绵阳二诊数学文

绵阳市高2012级第二次诊断性考试

数学(文史类)参考解答及评分标准

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

AADCB BDCBC

10．提示：问题转化为1)(max ≤x f ．由)00)((333)(22><+=+='b a b ax b ax x f ，，

得a

b

x x f a b x x f ->⇒<'-<<⇒>'0)(00)(，，

即)(x f 在)0(a b -，递增，在)(∞+-，a

b 递减， ①当1≥-

a

b

，即a b -≥时，13)1()(0)0()(max min ≤+====b a f x f f x f ，， 即21

1313≤⇒+≤⇒⎩⎨

⎧≤--≤b b b b a a b ，

，． ②当1<-

a

b

即a b -<时， 233403)1(12)()(0)0(3max

≤⇒⎩⎨⎧≤--≤⇒⎪⎪

⎩

⎪

⎪

⎨⎧≥+=≤-=-==b b a a b b a f a b b a b f x f f ，，，，，，此时233-=a . 将233-

=a ，2

3

=b 代入检验正确. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．

27 12．8.5 13． 23- 14．18

7- 15．6 15．提示：)()(MB PM MA PM PB PA +⋅+=⋅

)(2+⋅+=12

-=⋅+PM MB MA ，

同理：⋅=12

-，P

在椭圆上，所以42==a ， ∴ 22

2

-+=⋅+⋅PN PM PD PC PB PA

=222-⋅-+PN PM 6)2

(

142142=+-≥⋅-=PN

PM PN PM ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．

16．解：(Ⅰ)由茎叶图可知，所抽取12人中有4人低于9分，即有4人不是 “满

意观众”， ∴ P =

3

1124=， 即从这12人中随机选取1人，该人不是“满意观众”的概率为

3

1

． ……4分 (Ⅱ)设本次符合条件的满意观众分别为A 1(9.2)，A 2(9.2)，A 3(9.2)，A 4(9.2)，B 1(9.3)，B 2(9.3)，其中括号内为该人的分数． ……………………………6分 则从中任意选取两人的可能有 (A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，A 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共15种，……………………8分 其中，分数不同的有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，共8种， ………………………………10分 ∴ 所求的概率为

15

8

． ………………………………………………………12分 17．解：(Ⅰ)∵ S n =121-⋅-n λ，

∴ a 1=S 1=λ-1，a 2=S 2-S 1=2λ-1-(λ-1)=λ，a 3=S 3-S 2=4λ-1-(2λ-1)=2λ，

……………………………………2分

∵ {a n }是等比数列，

∴ a 22=a 1a 3，即λ2=2λ(λ-1)，解得λ=0(不合题意，舍去)，或λ=2． ……4分 ∴ 在{a n }中，a 1=1，公比q =

1

2

a a =2， ∴ a n =1×12-n =12-n ． …………………………………………………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，a 2=2，a 3=4，于是x x f 2sin 4)(=， ∴ )3

2sin(4)]6

(2sin[4)(π

π

+

=+=x x x g ． ……………………………………8分

∵ 6π-

≤x ≤6

π， ∴ 0≤3

2π

+x ≤32π，…………………………………………………………10分

∴ 0≤)3

2sin(4π

+x ≤4，

即)(x g 在]6

6[π

π

，-

上的最大值为4． ………………………………………12分

18．解：(Ⅰ)由余弦定理得4

12212cos 2

2

2

==-+=

bc bc

bc a c b A ， 则4

15

cos 1sin 2=

-=A A ． …………………………………………………4分 (Ⅱ)由A +B +C =π有C =π-(A +B )， 于是由已知sin B +sin C =

2

10得210)sin(sin =++B A B ，

即2

10

sin cos cos sin sin =++B A B A B ， 将415sin =

A ，4

1

cos =A 代入整理得210cos 415sin 45=

+B B ．①………7分 根据1cos sin 22=+B B ，可得B B 2sin 1cos -±=． 代入①中，整理得8sin 2B -410sin B +5=0， 解得4

10

sin =

B ． ……………………………………………………………10分 ∴ 由正弦定理

B

b

A a sin sin =

有364

15

410

1sin sin =⨯

==A B a b ． ………………12分

19．解：(Ⅰ)如图，连结BC 1．

∵ E ，F 分别是AB ，AC 1的中点， ∴ EF // BC 1．

∵ BC 1⊂面BB 1C 1C ，EF ⊄面BB 1C 1C ， ∴ EF ∥平面BB 1C 1C ．………………4分 (Ⅱ) 如图，连结A 1E ，CE ．

∵ AB // A 1B 1，AB =2A 1B 1，E 为中点， ∴ BE //A 1B 1，且BE =A 1B 1，即A 1B 1BE 是平行四边形，

∴ A 1E //B 1B ，且A 1E =B 1B ．

由四边形BB 1C 1C 是长方形，知C 1C //B 1B ，且C 1C =B 1B ， ∴ A 1E //C 1C ，且A 1E =C 1C ，即C 1A 1EC 是平行四边形，

∴ A 1C 1//EC ．…………………………………………………………………7分 ∵ B 1B ⊥BC ，B 1B ⊥AB ， ∴ B 1B ⊥面ABC ，

A

B

B 1

C 1

A 1

C

E F