴∠EHB＝∠PDH＝35°，∵∠CBN＝120°，EB平分∠ABC，∴∠EBH＝∠ABC＝30°，∴∠BED＝∠EHB+∠EBH＝65°．（2）有3种情形，如图2中，当点E在直线MN与直线PQ之间时．延长DE交MN于H．∵PQ∥MN，∴∠QDH＝∠DHA＝n，∴∠BED＝∠EHB+∠EBH＝180°﹣（n）°+30°＝210°﹣（n）°，当点E在直线MN的下方时，如图3中，设DE交MN于H．∵∠HBA＝∠ABP＝30°，∠ADH＝∠CDH＝（n）°，又∵∠DHB＝∠HBE+∠HEB，∴∠BED＝（n）°﹣30°，当点E在PQ上方时，如图4中，设PQ交BE于H．同法可得∠BED＝30°﹣（n）°．综上所述，∠BED＝210°﹣（n）°或（n）°﹣30°或30°﹣（n）°．21．如图1，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE 平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE、BE交于点E，∠CBN＝100°．（1）若∠ADQ＝130°，求∠BED的度数；（2）将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若∠ADQ ＝n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）．【解答】解：（1）如图1，过点E作EF∥PQ，∵∠CBN＝100°，∠ADQ＝130°，∴∠CBM＝80°，∠ADP＝50°，∵DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，∴∠EBM＝∠CBM＝40°，∠EDP＝∠ADP＝25°，∵EF∥PQ，∴∠DEF＝∠EDP＝25°，∵EF∥PQ，MN∥PQ，∴EF∥MN．∴∠FEB＝∠EBM＝40°∴∠BED＝25°+40°＝65°；（2）有3种情形，如图2中，当点E在直线MN与直线PQ之间时．延长DE交MN于H．∵PQ∥MN，∴∠QDH＝∠DHA＝n，∴∠BED＝∠EHB+∠EBH＝180°﹣（n）°+40°＝220°﹣（n）°，当点E在直线MN的下方时，如图3中，设DE交MN于H．∵∠HBE＝∠ABP＝40°，∠ADH＝∠CDH＝（n）°，又∵∠DHB＝∠HBE+∠HEB，∴∠BED＝（n）°﹣40°，当点E在PQ上方时，如图4中，设PQ交BE于H．同法可得∠BED＝40°﹣n°．综上所述，∠BED＝220°﹣（n）°或（n）°﹣40°或40°﹣（n）°．22．共享单车作为一种低碳、时尚、绿色的出行方式，它俨然成为市民出行的“新宠”．某公司准备安装完成5700辆共享单车投入市场运营的计划．由于抽调不出足够的熟练工人完成安装，公司准备招聘一批新工人，将他们培训到能独立进行安装后上岗．生产开始后发现：1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天安装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多．（1）求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车？（2）若公司招聘m名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工人刚好一个月（30天）完成安装任务，已知工人们安装的共享单车中不能正常投入运营的占5%，且招聘的新工人数比抽调的熟练工人数少，求m的值．【解答】解：（1）设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，根据题意得：，解得：．答：每名熟练工人每天可以安装12辆共享单车，每名新工人每天可以安装8辆共享单车．（2）设抽调n名熟练工人，根据题意得：30×（8m+12n）×（1﹣5%）＝5700，整理得：m＝25﹣n，∵m，n均为正整数，且m＜n，∴，，．∴m的值为1或4或7．。
初一培优数学试题及答案
初一培优数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知一个数的平方是36，这个数可能是：A. 6B. -6C. 6或-6D. 以上都不对2. 计算下列算式的结果：(1) 3x + 4y = 14，当x = 2时，y的值是多少？A. 1B. 2C. 3D. 43. 一个等腰三角形的底边长为6cm，腰长为5cm，其周长为：A. 16cmB. 17cmC. 18cmD. 19cm4. 下列哪个图形是轴对称图形？A. 平行四边形B. 梯形C. 等腰三角形D. 不规则多边形5. 一个数的相反数是-5，这个数是：B. -5C. 0D. 无法确定6. 一个数的绝对值是4，这个数可能是：A. 4B. -4C. 4或-4D. 07. 计算下列算式的结果：(2) 5x - 3y = 2，当y = 1时，x的值是多少？A. 1B. 2C. 3D. 48. 下列哪个选项是正确的不等式？A. 3 > 2B. 2 < 3C. 3 = 2D. 2 > 39. 一个数的立方是-8，这个数是：A. 2B. -2C. 8D. -810. 一个数的平方根是2，这个数是：B. -4C. 2D. -2二、填空题（每题3分，共15分）11. 一个数的平方是25，这个数是______。
12. 一个数的立方是27，这个数是______。
13. 一个数的绝对值是5，这个数是______。
14. 一个数的相反数是3，这个数是______。
15. 一个数的平方根是3，这个数是______。
三、解答题（每题5分，共25分）16. 已知一个数的平方是49，求这个数的值。
17. 计算下列算式的结果：(3) 2x + 5y = 10，当x = 1时，y的值是多少？18. 一个等腰三角形的底边长为8cm，腰长为7cm，求其周长。
19. 一个数的相反数是-7，求这个数的值。
20. 一个数的立方根是3，求这个数的值。
四、证明题（每题5分，共10分）21. 证明：一个数的绝对值总是非负的。
《易错题》初中七年级数学下册第六单元《实数》习题(培优练)
一、选择题1．观察下列运算：81＝8，82＝64，83＝512，84＝4 096，85＝32 768，86＝262 144，…，则81＋82＋83＋84＋…＋82 017的和的个位数字是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8D 解析：D【分析】根据规律可得底数为8的幂的个位数字依次为8，4，2，6，以4个为周期，个位数字相加为0． 2017除以4余数是1，故得到和的个位数字是8．【详解】解：2017÷4＝504…1，循环了504次，还有1个个位数字为8，所以81+82+83+84+…+82017的和的个位数字是504×0+8＝8．故选：D ．【点睛】本题主要考查了数字的变化类，尾数的特征，得到底数为8的幂的个位数字的循环规律是解决本题的突破点．2 ）A ．3B ．﹣3C ．±3D ．6A解析：A【分析】9，再利用算术平方根的定义求出答案.【详解】 ∵9，∴3，故选：A .【点睛】. 3．下列说法中，错误的有（ ）①符号相反的数与为相反数；②当0a ≠时，0a >；③如果a b >，那么22a b >；④数轴上表示两个有理数的点，较大的数表示的点离原点较远；⑤数轴上的点不都表示有理数．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个D解析：D【分析】根据相反数、绝对值、数轴表示数以及有理数的乘法运算等知识综合进行判断即可．【详解】解：符号相反，但绝对值不等的两个数就不是相反数，例如5和-3，因此①不正确； a≠0，即a ＞0或a ＜0，也就是a 是正数或负数，因此|a|＞0，所以②正确；例如-1＞-3，而（-1）2＜（-3）2，因此③不正确；例如-5表示的点到原点的距离比1表示的点到原点的距离远，但-5＜1，因此④不正确； 数轴上的点与实数一一对应，而实数包括有理数和无理数，因此⑤正确；综上所述，错误的结论有：①③④，故选：D ．【点睛】本题考查相反数、绝对值、数轴表示数，对每个选项进行判断是得出正确答案的前提．4．若3a =，则a 在（ ） A ．3-和2-之间 B ．2-和1-之间 C ．1-和0之间 D ．0和1之间C 解析：C【分析】案．【详解】解：∵4＜5＜9，∴23．∴-1＜0．故选：C ．【点睛】5．0.31，3π，27-12- 1.212212221…(每两个1之间依次多一个2)中，无理数的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4C 解析：C【分析】无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，据此逐一判断即可得．【详解】解∵3=2=，∴在所列的83π，1.212 212 221…（每两个1之间依次多一个2）这3个，【点睛】本题主要考查的是无理数的概念，熟练掌握无理数的三种类型是解题的关键．6 ）A ．8B ．8-C ．D ．± D 解析：D【分析】8=，再根据平方根的定义，即可解答．【详解】8=，8的平方根是±故选：D ．【点睛】8=．7．在1.414，213，5π，2中，无理数的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4C解析：C【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】解：1.414是有限小数，属于有理数；213是分数，属于有理数； 5π是无理数；2是无理数，∴无理数的个数是3个，故选：C ．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…等有这样规律的数．8．下列各数中是无理数的是（ ）A ．227B ．1.2012001C ．2πD 解析：C无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】解：A、227分数，是有理数，选项不符合题意；B、1.2012001是有理数，选项不符合题意；C、2π是无理数，选项符合题意；D、81=9，9是整数是有理数，，选项不符合题意．故选：C．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．9．在 -1.414，2，16，π，2+3，3.212212221…，227，3.14这些数中，无理数的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5C解析：C【分析】先计算算术平方根，再根据无理数的定义即可得．【详解】164=，223.1428577=小数点后的142857是无限循环的，则在这些数中，无理数有2,,23,3.212212221π+⋯，共4个，故选：C．【点睛】本题考查了算术平方根、无理数，熟记无理数的定义是解题关键．10．如图，四个有理数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+p=0，则m，n，p，q四个有理数中，绝对值最大的一个是（）A．p B．q C．m D．n B解析：B【分析】根据n+p=0可以得到n和p互为相反数，原点在线段PN的中点处，从而可以得到绝对值最大的数．【详解】解：∵n+p=0，∴n 和p 互为相反数，∴原点在线段PN 的中点处，∴绝对值最大的一个是Q 点对应的q ．故选B ．【点睛】本题考查了实数与数轴及绝对值．解题的关键是明确数轴的特点．二、填空题11．计算：()214322--⨯-（【分析】利用实数的混合运算法则计算得出答案【详解】解：原式=4+9=4+9=4+93=4+27=31【点睛】本题主要考查了实数的运算正确化简各数是解题的关键解析：【分析】利用实数的混合运算法则计算得出答案．【详解】解：原式=4+9⨯12-(2)2⎡⎤⨯-⎢⎥⎣⎦=4+9⨯[]2+1=4+9⨯3=4+27=31．【点睛】本题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题的关键．12．求出x 的值：()23227x +=x ＝1或x ＝﹣5【分析】依据平方根的性质可得到x+2的值然后解关于x 的一元一次方程即可【详解】解：∵3（x+2）2＝27∴（x+2）2＝9∴x+2＝±3解得：x ＝1或x ＝﹣5【点睛】本题主要考查的是 解析：x ＝1或x ＝﹣5【分析】依据平方根的性质可得到x +2的值，然后解关于x 的一元一次方程即可．【详解】解：∵3（x +2）2＝27，∴（x +2）2＝9，∴x +2＝±3，解得：x ＝1或x ＝﹣5．【点睛】本题主要考查的是平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．13．计算：（12（2）22(2)8x -=（1）1；（2）【分析】（1）实数的混合运算利用算术平方根和立方根的概念逐个进行化简计算；（2）直接用平方根的概念求解【详解】解：（1）===1（2）∴【点睛】本题考查实数的混合运算及利用平方根解方 解析：（1）1；（2）124,0x x ==【分析】（1）实数的混合运算，利用算术平方根和立方根的概念逐个进行化简计算；（2）直接用平方根的概念求解．【详解】解：（12=4(2)23----=4+223--=1（2）22(2)8x -=2(2)4x -=22x -=±22x =±∴124,0x x ==．【点睛】本题考查实数的混合运算及利用平方根解方程，掌握相关概念和性质正确计算是解题关键．14．计算：（1（2）0(0)|2|π--（3）解方程：4x 2﹣9＝0．（1）-8；（2）1﹣；（3）x ＝±【分析】（1）利用算数平方根立方根及二次根式性质计算即可；（2）利用零指数幂立方根及绝对值的代数意义进行化简即可；（3）方程变形后利用开方运算即可求解【详解】解：解析：（1）-8；（2）13）x ＝±32． 【分析】（1）利用算数平方根、立方根及二次根式性质计算即可；（2）利用零指数幂、立方根及绝对值的代数意义进行化简即可；（3）方程变形后，利用开方运算即可求解．【详解】解：（1）原式＝()935358÷--=--=-；（2）原式＝1221-+-=（3）方程变形得：294x =，开方得：32x =±． 【点睛】本题考察实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．15．(22-平方根然后进行加减运算即可【详解】解：===【点睛】此题考查了实数的运算熟练掌握算术平方根和立方根的性质是解本题的关键解析：8-【分析】先化简绝对值、立方根、算术平方根，然后进行加减运算即可．【详解】(22=2243--⨯+（）=412-=8-【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握算术平方根和立方根的性质是解本题的关键． 16．一个正方体的木块的体积是3343cm ，现将它锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的表面积是________．5cm3【分析】先根据正方体的体积求出正方体的边长要使它锯成8块同样大小的小正方体木块只需要将正方体的每条棱长平均分为两份即可得到小正方体的棱长即可求出表面积【详解】解：∵一个正方体的木块的体积是∴解析：5cm 3．【分析】先根据正方体的体积求出正方体的边长，要使它锯成8块同样大小的小正方体木块，只需要将正方体的每条棱长平均分为两份即可，得到小正方体的棱长，即可求出表面积．【详解】解：∵一个正方体的木块的体积是3343cm ，∴（cm 3），要将它锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体的棱长为7÷2=3.5（cm 3）， ∴每个小正方体的表面积为6×3.52=73.5（cm 3）．故答案为73.5cm 3．【点睛】本题考查了立方根．解题的关键是能够通过空间想象得出如何将正方体分成8块同样大小的小正方体木块．17．2-．