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2020年四川省绵阳市高考数学二诊试卷(理科)

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线经过点，曲线的直角坐标方程为＝．
（1）求曲线的普通方程，曲线的极坐标方程；
（2）若，是曲线上两点，当时，求的取值范围．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知关于的不等式，其中．
5.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
充分常件、头花条件滤充要条件
【解析】
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【解答】
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6.
【答京关概念
【解析】
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【解答】
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7.
【答案】
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【考点】
求解线都接归方程
【解析】
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【解答】
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8.
【答案】
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【考点】
双曲根气离心率
【解析】
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【解答】
A. B. C. D.
4.甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（）
A. B. C. D.
5.已知为任意角，则“ ”是“ ”的（）
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
列联表
男
女
总计
总计
附表：
其中：．
已知等差数列的前项和为，且满足＝，＝．各项均为正数的等比数列满足＝，＝．
（1）求和；
（2）求和：＝．
在中，内角，，所对的边分别为，，．已知＝．

2020年四川省绵阳市高考数学二诊试卷(理科)(含解析)

2020年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集U ＝{x|x >0}，M ＝{x|1<e x <e 2}，则∁U M ＝（） A.(1, 2) B.(2, +∞) C.(0, 1]∪[2, +∞) D.[2, +∞)2.已知i 为虚数单位，复数z 满足z ⋅i ＝1+2i ，则z 的共轭复数为（） A.2−i B.2+i C.l −2i D.i −23.已知两个力F 1→=(1, 2)，F 2→=(−2, 3)作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力F 3→，F 3→=() A.(1, −5) B.(−1, 5) C.(5, −1) D.(−5, 1)4.甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（） A.18 B.14C.38D.125.已知α为任意角，则“cos2α=13”是“sinα=√33”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要6.若(ax −1x )5的展开式中各项系数的和为l ，则该展开式中含x 3项的系数为（） A.−80 B.−10 C.10 D.807.己知某产品的销售额_y 与广告费用x 之间的关系如表：若根据表中的数据用最小二乘法求得y对x的回归直线方程为y＝6.5x+9，则下列说法中错误的是（）A.产品的销售额与广告费用成正相关B.该回归直线过点(2, 22)C.当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元D.m的值是208.双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的右焦点为F，过F作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A，B两点，若四边形OAFB（O为坐标原点）的面积为bc，则双曲线的离心率为（）A.√2B.2C.√3D.39.小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分，现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为x，则X的期望为（）A.1B.2C.3D.410.已知圆C:x2+y2−6x−8y+9＝0，点M，N在圆C上，平面上一动点P 满足|PM|＝|PN|且PM⊥PN，则|PC|的最大值为（）A.8B.8√2C.4D.4√211.己知f(x)为偶函数，且当x≥0时，f(x)＝xcosx−sinx+13x3，则满足不等式f(log2m)+f(log12m)<2f (1)的实数m的取值范围为（）A.( 12, 2) B.(0, 2) C.(0, 12)∪(1, 2) D.(2, +∞)12.函数f(x)＝(2ax−1)2−log a(ax+2)在区间[0, 1a]上恰有一个零点，则实数a的取值范围是（）A.( 13, 12) B.(1, 2]∪[3, +∞)C.(1, 2)∪[3, +∞) D.[2, 3)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.直线l 1:ax −(a +1)y −1＝0与直线4x −6y +3＝0平行，则实数a 的值是________．14.法国数学家布丰提出一种计算圆周率π的方法一一随机投针法．受其启发，我们设计如下实验来估计π的值：先请200名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于l 的正实数对(x, y)；再统计两数的平方和小于l 的数对(x, y)的个数m ，最后再根据统计数m 来估计π的值，已知某同学一次试验统计出m ＝156，则其试验估计π为________．15.函数y ＝sin(ωx +φ)(ω>0, |φ|<π2)的图象如图所示，则f(x)在区间[−π, π]上的零点之和为________．16.过点M(−1, 0)的直线，与抛物线C:y 2＝4x 交于A ，B 两点（A 在M ，B 之间），F 是抛物线C 的焦点，点N 满足：NA →=5AF →，则△ABF 与△AMN 的面积之和的最小值是________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查：该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生（其中男生45名），统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间t （小时）的频率分布直方图如图所示：（1）求样本学生一个月阅读时间t的中位数m．（2）已知样本中阅读时间低于m的女生有30名，请根据题目信息完成下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关．2×2列联表附表：．其中：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)18.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1+a2＝0，S6＝24．各项均为正数的等比数列{b n}满足b1+b2＝a4+1，b3＝S4．（1）求a n和b n；（2）求和：T n＝1+(1+b1)+(1+b1+b2)+...+(1+b1+b2+...+b n−1)．19.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知(sinA+sinB)(a−b)＝c(sinC+sinB)．（1）求A；（2）若D为BC边上一点，且AD⊥BC，BC＝2√3AD，求sinB．20.已知椭圆C:x 22+y 2=1，直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．(l)若点P(−1, 1)满足OA ¯+OB ¯+OP ¯=0→（O 为坐标原点），求弦AB 的长；若直线l 的斜率不为0且过点(2, 0)，M 为点A 关于x 轴的对称点，点N(n, 0)满足MN ¯=λNB ¯，求n 的值．21.己知函数f(x)＝2lnx +12x 2−ax ，其中a ∈R ．（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）设函数f(x)有两个极值点x 1，x 2（其中x 2>x 1），若f(x 2)−f(x I )的最大值为2ln2−32，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题申任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为{x =1+rcosφy =rsinφ （r >0，φ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1经过点P(2, π3)，曲线C 2的直角坐标方程为x 2−y 2＝1．（1）求曲线C 1的普通方程，曲线C 2的极坐标方程；（2）若A(ρ1, α)，B(ρ2, α−π6)是曲线C2上两点，当α∈(0, π4)时，求1|OA|2+1|OB|2的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23.已知关于x的不等式|x+1|−|2x−1|≤log12a，其中a>0．（1）当a＝4时，求不等式的解集；（2）若该不等式对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．2020年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集U ＝{x|x >0}，M ＝{x|1<e x <e 2}，则∁U M ＝（） A.(1, 2) B.(2, +∞) C.(0, 1]∪[2, +∞) D.[2, +∞)【解答】∵U ＝{x|x >0}，M ＝{x|0<x <2}， ∴∁U M ＝[2, +∞)．2.已知i 为虚数单位，复数z 满足z ⋅i ＝1+2i ，则z 的共轭复数为（） A.2−i B.2+i C.l −2i D.i −2【解答】∵z ⋅i ＝1+2i ，∴z =1+2i i=(1+2i)i i 2=2−i ，∴z 的共轭复数为：2+i ，3.已知两个力F 1→=(1, 2)，F 2→=(−2, 3)作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力F 3→，F 3→=() A.(1, −5) B.(−1, 5) C.(5, −1) D.(−5, 1)【解答】根据题意可知−F 3＝F 1+F 2＝(1, 2)+(−2, 3)＝(−1, 5)，则F 3＝(1, −5)， 4.甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（） A.18 B.14C.38D.12【解答】甲、乙、丙三人每人有2种选择，共有23＝8种情况，甲，乙，丙三人去同一景点有2种情况，故甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为14， 5.已知α为任意角，则“cos2α=13”是“sinα=√33”的（） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要【解答】若cos2α=13，则cos2α＝1−sin 2α，sinα=±√33，则cos2α=13”是“sinα=√33”的不充分条件；若sinα=√33，则cos2α＝1−sin 2α，cos2α=13，则cos2α=13”是“sinα=√33”的必要条件；综上所述：“cos2α=13”是“sinα=√33”的必要不充分条件． 6.若(ax −1x )5的展开式中各项系数的和为l ，则该展开式中含x 3项的系数为（） A.−80 B.−10 C.10 D.80【解答】对于(ax −1x )5的展开式，令x ＝1，可得展开式中各项系数的和为(a −1)5＝l ，∴a ＝2．∴(ax −1x )5＝(2x −1x )5，故展开式中的通项公式为T r+1=C 5r⋅(−1)r ⋅25−r ⋅x 5−2r ，令5−2r ＝3，求得r ＝1，可得该展开式中含x 3项的系数−C 51⋅24＝−80，7.己知某产品的销售额_y 与广告费用x 之间的关系如表：若根据表中的数据用最小二乘法求得y 对x 的回归直线方程为y ＝6.5x +9，则下列说法中错误的是（） A.产品的销售额与广告费用成正相关 B.该回归直线过点(2, 22)C.当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元D.m 的值是20 【解答】由线性回归方程y ＝6.5x +9，可知产品的销售额与广告费用成正相关，故A 正确；x¯=0+1+2+3+45=2，y¯=10+15+m+30+355=90+m5，代入y＝6.5x+9，得90+m5=6.5×2+9，解得m＝20，故D正确；y¯=90+m5=90+205=22，则该回归直线过点(2, 22)，故B正确；取x＝10，得y＝6.5×10+9＝74，说明当广告费用为10万元时，销售额预计为74万元，故C错误．8.双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的右焦点为F，过F作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A，B两点，若四边形OAFB（O为坐标原点）的面积为bc，则双曲线的离心率为（）A.√2B.2C.√3D.3【解答】双曲线x 2a −y2b=1(a>0, b>0)的右焦点为F(c, 0)，设OA的方程为bx−ay＝0，OB的方程为bx+ay＝0，过F平行于OA的直线FB的方程为y=ba(x−c)，平行于OB的直线FA的方程为y=−ba(x−c)，可得平行线OA和BF的距离为√22=b，由{bx−ay=0bx+ay−bc=0可得x=12c，y=bc2a，即A(12c, bc2a)，则平行四边形OAFB的面积为S＝b√14c2+b2c24a2=bc，化为b2＝3a2，则e=ca =√1+b2a2=√1+3=2．9.小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分，现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为x，则X的期望为（）A.1B.2C.3D.4【解答】3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分，现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为x，则X的可能取值为0，1，2，3，4，设其他两位同学为a，b，小明为c，列表得共有8种情况，小明得1分结果有6种情况，，∴小明每局每得分的概率P=34)，∴X∼B(4, 34=3．∴E(X)＝4×3410.已知圆C:x2+y2−6x−8y+9＝0，点M，N在圆C上，平面上一动点P 满足|PM|＝|PN|且PM⊥PN，则|PC|的最大值为（）A.8B.8√2C.4D.4√2【解答】根据题意，若平面上一动点P满足|PM|＝|PN|，又由|CM|＝|CN|，则PC为线段MN的垂直平分线，设MN的中点为G，|NG|＝n，|CG|＝m，又由|PM|＝|PN|且PM⊥PN，则△PMN为等腰直角三角形，故|PG|＝|NG|＝n，圆C:x2+y2−6x−8y+9＝0，即(x−3)2+(y−4)2＝16，则m2+n2＝16，则|PC|＝(m+n)=√(m+n)2=√m2+n2+2mn=√16+2mn≤√16+(m2+n2)=4√2，当且仅当m ＝n 时等号成立，故|PC|的最大值为4√2，11.己知f(x)为偶函数，且当x ≥0时，f(x)＝xcosx −sinx +13x 3，则满足不等式f(log 2m)+f(log 12m)<2f (1)的实数m 的取值范围为（）A.( 12, 2) B.(0, 2)C.(0, 12)∪(1, 2) D.(2, +∞)【解答】当x ≥0时，f′(x)＝cosx −xsinx −cosx +x 2＝x 2−xsinx ＝x(x −sinx)>0，即函数f(x)在[0, +∞)上为增函数，∴f(log 2m)+f(log 12m)<2f (1)等价为f(log 2m)+f(−log 2m)<2f(1)，即f(log 2m)<f(1)， ∴−1<log 2m <1， ∴12<m <2．故选：A ．12.函数f(x)＝(2ax −1)2−log a (ax +2)在区间[0, 1a ]上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是（） A.( 13, 12) B.(1, 2]∪[3, +∞) C.(1, 2)∪[3, +∞)D.[2, 3)【解答】依题意，函数f(x)在区间[0, 1a ]上有零点的充分条件为f(0)f(1a )≤0，即(1−log a 2)(1−log a 3)≤0， ∴{1−log a 2≤01−log a 3≥0 或{1−log a 2≥01−log a 3≤0，解得2≤a ≤3，由此可排除A 、B 、C ，又当a ＝3时，f(x)＝(6x −1)2−log 3(3x +2)，显然f(13)=1−1=0，f(0)＝1−log 32>0，f(19)=19−log 373=109−log 37<0，则在(0,19)上有一个零点，故此时函数f(x)有两个零点，不符题意，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．直线l 1:ax −(a +1)y −1＝0与直线4x −6y +3＝0平行，则实数a 的值是________．【解答】∵直线l1:ax−(a+1)y−1＝0与直线4x−6y+3＝0平行，∴a4=−(a+1)−6，解得a＝2，∴实数a的值为2．法国数学家布丰提出一种计算圆周率π的方法一一随机投针法．受其启发，我们设计如下实验来估计π的值：先请200名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于l的正实数对(x, y)；再统计两数的平方和小于l的数对(x, y)的个数m，最后再根据统计数m来估计π的值，已知某同学一次试验统计出m＝156，则其试验估计π为________．【解答】由题意，两数的平方和小于1，对应的区域的面积为14π⋅12，从区间[0, 1]随机抽取横、纵坐标都小于l的对应面积为：1；∴14π1=156200⇒π=4×156200=3.12．函数y＝sin(ωx+φ)(ω>0, |φ|<π2)的图象如图所示，则f(x)在区间[−π, π]上的零点之和为________．【解答】∵根据函数y＝sin(ωx+φ)(ω>0, |φ|<π2)的图象，可得3T4=34⋅2πω=11π12−π6，求得ω＝2．再根据五点法作图可得2×π6+φ=π2，∴φ=π6，故f(x)＝sin(2x+π6)．在区间[−π, π]上，2x+π6∈[−11π6, 13π6]，f(x)共有4个零点：a、b、c、d，且a<b<c<d，则2a+π6+2b+π6=2×(−π2)，2c+π6+2d+π6=2×(3π2)，故它的所有零点之和为a +b +c +d =2π3，过点M(−1, 0)的直线，与抛物线C:y 2＝4x 交于A ，B 两点（A 在M ，B 之间），F 是抛物线C 的焦点，点N 满足：NA →=5AF →，则△ABF 与△AMN 的面积之和的最小值是________．【解答】焦点F(1, 0)，由对称性，显然直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为：x ＝my −1，A(x ′, y ′)，B(x, y)，由题意知y >y ′，联立直线与抛物线的方程整理得：y 2−4my +4＝0，△＝(−4m)2−16>0，m 2>1，m >1解得：y +y ′＝4m ，y ′＝2m −2√m 2−1，设N(x 0, y 0)满足：NA →=5AF →，(x ′−x 0, y ′−y 0)＝5(−x ′, −y ′)，∴y 0＝6y ′， S △ABF ＝S △BMF −S △AMF =12⋅MF ⋅(y −y ′)，S △ANM ＝S △NMF −S △AMF =12⋅MF ⋅(y 0−y ′)，MF ＝2∴S △ABF +S △AMN =12⋅MF ⋅（y +y 0−2y ′）＝y +y ′+3y ′＝10m −6√m 2−1(m >1)，令f(m)＝10m −6√m 2−1，f ′(m)＝10−√m 2−1，令f ′(m)＝0，m =54，m ∈(1,54)，f ′(m)<0，f(m)单调递减，m >54，f ′(m)>0，f(m)单调递增，所以m =54时，f(m)最小，且为：10×54−6√(54)2−1=8，所以△ABF 与△AMN 的面积之和的最小值是8，三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查：该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生（其中男生45名），统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间t（小时）的频率分布直方图如图所示：（1）求样本学生一个月阅读时间t的中位数m．（2）已知样本中阅读时间低于m的女生有30名，请根据题目信息完成下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关．2×2列联表附表：．其中：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)【解答】由题意得，直方图中第一组、第二组的频率之和为：(0.04+0.06)×5＝0.5，所以阅读时间的中位数为m＝10；由题意得，男生人数为45人，因此女生人数为55人，由频率分布直方图得，阅读时长大于或等于m的人数为100×0.5＝50人；所以填写列联表如下；由表中数据，计算K2=100×(25×30−25×20)250×50×45×55=10099≈1.01<2.706，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“阅读与性别有关”．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1+a2＝0，S6＝24．各项均为正数的等比数列{b n}满足b1+b2＝a4+1，b3＝S4．（1）求a n和b n；（2）求和：T n＝1+(1+b1)+(1+b1+b2)+...+(1+b1+b2+...+b n−1)．【解答】设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由题意，得{2a1+d=06a1+6×52d=24，解得{a1=−1d=2．∴a n＝2n−3，n∈N∗．∵等比数列{b n}的各项均为正数，由{b1+b1q=6b1q2=8，解得{b1=2q=2或{b1=18q=−23（舍去）．∴b n＝2n，n∈N∗．由（1），得1+b1+b2+...+b n−1＝1+2+22+...+2n−1＝2n−1．则T n＝1+(1+b1)+(1+b1+b2)+...+(1+b1+b2+...+b n−1)．＝1+(22−1)+(23−1)+...+(2n−1)＝(21−1)+(22−1)+(23−1)+...+(2n−1)＝(21+22+23+...+2n)−n=2(1−2n)−n＝2n+1−n−2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知(sinA +sinB)(a −b)＝c(sinC +sinB)．（1）求A ；（2）若D 为BC 边上一点，且AD ⊥BC ，BC ＝2√3AD ，求sinB ．【解答】∵(sinA +sinB)(a −b)＝c(sinC +sinB)，∴由正弦定理可得：(a +b)(a −b)＝c(c +b)，即a 2＝b 2+c 2+bc ， ∴由余弦定理可得：cosA =b 2+c 2−a 22bc=−12，∵0<A <π， ∴A =2π3．∵在△ABC 中，S △ABC =12AB ⋅AC ⋅sin∠BAC =12BC ⋅AD ，即√32bc ＝a ⋅AD ，由已知BC ＝2√3AD ，可得AD =2√3，∴3bc ＝a 2，∴在△ABC 中，由余弦定理可得a 2＝b 2+c 2−2bccos120∘，即3bc ＝b 2+c 2+bc ，整理可得(b −c)2＝0，即b ＝c ， ∴B ＝C =π6， ∴sinB ＝sin π6=12．已知椭圆C:x 22+y 2=1，直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．(l)若点P(−1, 1)满足OA ¯+OB ¯+OP ¯=0→（O 为坐标原点），求弦AB 的长；若直线l 的斜率不为0且过点(2, 0)，M 为点A 关于x 轴的对称点，点N(n, 0)满足MN ¯=λNB ¯，求n 的值．【解答】（1）设A(x, y)，B(x ′, y ′)，由OA →+OB →+OP →=0→，（O 为坐标原点），且P(−1, 1)，得x +x ′＝1，y +y ′＝−1，所以线段AB 的中点坐标(12, −12)，其在椭圆内部，由{x 22+y 2=1x ′22+y′2=1两式相减得：x ′2−x 22+y ′2−y 2=0，所以k AB =y ′−y x −x=x+x ′y+y ′(−12)=12，所以直线AB 的方程为：y −(−12)=12(x −12)，即2x −4y −3＝0；联立直线AB 与椭圆的方程整理得：24y 2+24y +1＝0， ∴y +y ′＝−1，yy ′=124，∴|AB|=√1+1k 2√(y +y ′)2−4yy ′=5√66；（2）由题意设直线AB 的方程为：x ＝ty +2，由题意得M(x, −y)，联立直线AB 与椭圆的方程整理得：(2+t 2)y 2+4ty +2＝0，∴y +y ′=−4t2+t 2，yy ′=22+t 2，由满足MN ¯=λNB ¯知，M ，N ，B 三点共线，即k MN ＝k MB ，∴0−(−y)n−x=y ′−(−y)x ′−x，即yn−x =y ′+y x−x ′，解得：n =y(x ′−x)y ′+y+x ，将x ＝ty +2，x ′＝ty ′+2代入得n =2tyy ′y+y +2=4t−4t +2＝1，所以n 的值为1．己知函数f(x)＝2lnx +12x 2−ax ，其中a ∈R ．（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）设函数f(x)有两个极值点x 1，x 2（其中x 2>x 1），若f(x 2)−f(x I )的最大值为2ln2−32，求实数a 的取值范围．【解答】 f ′(x)=x 2−ax+2x，x >0，令g(x)＝x 2−ax +2，△＝a 2−8，①当a ≤0或△≤0即a ≤2√2时，f′(x)≥0恒成立，此时f(x)在(0, +∞)上单调递增；②当{a >0△>0 ，即a >2√2时，由f′(x)>0得，0<x <a−√a 2−82或x >a+√a 2+82；由f′(x)<0得，a−√a 2−82<x <a+√a 2−82；∴函数f(x)在(0,a−√a 2−82),(a+√a 2+82,+∞)上单调递增，在(a−√a 2−82,a+√a 2+82)上单调递减；综上所述，当a ≤2√2时，f(x)在(0, +∞)上单调递增；当a >2√2时，f(x)在(0,a−√a 2−82),(a+√a 2+82,+∞)上单调递增，在(a−√a 2−82,a+√a 2+82)上单调递减；由（1）知，当a >2√2时，f(x)有两极值点x 1，x 2(x 2>x 1)，由（1）得x 1，x 2为g(x)＝x 2−ax +2＝0的两根，于是x 1+x 2＝a ，x 1x 2＝2，∴f(x 2)−f(x 1)=21n x 2x 1+12(x 22−x 12)−a(x 2−x 1)=21n x 2x 1−x 2x 1+x1x 2，令t =x 2x 1(t >1)，则f(x 2)−f(x 1)=ℎ(t)=21nt −t +1t ，∵ℎ(t)=2t −1−1t 2=−(t−1)2t 2<0，∴ℎ(t)在(1, +∞)上单调递减，由已知ℎ(t)＝f(x 2)−f(x I )的最大值为2ln2−32，而ℎ(2)＝2ln2−32，所以t ＝2，设t 的取值集合T ，则只要满足T ⊆[2, +∞)且T 中的最小元素为2的T 集合都满足题意，又12a 2=(x 1+x 2)2x 1x 2=t +1t +2，易知φ(t)=t +1t +2在[2, +∞)上单调递增，结合a >2√2，可得a 与t 是一一对应关系，而当t ＝2，即x2x 1=2时，联合x 1x 2＝2，解得x 2＝2，x 1＝1，进而可得a ＝3，∴实数a 的取值范围为[3, +∞)或[3, +∞)的任意最小元素为3的子集．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题申任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为{x =1+rcosφy =rsinφ （r >0，φ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1经过点P(2, π3)，曲线C 2的直角坐标方程为x 2−y 2＝1．（1）求曲线C 1的普通方程，曲线C 2的极坐标方程；（2）若A(ρ1, α)，B(ρ2, α−π6)是曲线C 2上两点，当α∈(0, π4)时，求1|OA|2+1|OB|2的取值范围．【解答】将曲线C 1的参数方程转化成普通方程为：(x −1)2+y 2＝r 2，由x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，得点P(2, π3)的直角坐标为(1, √3)，代入曲线C 1得r 2＝3， ∴曲线C 1的普通方程为：(x −1)2+y 2＝3， C 2可化为ρ2cos 2θ−ρ2sin 2θ＝1，即ρ2cos2θ＝1，∴曲线C 2的极坐标方程ρ2cos2θ＝1，将点A(ρ1, α)，B(ρ2, α−π6)是曲线C 2的极坐标方程，得p 12cos2α=1，ρ22cos(2α−π3)=1，∴1|OA|2+1|OB|2=1ρ12+1ρ22=cos2α+cos(2α−π3)=32cos2α+√32sin2α=√3sin(2α+π3)．当α∈(0, π4)时，2α+π3∈(π3,5π6)，于是√3sin(2α+π3)∈(√32,√3]．所以1|OA|+1|OB|的取值范围是(√32,√3]． [选修4-5：不等式选讲]（10分）已知关于x 的不等式|x +1|−|2x −1|≤log 12a ，其中a >0．（1）当a ＝4时，求不等式的解集；（2）若该不等式对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．【解答】当a ＝4时，关于x 的不等式|x +1|−|2x −1|≤log 12a =−2，当x ≥12时，x +1−(2x −1)≤−2，解得x ≥4，综合可得x ≥4；当x ≤−1时，−x −1+(2x −1)≤−2，解得x ≤0，综合可得x ≤−1；当−1<x <12时，x +1+(2x −1)≤−2，解得x ≤−23，综合可得−1<x ≤−23，综上可得原不等式的解集为(−∞, −23]∪[4, +∞)；设函数f(x)＝|x +1|−|2x −1|＝|x +1|−|x −12|−|x −12|≤|x +1−(x −12)|−0=32，可得x =12时，f(x)取得最大值32，若该不等式对x ∈R 恒成立，可得log 12a ≥32，解得0<a ≤√24．。

