高考数学全真模拟试题六扫描版
2020届江苏省高三高考全真模拟(六)数学试题(解析版)
【详解】
因为任何时刻军舰A，B，C均不得在同一条直线上，所以构成 ，记角A，B，C的对边分别为a，b，c.
（1）在 中， ， ，
12．在 中角A，B，C的对边分別为a，b，c，且 ，则 的值为______.
【答案】
【解析】设比值为 ，这样可表示出 ，从而用余弦定理后可求得 ，再由余弦定理可求得 ．
【详解】
设 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
不妨取 ，则
所以 .
故答案为： ．
【点睛】
本题考查余弦定理，解题关键是对连比问题引入参数，即设 ，然后用参数 表示出 ．
10．已知 是定义在R上的偶函数，且在 上单调递减，则满足不等式 的实数a的取值集合为______.
【答案】
【解析】利用偶函数把不等式化为 ，然后再由单调性去掉函数符号“ ”，从而可求解．
【详解】
因为 是定义在R上的偶函数，所以 .
又因为 ， 在 上单调递减，
所以不等式 化为
即 ，从而 ，所以 .
故答案为： ．
故 .
答：C与D间的最大距离为 .
【点睛】
本题考查正弦定理解三角形的应用，考查直线与圆的实际应用．直线与圆的应用中关键是建立平面直角坐标系，求出动点 的轨迹方程，问题转化为求圆外一点到圆上点的距离的最大值．
18．在平面直角坐标系xOy中已知椭圆 ，焦点在x轴上的椭圆 与 的离心率相同，且椭圆 的外切矩形ABCD（两组对边分别平行于x轴、y轴）的顶点在椭圆 上.
【答案】36
【解析】三种态度层次分明，采取分层抽样可得结论．
2020高考数学(理科)全真模拟卷六(含答案解析)
2020高考全真模拟卷六数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}1,2A =，{}1,1,1B a =-+且A B ⊆，则a =（ ） A ．1B ．0C ．1-D ．22．命题“存在x 0∈R ，使得x 02﹣2x 0+1＜0”的否定为（ ） A ．任意x ∈R ，都有x 2﹣2x +1＞0 B ．任意x ∈R ,都有x 2﹣2x +1≥0 C ．任意x ∈R ，都有x 2﹣2x +1≤0 D ．不存在x ∈R ,使得x 2﹣2x +1≥03．i 为虚数单位，复数(1)(3)i i -+=（ ） A ．3i -B ．42i -C ．2D ．42i +4．高三年级有8个班级，分派4位数学老师任教，每个教师教两个班，则不同的分派方法有（ ） A ．22228642P P P PB ．22822642C C C CC ．22224s s 424C C C C PD ．222286424!C C C C5．已知,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，且l αP ，m β⊥，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．若αβ∥，则l β∥B ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若l m ⊥，则l β∥D ．若αβ∥，则m α⊥6．若正数,a b 满足：121a b +=，则2112a b +--的最小值为（ ） A ．2B ．322C ．52D ．3214+7．已知数列{}n a 是等差数列，且1472a a a π++=，则35t (an )a a +的值为（ ）. A ．3B ．3-C ．33D ．33-8．执行如图所示的程序框图，输出的S (= )A ．25B ．9C ．17D ．209．斜率为33的直线l 过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，若l 与圆22:(2)4M x y -+=相切，则p =（ ） A ．12B ．8C ．10D ．610．已知函数22()1log log (4)=+--f x x x ，则（ ） A ．()y f x =的图像关于直线2x =对称 B ．()y f x =的图像关于点(2,1)对称 C ．()f x 在(0,4)单调递减 D ．()f x 在(0,4)上不单调11．函数2()1sin 1e xf x x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是 A ． B ．C ．D ．12．已知直线y kx =与双曲线C ：()222210,0x ya b a b-=>>相交于不同的两点A ，B ，F 为双曲线C 的左焦点，且满足3AF BF =，OA b =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2B ．3C ．2D ．5第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学全真模拟卷六
________.
16．古希腊毕达哥拉斯学派研究了“多边形数”，人们把多边形数推广到空间，研究了“四面体数”，下图是第一至第四
个四面体数，（已知12 22 32 n2 n n 12n 1 ）
6
观察上图，由此得出第 5 个四面体数为______（用数字作答）；第 n 个四面体数为______.（本题第一空 2 分，第二空 3
n
xi x 2 yi y 2
i 1
i 1
7
7
参考数据： y 4.3 ， yi y 2 7.08 ， ti t yi y 14 ， 198.24 14.08 .
i 1
i 1
20．（12 分）如图，已知四边形 ABCD 为等腰梯形， BDEF 为正方形，平面 BDEF 平面 ABCD ， AD / / BC, AD AB 1， ABC 60 .
D．以上结论都不对 5．已知直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AC＝BC，M，N 分别是 A1B1，AB 的中点，P 点在线段 B1C 上，则 NP 与平面 AMC1 的位置关系是（ ）
A．垂直 B．平行
C．相交但不垂直
D．要依 P 点的位置而定
6．已知
cos
2
2 cos
，且
tan
1 3
，则
①“若 x2 5x 6 0 ，则 x 2 或 x 3 ”的否命题为“若 x2 5x 6 0 ，则 x 2 或 x 3”； ②“ ( 1 )x ( 1 )y ”是“ ln x ln y ”的充要条件；
22 ③“函数 f (x) log 2 x m 在 (16, ) 上无零点”的充分不必要条件是“ m 3 ”．
(1)求证：平面 CDE 平面 BDEF ； (2)点 M 为线段 EF 上一动点，求 BD 与平面 BCM 所成角正弦值的取值范围.
2020届江苏省高三高考全真模拟考试(六)数学试卷及解析
2020届江苏省高三高考全真模拟考试（六）数学试卷★祝考试顺利★(解析版)数学Ⅰ试题注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本试卷共4页,均为非选择题(第1题~第20题,共20题).本卷满分为160分,考试时间为120分钟考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米色水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘點的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符.4.作答试题必须用0.5毫米色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答,在其他位置作答律无效.5.如需作图,须用2B 铅笔绘、写楚,线条、符号等须加黑、加粗.A.必做题部分一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上1.已知集合{1,0,2}A =-,{}0,1,2,3B =,则A B =______.【答案】{1,0,1,2,3}-【解析】根据并集的定义求解．【详解】由题意1,0,1{,2,}3A B =-．故答案为：{1,0,1,2,3}-．2.复数1z 2i i+=-（i 为虚数单位）实部为______. 【答案】15【解析】 由复数除法法则计算出z ,再由复数的定义得结论． 【详解】由已知1z 2i i +=-2(1)(2)2213(2)(2)555i i i i i i i i +++++===+-+,其实部为15． 故答案为：15． 3.某新媒体就我国提前进入“5G 移动通信技术”商用元年的欢迎程度进行调查,参加调查的总人数为1000其中持各种态度的人数如下表：该媒体为进一步了解被调查者的具体想法,打算从中抽取50人进行更为详细的调查,则应抽取持“很欢迎”态度的人数为______.【答案】36【解析】三种态度层次分明,采取分层抽样可得结论．【详解】应用采取分层抽样,抽取持“很欢迎”态度的人数为72050361000⨯=． 故答案为：36．4.执行如图所示的伪代码,则输出的S 的值为______.【答案】8【解析】模拟程序运行,观察变量值的变化,即可得结论．【详解】程序运行,循环中变量值变化如下：2,2S i ==,满足循环条件；4,3S i ==,满足循环条件；6,4S i ==,满足循环条件；8,5S i ==,不满足循环条件,退出循环,输出8S =．。
2020届天一大联考高考全真模拟卷(六)数学(理)试题(解析版)
3．港珠澳大桥是中国境内一座连接中国香港、广东珠海和中国澳门的桥隧工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难度以及顶尖的建造技术闻名世界，为内地前往香港的游客提供了便捷的交通途径，某旅行社分年龄统计了大桥落地以后，由香港大桥实现内地前往香港的老中青旅客的比例分别为 ，现使用分层抽样的方法从这些旅客中随机抽取 名，若青年旅客抽到60人，则（）
本题主要考查了等差数列、等比数列的通项公式和前n项和公式的综合应用，其中对于数列与不等式的交汇问题，往往具有很强的综合性，在对待不等式的证明过程中，往往使用放缩法进行求解，因此在平时的解题过程中要积累常用的放缩技巧，着重考查运算求解能力、逻辑推理能力以及化归与转化思想..
18．如图，在四棱锥 中，
（1）求证：平面 平面
所以 ，解得 人.
故选:C.
【点睛】
本题主要考查了分层抽样的概念及计算方法，其中解答中熟记分层抽样的计算方法是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.
4． 的展开式中，常数项为（）
A． B．13440C． D．3360
【答案】B
【解析】先求得二项展开式的通项，令 ，解得 ，代入即可求解.
【详解】
14．已知正方体 中，点 是线段BC的中点，点F是线段CD是靠近D的三等分点，则直线 与直线 所成角的余弦值为___________
【答案】
【解析】延长 至 ，使得 ，延长 至 ，使得 ，取 ，显然 ，得到 即为直线和直线所成的角或补角，再 中，即可求解.