4【分析】原式利用平方根立方根定义及绝对值化简计算即可得到结果【详解】解：原式【点睛】本题考查了实数的运算熟练掌握平方根立方根定义是解本题的关键解析：4【分析】原式利用平方根、立方根定义及绝对值化简计算即可得到结果．【详解】解：原式282=-+-4=【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握平方根、立方根定义是解本题的关键．18．规定新运算：()*4a b a ab =+．已知算式()3*2*2x =-，x =_______．【分析】根据新运算可得由得到关于x 的一元一次方程求解即可【详解】解：根据新运算可得∵∴解得故答案为：【点睛】本题考查新定义运算解一元一次方程根据题意得出一元一次方程是解题的关键 解析：43- 【分析】根据新运算可得()3*334x x =+，()()2*22440-=⨯-+=，由()3*2*2x =-得到关于x 的一元一次方程，求解即可．【详解】解：根据新运算可得()3*334x x =+，()()2*22440-=⨯-+=，∵()3*2*2x =-，∴()3340x +=，解得43x =-， 故答案为：43-． 【点睛】本题考查新定义运算、解一元一次方程，根据题意得出一元一次方程是解题的关键．19．计算20201|-+=_________．-5【分析】本题涉及乘方绝对值立方根以及二次根式化简等知识点在计算时需要针对每个知识点分别进行计算然后根据实数的运算法则求得计算结果【详解】解：===-5故答案为：-5【点睛】本题主要考查了实数的综解析：-5【分析】本题涉及乘方、绝对值、立方根以及二次根式化简等知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【详解】解：20201|-+=12|2|----=122---=-5．故答案为：-5．【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握乘方、二次根式、三次根式、绝对值等知识点的运算．20．一个正数的两个平方根分别是21a -与2a -+，则这个正数是______．9【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数可得关于a 的方程解方程即可求出a 进一步即可求出答案【详解】解：因为一个正数的两个平方根分别是与所以+()=0解得：a=﹣1所以这个正数是故答案为：9【点睛解析：9【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数可得关于a 的方程，解方程即可求出a ，进一步即可求出答案．【详解】解：因为一个正数的两个平方根分别是21a -与2a -+，所以21a -+(2a -+)=0，解得：a =﹣1，所以这个正数是()22119⨯--=⎡⎤⎣⎦．故答案为：9．【点睛】本题考查了平方根的定义，属于基础题型，掌握解答的方法是解题的关键． 三、解答题21．计算：（1）⎛- ⎝；（2|1--解析：（1；（2）12-【分析】（1）先去括号，再利用二次根式加减运算法则进行计算；（2）直接利用绝对值的性质和立方根的性质、二次根式的性质分别化简后再相加减即可；【详解】（1）⎛- ⎝=；（2|1--=914++-=12-【点睛】考查了实数的运算，解题关键是掌握运算法则和运算顺序．22． 1.414≈，于是我们说：的整数部分为1，小数部分则可记为1”．则：（11的整数部分是__________，小数部分可以表示为__________；（22的小数部分是a ，7-b ，那么a b +=__________；（3x 的小数部分为y ，求1(x y --的平方根．解析：（1）21；（2）1；（3）3±．【分析】（11的整数部分和小数部分；（22和7-a 与b 的值，最后代入代数式计算即可；（3的取值范围，再确定x 、y 的值，最后代入代数式计算即可．【详解】解：（1）∵1＜2＜4∴1＜2 ∴1， ∴1的整数部分为212+-1故答案为21；（2）∵1＜3＜4∴12∴1，∴2的整数部分为3，小数部分为21-；7-的整数部分为5，小数部分为b=75--=2∴1+2=1故答案为1；（3）∵9＜11＜16∴3＜4 ∴x=3，小数部分为-3∴()3211(3==3=9x y --- ∵3±．故答案为3±．【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，掌握运用逼近法比较无理数的大小成为解答本题的关键．23．已知一个正数m 的平方根为2n +1和4﹣3n ．（1）求m 的值；（2）|a ﹣3|（c ﹣n ）2＝0，a +b +c 的立方根是多少？解析：（1）m ＝121；（2）a +b +c 的立方根是2【分析】（1）由正数的平方根互为相反数，可得2n +1+4﹣3n ＝0，可求n ＝5，即可求m ； （2）由已知可得a ＝3，b ＝0，c ＝n ＝5，则可求解．【详解】解：（1）正数m 的平方根互为相反数，∴2n +1+4﹣3n ＝0，∴n ＝5，∴2n +1＝11，∴m ＝121；（2）∵|a ﹣3|（c ﹣n ）2＝0，∴a ＝3，b ＝0，c ＝n ＝5，∴a +b +c ＝3+0+5＝8，∴a +b +c 的立方根是2．【点睛】本题考查平方根的性质；熟练掌握正数的平方根的特点，绝对值和偶次方根数的性质是解题的关键．24．（1）小明解方程2x 1x a 332-+=-去分母时，方程右边的−3忘记乘6，因而求出的解为x=2，则原方程正确的解为多少？（2）设x ，y 是有理数，且x ，y 满足等式2x 2y 17++=-x-y 的值． 解析：（1）x ＝−13；（2）（2）x-y 的值为9或-1.【分析】（1）将错就错把x ＝2代入计算求出a 的值，即可确定出正确的解；（2）根据题意可以求得x 、y 的值，从而可以求得x−y 的值．【详解】（1）把x ＝2代入2（2x−1）＝3（x ＋a ）−3中得：6＝6＋3a−3，解得：a ＝1， 代入方程得：2x 1x 1332-+=-， 去分母得：4x−2＝3x ＋3−18，解得：x ＝−13；（2）∵x 、y 是有理数，且 x ，y 满足等式2x 2y 17++=-∴22174x y y ⎧+=⎨=-⎩， 解得，54x y =⎧⎨=-⎩或54x y =-⎧⎨=-⎩， ∴当x ＝5，y ＝−4时，x−y ＝5−（−4）＝9，当x ＝−5，y ＝−4时，原式＝−5−（−4）＝−1．故x-y 的值为9或-1.【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．也考查了实数．25．计算：()214322--⨯-（ 解析：【分析】 利用实数的混合运算法则计算得出答案．【详解】解：原式=4+9⨯12-(2)2⎡⎤⨯-⎢⎥⎣⎦=4+9⨯[]2+1=4+9⨯3=4+27=31．【点睛】本题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题的关键．26．求下列各式中x 的值（1）()328x -=（2）21(3)753x -=解析：（1）4x =；（2）18x =或12x =-．【分析】（1）利用立方根的定义得到22x -=，然后解一次方程即可；（2）先变形为()23225x -=，然后利用平方根的定义得到x 的值．【详解】（1）∵()328x -=，∴22x -=，∴4x =；（2）21(3)753x -=，整理得：()23225x -=，∴315x -=或315x -=-，∴18x =或12x =-．【点睛】本题考查了解一元一次方程，平方根和立方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 27．解方程：（1）2810x -=；（2）38(1)27x +=． 解析：（1）9x =±；（2）12x =． 【分析】 （1）移项，利用平方根的性质解方程；（2）方程两边同时除以8，然后利用立方根的性质解方程．【详解】（1）2810x -=，移项得：281x =，解得：9x =±；（2）()38127x +=，方程两边同时除以8，得：()32718x +=， ∴312x +=， 解得：31122x =-=． 【点睛】本题考查了平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义与性质是解题关键．--28．计算：（1）225(2)1+解析：（１）－４；（２）１．【分析】（1）根据乘方、开方、绝对值的意义化简，再计算即可；（2）先根据绝对值的意义脱去绝对值，再计算即可求解．【详解】--解：（1）225＝－４＋６－１－５＝－４；(2)1)=++1=+1=-+1＝－１＋２＝１．【点睛】本题考查了实数的性质与运算，熟知实数的运算法则和性质是解题关键．。
金溪县第一中学七年级数学下册第六章【实数】经典练习(培优练)
1．若227(7)0x y z -+++-=，则x y z -+的平方根为（ ） A ．±2B ．4C ．2D ．±42．下列各式计算正确的是（ ） A ．31-=-1B ．38= ±2C ．4= ±2D ．±9=33．在实数3-，-3.14，0，π，364中，无理数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．下列说法正确的是（ ） A ．2-是4-的平方根 B ．2是()22-的算术平方根 C ．()22-的平方根是2 D ．8的平方根是45．下列说法正确的是（ ） A ．2的平方根是2 B ．（﹣4）2的算术平方根是4 C ．近似数35万精确到个位 D ．无理数21的整数部分是5 6．定义运算：132x y xy y =-※，若211a =-※，则a 的值为（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．27．数轴上有O 、A 、B 、C 四点，各点位置与各点所表示的数如图所示．若数线上有一点D ，D 点所表示的数为d ，且|d ﹣5|＝|d ﹣c |，则关于D 点的位置，下列叙述正确的是？（ ）A ．在A 的左边B ．介于O 、B 之间C ．介于C 、O 之间D ．介于A 、C 之间8．下列说法中，错误的有（ ） ①符号相反的数与为相反数； ②当0a ≠时，0a >； ③如果a b >，那么22a b >；A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．关于x 的多项式32711159x mx x --+与多项式22257x nx --相加后不含x 的二次和一次项，则()mn n -+平方根为（ ） A ．3B ．3-C ．3±D ．3±10．估计30的值在哪两个整数之间（ ） A ．5和6B ．6和7C ．7和8D ．8和911．如图，四个有理数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q ，若n+p=0，则m ，n ，p ，q 四个有理数中，绝对值最大的一个是（ ）A ．pB ．qC ．mD ．n二、填空题12．教材中的探究：如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，用所得到的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法（数轴的单位长度为1）．（1）阅读理解：图1中大正方形的边长为________，图2中点A 表示的数为________； （2）迁移应用：请你参照上面的方法，把5个小正方形按图3位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．①请在图3中画出裁剪线，并在图3中画出所拼得的大正方形的示意图．②利用①中的成果，在图4的数轴上分别标出表示数－0.5以及 35-的点，并比较它们的大小．13．求下列各式中x 的值 （1）()328x -= （2）21(3)753x -= 14．求下列各式中的x 的值． （1）4x 2＝9； （2）（2x ﹣1）3＝﹣27． 15．把下列各数填在相应的横线上 1.4，2020，2-，32-，0.31，0，38-，π-，1.3030030003…（每相邻两个3之间0的个数依次加1） （1）整数：______ （2）分数：______ （3）无理数：______16．以下几种说法：①正数、负数和零统称为有理数；②近似数1.70所表示的准确数a 的范围是1.695 1.705a <；③16的平方根是4±；④立方根是它本身的数是0和1；其中正确的说法有：_____．（请填写序号）17．请你写出一个比3大且比4小的无理数，该无理数可以是：____．18．将1、2、3、6按如图方式排列．若规定（m ，n ）表示第m 排从左向右第n 个数，则（15，7）表示的数是____．19．如图，一只蚂蚁从点A 沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B ，点A 表示2-，设点B 所表示的数为m ．111（2）在数轴上还有C 、D 两点分别表示实数c 和d ，且有2c d +与4d +互为相反数，求23c d -的平方根．20．a 是不为2的有理数，我们把2称为a 的“文峰数”如：3的“文峰数”是2223=--，-2的“文峰数”是()21222=--，已知a 1=3，a 2是a 1的“文峰数”， a 3是a 2的“文峰数”， a 4是a 3的“文峰数”，……，以此类推，则a 2020=______21．有个数值转换器，原理如图所示，当输入x 为27时，输出的y 值是________________．三、解答题22．阅读下列材料，并回答问题：我们把单位“”平均分成若干份，表示其中一份的数叫“单位分数”．单位分数又叫埃及分数，在很早以前，埃及人就研究如何把一个单位分数表示成两个或几个单位分数的和或差．今天我们来研究如何拆分一个单位分数．请观察下列各式：111162323==-⨯；1111123434==-⨯， 1111204545==-⨯，1111305656==-⨯． （1）由此可推测156= ； （2）请用简便方法计算：11111612203042++++； （3）请你猜想出拆分一个单位分数的一般规律，并用含字母m 的等式表示出来（m 表示正整数）；（4）仔细观察下面的式子，并用（3）中的规律计算：()()()()()()121231312x x x x x x -+------23．求下列各式中x 的值．（1）4（x ﹣3）2＝9； （2）（x +10）3+125＝0．24．已知4a +1的平方根是±3，3a +b ﹣1的立方根为2． （1）求a 与b 的值；（2）求2a +4b 的平方根．251327（2）2(1)218x -+=．1．在实数：20192020，π，9，3，2π，38，0.36，0.3737737773…（相邻两个3之间7的个数逐次加1），52-，49中，无理数的个数为（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．72．－18的平方的立方根是（ ） A ．4 B ．14C ．18D ．1643．下列说法中，正确的是 （ ） A ．64的平方根是8 B ．16的平方根是4和－4 C ．()23-没有平方根D ．4的平方根是2和－24．对任意两个正实数a ，b ，定义新运算a ★b 为：若a b ≥，则a ★ab b；若a b <，则a ★bba．则下列说法中正确的有（ ） ①=a b b a ★★；②()()1a b b a =★★；③a ★b 12a b+<★ A ．①B ．②C ．①②D ．①②③5．数轴上表示下列各数的点，能落在A ，B 两个点之间的是（ ）A ．3B 7C 11D 136．下列实数31,7π-，3.1438,27,0.2-，1.010010001…（从左到右，每两个1之间依次增加一个0）中，其中无理数有（ ） A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个7．