2020届绵阳二诊理科数学试题(解析版)

2020届绵阳二诊理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.设全集{}|0U x x =>，{}2|1xM x e e=<<，则UCM =（）A. ()1,2B. ()2,+∞C. (][)0,12,+∞D. [)2,+∞【答案】D 【详解】由题意2{|1}{|02}x M x e e x x =<<=<<，∴{|2}U C M x x =≥．故选：D ．2.已知i 为虚数单位，复数z 满足12z i i ⋅=+，则z =（） A. 2i - B. 2i + C. 12i - D. 2i - 【答案】A 【详解】由题意122iz i i+==-．故选：A ．3.已知两个力()11,2F =，()22,3F =-作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力3F ，则3F =（） A. ()1,5- B. ()1,5-C. ()5,1-D. ()5,1-【答案】A【详解】根据力的合成可知()()()12+1,22,31,5F F =+-=- 因为物体保持静止,即合力为0,则123+0F F F += 即()31,5F =- 故选:A4.甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（） A.18B.14C. 38D.12【答案】B【详解】两景点用1，2表示，三人选择景点的各种情形为：甲1乙1丙1 ，甲1乙1丙2 ，甲1乙2丙1 ，甲2乙1丙1 ，甲2乙2丙1 ，甲2乙1丙2 ，甲1乙2丙2 ，甲2乙2丙2 共8种，其中三人去同一景点的有甲1乙1丙1 和甲2乙2丙2两种，所以概率为2184P ==．故选：B ．5.已知α为任意角，则“1cos 23α=”是“sin α=”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要【答案】B【详解】21cos 212sin 3a α=-=，则sin α=，因此“1cos 23α=”是“sin 3α=”的必要不充分条件．故选：B ．6.若51ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为1，则该展开式中含3x 项的系数为（）A. -80B. -10C. 10D. 80【答案】A【详解】因为51ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为1令1x =代入可得()511a -=,解得2a = 即二项式为512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中含3x 的项为()()41143355122180C x C x x x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭所以展开式中含3x 项的系数为80- 故选:A7.已知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表：若根据表中的数据用最小二乘法求得y 对x 的回归直线方程为 6.59y x =+，则下列说法中错误的是（） A. 产品的销售额与广告费用成正相关 B. 该回归直线过点()2,22C. 当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元D. m 的值是20 【答案】C【详解】因为回归直线方程中x 系数为6.5＞0，因此，产品的销售额与广告费用成正相关，A 正确；又0123425x ++++==，∴ 6.52922y =⨯+=，回归直线一定过点(2,22)，B 正确；10x =时， 6.510974y =⨯+=，说明广告费用为10万元时，销售额估计为74万元，不是一定为74万元，C 错误；由10153035225m y ++++==，得20m =，D 正确．故选：C．8.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A ，B 两点，若四边形OAFB （O 为坐标原点）的面积为bc ，则双曲线的离心率为（） B. 2D. 3【答案】B【详解】由题意(c,0)F ，渐近线方程by x a =±，不妨设AF 方程为()b y x c a=--，由()b y x c a b y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得22c x bc y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即(,)22c bc A a ，同理(,)22c bc B a -， ∴21(2)222OAFBbc bc S c a a =⨯⨯⨯=，由题意22bc bc a=，∴2c a =．故选：B ．9.小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分.现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为X ，则X 的期望为（） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C【详解】进行“手心手背”游戏,3人出现的所有可能情况如下所示: (心,心,心), (心,心,背),(心,背,心),(背,心,心) (心,背,背),(背,心,背),(背,背,心),(背,背,背) 则小明得1分的概率为34,得0分的概率为14进行4次游戏,小明得分共有5种情况:0分,1分,2分,3分,4分由独立重复试验的概率计算公式可得:()4041104256P XC ⎛⎫===⎪⎝⎭()13143112144256P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()22243154244256P XC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()313431108344256P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()44438144256P XC ⎛⎫===⎪⎝⎭则得分情况的分布列如下表所示:则X 的期望()154108811+2+3+4=3256256256256E X =⨯⨯⨯⨯ 故选:C10.已知圆C ：2268110x y x y +---=，点M ，N 在圆C 上，平面上一动点P 满足PM PN =且PM PN ⊥，则PC 的最大值为（）A. 4B. 42C. 6D. 62【答案】D【详解】圆C ：2268110x y x y +---= 化成标准方程可得()()223436x y -+-= 所以圆C 的半径为6r =因为点M ,N 在圆C 上,动点P 满足PM PN =且PM PN ⊥ 所以P 位于以MN 为直径的圆上,位置关系如下图所示:则PMC PNC ∆≅∆,即45MPC NPC ∠=∠=在三角形PMC ∆中,由正弦定理可得sin sin 45MCPC PMC =∠ sin 22PC PMC =∠则62PC PMC =∠ 因为sin 1PMC ∠≤ 所以PC 的最大值为62故选:D11.已知()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()31cos sin 3x x x f x x =-+，则满足不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭的实数m 的取值范围为（）A. 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()0,2C. ()10,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ()2,+∞【答案】A【详解】∵()f x 是偶函数，∴12222(log )(log )(log )(log )f m f m f m f m =-==，则不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭可化为22(log )2(1)f m f <，即2(log )(1)f m f <，0x ≥时，31()cos sin 3f x x x x x =-+，2'()cos sin cos (sin )f x x x x x x x x x =--+=-，令()sin g x x x =-，则'()1cos 0g x x =-≥，∴()g x 是R 上的增函数，∴当0x >时，()(0)0g x g >=， ∴0x ≥时，'()0f x ≥，∴()f x 在[0,)+∞上是增函数， ∴由2(log )(1)f m f <得2log 1m <，即21log 1m -<<，122m <<．故选：A ．12.函数()()()221log 2a a f x ax x =--+在区间10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是（）A. 11,32⎛⎫⎪⎝⎭B. [)3,+∞C. ()[)1,23,+∞D. [)2,3【答案】D【详解】函数()()()221log 2a a f x ax x =--+在区间10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点,则()l g 21o 0a f =-,lo 1g 31a f a ⎛⎫⎪=-⎝⎭由二次函数的图像与对数函数的图像可知,函数零点至多有两个.且因为恰有一个零点,所以满足()()110log 2log 3a a --≤且1log 20a -=与1log 30a -=在10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不同时成立.解不等式()()110log 2log 3a a --≤可得23a ≤≤当3a =时,函数()()()2361log 32f x x x =--+,区间为10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦且满足()301log 20f =->,310046log f =-⎛⎫<⎪⎝⎭,311303log f =-⎛⎫= ⎪⎝⎭所以在10,6⎛⎫ ⎪⎝⎭内有一个零点, 13x =为一个零点.故由题意可知,不符合要求综上可知, a 的取值范围为[)2,3 故选:D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.直线l ：()110ax a y -+-=与直线4630x y -+=平行，则实数a 的值是______. 【答案】2. 【详解】由题意(1)1463a a -+-=≠-，解得2a =．故答案为：2．14.法国数学家布丰提出一种计算圆周率π的方法——随机投针法，受其启发，我们设计如下实验来估计π的值：先请200名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数的平方和小于1的数对(),x y 的个数m ；最后再根据统计数m 来估计π的值.已知某同学一次试验统计出156m =，则其试验估计π为______. 【答案】3.12【详解】横、纵坐标都小于1的正实数对(),x y 构成第一象限内的一个正方形, 两数的平方和小于1的数对(),x y 为单位圆在第一象限的部分.其关系如下图所示:则阴影部分与正方形面积的比值为1:14π由几何概型概率计算公式可知115642001π=解得15643.12200π⨯==故答案为: 3.1215.函数()sin0,2y xπωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象如图所示，则()f x在区间[],ππ-上的零点之和为______.【答案】23π.【详解】由题意411()3126Tπππ=⨯-=，∴22πωπ==，又sin(2)16πϕ⨯+=且2πϕ<，∴6π=ϕ，∴()sin(2)6f x xπ=+．由sin(2)06xπ+=得26x kππ+=，212kxππ=-，k Z∈，在[,]-ππ内有：7511,,,12121212ππππ--，它们的和为23π．16.过点()1,0M-的直线l与抛物线C：24y x=交于A，B两点（A在M，B之间），F是抛物线C的焦点，点N满足：5NA AF=，则ABF∆与AMN∆的面积之和的最小值是______.【答案】8【详解】根据题意,画出抛物线及直线方程如下图所示:因为直线l 过点()1,0M - 设直线的方程为1x ty =-则241y x x ty ⎧=⎨=-⎩,化简可得2440y ty -+= 因为有两个不同交点,则216160t ∆=->,解得1t >或1t <- 不妨设1t >,则解方程可得22221,221A B y t t y t t =--=+-因为5NA AF =,则6NF AF = 所以2612121,N A y y t t ==-- 所以()122ABF MBF AMF B A B A S S S y y y y ∆∆∆=-=⨯⨯-=- ()122AMN FMN AMF N A N A S S S y y y y ∆∆∆=-=⨯⨯-=-则ABF AMN B A N A S S y y y y ∆∆+=-+-222221121212221t t t t t t ⎛=+----- ⎝21061t t =-- ,(1t >)令()21061f t t t =--则()2'101f t t =-令()2'1001f t t =-=- 解得54t =当514t <<时, ()'0f t <,所以()f t 在51,4⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减当54t >时, ()'0f t >,所以()f t 在5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增即当54t =时()f t 取得最小值. 所以21061ABF AMN S S t t ∆∆+=--2551061844⎛⎫=⨯--= ⎪⎝⎭故答案为:8三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查.该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生（其中男生45名），统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间t （小时）的频率分布直方图如图所示：（1）求样本学生一个月阅读时间t 的中位数m .（2）已知样本中阅读时间低于m 的女生有30名，请根据题目信息完成下面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.22⨯列联表男女总计附表：.其中：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.【详解】（1）由题意得，直方图中第一组，第二组的频率之和为0.0450.0650.5⨯+⨯=.所以阅读时间的中位数10m =.（2）由题意得，男生人数为45人，因此女生人数为55人，由频率分布直方图知，阅读时长大于等于m 的人数为1000.550⨯=人，故列联表补充如下：2K 的观测值()2100253025201005050455599k ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯ 1.01 2.706≈<，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足120a a +=，624S =.各项均为正数的等比数列{}n b 满足1241b b a +=+，34b S =.（1）求n a 和n b ；（2）求和：()()()1121211111n n T b b b b b b -=+++++++++++.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q .由题意,得1120656242a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩,解得112a d =-⎧⎨=⎩, ∴23n a n =-∵等比数列{}n b 的各项均为正数由112168b b q b q +=⎧⎨=⎩解得1122b q =⎧⎨=⎩或121823b q =⎧⎪⎨=-⎪⎩（舍）∴1222n n n b -=⨯=（2）由（1）得,211211122221n nn b b b --+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=-()()()1121211111n n T b b b b b b -=++++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()()231212121n =+-+-++-()()()()12321212121n =-+-+-++-()12122212n n n n +-=-=---.19.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知()()()sin sin sin sin A B a b c C B +-=+. （1）求A ；（2）若D 为BC 边上一点，且AD BC ⊥，BC =，求sin B . 【详解】（1）在ABC ∆中，由正弦定理得()()()a b a b c c b +-=+，即222ab c bc =++.由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==-，结合0A π<<，可知23A π=. （2）在ABC ∆中，11sin 22ABC S AB AC BAC BC AD ∆=⋅∠=⋅，即2bc a AD =⋅.由已知BC =，可得AD =.在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos120a b c bc =+-︒，即223bc b c bc =++，整理得()20b c -=，即b c =， ∴6A B π==.∴1sin sin 62B π==.20.已知椭圆C ：2212x y +=，直线l 交椭圆C 于A ，B 两点.（1）若点()1,1P -满足0OA OB OP ++=（O 为坐标原点），求弦AB 的长；（2）若直线l 的斜率不为0且过点()2,0，M 为点A 关于x 轴的对称点，点(),0N n 满足MN NB λ=，求n 的值.【详解】（1）设()11,A x y ,()22,B x y由0OA OB OP ++=,且点()1,1P -,得121x x =+,121y y +=-.① ∴线段AB 的中点坐标为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭,其在椭圆内由222222111212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得2222212102x x y y -+-=,整理得2221222112y y x x -=--,即()()()()2121212112y y y y x x x x +-=-+-.将①代入,得212112AB y y k x x -==-.∴直线AB 方程为111222y x ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即2430x y --=. 联立22122430x y x y ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩消去x 得2242410y y ++=,由韦达定理得121y y +=-,12124y y =. ∴AB ==. （2）设直线AB 的方程为2x ty =+,由题意得()11,M x y -,由已知MN NB λ=,可知M ,N ,B 三点共线,即MN MB k k =.∴()()1211210y y y n x x x ----=--,即121121y y y n x x x +=--, 解得()121121y x x n x y y -=++.将112x ty =+,222x ty =+,代入得121222ty y n y y =++.②联立222202x y x ty ⎧+-=⎨=+⎩消去x 得()222420t y ty +++=由韦达定理得12242t y y t -+=+,12222y y t =+.③ 将③代入②得到1n =21.已知函数()212ln 2x f x ax x =+-，其中a R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若3a ≥，记函数()f x 的两个极值点为1x ，2x （其中21x x >），当()()21f x f x -的最大值为32ln 22-时，求实数a 的取值范围.【详解】（1）()()2'220x ax x a x x xf x -+=+-=>.令()22g x x ax =-+,则28a ∆=-.①当0a ≤或0∆≤,即a ≤,得()'0f x ≥恒成立, ∴()f x 在()0,∞+上单调递增.②当0a >⎧⎨∆>⎩,即a >,由()'0f x >,得02a x <<或2a x +>由()'0f x <,x <<∴函数()f x在0,2a ⎛ ⎪⎝⎭和2a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增,在22a a ⎛+⎪⎝⎭上单调递减. 综上所述,当a ≤时,()f x 在()0,∞+上单调递增；当a >,()f x 在0,2a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭和2a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增,在⎝⎭上单调递减. （2）由（1）得,当a >,()f x 有两极值点1x ,2x （其中21x x >）. 由（1）得1x ,2x 为()220x a g x x =-+=的两根,于是12x x a +=,122x x =.∴()()()()222212121112ln2x f x f x x x a x x x -=+--- 222222122111122ln 2ln 2x x x x x x x x x x --=-=-2211122lnx x x x x x =-+. 令()211x t t x =>,则()()()2112ln f x f x h t t t t-==-+. ∵()()22222121211'0t t t t t t th t ---+-=--==<, ∴()h t 在()1,+∞上单调递减.由已知()()()21h f x t f x -=的最大值为32ln 22-, 而()132ln 22l 2222n 2h =-+=-. ∴2t =.设t 的取值集合为T ,则只要满足[)2,T ⊆+∞且T 中的最小元素为2的T 集合均符合题意.又()()221212122x x a t t T x x t+==++∈,易知()12x t t ϕ=++在[)2,+∞上单调递增,结合a >可得a 与t 是一一对应关系. 而当2t =,即212x x =时,联合122x x =, 解得22x =,11x =,进而可得3a =. ∴实数a 的取值范围为[)3,+∞.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分. 22.在平面直角坐标系中，曲线1C 参数方程为1cos sin x r y r ϕϕ=+⎧⎨=⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 经过点2,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭，曲线2C 的直角坐标方程为221x y -=.（1）求曲线1C 的普通方程，曲线2C 的极坐标方程；（2）若()1,A ρα，2,6B πρα⎛⎫- ⎪⎝⎭是曲线2C 上两点，当0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求2211OA OB +的取值范围.【详解】（1）将1C 的参数方程化为普通方程为()2221x y r -+=.由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得点2,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭的直角坐标为(，代入1C ，得23r =， ∴曲线1C 的普通方程为()2213x y -+=.2C 可化为2222cos sin 1ρθρθ-=，即()222cos sin 1ρθθ-=，∴曲线2C 的极坐标方程为2cos 21ρθ=. （2）将点()1,A ρα，2,6B πρα⎛⎫-⎪⎝⎭代入曲线2C 的极坐标方程，得21cos 21ρα=，22cos 213πρα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴22222111cos 2cos 1123OAOBπααρρ⎛⎫=++-+= ⎪⎝⎭3cos 22223πααα⎛⎫==+ ⎪⎝⎭. 由已知0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得52,336πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，232πα⎛⎛⎫+∈⎪ ⎝⎭⎝. 所以2211OAOB+的取值范围是⎝.23.已知关于x 的不等式12121log x x a +--≤，其中0a >.（1）当4a =时，求不等式的解集；（2）若该不等式对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 【详解】（1）由4a =时，12log 2a =-.原不等式化为1212x x +--≤-，当12x ≥时，()1212x x +--≤-，解得4x ≥，综合得4x ≥；当112x -<<时，1212x x ++-≤-，解得23x ≤-，综合得213x -<≤-；当1x ≤-时，()1212x x -++-≤-，解得0x ≤，综合得1x ≤-. ∴不等式的解集为2|43x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或. （2）设函数()2,111213,1212,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+--=-≤<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩，画图可知，函数()f x 的最大值为32.由123log 2a ≤，解得20a <≤。

2020届四川省绵阳市高考数学二诊试卷(理科)(有答案)(精品)