2020高考数学(理)全真模拟卷6(附解析)
备战2020高考全真模拟卷6数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}1,2A =，{}1,1,1B a =-+且A B ⊆，则a =（ ）A ．1B ．0C ．1-D ．2【答案】A【解析】【分析】由题知：12a +=，解得：1a =.【详解】因为A B ⊆，所以，解得：1a =.故选：A【点睛】本题考查集合的子集关系，理解子集的概念是关键，属于简单题.2．命题“存在x 0∈R ，使得x 02﹣2x 0+1＜0”的否定为（ ）A ．任意x ∈R ，都有x 2﹣2x +1＞0B ．任意x ∈R ,都有x 2﹣2x +1≥0C ．任意x ∈R ，都有x 2﹣2x +1≤0D ．不存在x ∈R ,使得x 2﹣2x +1≥0【答案】B【解析】【分析】直接根据特称命题的否定判断即可.【详解】“存在x 0∈R ,使得x 02﹣2x 0+1＜0”的否定为“任意x ∈R ,都有x 2﹣2x +1≥0.”故选：B【点睛】本题主要考查了特称命题的否定,属于基础题型.3．i 为虚数单位，复数(1)(3)i i -+=（ ）A ．3i -B ．42i -C ．2D ．42i +【答案】B【解析】【分析】根据复数的乘法运算,展开化简即可求解.【详解】由复数的乘法运算可得(1)(3)i i -+2=33i i i +--=42i -故选:B【点睛】本题考查了复数的乘法与加法运算,属于基础题.4．高三年级有8个班级，分派4位数学老师任教，每个教师教两个班，则不同的分派方法有（） A ．22228642P P P P B ．22822642C C C C C ．22224s s 424C C C C P D ．222286424!C C C C【答案】B【解析】【分析】根据题意，依次分析4位老师的任教分配的方法数目，由分步计数原理计算可得答案.【详解】根据题意，对于4位老师按先后分4步进行讨论:第一位老师，从8个班级中任选2个，安排其任教,有28C 种分派方法；第二位老师，从剩下的6个班级中任选2个，安排其任教，有26C 种分派方法；第三位老师，从剩下的4个班级中任选2个，安排其任教，有24C 种分派方法；第四位老师，还剩2个班级,安排其任教，有22C 种分派方法；故不同的分派方法有22822642C C C C 种；故选: B.【点睛】本题主要考查的是分步计数原理的应用，考查学生的分析问题解决问题能力，是基础题.5．已知,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，且l αP ，m β⊥，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．若αβ∥，则l β∥B ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若l m ⊥，则l β∥D ．若αβ∥，则m α⊥ 【答案】D【解析】【分析】利用线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择.【详解】选项A,C 直线l 可能在β平面内，故不正确；选项B, 若αβ⊥，m β⊥，则，m αP 或m 在平面α内，而l αP ，故l 与m 可能平行，相交或异面，故不正确；对于选项D ：由 m β⊥， αβ∥，结合面面平行的性质和线面垂直的判定定理，可得出直线m α⊥，故为正确.故选：D【点睛】本题考查了线面平行、面面平行、线面垂直的性质定理和判定定理，注意定理成立的条件，属于基础题. 6．若正数,a b 满足：121a b +=，则2112a b +--的最小值为（ ） A ．2B ．322C ．52D ．3214+ 【答案】A【解析】【分析】 把121a b+=化为()()122a b --=，利用基本不等式可求最小值. 【详解】 因为121a b +=，,a b 为正数，所以1201,01a b<<<<，从而1,2a b >>. 又121a b +=可化为()()122a b --=，故2121221212a b a b +≥⨯=----，当且仅当3,3a b ==时等号成立， 所以2112a b +--的最小值为2. 故选：A.【点睛】本题考查基本不等式的应用，应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.7．已知数列{}n a 是等差数列，且1472a a a π++=，则35t (an )a a +的值为（ ）.A ．3B ．3-C ．33D ．33- 【答案】A【解析】试题分析：1472a a a π++=，所以443543524432,,2,tan()tan 3333a a a a a a a ππππ==+==+== 考点：1、等差数列；2、三角函数求值.8．执行如图所示的程序框图，输出的S (= )A ．25B ．9C ．17D ．20【答案】C【解析】【分析】直接利用循环结构，计算循环各个变量的值，当41620T S =+=>，不满足判断框的条件，退出循环输出结果即可．【详解】按照程序框图依次执行为1S =，0n =，0T =；S 9=，2n =，044T =+=；17S =，4n =，41620T S =+=>，退出循环，输出17S =．故应选C ．【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9．斜率为33的直线l 过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，若l 与圆22:(2)4M x y -+=相切，则p =（ ）A ．12B ．8C ．10D ．6 【答案】A【解析】【分析】 由直线的斜率为33可得倾斜角为30°，数形结合分析可得. 【详解】 解：因为直线的斜率为33，所以倾斜角为30°，即30MFA ∠=︒ 结合题意作图，由图可得||2||4MF AM ==，2242p r ∴-==，解得12p =.故选：A .【点睛】本题考查直线与圆的综合应用，以及抛物线的标准方程，属于基础题.10．已知函数22()1log log (4)=+--f x x x ，则（ ）A ．()y f x =的图像关于直线2x =对称B ．()y f x =的图像关于点(2,1)对称C ．()f x 在(0,4)单调递减D ．()f x 在(0,4)上不单调【答案】B【解析】【分析】观察函数的特点，求出定义域，在定义域内根据选项代入特殊值判断函数的对称性和单调区间，再进一步证明.【详解】 解：040x x >⎧⎨->⎩，得函数定义域为(0,4)， 222(1)1log log (41)1l 13og f =+--=-，222(3)1log log (43)1l 33og f =+--=+，所以(1)(3)f f ≠，排除A ；(1)(3)f f <，排除C ；2log x 在定义域内单调递增，2log (4)x -在定义域内单调递减，故22()1log log (4)=+--f x x x 在定义域内单调递增，故排除D ；现在证明B 的正确性：2222()(4)1log log (4)1log (4)log 2f x f x x x x x +-=+--++--=，所以()y f x =的图像关于点(2,1)对称，故选：B.【点睛】本题考查函数的基本性质，定义域、单调性、对称性，是中档题.11．函数2()1sin 1e x f x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭图象的大致形状是 A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题可得()21e 1sin sin 1e 1e x x x f x x x -⎛⎫=-=⋅ ⎪++⎝⎭， 则()()()()1e e 11e sin sin sin 1e e 11e x x xx x xf x x x x f x ------=⋅-=⋅-=⋅=+++， 则()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B ，D ；当1x =时，()1e 1sin101ef -=⋅<+，排除A ， 本题正确选项为C.【名师点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数奇偶性和对称性的性质以及函数值的对应性，利用排除法是解决本题的关键．解答本题时，根据条件先判断函数的奇偶性和对称性，利用()1f 的值的符号进行排除即可．12．已知直线y kx =与双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>相交于不同的两点A ，B ，F 为双曲线C 的左焦点，且满足3AF BF =，OA b =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．5【答案】B【解析】【分析】如图所示：1F 为双曲线右焦点，连接1AF ，计算得到13,AF a AF a ==，再利用余弦定理得到2221022a c b =+，化简得到答案.【详解】如图所示：1F 为双曲线右焦点，连接1AF ，根据对称性知1BF AF =133AF BF AF ==，12AF AF a -=，13,AF a AF a ==在AOF ∆和1AOF ∆中，分别利用余弦定理得到：22292cos a c b bc AOF =+-∠，22212cos a c b bc AOF =+-∠ 两式相加得到22222102233a c b c a e =+∴=∴=故选：B【点睛】 本题考查了双曲线的离心率，根据条件计算出13,AF a AF a ==是解题的关键.第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2024年高考数学全真模拟试卷六(新高考、新结构)(全解全析)
2024年高考数学全真模拟试卷六（新高考、新结构）一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知a b ∈R ，，i (3i )i a b -=-（i 为虚数单位），则（）A ．1a =，3b =-B ．1a =-，3b =C ．1a =-，3b =-D ．1a =，3b =【答案】A【解析】因为3i (i)i 1i a b b -=-=+，所以1,3a b ==-.故选A2．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若122a a =，公差0,0m d S ≠=，则m 的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】由已知()12122a a a d ==+，得12a d =-，又()()1112022m m m m m S ma d md d --=+=-+=，又0d ≠，所以()1202m m m --+=，解得5m =或0m =（舍去），故选B.3．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert 提出铅酸电池的容量C 、放电时间t 和放电电流I 之间关系的经验公式：C I t λ=，其中λ为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert 常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A 时，放电时间为60h ；当放电电流为25A 时，放电时间为15h ，则该蓄电池的Peukert 常数λ约为（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈）（）A ．1.12B ．1.13C ．1.14D ．1.15【答案】D【解析】由题意知7.5602515C λλ=⨯=⨯，所以410325607.515λλ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫== ⎪⎝⎭，两边取以10为底的对数，得10lg2lg 23λ=，所以2lg 220.301 1.151lg310.477λ⨯=≈≈--，故选D.4．已知向量,a b 满足||2,(2,0)a b ==，且||2a b += ，则,a b 〈〉= （）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】C【解析】由已知||2,2a b == ，所以()22224222cos ,44a ba b a b a b +=+⋅+=+⨯⨯⨯〈〉+=r r r r r r r r，得1cos ,2a b 〈〉=- ，又[],0,πa b 〈〉∈ ，所以2π,3a b 〈〉= .故选C.5．在平面直角坐标系xOy 中，已知()()3,0,1,0,A B P -为圆22:(3)(3)1C x y -+-=上动点，则22PA PB +的最小值为（）A ．34B ．40C ．44D ．48【答案】B【解析】设(),P x y ，则()()222222223122410PA PB x y x y x y x +=+++-+=+++()22218x y ⎡⎤=+++⎣⎦，即22PA PB +等价于点P 到点()1,0Q -的距离的平方的两倍加8，又1PQ QC PC ≥-=514=-=，即22224840PA PB +≥⨯+=.故选B.6．如图，四棱锥A BCDE -是棱长均为2的正四棱锥，三棱锥A CDF -是正四面体，G 为BE 的中点，则下列结论错误的是（）A ．点,,,ABC F 共面B ．平面ABE 平面CDF C ．FG CD ⊥D ．FG ⊥平面ACD【答案】D【解析】选项A ：如图，取CD 中点H ，连接GH ，FH ，AG ，AH ，因为A BCDE -是正四棱锥，A CDF -是正四面体，G 为BE 的中点，所以CD GH ⊥，CD AH ⊥，CD FH ⊥，因为GH AH H = ，,GH AH ⊂平面AGH ，所以CD ⊥平面AGH ，因为AH FH H = ，,AH FH ⊂平面AFH ，所以CD ⊥平面AFH ，所以,,,A G H F 四点共面，由题意知3AG HF ==2GH AF ==，所以四边形AGHF是平行四边形，所以GH AF ∥，因为BC GH ∥，所以BC AF ∥，所以,,,A B C F 四点共面，故A 说法正确；选项B ：由选项A 知AG FH ∥，又AG ⊄平面CDF ，FH ⊂平面CDF ，所以AG 平面CDF ，因为CD BE ∥，且BE ⊄平面CDF ，CD ⊂平面CDF ，所以BE 平面CDF ，又AG ⊂平面ABE ，BE ⊂平面ABE ，且AG BE G = ，所以平面ABE 平面CDF ，故B 说法正确；C 选项：由选项A 可得CD ⊥平面AGHF ，又FG ⊂平面AGHF ，所以FG CD ⊥，故C 说法正确；D 选项：假设FG ⊥平面ACD ，因为AH ⊂平面ACD ，则FG AH ⊥，由选项A 知四边形AGHF 是平行四边形，所以四边形AGHF 是菱形，与3AG =2GH =矛盾，故D 说法错误;故选D7．