下列命题中真命题的个数（ ）①无理数包括正无理数、零和负无理数；②经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线497的点一一对应；⑥垂直于同一条直线的两条直线互相平行． A ．4B ．3C ．2D ．18．我们定义新运算如下：当m n ≥时，m 22n m n =-；当m n <时，m3n m n =-．若5x =，则(3-)(6x -)x 的值为（ ）A ．-27B ．-47C ．-58D ．-689．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n （n 是整数，且n ≥3）行从左向右数第（n ﹣2）个数是（ ）（用含n 的代数式表示）A 21n -B 22n -C 23n -D 24n -10．在3223.14,0.4,0.001,23,, 5.12112111227π-+--……中，无理数的个数为 （ ） A ．5B ．2C ．3D ．411．下列各数中是无理数的是（ ）A ．227B ．1.2012001C ．2πD 81二、填空题12．已知31a +的算数平方根是4，421c b +-的立方根是3，c 1322a b c +-的平方根．13．小明定义了一种新的运算，取名为⊗运算，按这种运算进行运算的算式举例如下：①（+4）⊗（+2）＝+6；②（﹣4）⊗（﹣3）＝+7；③（﹣5）⊗（+3）＝﹣8；④（+6）⊗（﹣4）＝﹣10；⑤（+8）⊗0＝8；⑥0⊗（﹣9）＝9． 问题：（1）请归纳⊗运算的运算法则：两数进行⊗运算时， ；特别地，0和任何数进行⊗运算，或任何数和0进行⊗运算， ． （2）计算：[（﹣2）⊗（+3）]⊗[（﹣12）⊗0]； （3）我们都知道乘法有结合律，这种运算律在有理数的⊗运算中还适用吗？请判断是否适用，并举例验证．14．把下列各数表示在数轴上，并把这些数按从大到小的顺序用“＞”连接起来．03272192215．计算：（1）2323615--- (2)12233416．“*”是规定的一种运算法则：a*b=a 2－3b ． （1）求2*5的值为 ； （2）若（-3）*x=6，求x 的值； 17．计算：（1238127(5)-- （2）03(0)8|32|π--+ （3）解方程：4x 2﹣9＝0． 18．求下列各式中x 的值 （1）21(1)64x +-=； （2）3(1)125x -=．19．（1）解方程组；25342x y x y -=⎧⎨+=⎩（2）解不等式组：352(2)22x x x x -≥-⎧⎪⎨>-⎪⎩①②，并写出它的所有整数解．（3）解方程：2(x 2)100-=（4）计算：201723(1)|7|9(527-----20．已知103x ，小数部分是y ，求x ﹣y 的相反数_____．21．定义：如果将一个正整数a 写在每一个正整数的右边，所得到的新的正整数能被a 整除，则这个正整数a 称为“魔术数”．例如：将2写在1的右边得到12，写在2的右边得到22，……，所得到的新的正整数的个位数字均为2，即为偶数，由于偶数能被2整除，所以2是“魔术数”．根据定义，在正整数3，4，5中，“魔术数”为____________；若“魔术数”是一个两位100三、解答题22．一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，d，如果a b c d≤≤≤，那么我们把这个四位正整数叫做进步数，例如四位正整数2347：因为2347<<<，所以2347叫做进步数．（1）求四位正整数中的最大的“进步数”与最小的“进步数”的差；（2）已知一个四位正整数的百位、个位上的数字分别是1、4，且这个四位正整数是“进步数”，同时，这个四位正整数能被7整除，求这个四位正整数．23．“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即0,0,0,a b a b a b a b a b a b->>⎧⎪-==⎨⎪-<<⎩则则则2与2的大小；224-=，1619<<，则45<<，2240-=>，22>．请根据上述方法解答以下问题：（1_______3；（2）比较23-的大小，并说明理由．24．已知31a+的算数平方根是4，421c b+-的立方根是3，c22a b c+-的平方根．25．3=，31a b-+的平方根是4±，c3a b c++的平方根．1．有下列四种说法：①数轴上有无数多个表示无理数的点； ②带根号的数不一定是无理数； ③平方根等于它本身的数为0和1； ④没有最大的正整数，但有最小的正整数； 其中正确的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．42．若a =b =-，c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．c b a >>3．下列实数中，是无理数的为（ ）A ．3.14B ．13C D4．0215中，是无理数的是（ ）A B ．0C D ．2155．下列实数220.010*******；； (相邻两个1之依次多一个0)2，其中无理数有( ) A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个6．已知n 是正整数，并且n -1＜3+＜n ，则n 的值为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．107．下列各式中,正确的是( )A B ．C 3=-D 4=-8．下列实数中，属于无理数的是（ ）A ．3.14B ．227CD ．π9．下列实数是无理数的是（ ） A ． 5.1-B ．0C ．1D ．π10 ）A ．8B ．8-C ．D ．±11A ．2是正数B ．2是2的平方根C ．122<<D ．22是分数 二、填空题12．“*”是规定的一种运算法则：a*b=a 2－3b ．（1）求2*5的值为 ；（2）若（-3）*x=6，求x 的值；13．计算：（1）238127(5)÷---；（2）03(0)8|32|π--+-（3）解方程：4x 2﹣9＝0．14．（1）计算：①231698(2)-+-；②3121125|63|6+-+--．（2）求下列各式中x 的值：③22536x =；④3(1)64x --=．15．27-的立方根是___________；81的平方根是___________；| 3.14|π-的绝对值是___________．16．将1、2、3、6按如图方式排列．若规定（m ，n ）表示第m 排从左向右第n 个数，则（15，7）表示的数是____．17．实数2-2，227，π-327-中属于无理数的是________． 18．阅读下列信息材料信息1：因为尤理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：2π、而常用的“……”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确；2 2.520.5 2.52323<；根据上述信息，回答下列问题：（1___________，小数部分是______________；（2）若2122a <<，则a 的整数部分是___________；小数部分可以表示为_______；（3）10可以表示为10a b <+<则a b +=______；（43x y =+，其中x 是整数，且01y <<，请求x y -的相反数． 19．小燕在测量铅球的半径时，先将铅球完全浸没在一个带刻度的圆柱形小水桶中，拿出铅球时，小燕发现小水桶中的水面下降了1cm ，小燕量得小水桶的直径为12cm ，于是她就算出了铅球的半径．你知道她是如何计算的吗？请求出铅球的半径．（球的体积公式343V r π=，r 为球的半径．） 20．[x )表示小于x 的最大整数，如[2.3)=2，[-4)=-5，则下列判断：①[385-)= 8-；②[x ) –x 有最大值是0；③[x )–x 有最小值是-1；④x 1-≤[x )<x ，其中正确的是__________ （填编号）．21．若3109,b a =-且b 的算术平方根为4，则a =__________．三、解答题22．已知21a -的平方根是31a b +-的算术平方根是6，求4a b +的平方根． 23．初一年级某同学在学习完第二章《有理数》后，对运算产生了浓厚的兴趣．他借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：21a b a ab ⊕=--．求()23-⊕的值． 24．求下列各式中x 的值（1）21(1)64x +-=； （2）3(1)125x -=．25．观察下列各式：112⨯=1－12，123⨯=12－13，134⨯=13－14． （1）请根据以上式子填空：1891（2）由以上几个式子及你找到的规律计算：1 12⨯+123⨯+134⨯+．．．．．．．．．．．．+120152016⨯。
初一数学培优练习测试题(有理数)
初一培优训练题（有理数）一、基础提升训练：1．关于“零”说法正确的个数有（ ）①是整数，也是有理数；②不是正数，也不是负数；③是非正数，也是非负数； ④是整数，是最小的自然数；⑤是正整数，又是负整数，不是自然数；A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个2．在数轴上－3和＋3之间的有理数有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．无数个3．数轴上点P 对应的数是－2，那么与点P 的距离等于4个单位长度的点所对应的数是＿＿＿＿4．数轴上的点A 、B 分别表示－1和7，数轴上的点C 到A 、B 两点的距离相等，则点C 表示的数是＿＿＿＿＿5．若||2x =，则x =＿＿＿＿；若||1x -=，则x =＿＿＿＿＿6．下列说法中，正确的有（ ）①π的相反数是 3.14-；②符号相反数的数互为相反数；③0.5-的相反数是12； ④一个数和它的相反数不可能相等；⑤()3.8--的相反数是3.8A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个7．绝对值小于或等于2的所有整数是＿＿＿＿＿＿，它们的和为＿＿＿＿＿＿8．若||2,||3x y ==，且x y >，则x =＿＿＿，y =＿＿＿9．表示,x y 的两点在数轴上的位置如图所示，用“＜”、“＝”或“＞”填空：||x ＿＿＿＿x ，y ＿＿＿||y ，||__||x y ，___y x -10．23-与23的差的相反数是＿＿＿＿，比35-小15-的数的绝对值是＿＿＿，比9的相反数小2的数是＿＿＿＿＿11．某城市的上午的气温为2-℃，下午比中午下降了3-℃，则此时的气温为＿＿＿，晚上的最低气温下降到12-℃，这天最大温差是＿＿＿12．两个互为相反数的数之积（ ）A ．符号必为负B ．符号必为正C ．一定为非负数D ．一定为非正数13．若,m n 满足0,0m n mn +><，则（ ）A ．||||m n >B ．||||m n <C ．0,0m n ><时，||||m n >D ．0,0m n <>时， ||||m n >14．绝对值不大于4的所有负整数的积是＿＿＿＿15．设,,a b c 为三个有理数，若,0a b a b <+=，且0ac >，则a c +的符号为＿＿＿16．若,m n 互为相反数，则555m n +-=＿＿＿17．若一个数比它的相反数小，则这个数是（ ）A ．正数B ．负数C ．整数D ．非负数18．已知,,,a b c d 都是有理数，且,a b 互为相反数，,c d 互为倒数，则2335cd a b +-＝＿＿ 二、提高训练题：19．如图所示，数轴上的点A 、B 表示的数为a 和b ，则点A 到原点的距离是＿＿＿，点B 到原点的距离为＿＿＿B A20．如果4个不同的整数,,,m n p q 满足()()()()77774m n p q ----=，那么m n p q +++=＿＿21．若0ab ≠，则||||a b a b +的值不可能是（ ） A ．1 B ．2 C ．0 D ．－222．如果0abc ->，,b c 异号，那么a ＿＿0（填“＞”、“＜”、“＝”）23．11111(1)(1)(1)(1)(1)50494843-----＝＿＿＿ 24．有理数,,a b c 在数轴上的位置如图所示，则||||||a b b c c a -+---=＿＿＿。
湖南长郡中学七年级数学下册第六章【实数】经典练习题(培优专题)
一、选择题1．在实数：20192020，π2π，0.36，0.3737737773…（相邻两个3之间7的个数逐次加1），52- ） A ．4B ．5C ．6D ．72．有下列说法：①在1和2②实数与数轴上的点一一对应；③两个无理数的积一定是无理数；④2π是分数．其中正确的为（ ） A ．①②③④B ．①②④C ．②④D ．②3．下列命题中，①81的平方根是9；±2；③−0.003没有立方根；④−64的立方根为±4； ） A ．1B ．2C ．3D ．44．下列命题是真命题的是（ ） A ．两个无理数的和仍是无理数 B ．有理数与数轴上的点一一对应 C ．垂线段最短D ．如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等5．1的值（ ） A ．在7和8之间 B ．在6和7之间 C ．在5和6之间D ．在4和5之间6．，则571.34的平方根约为（ ） A ．239.03B ．±75.587C ．23.903D ．±23.9037．在下列各数中是无理数的有（ ）0.111-43π，3.1415926，2.010101（相邻两个0之间有1个1），76.0102030405060732 A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个8．已知：m 、n 为两个连续的整数，且m n <<，以下判断正确的是（ ）A 4B ．3m =C ．5的小数部分是0.236D ．9m n +=9．按照下图所示的操作步骤，若输出y 的值为22，则输入的值x 为（ ）A ．3B ．-3C ．±3D ．±910．下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③﹣2π不仅是有理数，而且是分数；④237是无限不循环小数，所以不是有理数；⑤无限小数不一定都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数；⑦非负数就是正数；⑧正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；其中错误的说法的个数为（ ） A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个11．如图，四个有理数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q ，若n+p=0，则m ，n ，p ，q 四个有理数中，绝对值最大的一个是（ ）A ．pB ．qC ．mD ．n二、填空题12．计算． （1）3218433⎛⎫-⨯-+- ⎪⎝⎭（2）178(4)4(5)-÷-+⨯-（3311256273⎫--⎪⎪⎭（4）22323223⎡⎤⎛⎫-⨯-⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦13．定义：如果将一个正整数a 写在每一个正整数的右边，所得到的新的正整数能被a 整除，则这个正整数a 称为“魔术数”．例如：将2写在1的右边得到12，写在2的右边得到22，……，所得到的新的正整数的个位数字均为2，即为偶数，由于偶数能被2整除，所以2是“魔术数”．根据定义，在正整数3，4，5中，“魔术数”为____________；若“魔术数”是一个两位数，我们可设这个两位数的“魔术数”为x ，将这个数写在正整数n 的右边，得到的新的正整数可表示为()100n x +，请你找出所有的两位数中的“魔术数”是_____________． 14．以下几种说法：①正数、负数和零统称为有理数；②近似数1.70所表示的准确数a 的范围是1.695 1.705a <；4±；④立方根是它本身的数是0和1；其中正确的说法有：_____．