四川省绵阳市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选型中，只有一个是符合题目要求的.1．若集合A={x|y=2x}，集合，则A∩B=（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，+∞）2．为了得到函数y=3sin（2x+），x∈R的图象，只需把函数y=3sin（x+），x∈R的图象上所有的点的（）A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变3．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．4．在复平面内，复数z=（|a|﹣1）+（a+1）i（a∈R，i为虚数单位）对应的点位于第四象限的充要条件是（）A．a≥﹣1 B．a＞﹣1 C．a≤﹣1 D．a＜﹣15．已知直线2x+y﹣3=0的倾斜角为θ，则的值是（）A．﹣3 B．﹣2 C．D．36．在闭区间[﹣4，6]上随机取出﹣个数x，执行如右图所示的程序框图，则输出的x不小于39的概率为（）A．B．C．D．7．已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内（含边界）一动点，则•的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．[﹣1，2] C．[﹣1，3] D．[﹣1，4]8．已知正项等比数列{a n}满足a5+a4﹣a3﹣a2=8，则a6+a7的最小值为（）A．4 B．16 C．24 D．329．已知f（x）=x2++c（b，c为常数）和g（x）=x+是定义在M={x|1≤x≤4}上的函数，对任意的x∈M，存在x0∈M使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0），且f（x0）=g（x0），则f（x）在集合M上的最大值为（）A．B．5 C．6 D．810．已知抛物线x2=4py（p＞0）的焦点F，直线y=x+2与该抛物线交于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线，垂足为N，若•+（+）•=﹣1﹣5p2，则p的值为（）A．B．C．1 D．2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．某小组4个同学的数学成绩的茎叶图如图，则该组同学的成绩的中位数是______．12．在x（x﹣1）5展开式中含x3项的系数是______（用数字作答）．13．从数字0、1、2、3、4、5这6个数字中任选三个不同的数字组成的三位偶数有______个．（用数字作答）14．已知点P在单位圆x2+y2=1上运动，P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d2，则d1+d2的最小值是______．15．现定义一种运算“⊕”：对任意实数a，b，a⊕b=，设f（x）=（x2﹣2x）⊕（x+3），若函数g（x）=f（x）+k的图象与x轴恰有两个公共点，则实数k的取值范围是______．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，原理毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性，禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄阶段性在[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）的市民进行问卷调查，由此得到样本频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数；（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5人，求[50，60）年龄段抽取的人数；（Ⅲ）从（Ⅱ）中方式得到的5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者，记X为年龄在[50，60）年龄段的人数，求X的分布列及数学期望．17．已知函数f（x）=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x．（1）若x是某三角形的一个内角，且f（x）=﹣，求角x的大小；（2）当x∈[0，]时，求f（x）的最小值及取得最小值时x的集合．18．已知二次函数f（x）=x2+4x+m（m∈R，m为常数）的图象与坐标轴有三个交点，记过这三个交点的圆为圆C．（I）求m的取值范围；（Ⅱ）试证明圆C过定点（与m的取值无关），并求出该定点的坐标．19．已知等差数列{a n}的前n项和S n满足：S5=30，S10=110，数列{b n}的前n项和T n满足：b1=1，b n﹣2T n=1．+1（1）求S n与b n；（2）比较S n b n与2T n a n的大小，并说明理由．20．在平面直角坐标系中，动点M到定点F（﹣1，0）的距离和它到直线l：x=﹣2的距离之比是常数，记动点M的轨迹为T．（1）求轨迹T的方程；（2）过点F且不与x轴重合的直线m，与轨迹T交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，与轨迹T是否存在点Q，使得四边形APBQ为菱形？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=lnx﹣mx（m∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当m≥时，设g（x）=2f（x）+x2的两个极值点x1，x2（x1＜x2）恰为h（x）=lnx﹣cx2﹣bx的零点，求y=（x1﹣x2）h′（）的最小值．四川省绵阳市高考数学二诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选型中，只有一个是符合题目要求的.1．若集合A={x|y=2x}，集合，则A∩B=（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，+∞）【考点】函数的定义域及其求法；交集及其运算．【分析】求出集合A中函数的定义域确定出A，求出集合B中函数的定义域确定出B，求出A与B的交集即可．【解答】解：集合A中的函数y=2x，x∈R，即A=R，集合B中的函数y=，x≥0，即B=[0，+∞），则A∩B=[0，+∞）．故选C2．为了得到函数y=3sin（2x+），x∈R的图象，只需把函数y=3sin（x+），x∈R的图象上所有的点的（）A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点横坐标变为原来的一半【解答】解：由函数图象变换的规则函数的图象，可以由函数的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得到故选B．3．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线的方程，得出=，再利用离心率e==计算．【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线的方程为：y=±x，∵双曲线的一条渐近线方程是y=x，∴=，则离心率e=====．故选：B4．在复平面内，复数z=（|a|﹣1）+（a+1）i（a∈R，i为虚数单位）对应的点位于第四象限的充要条件是（）A．a≥﹣1 B．a＞﹣1 C．a≤﹣1 D．a＜﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由复数z的实部大于0，且虚部小于0联立不等式组求得答案．【解答】解：由z=（|a|﹣1）+（a+1）i对应的点位于第四象限，得，即a＜﹣1．∴复数z=（|a|﹣1）+（a+1）i对应的点位于第四象限的充要条件是a＜﹣1．故选：D．5．已知直线2x+y﹣3=0的倾斜角为θ，则的值是（）A．﹣3 B．﹣2 C．D．3【考点】同角三角函数基本关系的运用；直线的倾斜角．【分析】由直线的倾斜角和斜率的关系可得tanθ=﹣2，要求的式子可化为，代入计算可得．【解答】解：∵直线2x+y﹣3=0的倾斜角为θ，∴tanθ=﹣2，∴===．故选：C．6．在闭区间[﹣4，6]上随机取出﹣个数x，执行如右图所示的程序框图，则输出的x不小于39的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型；程序框图．【分析】根据程序框图求出x的取值范围，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：由程序框图知，第一次循环，n=1，满足条件n≤3，y=2x+1，n=2，第二次循环，n=2，满足条件n≤3，y=2（2x+1）+1=4x+3，n=3，第三次循环，n=3，满足条件n≤3，y=2（4x+3）+1=8x+7，n=4，此时不满足条件n≤3输出y=8x+7，由8x+7≥39得x≥4，即4≤x≤6，则对应的概率P==，故选：A7．已知点M 是边长为2的正方形ABCD 的内切圆内（含边界）一动点，则•的取值范围是（） A ．[﹣1，0] B ．[﹣1，2] C ．[﹣1，3] D ．[﹣1，4] 【考点】平面向量数量积的运算．【分析】如图所示，由题意可得：点M 所在的圆的方程为：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2≤1（0≤x ≤2，0≤y ≤2）．可设点M （x ，y ）可得•=（x ﹣1）2+y 2﹣1，由∈[0，2]，即可得出．【解答】解：如图所示，由题意可得：点M 所在的圆的方程为：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2≤1（0≤x ≤2，0≤y ≤2）．可设点M （x ，y ） A （0，0），B （2，0）．∴•=（﹣x ，﹣y ）•（2﹣x ，﹣y ）=﹣x （2﹣x ）+y 2=（x ﹣1）2+y 2﹣1，由∈[0，2]，∴•∈[﹣1，3]，故选：C ．8．已知正项等比数列{a n }满足a 5+a 4﹣a 3﹣a 2=8，则a 6+a 7的最小值为（） A ．4 B ．16 C ．24 D ．32【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；等比数列的性质；数列与函数的综合．【分析】可判数列{a n +a n +1}也是各项均为正的等比数列，设数列{a n +a n +1}的公比为x ，a 2+a 3=a ，则x ∈（1，+∞），a 4+a 5=ax ，结合已知可得a=，代入可得y=a 6+a 7的表达式，x ∈（1，+∞），由导数求函数的最值即可．【解答】解：∵数列{a n }是各项均为正的等比数列， ∴数列{a n +a n +1}也是各项均为正的等比数列，设数列{a n +a n +1}的公比为x ，a 2+a 3=a ，则x ∈（1，+∞），a 5+a 4=ax ， ∴有a 5+a 4﹣a 3﹣a 2=ax ﹣a=8，即a=，∴y=a 6+a 7=ax 2=，x ∈（1，+∞），求导数可得y ′==，令y ′＞0可得x ＞2，故函数在（1，2）单调递减，（2，+∞）单调递增， ∴当x=2时，y=a 6+a 7取最小值：32．故选：D ．9．已知f（x）=x2++c（b，c为常数）和g（x）=x+是定义在M={x|1≤x≤4}上的函数，对任意的x∈M，存在x0∈M使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0），且f（x0）=g（x0），则f（x）在集合M上的最大值为（）A．B．5 C．6 D．8【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由基本不等式可得g（x）≥1（当且仅当x=，即x=2时，等号成立），从而可得c=﹣1﹣，求导f′（x）=x﹣=，从而可得b=8，c=﹣5，从而解得．【解答】解：∵g（x）=x+≥2=1，（当且仅当x=，即x=2时，等号成立），∴f（2）=2++c=g（2）=1，∴c=﹣1﹣，∴f（x）=x2+=x2+﹣1﹣，∴f′（x）=x﹣=，∵f（x）在x=2处有最小值，∴f′（2）=0，即b=8，故c=﹣5，故f（x）=x2+﹣5，f′（x）=，故f（x）在[1，2]上是减函数，在[2，4]上是增函数，而f（1）=+8﹣5=，f（4）=8+2﹣5=5，故f（x）的最大值为5，故选：B．10．已知抛物线x2=4py（p＞0）的焦点F，直线y=x+2与该抛物线交于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线，垂足为N，若•+（+）•=﹣1﹣5p2，则p的值为（）A．B．C．1 D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），把y=x+2代入x2=4py得x2﹣4px﹣8p=0．利用韦达定理，结合向量的数量积公式，即可得出结论．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），把y=x+2代入x2=4py得x2﹣4px﹣8p=0．由韦达定理得x1+x2=4p，x1x2=﹣8p，所以M（2p，2p+2），所以N点（2p，0）．同理y1+y2=4p+4，y1y2=4∵•+（+）•=﹣1﹣5p2，∴（﹣x1，p﹣y1）•（﹣x2，p﹣y2）+（﹣x1﹣x2，2p﹣y1﹣y2）•（2p，﹣p）=﹣1﹣5p2，代入整理可得4p2+4p﹣3=0，∴p=．故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．某小组4个同学的数学成绩的茎叶图如图，则该组同学的成绩的中位数是127．【考点】众数、中位数、平均数．【分析】根据茎叶图中的数据，计算数据的中位数即可．【解答】解：根据茎叶图，得到4位同学的成绩为：114，126，128，132，所以中位数是=127．故答案为：127．12．在x（x﹣1）5展开式中含x3项的系数是﹣10（用数字作答）．【考点】二项式定理的应用．【分析】把（x﹣1）5 按照二项式定理展开，可得x（x﹣1）5展开式中含x3项的系数．【解答】解：在x（x﹣1）5=x•[x5﹣5x4+10x3﹣10x2+5x﹣1]的开式中，含x3项的系数是﹣10，故答案为：﹣10．13．从数字0、1、2、3、4、5这6个数字中任选三个不同的数字组成的三位偶数有52个．（用数字作答）【考点】计数原理的应用．【分析】分两类，第一类，个位为0，第二类，个位是2或4，再利用分步计数原理求出每一类有多少个，然后相加．【解答】解：分两类，第一类，个位为0，有A52=20个；第二类，个位是2或4，有C21×C41×C41=32个，∴可组成没有重复数字的三位偶数有20+32=52个，故答案为：52．14．已知点P在单位圆x2+y2=1上运动，P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d2，则d1+d2的最小值是5﹣．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设点P（cosu，sinu），求出P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d2，即可求出d1+d2的最小值．【解答】解：设点P（cosu，sinu），P到直线3x﹣4y﹣l0=0的距离为d1=|3cosu﹣4sinu﹣10|=（10﹣3cosu+4sinu），d2=3﹣cosu，∴d1+d2=（10﹣3cosu+4sinu）+3﹣cosu=5+（4sinu﹣8cosu）=5+sin（u﹣t），∴它的最小值=5﹣．故答案为：5﹣．15．现定义一种运算“⊕”：对任意实数a，b，a⊕b=，设f（x）=（x2﹣2x）⊕（x+3），若函数g（x）=f（x）+k的图象与x轴恰有两个公共点，则实数k的取值范围是（﹣3，﹣2）∪（﹣8，﹣7]∪{1} ．【考点】函数的图象；函数解析式的求解及常用方法．【分析】由条件根据新定义求得f（x）的解析式，由题意可得f（x）的图象和直线y=﹣k有2个交点，数形结合求得k的范围．【解答】解：令（x2﹣2x）﹣（x+3）=1，求得x=﹣1，或x=4，故当x≤﹣1或x≥4时，（x2﹣2x）﹣（x+3）≥1，f（x）=x+3；当x∈（﹣1，4）时，（x2﹣2x）﹣（x+3）＜1，f（x）=x2﹣2x．函数g（x）=f（x）+k的图象与x轴恰有两个公共点，则f（x）的图象和直线y=﹣k有2个交点，如图所示：故有﹣k=﹣1，或2＜﹣k＜3，或7≤﹣k＜8，求得实数k的取值范围为：（﹣3，﹣2）∪（﹣8，﹣7]∪{1}．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，原理毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性，禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄阶段性在[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）的市民进行问卷调查，由此得到样本频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数；（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5人，求[50，60）年龄段抽取的人数；（Ⅲ）从（Ⅱ）中方式得到的5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者，记X为年龄在[50，60）年龄段的人数，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）由频率分布直方图求出随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的频率，由此能求出随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数．（II）由频率分布直方图得不小于40岁的人的频数是25人，由此能求出在[50，60）年龄段抽取的人数．（III）由已知X=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．【解答】解：（I）由频率分布直方图知，随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的频率为：1﹣10×（0.020+0.025+0.015+0.010）=0.3，即随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数为100×0.3=30人．…（II）由（I）知，年龄段在[40，50），[50，60）的人数分别为100×0.15=15人，100×0.1=10人，即不小于40岁的人的频数是25人，∴在[50，60）年龄段抽取的人数为10×=2人．…（III）由已知X=0，1，2，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，∴X的分布列为X 0 1 2P∴EX=0×+1×+2×=．…17．已知函数f（x）=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x．（1）若x是某三角形的一个内角，且f（x）=﹣，求角x的大小；（2）当x∈[0，]时，求f（x）的最小值及取得最小值时x的集合．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用二倍角公式和两角和公式化简函数解析式，由题意可得cos（2x+）=﹣，根据x∈（0，π），利用余弦函数的性质即可得解．（2）由x∈[0，]，可得2x+∈[，]，利用余弦函数的图象和性质可得f（x）的最小值为﹣，此时2x+=π，即x=．【解答】解：（1）∵f（x）=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x=（cos2x+sin2x）（cos2x﹣sin2x）﹣sin2x=cos2x﹣sin2x=（cos2x﹣sin2x）=cos（2x+），∴f（x）=cos（2x+）=﹣，可得：cos（2x+）=﹣．∵由题意可得：x∈（0，π），可得：2x+∈（，），可得：2x+=或，∴x=或．（2）∵x∈[0，]，2x+∈[，]，∴cos（2x+）∈[﹣1，]，∴f（x）=cos（2x+）∈[﹣，1]．∴f（x）的最小值为﹣，此时2x+=π，即x=．18．已知二次函数f （x ）=x 2+4x +m （m ∈R ，m 为常数）的图象与坐标轴有三个交点，记过这三个交点的圆为圆C ．（I ）求m 的取值范围；（Ⅱ）试证明圆C 过定点（与m 的取值无关），并求出该定点的坐标．【考点】二次函数的性质．【分析】（Ⅰ）由二次函数图象与两坐标轴有三个交点，得到抛物线不过原点，再令y=0，得到关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，即可得到m 的范围；（Ⅱ）设所求圆方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F=0，令y=0得到关于x 的方程，与已知方程为同一方程，确定出D 与F ，令x=0得到关于y 的方程，将y=m 代入表示出E ，将D 、E 、F 代入即可确定出圆C 的方程，进而可求圆C 经过定点．【解答】解：（I ）令x=0，得抛物线与y 轴交点是（0，m ）；令f （x ）=x 2+4x +m=0，由题意得：m ≠0且△＞0，即m ≠0且16﹣4m ＞0解得：m ＜4且m ≠0；（Ⅱ）证明：设所求圆的一般方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F=0，令y=0得：x 2+Dx +F=0这与x 2+4x +m=0=是同一个方程，故D=4，F=m ；令x=0得：y 2+Ey +F=0，此方程有一个根为m ，代入得出E=﹣m ﹣1，∴圆C 的方程为x 2+y 2+4x ﹣（m +1）y +m=0．∴x 2+y 2+4x ﹣y +（﹣y +1）m=0∴，∴或， ∴圆C 经过定点（0，1）和（﹣4，1）．19．已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 5=30，S 10=110，数列{b n }的前n 项和T n 满足：b 1=1，b n +1﹣2T n =1．（1）求S n 与b n ；（2）比较S n b n 与2T n a n 的大小，并说明理由．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由等差数列前n 项和公式列出方程组求出首项与公差，由此能求出S n 与b n ；由，能求出数列{b n }的通项公式．（2）推导出S n b n =（n 2+n ）•3n ﹣1，2T n a n =2n •（3n ﹣1），由此利用作差法能比较S n b n 与2T n a n 的大小．【解答】解：（1）设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，∵S 5=30，S 10=110，∴，解得∴a n =2+（n ﹣1）×2=2n ，S n ==n 2+n ．…对数列{b n }，由已知有b 2﹣2T 1=1，即b 2=2b 1+1=3，∴b 2=3b 1，（*）又由已知b n +1﹣2T n =1，可得b n ﹣2T n ﹣1=1（n ≥2，n ∈N*），两式相减得b n +1﹣b n ﹣2（T n ﹣T n ﹣1）=0，即b n +1﹣b n ﹣2b n =0（n ≥2，n ∈N*），整理得b n +1=3b n （n ≥2，n ∈N*），结合（*）得（常数），n ∈N*，∴数列{b n }是以b 1=1为首项1，3为公比的等比数列，∴b n=3n﹣1．…﹣1=3n﹣1，（2）2T n=b n+1∴S n b n=（n2+n）•3n﹣1，2T n a n=2n•（3n﹣1），于是S n b n﹣2T n a n=（n2+n）•3n﹣1﹣2n•（3n﹣1）=n[3n﹣1（n﹣5）+2]，…当n≤4（n∈N*）时，S n b n﹣2T n a n＜0，即S n b n＜2T n a n；当n≥5（n∈N*）时，S n b n﹣2T n a n＞0，即S n b n＞2T n a n．∴当n≤4（n∈N*）时，S n b n＜2T n a n；当n≥5（n∈N*）时，S n b n＞2T n a n．…20．在平面直角坐标系中，动点M到定点F（﹣1，0）的距离和它到直线l：x=﹣2的距离之比是常数，记动点M的轨迹为T．（1）求轨迹T的方程；（2）过点F且不与x轴重合的直线m，与轨迹T交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，与轨迹T是否存在点Q，使得四边形APBQ为菱形？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设动点M（x，y），由点到直线的距离公式和两点间距离公式列出方程，能求出轨迹T的方程．（2）假设存在Q（x0，y0）满足条件．设依题意设直线m为x=ky﹣1，联立，消去x，得（k2+2）y2﹣2ky﹣1=0，由此利用韦达定理、椭圆性质、直线方程，结合已知条件能求出直线m的方程．【解答】解：（1）设动点M（x，y），∵动点M到定点F（﹣1，0）的距离和它到直线l：x=﹣2的距离之比是常数，∴由题意，得，化简整理得C的方程为．∴轨迹T的方程为=1．…（2）假设存在Q（x0，y0）满足条件．设依题意设直线m为x=ky﹣1，联立，消去x，得（k2+2）y2﹣2ky﹣1=0，令M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=，x1+x2=k（y1+y2）﹣2=，…∴AB的中点N的坐标为（，）．∵PQ⊥l，∴直线PQ的方程为y﹣=﹣k（x+），令y=0，解得x=，即P（，0）．…∵P、Q关于N点对称，∴=（x0），=（y0+0），解得x0=，y0=，即Q（，）．…∵点Q在椭圆上，∴（）2+2（）2=2，解得k2=，∴，∴=±，∴m的方程为y=x+或y=﹣x﹣．…21．已知函数f（x）=lnx﹣mx（m∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当m≥时，设g（x）=2f（x）+x2的两个极值点x1，x2（x1＜x2）恰为h（x）=lnx﹣cx2﹣bx的零点，求y=（x1﹣x2）h′（）的最小值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）求出函数f（x）的导数，讨论m的取值，利用导数判断函数f（x）的单调性与单调区间；（II）对函数g（x）求导数，利用极值的定义得出g'（x）=0时存在两正根x1，x2；再利用判别式以及根与系数的关系，结合零点的定义，构造函数，利用导数即可求出函数y的最小值．【解答】解：（I）∵函数f（x）=lnx﹣mx，∴，x＞0；当m＞0时，由1﹣mx＞0解得x＜，即当0＜x＜时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；由1﹣mx＜0解得x＞，即当x＞时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当m=0时，f'（x）=＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增；当m＜0时，1﹣mx＞0，故f'（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增；∴当m＞0时，f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）；当m≤0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；…（II）g（x）=2f（x）+x2=2lnx﹣2mx+x2，则，∴g'（x）的两根x1，x2即为方程x2﹣mx+1=0的两根；又∵m≥，∴△=m2﹣4＞0，x1+x2=m，x1x2=1；…又∵x1，x2为h（x）=lnx﹣cx2﹣bx的零点，∴lnx1﹣cx12﹣bx1=0，lnx2﹣cx22﹣bx2=0，两式相减得﹣c（x1﹣x2）（x1+x2）﹣b（x1﹣x2）=0，得b=，而，∴y==]==，…令（0＜t＜1），由（x1+x2）2=m2得x12+x22+2x1x2=m2，因为x1x2=1，两边同时除以x1x2，得t++2=m2，∵m≥，故t+≥，解得t≤或t≥2，∴0＜t≤；…设G（t）=，∴G'（t）=，则y=G（t）在（0，]上是减函数，∴G（t）min=G（）=﹣+ln2，即的最小值为﹣+ln2．…。

2020年四川省大数据精准教学高考数学第二次监测试卷(理科) (解析版)