甲､乙两人进行一场友谊比赛，赛前每人记入3分．一局比赛后，若决出胜负，则胜的一方得1分，负的一方得1-分；若平局，则双方各得0分．若干局比赛后，当一方累计得分为6时比赛结束且该方最终获胜．令i P 表示在甲的累计得分为i 时，最终甲获胜的概率，若在一局中甲获胜的概率为0.5，乙获胜的概率为0.3，则1P =（）A ．555535-B ．666535-C ．5662553⨯-D ．677553-【答案】C【解析】由题意可知：i 的取值集合为{}0,1,2,3,4,5,6，且060,1P P ==，在甲累计得分为1时，下局甲胜且最终甲获胜的概率为20.5P ，在甲累计得分为1时，下局平局且最终甲获胜的概率为10.2P ，在甲累计得分为1时，下局甲败且最终甲获胜的概率为00.3P ，根据全概率公式可得12100.50.20.3P P P P =++，整理得2108355P P P =-，变形得()211035P P P P -=-，因为100P P ->，则211035P P P P -=-，同理可得324354652132435435P P P P P P P P P P P P P P P P ----====----，所以{}()10,1,2,,5i i P P i +-= 是公比为35的等比数列，所以()()11030,1,2,,55i i i P P P P i +⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭ ，各项求和得()()551101135i i i i i P P P P +==⎡⎤⎛⎫-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑，则()661103355315P P P P ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=-⋅-，即61133551315P P ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=⋅-，解得51662553P ⨯=-．故选C.8．已知0,2a b c <<>，且12212,e (1),2ln2bab c c a==+=，则（）A ．b a c <-<B ．a b c -<<C ．c a b <-<D ．b c a<<-【答案】B 【解析】令1t a=，则22t t =，令()22,0t f t t t =-<，则()2ln 220t f t t '=->在(),0t ∈-∞上恒成立，故()22t f t t =-在(),0t ∈-∞上单调递增，且()11102f -=-<，110224f ⎛⎫-=-> ⎪⎝⎭，故112t -<<-，故()1,2a -∈，令()()2e 1x g x x =-+，0x >，则()()e 21x g x x '=-+，令()()e 21x q x x =-+，则()e 2x q x '=-，令()0q x '>得ln 2x >，令()0q x '<得0ln 2x <<，故()()e 21xq x x =-+在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增，则()()ln 222ln 210q =-+<，()22e 60q =->，由零点存在性定理可得，存在()0ln 2,2x ∈，使得()00q x =，且()()2e 1x g x x =-+在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，又()00g =，故()()000g x g <=，又()22e 90g =-<，()33e 160g =->，故()2,3b ∈，令()2ln 2,2h x x x x =->，则()21h x x'=-，当2x >时，()0h x '>，故()2ln 2h x x x =-在()2,+∞上单调递增，又因为()446ln 20h =-<，()552ln100h =->，故()4,5c ∈，综上，a b c -<<.故选B二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9．已知()()1,1,2,1AB AC =-= ,则下列结论正确的是（）A ．()3,0BC =B ．()25AB BC AC ⋅-=C．cos ,AB AC = D ．若()3,1AB AC λμμλ+=+,则2μλ-=【答案】ACD【解析】对于A ，()3,0BC AC AB =-= ,故A 正确;对于B ，因为()24,1BC AC -=-,所以()25AB BC AC ⋅-=- ,故B 错误;对于C，因为1,AB AC AB AC ⋅=-==所以cos ,10AB AC ==,故C 正确;对于D ，()()2,3,1AB AC λμμλμλμλ+=-+=+ ,所以231μλμμλλ-=⎧⎨+=+⎩,解得1,1λμ=-=,则2μλ-=,故D 正确.故选ACD.10．关于方程[]()22cos 10,πx y αα+=∈表示的曲线Γ，下列说法正确的是（）A ．Γ可以表示两条平行的直线，且这两条直线的距离为2B ．若Γ为双曲线，则α为钝角C ．若α为锐角，则Γ为焦点在y 轴上的椭圆D ．若Γ为椭圆，P 为椭圆Γ上不与长轴顶点,A B 重合的点，则cos PA PB k k α⋅=-【答案】AD【解析】对于A 项，当cos 0α=，即π2α=时，方程为21y =，解得1y =±，因此Γ可以表示两条平行的直线，且这两条直线的距离为2，故A 选项正确；对于B 项，若Γ为双曲线，则cos 0α<，即ππ2α<≤，故α为钝角或平角，故B 选项错误；对于C 项，若α为锐角，则0cos 1α<<，即11cos α>.将原方程化为标准方程为2211cos x y α+=⎛⎫⎪⎝⎭，因此Γ为焦点在x 轴上的椭圆，故C 选项错误；对于D 项，若Γ为椭圆，则α为锐角，设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，则221,1cos a b α==，不妨设()()()00,0,,0,,A a B a P x y -，将点P 的坐标代入椭圆方程得2200cos 1x y α+=，即22001cos y x α=-，故22000022200001cos cos 1cos PA PBy y y x k k x a x a x a x ααα-⋅=⋅===-+---，故D 选项正确.故选AD ．11．对于集合A 中的任意两个元素,x y ，若实数(),d x y 同时满足以下三个条件：①“(),0d x y =”的充要条件为“x y =”；②()(),,d x y d y x =；③z A ∀∈，都有()()(),,,d x y d x z d y z ≤+．则称(),d x y 为集合A 上的距离，记为A d ．则下列说法正确的是（）A ．(),d x y x y =-为d RB ．(),sin sin d x y x y =-为d RC ．若()0,A =+∞，则(),ln ln d x y x y =-为Ad D ．若d 为R d ，则1e d -也为R d （e 为自然对数的底数）【答案】AC【解析】对于A ，(),d x y x y =-，即x y =，①，(),0d x y =，即(),0d x y x y =-=，即x y =，若x y =，则(),0d x y x y x x =-=-=，所以“(),0d x y =”的充要条件为“x y =”.②，()(),,d x y x y y x d y x =-=-=，成立，③，,,R x y z ∀∈，()()x y x z z y x z z y -=-+-≤-+-，故A 正确；对于B ，(),sin sin d x y x y =-，①，(),0d x y =，即(),sin sin 0d x y x y =-=，即sin sin x y =，此时若0,πx y ==，则x y ≠，故B 错误；对于C ，(),ln ln d x y x y =-，①，(),0d x y =即ln ln ln0xx y y-==，即1x y =，得x y =，若x y =，则(),ln ln ln ln 0d x y x y x x =-=-=，所以“(),0d x y =”的充要条件为“x y =”.②，()(),ln ln ln ln ,d x y x y y x d y x =-=-=，成立；③，()()(),ln ln ln ln ln ln d x y x y x z z y =-=-+-()()ln ln ln ln ,,x z z y d x z d y z ≤-+-=+，故成立，故C 正确；对于D ，设,x y ∀∈R ，(),d x y x y =-，则()1,1e e x y d x y ---=，①,若(),0d x y =，则0x y -=，即x y =，111e e 0x y d e ----==≠，故D 错误.故选AC.三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分.12．函数()()2312(2)log 22x f x x a +=+-+是偶函数，则=a .【答案】38【解析】因为()()2312(2)log 22x f x x a +=+-+是偶函数，可得()()()31231228log 83022x x f x f x ax a x +-++--=-=-=+，所以38a =.13．《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，羡除ABCDEF 中，底面ABCD 是正方形，//EF 平面ABCD ，ADE V 和BCF △均为等边三角形，且26EF AB ==．则这个几何体的外接球的体积为．【答案】36π【解析】连接BD ，分别取EF 、BD 、AD 中点G 、H 、I ，连接GH 、HI 、EI ，由底面ABCD 是正方形，//EF 平面ABCD ，ADE V 和BCF △均为等边三角形，故//EG IH ，GH ⊥底面ABCD ，又26EF AB ==，故3EG AD AB ===，则22EI AD ==，故2GH ==，由H 为底面正方形中心，HG IH ⊥，故羡除ABCDEF 外接球球心O 在直线GH 上，连接OI 、OE 、OA ，设半径为r ，OH a =，则==OA OE r ,由GH ⊥底面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，故GH AD ⊥，又AD IH ⊥，IH 、GH Ì平面IOH ，故AD ⊥平面IOH ，又IO ⊂平面IOH ，故AD IO ⊥，故2222232IO r AI r ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，又222223+2IO OH IH a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故有222233+22r a ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即229+2r a =，又2222227322EO r a a ⎛⎫==-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，故有22279+22a a -+=，解得2a =，故22999+9222r a ==+=，即3r =，则这个几何体的外接球的体积为34π36π3V r ==.14．已知函数π2cos (0)4y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一个零点，则ω的取值范围为．【答案】371115(3)(][7]2222,,, 【解析】由题意知函数π2cos (0)4y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一个零点，故函数的最小正周期πππ2ππ082444T ,,ωω≥-=∴≥∴<≤,又ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πππππ44424x ωωω-<-<-，而πππ7π4444ω-<-≤，当ππππ4442ω-<-<时，即03ω<<时，需有πππ3π2242ω<-≤，即3722ω<≤，此时3(3)2,ω∈；当πππ442ω-=时，即3ω=时，ππ5π244ω-=，此时函数在π5π(,24)上无零点，不合题意；当πππ3π2442ω<-<时，即37ω<<时，需有3πππ5π2242ω<-≤，即71122ω<≤，此时711(]22,ω∈；当ππ3π442ω-=时，即7ω=时，ππ13π244ω-=，此时函数在3π13π(,)24上有一零点5π2，符合题意；当3πππ7π2444ω<-≤时，即78ω<≤时，需有5πππ7π2242ω<-≤，即111522ω<≤，此时15(7]2,ω∈；综合上述，得ω的取值范围为371115(3)(][7]2222,,, 三、解答题：本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.15.（13分）近年来“天宫课堂”受到广大中小学生欢迎，激发了同学们对科学知识的探索欲望和对我国航天事业成就的自豪．为领悟航天精神，感受中国梦想，某校组织了一次“寻梦天宫”航天知识竞赛（满分100分），各年级学生踊跃参加．校团委为了比较高一、高二学生这次竞赛的成绩，从两个年级的答卷中各随机选取了50份，将成绩进行统计得到以下频数分布表：成绩[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100高一学生人数1551515高二学生人数10102010试利用样本估计总体的思想，解决下列问题：(1)从平均数与方差的角度分析哪个年级学生这次竞赛成绩更好（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）？