（请填写序号）15．对于实数x ，规定[x ]表示不大于x 的最大整数，如[4]＝4，＝1，如[﹣2.5]＝﹣3，现对82进行如下操作：82−−−→第一次＝9−−−→第二次＝3−−−→第三次＝1，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，按照以上操作，只需进行3次操作后变为2的所有正整数中，最大的正整数是__． 16．计算：（1）⎛- ⎝；（2|1--17．计算：（12)-+（218． 1.414≈，于是我们说：的整数部分为1，小数部分则可记为1”．则：（11的整数部分是__________，小数部分可以表示为__________；（22的小数部分是a ，7-b ，那么a b +=__________；（3x 的小数部分为y ，求1(x y --的平方根． 19．求下列各式中x 的值． （1）2(1)2x +=；（2）329203x +=．20．若30a +=，则+a b 的立方根是______．21．“⊗”定义新运算：对于任意的有理数a 和b ，都有21a b b ⊗=+．例如：2955126⊗=+=．当m 为有理数时，则(3)m m ⊗⊗等于________．三、解答题22．进位数是一种计数方法，可以用有限的数学符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为n 个则称为n 进制，现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0—9作为基数，特点是满十进1，对于任意一个(210)n n ≤≤进制表示的数通常使用n 个阿拉伯数字()01--n 作为基数，特点是逢n 进一，我们可以通过下列方式把它转化为十进制．例如：五进制数 ()252342535469=⨯+⨯+=，则()523469=，七进制数()271361737676=⨯+⨯+=（1）请将以下两个数转化为十进制：()5333= ，（746)= ．（2）若一个正数可以用7进制表示为()7abc ，也可用五进制表示为()5cba ，求出这个数并用十进制表示．23．3=，31a b -+的平方根是4±，c 3a b c ++的平方根．24．计算：（1）225--(2)125．阅读下面的文字，解答问题：无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来，比如π等，而常用“……”或者“≈”1的小数部分，你同意小刚的表示方法吗？事实上，小刚的表示方法是有道理的，的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．<<，即23<<，22也就是说，任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间． 根据上述信息，请回答下列问题：（1______，小数部分是_______；（2）10+10a b <+<，则a b +=_____；（34x y =+，其中x 是整数，且01y <<．求：x y -的相反数．一、选择题1．有下列四种说法：①数轴上有无数多个表示无理数的点； ②带根号的数不一定是无理数； ③平方根等于它本身的数为0和1； ④没有最大的正整数，但有最小的正整数； 其中正确的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．42．下列各数中，无理数有（ ）3.14125，8，127，0.321，π，2.32232223（相邻两个3之间的2的个数逐次增加1）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．在实数3-，-3.14，0，π，364中，无理数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，那么化简33a b a b ++-+的结果为（ ）A ．2a -B ．22b a -C ．0D ．2b5．下列各数中比3-小的数是( ) A ．2-B ．1-C ．12-D ．06．下列各式中,正确的是( ) A ．16=±4B ．±16=4C ．3273-=-D ．2(4)4-=-7．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，且||||b a >，则化简233||()a a b b -++-的结果是（ ）A ．2aB ．2bC ．22a b +D ．08．在3223.14,0.4,0.001,23,, 5.12112111227π-+--……中，无理数的个数为 （ ） A ．5B ．2C ．3D ．49．下列各数中，属于无理数的是（）A．227B．3.1415926 C．2.010010001 D．π3-10．按照下图所示的操作步骤，若输出y的值为22，则输入的值x为（）A．3 B．-3 C．±3 D．±9 11．下列计算正确的是（）A．21155⎛⎫-=⎪⎝⎭B．()239-=C．42=±D．()515-=-二、填空题12．教材中的探究：如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，用所得到的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法（数轴的单位长度为1）．（1）阅读理解：图1中大正方形的边长为________，图2中点A表示的数为________；（2）迁移应用：请你参照上面的方法，把5个小正方形按图3位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．①请在图3中画出裁剪线，并在图3中画出所拼得的大正方形的示意图．②利用①中的成果，在图4的数轴上分别标出表示数－0.5以及35-+的点，并比较它们的大小．13．如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一个长方形纸板的面积为162平方厘米．（提示：182＝324）（1）求正方形纸板的边长；（2）若将该正方形纸板进行裁剪，然后拼成一个体积为343立方厘米的正方体，求剩余的正方形纸板的面积．14．计算：()23143282--⨯-⨯-（） 15．计算：（1）223168(2)(3)-----（2）22(2)8x -=16．初一年级某同学在学习完第二章《有理数》后，对运算产生了浓厚的兴趣．他借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：21a b a ab ⊕=--．求()23-⊕的值． 17．若2x =，29y =，且0xy <，则x y -等于______．18．根据如图所示的程序计算，若输出y 的值为16，则输入x 的值为 ______．19．计算2020318|4-+-=_________．20．规定一种关于a 、b 的新运算：2*2a b b ab a =+-+，那么()3*2-=______． 21．若()221210a b c -+-=，则a b c ++=__________．三、解答题22．计算： （1）3243333225⎛- ⎝； （2381|136463---23．已知21a -的平方根是1731a b +-的算术平方根是6，求4a b +的平方根． 24．计算： （13168-．（2）()23540.255(4)8⨯--⨯⨯-．25．对于有理数a ，b ，定义一种新运算“”，规定ab a b a b =++-．（1）计算()23-的值；（2）①当a ，b 在数轴上的位置如图所示时，化简a b ；②当a b a c =时，是否一定有b c =或者b c =-？若是，则说明理由；若不是，则举例说明．一、选择题1．对于任意不相等的两个实数a ，b ，定义运算：a ※b ＝a 2﹣b 2+1，例如3※2＝32﹣22+1＝6，那么（﹣5）※4的值为（ ） A ．﹣40B ．﹣32C ．18D ．102．下列各组数中，互为相反数的是（ ）A ．2-与2B ．2-与12-C ．()23-与23-D ．38-与38- 3．下列各数中，无理数有（ ）3.14125，8，127，0.321，π，2.32232223（相邻两个3之间的2的个数逐次增加1）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．已知122=，224=，328=，4216=，5232=，……，根据这一规律，20192的个位数字是（ ） A ．2B ．4C ．8D ．65．若23a =-，2b =--，()332c =--，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．c b a >>6．如图，直径为1个单位长度的圆从A 点沿数轴向右滚动（无滑动）两周到达点B ，则点B 表示的数是（ ）A ．1π-B ．21π-C ．2πD ．21π+7．已知n 是正整数，并且n -1＜326+＜n ，则n 的值为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．108．85 ） A ．4B ．5C ．6D ．79．若1a >，则a ，a -，1a的大小关系正确的是（ ） A ．1a a a>->B ．1a a a>-> C ．1a a a>>- D ．1a a a->>10．下列各数中是无理数的是（ ）A ．227B ．1.2012001C ．2πD ．8111．已知|x |＝2，y 2＝9，且xy ＜0，则x +y 的值为（ ） A ．1或﹣1B ．-5或5C ．11或7D ．-11或﹣7二、填空题12．对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果a x ＝N （a ＞0，且a ≠1），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：x ＝log a N ，例如：32＝9，则log 39＝2，其中a ＝10的对数叫做常用对数，此时log 10N 可记为lgN ．当a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0时，log a （M •N ）＝log a M ＋log a N ． （1）解方程：log x 4＝2； （2）求值：log 48；（3）计算：（lg 2）2＋lg 2•1g 5＋1g 5﹣2018 13．若()22210b a b -+++-=，求()2020a b +的值．14．如图，数轴上点A ，B ，C 所对应的实数分别为a ，b ，c ，试化简()323|-|b a c a b -++．15．()1116353cos302-⎛⎫+-+--︒ ⎪⎝⎭16．计算：（1）2323615-++--- (2)122334-+-+-17．计算：()223228432-----⨯+18．﹣8的立方根与16的平方根之和是_____． 19．求下列各式中的x ： （1）2940x -=；（2）3(1)8x -=20．有个数值转换器，原理如图所示，当输入x 为27时，输出的y 值是________________．21．已知a b 、是有理数，若2364,64a b ==，则+a b 的所有值为____________．三、解答题22．求下列各式中的x ：（1）2940x -=；（2）3(1)8x -=23．计算：3011(2)(200422-+--- 24．阅读下面的文字，解答问题：无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来，比如π等，而常用“……”或者“≈”1的小数部分，你同意小刚的表示方法吗？事实上，小刚的表示方法是有道理的，的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．<<，即23<<，22也就是说，任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间．根据上述信息，请回答下列问题：（1______，小数部分是_______；（2）10+10a b <+<，则a b +=_____；（34x y =+，其中x 是整数，且01y <<．求：x y -的相反数．25．设2+x 、y ，试求x 、y 的值与1x -的立方根．。
初一数学培优经典试题及答案
初一数学培优经典试题及答案试题一：有理数的加减法题目：计算下列有理数的和：\[ 3 + (-2) + 4 + (-1) \]答案：首先，我们可以将正数和负数分别相加：\[ 3 + 4 = 7 \]\[ -2 + (-1) = -3 \]然后，将两个结果相加：\[ 7 + (-3) = 4 \]所以，最终结果是4。
试题二：绝对值的计算题目：求下列数的绝对值：\[ |-5|, |-(-3)|, |0| \]答案：绝对值表示一个数距离0的距离，不考虑正负号。
因此：\[ |-5| = 5 \]\[ |-(-3)| = |3| = 3 \]\[ |0| = 0 \]所以，这三个数的绝对值分别是5, 3, 和0。
试题三：一元一次方程的解法题目：解下列方程：\[ 2x - 3 = 7 \]答案：首先，将方程中的常数项移到等号的另一边：\[ 2x = 7 + 3 \]\[ 2x = 10 \]然后，将等式两边同时除以2，得到x的值：\[ x = \frac{10}{2} \]\[ x = 5 \]所以，方程的解是x = 5。
试题四：代数式的值题目：当a=3，b=-2时，求代数式\( ab + a - b \)的值。
答案：将给定的a和b的值代入代数式中：\[ ab + a - b = 3 \times (-2) + 3 - (-2) \]\[ = -6 + 3 + 2 \]\[ = -1 \]所以，代数式的值是-1。
试题五：几何图形的周长和面积题目：一个长方形的长是10厘米，宽是5厘米，求这个长方形的周长和面积。
答案：长方形的周长是长和宽的两倍之和：\[ 周长 = 2 \times (长 + 宽) \]\[ 周长 = 2 \times (10 + 5) \]\[ 周长 = 2 \times 15 \]\[ 周长 = 30 \] 厘米长方形的面积是长乘以宽：\[ 面积 = 长 \times 宽 \]\[ 面积 = 10 \times 5 \]\[ 面积 = 50 \] 平方厘米结束语：以上是初一数学培优的经典试题及答案，希望同学们能够通过这些题目加深对数学概念的理解和应用。
【学生卷】初中数学七年级数学下册第六单元《实数》经典练习(培优)