2020年高考数学第二次监测试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x+3＞0}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则（∁U A）∪B＝（）A．（﹣1，1]B．[1，2）C．[1，3]D．（﹣1，3]2．若复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，2），则＝（）A．B．C．1+3i D．﹣1﹣3i3．已知向量＝（1+λ，2），＝（3，4），若∥，则实数λ＝（）A．B．C．D．4．若，则sin2α＝（）A．B．C．D．5．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．6．若（2x+）6展开式的常数项为160，则a＝（）A．1B．2C．4D．87．若过点P（，1）的直线l是圆C：（x﹣2）2+y2＝4的一条对称轴，将直线l绕点P旋转30°得到直线l'，则直线l'被圆C截得的弦长为（）A．4B．C．2D．18．如图，已知圆锥底面圆的直径AB与侧棱SA，SB构成边长为的正三角形，点C是底面圆上异于A，B的动点，则S，A，B，C四点所在球面的面积是（）A．4πB．C．16πD．与点C的位置有关9．甲、乙、丙、丁4名学生参加体育锻炼，每人在A，B，C三个锻炼项目中恰好选择一项进行锻炼，则甲不选A项、乙不选B项的概率为（）A．B．C．D．10．若函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的图象上相邻三个最值点为顶点的三角形是直角三角形，则A•ω＝（）A．4πB．2πC．πD．11．若函数，且f（2a）+f（a﹣1）＞0，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．C．D．12．已知O为直角坐标系的原点，矩形OABC的顶点A，C在抛物线x2＝4y上，则直线OB的斜率的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若实数x，y满足，则z＝2x+y的最小值为．14．已知平面α⊥平面β，直线l⊂α，且l不是平面α，β的交线．给出下列结论：①平面β内一定存在直线平行于平面α；②平面β内一定存在直线垂直于平面α；③平面β内一定存在直线与直线l平行；④平面β内一定存在直线与直线l异面．其中所有正确结论的序号是．15．阿波罗尼奥斯是古希腊时期与阿基米德、欧几里得齐名的数学家，以其姓氏命名的“阿氏圆”，是指“平面内到两定点的距离的比值为常数λ（λ＞0，λ≠1）的动点轨迹”．设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，顶点C在以A，B为定点，λ＝2的一个阿氏圆上，且，△ABC的面积为，则c＝．16．若关于x的不等式lnx≤﹣bx+1恒成立，则ab的最大值是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n＝2a n﹣2，等差数列{b n}中，b1＝20，b3＝16．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）定义：a*b＝．记c n＝a n*b n，求数列{c n}的前10项的和T10．18．某学校课外兴趣小组利用假期到植物园开展社会实践活动，研究某种植物生长情况与温度的关系．现收集了该种植物月生长量y（cm）与月平均气温x（℃）的8组数据，并制成如图1所示的散点图．根据收集到的数据，计算得到如表值：（x i﹣）21812.325224.04235.96（1）求出y关于x的线性回归方程（最终结果的系数精确到0.01），并求温度为28℃时月生长量y的预报值；（2）根据y关于x的回归方程，得到残差图如图2所示，分析该回归方程的拟合效果．附：对于一组数据（ω，v1），（ω2，v2），…，（ωn，v n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，＝﹣．19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，∠ABE＝30°，∠BEC＝90°，AD ＝2，E是AD的中点．现将△ABE沿BE翻折，使点A移动至平面BCDE外的点P．（1）若，求证：DF∥平面PBE；（2）若平面PBE⊥平面BCDE，求平面PBE与平面PCD所成锐二面角的余弦值．20．在直角坐标系内，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），P是坐标平面内的动点，且直线PA，PB的斜率之积等于．设点P的轨迹为C．（1）求轨迹C的方程；（2）某同学对轨迹C的性质进行探究后发现：若过点（1，0）且倾斜角不为0的直线l 与轨迹C相交于M，N两点，则直线AM，BN的交点Q在一条定直线上．此结论是否正确？若正确，请给予证明，并求出定直线方程；若不正确，请说明理由．21．已知函数f（x）＝．（1）若曲线y＝f（x）在x＝﹣1处切线的斜率为e﹣1，判断函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，证明x1+x2＞0，并指出a的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数），曲线C2：，（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线y＝x tanα（x≥0，0＜α＜）分别交C1，C2于A，B两点，求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+3|+2|x|．（1）求f（x）的值域；（2）记函数f（x）的最小值为M．设a，b，c均为正数，且a+b+c＝M，求证：．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x+3＞0}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则（∁U A）∪B＝（）A．（﹣1，1]B．[1，2）C．[1，3]D．（﹣1，3]【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．解：由x2﹣4x+3＞0解得x＜1或x＞3，则A＝（﹣∞，1）∪（3，+∞），所以（∁U A）∪B＝[1，3]∪（﹣1，2）＝（﹣1，3]．故选：D．2．若复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，2），则＝（）A．B．C．1+3i D．﹣1﹣3i【分析】由已知求得z，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由z＝1+2i，得．故选：B．3．已知向量＝（1+λ，2），＝（3，4），若∥，则实数λ＝（）A．B．C．D．【分析】根据即可得出4（1+λ）﹣2×3＝0，然后解出λ即可．解：∵，∴4（1+λ）﹣2×3＝0，解得．故选：C．4．若，则sin2α＝（）A．B．C．D．【分析】法一：结合诱导公式及二倍角的余弦公式即可求解；法二：由已知结合两角差的余弦公式展开后，利用同角平方关系即可求解．解：法一：根据已知，有．法二：由得，两边平方得，所以，即．故选：A．5．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】先根据函数奇偶性的概念可知f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，排除选项A和B；再对比选项C和D，比较f（x）与x的大小即可作出选择．解：因为f（﹣x）＝＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，排除选项A和B；当x＞0时，，排除选项C．故选：D．6．若（2x+）6展开式的常数项为160，则a＝（）A．1B．2C．4D．8【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于160求得实数a的值．解：二项式（2x+）6的展开式的通项公式为T r+1＝•26﹣r•a r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，可得r＝3；故二项式展开式的常数项为，解得a＝1．故选：A．7．若过点P（，1）的直线l是圆C：（x﹣2）2+y2＝4的一条对称轴，将直线l绕点P旋转30°得到直线l'，则直线l'被圆C截得的弦长为（）A．4B．C．2D．1【分析】由已知可得点P在圆C上，且圆心C在直线l上，求得PC＝2．画出图形，利用勾股定理求得半弦长，则直线l'被圆C截得的弦长可求．解：由题意知，点P在圆C上，且圆心C在直线l上，∴PC＝2．如图，设l'与圆交于P，Q两点，线段PQ的中点为H，则在Rt△PHC中，，故直线l'被圆C截得的弦长．故选：B．8．如图，已知圆锥底面圆的直径AB与侧棱SA，SB构成边长为的正三角形，点C是底面圆上异于A，B的动点，则S，A，B，C四点所在球面的面积是（）A．4πB．C．16πD．与点C的位置有关【分析】如图，设底面圆的圆心为O，S，A，B，C四点所在球面的球心为O1，连接SO，可得SO⊥平面ABC，且O1在线段SO上．设球O1的半径为R，在Rt△O1AO中，由勾股定理可得R．解：如图，设底面圆的圆心为O，S，A，B，C四点所在球面的球心为O1，连接SO，则SO⊥平面ABC，且O1在线段SO上．易知SO＝3，．设球O1的半径为R，在Rt△O1AO中，由勾股定理得（3﹣R）2+＝R2，解得R ＝2．故球面面积为4πR2＝16π．故选：C．9．甲、乙、丙、丁4名学生参加体育锻炼，每人在A，B，C三个锻炼项目中恰好选择一项进行锻炼，则甲不选A项、乙不选B项的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，可得每位学生选择三个锻炼项目有种，则总的选择方式有种，其中甲、乙的选择方式有种，故甲不选A、乙不选B项目的概率为或．解：法一：每位学生选择三个锻炼项目有种，则4人总的选择方式共有种，其中甲、乙的选择方式有种，其余两人仍有种，故甲不选A、乙不选B项目的概率为．法二：只考虑甲、乙的选择，不加限制均为3种，受到限制后均为2种，而甲乙的选择相互独立，故甲不选A、乙不选B项目的概率为．故选：B．10．若函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的图象上相邻三个最值点为顶点的三角形是直角三角形，则A•ω＝（）A．4πB．2πC．πD．【分析】作出函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的大致图象，结合图象求出△MNP 为等腰直角三角形，即可求解结论．解：作出函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的大致图象，不妨取如图的相邻三个最值点．设其中两个最大值点为M，N，最小值点为P．根据正弦函数图象的对称性，易知△MNP为等腰直角三角形，且斜边上的高PQ＝2A，所以斜边MN＝4A，则y＝A sinωx周期T＝4A．由，有，所以．故选：D．11．若函数，且f（2a）+f（a﹣1）＞0，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．C．D．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．解：由题知f（x）的定义域为（﹣1，1），且，所以f（﹣x）＝ln＝﹣ln+x＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数且在（﹣1，1）上单调递减．由f（2a）+f（a﹣1）＞0，可知f（2a）＞﹣f（a﹣1）＝f（1﹣a），于是有，解得．故选：C．12．已知O为直角坐标系的原点，矩形OABC的顶点A，C在抛物线x2＝4y上，则直线OB的斜率的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）C．D．【分析】画出图形，设A（x1，y1），C（x2，y2），则B（x1+x2，y1+y2），通过，推出直线OB的斜率的表达式，利用基本不等式求解即可．解：如图，设A（x1，y1），C（x2，y2），则B（x1+x2，y1+y2），依题意，四边形OABC为矩形，则，即x1x2+y1y2＝0，所以，即x1x2＝﹣16，从而，直线OB的斜率＝，．当且仅当，即时等号成立，故．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若实数x，y满足，则z＝2x+y的最小值为3．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解真假，得到目标函数的最小值即可．解：不等式组表示的可行域是以（2，0），A（1，1），（3，1）为顶点的三角形及其内部，如图：当目标函数z＝2x+y过点A（1，1）时，目标函数在y轴是的的截距取得最小值，此时z取得最小值，z取得最小值3．故答案为：3．14．已知平面α⊥平面β，直线l⊂α，且l不是平面α，β的交线．给出下列结论：①平面β内一定存在直线平行于平面α；②平面β内一定存在直线垂直于平面α；③平面β内一定存在直线与直线l平行；④平面β内一定存在直线与直线l异面．其中所有正确结论的序号是①②④．【分析】利用直线与平面的位置关系结合图形、逐个判断，即可得出答案．解：设平面α∩β＝a，①存在b⊂平面β，且b∥a，所以a∥平面α，故正确，②存在c⊂平面β，且c⊥a，所以c⊥平面α，故正确，③若l与两平面的交线相交，则平面β内不存在直线与直线l平行，则③错误；④由以上图可知存在平面β内一定存在直线与直线l异面．故④正确，故答案：①②④．15．阿波罗尼奥斯是古希腊时期与阿基米德、欧几里得齐名的数学家，以其姓氏命名的“阿氏圆”，是指“平面内到两定点的距离的比值为常数λ（λ＞0，λ≠1）的动点轨迹”．设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，顶点C在以A，B为定点，λ＝2的一个阿氏圆上，且，△ABC的面积为，则c＝．【分析】直接利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果．解：由已知，不妨设b＝2a，由，，解得a＝1，则b＝2，据余弦定理有，所以．故答案为：16．若关于x的不等式lnx≤﹣bx+1恒成立，则ab的最大值是e．【分析】由不等式lnx≤﹣bx+1恒成立，且x＞0，可化为．设，求导可得f'（x）＝，令f'（x）＝0可得x＝e2，可得在（0，e2）和（e2，+∞）函数f（x）的单调性，求出函数f（x）的最大值．结合图象可得f（x）在的图象的下面恒成立，则的图象与函数f（x）的图象相切时，ab取到最大值，进而求出ab的最大值．解：由a≠0，x＞0，原不等式可化为恒成立，设，则，当x∈（0，e2）时，f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（e2，+∞），f'（x）＜0，f（x）递减．所以，f（x）在x＝e2处取得极大值，且为最大值；且x＞e时，f（x）＞0．结合图象可知，的图象恒在f（x）的图象的上方，显然a＜0不符题意；当a＞0时，ab为直线的横截距，其最大值为f（x）的横截距，再令f（x）＝0，可得x＝e，所以ab取得最大值为e．此时a＝e2，，直线与f（x）在点（e，0）处相切，ab的最大值为e．故答案为：e．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n＝2a n﹣2，等差数列{b n}中，b1＝20，b3＝16．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）定义：a*b＝．记c n＝a n*b n，求数列{c n}的前10项的和T10．【分析】（1）对于数列{a n}：当n＝1时，由题设条件求出a1，再由当n≥2时，由S n ＝2a n﹣2，S n﹣1＝2a n﹣1﹣2两式相减整理得a n＝2a n﹣1，进而说明数列{a n}是首项为2，公比也为2的等比数列，从而求得a n；对于数列{b n}：先设出等差数列{b n}的公差d，再由题设条件求出d，即可求得b n．（2）先由（1）求得c n，再求出T10即可．解：（1）对于数列{a n}，当n＝1时，由S n＝2a n﹣2得a1＝2；当n≥2时，由S n＝2a n﹣2，S n﹣1＝2a n﹣1﹣2两式相减整理得a n＝2a n﹣1，所以数列{a n}是首项为2，公比也为2的等比数列，所以数列{a n}的通项公式．设等差数列{b n}的公差为d，则b3﹣b1＝16﹣20＝4＝2d，解得d＝﹣2，所以数列{b n}的通项公式b n＝22﹣2n．综合以上知：a n＝2n，b n＝22﹣2n；（2）由（1）知：c n＝a n*b n＝＝，所以T10＝a1+a2+a3+b4+b5+b6+…+b10＝＝．18．某学校课外兴趣小组利用假期到植物园开展社会实践活动，研究某种植物生长情况与温度的关系．现收集了该种植物月生长量y（cm）与月平均气温x（℃）的8组数据，并制成如图1所示的散点图．根据收集到的数据，计算得到如表值：（x i﹣）21812.325224.04235.96（1）求出y关于x的线性回归方程（最终结果的系数精确到0.01），并求温度为28℃时月生长量y的预报值；（2）根据y关于x的回归方程，得到残差图如图2所示，分析该回归方程的拟合效果．附：对于一组数据（ω，v1），（ω2，v2），…，（ωn，v n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，＝﹣．【分析】（1）根据表中数据求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程，利用回归方程计算x＝28时的值；（2）根据残差图中对应点分布情况判断该回归方程的拟合效果．解：（1）设月生长量y与月平均气温x之间的线性回归方程为，计算，所以，所以y关于x的线性回归方程为；当x＝28时，＝1.05×28﹣6.63＝22.77（cm），所以，在气温在28℃时，该植物月生长量的预报值为22.77cm．（2）根据残差图，残差对应的点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度窄，所以该回归方程的预报精度相应会较高，说明拟合效果较好．19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，∠ABE＝30°，∠BEC＝90°，AD＝2，E是AD的中点．现将△ABE沿BE翻折，使点A移动至平面BCDE外的点P．（1）若，求证：DF∥平面PBE；（2）若平面PBE⊥平面BCDE，求平面PBE与平面PCD所成锐二面角的余弦值．【分析】（1）法一：在线段PB上取靠近点P的四等分点G，可得，由此证明四边形DEGF为平行四边形，可得DF∥EG，进而得证；法二：在线段BC上取靠近点B的四等分点H，可得HF∥PB，由此证明HF∥平面PBE，再证明四边形DEBH为平行四边形，可得DH∥平面PBE，综合可得平面DFH∥平面PBE，再利用面面平行的性质定理得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面PBE及平面PCD的法向量，利用向量的夹角公式直接求解即可．解：（1）法一：依题意得BE＝2，BC＝4，．…………………………（1分）如图，在线段PB上取靠近点P的四等分点G，连接FG，EG，因为，所以．所以．……………………………………所以四边形DEGF为平行四边形，可得DF∥EG．…………………………又DF⊄平面PBE，EG⊂平面PBE，．………………………………所以DF∥平面PBE．………………………………法二：如图，在线段BC上取靠近点B的四等分点H，连接FH，DH，因为，所以HF∥PB．又HF⊄平面PBE，PB⊂平面PBE，所以HF∥平面PBE．……………………………………依题意得BE＝2，BC＝4，，而，所以．所以四边形DEBH为平行四边形．所以DH∥EB．又DH⊄平面PBE，EB⊂平面PBE，所以DH∥平面PBE．………………………………而DH⊂平面DFH，FH⊂平面DFH，DH∩FH＝H，所以平面DFH∥平面PBE．因为DF⊂平面DFH，所以DF∥平面PBE．………………………………（2）由∠BEC＝90°，得BE⊥EC．又因为平面PBE⊥平面BCDE，平面PBE∩平面BCDE＝BE，所以EC⊥平面PBE．……………………………………以E为原点，建立如图所示空间直角坐标系E﹣xyz，则E（0，0，0），，，B（2，0，0），由，得．…………………………………………则，．设平面PCD的法向量为，则，令y＝1，则，故可取．………………………………又EC⊥平面PBE，可取平面PBE的一个法向量为，．…………………………则＝．所以，平面PBE与平面PCD所成锐二面角的余弦值为．………………………………20．在直角坐标系内，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），P是坐标平面内的动点，且直线PA，PB的斜率之积等于．设点P的轨迹为C．（1）求轨迹C的方程；（2）某同学对轨迹C的性质进行探究后发现：若过点（1，0）且倾斜角不为0的直线l 与轨迹C相交于M，N两点，则直线AM，BN的交点Q在一条定直线上．此结论是否正确？若正确，请给予证明，并求出定直线方程；若不正确，请说明理由．【分析】（1）利用，求解轨迹方程即可．（2）设直线MN的方程为：x＝my+1，联立直线与椭圆方程，M（x1，y1），N（x2，y2），结合韦达定理，通过直线AM，BN的交点Q（x0，y0）的坐标满足：．转化求解即可．解：（1）由，得4y2＝4﹣x2，即．故轨迹C的方程为：．（2）根据题意，可设直线MN的方程为：x＝my+1，由，消去x并整理得（m2+4）y2+2my﹣3＝0．其中，△＝4m2+12（m2+4）＝16m2+48＞0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，．因直线l的倾斜角不为0，故x1，x2不等于±2（y1，y2不为0），从而可设直线AM的方程为①，直线BN的方程为②，所以，直线AM，BN的交点Q（x0，y0）的坐标满足：．而＝，因此，x0＝4，即点Q在直线x＝4上．所以，探究发现的结论是正确的．21．已知函数f（x）＝．（1）若曲线y＝f（x）在x＝﹣1处切线的斜率为e﹣1，判断函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，证明x1+x2＞0，并指出a的取值范围．【分析】（1）求出原函数的导函数，得到f'（﹣1）＝ea﹣1由已知列式求得a值，求出导函数的零点，再由导函数的零点对定义域分段，关键导函数在本题区间段内的符号，可得原函数的单调性；（2）当a＞0时，若a＝1，由（1）知，f（x）为R上的增函数．结合f（﹣1）＞0，f （﹣2）＜0，可得f（x）只有一个零点，不符合题意．若0＜a＜1，利用导数研究其单调性可知f（x）最多只有一个零点，不符合题意．若a＞1时，利用导数求其极小值，根据极小值大于0，可得f（x）最多只有一个零点，不符合题意．当a＜0时，利用导数证明f（x）始终有两个零点x1，x2，不妨令x1＜0，x2＞0，构造函数F（x）＝f（x）﹣f （﹣x），再求导数证明f（x1）＜f（﹣x2）．结合f（x）的单调性得x1＞﹣x2，即x1+x2＞0．解：（1）由题，则f'（﹣1）＝ea﹣1＝e﹣1，得a＝1，此时，由f'（x）＝0，得x＝0．则x＜0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；x＞0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数，且f'（0）＝0，所以f（x）为R上的增函数；证明：（2）①当a＞0时，由f'（x）＝0，得x＝0或x＝lna，若a＝1，由（1）知，f（x）为R上的增函数．由，f（﹣2）＝﹣e2+2＜0，∴f（x）只有一个零点，不符合题意．若0＜a＜1，则x＜lna时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；lna＜x＜0时，f'（x）＜0，f （x）为减函数；x＞0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．而f（x）极小＝f（0）＝a＞0，故f（x）最多只有一个零点，不符合题意．若a＞1时，则x＜0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；0＜x＜lna时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；x＞lna时，f'（x）＞0，f（x）为增函数，得，故f（x）最多只有一个零点，不符合题意．②当a＜0时，由f'（x）＝0，得x＝0，由x≤0，得f'（x）≤0，f（x）为减函数，由x＞0，得f'（x）＞0，f（x）为增函数，则f（x）极小＝f（0）＝a＜0．又x→﹣∞时，f（x）＞0，x→+∞时，f（x）＞0，∴当a＜0时，f（x）始终有两个零点x1，x2，不妨令x1＜0，x2＞0，构造函数F（x）＝f（x）﹣f（﹣x），∴，由于x＞0时，e x﹣e﹣x＞0，又a＜0，则F'（x）＝ax（e x﹣e﹣x）＜0恒成立，∴F（x）为（0，+∞）的减函数，则F（x）＜F（0）＝f（0）﹣f（0）＝0，即f（x）＜f（﹣x），故有f（x2）＜f（﹣x2）．又x1，x2是f（x）的两个零点，则f（x1）＝f（x2），∴f（x1）＜f（﹣x2）．结合f（x）的单调性得x1＞﹣x2，∴x1+x2＞0，且a的取值范围是（﹣∞，0）．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数），曲线C2：，（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线y＝x tanα（x≥0，0＜α＜）分别交C1，C2于A，B两点，求的最大值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）消去参数t，得曲线C1的直角坐标方程为，则曲线C1的极坐标方程为．消去参数θ，得曲线C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1，即x2+y2﹣2x＝0，所以曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ＝0，即ρ＝2cosθ．（2）射线的极坐标方程为，．联立，得，所以；由，得ρB＝2cosα，则|OB|＝2cosα，因此＝．由，得．所以，当，即时，．故的最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+3|+2|x|．（1）求f（x）的值域；（2）记函数f（x）的最小值为M．设a，b，c均为正数，且a+b+c＝M，求证：．【分析】（1）化分段函数，求出每段的值域即可求出函数f（x）的值域；（2）根据（1）求出M＝3，再根据基本不等式即可证明．解：（1）当x＜﹣3时，f（x）＝﹣x﹣3﹣2x＝﹣3x﹣3，此时f（x）∈（6，+∞）；当﹣3≤x≤0时，f（x）＝x+3﹣2x＝﹣x+3，此时f（x）∈[3，6]；．当x＞0时，f（x）＝x+3+2x＝3x+3，此时f（x）∈（3，+∞），综上，函数f（x）的值域为[3，+∞）．（2）由（1）知，函数f（x）的最小值为3，则M＝3，即a+b+c＝3．因为≥36．其中，当且仅当，b＝1，取“＝”．又因为a+b+c＝3，所以．。

2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模理科数学试卷-学生用卷

2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模理科第1题5分2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模文科第1题5分已知集合M={x|x2−3x<0}，N={x|log2⁡(x−2)⩽0}，则M∩N=（）．A. (2,3)B. (2,3]C. (0,3]D. (0,3)2、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模理科第2题5分2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模文科第2题5分2016~2017学年陕西西安未央区西安中学高二下学期期中理科第1题5分2018~2019学年吉林长春朝阳区长春外国语学校高二上学期期末文科第1题5分2017年四川雅安高三三模文科第2题5分的共轭复数是（）．复数z=−3+i2+iA. 2+iB. 2−iC. −1+iD. −1−i3、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模理科第3题5分2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模文科第3题5分已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，命题p:若m⊥α，m⊥n，则n//α，命题q:若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥β，则下列命题为真命题的是（）．A. p∧qB. p∨qC. p∨(¬q)D. (¬p)∧q4、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模理科第4题5分2019~2020学年广东广州天河区华南师范大学附属中学高三上学期期末文科第9题5分2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模文科第4题5分2019~2020学年10月重庆渝中区重庆市巴蜀中学高三上学期周测D卷理科第3题2019~2020学年河南郑州金水区河南省实验中学高二上学期期中理科第3题5分设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a8=15−a5，则S9等于（）．A. 18B. 36C. 45D. 605、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模理科第5题5分2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模文科第5题5分一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）．A. 2+πB. 1+πC. 2+2πD. 1+2π6、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模理科第6题5分2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模文科第8题5分汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是（）．A. 消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B. 某城市机动车最高限速80千米/时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油C. 甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多7、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模理科第7题5分 2021年四川广元高三三模文科第12题5分2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模文科第10题5分 2019年山东济南高三一模理科第11题5分设F 1，F 2分别是椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，且AF 1→⋅AF 2→=0，AF 2→=2F 2B →，则椭圆E 的离心率为（）．A. 23B. 34C. √53D. √748、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模理科第8题5分 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模文科第9题5分函数f(x)=2sin⁡(2x +φ)(|φ|<π2)图象向左平移π3个单位后所得图象关于y 轴对称，则f(x)在[0,π2]上的最小值为（）．A. −1B. 1C. −√3D. √39、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模理科第9题5分 2017~2018学年广西柳州城中区柳州市第二中学高二上学期期中理科第11题5分 2018~2019学年湖北武汉江汉区武汉外国语学校高二下学期期中理科第9题5分 2020年福建南平高三一模理科第6题5分从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，⋯，x n ，y 1，y 2，⋯，y n ，组成坐标平面上的n 个点(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，⋯(x n ,y n )，其中到原点距离小于1的点有m 个，用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（）． A. 4n mB. 2n mC.4mnD.2mn10、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模理科第10题5分 (1+x )+(1+x )2+⋯+(1+x )n 的展开式的各项系数和是（）． A. 2n+1B. 2n+1+1C. 2n+1−1D. 2n+1−211、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模理科第11题5分 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模文科第11题5分三棱锥P −ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC =120°，AP =√2，AB =2，M 是线段BC 上一动点，线段PM 长度最小值为√3，则三棱锥P −ABC 的外接球的表面积是（）． A. 9π2B. 18πC. 9√2πD. 40π12、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模理科第12题5分已知函数f(x)={|ln x|,0<x⩽eex,x>e，若0<a<b<c且f(a)=f(b)=f(c)，则af(b)+bf(c)+cf(a)的取值范围是（）．A. (1,+∞)B. (e,+∞)C. (1,e+1e+1)D. (e,2e+1e)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模理科第13题5分2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模文科第13题5分已知向量a→=(2,λ)，b→=(−1,1)，且a→−b→与b→共线，则λ=．14、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模理科第14题5分2019~2020学年四川成都青羊区成都石室中学高二上学期开学考试第15题5分若x，y满足约束条件{x−1⩾0 x−y⩽0x+y−4⩽0，则yx的最大值为．15、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模理科第15题5分2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模文科第15题5分已知f(x)=e x−12−e−x+12+4x2x−1，则实数f(12020)+f(22020)+f(32020)+⋯+f(20192020)的值为．16、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模理科第16题5分2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模文科第16题5分已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，点M(−a,0)，N(0,b)，点P 为线段MN 上的动点，当PF 1→⋅PF 2→取得最小值和最大值时，△PF 1F 2的面积分别为S 1，S 2，则S2S 1= ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模理科第17题12分 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模文科第17题12分已知△ABC 中内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且bcos⁡C +ccos⁡B =−4cos⁡A ，a =2． (1) 求角A 的大小． (2) 求b +2c 的取值范围．18、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模理科第18题12分2019~2020学年3月陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学高三下学期月考理科（七模）第17题12分2019~2020学年安徽芜湖高三上学期期末理科第17题12分2019~2020学年4月广东广州越秀区广东实验中学越秀学校高二下学期月考第19题12分如图，在四棱锥P −ABCD 中，四边形ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，E 为PC 中点，PD =CD =√2DE ．(1) 求证：ED ⊥BP ．(2) 若BD 与平面PBC 所成的角为30°，求二面角C −PB −D 的大小．某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1) 记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0．(2) 现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)．②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？20、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模理科第20题12分已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|=|FD|．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．(1) 求C的方程．(2) 若直线l1//l，且l1和C有且只有一个公共点E，求直线AE所过定点坐标和△ABE的面积的最小值．21、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模理科第21题12分2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模文科第21题12分已知函数f(x)=ln⁡x．(1) 设函数g(x)=af(x)+x(a≠0)的最小值不小于−2a，求a的取值范围．(2) 已知关于x的不等式(x+1)[f(x+1)+1]−bx>0恒成立，记正整数b的最大值为m，记函数(0<x<1)的最小值为n，试比较m，n的大小．φ(x)=f′(x)+11−x四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模文科第22题10分2019~2020学年2月湖北高三下学期月考理科第22题10分已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=1+t21−t2y=t1−t2（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos⁡(θ+π3)=√54．(1) 求曲线C和直线l的直角坐标方程．(2) 若直线l交曲线C于A，B两点，交x轴于点P，求1|PA|+1|PB|的值．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模理科第23题10分2019~2020学年辽宁辽阳高三上学期期末文科第23题10分2019~2020学年湖北十堰高三上学期期末文科第23题10分2019~2020学年陕西商洛高三上学期期末理科第23题2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模文科第23题10分已知函数f(x)=3|x+1|−|2x−4|．(1) 求不等式f(x)>3的解集．(2) 若对任意x∈R，不等式f(x)−|x−2|⩽t2−8t恒成立，求t的取值范围．1 、【答案】 A;2 、【答案】 D;3 、【答案】 C;4 、【答案】 C;5 、【答案】 A;6 、【答案】 B;7 、【答案】 C;8 、【答案】 A;9 、【答案】 C;10 、【答案】 D;11 、【答案】 B;12 、【答案】 D;13 、【答案】−2;14 、【答案】3;15 、【答案】4036;16 、【答案】4;17 、【答案】 (1) A=120°．;(2) (2,4)．;18 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 60°．;19 、【答案】 (1) p0=0.1．;(2)①EX=490．②应该对余下的产品作检验．;20 、【答案】 (1) y2=4x．;(2) F(1,0)；16．;,0)．21 、【答案】 (1) [−1e;(2) n>m．;22 、【答案】 (1) x2−4y2=1(x≠−1)，2x−2√3y−√5=0．;(2) 8．;,+∞)．23 、【答案】 (1) (−∞,−10)∪(45;(2) t⩽−1或t⩾9．;。

2020年四川绵阳高三二模数学试卷(理科)