(2)校后勤部决定对参与这次竞赛的学生给予一定的奖励，奖励方案有以下两种：方案一：记学生得分为x ，当70x <时，奖励该学生10元食堂代金券；当7090x ≤<时，奖励该学生25元食堂代金券；当90x ≥时，奖励该学生35元食堂代金券；方案二：得分低于样本中位数的每位学生奖励10元食堂代金券；得分不低于中位数的每位学生奖励30元食堂代金券．若高一年级组长希望本年级学生获得多于高二年级的奖励，则他应该选择哪种方案？解：（1）设高一年级学生竞赛成绩的平均数为x ，方差为21s .高二年级学生竞赛成绩的平均数为y ，方差为22s .则6515755851595158150x ⨯+⨯+⨯+⨯==，（1分）2222211[15(6581)5(7581)15(8581)15(9581)]144,50s =⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=（3分）1(6510751085209510)8150y =⨯+⨯+⨯+⨯=，（4分）2222221[10(6581)10(7581)20(8581)10(9581)]161.650s =⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=，（6分）因x y =2212s s <，故高一年级学生这次竞赛成绩比较稳定集中，成绩更好；（7分）（2）按照方案一，高一年级学生获得奖励为：1510(515)2515351175⨯++⨯+⨯=元，而高二年级学生获得奖励为：1010(1020)2510351200⨯++⨯+⨯=元，即按照方案一，高一年级获得奖励少于高二；（9分）按照方案二，依题意，所抽取的100名参加竞赛学生的成绩中位数为90806801082357-+⨯=，则样本中，高一年级学生成绩低于中位数的人数约为682807155152410-++⨯≈人，则高一年级获得奖励为：241026301020⨯+⨯=元；高二年级学生成绩低于中位数的人数约为6828071010202610-++⨯≈人，则高二年级获得奖励为：26102430980⨯+⨯=元.（11分）因1020980>，即按照方案二，高一年级获得奖励多于高二.故若高一年级组长希望本年级学生获得多于高二年级的奖励，则他应该选择方案二.（13分）16．（15分）已知在四边形ABCD 中，ABD △为锐角三角形，对角线AC 与BD 相交于点O，π2,4,4AD AC BD ABD ∠====．(1)求AB ；(2)求四边形ABCD 面积的最大值．解：（1）由余弦定理可得2222πcos 42AB BD AD AB BD +-=⋅，化简为220AB -+=，解得1AB =1，（4分）当1=AB时，因为2146cos 0BAD +-∠=<，与ABD △为锐角三角形不符合，故1AB =.（7分）（2）作,AE CF 垂直BD 于,E F ，设1AOB ∠=∠，（9分）则()1111sin 1sin 1sin 12222ABCD ABD CBD S S S BD AE BD CF BD AO CO BD AC =+=⋅+⋅=∠+∠=⋅∠ ，当sin 11190AC BD ∠=⇒∠=︒⇒⊥，四边形面积最大，最大面积为146262⨯=（15分）17．（15分）如图，在几何体111B C D ABCD -中，平面111//B C D 平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，四边形11BB D D 为平行四边形，四边形11D DCC 为菱形，112,22,120,DC AC D DC E ︒==∠=为棱11C D 的中点，点F 在棱1CC 上，//AE 平面BDF .(1)证明DE ⊥平面ABCD ；(2)求平面1AB D 与平面BDF 夹角的余弦值.解：（1）如图，连接DC 1，因为四边形11D DCC 为菱形，1120︒∠=D DC ，所以160DCC ︒∠=，所以12DC =，因为12,22AD DC AC ===22211AD DC AC +=，所以1AD DC ⊥，又11,,,AD DC DC DC D DC DC ⊂⊥= 平面11CDD C ，所以AD ⊥平面11CDD C ，所以,AD DE AD DC ⊥⊥，（3分）因为四边形11D DCC 为菱形，且1120︒∠=D DC ，所以1111DD DC D C ==，因为E 为棱11C D 的中点，所以11DE C D ⊥，又11//C D CD ，所以DE CD ⊥，（5分）因为,,,DE AD AD DC D AD DC ⊥=⊂ 平面ABCD ，所以DE ⊥平面ABCD .（7分）（2）以D 为坐标原点，,,DA DC DE分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.易知3DE =所以()0,0,0,(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),3)D A B C E ，113),(0,3)C D -，所以1(0,3),(0,2,0),(2,0,3),(2,2,0),(2,0,0)CC DC AE DB DA =-==-== ，1(0,3)DD -= ，设()10,3(01)CF tCC t t t ==-≤≤ ，则(0,2,3)DF DC CF t t =+=- ，（9分）因为//AE 平面BDF ，所以存在唯一的,R λμ∈，使得(2,2,0)(0,2,3)(2,22,3)AE DB DF t t t λμλμλλμμμ=+=+-=+- .所以22,220,33t t λλμμμ=-+-==23t =，所以111114230,,,(2,1,3)33DF DB DD D B DD DB ⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭，（11分）设平面BDF 的法向量为()111,,x n y z = ，则00DF n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以1111423033220y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，取13y =-，则113,23x z ==，故(3,3,23)n =- ，设平面1AB D 的法向量为()222,,m x y z = ，则100DA m DB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以222220230x x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，取23y =，则220,3x z ==-(0,3,3)m =- ，（13分）设平面1AB D 与平面BDF 的夹角为θ，则10cos cos ,43023m n m n m nθ⋅=〈〉===⨯ ，故平面1AB D 与平面BDF 104（15分）18．（17分）已知抛物线C ：()2205y px p =<<上一点M 的纵坐标为3，点M 到焦点距离为5.(1)求抛物线C 的方程：(2)过点()1,0作直线交C 于A ，B 两点，过点A ，B 分别作C 的切线1l 与2l ，1l 与2l 相交于点D ，过点A 作直线3l 垂直于1l ，过点B 作直线4l 垂直于2l ，3l 与4l 相交于点E ，1l 、2l 、3l 、4l 分别与x 轴交于点P 、Q 、R 、S .记DPQ V 、DAB 、ABE 、ERS △的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S .若3412S S S S λ=，求实数λ的取值范围.解：（1）设(),3M t ，由题意可得9252pt p t =⎧⎪⎨+=⎪⎩，即9522p p +=，（2分）解得1p =或9p =（舍去），所以抛物线C 的方程为22y x =.（4分）（2）如图，设经过()11,A x y ，()22,B x y 两点的直线方程为AB l ：1x my =+（m ∈R ，0m ≠），与抛物线方程22y x =联立可得222y my =+，即2220y my --=，2480m ∆=+>∴122y y m +=，122y y =-.∵22y x =，则y =∴'1y y=，（6分）∴过点A 作C 的切线1l 方程为()11111112y y x x y x y y =-+=+，令0y =，得212y x =-，即21,02y P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.同理，过点B 作C 的切线2l 方程为2212y y x y =+，令0y =，得222y x =-，即22,02y Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭.∴222122y y PQ =-.（8分）联立两直线方程11221212y y x y y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得1212122y y x y y y m ⎧==-⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，即()1,D m -，则D 到直线AB l的距离2D AB d -==又∵过点A 作直线3l 垂直于1l ，直线3l 的方程为311111112y y y x x y y y x y =-++=-++，令0y =，得2112y x =+，即211,02y R ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.（10分）同理，直线4l 的方程为32222y y y x y =-++，令0y =，得2212y x =+，即221,02y S ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.∴222122y y RS =-.联立两直线方程3111322222y y y x y y y y x y ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得()2212121212122y y y y x y y y y y ⎧++=+⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，整理后可得2222x m y m⎧=+⎨=⎩，即()222,2E m m +，则E 到直线AB l的距离E AB d -==.（13分）由上可得22211112222D y y S PQ y m =⋅=-，212d AB S AB d -=⋅=，312E AB S AB d -=⋅=，222141122222E y y S RS y m =⋅=-，（15分）∴2123422S S m S S +==，得2212m λ=<+，故λ的取值范围为()0,1.（17分）19．（17分）超越数得名于欧拉，它的存在是法国数学家刘维尔（Joseph Liouville ）最早证明的．一个超越数不是任何一个如下形式的整系数多项式方程的根：11100n n n n a x a x a x a --++++= （0a ，1a ，…，n a ∈Z ，0n a ≠）．数学家证明了自然对数的底数e 与圆周率π是超越数．回答下列问题：已知函数()e x n n n f x b x =-（*n ∈N ）只有一个正零点．(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)（ⅰ）构造整系数方程00n n a x a +=，证明：若N m ∈，则e m 为有理数当且仅当0m =．（ⅱ）数列{}n b 中是否存在不同的三项构成等比数列？若存在，求出这三项的值；否则说明理由．解：（1）若()e x n n n f x b x =-只有一个正零点，可得e ,e 1,x n n x n n b x b x -==（1分）令()e n x g x x -=，()11()e e e n x n x n x g x nx x x n x -----=-=-'，令()0g x '<，(,)x n ∈+∞，令()0g x '>，(0,)x n ∈，故()g x 在(0,)n 上单调递增，在(,)n +∞上单调递减，可得()g x 在x n =处取得最大值，且最大值为()e n n g n x -=，（4分）而当0x →时，()0g x →，当x →+∞时，()0g x →，由题意得，当()g x 最大时，符合题意，故e 1n n n b n -=，即e n n n b n -=⋅.（6分）（2）（ⅰ）若0m =，则e 1m =为有理数；若m 正整数，假设e m 为有理数，则e ,,,0m p y p q q q==∈≠Z ，则方程0q y p ⋅-=的根中有有理数，又在方程0m q x p ⋅-=中，发现e x =是它的根，（8分）而已知e 是超越数，故e 不是方程的根，与0q y p ⋅-=矛盾，即e m 不为有理数；综上所述：m ∈N ，e m 为有理数当且仅当0m =；（10分）（ⅱ）若数列{}n b 中存在不同的三项构成等比数列，则()2e e e e m m n n l l m n ---⋅⋅⋅=⋅，可得22e m n l m n l m n l +--=⋅⋅，由方程右边是有理数知左边是有理数，由上问知当且仅当2m n l +=时成立，故2m n l m n m n l l l ⋅==⋅，则()()1m n m n l l ⋅=，设1m x l-=，则(1)m l x =-，(1)n l x =+，则()()111m n x x -⋅+=，将(1)m l x =-，(1)n l x =+代入进行化简，可得()()(1)111l x l x x x -+-⋅+=，故()()11111l x x x x -+⎡⎤-⋅+=⎣⎦，故()()11111x x x x -+-⋅+=，（14分）构造函数()()()()()1ln 11ln 1f x x x x x =--+++，而()()2ln 10f x x ='-<，知()f x 在其定义域内单调递减，又()00f =，故若()()11111x x x x -+-⋅+=，则有0x =，即2m n l m n l ⋅=成立，当且仅当m n l ==时成立.即数列{}n b 中不存在不同的三项构成等比数列.（17分）。