一、选择题1．下列各式计算正确的是（ ）A B = ±2 C = ±2 D ． A 解析：A【分析】根据平方根和立方根分别对四个选项进行计算即可．【详解】解：∵-1= 2= 2，，故只有A 计算正确；故选:A ．【点睛】本题考查的是平方根、算术平方根和立方根，计算的时候需要注意审题是求平方根还是算术平方根．2．下列各组数中，互为相反数的是（ ）A ．B ．2-与12-C ．()23-与23-D 解析：C【分析】根据绝对值运算、有理数的乘方运算、立方根、相反数的定义逐项判断即可得．【详解】A 、=不是相反数，此项不符题意；B 、2-与12-不是相反数，此项不符题意； C 、()223399,--=-=，则()23-与23-互为相反数，此项符合题意；D 2,2=-=-故选：C ．【点睛】本题考查了绝对值运算、有理数的乘方运算、立方根、相反数的定义，熟记各运算法则和定义是解题关键．3．在实数，-3.14，0，π中，无理数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B解析：B【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，进行判断即可．【详解】=4，所给数据中无理数有：π，共2个．故选：B．【点睛】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式．4）A．2 B．4 C．2±D．-4A解析：A【分析】【详解】解：∵，∴=2．故选：A．【点睛】．5．下列说法正确的是（）A．2-是4-的平方根B．2是()22-的算术平方根C．()22-的平方根是2D．8的平方根是4B解析：B【分析】根据平方根、算术平方根，即可解答．【详解】A选项：4-没有平方根，故A错误；B选项：()224-=，4的算术平方根为2，故B正确；C选项：()224-=，4的平方根为2±，故C错误；D选项：8的平方根为±，故D错误故选B．【点睛】本题考查了平方根、算术平方根，解决本题的关键是熟记平方根、算术平方根的概念．6．定义运算：132x y xy y=-※，若211a=-※，则a的值为（）A．12-B．12C．2-D．2C解析：C【分析】根据新定义的运算得到关于a 的方程，求解即可．【详解】解：因为211a =-※， 所以132112a a ⨯-=-， 解得 2a =-．故选：C【点睛】本题考查了新定义的运算与一元一次方程，根据新定义运算得到一元一次方程是解题关键．7．数轴上有O 、A 、B 、C 四点，各点位置与各点所表示的数如图所示．若数线上有一点D ，D 点所表示的数为d ，且|d ﹣5|＝|d ﹣c |，则关于D 点的位置，下列叙述正确的是？（ ）A ．在A 的左边B ．介于O 、B 之间C ．介于C 、O 之间D ．介于A 、C 之间B 解析：B【分析】借助O 、A 、B 、C 的位置以及绝对值的定义解答即可．【详解】解：-5＜c<0，b=5，|d ﹣5|＝|d ﹣c |∴BD=CD ，∴D 点介于O 、B 之间．故答案为B ．【点睛】本题考查了实数、绝对值和数轴等相关知识，掌握实数和数轴上的点一一对应是解答本题的关键．8．若53a =，则a 在（ ） A ．3-和2-之间B ．2-和1-之间C ．1-和0之间D ．0和1之间C 解析：C【分析】5案．【详解】解：∵4＜5＜9，∴253．∴-1＜0．故选：C ．【点睛】9．设,A B 均为实数，且A B ==,A B 的大小关系是（ ） A ．A B >B ．A B =C ．A B <D ．A B ≥ D 解析：D【分析】根据算术平方根的定义得出A 是一个非负数，且m-3≥0，推出3-m≤0，得出B≤0，即可得出答案，【详解】解：∵A =∴A 是一个非负数，且m-3≥0， ∴m≥3， ∵B =∵3-m≤0，即B≤0，∴A≥B ，故选：D ．【点睛】本题考查了算术平方根的定义，平方根和立方根，实数的大小比较等知识点，题目比较好，但有一定的难度．10． ）A ．5和6B ．6和7C ．7和8D ．8和9A 解析：A【分析】【详解】解：∵∴56，∴在两个相邻整数5和6之间．故选：A ．【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，注意首先估算无理数的值，再根据不等式的性质进行计算．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．二、填空题11．已知31a +的算数平方根是4，421c b +-的立方根是3，c 是13的整数部分．求22a b c +-的平方根．【分析】根据算术平方根的定义得到3a+1=16可解得a 值根据3＜＜4可得c=3再根据立方根的定义可得可解得b 然后将abc 的值代入计算即可【详解】解：根据题意可得：∴∵∴即的平方根为【点睛】本题考查了 解析：3±．【分析】根据算术平方根的定义得到3a+1=16，可解得a 值，根据3＜13＜4，可得c=3，再根据立方根的定义可得34213c b +-=，可解得b ，然后将a 、b 、c 的值代入计算即可．【详解】解：根据题意可得：2314a +=，∴5a =，3134<<，3c ∴=，∵34213c b +-=，∴8b =，22225833a b c ∴±+-=±⨯+-=±，即22a b c +-的平方根为3±．【点睛】本题考查了代数式的求值、算术平方根、立方根、无理数的估算，理解（算术）平方根的定义，立方根的定义，会利用完全平方数和算术平方根估算无理数的大小是解答的关键． 12．教材中的探究：如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，用所得到的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法（数轴的单位长度为1）．（1）阅读理解：图1中大正方形的边长为________，图2中点A 表示的数为________； （2）迁移应用：请你参照上面的方法，把5个小正方形按图3位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．①请在图3中画出裁剪线，并在图3中画出所拼得的大正方形的示意图．②利用①中的成果，在图4的数轴上分别标出表示数－0.5以及 35-的点，并比较它们的大小．（1）；（2）①见解析；②见解析【分析】（1）设正方形边长为a 根据正方形面积公式结合平方根的运算求出a 值则知结果；（2）①根据面积相等利用割补法裁剪后拼得如图所示的正方形；②由题（1）的原理得出大正 解析：（1）2,2-；（2）①见解析；②见解析， 350.5-+<-【分析】（1）设正方形边长为a ，根据正方形面积公式，结合平方根的运算求出a 值，则知结果； （2） ① 根据面积相等，利用割补法裁剪后拼得如图所示的正方形；②由题（1）的原理得出大正方形的边长为5，然后在数轴上以-3为圆心，以大正方形的边长为半径画弧交数轴的右方与一点M ，再把N 点表示出来，即可比较它们的大小．【详解】解：设正方形边长为a ，∵a 2=2，∴a=2±，故答案为：2，2-；（2）解：①裁剪后拼得的大正方形如图所示：②设拼成的大正方形的边长为b ，∴b 2=5，∴b=±5，在数轴上以-3为圆心，以大正方形的边长为半径画弧交数轴的右方与一点M ，则M 表示的数为-3+5，看图可知，表示-0.5的N 点在M 点的右方，∴比较大小：350.5-+<-．【点睛】本题主要考查平方根与算术平方根的应用及实数的大小比较，熟练掌握平方根与算术平方根的意义及实数的大小比较是解题的关键．13．计算．（1）()113122⎛⎫⎛⎫---++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()328--（1）4；（2）【分析】（1）变减号为加号同时省略括号和加号先两个分数相加再和最后一个数相加；（2）先算乘方和开方再算乘除最后算加减【详解】（1）原式；（2）原式【点睛】此题考查有理数混合运算其关键解析：（1）4；（2）6-．【分析】（1）变减号为加号同时省略括号和加号，先两个分数相加，再和最后一个数相加； （2）先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减．【详解】（1）原式111322=-++ 13=+4=；（2）原式()()8288=-+-÷-⨯82=-+6=-．【点睛】此题考查有理数混合运算，其关键是熟练掌握每种运算和按运算顺序运算，注意用运算律改变运算顺序以使运算简便．14．求x 的值：（1）2(3)40x +-=（2）33(21)240x ++=（1）或；（2）【分析】（1）整理后利用平方根的定义得到然后解两个一元一次方程即可；（2）整理后利用立方根的定义得到然后解一元一次方程即可【详解】（1）移项得：∴∴或；（2）整理得：∴∴【点睛】本题解析：（1）1x =-或5x =-；（2）32x =-． 【分析】（1）整理后，利用平方根的定义得到32x +=±，然后解两个一元一次方程即可； （2）整理后，利用立方根的定义得到212x +=-，然后解一元一次方程即可．【详解】（1）2(3)40x +-=，移项得：2(3)4x +=，∴32x +=±，∴1x =-或5x =-；（2）33(21)240x ++=，整理得：3(21)8x +=-，∴212x +=-， ∴32x =-． 【点睛】 本题考查了立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根．这就是说，如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根．也考查了平方根．15．定义：如果将一个正整数a 写在每一个正整数的右边，所得到的新的正整数能被a 整除，则这个正整数a 称为“魔术数”．例如：将2写在1的右边得到12，写在2的右边得到22，……，所得到的新的正整数的个位数字均为2，即为偶数，由于偶数能被2整除，所以2是“魔术数”．根据定义，在正整数3，4，5中，“魔术数”为____________；若“魔术数”是一个两位数，我们可设这个两位数的“魔术数”为x ，将这个数写在正整数n 的右边，得到的新的正整数可表示为()100n x +，请你找出所有的两位数中的“魔术数”是_____________．10202550【分析】①由魔术数的定义分别对345三个数进行判断即可得到5为魔术数；②由题意根据魔术数的定义通过分析即可得到答案【详解】解：根据题意①把3写在1的右边得13由于13不能被3整除故3 解析：10、20、25、50．【分析】①由“魔术数”的定义，分别对3、4、5三个数进行判断，即可得到5为“魔术数”； ②由题意，根据“魔术数”的定义通过分析，即可得到答案．【详解】解：根据题意，①把3写在1的右边，得13，由于13不能被3整除，故3不是魔术数；把4写在1的右边，得14，由于14不能被4整除，故4不是魔术数；把5写在1的右边，得15，写在2的右边得25，……由于个位上是5的数都能被5整除，故5是魔术数；故答案为：5；②根据题意，这个两位数的“魔术数”为x ，则1001001n x n x x+=+， ∴100n x为整数， ∵n 为整数，∴100x为整数， ∴x 的可能值为：10、20、25、50； 故答案为：10、20、25、50．【点睛】本题考查了新定义的应用和整数的特点，解题的关键是熟练掌握新定义进行解题．16． 1.414≈，于是我们说：的整数部分为1，小数部分则可记为1”．则：（11的整数部分是__________，小数部分可以表示为__________；（22的小数部分是a ，7-b ，那么a b +=__________；（3x 的小数部分为y ，求1(x y --的平方根．（1）2；（2）1；（3）【分析】（1）先估算出的取值范围再确定的整数部分和小数部分；（2）先估算出和的取值范围再确定a 与b 的值最后代入代数式计算即可；（3）先估算出的取值范围再确定xy 的值最后代入解析：（1）21；（2）1；（3）3±．【分析】（11的整数部分和小数部分；（22和7-a 与b 的值，最后代入代数式计算即可；（3的取值范围，再确定x 、y 的值，最后代入代数式计算即可．【详解】解：（1）∵1＜2＜4∴1＜2 ∴1， ∴1的整数部分为212+-1故答案为21；（2）∵1＜3＜4∴12∴1，∴2的整数部分为3，小数部分为21-；7-的整数部分为5，小数部分为b=75--=2∴1+2=1故答案为1；（3）∵9＜11＜16∴3＜4 ∴x=3，小数部分为-3∴()3211(3==3=9x y --- ∵3±．故答案为3±．【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，掌握运用逼近法比较无理数的大小成为解答本题的关键．17．已知21a -的平方根是31a b +-的算术平方根是6，求4a b +的平方根．【分析】根据算术平方根和平方根的定义列式求出ab 的值然后代入代数式求出的值再根据平方根的定义解答即可【详解】解：根据题意得解得所以∵∴的平方根是【点睛】本题考查了算术平方根和平方根的定义能够熟记概念 解析：7±【分析】根据算术平方根和平方根的定义列式求出a 、b 的值，然后代入代数式求出4a b +的值，再根据平方根的定义解答即可．【详解】解：根据题意，得2117a -=，2316a b +-=，解得9a =，10b =，所以，4941094049a b +=+⨯=+=，∵()2749±=， ∴4a b +的平方根是7±．【点睛】本题考查了算术平方根和平方根的定义，能够熟记概念并列式求出a 、b 的值是解题的关键．18．定义一种新运算“”规则如下：对于两个有理数a ，b ，a b ab b =-，若()()521x -=-，则x =______【分析】根据给定新运算的运算法则可以得到关于x 的方程解方程即可得到解答【详解】解：由题意得：（5x-x ）⊙(−2)=−1∴-2（5x-x ）-（-2）=-1∴-8x+2=-1解之得：故答案为【点睛】本 解析：38【分析】根据给定新运算的运算法则可以得到关于x 的方程，解方程即可得到解答．【详解】解：由题意得：（5x-x ）⊙(−2)=−1，∴-2（5x-x）-（-2）=-1，∴-8x+2=-1，解之得：38x=，故答案为38．【点睛】本题考查新定义下的实数运算，通过阅读题目材料找出有关定义和运算法则并应用于新问题的解决是解题关键．19．比较大小：3-（用“>”，“<”或“=”填空）．＞【分析】正实数都大于0负实数都小于0正实数大于一切负实数两个负实数绝对值大的反而小据此判断即可【详解】解：因为＜＜所以2＜＜3所以-3＜-＜-2故答案为：＞【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法解析：＞【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【详解】所以2＜3所以，-3＜-2故答案为：＞【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．20．已知1a-的平方根是2±，则a的值为_______．5【分析】根据平方根的定义求解即可【详解】的平方根是a-1=4a=5故答案为：5【点睛】此题考查了平方根的定义一个整数的平方根有两个它们互为相反数解析：5【分析】根据平方根的定义求解即可．【详解】1a-的平方根是2±，∴a-1=4，∴a=5．故答案为：5【点睛】此题考查了平方根的定义，一个整数的平方根有两个，它们互为相反数．三、解答题21．如图，一只蚂蚁从点A 沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B ，点A 表示2-，设点B 所表示的数为m ．（1）实数m 的值是___________；（2）求|1||1|m m ++-的值；（3）在数轴上还有C 、D 两点分别表示实数c 和d ，且有|2|c d +与4d +互为相反数，求23c d -的平方根．解析：（1）2+2；（2）2；（3）4±【分析】（1）根据两点间的距离公式可得答案；（2）由（1）可知10m +>、10m -<，再利用绝对值的性质化简绝对值号，继而求得答案；（3）根据非负数的性质求出c 、d 的值，再代入23c d -，进而求其平方根．【详解】解：（1）∵蚂蚁从点A 沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B ，点A 表示2-∴点B 表示2+2∴2+2m =-．（2）∵2+2m =-∴1221230m +=-+=->，1221210m -=--=-< ∴11m m ++-()11m m =+--11m m =+-+2=．（3）∵2c d +4d + ∴240c d d ++=∴2040c d d +=⎧⎨+=⎩ ∴24c d =⎧⎨=-⎩∴()23223416c d -=⨯-⨯-=∴23164c d -==±，即23c d -的平方根是4±．【点睛】本题考查了实数与数轴、绝对值的性质、相反数的性质、非负数的性质、求一个数的平方根等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．22．定义一种新运算，观察下列式子：212122128=⨯+⨯⨯=★；2232322330=⨯+⨯⨯=★；()()()221212212-=⨯-+⨯⨯-=-★； ()()213132133-=-⨯+⨯-⨯=★；；（1）计算：()32-★的值；（2）猜想：a b =★________；（3）若12162a +=-★，求a 的值． 