2020年四川绵阳高三二模数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.设全集，，则（）．A. B. C. D.2.已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数为（）．A. B. C. D.3.已知两个力，作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力，则（）．A. B. C. D.4.甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（）．A. B. C. D.5.已知为任意角，则“”是“”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.若的展开式中各项系数的和为，则该展开式中含项的系数为（）．A.B.C.D.7.已知某产品的销售额与广告费用之间的关系如下表：（单位：万元）（单位：万元）若根据表中的数据用最小二乘法求得对的回归直线方程为，则下列说法中错误的是（）．A.的值是B.该回归直线过点C.产品的销售额与广告费用成正相关D.当广告费用为万元时，销售额一定为万元8.双曲线的右焦点为，过作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于，两点，若四边形（为坐标原点）的面积为，则双曲线的离心率为（）．A.B.C.D.9.小明与另外名同学进行“手心手背”游戏，规则是：人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得分，其余每人得分．现人共进行了次游戏，记小明次游戏得分之和为，则的期望为（）．A.B.C.D.10.已知圆，点，在圆上，平面上一动点满足且，则的最大值为（）．A.B.C.D.11.已知为偶函数，且当时，，则满足不等式的实数的取值范围为（）．A.B.C.D.12.函数在区间上恰有一个零点，则实数的取值范围是（）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.直线与直线平行，则实数的值是．14.法国数学家布丰提出一种计算圆周率的方法一一随机投针法．受其启发，我们设计如下实验来估计的值：先请名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于的正实数对；再统计两数的平方和小于的数对的个数；最后再根据统计数来估计的值．已知某同学一次试验统计出，则其试验估计为．15.函数（，）的图象如右图所示，则在区间上的零点之和为．xyO16.过点的直线与抛物线交于，两点（在，之间），是抛物线的焦点，点满足：，则与的面积之和的最小值是．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.每年的月日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查．该调查机构从该校随机抽查了名不同性别的学生（其中男生名），统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间（小时）的频率分布直方图如图所示：频率组距时间小时求样本学生一个月阅读时间的中位数．已知样本中阅读时间低于的女生有名，请根据题目信息完成下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为阅读与性别有关．列联表男女总计总计附表：其中：．（1）（2）18.已知等差数列的前项和为，且满足，，各项均为正数的等比数列满足，．求和．求和：．【答案】（1）（2）19.在中，内角，，所对的边分别为，，．已知．求．若为边上一点，且，，求．（1）（2）20.已知椭圆，直线交椭圆于，两点．若点满足（为坐标原点），求弦的长．若直线的斜率不为且过点，为点关于轴的对称点，点满足，求的值．（1）（2）21.已知函数，其中．讨论函数的单调性．设函数有两个极值点，（其中），若的最大值为，求实数的取值范围．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线经过点，曲线的直角坐标方程为．求曲线的普通方程，曲线的极坐标方程．若，是曲线上两点，当时，求的取值范围．（1）（2）23.已知关于的不等式，其中．当时，求不等式的解集．若该不等式对恒成立，求实数的取值范围．D1.解析:因为全集，．所以．故选．解析:设，则，故，．所以，故的共轭复数为．故选．解析:由题意可知和合力与抵消，∴，∴，故选．解析:方法一：根据题意可知：甲、乙、丙三人各自选择九皇山或七曲山的概率都为，故甲、乙、丙三人同时选择九皇山的概率为，甲、乙、丙三人同时选择七曲山的概率为，故三人恰好到同一景点旅游参观的概率为．故选．方法二：设九皇山为，七曲山大庙为，C 2.A 3.B 4.则所有可能性如下列表格： ①②③④⑤⑥⑦⑧甲乙丙∴共计种可能，符合题意，有种可能，设甲、乙、丙三个恰好到同一景点旅游参观为，∴．故选．解析:∵为任意角，，，∴，则为任意角，，则为任意角，不是，充分条件，∵，∴．则，为任意角，是的必要条件，所以为任意角，是的必要不充分条件，故正确．故选．B 5.解析:令，则，解得，所以展开式的通项为，令，则，则．所以展开式中含项的系数为．故选．解析:．，，又∵，∴，故正确；．当时代入，，故正确；．∵，故产品销售额与广告费成正相关，故正确；．当广告费即时，销售额，但是线性回归方程所求销售额是一个近似值，故错误．故选．解析:方法一：设点的坐标为，故过点且与两条渐近线平行的直线方程为：或，由，可解得，则不妨记，由对称性可知，所以．整理得，即．A 6.D 7.B 8.四边形故选．方法二：双曲线的右焦点为，设的方程为，的方程为，过平行于的直线的方程为，平行于的直线的方程为，可得平行线和的距离为，由，可得，，即，则平行四边形的面积为，化为，则．故选．解析:设表示手背，表示手心，则位同学的手势的所有可能结果有：，，，，，，，，共种，其中第一个数表示小明所出的手势，后个数表示其余人所出的手势，则小明得分的结果有：，，，，，共种，由古典概型计算公式可知，一局游戏中，小明得分的概率，现人共进行次游戏得分之和为，则，所以．故选．解析:C 9.D 10.根据题意，若平面上满足，又由，则为线段的垂直线，设的中点为，，，又由且，则为等腰直角三角形，圆：，即，则，则，，当且仅当时等号成立，故的最大值为．故选．解析:当时，由可知，，令，，∴在恒成立，∴恒成立，∴恒成立，∴在单调递增，又∵为偶函数，则有，∴，可得，即，A 11.即，解得．故选．解析:在有一个零点，，在恰有一个交点，令，．①时，，i：必有：符合题意，与矛盾．ii：，又，故．又，∴与无交点，舍．②时，与中的范围不符．③时，必有．综上所述，．故选．解析:∵与直线平行，∴，D 12.13.∴．故答案为：．14.解析:由题意，作出下图，∴，∴．15.解析:∵由图所示，∴解得：，∵，∴，∵当，，∴，∴，∴，令，则，∴解得：，，，，则零点之和为．16.解析:（1）（2）设，，，联立：，由韦达定理有：，∵，∴．∴=，又∵，∴．当且仅当时取得，∴．解析:由题意得，直方图中第一组，第二组的频率之和为：．所以阅读时间的中位数．由题意得，男生人数为人，因此女生人数为人，（1）．（2）男女总计总计不能在犯错误的概率不超过的前提下认为阅读与性别有关．17.（1）（2）阅读时长大于等于的人数为：人，故列联表为如下：男女总计总计的观测值：，所以不能在犯错误的概率不超过的前提下认为阅读与性别有关．解析:设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意，得：，解得：，∴，∵等比数列的各项均为正数，由，解得：或（舍），∴．由（）得，，．（1）．（2）．18.（1）（2）（1）解析:在中，由正弦定理得，即．由余弦定理得，结合，可知．在中，，即．由已知，可得，∴．在中，由余弦定理得，即，整理得，即，∴，∴．解析:设，，由，且点，得，①，∴线段的中点坐标为，其在椭圆内，由，两式相减得，，整理得，，即，（1）．（2）．19.（1）．（2）．20.（2）将①代入，得：，∴直线方程为：，即，联立：，消去得，，由韦达定理得：，，∴．设直线的方程为：，由题意得：，由已知，可知，，三点共线，即，∴，即，解得，，将，，代入得：②，联立：，消去得，，由韦达定理得，，③，将③代入②得到：．（1）当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，21.（1）（2）解析:，令，则．①当或，即时，得恒成立，∴在上单调递增．②当，即时，由，得或，由，得，∴函数在和上单调递增，在上单调递减．综上所述，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减．由（）知，当时，有两极值点，（其中），由（）得，为的两根，于是，．∴．令，则．∵，∴在上单调递减．由已知的最大值为，而．∴．设的取值集合为，则只要满足且中的最小元素为的集合均符合题意．在上单调递减．（2）或的任意最小元素为的子集．（1）（2）（1）又，易知在上单调递增，综合，可得与是一一对应关系．而当，即时，联合，解得，，进而可得．∴实数的取值范围为或的任意最小元素为的子集．解析:将的参数方程化为普通方程为，由，，得点的直角坐标为，代入，得，∴曲线的普通方程为，可化为，即，∴曲线的极坐标方程为．将点，代入曲线的极坐标方程，得，，∴．由已知，可得，于是，所以的取值范围是．解析:由时，，原不等式化为，当时，，解得，综合得；当时，，解得，综合得；当时，，解得，综合得．（1），．（2）．22.（1），或．（2）．23.（2）∴不等式的解集为，或．设函数，画图可知，函数的最大值为．x2y–22O由，解得．。

2020届四川省绵阳市高中高三第二次诊断性测试数学(理)试题(解析版)

2020届四川省绵阳市高中高三第二次诊断性测试数学（理）试题一、单选题1．设全集{}|0U x x =>，{}2|1xM x e e=<<，则UCM =（）A ．()1,2B ．()2,+∞C ．(][)0,12,+∞UD ．[)2,+∞【答案】D【解析】先确定集合M 的元素，再由补集定义求解．【详解】由题意2{|1}{|02}x M x e e x x =<<=<<，∴{|2}U C M x x =≥．故选：D ．【点睛】本题考查补集的运算，解题时需确定集合的元素后才能进行集合的运算．本题还考查了指数函数的单调性．2．已知i 为虚数单位，复数z 满足12z i i ⋅=+，则z =（） A ．2i - B ．2i + C ．12i - D ．2i -【答案】A【解析】由除法计算出复数z ．【详解】由题意122iz i i+==-．故选：A ．【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题．3．已知两个力()11,2F =u u r ，()22,3F =-u u r作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力3F u u r，则3F =u u r （）A ．()1,5-B ．()1,5-C ．()5,1-D ．()5,1-【答案】A【解析】根据力的平衡条件下,合力为0r,即可根据向量的坐标运算求得3F u u r .【详解】根据力的合成可知()()()12+1,22,31,5F F =+-=-u u r u u r因为物体保持静止,即合力为0r,则123+0F F F +=u u r u u r u u r r 即()31,5F =-u u r故选:A 【点睛】本题考查了向量的运算在物理中的简单应用,静止状态的条件应用,属于基础题. 4．甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（） A ．18B ．14C ．38D ．12【答案】B【解析】可用列举法写出三人选择景点的各种情形．然后计数后可概率．【详解】两景点用1，2表示，三人选择景点的各种情形为：甲1乙1丙1 ，甲1乙1丙2 ，甲1乙2丙1 ，甲2乙1丙1 ，甲2乙2丙1 ，甲2乙1丙2 ，甲1乙2丙2 ，甲2乙2丙2 共8种，其中三人去同一景点的有甲1乙1丙1 和甲2乙2丙2两种，所以概率为2184P ==．故选：B ．【点睛】本题考查古典概型，解题时可用列举法写出所有的基本事件．5．已知α为任意角，则“1cos 23α=”是“sin α=”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要【答案】B【解析】说明命题1cos 23α=⇒sin 3α=和sin 3α=⇒1cos 23α=是否为真即可．【详解】21cos 212sin 3a α=-=，则sin α=，因此“1cos 23α=”是“sin α=”的必要不充分条件．故选：B ．【点睛】本题考查充分必要条件的判断，只要命题p q ⇒为真，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．6．若51ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为1，则该展开式中含3x 项的系数为（）A ．-80B ．-10C ．10D ．80【答案】A【解析】根据二项式定理展开式的各项系数和为1,即可得参数a 的值.由二项展开式的通项即可求得3x 项的系数. 【详解】因为51ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为1 令1x =代入可得()511a -=,解得2a =即二项式为512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中含3x 的项为()()41143355122180C x C x x x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭所以展开式中含3x 项的系数为80- 故选:A 【点睛】本题考查了二项定理展开式的简单应用,指定项系数的求法,属于基础题. 7．已知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表：若根据表中的数据用最小二乘法求得y 对x 的回归直线方程为 6.59y x =+，则下列说法中错误的是（）A ．产品的销售额与广告费用成正相关B ．该回归直线过点()2,22C ．当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元D ．m 的值是20 【答案】C【解析】根据回归直线方程中x 系数为正，说明两者是正相关，求出x 后，再由回归方程求出y ，然后再求得m ，同样利用回归方程可计算出10x =时的预估值．【详解】因为回归直线方程中x 系数为6.5＞0，因此，产品的销售额与广告费用成正相关，A 正确；又0123425x ++++==，∴ 6.52922y =⨯+=，回归直线一定过点(2,22)，B 正确；10x =时， 6.510974y =⨯+=，说明广告费用为10万元时，销售额估计为74万元，不是一定为74万元，C 错误；由10153035225m y ++++==，得20m =，D 正确．故选：C ．【点睛】本题考查回归直线方程，回归直线方程中x 系数的正负说明两变量间正负相关性，回归直线一定过中心点(,)x y ，回归直线方程中计算的值是预估值，不是确定值．8．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A ，B 两点，若四边形OAFB （O 为坐标原点）的面积为bc ，则双曲线的离心率为（）A ．B ．2C D ．3【答案】B【解析】把四边形OAFB 面积用,,a b c 表示出来，它等于bc ，变形后可求得离心率．【详解】由题意(c,0)F ，渐近线方程为by x a =±，不妨设AF 方程为()b y x c a=--，由()b y x c a b y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得22c x bcy a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即(,)22c bc A a ，同理(,)22c bc B a -， ∴21(2)222OAFBbc bc S c a a =⨯⨯⨯=，由题意22bc bc a=，∴2c a =．故选：B ．【点睛】本题考查求双曲线的离心率．求离心率关键是找到关于,,a b c 的一个等式，本题中四边形OAFB 的面积是bc 就是这个等式，因此只要按部就班地求出其面积即可得． 9．小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分.现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为X ，则X 的期望为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】根据古典概型概率求法,列举出现的所有可能.由离散型随机变量的概率求法,可得小明得分的对应的概率与分布列,即可求出得分之和的期望. 【详解】进行“手心手背”游戏,3人出现的所有可能情况如下所示: (心,心,心), (心,心,背),(心,背,心),(背,心,心) (心,背,背),(背,心,背),(背,背,心),(背,背,背) 则小明得1分的概率为34,得0分的概率为14进行4次游戏,小明得分共有5种情况:0分,1分,2分,3分,4分由独立重复试验的概率计算公式可得:()4041104256P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()13143112144256P XC ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22243154244256P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()313431108344256P XC ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()44438144256P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭则得分情况的分布列如下表所示:则X 的期望()154108811+2+3+4=3256256256256E X =⨯⨯⨯⨯ 故选:C 【点睛】本题考查了离散型随机变量的概率分布及期望的求法,属于基础题.10．已知圆C ：2268110x y x y +---=，点M ，N 在圆C 上，平面上一动点P 满足PM PN =且PM PN ⊥，则PC 的最大值为（）A ．4B ．C ．6D ．【答案】D【解析】根据几何意义可知动点P 位于以MN 为直径的圆上,由正弦定理即可求得PC 的最大值. 【详解】圆C ：2268110x y x y +---= 化成标准方程可得()()223436x y -+-= 所以圆C 的半径为6r =因为点M ,N 在圆C 上,动点P 满足PM PN =且PM PN ⊥ 所以P 位于以MN 为直径的圆上,位置关系如下图所示:则PMC PNC ∆≅∆,即45MPC NPC ∠=∠=o 在三角形PMC ∆中,由正弦定理可得sin sin 45MC PCPMC=∠sin 2PC PMC =∠则62PC PMC =∠ 因为sin 1PMC ∠≤ 所以PC 的最大值为62故选:D 【点睛】本题考查了圆的一般方程与标准方程的转化,圆的几何性质,正弦定理的简单应用,属于中档题.11．已知()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()31cos sin 3x x x f x x =-+，则满足不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭的实数m 的取值范围为（）A ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．()0,2C ．()10,1,22⎛⎫⎪⎝⎭U D ．()2,+∞【答案】A【解析】由偶函数性质把不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭化为2(log )(1)f m f <，由导数确定函数()f x 在[0,)+∞上的单调性，利用单调性解不等式．【详解】∵()f x 是偶函数，∴12222(log )(log )(log )(log )f m f m f m f m =-==，则不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭可化为22(log )2(1)f m f <，即2(log )(1)f m f <，0x ≥时，31()cos sin 3f x x x x x =-+，2'()cos sin cos (sin )f x x x x x x x x x =--+=-，令()sin g x x x =-，则'()1cos 0g x x =-≥，∴()g x 是R 上的增函数，∴当0x >时，()(0)0g x g >=，∴0x ≥时，'()0f x ≥，∴()f x 在[0,)+∞上是增函数， ∴由2(log )(1)f m f <得2log 1m <，即21log 1m -<<，122m <<．故选：A ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查解对数不等式．此各种类型不等式的解法是：本题这种类型的不等式有两种，一种是奇函数，不等式为12()()0f x f x +>，转化为12()()f x f x >-，一种是偶函数，不等式为12()()f x f x >，转化为12()()f x f x >，然后由单调性去函数符号“f ”．12．函数()()()221log 2a a f x ax x =--+在区间10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是（） A ．11,32⎛⎫⎪⎝⎭B ．[)3,+∞C ．()[)1,23,+∞UD ．[)2,3【答案】D【解析】根据函数零点存在定理可求得a 的取值范围.并根据区间10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点,分析可知当3a =时函数有两个零点,不符合要求,即可求得最终a 的取值范围. 【详解】函数()()()221log 2a a f x ax x =--+在区间10,a⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点,则()l g 21o 0a f =-,lo 1g 31a f a ⎛⎫⎪=-⎝⎭由二次函数的图像与对数函数的图像可知,函数零点至多有两个.且因为恰有一个零点,所以满足()()110log 2log 3a a --≤且1log 20a -=与1log 30a -=在10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不同时成立.解不等式()()110log 2log 3a a --≤可得23a ≤≤当3a =时,函数()()()2361log 32f x x x =--+,区间为10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦且满足()301log 20f =->,310046log f =-⎛⎫<⎪⎝⎭,311303log f =-⎛⎫= ⎪⎝⎭所以在10,6⎛⎫ ⎪⎝⎭内有一个零点, 13x =为一个零点.故由题意可知,不符合要求综上可知, a 的取值范围为[)2,3 故选:D 【点睛】本题考查了函数零点存在定理的综合应用,根据零点个数求参数的取值范围.