2020年高考全真模拟卷理科数学06(含解析)
2020年高考全真模拟卷（6）数学（理）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数z =21i+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{}230,{|17},M x x x N x x =->=≤≤，则()R C M N =I （ ）A ．{}37x x <≤B ．{}37x x ≤≤C ．{}13x x ≤≤D ．{}13x x ≤<3．下列叙述中正确的是（ ）A ．函数222()2f x x x =++的最小值是2 B ．“04m <„”是“210mx mx ++…”的充要条件C ．若命题2:,10p x R x x ∀∈-+≠，则2000:,10p x R x x ⌝∃∈-+=D ．“已知,x y R ∈，若1xy <，则,x y 都不大于1”的逆否命题是真命题4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．85．函数3x xe e y x x--=-的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．一个几何体的三视图如右图所示，且其左视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）A B C D ．(4π+7．设a =20．1，b =ln 12，c =log 32，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a8．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．213log 32+B ．2log 3C ．2D ．39．设函数()3sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．()y f x =在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，其图象关于直线4x π=对称B ．()y f x =在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，其图象关于直线2x π=对称C ．()y f x =在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，其图象关于直线4x π=对称D ．()y f x =在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，其图象关于直线2x π=对称10．6(1)(1)ax x -+的展开式中，3x 项的系数为-10，则实数a 的值为（ ）A ．23B ．2C ．2-D ．23-11．已知球O 的半径为R ，,,A B C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为12R ，2AB AC ==，120BAC ︒∠=，则球O 的表面积为（ ）A ．169π B ．163π C ．649π D ．643π 12．若存在0a >，使得函数2()6ln f x a x =与2()4g x x ax b =--的图象在这两个函数图象的公共点处的切线相同，则b 的最大值为（ ） A ．213e -B ．216e -C ．216e D ．213e 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若,x y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为 ．14．已知向量()()1,,2,4a k b =-=-v v ，若()3//a b a +v v v，则实数k = ．15．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线交抛物线C 于P ，Q 两点，交l 于点A ，若3PF FQ =u u u r u u u r ，则AQQF= ． 16．在ABC ∆中，AB AC =，D 为AC 边上的点，且AC 3AD =，4BD =，则ABC ∆面积的最大值为 ．三、解答题：（本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 为等差数列，7210a a -=，且1621a a a ，，依次成等比数列． （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若225n S =，求n 的值．18．（本小题满分12分）某职业学校有2000名学生，校服务部为了解学生在校的月消费情况，随机调查了100名学生，并将统计结果绘成直方图如图所示．（I）试估计该校学生在校月消费的平均数；（II）根据校服务部以往的经验，每个学生在校的月消费金额x（元）和服务部可获得利润y（元），满足关系式：10,200400,30,400800,50,8001200,xy xx≤<⎧⎪=≤<⎨⎪≤≤⎩根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：（i）将校服务部从一个学生的月消费中，可获得的利润记为ξ，求ξ的分布列及数学期望．（ii）若校服务部计划每月预留月利润的14，用于资助在校月消费低于400元的学生，估计受资助的学生每人每月可获得多少元？19．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，//AF DE ，AF AD ⊥，且平面BED ⊥平面ABCD ．（I ）求证：AF CD ⊥；（II ）若60BAD ∠=o ，12AF AD ED ==，求二面角A FB E --的余弦值．20．（本小题满分12分）设直线l 与抛物线22x y =交于A ，B 两点，与椭圆22143x y +=交于C ，D 两点，直线OA ，OB ，OC ，OD （O 为坐标原点）的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，若OA OB ⊥．（I ）是否存在实数t ，满足1234()k k t k k +=+，并说明理由； （II ）求OCD ∆面积的最大值．21．（本小题满分12分） 设函数()ln 1af x x x =+-，()0a > （I ）当130a =时，求函数()f x 的单调递增区间； （II ）若()f x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭内有极值点，当()10,1x ∈，()21,x ∈+∞，求证：()()21423f x f x e ->-．()2.71828e =⋯请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （I ）求曲线C 的极坐标方程；（II ）设,A B 为曲线C 上不同两点（均不与O 重合），且满足4AOB π∠=，求OAB ∆的最大面积．23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分） 设函数()|2||2|f x x x =+-- （I ）解不等式()2f x ≥；（II ）当x ∈R ，01y <<时，证明：11|2||2|1x x y y+--≤+-．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数z =21i+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】由题意得22(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i --====-++-，∴复数21iz =+在复平面内对应的点的坐标为(1,1)-，位于第四象限，故选D ．2．已知集合{}230,{|17},M x x x N x x =->=≤≤，则()R C M N =I （ ）A ．{}37x x <≤ B ．{}37x x ≤≤C ．{}13x x ≤≤D ．{}13x x ≤<【答案】C【解析】由{}{2303M x x x x x =->=>或}0x <，∴{}03R C M x x =≤≤，又{|17}N x x =≤≤，(){}13R C M N x x ∴⋂=≤≤，故选C ．3．下列叙述中正确的是（ ）A ．函数222()2f x x x =++的最小值是2 B ．“04m <„”是“210mx mx ++…”的充要条件C ．若命题2:,10p x R x x ∀∈-+≠，则2000:,10p x R x x ⌝∃∈-+=D ．“已知,x y R ∈，若1xy <，则,x y 都不大于1”的逆否命题是真命题 【答案】C【解析】对于A ：()2222222222f x x x x x =+=++-++2≥中，22222x x +=+的等号不成立，A 错；当0m =时210mx mx ++≥也成立，B 错；当13x =，2y =时1xy <也成立，又原命题与逆否命题真假性一致，∴D 错，故选C ．4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】∵双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线为b y x a=±，∵两条渐近线互相垂直，∴21b a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得a b =，∵双曲线焦距为，∴c =222c a b =+可知228a =，∴2a =，∴实轴长为24a =，故选B ．5．函数3x xe e y x x--=-的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】令()3x xe ef x x x--=-，则()()f x f x -=，故函数为偶函数，图像关于y 轴对称，排除C 选项．由30x x -≠，解得0x ≠且1x ≠±．()0.50.510.500.1250.5e e f -=<-，排除D 选项．()10101101100010e ef -=>-，故可排除B 选项．故选A ．6．一个几何体的三视图如右图所示，且其左视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）ABCD．(4π+【答案】B【解析】该几何体是圆锥的一半与一四棱锥的组合体．圆锥底半径为1，四棱锥的底面是边长为2的正方形，高均为B ． 7．设a =20．1，b =ln 12，c =log 32，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a【答案】B【解析】由题意得a =20．1>1，b =ln 12<0，c =log 32∈(0，1)，∴a >c >b ，故选B ． 8．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．213log 32+ B ．2log 3C ．2D ．3【答案】C【解析】模拟程序的运行，可得s ＝3，i=1；满足条件i 3≤，执行循环体s ＝3+log i=2；满足条件i 3≤，执行循环体s ＝3+log +log ，i=3；满足条件i 3≤，执行循环体，s ＝3+log +4log log +=，i=4；不满足条件i 3≤，退出循环，输出s 的值为s ＝242log =；故选C ． 9．设函数()3sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．()y f x =在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，其图象关于直线4x π=对称B ．()y f x =在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，其图象关于直线2x π=对称C ．()y f x =在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，其图象关于直线4x π=对称D ．()y f x =在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，其图象关于直线2x π=对称【答案】B【解析】∵()3sin 2cos 2244f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由222,πππ-+≤≤∈k x k k Z 得,2πππ-+≤≤∈k x k k Z ，由222,k x k k Z πππ≤≤+∈得,2πππ≤≤+∈k x k k Z ，即()y f x =的单调递增区间为,,2πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ；单调递减区间为,,2πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ；∴()y f x =在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增；由2,π=∈x k k Z 得,2k x k Z π=∈；即函数()y f x =的对称轴为：,2k x k Z π=∈；因此其图象关于直线2x π=对称，故选B ．10．6(1)(1)ax x -+的展开式中，3x 项的系数为-10，则实数a 的值为（ ） A ．23B ．2C ．2-D ．23-【答案】B【解析】6(1)x +展开式的通项公式为16r r r T C x +=，分别令2,3x x ==，可求得2x 的系数为2615C =，3x 的系数为3620C =，故6(1)(1)ax x -+的展开式中，3x 项的系数为1201510a ⨯-=-，解得2a =，故选B ．11．已知球O 的半径为R ，,,A B C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为12R ，2AB AC ==，120BAC ︒∠=，则球O 的表面积为（ ）A ．169π B ．163π C ．649π D ．