解析：（1）0；（2）22ab ab +；（3）5a =-【分析】（1）利用规定的运算方法直接代入计算即可；（2）利用规定的运算方法求解即可；（3）利用规定的运算方法得到方程，再进一步解方程即可．【详解】解：（1）∵212122128=⨯+⨯⨯=★；2232322330=⨯+⨯⨯=★；()()()221212212-=⨯-+⨯⨯-=-★； ()()213132133-=-⨯+⨯-⨯=★；；∴()()()232322320-=⨯-+⨯⨯-=★；（2）由（1）可得：22a b ab ab =+★．故答案为：22ab ab +．（3）2111222216222a a a +++=⨯+⨯⨯=-★， 解得：5a =-．【点睛】此题考查有理数的混合运算以及解一元一次方程，理解运算方法是解决问题的关键． 23．计算（1）22234x +=；（2）38130125x +=（3）2|12|(2)---；（4）（x ＋2）2＝25．解析：（1）12x x ==-2）x=35；（3）12；（4）123,7x x ==-． 【分析】（1）方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解；（2）先求出x 3的值，再根据立方根的定义解答；（3）直接利用绝对值的性质、平方根定义和负指数幂的性质分别化简得出答案； （4）依据平方根的定义求解即可．【详解】（1）22234x +=，2x²=32，x²=18，，∴12x x ==-（2）38130125x +=， 327125x =-， x=35；（3）2|12|(2)--- ＝1-1144-=311442-= （4）（x ＋2）2＝25，(x+2)=±5，x+2=5，x+2=-5，∴123,7x x ==-．【点睛】本题考查了利用平方根和立方根解方程，绝对值的性质和负指数幂的性质，掌握有关性质是解题的关键．24．求出x 的值：()23227x += 解析：x ＝1或x ＝﹣5【分析】依据平方根的性质可得到x +2的值，然后解关于x 的一元一次方程即可．【详解】解：∵3（x +2）2＝27，∴（x +2）2＝9，∴x +2＝±3，解得：x ＝1或x ＝﹣5．【点睛】本题主要考查的是平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．25．计算：3011(2)(200422-+-- 解析：8-【分析】根据运算法则和运算顺序准确计算即可.【详解】解：3011(2)(200422-+-- 11822=-+- 8=-【点睛】本题考查了实数得混合运算，掌握运算法则和顺序是解题的关键.26．把下列各数的序号填入相应的括号内①-3，②π，，④-3.14，，⑥0，⑦227，⑧-1，⑨1.3，⑩1.8080080008…（两个“8”之间依次多一个“0”）． 整数集合{ …}，负分数集合{ …}，正有理数集合{ …}，无理数集合{ …}．解析：见解析．【分析】先求出立方根，再根据整数、负分数、正有理数、无理数的定义即可得．【详解】3=-，27．把下列各数填在相应的横线上1.4，2020，，32-，0.31，0π-，1.3030030003…（每相邻两个3之间0的个数依次加1）（1）整数：______（2）分数：______（3）无理数：______解析：（1）2020，02）1.4，32-，0.31；（3），π-，1.3030030003…（每相邻两个3之间0的个数依次加1）【分析】根据实数的分类进行填空即可．【详解】，（1）整数：2020，0（2）分数：1.4，32-，0.31（3）无理数：π-，1.3030030003…（每相邻两个3之间0的个数依次加1）故答案为：2020，0 1.4，32-，0.31；π-，1.3030030003…（每相邻两个3之间0的个数依次加1）【点睛】本题考查了实数的分类，掌握实数的分类是解题的关键． 28．观察下列各式：112⨯=1－12，123⨯=12－13，134⨯=13－14． （1）请根据以上式子填空： ①189⨯= ，②1(1)n n ⨯+= （n 是正整数） （2）由以上几个式子及你找到的规律计算：112⨯+123⨯+134⨯+．．．．．．．．．．．．+120152016⨯ 解析：（1）①1189-，②111n n -+；（2）20152016 【分析】（1）仔细观察所给式子的结构，发现规律111=(1)1n n n n -⨯++，即可解答； （2）根据发现的规律变形原式，进行合并化简即可解答．【详解】（1）仔细观察，发现111=(1)1n n n n -⨯++，则1118989=-⨯， 故答案为：①1189-，②111n n -+； （2）根据111=(1)1n n n n -⨯++， 则112⨯+123⨯+134⨯+．．．．．．．．．．．．+120152016⨯=1111111 (1)()()()2233420152016 -+-+-++-=1 12016 -=2015 2016．【点睛】本题考查数字规律的探索、有理数的混合运算，解答的关键是发现式子的变化规律，根据规律变形原式，从而使计算简单化．。
初一数学培优练习题
初一数学培优练习能力拓展一选择题1、有理数a 等于它的倒数，则a 2006是（ ）A 、最大的负数B 、最小的非负数C 、绝对值最小的整数D 、最小的正整数 2、 (－0.125)2005×(－8)2006的值为（ ）A 、－4B 、4C 、－8D 、8 3、若，则a bab+的取值不可能是（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、－24、在－0.1428中用数字3替换其中的一个非0数码后，使所得的数最大，则被替换的数字是（ ）A 、1B 、2C 、4D 、8 5、把14个棱长为1的正方体，在地面上堆叠成如图1所示的立体， 然后将露出的表面部分涂成红色，那么红色部分的面积为（ ） A 、21 B 、24 C 、33 D 、376、若m ＜0，n ＞0，m+n ＜0，则m ，n ，－m ，－n 这四个数的大小关系是（ ） A 、m ＞n ＞－n>－m B 、－m ＞n ＞－n ＞m C 、m ＞－m ＞n ＞－n D 、－m ＞－n ＞n ＞m7、把足够大的一张厚度为0.1㎜的纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过12㎜，至少要对折（ ）.A 、6次B 、7次C 、8次D 、9次 二、填空题9、关于x 的一元一次方程（2m -6）x │m │－2=m 2的解为 .10、春节联欢会上，电工师傅在礼堂四周挂了一圈彩灯，其排列规则是：绿黄黄红红红绿黄黄红红红绿黄黄红红红绿黄黄红红红…那么，第2006个彩灯是________色的. 11、将自然数按下列三角形规律排列,则第15行的各数之和是 . 12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 25 ……… ……… ……… ……… ………… 例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值．()()()()()()1111112220072007ab a b a b a b ++++++++++例3．当代数式532++x x 的值为7时,求代数式2932-+x x 的值.0ab ≠图12008200712007200720072222323=+=++=+++=++a a a a a a a 20082007120072007220072)1(200722007222222223=+=++=++-=++-=++=++a a a a a a a a a a a a a 例4． 已知012=-+a a ，求2007223++a a 的值. 解法一（整体代人）：由012=-+a a 得 023=-+a a a 所以：解法二（降次）：方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型，还具有降次的功能。
初一下数学期末培优(6份)
初一下数学期末培优（一）——实数培优11．设2a 2的整数部分为，小数部分为b ，求-16ab-8b 的立方根。
2.已知5+11的小数部分为a ，5－11的小数部分为b ，求：（1）a +b 的值；（2）a －b 的值.3、若35,b a b ++的小数部分是a ，3-5的小数部分是则的值为（ ）A 、0B 、1C 、-1D 、23. 若102.0110.1=，则0.010201-= ．4．已知4495.26=，7460.760=。
直接写出下列各式的值： (1) =6.0 (2) =600 (3) =06.0 (4) =60005．已知2m-3和m-12是数p 的平方根，试求p 的值6．已知某数有两个平方根分别是a +3与2a －15,求这个数.7.一个数的算术平方根为a ，比这个数大2的数是（ ）A.a +2B.a －2C.a +2D.a 2+28.m 是一个整数的平方数，那么和m 相邻且比它大的那个平方数是（）29.如果a (a ＞0)的平方根是±m ，那么（ ）A.a 2=±mB.a =±m 2C.a =±mD.±a =±m10.．若,,3532320042004,4x y m x y m x y m x y x y m +--++-=+-+---适合于关系式试求的算术平方根。
11.、28、已知052522=-++-x x x y ，求7（x ＋y ）－20的立方根。
12.若x 、y 都是实数，且y =3-x +x -3+8，求x +3y 的立方根.13.已知,,32220022002,x y z x y z x y z x y x y +--++-=+-+--适合关系式试求x,y,z 的值。
14.△ABC 的三边长为a 、b 、c ，a 和b 满足()0212=-+-b a ，求c 的取值范围。
15.在Rt △ABC 中，∠C =90°,c 为斜边，a 、b 为直角边， 则化简2)(c b a +-－2|c －a －b |的结果为（ ）A.3a +b －cB.－a －3b +3cC. a +3b －3cD. 2a初一下数学期末培优（二）——实数培优216. 对于每个非零有理数c b a ,,式子abcabc c c b b a a +++的所有可能的值有?17.实数ａ、ｂ、ｃ在数轴上的对应点如图所示，其中｜ａ｜＝｜ｃ｜试化简：｜ｂ－ｃ｜－｜ｂ－ａ｜＋｜ａ－ｃ－2ｂ｜－｜ｃ－ａ｜例1 已知y x ,满足,04232=--+-+y x y x 532--y x 求的值.例2 已知在实数范围内x 23-有意义，化简7296-+-x x .例3 在实数范围内解方程28.6322=-+-+-y x x ππ.例4 已知()02352,,2=-+-+-c b a c b a 满足（1）求c b a ,,的值； （2）试问以c b a ,,为边能否构成三角形？如果能构成三角形，求它的周长；如果不能构成三角形，请说明理由.例5 已知()333423,0312,4z y x x x y z ++=-++-=求且的值。
七年级有理数(培优篇)(Word版 含解析)
一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）1．如图，已知数轴上的点表示的数为，点表示的数为，点到点、点的距离相等，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为 ( 大于秒.（1）点表示的数是________.（2）求当等于多少秒时，点到达点处？（3）点表示的数是________(用含字母的式子表示)（4）求当等于多少秒时，、之间的距离为个单位长度.【答案】（1）1（2）解：[6-（-4）]÷2=10÷2=5（秒）答：当t=5秒时，点P到达点A处.（3）2t-4（4）解：当点P在点C的左边时，2t=3，则t=1.5；当点P在点C的右边时，2t=7，则t=3.5.综上所述，当t等于1.5或3.5秒时，P、C之间的距离为2个单位长度.【解析】【解答】解：（1）依题意得，点C是AB的中点，故点C表示的数是： =1. 故答案是：1；（ 3 ）点P表示的数是2t-4.故答案是：2t-4；【分析】（1）根据x c=可求解；（2）根据数轴上两点间的距离等于两点坐标之差的绝对值可求得AB的距离，再根据时间=路程÷速度可求解；（3）根据题意可得点P表示的数=点P运动的距离+X B可求解；（4）由题意可分两种情况讨论求解：① 当点P在点C的左边时，由题意可列关于t的方程求解；② 当点P在点C的右边时，同理可求解.2．如图，点A、B都在数轴上，O为原点.（1）点B表示的数是________；（2）若点B以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，则2秒后点B表示的数是________；（3）若点A、B分别以每秒1个单位长度、3个单位长度的速度沿数轴向右运动，而点O 不动，t秒后，A、B、O三个点中有一个点是另外两个点为端点的线段的中点，求t的值. 【答案】（1）-4（2）0（3）解：① 当点O是线段AB的中点时，OB=OA4－3t=2+tt=0.5② 当点B是线段OA的中点时， OA = 2 OB2+t=2(3t-4)t=2③ 当点A是线段OB的中点时， OB = 2 OA3t－-4=2(2+t)t=8综上所述，符合条件的t的值是0.5，2或8.【解析】【解答】（1）点B表示的数是-4；（2）2秒后点B表示的数是 0 ；【分析】（1）根据数轴上所表示的数的特点即可直接得出答案；（2）用点B开始所表示的数＋点B运动的路程＝经过t秒后点B表示的数，即可得出结论；（3）找出t秒后点A、B表示的数，分①点O为线段AB的中点，②当点B是线段OA的中点，③点A是线段OB的中点，根据线段中点的数学语言列出方程，求解即可求出此时的t值，综上即可得出结论。
七年级一元一次方程周末培优习题
初一数学培优练习【例1】(1)已知关于x 的方程3［x —2（x —3a )]=4x 和312x a +—158x -=1•有相同的解，•那么这个解是___________. （北京市“迎春杯”竞赛题)（2）如果12+16+112+…+1(1)n n +=20032004，那么n=________。
(第18届江苏省竞赛题)【例2】 当b=1时,关于x 的方程a(3x-2）+b （2x-3）=8x —7有无数多个解,则a 等于（• ）。
A 。
2B 。
-2 C.—23D 。
不存在 （“希望杯”邀请赛试题) 【例3】 是否存在整数k ，使关于x 的方程（k-5）x+6=1—5x 在整数范围内有解?并求出各个解.【例4】解下列关于x 的方程.(1)4x+b=ax —8;(a ≠4）（2)mx —1=nx ；（3）13m （x-n ）=14(x+2m)。
【例5】已知p 、q 都是质数，并且以x 为未知数的一元一次方程px+5q=97•的解是1，求代数式40p+101q+4的值. （第14届“希望杯”邀请赛试题）【例6】.将连续的自然数1~1001按如图的方式排列成一个长方形阵列,•用一个正方形框出16个数，要使这个正方形框出的16个数之和分别等于:(1）1988；（2)1991;(•3）2000；(4)2080。
这是否可能?若不可能,试说明理由；若可能，请写出该方框16个数中的最小数与最大数。
（2002年河北省竞赛题） 1 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12 13 1415 16 17 18 19 20 2122 23 24 25 26 27 28…… ……995 996 997 998 999 1000 1001一、基础夯实1。
已知x=-1是关于x 的方程7x 3-3x 2+kx+5=0的解,则k 3+2k 2—11k —85=______。
2。
计算器上有一个倒数键1/x ，能求出输入的不为零的数的倒数（注:有时需先按shift 或2nd 键，再按1/x 键，才能实现此功能,下面不再说明）。
浙教版七年级数学培优应用题专项练习测试题
初一数学培优练习（六）——应用题专项训练【例1】 从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。