需要判断零点个数及检验参数是否符合题目要求,属于难题.二、填空题13．直线l ：()110ax a y -+-=与直线4630x y -+=平行，则实数a 的值是______. 【答案】2.【解析】由两直线平行的条件判断．【详解】由题意(1)1463a a -+-=≠-，解得2a =．故答案为：2．【点睛】本题考查两直线平行的充要条件，两直线1110A x B y C ++=和2220A x B y C ++=平行，条件12210A B A B -=是必要条件，不是充分条件，还必须有12210AC A C -≠或12210B C B C -≠，但在2220A B C ≠时，两直线平行的充要条件是111222A B C A B C =≠． 14．法国数学家布丰提出一种计算圆周率π的方法——随机投针法，受其启发，我们设计如下实验来估计π的值：先请200名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数的平方和小于1的数对(),x y 的个数m ；最后再根据统计数m 来估计π的值.已知某同学一次试验统计出156m =，则其试验估计π为______. 【答案】3.12【解析】横、纵坐标都小于1的正实数对(),x y 构成第一象限内的一个正方形, 两数的平方和小于1的数对(),x y 为单位圆在第一象限的部分.由几何概型概率的计算公式,及试验所得结果,即可估计π的值. 【详解】横、纵坐标都小于1的正实数对(),x y 构成第一象限内的一个正方形,两数的平方和小于1的数对(),x y 为单位圆在第一象限的部分.其关系如下图所示:则阴影部分与正方形面积的比值为1:14π由几何概型概率计算公式可知115642001π=解得15643.12200π⨯== 故答案为: 3.12 【点睛】本题考查了几何概型概率的求法,根据题意得各部分的关系是解决问题的关键,属于基础题.15．函数()sin 0,2y x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则()f x 在区间[],ππ-上的零点之和为______.【答案】23π. 【解析】先求出周期，确定ω，再由点(,1)6π确定ϕ，得函数解析式，然后可求出[,]-ππ上的所有零点．【详解】由题意411()3126T πππ=⨯-=，∴22πωπ==，又sin(2)16πϕ⨯+=且2πϕ<，∴6π=ϕ， ∴()sin(2)6f x x π=+．由sin(2)06x π+=得26x k ππ+=，212k x ππ=-，k Z ∈，在[,]-ππ内有：7511,,,12121212ππππ--，它们的和为23π．【点睛】本题考查三角函数的零点，由三角函数图象求出函数解析式，然后解方程()0f x =得出零点，就可确定在已知范围内的零点．本题也可用对称性求解，由函数周期是π，区间[,]-ππ含有两个周期，而区间端点不是函数零点，因此()f x 在[,]-ππ上有4个零点，它们关于直线6x π=对称，由此可得4个零点的和．16．过点()1,0M -的直线l 与抛物线C ：24y x =交于A ，B 两点（A 在M ，B 之间），F 是抛物线C 的焦点，点N 满足：5NA AF =u u u r u u u r ，则ABF ∆与AMN ∆的面积之和的最小值是______. 【答案】8【解析】根据直线l 过点()1,0M -,设出直线l 的方程.联立抛物线后可表示出A 、B 两点的纵坐标,利用5NA AF =u u u r u u u r可表示出点N 的纵坐标.由三角形面积公式可表示出ABF ∆与AMN ∆的面积之和.对表达式求导,根据导数即可求得面积和的最小值.【详解】根据题意,画出抛物线及直线方程如下图所示:因为直线l 过点()1,0M - 设直线的方程为1x ty =-则241y xx ty ⎧=⎨=-⎩,化简可得2440y ty -+= 因为有两个不同交点,则216160t ∆=->,解得1t >或1t <- 不妨设1t >,则解方程可得22221,221A B y t t y t t =--=+-因为5NA AF =u u u r u u u r ,则6NF AF =u u u r u u u r所以2612121,N A y y t t ==-- 所以()122ABF MBF AMF B A B A S S S y y y y ∆∆∆=-=⨯⨯-=- ()122AMN FMN AMF N A N A S S S y y y y ∆∆∆=-=⨯⨯-=-则ABF AMN B A N A S S y y y y ∆∆+=-+-222221121212221t t t t t t ⎛=+----- ⎝21061t t =--,(1t >)令()21061f t t t =--则()2'101f t t =-令()2'1001f t t ==-解得54t =当514t <<时, ()'0f t <,所以()f t 在51,4⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减当54t >时, ()'0f t >,所以()f t 在5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增即当54t =时()f t 取得最小值. 所以21061ABF AMN S S t t ∆∆+=--2551061844⎛⎫=⨯--= ⎪⎝⎭故答案为:8 【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系,抛物线中三角形面积的求法,利用导数求函数的最值的应用,综合性强,属于难题.三、解答题17．每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查.该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生（其中男生45名），统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间t （小时）的频率分布直方图如图所示：（1）求样本学生一个月阅读时间t 的中位数m .（2）已知样本中阅读时间低于m 的女生有30名，请根据题目信息完成下面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.22⨯列联表男女总计 t m ≥<t m总计附表：其中：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++.【答案】（1）10；（2）不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关. 【解析】（1）频率为0.5对应的点的横坐标为中位数；（2）100名学生中男生45名，女生55名，由频率分布直方图知，阅读时长大于等于m 的人数为50人，小于m的也有50人，阅读时间低于m的女生有30名，这样可得列联表中的各数，得列联表，依据2K公式计算2K，对照附表可得结论．【详解】（1）由题意得，直方图中第一组，第二组的频率之和为0.0450.0650.5⨯+⨯=.所以阅读时间的中位数10m=.（2）由题意得，男生人数为45人，因此女生人数为55人，由频率分布直方图知，阅读时长大于等于m的人数为1000.550⨯=人，故列联表补充如下：2K的观测值()2100253025201005050455599k⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯1.012.706≈<，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关. 【点睛】本题考查频率分布直方图，考查独立性检验．正确认识频率分布直方图是解题基础． 18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足120a a +=，624S =.各项均为正数的等比数列{}n b 满足1241b b a +=+，34b S =. （1）求n a 和n b ；（2）求和：()()()1121211111n n T b b b b b b -=+++++++++++L L .【答案】(1) 23n a n =-.2nn b =. (2) 122n n T n +=--【解析】（1）根据等差数列与等比数列的通项公式,可得方程组,解方程组即可求得数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式.（2）根据等比数列{}n b 的前n 项和公式,可先求得1211n b b b -+++⋅⋅⋅+的通项公式,进而根据分组求得即可求得n T . 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q .由题意,得1120656242a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩,解得112a d =-⎧⎨=⎩, ∴23n a n =-∵等比数列{}n b 的各项均为正数由112168b b q b q +=⎧⎨=⎩解得1122b q =⎧⎨=⎩或121823b q =⎧⎪⎨=-⎪⎩（舍）∴1222n n n b -=⨯=（2）由（1）得,211211122221n nn b b b --+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=-()()()1121211111n n T b b b b b b -=++++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()()231212121n =+-+-++-L ()()()()12321212121n =-+-+-++-L()12122212n n n n +-=-=---.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列通项公式的求法,等比数列前n 项和公式的简单应用,属于基础题.19．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知()()()sin sin sin sin A B a b c C B +-=+.（1）求A ；（2）若D 为BC 边上一点，且AD BC ⊥，BC =，求sin B . 【答案】（1）23A π=；（2）12.【解析】（1）由正弦定理把角的关系转化为边的关系，再由余弦定理可求得A ；（2）把ABC ∆的面积用两种方法表示建立AD 与三角形各边的关系，由BC =，即即AD =23a bc =，再代入余弦定理2222cos a b c bc A =+-中可求得b c =，从而可得6B C π==，于是得sin B 的值．【详解】（1）在ABC ∆中，由正弦定理得()()()a b a b c c b +-=+，即222ab c bc =++.由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==-，结合0A π<<，可知23A π=.（2）在ABC ∆中，11sin 22ABC S AB AC BAC BC AD ∆=⋅∠=⋅a AD =⋅.由已知BC =，可得AD =在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos120a b c bc =+-︒，即223bc b c bc =++，整理得()20b c -=，即b c =， ∴6A B π==.∴1sin sin 62B π==. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，第（2）问解题关键是把三角形面积用两种方法表示而建立等式：11sin 22ABC S bc A BC AD ∆==⋅．20．已知椭圆C ：2212x y +=，直线l 交椭圆C 于A ，B 两点.（1）若点()1,1P -满足0OA OB OP ++=u u u r u u u r u u u r r（O 为坐标原点），求弦AB 的长；（2）若直线l 的斜率不为0且过点()2,0，M 为点A 关于x 轴的对称点，点(),0N n 满足MN NB λ=u u u u r u u u r，求n 的值.【答案】(1)(2) 1n = 【解析】（1）设出A ,B 两点的坐标,结合关系式0OA OB OP ++=u u u r u u u r u u u rr,即可得线段AB 的中点坐标.利用点差法可求得直线AB 的斜率,根据点斜式求得直线AB 的方程.再结合弦长公式即可求得弦AB 的长;（2）设出直线AB 的方程,根据M 的坐标及MN NB λ=u u u u r u u u r可知MN MB k k =.由两点的斜率公式,可得()121121y x x n x y y -=++,将A ,B 两点的坐标代入直线方程后,整理代入n 的表达式,联立圆的方程,即可得关于y 的方程.进而用韦达定理求得n 的值即可. 【详解】（1）设()11,A x y ,()22,B x y由0OA OB OP ++=u u u r u u u r u u u r r,且点()1,1P -,得121x x =+,121y y +=-.①∴线段AB 的中点坐标为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭,其在椭圆内由222222111212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得2222212102x x y y -+-=,整理得2221222112y y x x -=--,即()()()()2121212112y y y y x x x x +-=-+-. 将①代入,得212112AB y y k x x -==-.∴直线AB 方程为111222y x ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即2430x y --=.联立22122430x y x y ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩消去x 得2242410y y ++=,由韦达定理得121y y +=-,12124y y =. ∴6AB ==. （2）设直线AB 的方程为2x ty =+,由题意得()11,M x y -,由已知MN NB λ=u u u u r u u u r,可知M ,N ,B 三点共线,即MN MB k k =.∴()()1211210y y y n x x x ----=--,即121121y y y n x x x +=--,解得()121121y x x n x y y -=++.将112x ty =+,222x ty =+,代入得121222ty y n y y =++.②联立222202x y x ty ⎧+-=⎨=+⎩消去x 得()222420t y ty +++=由韦达定理得12242t y y t -+=+,12222y y t =+.③ 将③代入②得到1n = 【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系,点差法在求直线方程中的应用,弦长公式的用法,综合性较强,属于难题.21．已知函数()212ln 2x f x ax x =+-，其中a R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若3a ≥，记函数()f x 的两个极值点为1x ，2x （其中21x x >），当()()21f x f x -的最大值为32ln 22-时，求实数a 的取值范围. 【答案】(1) 当a ≤,()f x 在()0,∞+上单调递增；当a >,()fx 在⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增,在⎝⎭上单调递减. (2) [)3,+∞【解析】（1）先求得()f x 的导函数()'f x ,并令()22g x x ax =-+.通过对判别式及a的讨论,即可判断单调性.（2）根据（1）可知当a >,()f x 有两极值点1x ,2x ,且两个极值点为()220x a g x x =-+=的两根.进而可得两个极值点间的关系.利用作差法可得()()21f x f x -的表达式,并令()211x t t x =>,及()()()2112ln f x f x h t t t t-==-+.进而通过求导得()h t 的单调性,进而根据最大值可求得t 的值.解得1x ,2x 的值.即可得a 的取值范围. 【详解】（1）()()2'220x ax x a x x xf x -+=+-=>.令()22g x x ax =-+,则28a ∆=-.①当0a ≤或0∆≤,即a ≤时,得()'0f x ≥恒成立, ∴()f x 在()0,∞+上单调递增.②当00a >⎧⎨∆>⎩,即a >,由()'0f x >,得0x <<或x >由()'0f x <,x <<∴函数()f x 在0,2a ⎛ ⎪⎝⎭和,2a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增,在⎝⎭上单调递减.综上所述,当a ≤,()f x 在()0,∞+上单调递增；当a >,()f x 在⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增,在⎝⎭上单调递减.（2）由（1）得,当a >,()f x 有两极值点1x ,2x （其中21x x >）. 由（1）得1x ,2x 为()220x a g x x =-+=的两根,于是12x x a +=,122x x =.∴()()()()222212121112ln2x f x f x x x a x x x -=+--- 222222122111122ln 2ln 2x x x x x x x x x x --=-=-2211122lnx x x x x x =-+. 令()211x t t x =>,则()()()2112ln f x f x h t t t t-==-+. ∵()()22222121211'0t t t t t t th t ---+-=--==<, ∴()h t 在()1,+∞上单调递减.由已知()()()21h f x t f x -=的最大值为32ln 22-, 而()132ln 22l 2222n 2h =-+=-. ∴2t =.设t 的取值集合为T ,则只要满足[)2,T ⊆+∞且T 中的最小元素为2的T 集合均符合题意.又()()221212122x x a t t T x x t+==++∈,易知()12x t t ϕ=++在[)2,+∞上单调递增,结合a >可得a 与t 是一一对应关系.而当2t =,即212x x =时,联合122x x =, 解得22x =,11x =,进而可得3a =. ∴实数a 的取值范围为[)3,+∞. 【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性中的综合应用,分类讨论判断函数的单调区间,构造函数法判断函数的单调性及参数的取值范围,综合性强,是高考的常考点和难点,属于难题.22．在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x r y r ϕϕ=+⎧⎨=⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 经过点2,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭，曲线2C 的直角坐标方程为221x y -=.（1）求曲线1C 的普通方程，曲线2C 的极坐标方程；（2）若()1,A ρα，2,6B πρα⎛⎫- ⎪⎝⎭是曲线2C 上两点，当0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求2211OA OB +的取值范围.【答案】（1）()2213x y -+=，2cos 21ρθ=；（2）⎝.【解析】（1）由22cos sin 1ϕϕ+=消元后得普通方程，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入直角坐标方程可得极坐标方程；（2）直接把,A B 两点的极坐标代入曲线2C 的极坐标方程，得2212,ρρ，这样2211OA OB +就可转化为三角函数式，利用三角函数知识可得取值范围．【详解】（1）将1C 的参数方程化为普通方程为()2221x y r -+=.由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得点2,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭的直角坐标为(，代入1C ，得23r =， ∴曲线1C 的普通方程为()2213x y -+=. 2C 可化为2222cos sin 1ρθρθ-=，即()222cos sin 1ρθθ-=，∴曲线2C 的极坐标方程为2cos 21ρθ=.（2）将点()1,A ρα，2,6B πρα⎛⎫- ⎪⎝⎭代入曲线2C 的极坐标方程，得21cos 21ρα=，22cos 213πρα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴22222111cos 2cos 1123OA OB πααρρ⎛⎫=++-+= ⎪⎝⎭3cos 22223πααα⎛⎫==+ ⎪⎝⎭. 由已知0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得52,336πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，232πα⎛⎛⎫+∈ ⎪ ⎝⎭⎝. 所以2211OA OB +的取值范围是2⎛ ⎝. 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查参数方程与普通方程的互化．消元法和公式法是解决此类问题的常用方法．23．已知关于x 的不等式12121log x x a +--≤，其中0a >.（1）当4a =时，求不等式的解集；（2）若该不等式对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2|43x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或；（2）0a <≤【解析】（1）用分类讨论的方法去绝对值符号后再解不等式，最后要合并（求并集）；（2）设()121f x x x =+--，同样用分类讨论去绝对值符号化函数为分段函数，求得()f x 的最大值，解相应不等式可得a 的范围．【详解】（1）由4a =时，12log 2a =-.原不等式化为1212x x +--≤-，当12x ≥时，()1212x x +--≤-，解得4x ≥，综合得4x ≥；当112x -<<时，1212x x ++-≤-，解得23x ≤-，综合得213x -<≤-；当1x ≤-时，()1212x x -++-≤-，解得0x ≤，综合得1x ≤-.∴不等式的解集为2|43x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或.（2）设函数()2,11 1213,1212,2x xf x x x x xx x⎧⎪-<-⎪⎪=+--=-≤<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩，画图可知，函数()f x的最大值为32.由123log2a≤，解得24a<≤.【点睛】本题考查解含绝对值的不等式，解题方法是根据绝对值定义去掉绝对值符号，用分类讨论的方法分段解不等式．。