643π 【答案】D【解析】在ABC V 中，2120AB AC BAC ==∠=︒Q ，，BC ∴==正弦定理可得平面ABC 截球所得圆的半径（即ABC V 的外接圆半径），2r ==，又∵球心到平面ABC 的距离12d R =， ∴球的O半径2163R R =∴=，故球O 的表面积26443S R ππ==， 故选D ． 12．若存在0a >，使得函数2()6ln f x a x =与2()4g x x ax b =--的图象在这两个函数图象的公共点处的切线相同，则b 的最大值为（ ） A ．213e-B ．216e-C ．216eD ．213e【答案】D【解析】设曲线()y f x =与()y g x =的公共点为()00,x y ，∵26(),a f x x'=()24g x x a '=-，∴200624a x a x -=，则220230x ax a --=，解得0x a =-或3a ， 又00x >，且0a >，则03x a =．∵()()00f x g x =，∴2200046ln x ax b a x --=，2236ln 3b a a a =--(0)a >．设()h a b =，∴()12(1ln3)h a a a '=-+，令()0h a '=，得13ea =． ∴当103e a <<时，()0'>h a ；当13e a >时，()0h a '<，∴b 的最大值为2113e 3eh ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选D ． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若,x y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为 ．【答案】4【解析】当直线z ＝2x ＋y 经过直线2x －y ＝0与直线x ＋y ＝3的交点(1，2)时，z 取最大值2×1＋2＝4．14．已知向量()()1,,2,4a k b =-=-v v ，若()3//a b a +v v v，则实数k = ．【答案】2．【解析】由题意，得()()()331,2,45,34a b k k +=-+-=--r r，∵()3//a b a +r r r ，∴()()13450k k ⨯----=，解得2k =，故答案为：2．15．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线交抛物线C 于P ，Q 两点，交l 于点A ，若3PF FQ =u u u r u u u r ，则AQQF= ．【答案】2【解析】过P ，Q 分别作PM ，QN 垂直准线l 于,M N ，如图，3PF FQ =u u u r u u u rQ ，1||||4QF PQ ∴=，由抛物线定义知，||||,||||PM PF QF QN ==，||3||PM QN ∴=，//PM QN Q ，||||1||||3AQ QN AP PM ∴==， 11||||4||2||22AQ QP QF QF ∴==⨯=，2AQ QF ∴=，故答案为：2．16．在ABC ∆中，AB AC =，D 为AC 边上的点，且AC 3AD =，4BD =，则ABC ∆面积的最大值为 ． 【答案】9【解析】∵AC 3AD =，∴3ABC ABD S S ∆∆=，设AD x =，则3AB x =，由343x x x x +>>-得12x <<，222291658cos 233x x x A x x x +--==⋅⋅，sin A ==11sin 322ABDS AB AD A x ∆=⋅=⋅⋅==，∵12x <<，∴252x =时，ABD S ∆取得最大值3=，∴ABC S ∆最大值为9，故答案为：9． 三、解答题：（本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 为等差数列，7210a a -=，且1621a a a ，，依次成等比数列． （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若225n S =，求n 的值． 【解析】（I ）设数列{a n }为公差为d 的等差数列，a 7﹣a 2＝10，即5d ＝10，即d ＝2， a 1，a 6，a 21依次成等比数列，可得a 62＝a 1a 21，即（a 1+10）2＝a 1（a 1+40），解得a 1＝5， 则a n ＝5+2（n ﹣1）＝2n +3． （II ）b n ()()111123252n n a a n n +===++（112325n n -++）， 即有前n 项和为S n 12=（11111157792325n n -+-++-++L ）12=（11525n -+）()525n n =+， 由S n 225=，可得5n ＝4n +10，解得n ＝10． 18．（本小题满分12分）某职业学校有2000名学生，校服务部为了解学生在校的月消费情况，随机调查了100名学生，并将统计结果绘成直方图如图所示．（I ）试估计该校学生在校月消费的平均数；（II ）根据校服务部以往的经验，每个学生在校的月消费金额x （元）和服务部可获得利润y （元），满足关系式：10,200400,30,400800,50,8001200,x y x x ≤<⎧⎪=≤<⎨⎪≤≤⎩根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：（i ）将校服务部从一个学生的月消费中，可获得的利润记为ξ，求ξ的分布列及数学期望． （ii ）若校服务部计划每月预留月利润的14，用于资助在校月消费低于400元的学生，估计受资助的学生每人每月可获得多少元？【解析】（I ）学生月消费的平均数113(300500700400010001000x =⨯+⨯+⨯ 119001100)20068020004000+⨯+⨯⨯=． （II ）（i ）月消费值落入区间[)200,400、[)400,800、[]800,1200的频率分别为0．05、0．80、0．15， 因此()100.05P ξ==，()300.80P ξ==，()500.15P ξ==， 即ξ的分布列为ξ的数学期望值()100.05300.80500.1532E ξ=⨯+⨯+⨯=．（ii ）服务部的月利润为32200064000⨯=（元），受资助学生人数为20000.05100⨯=， 每个受资助学生每月可获得1640001001604⨯÷=（元）． 19．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，//AF DE ，AF AD ⊥，且平面BED ⊥平面ABCD ．（I ）求证：AF CD ⊥；（II ）若60BAD ∠=o ，12AF AD ED ==，求二面角A FB E --的余弦值． 【解析】（I ）证明：连接AC ，由四边形ABCD 为菱形可知AC BD ⊥，∵平面BED ⊥平面ABCD ，且交线为BD ，∴AC ⊥平面BED ，∴AC ED ⊥， 又//AF DE ，∴AF AC ⊥，∵,AF AD AC AD A ⊥⋂=，∴AF ⊥平面ABCD ，∵CD ⊂平面ABCD ，∴AF CD ⊥． （II ）解：设AC BD O ⋂=，过点O 作DE 的平行线OG ，由（I ）可知,,OA OB OG 两两互相垂直， 则可建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，设()1202AF AD ED a a ===>，则)())(),0,0,0,,0,,0,2,0,,4A B a F a E a a -，∴()()()),,0,0,0,2,0,2,4,,,2AB a AF a BE a a BF a a ===-=-u u u v u u u v u u u v u u u v，设平面ABF 的法向量为(),,m x y z v=，则·0·0m AB m AF ⎧=⎨=⎩u u u v v u u u v v ，即020y z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，取y =则()m =v 为平面ABF 的一个法向量，同理可得()0,2,1n =v为平面FBE的一个法向量，则cos ,5m n ==， 又二面角A FB E --的平面角为钝角，则其余弦值为．20．（本小题满分12分）设直线l 与抛物线22x y =交于A ，B 两点，与椭圆22143x y +=交于C ，D 两点，直线OA ，OB ，OC ，OD （O 为坐标原点）的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，若OA OB ⊥．（I ）是否存在实数t ，满足1234()k k t k k +=+，并说明理由； （II ）求OCD ∆面积的最大值．【解析】设直线l 方程为y kx b =+，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，联立y kx b =+和22x y =，得2220x kx b --=，则122x x k +=，122x x b =-，21480k b ∆=+>．由OA OB ⊥，∴12120x x y y +=，得2b =．联立2y kx =+和223412x y +=，得()22341640kxkx +++=，∴3421634k x x k +=-+，342434x x k =+．由22192480k ∆=->，得214k >． （I ）∵121212y y k k k x x +=+=，3434346y y k k k x x +=+=-，∴123416k k k k +=-+．（II）根据弦长公式34CD x =-，得：CD =．根据点O 到直线CD的距离公式，得d =，∴21234OCDS CD d k∆=⋅=+0t =>，则24OCD S t ∆=≤+，∴当2t =，即5k =±时，OCD S ∆21．（本小题满分12分） 设函数()ln 1af x x x =+-，()0a > （I ）当130a =时，求函数()f x 的单调递增区间； （II ）若()f x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭内有极值点，当()10,1x ∈，()21,x ∈+∞，求证：()()21423f x f x e ->-．()2.71828e =⋯【解析】（I ）函数()f x 的定义域为()()0,11,+∞U ，当130a =时，()()25665'1x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=-， 令()'0f x >，得：65x >或56x <，∴函数单调增区间为：50,6⎛⎫ ⎪⎝⎭，6,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． （II ）证明：()()()()222211'11x a x af x x x x x -++=-=--， 令()()()()2210g x x a x x m x n =-++=--=，∴2m n a +=+，1mn =，若()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内有极值点，不妨设10m e<<，则1n e m =>，且122a m n e e =+->+-， 由()'0f x >得：0x m <<或x n >；由()'0f x <得：1m x <<或1x n <<， ∴()f x 在()0,m 递增，(),1m 递减；()1,n 递减，(),n +∞递增，当()10,1x ∈时，()()1ln 1af x f m m m ≤=+-； 当()21,x ∈+∞时，()()2ln 1af x f n n ≥=+-，∴()()()()2111ln ln 2ln 1111a a f x f x f n f m n m n a n m n m ⎛⎫-≥-=+--=+- ⎪----⎝⎭12ln n n n =+-，n e >．设()12ln F n n n n =+-，n e >，则()222'10F n n n =++>，∴()F n 是增函数，∴()()12F n F e e e>=+-． 又()()23131411031032203333e e e e e e e e e e e ----+-⎛⎫+---=--+==> ⎪⎝⎭，∴()()21423f x f x e ->-．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （I ）求曲线C 的极坐标方程；（II ）设,A B 为曲线C 上不同两点（均不与O 重合），且满足4AOB π∠=，求OAB ∆的最大面积．【解析】（I ）设曲线C 上任意点的极坐标为(,)ρθ，由题意，曲线C 的普通方程为22(2)4x y +-=，即2240x y y +-=，则24sin ρρθ=，故曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=．（II ）设1(,)A ρθ，则2(,)4B πρθ+，故3(0,)4πθ∈， ∵点,A B 在曲线C 上，则14sin ρθ=，24sin()4πρθ=+，1sin 2AOB S OA OB AOB ∆∴=∠ ()23sin 4sin sin cos 2sin 22cos 22220,444θθθθθθθθθ⎛⎫πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=-+=-+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故38πθ=时，OAB ∆取到最大面积为2． 23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分） 设函数()|2||2|f x x x =+-- （I ）解不等式()2f x ≥；（II ）当x ∈R ，01y <<时，证明：11|2||2|1x x y y+--≤+-． 【解析】（I ）由已知可得：()4,22,224,2x f x x x x ≥⎧⎪=-<<⎨⎪-≤-⎩，当2x ≥时，42＞成立；当22x -<<时，22x ≥，即1x ≥，则12x ≤＜． ∴()2f x ≥的解集为{|1}x x ≥． （II ）由（I ）知，224x x +--≤，由于01y ＜＜，则()1111112224111y yy y y y y y y y⎛⎫-⎡⎤+=++-=++≥+= ⎪⎣⎦---⎝⎭，当且仅当1=1y y y y --，即12y =时取等号，则有11221x x y y +--≤+-．。