一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米，。
车从甲地开往乙地需9小时，从乙地开往甲地需217小时，问：甲、乙两地间的公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？【例2】 摄制组从A 市到B 市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C 市吃午饭。
由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息。
司机说，再走从C 市到这里路程的二分之一就到达目的地了。
问A 、B 两市相距多少千米？【例3】在黑板上从1开始，写出一组连续的自然数，然后擦去了一个数，其余的平均值为17735，试问擦去的数是什么数？【例4】江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完，如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机多少台?【例5】从两个重量分别为7千克和3千克，且含铜百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把切下的每一块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两块合金含铜百分数相等，求所切下的合金的重量是多少？【例6】有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元。
现在购甲、乙、丙各一件共需多少元？【例7】两个代表团从甲地乘车往乙地，每车可乘35人。
两代表团各坐满若干辆车后，第一代表团剩下的15人与第二代表团剩下的成员正好又坐满一辆车。
会后，第一代表团的每个代表与第二代表团的每个代表都合拍一张照片留念。
如果每个胶卷可以拍35张照片，那么拍完最后一位代表的照片后，照相机中的胶卷还可以拍多少张照片照片？【例8】我校七年级八班的一个研究性学习小组对学生中午在学校食堂的就餐时间进行了调查.发现在单位时间内，每个窗口买走午餐的人数和因不愿长久等待而到校外就餐的人数各是一个固定数.并且发现若开1个窗口，45分钟可使等待人都能买到午餐；若同时开2个窗口，则需30分钟.还发现，若在25分钟内等待的学生都能买到午餐，在单位时间内，外出就餐的人数可减少80%.在学校学生总人数不变且人人都要就餐的情况下，为了方便学生就餐，调查小组建议学校食堂20分钟内卖完午餐.问至少要同时开多少个窗口？巩固练习1．某文化商场同时卖出两台电子琴，每台均卖960元，其中一台盈利20％，另一台亏本20％，则本次出售中商场--------------------------------（ ）A.不赔不赚B.赚160元C.赚80元D.赔80元2．七年级一班的所有同学都分别参加了课外体育小组和唱歌小组，有的同学还同时参加了两个小组。
初一数学培优练习例题
初一数学培优练习例题例题求解【例1】已知a+b=0，ab，则化简〔a+1〕+〔b+1〕得〔〕. 〔第15届江苏省竞赛题〕A.2aB.2bC.+2D.-2【例2】已知x=2，y=-4时，代数式ax3+by+5=1997，求当x=-4，y=-时，代数式3ax-24by3+4986的值.【例3】已知关于x的二次多项式a〔x3-x2+3x〕+b〔2x2+x〕+x3-5，当x=2时的值为-17，•求当x=-2时，该多项式的值. 〔"盼望杯'邀请赛培训题〕【例4】〔1〕已知:5│〔x+9y〕〔x，y为整数〕，求证:5│〔8x+7y〕.【例5】已知求的值。
【例6】已知式子：的值恒为一个常数，求x的取值范围。
【例7】已知关于x的二次多项式，当x=2时的值为-17，求当x=-2时，该多项式的值。
【例8】三个有理数a、b、c，其积是负数，其和是正数，当时，则代数式的值是多少?【例9】已知，求的值。
【例10】、x为何值时，有最小值，并求出这个最小值。
【例11】已知，则的值是多少学力训练一、基础夯实：1.已知2axbn-1与-3a2b2m是同类项，那么〔2m-n〕x=__________.〔第12届江苏省竞赛题〕2.已知代数式〔2x2+ax-y+6〕-〔2bx2-3x+5y-1〕.〔1〕当a=_______，b=________时，此代数式的值与字母x 的取值无关；〔2〕在〔1〕的条件下，多项式3〔a2-2ab-b2〕-〔4a2+ab+b2〕的值为__________.3.已知a=1999，则│3a3-2a2+4a-1│-│3a3-3a2+3a-2021│=_________.4.已知当x=-2时，代数式ax+bx+1的值为6，那么当x=2时，代数式ax3+bx+1•的值是_______.5.火车站和机场都为旅客提供打包服务，假如长、宽、高分别为x、y、z的箱子按如图的方式打包，则打包带的长至少为〔〕.A.4x+4y+10zB.x+2y+3zC.2x+4y+6zD.6x+8y+6z 〔2021年太原市中考题〕6.同时都含有字母a、b、c，且系数为1的7次单项式共有〔〕.A.4个B.12个C.15个D.25个〔北京市竞赛题〕7.已知-m+2n=5，那么5〔m-2n〕2+6n-3m-60的值为〔〕A.80B.10C.210D.408.把一个正方体的六个面分别标上字母A、B、C、D、E、F 并展开如下图，•已知:A=x2-4xy+3y2，C=3x2-2xy-y2，B= 〔C-A〕，E=B-2C，•若正方体相对的两个面上的多项式的和都相等，求D、F.9.已知单项式0.25xbyc与单项式-0.125xm-1y2n-1的和为0.625axnym，求abc的值.二、能力拓展10.若a-b=2，b-c=-3，c-d=5，则〔a-c〕〔b-d〕〔a-d〕=________.11.当x=2时，代数式ax3-bx+1的值等于-17，那么当x=-1时，代数式12ax-3bx3-5•的值等于_________. 〔北京市"迎春杯'竞赛题〕12.将1，2，3，，100这100个自然数，任意分为50组，每组两个数，•现将每组的两个数中任一数值记作a，另一个记作b，代入代数式〔│a-b│+a+b〕中进行计算，•求出其结果，50组数代入后可求得50个值，则这50个值的和的最大值是_______.13.计算1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+1993+1994-1995-1996+ 1997+1998-1999-2000，最终结果是〔〕.A.0B.-1C.1999D.-200014.已知a-b且0，则│a│-│b│+│a+b│+│ab│等于〔〕.A.2a+2b+abB.-ab；C.-2a-2b+abD.-2a+ab15.已知代数式当x=1时，值为1，那么该代数式当x=-1时的值是〔〕.A.1B.-1C.0D.2 〔第11届"盼望杯'邀请赛试题〕16.x、y、z均为整数，且11│7x+2y-5z，求证:11│3x-7y+12z.〔北京市竞赛题〕17、假如则的值是多少。
七年级数学上册全册单元测试卷(培优篇)(Word版 含解析)
七年级数学上册全册单元测试卷（培优篇）（Word版含解析）一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选（难）1．已知，，点E是直线AC上一个动点（不与A,C重合），点F是BC边上一个定点，过点E作，交直线AB于点D，连接BE，过点F作，交直线AC于点G．（1）如图①，当点E在线段AC上时，求证：．（2）在（1）的条件下，判断这三个角的度数和是否为一个定值？如果是，求出这个值，如果不是，说明理由．（3）如图②，当点E在线段AC的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出之间的关系．（4）当点E在线段CA的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出之间的关系．【答案】（1）解：∵∴∵∴∴（2）解：这三个角的度数和为一个定值，是过点G作交BE于点H∴∵∴∴∴即（3）解：过点G作交BE于点H∴∵∴∴∴即故的关系仍成立（4）不成立| ∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°【解析】【解答】解：(4)过点G作交BE于点H∴∠DEC=∠EGH∵∴∴∠HGF+∠BFG=180°∵∠HGF=∠EGF-∠EGH∴∠HGF=∠EGF-∠DEC∴∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°∴（2）中的关系不成立，∠EGF、∠DEC、∠BFG之间关系为：∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°故答案为：不成立，∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°【分析】（1）根据两条直线平行，内错角相等，得出；两条直线平行，同位角相等，得出，即可证明．（2）过点G作交BE于点H，根据平行线性质定理，，，即可得到答案．（3）过点G作交BE于点H，得到，因为，所以，得到，即可求解．（4）过点G作交BE于点H，得∠DEC=∠EGH，因为，所以，推得∠HGF+∠BFG=180°，即可求解．2．如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为________；（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD−∠AEM＝90°；（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝30°，∠PEB＝15°，求∠N的度数．【答案】（1）∠PFD＋∠AEM=90°（2）过点P作PG∥AB∵AB∥CD，∴PG∥AB∥CD，∴∠AEM=∠MPG，∠PFD=∠NPG∵∠MPN=90°∴∠NPG－∠MPG=90°∴∠PFD－∠AEM=90°；（3）设AB与PN交于点H∵∠P=90°，∠PEB＝15°∴∠PHE=180°－∠P－∠PEB＝75°∵AB∥CD，∴∠PFO=∠PHE=75°∴∠N=∠PFO－∠DON=45°．【解析】【解答】（1）过点P作PH∥AB∵AB∥CD，∴PH∥AB∥CD，∴∠AEM=∠MPH，∠PFD=∠NPH∵∠MPN=90°∴∠MPH＋∠NPH=90°∴∠PFD＋∠AEM=90°故答案为：∠PFD＋∠AEM=90°；【分析】（1）过点P作PH∥AB，然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得PH∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠AEM=∠MPH，∠PFD=∠NPH，然后根据∠MPH＋∠NPH=90°和等量代换即可得出结论；（2）过点P作PG∥AB，然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得PG∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠AEM=∠MPG，∠PFD=∠NPG，然后根据∠NPG－∠MPG=90°和等量代换即可证出结论；（3）设AB与PN 交于点H，根据三角形的内角和定理即可求出∠PHE，然后根据平行线的性质可得∠PFO=∠PHE，然后根据三角形外角的性质即可求出结论．3．点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离记作AB．当A、B两点中有一点为原点时，不妨设A点在原点．如图①所示，则AB＝OB＝|b|＝|a﹣b|．当A、B两点都不在原点时：⑴如图②所示，点A、B都在原点的右边，不妨设点A在点B的左侧，则AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|b﹣a|＝|a﹣b|⑵如图③所示，点A、B都在原点的左边，不妨设点A在点B的右侧，则AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣(﹣a)＝a﹣b＝|a﹣b|⑶如图④所示，点A、B分别在原点的两边，不妨设点A在点O的右侧，则AB＝OB+OA＝|b|+|a|＝a+(﹣b)＝|a﹣b|回答下列问题：（1）综上所述，数轴上A、B两点之间的距离AB＝________．（2）数轴上表示2和﹣4的两点A和B之间的距离AB＝________．（3）数轴上表示x和﹣2的两点A和B之间的距离AB＝________，如果AB＝2，则x的值为________．（4）若代数式|x+2|+|x﹣3|有最小值，则最小值为________．【答案】（1）（2）6（3）；0或－4（4）5【解析】【解答】(1)综上所述，数轴上A、B两点之间的距离 (2)数轴上表示2和－4的两点A和B之间的距离 (3)数轴上表示和－2的两点A和B之间的距离如果，则的值为或由题意可知：当x在−2与3之间时，此时，代数式|x+2|+|x−3|取最小值，最小值为故答案为：（1）；（2）6；（3），0或－4；（4）5.【分析】（1）发现规律：在数轴上两点之间的距离为这两点所表示的数的差的绝对值，故可求解；（2）根据（1），即可直接求出结果；（3）先根据（1）即可表示出AB；当AB=2时，得到方程，解出x的值即可；（4）|x+2|+|x-3|表示数轴上一点到-2与3两点的距离的和，当这点是-2或5或在它们之间时和最小，最小距离是-2与3之间的距离。
七年级上册数学培优题及详解答案
七年级上册数学培优题及详解答案1.已知比例关系和一个方程，求解比例中各项的值。
设比例中a的系数为2x，b的系数为3x，c的系数为4x，则根据条件2a+3b-2c=10，可列出方程2(2x)+3(3x)-2(4x)=10，解得x=1，因此a=2，b=3，c=4，即a:b:c=2:3:4.2.XXX在比赛中得28分，其中三分球全中得9分，因此他投中的两分球和罚球得分为28-9=19分。
除去三分球，他投了19次，命中率为14/19，得分率为28/19.3.三人各取n张牌，XXX抽取3张后手中剩下n-3张，再从XXX手中抽取2张，手中共有n-1张牌。
根据XXX的话，XXX手中有n-1张牌，因此n-1是n的约数，且n-1不等于3和2.最小的满足条件的n为7，因此每人取7张牌。
4.设长方形的宽为y，则根据周长为26可列出方程2x+2y=26，即x+y=13.根据条件长减少1，宽增加2可列出方程(x-1)=(y+2)，即x-y=3.解这两个方程可得x=8，y=5，因此长方形的长为8.5.原来每只打火机的成本为2元，毛利率为25%，即售价为2.5元。
现在毛利率增加15%，即售价为2.875元，因此每只打火机的成本降低了(2.875-2)/2.875=28%。
6.驽马先行12天，良马追上它需要的时间与良马比驽马多走的路程成正比，因此可以设良马追上驽马需要x天，那么良马比驽马多走的路程为240(x+12)-150x=30x+2880.因为良马比驽马多走的路程是240-150=90，所以30x+2880=90，解得x=54，因此良马需要54天才能追上驽马。
7.原来每人与相邻两人之间的圆弧长度为arccos(10/60)≈1.23弧度。
现在每人向后挪动x，因此每人与相邻两人之间的圆弧长度为arccos(10/60)+2arcsin(x/60)，根据题意可得出方程2arcsin(x/60)=arccos(10/60)+2π/8，解得x≈3.91，因此每人向后挪动3.91cm。
初一数学上册培优训练题