2020年四川省绵阳市高考数学二诊试卷(理科)

2020年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集U ＝{x|x >0}，M ＝{x|1<e x <e 2}，则∁U M ＝（） A.(1, 2) B.(2, +∞) C.(0, 1]∪[2, +∞) D.[2, +∞)2. 已知i 为虚数单位，复数z 满足z ⋅i ＝1+2i ，则z 的共轭复数为（） A.2−i B.2+i C.l −2i D.i −23. 已知两个力F 1＝(l, 2)，F 2＝(−2, 3)作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力F 3，则F 3＝（） A.(1, −5) B.(−1, 5) C.(5, −1) D.(−5, l)4. 甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（） A.18 B.14C.38D.125. 已知α为任意角，则“cos2α=13”是“sinα=√33”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要6. 若(ax −1x )5的展开式中各项系数的和为l ，则该展开式中含x 3项的系数为（）A.−80B.−10C.10D.807. 己知某产品的销售额_y 与广告费用x 之间的关系如表：若根据表中的数据用最小二乘法求得y 对x 的回归直线方程为y ＝6.5x +9，则下列说法中错误的是（） A.产品的销售额与广告费用成正相关 B.该回归直线过点(2, 22)C.当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元D.m 的值是20 8. 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的右焦点为F ，过F 作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A ，B 两点，若四边形OAFB （O 为坐标原点）的面积为bc ，则双曲线的离心率为（）A.√2B.2C.√3D.39. 小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分，现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为x ，则X 的期望为（） A.1 B.2 C.3 D.410. 已知圆C:x 2+y 2−6x −8y +9＝0，点M ，N 在圆C 上，平面上一动点P 满足|PM|＝|PN|且PM ⊥PN ，则|PC|的最大值为（） A.8 B.8√2 C.4 D.4√211. 己知f(x)为偶函数，且当x ≥0时，f(x)＝xcosx −sinx +13x 3，则满足不等式f(log 2m)+f(log 12m)<2f (1)的实数m 的取值范围为（） A.( 12, 2) B.(0, 2) C.(0, 12)∪(1, 2) D.(2, +∞)12. 函数f(x)＝(2ax −1)2−log a (ax +2)在区间[0, 1a ]上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是（）A.( 13, 12)B.(1, 2]∪[3, +∞)C.(1, 2)∪[3, +∞)D.[2, 3) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．直线l 1:ax −(a +1)y −1＝0与直线4x −6y +3＝0平行，则实数a 的值是________．法国数学家布丰提出一种计算圆周率π的方法一一随机投针法．受其启发，我们设计如下实验来估计π的值：先请200名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于l 的正实数对(x, y)；再统计两数的平方和小于l 的数对(x, y)的个数m ，最后再根据统计数m 来估计π的值，已知某同学一次试验统计出m ＝156，则其试验估计π为________．函数y ＝sin(ωx +φ)(ω>0, |φ|<π2)的图象如图所示，则f(x)在区间[−π, π]上的零点之和为________．过点M(−1, 0)的直线，与抛物线C:y 2＝4x 交于A ，B 两点（A 在M ，B 之间），F 是抛物线C 的焦点，点N 满足：NA →=5AF →，则△ABF 与△AMN 的面积之和的最小值是________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查：该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生（其中男生45名），统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间t （小时）的频率分布直方图如图所示：（1）求样本学生一个月阅读时间t的中位数m．（2）已知样本中阅读时间低于m的女生有30名，请根据题目信息完成下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关．2×2列联表附表：其中：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1+a2＝0，S6＝24．各项均为正数的等比数列{b n}满足b1+b2＝a4+1，b3＝S4．（1）求a n和b n；（2）求和：T n＝1+(1+b1)+(1+b1+b2)+...+(1+b1+b2+...+b n−1)．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知(sinA+sinB)(a−b)＝c(sinC+sinB)．（1）求A；（2）若D为BC边上一点，且AD⊥BC，BC＝2√3AD，求sinB．已知椭圆C:x22+y2=1，直线l交椭圆C于A，B两点．(l)若点P(−1, 1)满足OA+OB+OP=0→（O为坐标原点），求弦AB的长；若直线l的斜率不为0且过点(2, 0)，M为点A关于x轴的对称点，点N(n, 0)满足MN=λNB，求n的值．己知函数f(x)＝2lnx+12x2−ax，其中a∈R．（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）设函数f(x)有两个极值点x1，x2（其中x2>x1），若f(x2)−f(x I)的最大值为2ln2−32，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题申任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为{x=1+rcosφy=rsinφ（r>0，φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1经过点P(2, π3)，曲线C2的直角坐标方程为x2−y2＝1．（1）求曲线C1的普通方程，曲线C2的极坐标方程；（2）若A(ρ1, α)，B(ρ2, α−π6)是曲线C2上两点，当α∈(0, π4)时，求1|OA|2+1|OB|2的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知关于x的不等式|x+1|−|2x−1|≤log12a，其中a>0．（1）当a＝4时，求不等式的解集；（2）若该不等式对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析2020年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】D【考点】补集及其运算【解析】可以求出集合M，然后进行补集的运算即可．【解答】∵U＝{x|x>0}，M＝{x|0<x<2}，∴∁U M＝[2, +∞)．2.【答案】B【考点】复数的运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】∵z⋅i＝1+2i，∴z=1+2ii =(1+2i)ii2=2−i，∴z的共轭复数为：2+i，3.【答案】A【考点】平面向量的基本定理【解析】F1，F2，F3作用于物体同一点，使物体处于平衡状态，则得到−F3＝F1+F2，代入即可．【解答】根据题意可知−F3＝F1+F2＝(1, 2)+(−2, 3)＝(−1, 5)，则F3＝(1, −5)，4.【答案】B【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】先算出所有事件，再求出符合题意的事件，求出概率．【解答】甲、乙、丙三人每人有2种选择，共有23＝8种情况，甲，乙，丙三人去同一景点有2种情况，故甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为14，5.【答案】B【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】通过证明，可判断充要性．【解答】若cos2α=13，则cos2α＝1−sin2α，sinα=±√33，则cos2α=13”是“sinα=√33”的不充分条件；若sinα=√33，则cos2α＝1−sin2α，cos2α=13，则cos2α=13”是“sinα=√33”的必要条件；综上所述：“cos2α=13”是“sinα=√33”的必要不充分条件．6.【答案】A【考点】二项式定理及相关概念【解析】先求得a的值，在二项展开式的通项公式中，令x3的幂指数等于3，求出r的值，即可求得该展开式中含x3项的系数．【解答】对于(ax−1x)5的展开式，令x＝1，可得展开式中各项系数的和为(a−1)5＝l，∴a＝2．∴(ax−1x)5＝(2x−1x)5，故展开式中的通项公式为T r+1=C5r⋅(−1)r⋅25−r⋅x5−2r，令5−2r＝3，求得r＝1，可得该展开式中含x3项的系数−C51⋅24＝−80，7.【答案】C【考点】求解线性回归方程【解析】由线性回归方程判断A；求出样本点的中心坐标，代入线性回归方程求得m值判断D；进一步得到样本点的中心的坐标判断B；由回归方程的意义判断C．【解答】由线性回归方程y＝6.5x+9，可知产品的销售额与广告费用成正相关，故A正确；x=0+1+2+3+45=2，y=10+15+m+30+355=90+m5，代入y＝6.5x+9，得90+m5=6.5×2+9，解得m＝20，故D正确；y=90+m5=90+205=22，则该回归直线过点(2, 22)，故B正确；取x ＝10，得y ＝6.5×10+9＝74，说明当广告费用为10万元时，销售额预计为74万元，故C 错误． 8.【答案】 B【考点】双曲线的离心率【解析】设出双曲线的右焦点F ，直线OA ，OB 的方程，过F 平行于渐近线的方程，求得平行线的距离，和A 的坐标，运用平行四边形的面积公式，化简可得a ，b 的关系，进而得到所求离心率．【解答】双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的右焦点为F(c, 0)，设OA 的方程为bx −ay ＝0，OB 的方程为bx +ay ＝0，过F 平行于OA 的直线FB 的方程为y =ba (x −c)，平行于OB 的直线FA 的方程为y =−ba (x −c)，可得平行线OA 和BF 的距离为√b 2+a 2=b ，由{bx −ay =0bx +ay −bc =0 可得x =12c ，y =bc 2a ，即A(12c, bc2a )，则平行四边形OAFB 的面积为S ＝b √14c 2+b2c 24a 2=bc ，化为b 2＝3a 2，则e =c a=√1+b 2a 2=√1+3=2．9.【答案】 C【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】X 的可能取值为0，1，2，3，4，利用列举法求出小明每局每得分的概率P =34，从而X ∼B(4, 34)，由此能求出E(X)．【解答】3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分，现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为x ，则X 的可能取值为0，1，2，3，4，设其他两位同学为a ，b ，小明为c ，列表得共有8种情况，小明得1分结果有6种情况， ∴ 小明每局每得分的概率P =34， ∴ X ∼B(4, 34)， ∴ E(X)＝4×34=3． 10. 【答案】 D【考点】圆的一般方程【解析】根据题意，分析可得PC 为线段MN 的垂直平分线，进而设MN 的中点为G ，|NG|＝n ，|CG|＝m ，分析可得m 2+n 2＝16，由于|PC|＝(m +n)=√(m +n)2=√m 2+n 2+2mn =√16+2mn ，结合基本不等式的性质分析可得答案．【解答】根据题意，若平面上一动点P 满足|PM|＝|PN|，又由|CM|＝|CN|，则PC 为线段MN 的垂直平分线，设MN 的中点为G ，|NG|＝n ，|CG|＝m ，又由|PM|＝|PN|且PM ⊥PN ，则△PMN 为等腰直角三角形，故|PG|＝|NG|＝n ，圆C:x 2+y 2−6x −8y +9＝0，即(x −3)2+(y −4)2＝16，则m 2+n 2＝16，则|PC|＝(m +n)=√(m +n)2=√m 2+n 2+2mn =√16+2mn ≤√16+(m 2+n 2)=4√2，当且仅当m ＝n 时等号成立，故|PC|的最大值为4√2， 11.【答案】 A【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】求导可知，函数f(x)在[0, +∞)上为增函数，进而把原问题等价为f(log 2m)<f(1)，则−1<log 2m <1，解出即可．【解答】当x ≥0时，f′(x)＝cosx −xsinx −cosx +x 2＝x 2−xsinx ＝x(x −sinx)>0，即函数f(x)在[0, +∞)上为增函数，∴ f(log 2m)+f(log 12m)<2f (1)等价为f(log 2m)+f(−log 2m)<2f(1)，即f(log 2m)<f(1)， ∴ −1<log 2m <1， ∴ 12<m <2．故选：A ．12.【答案】 D【考点】函数零点的判定定理【解析】运用零点存在性定理可知，实数a 应满足f(0)f(1a )≤0，由此得到2≤a ≤3，观察选项即可得解．【解答】依题意，函数f(x)在区间[0, 1a ]上有零点的充分条件为f(0)f(1a )≤0，即(1−log a 2)(1−log a 3)≤0， ∴ {1−log a 2≤01−log a 3≥0 或{1−log a 2≥01−log a 3≤0，解得2≤a ≤3，由此可排除A 、B 、C ，又当a ＝3时，f(x)＝(6x −1)2−log 3(3x +2)，显然f(13)=1−1=0，f(0)＝1−log 32>0，f(19)=19−log 373=109−log 37<0，则在(0,19)上有一个零点，故此时函数f(x)有两个零点，不符题意，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．【答案】 2【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】利用直线与直线平行的性质直接求解．【解答】∵ 直线l 1:ax −(a +1)y −1＝0与直线4x −6y +3＝0平行， ∴ a4=−(a+1)−6，解得a ＝2，∴ 实数a 的值为2．【答案】 3.12【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率π的近似值．【解答】由题意，两数的平方和小于1，对应的区域的面积为14π⋅12，从区间[0, 1]随机抽取横、纵坐标都小于l 的对应面积为：1； ∴14π1=156200⇒π=4×156200=3.12．【答案】2π3【考点】三角函数的周期性及其求法【解析】由周期求ω，由五点法作图求φ，可得函数的解析式，再根据正弦函数的零点以及图象的对称性，求出f(x)在区间[−π, π]上的零点之和．【解答】∵ 根据函数y ＝sin(ωx +φ)(ω>0, |φ|<π2)的图象，可得3T4=34⋅2πω=11π12−π6，求得ω＝2．再根据五点法作图可得 2×π6+φ=π2， ∴ φ=π6，故f(x)＝sin(2x +π6)．在区间[−π, π]上，2x +π6∈[−11π6, 13π6]，f(x)共有4个零点：a 、b 、c 、d ，且a <b <c <d ，则2a +π6+2b +π6=2×(−π2)，2c +π6+2d +π6=2×(3π2)，故它的所有零点之和为a +b +c +d =2π3，【答案】 8【考点】直线与抛物线的位置关系【解析】设直线AB 的方程与抛物线联立求出A ，B 的坐标，由N 满足：NA →=5AF →求出N 的坐标，进而求出面积的表达式，用求导的方法求出面积之和的最小值．【解答】焦点F(1, 0)，由对称性，显然直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为：x ＝my −1，A(x ′, y ′)，B(x, y)，由题意知y >y ′，联立直线与抛物线的方程整理得：y 2−4my +4＝0，△＝(−4m)2−16>0，m 2>1，m >1解得：y +y′＝4m ，y ′＝2m −2√m 2−1，设N(x 0, y 0)满足：NA →=5AF →，(x ′−x 0, y ′−y 0)＝5(−x ′, −y ′)，∴ y 0＝6y ′，S △ABF ＝S △BMF −S △AMF =12⋅MF ⋅(y −y ′)，S △ANM ＝S △NMF −S △AMF =12⋅MF ⋅(y 0−y ′)，MF ＝2 ∴ S △ABF +S △AMN =12⋅MF ⋅（y +y 0−2y ′）＝y +y ′+3y ′＝10m −6√m 2−1(m >1)，令f(m)＝10m −6√m 2−1，f ′(m)＝10−2，令f ′(m)＝0，m =54，m ∈(1,54)，f ′(m)<0，f(m)单调递减，m >54，f ′(m)>0，f(m)单调递增，所以m =54时，f(m)最小，且为：10×54−6√(54)2−1=8，所以△ABF 与△AMN 的面积之和的最小值是8，三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．【答案】由题意得，直方图中第一组、第二组的频率之和为： (0.04+0.06)×5＝0.5，所以阅读时间的中位数为m ＝10；由题意得，男生人数为45人，因此女生人数为55人，由频率分布直方图得，阅读时长大于或等于m 的人数为100×0.5＝50人；所以填写列联表如下；由表中数据，计算K 2=100×(25×30−25×20)250×50×45×55=10099≈1.01<2.706，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“阅读与性别有关”．【考点】独立性检验【解析】（1）由题意计算直方图中第一组、第二组的频率和为0.5，得出中位数m 的值；（2）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．【解答】由题意得，直方图中第一组、第二组的频率之和为： (0.04+0.06)×5＝0.5，所以阅读时间的中位数为m ＝10；由题意得，男生人数为45人，因此女生人数为55人，由频率分布直方图得，阅读时长大于或等于m 的人数为100×0.5＝50人；所以填写列联表如下；由表中数据，计算K 2=100×(25×30−25×20)250×50×45×55=10099≈1.01<2.706，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“阅读与性别有关”．【答案】设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ．由题意，得{2a 1+d =06a 1+6×52d =24 ，解得{a 1=−1d =2 ． ∴ a n ＝2n −3，n ∈N ∗．∵ 等比数列{b n }的各项均为正数，由{b 1+b 1q =6b 1q 2=8 ，解得{b 1=2q =2 或{b 1=18q =−23（舍去）．∴ b n ＝2n ，n ∈N ∗．由（1），得1+b 1+b 2+...+b n−1＝1+2+22+...+2n−1＝2n −1．则T n ＝1+(1+b 1)+(1+b 1+b 2)+...+(1+b 1+b 2+...+b n−1)．＝1+(22−1)+(23−1)+...+(2n −1)＝(21−1)+(22−1)+(23−1)+...+(2n −1) ＝(21+22+23+...+2n )−n =2(1−2n )−n＝2n+1−n −2．【考点】等差数列与等比数列的综合数列的求和【解析】本题第（1）题设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ．然后根据通项公式和求和公式列出方程组，分别解出首项和公差以及公比，即可得到两个数列各自的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果先算出一般项1+b 1+b 2+...+b n−1＝1+2+22+...+2n−1＝2n −1．代入T n 中再采用分组求和法进行计算即可得到结果．【解答】设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ．由题意，得{2a 1+d =06a 1+6×52d =24 ，解得{a 1=−1d =2 ． ∴ a n ＝2n −3，n ∈N ∗．∵ 等比数列{b n }的各项均为正数，由{b 1+b 1q =6b 1q 2=8，解得{b 1=2q =2 或{b 1=18q =−23 （舍去）．∴ b n ＝2n ，n ∈N ∗．由（1），得1+b 1+b 2+...+b n−1＝1+2+22+...+2n−1＝2n −1．则T n ＝1+(1+b 1)+(1+b 1+b 2)+...+(1+b 1+b 2+...+b n−1)．＝1+(22−1)+(23−1)+...+(2n −1)＝(21−1)+(22−1)+(23−1)+...+(2n −1) ＝(21+22+23+...+2n )−n=2(1−2n )1−2−n＝2n+1−n −2．【答案】∵ (sinA +sinB)(a −b)＝c(sinC +sinB)，∴ 由正弦定理可得：(a +b)(a −b)＝c(c +b)，即a 2＝b 2+c 2+bc ， ∴ 由余弦定理可得：cosA =b 2+c 2−a 22bc=−12，∵ 0<A <π， ∴ A =2π3．∵ 在△ABC 中，S △ABC =12AB ⋅AC ⋅sin∠BAC =12BC ⋅AD ，即√32bc ＝a ⋅AD ，由已知BC ＝2√3AD ，可得AD =2√3，∴ 3bc ＝a 2，∴ 在△ABC 中，由余弦定理可得a 2＝b 2+c 2−2bccos120∘，即3bc ＝b 2+c 2+bc ，整理可得(b −c)2＝0，即b ＝c ， ∴ B ＝C =π6， ∴ sinB ＝sin π6=12．【考点】余弦定理正弦定理【解析】（1）由正弦定理化简已知可得a 2＝b 2+c 2+bc ，由余弦定理可得cosA =−12，结合范围0<A <π，可求A 的值．（2）由已知利用三角形的面积公式可求AD =2√3，可得3bc ＝a 2，进而由余弦定理可得b ＝c ，可求A ＝B =π6，根据特殊角的三角函数值即可得解．【解答】∵ (sinA +sinB)(a −b)＝c(sinC +sinB)，∴ 由正弦定理可得：(a +b)(a −b)＝c(c +b)，即a 2＝b 2+c 2+bc ， ∴ 由余弦定理可得：cosA =b 2+c 2−a 22bc=−12，∵ 0<A <π， ∴ A =2π3．∵ 在△ABC 中，S △ABC =12AB ⋅AC ⋅sin∠BAC =12BC ⋅AD ，即√32bc ＝a ⋅AD ，由已知BC ＝2√3AD ，可得AD =2√3，∴ 3bc ＝a 2，∴ 在△ABC 中，由余弦定理可得a 2＝b 2+c 2−2bccos120∘，即3bc ＝b 2+c 2+bc ，整理可得(b −c)2＝0，即b ＝c ， ∴ B ＝C =π6， ∴ sinB ＝sin π6=12．【答案】（1）设A(x, y)，B(x ′, y ′)，由OA →+OB →+OP →=0→，（O 为坐标原点），且P(−1, 1)，得x +x ′＝1，y +y ′＝−1，所以线段AB 的中点坐标(12, −12)，其在椭圆内部，由{x 22+y 2=1x ′22+y′2=1两式相减得：x′2−x 22+y′2−y 2=0，所以k AB =y ′−y x ′−x =x+x ′y+y ′(−12)=12，所以直线AB 的方程为：y −(−12)=12(x −12)，即2x −4y −3＝0；联立直线AB 与椭圆的方程整理得：24y 2+24y +1＝0， ∴ y +y ′＝−1，yy ′=124， ∴ |AB|=√1+1k 2√(y +y ′)2−4yy ′=5√66；（2）由题意设直线AB 的方程为：x ＝ty +2，由题意得M(x, −y)，联立直线AB 与椭圆的方程整理得：(2+t 2)y 2+4ty +2＝0， ∴ y +y ′=−4t2+t 2，yy ′=22+t 2，由满足MN =λNB 知，M ，N ，B 三点共线，即k MN ＝k MB ，∴ 0−(−y)n−x=y ′−(−y)x ′−x，即yn−x=y ′+yx−x ′，解得：n =y(x ′−x)y ′+y+x ，将x ＝ty +2，x ′＝ty ′+2代入得n =2tyy ′y+y ′+2=4t−4t +2＝1，所以n 的值为1．【考点】椭圆的应用直线与椭圆的位置关系【解析】（1）由题意知，向量之间的关系得AB 的中点坐标，再将A ，B 的坐标代入由点差法求出直线的斜率，进而求出直线的方程；（2）设直线AB 的方程，与椭圆联立整理得出两根之和两根之积，再由向量的关系求出用A ，B 的坐标表示n 的坐标，进而求出n 的值．【解答】（1）设A(x, y)，B(x ′, y ′)，由OA →+OB →+OP →=0→，（O 为坐标原点），且P(−1, 1)，得x +x ′＝1，y +y ′＝−1，所以线段AB 的中点坐标(12, −12)，其在椭圆内部，由{x 22+y 2=1x ′22+y′2=1两式相减得：x′2−x 22+y′2−y 2=0，所以k AB =y ′−y x ′−x =x+x ′y+y ′(−12)=12，所以直线AB 的方程为：y −(−12)=12(x −12)，即2x −4y −3＝0；联立直线AB 与椭圆的方程整理得：24y 2+24y +1＝0， ∴ y +y ′＝−1，yy ′=124， ∴ |AB|=√1+1k 2√(y +y ′)2−4yy ′=5√66；（2）由题意设直线AB 的方程为：x ＝ty +2，由题意得M(x, −y)，联立直线AB 与椭圆的方程整理得：(2+t 2)y 2+4ty +2＝0， ∴ y +y ′=−4t2+t 2，yy ′=22+t 2，由满足MN =λNB 知，M ，N ，B 三点共线，即k MN ＝k MB ，∴ 0−(−y)n−x=y ′−(−y)x ′−x，即yn−x=y ′+y x−x ′，解得：n =y(x ′−x)y ′+y+x ，将x ＝ty +2，x ′＝ty ′+2代入得n =2tyy ′y+y ′+2=4t−4t +2＝1，所以n 的值为1．【答案】 f ′(x)=x 2−ax+2x，x >0，令g(x)＝x 2−ax +2，△＝a 2−8，①当a ≤0或△≤0即a ≤2√2时，f′(x)≥0恒成立，此时f(x)在(0, +∞)上单调递增； ②当{a >0△>0 ，即a >2√2时，由f′(x)>0得，0<x <a−√a2−82或x >a+√a2+82；由f′(x)<0得，a−√a2−82<x <a+√a 2−82；∴ 函数f(x)在(0,a−√a2−82),(a+√a 2+82,+∞)上单调递增，在(a−√a2−82,a+√a 2+82)上单调递减；综上所述，当a ≤2√2时，f(x)在(0, +∞)上单调递增；当a >2√2时，f(x)在(0,a−√a2−82),(a+√a 2+82,+∞)上单调递增，在(a−√a2−82,a+√a 2+82)上单调递减；由（1）知，当a >2√2时，f(x)有两极值点x 1，x 2(x 2>x 1)，由（1）得x 1，x 2为g(x)＝x 2−ax +2＝0的两根，于是x 1+x 2＝a ，x 1x 2＝2，∴ f(x 2)−f(x 1)=21n x 2x 1+12(x 22−x 12)−a(x 2−x 1)=21n x 2x 1−x 2x 1+x1x 2，令t =x 2x 1(t >1)，则f(x 2)−f(x 1)=ℎ(t)=21nt −t +1t ，∵ ℎ(t)=2t −1−1t2=−(t−1)2t 2<0，∴ ℎ(t)在(1, +∞)上单调递减，由已知ℎ(t)＝f(x 2)−f(x I )的最大值为2ln2−32，而ℎ(2)＝2ln2−32，所以t ＝2，设t 的取值集合T ，则只要满足T ⊆[2, +∞)且T 中的最小元素为2的T 集合都满足题意，又12a 2=(x 1+x 2)2x 1x 2=t +1t +2，易知φ(t)=t +1t +2在[2, +∞)上单调递增，结合a >2√2，可得a 与t 是一一对应关系，而当t ＝2，即x 2x 1=2时，联合x 1x 2＝2，解得x 2＝2，x 1＝1，进而可得a ＝3，∴ 实数a 的取值范围为[3, +∞)或[3, +∞)的任意最小元素为3的子集．【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】（1）求导，解关于导函数的不等式即可讨论得到单调性情况；（2）首先根据已知条件可求得x 2＝2，x 1＝1，由此求得此时的a ＝3，再根据题意即可求得实数a 的取值范围．【解答】 f ′(x)=x 2−ax+2x ，x >0，令g(x)＝x 2−ax +2，△＝a 2−8，①当a ≤0或△≤0即a ≤2√2时，f′(x)≥0恒成立，此时f(x)在(0, +∞)上单调递增； ②当{a >0△>0 ，即a >2√2时，由f′(x)>0得，0<x <a−√a2−82或x >a+√a2+82；由f′(x)<0得，a−√a2−82<x <a+√a 2−82；∴ 函数f(x)在(0,a−√a2−82),(a+√a 2+82,+∞)上单调递增，在(a−√a 2−82,a+√a 2+82)上单调递减；综上所述，当a ≤2√2时，f(x)在(0, +∞)上单调递增；当a >2√2时，f(x)在(0,a−√a2−82),(a+√a 2+82,+∞)上单调递增，在(a−√a2−82,a+√a 2+82)上单调递减；由（1）知，当a >2√2时，f(x)有两极值点x 1，x 2(x 2>x 1)，由（1）得x 1，x 2为g(x)＝x 2−ax +2＝0的两根，于是x 1+x 2＝a ，x 1x 2＝2，∴ f(x 2)−f(x 1)=21n x 2x 1+12(x 22−x 12)−a(x 2−x 1)=21n x 2x 1−x 2x 1+x1x 2，令t =x 2x 1(t >1)，则f(x 2)−f(x 1)=ℎ(t)=21nt −t +1t ， ∵ ℎ(t)=2t −1−1t2=−(t−1)2t 2<0，∴ ℎ(t)在(1, +∞)上单调递减，由已知ℎ(t)＝f(x 2)−f(x I )的最大值为2ln2−32，而ℎ(2)＝2ln2−32，所以t ＝2，设t 的取值集合T ，则只要满足T ⊆[2, +∞)且T 中的最小元素为2的T 集合都满足题意，又12a 2=(x 1+x 2)2x 1x 2=t +1t +2，易知φ(t)=t +1t +2在[2, +∞)上单调递增，结合a >2√2，可得a 与t 是一一对应关系，而当t ＝2，即x2x 1=2时，联合x 1x 2＝2，解得x 2＝2，x 1＝1，进而可得a ＝3，∴ 实数a 的取值范围为[3, +∞)或[3, +∞)的任意最小元素为3的子集．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题申任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】将曲线C 1的参数方程转化成普通方程为：(x −1)2+y 2＝r 2，由x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，得点P(2, π3)的直角坐标为(1, √3)，代入曲线C 1得r 2＝3， ∴ 曲线C 1的普通方程为：(x −1)2+y 2＝3， C 2可化为ρ2cos 2θ−ρ2sin 2θ＝1，即ρ2cos2θ＝1，∴ 曲线C 2的极坐标方程ρ2cos2θ＝1，将点A(ρ1, α)，B(ρ2, α−π6)是曲线C 2的极坐标方程，得p 12cos2α=1，ρ22cos(2α−π3)=1， ∴ 1|OA|+1|OB|=1ρ12+1ρ22=cos2α+cos(2α−π3)=32cos2α+√32sin2α=√3sin(2α+π3)．当α∈(0, π4)时，2α+π3∈(π3,5π6)，于是√3sin(2α+π3)∈(√32,√3]．所以1|OA|2+1|OB|2的取值范围是(√32,√3]．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】（1）将参数方程转化成普通方程，直角坐标方程转化成极坐标方程；（2）将点带入可求等式，将所求转化成极坐标表示的长度，联立带入化简，计算，求值．【解答】将曲线C 1的参数方程转化成普通方程为：(x −1)2+y 2＝r 2，由x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，得点P(2, π3)的直角坐标为(1, √3)，代入曲线C 1得r 2＝3，∴ 曲线C 1的普通方程为：(x −1)2+y 2＝3， C 2可化为ρ2cos 2θ−ρ2sin 2θ＝1，即ρ2cos2θ＝1，∴ 曲线C 2的极坐标方程ρ2cos2θ＝1，将点A(ρ1, α)，B(ρ2, α−π6)是曲线C 2的极坐标方程，得p 12cos2α=1，ρ22cos(2α−π3)=1， ∴ 1|OA|2+1|OB|2=1ρ12+1ρ22=cos2α+cos(2α−π3)=32cos2α+√32sin2α=√3sin(2α+π3)．当α∈(0, π4)时，2α+π3∈(π3,5π6)，于是√3sin(2α+π3)∈(√32,√3]．所以1|OA|2+1|OB|2的取值范围是(√32,√3]．[选修4-5：不等式选讲]（10分）【答案】当a ＝4时，关于x 的不等式|x +1|−|2x −1|≤log 12a =−2，当x ≥12时，x +1−(2x −1)≤−2，解得x ≥4，综合可得x ≥4；当x ≤−1时，−x −1+(2x −1)≤−2，解得x ≤0，综合可得x ≤−1；当−1<x <12时，x +1+(2x −1)≤−2，解得x ≤−23，综合可得−1<x ≤−23，综上可得原不等式的解集为(−∞, −23]∪[4, +∞)；设函数f(x)＝|x +1|−|2x −1|＝|x +1|−|x −12|−|x −12| ≤|x +1−(x −12)|−0=32，可得x =12时，f(x)取得最大值32，若该不等式对x ∈R 恒成立，可得log 12a ≥32，解得0<a ≤√24．【考点】不等式恒成立的问题绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）由绝对值的意义，讨论x 的范围，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；（2）设函数f(x)＝|x +1|−|2x −1|，运用绝对值不等式的性质可得f(x)的最大值，由恒成立思想，解对数不等式可得所求范围．【解答】当a ＝4时，关于x 的不等式|x +1|−|2x −1|≤log 12a =−2，当x ≥12时，x +1−(2x −1)≤−2，解得x ≥4，综合可得x ≥4；当x ≤−1时，−x −1+(2x −1)≤−2，解得x ≤0，综合可得x ≤−1；当−1<x <12时，x +1+(2x −1)≤−2，解得x ≤−23，综合可得−1<x ≤−23，综上可得原不等式的解集为(−∞, −23]∪[4, +∞)；设函数f(x)＝|x +1|−|2x −1|＝|x +1|−|x −12|−|x −12| ≤|x +1−(x −12)|−0=32，可得x =12时，f(x)取得最大值32，若该不等式对x ∈R 恒成立，可得log 12a ≥32，解得0<a ≤√24．。

