分数指数幂教学设计

分数指数幂

一、教学目标

〖知识与技能〗

（1） 理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质，并能运用性质进行计算和化简。 （2） 会对根式、分数指数幂进行互化。 （3） 了解无理指数幂的概念 〖过程与方法〗

通过对实际问题的探究过程，感知应用数学解决问题的方法，理解分类讨论思想、化归与转化思想在数学中的应用。 〖情感、态度与价值观〗

通过对数学实例的探究，感受现实生活对数学的需求，体验数学知识与现实的密切联系。

二、教学重难点

根式、分数指数幂的概念及其性质。

三、教学情景设计

1、复习讨论

（1）根式的相关概念

（2）整数指数幂：a a a a n

⨯⨯⨯= 运算性质：n n n mn n m n

m n

m

b a ab a a a a a ===⋅+)(,)(,)1,,,0(*>∈>n N n m a 。

2、问题情境设疑

问题1、当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个

时间称为“半衰期”，根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系5730)2

1

(t

P =，考古学家

根据这个式子可以知道，生物死亡t 年后，体内碳14含量P 的值。

例如：

当生物死亡了5730，2×5730，3×5730，……年后，它体内碳14的含量P 分别为

21，2)21(，3

)2

1(，…… 当生物死亡了6000年，10000年，100000年后，根据上式，它体内碳14的含量P 分别为57306000

)21(，

573010000

)2

1

(，5730

100000

)21(。

设疑：以上三个数的含义到底是什么呢？ 问题2：如何计算：322⨯？ 分析：6623626

3332222222=⨯=⨯=⨯，然而普通学生要找到该解法并不容易，如何把这种运算简单

化呢？能否类似于整数指数幂的运算来解决上题？

3、分数指数幂 实例引入：5

102

5525

10

)(a a a a

===，4

123

443412

)(a a a a

===

问题：1、从以上两个例子你能发现什么结论？

当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成 根指数

被开方数的指数

a

的形式

2、4532,,c b a 如何表示？ 结论：规定)1,,,0(*>∈>=n N n m a a a

n m n

m

问题3、正数的负分数指数幂是：)1,,,0?(*>∈>=-n N n m a a n

m

分析：)1,,,0(1

*00>∈>=

=

=-

-

n N n m a a a

a a a

n

m

n

m n

m n

m

如：3

4

3

45

1

5

=

-

，)0(1

3

2

3

2>=

-

a a

a

。

规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。

特别指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．

4、有理指数幂的运算性质： （1）r a ·s

r r a

a += ),,0(Q s r a ∈>； （2）rs

s

r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>； （3）s

r

r

a a a

b =)(

),0,0(Q r b a ∈>>

回到前面的问题，则有66

53

1213

12

13

32222222===⨯=⨯+，对于本节开头的问题2，考古学家正式利用有理

数指数幂的知识，计算出生物死亡6000年，10000年，100000年后体内碳14含量P 的值。例如

当t=6000时，P=484.0)2

1()21(573600

573600

≈=（精确到0.001），即生物死亡6000年后，其体内碳14的含量约为原

来的48.4%。相信学生在真正掌握了分数指数幂的意义及运算性质后，都能够顺利解决。

例1．求值：43

52

132

)81

16(,)21(,25,8-

--

例2．用分数指数幂的形式表示下列各式（a>0）:

①a a ⋅3

②a 2·3

a 2

③3a a

例3.计算下列各式（式中字母都是正数）

（1）)3()6)(2(656131212132b a b a b a -÷- （2）8

834

1)(-

n m

例4.计算下列各式

（1）4

3

25)12525(÷- （2）)0(3

2

2>⋅a a

a a

例5.设c b a 、、均为不等于1的正数，且z

y

x

c b a ==，

,01

11=++z

y x 求abc 的值。

5、无理数指数幂

结合教材P 52实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义．

指出：一般地，无理数指数幂),0(是无理数αα

>a a 是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．

思考：参照以上过程，请你说明无理数指数幂3

2的含义。

例3．22

)5

1

(5

⋅=

点评：本题还可以进一步推广，说明可以用指数的运算来解决生活中的实际问题．

四、实战演习

1.课本54页练习题

2.化简：

43

232)(ab

b a b a ⋅

3.已知32

12

1=+-a

a ，求下列各式的值

（1）1

-+a a （2）2

2

-+a a （3）2

12

1232

3-

-

--a

a a a

4. ① 错误! ②2错误!⨯错误!⨯错误! ③错误!(a>0) 答案：36

3 ; 6; 6

a 5

五、归纳小结，强化思想

本节主要学习了根式与分数指数幂以及指数幂的运算，分数指数幂是根式的另一种表示形式，根式与分数指数幂可以进行互化．在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则．

六、作业布置