泰勒公式

泰勒公式

一 带有佩亚诺型余项的泰勒公式

由微分概念知：f 在点0x 可导，则有 ).())(()()(0000x x x x x f x f x f -+-'+=ο． 即在点0x 附近，用一次多项式))(()(000x x x f x f -'+逼近函数)(x f 时，其误差为(0x x -)的高阶无穷小量．然而在很多场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为n

x x ))((0-ο，其中n 为多项式的次数．为此，我们考察任一n 次多项式

.)()()()(0202010n

n n x x a x x a x x a a x p -++-+-+= (1)

逐次求它在点0x 处的各阶导数，得到 00)(a x p n =，20!2)(a x p n ="

，n n n a n x p !)(,0)

(= ，

即

.!

)

(,!2)(,!1)(),(0)(020100n x p a x p a x p a x p a n n n n n n ="='==

由此可见，多项式)(x p n 的各项系数由其在点0x 的各阶导数值所唯一确定．

对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数．由这些导数构造一个n 次多项式

,)(!

)

()(!

2)

()(!1)()()(00)

(200000n n n x x n x f

x x x f x x x f x f x T -+

+-''+-'+

= （2）

称为函数f 在点0x 处的泰勒(Taylor)多项式，)(x T n 的各项系数

=k k x f

k (!

)

(0)

(1，2，…，n )称为泰勒系数．由上面对多项式系数的讨论，易知)(x f 与其泰勒多项式)(x T n 在点0x 有相同的函数值和相同的直至n 阶导数值，即.,,2,1,0),()(0)

(0)

(n k x T x f

k n k == （3）下面

将要证明))(()()(0n

n x x x T x f -=-ο，即以(2)式所示的泰勒多项式逼近)(x f 时，其误差

为关于n

x x )(0-的高阶无穷小量．

定理6．8 若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有+=)()(x T x f n 即),)((0n

x x -ο

).)(()(!

)

()(!

2)

())(()()(000)

(200000n n n x x x x n x f

x x x f x x x f x f x f -+-+-''+-'+=ο （4）

证 设 n R (,)()(),()()0n

n n x x x Q x T x f x -=-=

现在只要证 .0)()

(lim

0=→x Q x R n

n x x

由关系式(3)可知， 0)()()(0)

(0'0===x R x R x R n n n n

并易知 !.)(,0)()()(0)

(0)1(0'0n x Q x Q x Q x Q n n n n n n =====-

因为)(0)

(x f

n 存在，所以在点0x 的某邻域U(0x )内f 存在n —1阶导函数)(x f ．于是，当

)(0x U x ∈且0x x →时，允许接连使用洛必达法则，n —1次，得到

.

0)]

()

()([lim !1

)(2)1()

)(()()(lim

)()(lim )()(lim )()(lim 0)(0

0)1()

1(000)(0)1()

1()1()

1(''00

000=---=-----====--→--→--→→→x f x x x f x f n x x n n x x x f x f x f

x Q x R x Q x R x Q x R n n n x x n n n x x n n

n n x x n n x x n x x 定理所证的(4)式称为函数f 在点0x 处的泰勒公式，)()()(x T x f x R n n -=称为泰勒公

式的余项，形如))((0n

x x -ο的余项称为佩亚诺(Peano)型余项．所以(4)式又称为带有佩亚

诺型余项的泰勒公式．

注1 若)(x f 在点0x 附近满足),)(()()(0n

n x x x p x f -+=ο， (5)

其中)(x p n 为(1)式所示的n 阶多项式，这时并不意味着)(x p n 必定就是f 的泰勒多项式)(x T n ．例如 ,),()(1

++∈=N n x D x

x f n 其中D )(x 为狄利克雷函数．不难知道，)

(x f 在0=x 处除了0)0(='f 外不再存在其他任何阶导数(为什么?)．因此无法构造出一个高于一次的泰勒多项式)(x T n ，但因 ,0)(lim )(lim

00

==→→x xD x

x f x n x 即)()(n

x x f ο=，所以若取 .00000)(2≡⋅++⋅+⋅+=n

n x x x x p 时，(5)式对任何+∈N n 恒成立．

注2 满足(5)式要求(即带有佩亚诺型误差)的n 次逼近多项式)(x p n 是唯一的． 综合定理6．8和上述注2，若函数f 满足定理6．8的条件时，满足(5)式要求的逼近多项式)(x p n 只可能是f 的泰勒多项式)(x T n ．

以后用得较多的是泰勒公式(4)在00=x 时的特殊形式：

).(!

)0(!2)0()0()0()()(2n n

n x x n f x f x f f x f ο+++''+'+=

它也称为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林(Maclaurin)公式．

例1 验证下列函数的麦克劳林公式：

)1( );(!

!212n n

x

x n x x x e ο+++++= (2) );()!

12()1(!5!3sin 212153m m m x m x x x x x ο+--+++-

=-- )3( ;)()!

2()1(!4!21cos 12242++-+++-

=m m m x m x x x x ο (4) )()1(32)1ln(132n n

n x n

x x x x x ο+-+++-=+- ； )5( );(!

)

1()1(!

2)

1(1)1(2n n x x n n x x x οααααααα

++--+

+-++=+

(6)

)(111

2n n x x x x x

ο+++++=- ． 证 这里只验证其中两个公式，其余请读者自行证明． (2) 设x x f sin )(=，由于)2

sin()()

(π

k x x f k +

=，因此 .,2,1,)1()0(,0)0(1)12()

2(n k f f

k k k =-==--