专题一 与角平分线有关的角度计算问题1．如图，OB 是AOC ∠的平分线，OD 是COE ∠的平分线.（1）如果40,30AOB DOE ∠=︒∠=︒，那么BOD ∠是多少度？ （2）如果140,30AOE COD ∠=︒∠=︒，那么AOB ∠是多少度？2．如图，OM 平分AOB ∠，ON 平分COD ∠，若84,68AOD MON ∠=︒∠=︒，求.BOC ∠3．已知AOB ∠及射线OC 、OM 、ON 分别平分AOC ∠、.BOC ∠（1）如图1，若OC 在AOB ∠的外部，试探究MON ∠与AOB ∠的关系.（2）如图2，若OC 在AOB ∠的内部，则MON ∠与AOB ∠有何关系？4．如图1，80,40AOB COD ∠=︒∠=︒，OM 平分BOD ∠，ON 平分.AOC ∠ （1）求MON ∠的度数.（2）将图1中的COD ∠绕点O 旋转至如图2的位置，求此时MON ∠的度数.专题二 角度计算中的动态问题1．已知100,40AOB COD ∠=︒∠=︒，OE 平分AOC ∠，OF 平分BOD ∠.（本题中的角均为大于0︒ 且小于等于180︒的角）（1）如图，当OB 、OC 重合时，求EOF ∠的度数；（2）当COD ∠从如图所示的位置绕点O 顺时针旋转(090)n n ︒<<时，AOE BOF ∠-∠的值是否为定值？若是定值，求出AOE BOF ∠-∠的值；若不是，请说明理由. （3）当COD ∠从如图所示的位置绕点O 顺时针旋转(0180)n n ︒<<时，满足6AOD EOF COD ∠+∠=∠，则n =__________.2．将一副三角板如图1所示的方式摆放，30DCE ∠=︒，现将DCE ∠绕C 点以15/s ︒的速度逆时针旋转，旋转时间为t (s).（1）t 为多少时，CD 恰好平分BCE ∠？请在图2中画图，并说明理由.（2）当68t <<时，CM 平分ACE ∠，CN 平分BCD ∠，求MCN ∠，请在图3中完成. （3）当812t <<时，（2）中的结论是否发生变化？请在图4中完成.专题三数轴上的动点问题1．已知数轴上，点O为原点，点A对应的数为9，点B对应的数为b，点C在点B右侧，长度为2个单位的线段BC在数轴上移动.（1）如图，当线段BC在O、A两点之间移动到某一位置时恰好满足线段AC=OB，求此时b 的值；（2）当线段BC在数轴上沿射线AO方向移动的过程中，若存在12AC OB AB-=，求此时满足条件的b的值；（3）当线段BC在数轴上移动时，满足关系式||||AC OB AB OC-=-，则此时b的取值范围是___________.2．已知数轴上有A、B、C三个点对应的数分别为a, b, c，且满足2|24||10|(10)0a b c++++-=，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒.（1）求a, b, c的值；（2）若点P到A点的距离是点P到B点距离的2倍，求点P对应的数；（3）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A，在点Q开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为4？请说明理由.3．已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x.（1）若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数；（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；（3）当点P以每秒5个单位长度的速度从O点向右运动时，点A以每秒5个单位长度的速度向右运动，点B以每秒4个单位长度的速度向右运动，它们同时出发，几秒后P到点A、点B的距离相等？4．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，且a, b满足2+++=|2|(3)0.a b a（1）求A、B两点之间的距离；（2）若在数轴上存在一点C，且AC=2BC，求C点表示的数；（3）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）.①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用t表示）；②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间.专题四 实际问题与一元一次方程1．为鼓励居民节约用电，某市电力公司规定了电费的分段计算的方法：每月用量不超过100度，按每度电0.50元计算；每月用电超过100度，超出部分按每度电0.65元计算. 设每月用电x 度. （1）若0100x ≤≤时，电费为 元；若100x 时，电费为 元.（用含x 的式子表示）2．某织布厂现在职工100名，已知每人每天能织布20米，或利用所织的布制衣5件. 制衣一件需布2米，将布直接销售，每米可获利2元；将布制成衣服后销售，每件衣服可获利20元. 若每名工人一天只能做一项工作，且不计其他因素，设安排了a 名工人制衣，回答下列问题： （1）一天中制衣所获得的利润A = 元（用含a 的代数式表示）； （2）一天中织布所获得的利润B= 元（用含a 的代数式表示）；（3）要使一天所获得总利润为6640元，应安排多少工人制衣服，多少工人织布？3．2016年春节即将来临，甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩. 甲、乙两单位共102人. 其中甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够100人. 经了解，该风景区的门票价如果两单位分别单独购买门票，一共应付5500元.（1）如果甲、乙两单位联合起来购买门票，那么比各自购买门票共可以节省多少钱？ （2）甲、乙两单位各有多少名退休职工准备在加游玩？ （3）如果甲单位有12名退休职工因身体原因不能外出游玩，那么你有几种购买方案？通过比较，该如何购买门票才能最省钱？4. 家科院向农民推荐鄂丰I号和鄂丰II号两种新型良好稻谷. 在田间管理和土质相同的条件下，II号稻谷单位面积的产量比I号稻谷低20%，但II号稻谷的米质好，价格比I号高. 已知I 号稻谷国家的收购价是1.6元/千克.（1）当II号稻谷的国家收购价是多少时，在田间管理、土质和面积相同的两块田里分别种植I 号，II号稻谷的收益相同？（2）去年小王在土质、面积相同的两块田里分别种植I号、II号稻谷，且进行了相同的田间管理. 收获后，小王把稻谷全部都卖给国家. 当时II号稻谷的国家收购价定为2.2元/千克，I号稻谷国家的收购价未变，这样小王卖II号稻谷比卖I号稻谷多收入1040元，那么小王去年卖给国家的稻谷共有多少千克？5．某公司生产一种产品，每件产品成本价是400元，销售价为510元，第一季度销售了5000件.（1）求该产品第一季度的销售总利润是多少元？（销售利润=销售价-成本价）（2）为进一步扩大市场，公司决定降低生产成本，经过市场调研，在降低生产成本后，第二季度这种产品每件销售价降低了4%，销售量比第一季度提高了10%，销售总利润比第一季度提高了20%，该产品每件的成本价降低了多少元？6．为了加强公民的节水意识，北方某市制定了如下收费标准：每户每月的用水量不超过10吨时，水价每吨3元，超过10吨时，超过的部分按每吨5元收费. 小明家九月份用水x吨.（1）试用x的整式表示小明家九月份应该缴纳的收费：（2）据预测“十一”黄金周期间，他家外出旅游，该月用水量将比九月份减少4吨，水费减少1，求x的值.3。
(2021年整理)初一上册数学资料培优练习题汇总
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有理数的运算提高题一、选择题：1、在2-、3、4、5-这四个数中，任意取两个数相乘,所得乘积最大的是：A 、20B 、-20C 12D 、102、1米长的小棒,第一次截去一半，第二次截去剩下的一半。
如此下去，第六次后剩下的小棒长为( ）A 、121 B 、321 C 、641 D 、1281 3、不超过323⎪⎭⎫⎝⎛-的最大整数是: A 、—4 B 、—3 C 、3 D 、45、如果两个有理数的积为正数，和为负数，那么这两个数（ ）A 、均为正数 B 、均为负数 C 、一正一负 D 、一个为零4、如果两个数的和比每个加数都小，那么这两个数（ )A 、都是负数B 、都是正数C 、异号且正数的绝对值大D 、异号且负数的绝对值大6、数()211⨯-、()22211⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-、()33211⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-、()44211⎪⎭⎫⎝⎛⨯-中，最小的是（ ）A 、()22211⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯- B 、()33211⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯- C 、()211⨯- D 、()44211⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-7、a 为有理数，下列说法中正确的是（ ）A 、()21+a 的值是正数 B 、12+a 的值是正数 C 、()21+-a 的值是负数 D 、12+-a 的值小于18、如果两个有理数的和是正数，那么这两个数（ ）A 、一定都是正数B 、一定都是负数C 、一定都是非负数D 、至少有一个是正数 9、在2010个自然数1,2，3,……,2009，2010的每一个数前任意添上“+”或“—"，则其代数式和一定是（ ）A 、奇数B 、偶数C 、负整数D 、非负整数10、乘积⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-22221011411311211 等于（ ）A 、125 B 、32 C 、2011 D 、21 二、填空题:1、计算：()=⎪⎭⎫⎝⎛-+--÷3222113537 ；2、1003的个位数是 ；3、小华写出四个有理数，其中每三个数之和分别为2，17,-1，-3。
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初一数学培优练习（六）
——应用题专项训练
【例1】 从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。
一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米，。
车从甲地开往乙地需9小时，从乙地开往甲地需2
17小时，问：甲、乙两地间的公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？
【例2】 摄制组从A 市到B 市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C 市吃午饭。
由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息。
司机说，再走从C 市到这里路程的二分之一就到达目的地了。
问A 、B 两市相距多少千米？
【例3】在黑板上从1开始，写出一组连续的自然数，然后擦去了一个数，其余的平均值为17
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，试问擦去的数是什么数？
【例4】江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完，如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机多少台?
【例5】从两个重量分别为7千克和3千克，且含铜百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把切下的每一块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两块合金含铜百分数相等，求所切下的合金的重量是多少？
【例6】有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元。
现在购甲、乙、丙各一件共需多少元？
【例7】两个代表团从甲地乘车往乙地，每车可乘35人。
两代表团各坐满若干辆车后，第一代表团剩下的15人与第二代表团剩下的成员正好又坐满一辆车。
会后，第一代表团的每个代表与第二代表团的每个代表都合拍一张照片留念。
如果每个胶卷可以拍35张照片，那么拍完最后一位代表的照片后，照相机中的胶卷还可以拍多少张照片照片？
【例8】我校七年级八班的一个研究性学习小组对学生中午在学校食堂的就餐时间进行了调查.发现在单位时间内，每个窗口买走午餐的人数和因不愿长久等待而到校外就餐的人数各是一个固定数.并且发现若开1个窗口，45分钟可使等待人都能买到午餐；若同时开2个窗口，则需30分钟.还发现，若在25分钟内等待的学生都能买到午餐，在单位时间内，外出就餐的人数可减少80%.在学校学生总人数不变且人人都要就餐的情况下，为了方便学生就餐，调查小组建议学校食堂20分钟内卖完午餐.问至少要同时开多少个窗口？
巩固练习
1．某文化商场同时卖出两台电子琴，每台均卖960元，其中一台盈利20％，另一台亏本20％，则本次出售中商场--------------------------------（ ）
A.不赔不赚
B.赚160元
C.赚80元
D.赔80元
2．七年级一班的所有同学都分别参加了课外体育小组和唱歌小组，有的同学还同时参加了两个小组。
若参加两个小组的人数是参加体育小组人数的51，是参加歌唱小组人数的92，这个班只参加体育小组．．．．．．．与只参加唱歌小组．．．．．．．
的人数之比是________。
3．一筐苹果,如果按5个一堆放,最后多出3个.如果按6个一堆放,最后多出4个.如果按7个一堆放,还多出5个.这筐苹果至少有 个.
4．某班45人参加一次数学比赛，结果有35人答对了第一题，有27人答对了第二题，有
41人答对了第三题，有38人答对了第四题，则这个班四道题都对的同学至少有 人.
5．某校六年级的80名同学与2名老师共82人去公园春游，学校只准备了180瓶汽水。
总务主任向老师交待，每人供应3瓶汽水（包括老师），不足部分可到公园里购买，回校后报销。
到了公园，商店贴有告示：每5个空瓶可换一瓶汽水。
于是要求大家喝完汽水后空瓶由老师统一退瓶。
那么用最佳的方法筹划，至少还要购买 瓶汽水回学校报销。
6．从小明的家到学校，是一段长度为a 的上坡路接着一段长度为b 的下坡路（两段路的长度不等但坡度相同）．已知小明骑自行车走上坡路时的速度比走平路时的速度慢20%，走下坡路比走平路时的速度快20%，又知小明上学途中花10分钟，放学途中花12分钟． ⑴判断a 与b 的大小； ⑵求a 与b 的比值．
7．某个水库建有10个泄洪闸．现在水库的水位已经超过安全线，•上游的水流还在按一定不变的速度增加．为了防洪，需调节泄洪速度．•如果每个闸门的泄洪速度相同，经计算，打开一个泄洪闸，30个小时水位降至安全线，打开两个泄洪闸，10•个小时水位降至安全线．现在抗洪指挥部要求在3小时内使水位降至安全线以下，•那么至少要同时打开______个闸门．
8.甲、乙两个缸里都放有水，第一次把甲缸里的水往乙缸里倒，•使乙缸的水增加一倍．第
二次把乙缸里的水往甲缸里倒，使甲缸所剩的水增加一倍．第三次又把甲缸里的水往乙缸里倒，使乙缸所剩的水增加一倍．•这样一来，•两缸里各有水64升，问两个缸里原有的水各是多少升？
9.小明和小亮分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，当小明走完全程的一半时，小亮才
走了16千米；当小亮走完全程的一半时，小明已走完了25千米．那么，当小明走完全程时，小亮未走完的路程还有多少千米？
10.在边防沙漠地带，巡逻车每天行驶200千米，每辆巡逻车可载供行驶14天的汽油，现有5辆巡逻车，同时从驻地A出发，完成任务后再沿原路返回驻地．为了让其中三辆尽可能向更远的距离巡逻（然后再一起返回），甲、乙两车行至途中B处后，•仅留足自己返回驻地所需的汽油，将其余的汽油留给另外三辆使用，问其他三辆可行进的最远距离是多少千米？。