2023年高考数学模拟试题（六）参考答案
2023年高考数学模拟试题(六)参考答案 一㊁选择题1.A 提示:z =(1+i)33-i=-2+2i3-i=(-2+2i )(3+i )(3-i )(3+i)=-1-32-1-32i,所以z =-1-322+1-322=2㊂2.C 提示:由x >0,l o g 2x +1ȡ0,得x ȡ12,故集合A =12,+ɕ,所以0<12xɤ22,即集合B =0,22,故A ɘB =12,22㊂3.B 提示:由题意得2c o s θ=-s i n θ,所以t a n θ=-2,而s i n 3θ+2c o s 3θs i n (π+θ)=s i n 3θ+2c o s 3θ-s i n θ=-s i n 3θ+2c o s 3θs i n θ(s i n 2θ+c o s 2θ)=-s i n 3θ+2c o s 3θs i n 3θ+s i n θc o s 2θ=-t a n 3θ+2t a n 3θ+t a n θ=-35㊂4.D 提示:由题意知2a n =a n -1+a n +1(n ȡ2),所以数列{a n }是首项为1,公差为94-1=12的等差数列,故a 9=1+8ˑ12=5,所以a 9=25㊂5.C 提示:在区间-π,π2上满足c o s X ɤ12的X 只能在区间-π,-π3ɣπ3,π2内,所以P (X ɤ2)=59㊂6.D 提示:当i =1时,S =10;当S =9时,i =2;当S =7时,i =3;当S =4时,满足题意,所以n 的最小值为5㊂7.B 提示:设圆台较小底面半径为r ,则另一底面半径为3r ,由S =π(r +3r )ˑ4=162π,可得r =2,所以圆台的高h =42-(22)2=22,所以圆台的体积为13ˑ22πˑ[(2)2+(32)2+2ˑ32]=522π3㊂8.A 提示:A 77A 22A 22A 33=210㊂9.D 提示:f (2x )=2x 2x =4x ㊃x =4f (x ),从而f (x 2-1)ȡ4f (-1-a x )⇔f (x 2-1)ȡf (-2-2a x )㊂当x >0时,f (x )=x x =x 2在[0,+ɕ)上单调递增,而f (x )为奇函数,所以f (x )在R 上单调递增㊂所以x 2-1ȡ-2-2ax 在R 上恒成立,即x 2+2a x +1ȡ0恒成立,所以Δ=4a 2-4ɤ0,解得-1ɤa ɤ1,故a 的取值范围为[-1,1]㊂图110.A 提示:将三视图还原得到三棱锥D A B C ,如图1所示,其中A B =B C =1,A D =C D =2,R =B D 2=32,所以V =43πR 3=3π2㊂11.C 提示:由双曲线m x 2-n y 2=1得渐近线方程为mnx ʃy =0,则圆心(1,0)到渐近线的距离为m n 1+m n =43-1,解得n =2m ,所以m +1n +1=m +12m +1=m+12+12m +12-12ȡ2m +12㊃12m +12-12=2-12,当且仅当2m +122=1,即m =2-12时,等号成立㊂12.B 提示:要使øA O B 最大,则A ,B两点必须在分段函数的不同部分上,不妨设A (x 1,x 1ex 1-1+1),B (x 2,y 2)(其中x 1>0,图2-1ɤx 2ɤ0),如图2,当øA O B最大时,直线O A 与y =x e x -1+1相切且A 为切点,此时有y '=(x +1)e x -1,从而k O A =x 1e x 1-1+1x 1=(x 1+1)ex 1-1,化简得x 21ex 1-1-1=0(x 1>0),令h (x )=x 2e x -1-1(x >0),易得h (x )在(0,+ɕ)上为增函数且h (1)=1,所以x 1=1,所以k O A =2;当-1ɤx ɤ0时,y =10-1-x 2,变形得x 2+(y -10)2=1(-1ɤx ɤ0,y ɤ10),则øA O B 最大时,直线O B 与圆相切,设此时直线O B 的方程为y =k x (k <0),则由0-101+k2=1得k O B =-3,所以t a n øA O B =k O B -k O A1+k O A k O B=1,故øA O B =π4㊂二㊁填空题13.3316提示:将A (1,2)代入y =a x 2,得a =4,所以抛物线C :x 2=14y ,焦点F 的坐标为0,116,准线方程为y =-116,由抛物线的定义得A F =2+116=3316㊂14.π4提示:10=2a -b =(2a -b )2=4a 2-4a ㊃b +b2=4-4㊃32c o s θ+18,解得c o s θ=22,因为θɪ[0,π],所以θ=π4㊂15.11π6 提示:由题意知π6--π3=T 4(2k +1)=π2ω(2k +1),解得ω=2k +1(k ɪZ ),由8π15ɤT 2=πω,得0<ωɤ158,所以ω=1,由f π6=0,得π6+φ=2k 1π,所以φ=2k 1π-π6(k 1ɪZ ),故φm i n =11π6㊂16.-23n -29(-2)n+29 提示:由a n +1-1=a 2n +a n -1-2a na n -1-1-1,得a n +1-1=(a n -1)2a n -1-1,所以(a n +1-1)(a n -1-1)=(a n -1)2,故{a n -1}是首项为2,公比为q 的等比数列,且a 6-1=-64=2q 5,则q =-2,所以a n -1=2(-2)n -1㊂令b n =n (a n -1),则b n =2n (-2)n -1㊂故T n =2(-2)0+4(-2)1+ +2(n -1)(-2)n -2+2n (-2)n -1;-2T n =2(-2)1+4(-2)2+ +2(n -1)(-2)n -1+2n (-2)n㊂两式相减得3T n =2(-2)0-2n (-2)n+2[(-2)1+ +(-2)n -1],化简得T n =-23n -29(-2)n+29㊂三㊁解答题17.由题得f (x )=(s i n 2ωx -c o s 2ωx )㊃(s i n 2ωx +c o s 2ωx )+23s i n ωx c o s ωx +1=s i n 2ωx -c o s 2ωx +23s i n ωx c o s ωx +1=3s i n 2ωx -c o s 2ωx +1=2s i n 2ωx -π6+1㊂所以T =2π2ω=π,所以ω=1,故f (x )=2s i n 2x -π6+1㊂由2x -π6=k π,得x =k π2+π12(k ɪZ ),故f (x )的对称中心为k π2+π12,1(k ɪZ )㊂(2)由f (A )=2s i n 2A -π6 +1=3,得s i n 2A -π6 =1,而0<A <π,故A =π3㊂由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2b c c o s A ,即1=b 2+c 2-b c ȡ2b c -b c =b c ,所以b c ɤ1,当且仅当b =c 时等号成立㊂S әA B C =12b c s i n A ɤ12㊃1㊃32=34,故әA B C 面积的最大值为34㊂18.(1)甲㊁乙两生产车间的茎叶图如图3所示㊂以下四个结论中选两个即可:图3①乙车间生产的药品的平均重量大于甲车间生产的药品的平均重量㊂②甲车间生产的药品的重量较乙车间生产的药品的重量更分散(或:乙车间生产的药品的重量较甲车间生产的药品的重量更集中(稳定))㊂③甲车间生产的药品的重量的中位数是134毫克;乙车间生产的药品的重量的中位数是140毫克㊂④甲车间生产的药品的重量的众数是119毫克;乙车间生产的药品的重量的众数是140毫克㊂(2)由题意知一件药品合格的概率为1050=15,故X ~B 3,15,X 的所有可能取值为0,1,2,3㊂P (X =0)=C 03㊃453=64125;P (X =1)=C 13㊃15㊃45 2=48125;P (X =2)=C 23㊃15 2㊃45=12125;P (X =3)=C 33㊃15 3=1125㊂故X 分布列为表1:表1X 0123P6412548125121251125所以E (X )=3ˑ15=35,D (X )=3ˑ15ˑ45=1225㊂19.(1)在面A B C D 内分别作B E ʅA D于E ,B F ʅC D 于F ㊂因为面D A A 1D 1ʅ面A B C D 且交于A D ,所以B E ʅ面D A A 1D 1,故B E ʅD D 1㊂同理得D D 1ʅB F ㊂而B E ɘB F =B ,所以D D 1ʅ面A BCD ㊂(2)由题意知A B 2=A D 2+B D 2,所以D A ʅD B ㊂由(1)知D D 1ʅ面A B C D ,所以D A ,D B ,D D 1两两垂直㊂以D 为坐标原点,图4D A ,D B ,D D 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图4所示的空间直角坐标系D -x yz ,设B D =1,则D (0,0,0),B (0,1,0),M 1,0,22,C 1(-1,1,2),所以B C 1ң=(-1,0,2),B D ң=(0,-1,0),B M ң=1,-1,22㊂设面B C 1M 的一个法向量为m =(x 1,y 1,z 1),则m ㊃B C 1ң=-x 1+2z 1=0,m ㊃B M ң=x 1-y 1+22z 1=0,可取m =(2,3,2)㊂同理可得面B C 1D 的一个法向量为n =(2,0,1),所以c o s <m ,n >=m ㊃nm n=105,故二面角M -B C 1-D 的正弦值为155㊂20.设直线A B 的直线为y =x +m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),将y =x +m 代入x 2+3y 2=3,得4x 2+6m x +3(m 2-1)=0,Δ=12(4-m 2)>0,得0ɤm 2<4,由韦达定理得x 1+x 2=-32m ,x 1x 2=3(m 2-1)4㊂由弦长公式得A B =1+12㊃(x 1+x 2)2-4x 1x 2=62㊃4-m 2ɤ6,当m =0时,|A B |取得最大值6㊂(2)由题意知直线C D 的斜率必存在,设直线C D 的方程为y =k x +n ,C (x 3,y 3),D (x 4,y 4),直线P C 的斜率为k P C =y 3x 3+2,则直线P C 的方程为x =x 3+2y 3㊃y -2,将其代入x 2+3y 2=3,得x 3+2y 3㊃y -2 2+3y 2-3=0,即(4x 3+7)y 2-4y 3(x 3+2)y +y 23=0,所以y A y 3=y 234x 3+7,则y A =y 34x 3+7,x A =x 3+2y 3㊃y A -2=-7x 3-124x 3+7=-74+14(4x 3+7),故A-74+14(4x 3+7),y 34x 3+7㊂同理B -74+14(4x 4+7),y 44x 4+7㊂故k A B=y 34x 3+7-y 44x 4+714(4x 3+7)-14(4x 4+7)=4y 3(4x 4+7)-4y 4(4x 3+7)(4x 4+7)-(4x 3+7)=(k x 3+n )(4x 4+7)-(k x 4+n )(4x 3+7)x 4-x 3=(4n -7k )(x 4-x 3)x 4-x 3=4n -7k =1,所以n =74k +14,所以直线C D 的方程为y =k ㊃x +74+14,故直线C D 过定点-74,14 ㊂21.(1)当a =1时,f (0)=0,f'(x )=e x-1c o s 2x,所以f '(0)=0,故所求切线方程为y =0㊂(2)注意到f (0)=0,f '(x )=e x-a c o s 2x=e xc o s 2x -a c o s 2x,令h (x )=e x c o s 2x -a -π2<x <π2,当a ɤ0时,h (x )ȡ0,所以f (x )在-π2,π2上单调递增,而f (0)=0,所以f (x )在-π2,π2上只有一个零点,不符合题意(舍去)㊂当a >0时,h '(x )=e xc o s 2x -2e x㊃s i n x c o s x =e xc o s 2x (1-2t a n x ),由h '(x )>0得-π2<x <x 0;由h '(x )<0得x 0<x<π2,其中0<x 0<π2且t a n x 0=12㊂故h (x )在-π2,x 0上单调递增,在x 0,π2上单调递减㊂而h -π2 =hπ2 <0,所以h (x 0)一定大于0,即0<a <e x 0c o s 2x 0=45e x其中45e x>1㊂所以∃x 1ɪ-π2,x 0,∃x 2ɪx 0,π2 ,使得h (x 1)=h (x 2)=0,且f (x )在-π2,x 1上单调递减,在(x 1,x 2)上单调递增,在x 2,π2 上单调递减㊂而当x ң-π2时,f (x )ң+ɕ;当x ңπ2时,f (x )ң-ɕ㊂又f (0)=0,所以0ɪ(x 1,x 2),故f '(0)=1-a >0,所以0<a <1㊂22.(1)直线l 的普通方程为y =3x ,故极坐标方程为θ=π3(ρɪR )㊂曲线C 的直角坐标方程为(x -2)2+y 2=9,即x 2+y 2-4x -5=0,故曲线C 的极坐标方程为ρ2-4ρc o s θ-5=0㊂(2)将θ=π3代入ρ2-4ρc o s θ-5=0,得ρ2-2ρ-5=0,ρA ㊁B =1ʃ6,所以A B =ρA -ρB =26㊂由题知点P 的直角坐标为(3,1),所以点P 到直线l 的距离d =3㊃3-12=1㊂故S әP A B =12A B ㊃d =12㊃26㊃1=6㊂23.(1)f (x )=x -1+x +5+x +5ȡ(x -1)-(x +5)+x +5=6+x +5ȡ6,当且仅当x =-5时取等号,所以f (x )的最小值为6,故m =6㊂(2)由(1)知a +3b +2c =6,即(a +2b +1)+(b +2c )=5,所以1a +2b +1+4b +2c =15[(a +2b +1)+(b +2c )]㊃1a +2b +1+4b +2c=15㊃5+4(a +2b +1)b +2c +b +2c a +2b +1 ȡ15㊃5+24(a +2b +1)b +2c ㊃b +2c a +2b +1=95㊂(责任编辑 王福华)。
2020年高考数学全真模拟试卷(六)(含答案解析)