2020年四川省绵阳市高考数学二诊试卷(理科)

2020年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集U＝{x|x>0}，M＝{x|1<e x<e2}，则∁U M＝（）A.(1, 2)B.(2, +∞)C.(0, 1]∪[2, +∞)D.[2, +∞)【答案】D【考点】补集及其运算【解析】可以求出集合M，然后进行补集的运算即可．【解答】∵U＝{x|x>0}，M＝{x|0<x<2}，∴∁U M＝[2, +∞)．2. 已知i为虚数单位，复数z满足z⋅i＝1+2i，则z的共轭复数为（）A.2−iB.2+iC.l−2iD.i−2【答案】B【考点】复数的运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】∵z⋅i＝1+2i，∴z=1+2ii =(1+2i)ii2=2−i，∴z的共轭复数为：2+i，3. 已知两个力F1＝(l, 2)，F2＝(−2, 3)作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力F3，则F3＝（）A.(1, −5)B.(−1, 5)C.(5, −1)D.(−5, l)【答案】A【考点】平面向量的基本定理【解析】F1，F2，F3作用于物体同一点，使物体处于平衡状态，则得到−F3＝F1+F2，代入即可．【解答】根据题意可知−F3＝F1+F2＝(1, 2)+(−2, 3)＝(−1, 5)，则F3＝(1, −5)，4. 甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（）A.1 8B.14C.38D.12【答案】B【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】先算出所有事件，再求出符合题意的事件，求出概率．【解答】甲、乙、丙三人每人有2种选择，共有23＝8种情况，甲，乙，丙三人去同一景点有2种情况，故甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为14，5. 已知α为任意角，则“cos2α=13”是“sinα=√33”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要【答案】 B【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】通过证明，可判断充要性．【解答】若cos2α=13，则cos2α＝1−sin 2α，sinα=±√33，则cos2α=13”是“sinα=√33”的不充分条件；若sinα=√33，则cos2α＝1−sin 2α，cos2α=13，则cos2α=13”是“sinα=√33”的必要条件；综上所述：“cos2α=13”是“sinα=√33”的必要不充分条件．6. 若(ax −1x )5的展开式中各项系数的和为l ，则该展开式中含x 3项的系数为（） A.−80 B.−10 C.10 D.80 【答案】 A【考点】二项式定理及相关概念【解析】先求得a 的值，在二项展开式的通项公式中，令x 3的幂指数等于3，求出r 的值，即可求得该展开式中含x 3项的系数．【解答】对于(ax −1x )5的展开式，令x ＝1，可得展开式中各项系数的和为(a −1)5＝l ，∴ a ＝2．∴(ax−1x )5＝(2x−1x)5，故展开式中的通项公式为T r+1=C5r⋅(−1)r⋅25−r⋅x5−2r，令5−2r＝3，求得r＝1，可得该展开式中含x3项的系数−C51⋅24＝−80，7. 己知某产品的销售额_y与广告费用x之间的关系如表：若根据表中的数据用最小二乘法求得y对x的回归直线方程为y＝6.5x+9，则下列说法中错误的是（）A.产品的销售额与广告费用成正相关B.该回归直线过点(2, 22)C.当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元D.m的值是20【答案】C【考点】求解线性回归方程【解析】由线性回归方程判断A；求出样本点的中心坐标，代入线性回归方程求得m值判断D；进一步得到样本点的中心的坐标判断B；由回归方程的意义判断C．【解答】由线性回归方程y＝6.5x+9，可知产品的销售额与广告费用成正相关，故A正确；x=0+1+2+3+45=2，y=10+15+m+30+355=90+m5，代入y＝6.5x+9，得90+m5=6.5×2+9，解得m＝20，故D正确；y=90+m5=90+205=22，则该回归直线过点(2, 22)，故B正确；取x＝10，得y＝6.5×10+9＝74，说明当广告费用为10万元时，销售额预计为74万元，故C错误．8. 双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的右焦点为F，过F作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A，B两点，若四边形OAFB（O为坐标原点）的面积为bc，则双曲线的离心率为（）A.√2B.2C.√3D.3【答案】B【考点】双曲线的离心率【解析】设出双曲线的右焦点F，直线OA，OB的方程，过F平行于渐近线的方程，求得平行线的距离，和A的坐标，运用平行四边形的面积公式，化简可得a，b的关系，进而得到所求离心率．【解答】双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的右焦点为F(c, 0)，设OA 的方程为bx −ay ＝0，OB 的方程为bx +ay ＝0，过F 平行于OA 的直线FB 的方程为y =ba (x −c)，平行于OB 的直线FA 的方程为y =−ba (x −c)，可得平行线OA 和BF 的距离为22=b ，由{bx −ay =0bx +ay −bc =0 可得x =12c ，y =bc 2a ，即A(12c, bc2a )，则平行四边形OAFB 的面积为S ＝b √14c 2+b2c 24a 2=bc ，化为b 2＝3a 2，则e =ca=√1+b 2a 2=√1+3=2．9. 小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分，现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为x ，则X 的期望为（） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】 C【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】X 的可能取值为0，1，2，3，4，利用列举法求出小明每局每得分的概率P =34，从而X ∼B(4, 34)，由此能求出E(X)．【解答】3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分，现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为x ，则X 的可能取值为0，1，2，3，4，设其他两位同学为a ，b ，小明为c ，列表得共有8种情况，小明得1分结果有6种情况， ∴ 小明每局每得分的概率P =34，∴X∼B(4, 34)，∴E(X)＝4×34=3．10. 已知圆C:x2+y2−6x−8y+9＝0，点M，N在圆C上，平面上一动点P满足|PM|＝|PN|且PM⊥PN，则|PC|的最大值为（）A.8B.8√2C.4D.4√2【答案】D【考点】圆的一般方程【解析】根据题意，分析可得PC为线段MN的垂直平分线，进而设MN的中点为G，|NG|＝n，|CG|＝m，分析可得m2+n2＝16，由于|PC|＝(m+n)=√(m+n)2=√m2+n2+2mn=√16+2mn，结合基本不等式的性质分析可得答案．【解答】根据题意，若平面上一动点P满足|PM|＝|PN|，又由|CM|＝|CN|，则PC为线段MN的垂直平分线，设MN的中点为G，|NG|＝n，|CG|＝m，又由|PM|＝|PN|且PM⊥PN，则△PMN为等腰直角三角形，故|PG|＝|NG|＝n，圆C:x2+y2−6x−8y+9＝0，即(x−3)2+(y−4)2＝16，则m2+n2＝16，则|PC|＝(m+n)=√(m+n)2=√m2+n2+2mn=√16+2mn≤√16+(m2+n2)=4√2，当且仅当m＝n时等号成立，故|PC|的最大值为4√2，11. 己知f(x)为偶函数，且当x≥0时，f(x)＝xcosx−sinx+13x3，则满足不等式f(log2m)+f(log12m)<2f (1)的实数m的取值范围为（）A.( 12, 2) B.(0, 2)C.(0, 12)∪(1, 2) D.(2, +∞)【答案】A【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】求导可知，函数f(x)在[0, +∞)上为增函数，进而把原问题等价为f(log2m)<f(1)，则−1<log2m<1，解出即可．【解答】当x≥0时，f′(x)＝cosx−xsinx−cosx+x2＝x2−xsinx＝x(x−sinx)>0，即函数f(x)在[0, +∞)上为增函数，∴f(log2m)+f(log12m)<2f (1)等价为f(log2m)+f(−log2m)<2f(1)，即f(log2m)<f(1)，∴ −1<log 2m <1， ∴ 12<m <2．故选：A ．12. 函数f(x)＝(2ax −1)2−log a (ax +2)在区间[0, 1a ]上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是（） A.( 13, 12)B.(1, 2]∪[3, +∞)C.(1, 2)∪[3, +∞)D.[2, 3)【答案】 D【考点】函数零点的判定定理【解析】运用零点存在性定理可知，实数a 应满足f(0)f(1a )≤0，由此得到2≤a ≤3，观察选项即可得解．【解答】依题意，函数f(x)在区间[0, 1a ]上有零点的充分条件为f(0)f(1a )≤0，即(1−log a 2)(1−log a 3)≤0，∴ {1−log a 2≤01−log a 3≥0 或{1−log a 2≥01−log a 3≤0 ，解得2≤a ≤3，由此可排除A 、B 、C ，又当a ＝3时，f(x)＝(6x −1)2−log 3(3x +2)，显然f(13)=1−1=0，f(0)＝1−log 32>0，f(19)=19−log 373=109−log 37<0，则在(0,19)上有一个零点，故此时函数f(x)有两个零点，不符题意，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．直线l 1:ax −(a +1)y −1＝0与直线4x −6y +3＝0平行，则实数a 的值是________．【答案】 2【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】利用直线与直线平行的性质直接求解．【解答】∵ 直线l 1:ax −(a +1)y −1＝0与直线4x −6y +3＝0平行， ∴ a4=−(a+1)−6，解得a ＝2，∴ 实数a 的值为2．法国数学家布丰提出一种计算圆周率π的方法一一随机投针法．受其启发，我们设计如下实验来估计π的值：先请200名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于l的正实数对(x, y)；再统计两数的平方和小于l的数对(x, y)的个数m，最后再根据统计数m来估计π的值，已知某同学一次试验统计出m＝156，则其试验估计π为________．【答案】3.12【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率π的近似值．【解答】由题意，两数的平方和小于1，对应的区域的面积为14π⋅12，从区间[0, 1]随机抽取横、纵坐标都小于l的对应面积为：1；∴14π1=156200⇒π=4×156200=3.12．函数y＝sin(ωx+φ)(ω>0, |φ|<π2)的图象如图所示，则f(x)在区间[−π, π]上的零点之和为________．【答案】2π【考点】三角函数的周期性及其求法【解析】由周期求ω，由五点法作图求φ，可得函数的解析式，再根据正弦函数的零点以及图象的对称性，求出f(x)在区间[−π, π]上的零点之和．【解答】∵根据函数y＝sin(ωx+φ)(ω>0, |φ|<π2)的图象，可得3T4=34⋅2πω=11π12−π6，求得ω＝2．再根据五点法作图可得2×π6+φ=π2，∴φ=π6，故f(x)＝sin(2x+π6)．在区间[−π, π]上，2x+π6∈[−11π6, 13π6]，f(x)共有4个零点：a、b、c、d，且a<b<c<d，则2a+π6+2b+π6=2×(−π2)，2c+π6+2d+π6=2×(3π2)，故它的所有零点之和为a +b +c +d =2π3，过点M(−1, 0)的直线，与抛物线C:y 2＝4x 交于A ，B 两点（A 在M ，B 之间），F 是抛物线C 的焦点，点N 满足：NA →=5AF →，则△ABF 与△AMN 的面积之和的最小值是________．【答案】 8【考点】直线与抛物线的位置关系【解析】设直线AB 的方程与抛物线联立求出A ，B 的坐标，由N 满足：NA →=5AF →求出N 的坐标，进而求出面积的表达式，用求导的方法求出面积之和的最小值．【解答】焦点F(1, 0)，由对称性，显然直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为：x ＝my −1，A(x ′, y ′)，B(x, y)，由题意知y >y ′，联立直线与抛物线的方程整理得：y 2−4my +4＝0，△＝(−4m)2−16>0，m 2>1，m >1解得：y +y ′＝4m ，y ′＝2m −2√m 2−1，设N(x 0, y 0)满足：NA →=5AF →，(x ′−x 0, y ′−y 0)＝5(−x ′, −y ′)，∴ y 0＝6y ′， S △ABF ＝S △BMF −S △AMF =12⋅MF ⋅(y −y ′)，S △ANM ＝S △NMF −S △AMF =12⋅MF ⋅(y 0−y ′)，MF ＝2∴ S △ABF +S △AMN =12⋅MF ⋅（y +y 0−2y ′）＝y +y ′+3y ′＝10m −6√m 2−1(m >1)，令f(m)＝10m −6√m 2−1，f ′(m)＝10−√m 2−1，令f ′(m)＝0，m =54，m ∈(1,54)，f ′(m)<0，f(m)单调递减，m >54，f ′(m)>0，f(m)单调递增，所以m =54时，f(m)最小，且为：10×54−6√(54)2−1=8，所以△ABF 与△AMN 的面积之和的最小值是8，三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查：该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生（其中男生45名），统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间t（小时）的频率分布直方图如图所示：（1）求样本学生一个月阅读时间t的中位数m．（2）已知样本中阅读时间低于m的女生有30名，请根据题目信息完成下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关．2×2列联表附表：其中：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．【答案】由题意得，直方图中第一组、第二组的频率之和为：(0.04+0.06)×5＝0.5，所以阅读时间的中位数为m＝10；由题意得，男生人数为45人，因此女生人数为55人，由频率分布直方图得，阅读时长大于或等于m的人数为100×0.5＝50人；所以填写列联表如下；由表中数据，计算K2=100×(25×30−25×20)250×50×45×55=10099≈1.01<2.706，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“阅读与性别有关”．【考点】独立性检验【解析】（1）由题意计算直方图中第一组、第二组的频率和为0.5，得出中位数m 的值；（2）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．【解答】由题意得，直方图中第一组、第二组的频率之和为： (0.04+0.06)×5＝0.5，所以阅读时间的中位数为m ＝10；由题意得，男生人数为45人，因此女生人数为55人，由频率分布直方图得，阅读时长大于或等于m 的人数为100×0.5＝50人；所以填写列联表如下；由表中数据，计算K 2=100×(25×30−25×20)250×50×45×55=10099≈1.01<2.706，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“阅读与性别有关”．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1+a 2＝0，S 6＝24．各项均为正数的等比数列{b n }满足b 1+b 2＝a 4+1，b 3＝S 4．（1）求a n 和b n ；（2）求和：T n ＝1+(1+b 1)+(1+b 1+b 2)+...+(1+b 1+b 2+...+b n−1)．【答案】设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ．由题意，得{2a 1+d =06a 1+6×52d =24 ，解得{a 1=−1d =2 ． ∴ a n ＝2n −3，n ∈N ∗．∵ 等比数列{b n }的各项均为正数，由{b 1+b 1q =6b 1q 2=8，解得{b 1=2q =2 或{b 1=18q =−23 （舍去）．∴ b n ＝2n ，n ∈N ∗．由（1），得1+b 1+b 2+...+b n−1＝1+2+22+...+2n−1＝2n −1．则T n ＝1+(1+b 1)+(1+b 1+b 2)+...+(1+b 1+b 2+...+b n−1)．＝1+(22−1)+(23−1)+...+(2n −1)＝(21−1)+(22−1)+(23−1)+...+(2n −1) ＝(21+22+23+...+2n )−n =2(1−2n )1−2−n＝2n+1−n −2．【考点】等差数列与等比数列的综合数列的求和【解析】本题第（1）题设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ．然后根据通项公式和求和公式列出方程组，分别解出首项和公差以及公比，即可得到两个数列各自的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果先算出一般项1+b 1+b 2+...+b n−1＝1+2+22+...+2n−1＝2n −1．代入T n 中再采用分组求和法进行计算即可得到结果．【解答】设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ．由题意，得{2a 1+d =06a 1+6×52d =24 ，解得{a 1=−1d =2 ． ∴ a n ＝2n −3，n ∈N ∗．∵ 等比数列{b n }的各项均为正数，由{b 1+b 1q =6b 1q 2=8，解得{b 1=2q =2 或{b 1=18q =−23（舍去）．∴ b n ＝2n，n ∈N ∗．由（1），得1+b 1+b 2+...+b n−1＝1+2+22+...+2n−1＝2n −1．则T n ＝1+(1+b 1)+(1+b 1+b 2)+...+(1+b 1+b 2+...+b n−1)．＝1+(22−1)+(23−1)+...+(2n −1)＝(21−1)+(22−1)+(23−1)+...+(2n −1) ＝(21+22+23+...+2n )−n=2(1−2n )1−2−n＝2n+1−n −2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知(sinA +sinB)(a −b)＝c(sinC +sinB)．（1）求A ；（2）若D 为BC 边上一点，且AD ⊥BC ，BC ＝2√3AD ，求sinB ．【答案】∵ (sinA +sinB)(a −b)＝c(sinC +sinB)，∴ 由正弦定理可得：(a +b)(a −b)＝c(c +b)，即a 2＝b 2+c 2+bc ， ∴ 由余弦定理可得：cosA =b 2+c 2−a 22bc=−12，∵ 0<A <π， ∴ A =2π3．∵ 在△ABC 中，S △ABC =12AB ⋅AC ⋅sin∠BAC =12BC ⋅AD ，即√32bc ＝a ⋅AD ，由已知BC ＝2√3AD ，可得AD =2√3，∴ 3bc ＝a 2，∴ 在△ABC 中，由余弦定理可得a 2＝b 2+c 2−2bccos120∘，即3bc ＝b 2+c 2+bc ，整理可得(b −c)2＝0，即b ＝c ， ∴ B ＝C =π6， ∴ sinB ＝sin π6=12．【考点】余弦定理正弦定理【解析】（1）由正弦定理化简已知可得a 2＝b 2+c 2+bc ，由余弦定理可得cosA =−12，结合范围0<A <π，可求A 的值．（2）由已知利用三角形的面积公式可求AD =2√3，可得3bc ＝a 2，进而由余弦定理可得b ＝c ，可求A ＝B =π6，根据特殊角的三角函数值即可得解．【解答】∵ (sinA +sinB)(a −b)＝c(sinC +sinB)，∴ 由正弦定理可得：(a +b)(a −b)＝c(c +b)，即a 2＝b 2+c 2+bc ， ∴ 由余弦定理可得：cosA =b 2+c 2−a 22bc=−12，∵ 0<A <π， ∴ A =2π3．∵ 在△ABC 中，S △ABC =12AB ⋅AC ⋅sin∠BAC =12BC ⋅AD ，即√32bc ＝a ⋅AD ，由已知BC ＝2√3AD ，可得AD =2√3，∴ 3bc ＝a 2，∴ 在△ABC 中，由余弦定理可得a 2＝b 2+c 2−2bccos120∘，即3bc ＝b 2+c 2+bc ，整理可得(b −c)2＝0，即b ＝c ， ∴ B ＝C =π6， ∴ sinB ＝sin π6=12．已知椭圆C:x 22+y 2=1，直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．(l)若点P(−1, 1)满足OA +OB +OP =0→（O 为坐标原点），求弦AB 的长；若直线l 的斜率不为0且过点(2, 0)，M 为点A 关于x 轴的对称点，点N(n, 0)满足MN =λNB ，求n 的值．【答案】（1）设A(x, y)，B(x ′, y ′)，由OA →+OB →+OP →=0→，（O 为坐标原点），且P(−1, 1)，得x +x ′＝1，y +y ′＝−1，所以线段AB 的中点坐标(12, −12)，其在椭圆内部，由{x 22+y 2=1x ′22+y′2=1两式相减得：x′2−x 22+y′2−y 2=0，所以k AB =y ′−yx ′−x =x+x ′y+y ′(−12)=12，所以直线AB 的方程为：y −(−12)=12(x −12)，即2x −4y −3＝0；联立直线AB 与椭圆的方程整理得：24y 2+24y +1＝0， ∴ y +y ′＝−1，yy ′=124， ∴ |AB|=√1+1k 2√(y +y ′)2−4yy ′=5√66；（2）由题意设直线AB 的方程为：x ＝ty +2，由题意得M(x, −y)，联立直线AB 与椭圆的方程整理得：(2+t 2)y 2+4ty +2＝0， ∴ y +y ′=−4t2+t 2，yy ′=22+t 2，由满足MN =λNB 知，M ，N ，B 三点共线，即k MN ＝k MB ，∴ 0−(−y)n−x=y ′−(−y)x ′−x，即yn−x=y ′+y x−x ′，解得：n =y(x ′−x)y ′+y+x ，将x ＝ty +2，x ′＝ty ′+2代入得n =2tyy ′y+y ′+2=4t−4t +2＝1，所以n 的值为1．【考点】椭圆的应用直线与椭圆的位置关系【解析】（1）由题意知，向量之间的关系得AB 的中点坐标，再将A ，B 的坐标代入由点差法求出直线的斜率，进而求出直线的方程；（2）设直线AB 的方程，与椭圆联立整理得出两根之和两根之积，再由向量的关系求出用A ，B 的坐标表示n 的坐标，进而求出n 的值．【解答】（1）设A(x, y)，B(x ′, y ′)，由OA →+OB →+OP →=0→，（O 为坐标原点），且P(−1, 1)，得x +x ′＝1，y +y ′＝−1，所以线段AB 的中点坐标(12, −12)，其在椭圆内部，由{x 22+y 2=1x ′22+y′2=1两式相减得：x′2−x 22+y′2−y 2=0，所以k AB =y ′−yx ′−x =x+x ′y+y ′(−12)=12，所以直线AB 的方程为：y −(−12)=12(x −12)，即2x −4y −3＝0；联立直线AB 与椭圆的方程整理得：24y 2+24y +1＝0， ∴ y +y ′＝−1，yy ′=124， ∴ |AB|=√1+1k 2√(y +y ′)2−4yy ′=5√66；（2）由题意设直线AB 的方程为：x ＝ty +2，由题意得M(x, −y)，联立直线AB 与椭圆的方程整理得：(2+t 2)y 2+4ty +2＝0，∴ y +y ′=−4t2+t 2，yy ′=22+t 2，由满足MN =λNB 知，M ，N ，B 三点共线，即k MN ＝k MB ，∴ 0−(−y)n−x=y ′−(−y)x −x，即yn−x=y ′+y x−x ，解得：n =y(x ′−x)y ′+y+x ，将x ＝ty +2，x ′＝ty ′+2代入得n =2tyy ′y+y ′+2=4t−4t +2＝1，所以n 的值为1．己知函数f(x)＝2lnx +12x 2−ax ，其中a ∈R ．（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）设函数f(x)有两个极值点x 1，x 2（其中x 2>x 1），若f(x 2)−f(x I )的最大值为2ln2−32，求实数a 的取值范围．【答案】 f ′(x)=x 2−ax+2x ，x >0，令g(x)＝x 2−ax +2，△＝a 2−8，①当a ≤0或△≤0即a ≤2√2时，f′(x)≥0恒成立，此时f(x)在(0, +∞)上单调递增； ②当{a >0△>0 ，即a >2√2时，由f′(x)>0得，0<x <a−√a2−82或x >a+√a2+82；由f′(x)<0得，a−√a2−82<x <a+√a 2−82；∴ 函数f(x)在(0,a−√a2−82),(a+√a 2+82,+∞)上单调递增，在(a−√a2−82,a+√a 2+82)上单调递减；综上所述，当a ≤2√2时，f(x)在(0, +∞)上单调递增；当a >2√2时，f(x)在(0,a−√a 2−82),(a+√a 2+82,+∞)上单调递增，在(a−√a 2−82,a+√a 2+82)上单调递减；由（1）知，当a >2√2时，f(x)有两极值点x 1，x 2(x 2>x 1)，由（1）得x 1，x 2为g(x)＝x 2−ax +2＝0的两根，于是x 1+x 2＝a ，x 1x 2＝2，∴ f(x 2)−f(x 1)=21n x 2x 1+12(x 22−x 12)−a(x 2−x 1)=21n x 2x 1−x 2x 1+x1x 2，令t =x 2x 1(t >1)，则f(x 2)−f(x 1)=ℎ(t)=21nt −t +1t ， ∵ ℎ(t)=2t −1−1t2=−(t−1)2t 2<0，∴ ℎ(t)在(1, +∞)上单调递减，由已知ℎ(t)＝f(x 2)−f(x I )的最大值为2ln2−32，而ℎ(2)＝2ln2−32，所以t ＝2，设t 的取值集合T ，则只要满足T ⊆[2, +∞)且T 中的最小元素为2的T 集合都满足题意，又12a 2=(x 1+x 2)2x 1x 2=t +1t +2，易知φ(t)=t +1t +2在[2, +∞)上单调递增，结合a >2√2，可得a 与t 是一一对应关系，而当t ＝2，即x2x 1=2时，联合x 1x 2＝2，解得x 2＝2，x 1＝1，进而可得a ＝3，∴ 实数a 的取值范围为[3, +∞)或[3, +∞)的任意最小元素为3的子集．【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】（1）求导，解关于导函数的不等式即可讨论得到单调性情况；（2）首先根据已知条件可求得x 2＝2，x 1＝1，由此求得此时的a ＝3，再根据题意即可求得实数a 的取值范围．【解答】 f ′(x)=x 2−ax+2x，x >0，令g(x)＝x 2−ax +2，△＝a 2−8，①当a ≤0或△≤0即a ≤2√2时，f′(x)≥0恒成立，此时f(x)在(0, +∞)上单调递增； ②当{a >0△>0 ，即a >2√2时，由f′(x)>0得，0<x <a−√a2−82或x >a+√a2+82；由f′(x)<0得，a−√a2−82<x <a+√a 2−82；∴ 函数f(x)在(0,a−√a2−82),(a+√a 2+82,+∞)上单调递增，在(a−√a 2−82,a+√a 2+82)上单调递减；综上所述，当a ≤2√2时，f(x)在(0, +∞)上单调递增；当a >2√2时，f(x)在(0,a−√a 2−82),(a+√a 2+82,+∞)上单调递增，在(a−√a2−82,a+√a 2+82)上单调递减；由（1）知，当a >2√2时，f(x)有两极值点x 1，x 2(x 2>x 1)，由（1）得x 1，x 2为g(x)＝x 2−ax +2＝0的两根，于是x 1+x 2＝a ，x 1x 2＝2，∴ f(x 2)−f(x 1)=21n x 2x 1+12(x 22−x 12)−a(x 2−x 1)=21n x 2x 1−x 2x 1+x1x 2，令t =x 2x 1(t >1)，则f(x 2)−f(x 1)=ℎ(t)=21nt −t +1t ， ∵ ℎ(t)=2t −1−1t2=−(t−1)2t 2<0，∴ ℎ(t)在(1, +∞)上单调递减，由已知ℎ(t)＝f(x 2)−f(x I )的最大值为2ln2−32，而ℎ(2)＝2ln2−32，所以t ＝2，设t 的取值集合T ，则只要满足T ⊆[2, +∞)且T 中的最小元素为2的T 集合都满足题意，又12a 2=(x 1+x 2)2x 1x 2=t +1t +2，易知φ(t)=t +1t +2在[2, +∞)上单调递增，结合a >2√2，可得a 与t 是一一对应关系，而当t ＝2，即x2x 1=2时，联合x 1x 2＝2，解得x 2＝2，x 1＝1，进而可得a ＝3，∴ 实数a 的取值范围为[3, +∞)或[3, +∞)的任意最小元素为3的子集．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题申任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为{x =1+rcosφy =rsinφ（r >0，φ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1经过点P(2, π3)，曲线C 2的直角坐标方程为x 2−y 2＝1．（1）求曲线C 1的普通方程，曲线C 2的极坐标方程；（2）若A(ρ1, α)，B(ρ2, α−π6)是曲线C 2上两点，当α∈(0, π4)时，求1|OA|2+1|OB|2的取值范围．【答案】将曲线C 1的参数方程转化成普通方程为：(x −1)2+y 2＝r 2，由x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，得点P(2, π3)的直角坐标为(1, √3)，代入曲线C 1得r 2＝3， ∴ 曲线C 1的普通方程为：(x −1)2+y 2＝3， C 2可化为ρ2cos 2θ−ρ2sin 2θ＝1，即ρ2cos2θ＝1，∴ 曲线C 2的极坐标方程ρ2cos2θ＝1，将点A(ρ1, α)，B(ρ2, α−π6)是曲线C 2的极坐标方程，得p 12cos2α=1，ρ22cos(2α−π3)=1， ∴ 1|OA|2+1|OB|2=1ρ12+1ρ22=cos2α+cos(2α−π3)=32cos2α+√32sin2α=√3sin(2α+π3)．当α∈(0, π4)时，2α+π3∈(π3,5π6)，于是√3sin(2α+π3)∈(√32,√3]．所以1|OA|2+1|OB|2的取值范围是(√32,√3]．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】（1）将参数方程转化成普通方程，直角坐标方程转化成极坐标方程；（2）将点带入可求等式，将所求转化成极坐标表示的长度，联立带入化简，计算，求值．将曲线C 1的参数方程转化成普通方程为：(x −1)2+y 2＝r 2，由x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，得点P(2, π3)的直角坐标为(1, √3)，代入曲线C 1得r 2＝3， ∴ 曲线C 1的普通方程为：(x −1)2+y 2＝3， C 2可化为ρ2cos 2θ−ρ2sin 2θ＝1，即ρ2cos2θ＝1，∴ 曲线C 2的极坐标方程ρ2cos2θ＝1，将点A(ρ1, α)，B(ρ2, α−π6)是曲线C 2的极坐标方程，得p 12cos2α=1，ρ22cos(2α−π3)=1， ∴ 1|OA|2+1|OB|2=1ρ12+1ρ22=cos2α+cos(2α−π3)=32cos2α+√32sin2α=√3sin(2α+π3)．当α∈(0, π4)时，2α+π3∈(π3,5π6)，于是√3sin(2α+π3)∈(√32,√3]．所以1|OA|2+1|OB|2的取值范围是(√32,√3]．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知关于x 的不等式|x +1|−|2x −1|≤log 12a ，其中a >0．（1）当a ＝4时，求不等式的解集；（2）若该不等式对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】当a ＝4时，关于x 的不等式|x +1|−|2x −1|≤log 12a =−2，当x ≥12时，x +1−(2x −1)≤−2，解得x ≥4，综合可得x ≥4；当x ≤−1时，−x −1+(2x −1)≤−2，解得x ≤0，综合可得x ≤−1；当−1<x <12时，x +1+(2x −1)≤−2，解得x ≤−23，综合可得−1<x ≤−23，综上可得原不等式的解集为(−∞, −23]∪[4, +∞)；设函数f(x)＝|x +1|−|2x −1|＝|x +1|−|x −12|−|x −12| ≤|x +1−(x −12)|−0=32，可得x =12时，f(x)取得最大值32，若该不等式对x ∈R 恒成立，可得log 12a ≥32，解得0<a ≤√24．不等式恒成立的问题绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）由绝对值的意义，讨论x 的范围，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；（2）设函数f(x)＝|x +1|−|2x −1|，运用绝对值不等式的性质可得f(x)的最大值，由恒成立思想，解对数不等式可得所求范围．【解答】当a ＝4时，关于x 的不等式|x +1|−|2x −1|≤log 12a =−2，当x ≥12时，x +1−(2x −1)≤−2，解得x ≥4，综合可得x ≥4；当x ≤−1时，−x −1+(2x −1)≤−2，解得x ≤0，综合可得x ≤−1；当−1<x <12时，x +1+(2x −1)≤−2，解得x ≤−23，综合可得−1<x ≤−23，综上可得原不等式的解集为(−∞, −23]∪[4, +∞)；设函数f(x)＝|x +1|−|2x −1|＝|x +1|−|x −12|−|x −12| ≤|x +1−(x −12)|−0=32，可得x =12时，f(x)取得最大值32，若该不等式对x ∈R 恒成立，可得log 12a ≥32，解得0<a ≤√24．。

四川省绵阳市2020届高三数学上学期第二次诊断性考试试题理

四川省绵阳市2020届高三数学上学期第二次诊断性考试试题理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集U= {x|x>0}，M={x|l<e x <e 2}，则M C U = A.(1,2) B.(2,+∞) C.(0,1] ∪[2,+∞) D.[2,+∞)2.已知i 为虚数单位，复数z 满足z ·i=1+2i ，则z 的共轭复数为A ．2-iB ．l-2iC ．2+iD ．i-23．已知两个力F 1=(l ，2)，F 2=(-2，3)作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力F 3，则F 3=A.(1，-5) B ．(-1，5） C ．(5，-1) D ．（-5，l ）4．甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为A5．已知α为任意角，则“cos2αsin α A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要6．若 5的展开式中各项系数的和为l ，则该展开式中含x 3项的系数为 A ．-80 B ．-10 C ．10 D ．807．己知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表：若根据表中的数据用最小二乘法求得y 对x 的回归直线方程为y= 6.5x+9，则下列说法中错误的是A. m 的值是20B. 该回归直线过点(2，22)C ．产品的销售额与广告费用成正相关D. 当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元8a>0，b>0）的右焦点为F，过F作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A，B两点，若四边形OAFB (O为坐标原点)的面积为bc，则双曲线的离心率为9．小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分，现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为x,则X的期望为A．1 B．2 C．3 D.410.已知圆C：x2 +y2 -6x-8y+9=0，点M,N在圆C上，平面上一动点P满足|PM|=|PN|且PM⊥PN,则|PC|的最大值为．4 D．11.己知f(x)为偶函数，且当x≥0f(log2的实数m的取值范围为A．（2） B．(0，2) C．(0，2) D．(2，+∞)12．函数f(x)=(2ax-1)2-log a(ax+2上恰有一个零点，则实数a的取值范围是∞) C.(1,2) ∪[3, +∞) D.[2,3)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．直线l1：ax-(a+l)y-1=0与直线4x-6y+3=0平行，则实数a的值是．14.法国数学家布丰提出一种计算圆周率π的方法一一随机投针法。

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