绝密★启用前2020年高考数学全真模拟试卷（六）考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.在△ABC 中，D 为BC 中点，O 为AD 中点，过O 作一直线分别交AB 、AC 于M 、N 两点，若,AM x AB AN y AC ==u u u u r u u u r u u u r u u u r （0xy ≠），则11x y+=( )A. 3B. 2C. 4D.142.已知函数(lg y x =是定义在R 上的奇函数，且函数()2x ag x x+=在()0,+∞上单调递增，则实数a 的值为 A. －1 B. －2C. 1D. 23.定义1nii nu =∑为n 个正数123,,,n u u u u ⋅⋅⋅的“快乐数”.若已知正项数列{a n }的前n 项的“快乐数”为131n +，则数列136(2)(2)n n a a +⎧⎫⎨⎬++⎩⎭的前2019项和为（ ） A. 20182019B.20192020C.20192018D.201910104.已知2sin 52sin 3cos 2333x x x ππ⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 23x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A. 19B. 19-C.13D. 13-5..设,a b r r 是非零向量，则2a b =r r是a b a b=r r r r 成立的（ ）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件6.已知函数()ln4xf x x=-，则( ) A. ()y f x =的图象关于点(2,0)对称 B. ()y f x =的图象关于直线2x =对称 C. ()f x 在(0,4)上单调递减D. ()f x 在(0,2)上单调递减，在(2,4)上单调递增 7. “43m =”是“直线420x my m -+-=与圆224x y +=相切”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件8.设A ，B ，C 是半径为1的圆上三点，若AB =AB AC ⋅u u u r u u u r的最大值为（ ）A.B.32C. 39.设i 为虚数单位，则复数22iz i-=+的共轭复数z =（ ） A.3455i + B.3455-i C. 3455i -+ D. 3455i -- 10.设函数()21,25,2x x f x x x ⎧-⎪=⎨-+>⎪⎩…，若互不相等的实数a ，b ，c 满足()()()f a f b f c ==，则222a b c ++的取值范围是（ ）A. (16,32)B. (18,34)C. (17,35)D.(6,7)()6,711.已知函数()1lnx f 1x x +=-,()()*g kx k N x=∈，若对任意的1c >,存在实数a ,b 满足0a b <<c <，使得()()()f f c a g b ==，则k 的最大值为( )A. 2B. 3C. 4D. 512.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. 32+4πB. 24+4πC. 4123π+D.4243π+第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.在42x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含2x -的项的系数是______． 14.已知()()2log (0a f x ax x a =->且1a ≠）在[2,4]上是增函数，则实数a 取值范围是____ .15.在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边作角α，角4πα+的终边经过点(2,1)P -.则sin 2α=____16.381(2)x x-展开式中常数项为______.三、解答题（本题共7道小题,第1题0分,第2题0分,第3题0分,第4题0分,第5题0分,第6题0分,第7题0分,共0分） 17.设函数()231f x x x =++-. （1）解不等式()4f x >；（2）若3(,)2x ∀∈-∞-，不等式()1a f x +<恒成立，求实数a 的取值范围. 18.已知函数()()21ln 1,()2f x mxg x x mx =+=-+ （1）当1m =时，求函数()()F x f x x =-的最大值；（2）当01m <<时，判断函数()()()G x f x g x =-的零点个数． 19..已知(),()1(x f x e g x x e ==+为自然对数的底数). (1)求证()()f x g x ≥恒成立；(2)设m 是正整数，对任意正整数n ，2111(1)(1)(1)333nm ++⋅⋅⋅+<，求m 的最小值. 20.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2sin 2cos 0a a ρθθ=+>；直线l的参数方程为222x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点． （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若点P 的极坐标为(2,)π，||||PM PN +=a 的值． 21.已知函数()()()ln 101axf x x a x =+->+． （1）若x =1是函数()f x 的一个极值点，求a 的值； （2）若()0f x ≥在[0,+∞)上恒成立，求a 的取值范围；（3）证明：2020201912020e⎛⎫< ⎪⎝⎭（e 为自然对数的底数）． 22.设函数()2(1)2()xxf x k x R -=+-⋅∈是偶函数. （1）求不等式5()2f x >的解集； （2）若不等式(2)4()f x mf x +>对任意实数x 成立，求实数m 的取值范围；（3）设函数1()[()2](2)2xg x n f x f x -=---，若()g x 在[1,)x ∈+∞上有零点，求实数n 的取值范围. 23.在平面直角坐标系中, 圆M 的方程2240x y y +-=,以直角坐标系中x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中, 直线l的极坐标方程为cos sin 0ρθρθ-+=. (1)写出直线l 的直角坐标方程；（2）若直线1l 过点()2,0P 且垂直于直线l ，设1l 与圆M 两个交点为A ，B ，求11PA PB+的值.试卷答案1.C 【分析】根据向量的线性运算，得1111(),()4444MO x AB AC ON AB y AC =-+==-+-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur ，利用共线向量的条件得出111()()04416x y --+=，化简即可得到11x y +的值，即可求解.【详解】在ABC ∆中，D 为BC的中点，O 为AD 的中点，若,AM x AB AN y AC ==u u u u r u u u r u u u r u u u r，所以11()44MO AO AM x AB AC =-=-+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ，11()()44ON AN AO y AB AC AB y AC =-=+=-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，因为//MO ON u u u u r u u u r，所以111()()04416x y --+=， 即1()04x y xy +-=，整理得114x y +=，故选C.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算性质，以及向量的共线定理和三角形的重心的性质的应用，其中解答中熟记向量的线性运算，以及向量的共线定理的应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2.A 【分析】根据题意，由偶函数的定义可得((()2222lg x lg x lg x a x lga 0⎡⎤+-=+-==⎣⎦，解可得a 的值，验证()g x 的单调性即可得答案．【详解】根据题意，函数(y lg x =是定义在R 上的奇函数，则有((()2222lg x lg x lg x a x lga 0⎡⎤+-=+-==⎣⎦， 解可得：a 1=±，当a 1=时，()2x 1g x x+=，在()0,∞+上不是增函数，不符合题意；当a 1=-时，()2x 11g x x x x+==-，在()0,∞+上单调递增，符合题意；故选：A ．【点睛】本题主要考查了函数奇偶性与单调性的性质以及应用，其中解中利用函数奇偶性的定义，得出a 的值，再借助函数的单调进行判定是解答的关键，同时注意对数的运算性质，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3.B 【分析】根据“快乐数”定义可得数列{}n a 的前n 项和23n S n n =+；利用n a 与n S 关系可求得数列{}n a 的通项公式，从而得到()()()1361221n n a a n n +=+++，采用裂项相消法可求得结果.【详解】设n S 为数列{}n a 的前n 项和 由“快乐数”定义可知：131n n S n =+，即23n S n n =+ 当1n =时，114a S ==当2n ≥且n *∈N 时，162n n n a S S n -=-=-经验证可知14a =满足62n a n =- ()62n a n n N *∴=-∈()()()()136361112266611n n a a n n n n n n +∴===-++⋅+++∴数列()()13622n n a a +⎧⎫⎪⎪⎨⎬++⎪⎪⎩⎭的前2019项和为：1111120191223201920202020-+-+⋅⋅⋅+-= 本题正确选项：B【点睛】本题考查根据n S 求解数列的通项公式、裂项相消法求解数列的前n 项和；关键是能够准确理解“快乐数”的定义，得到n S ；从而利用n a 与n S 的关系求解出数列的通项公式. 4.B 【分析】利用两角和的正弦函数化简求得2sin 33x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再利用诱导公式，即可求解，得到答案. 【详解】因为sin 5sin 3233x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 3cos 2cos3sin 233x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以sin 52sin 3cos 233x x x ππ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin 3cos 2cos3sin 2333x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得2sin 33x π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即2sin 33x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 所以cos 2cos 233x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦21cos 22sin 1339x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选B.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 5.B 【分析】是非零向量，2a b =v v ，则a b v v ，方向相同，将,a b v v 单位化既有a b a b =v vv v ，反之则不成立. 【详解】由2a b =v v 可知：a b v v ， 方向相同，a b a b vv v v ， 表示 a b v v ， 方向上的单位向量 所以a ba b=v v v v 成立;反之不成立.故选B【点睛】本题考查了相量相等、向量的单位化以及充分必要条件；判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p ．对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想求解外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题来解决． 6.A 【分析】根据已知中的函数的解析式，分析函数的单调性和奇偶性，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数()ln 4x f x x =-，可得04xx>-，解得04x <<， 令4144x t x x ==----， 故4x t x =-在(0,4)为单调递增函数，所以函数()ln 4xf x x=-在(0,4)为单调递增函数，可排除C 、B 、D 项， 又由()ln4xf x x=-，满足()(4)f x f x -=-， 所以函数()ln 4xf x x=-的图象关于点(2,0)对称， 故选A.【点睛】本题主要考查了函数的定义域，函数的单调性，以及函数的对称性的应用，其中解答中熟记函数的基本性质，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 7.A 【分析】 当43m =时，可得直线方程，通过点到直线距离公式可求出圆心到直线距离等于半径，可知直线与圆相切，充分条件成立；当直线与圆相切时，利用圆心到直线距离等于半径构造方程可求得0m =或43，必要条件不成立，从而得到结果. 【详解】由圆的方程知，圆心坐标为()0,0，半径2r = 当43m =时，直线为：410033x y -+=，即34100x y -+= ∴圆心到直线距离2d r ===∴当43m =时，直线与圆相切，则充分条件成立当直线与圆相切时，圆心到直线距离2d ==，解得：0m =或43则必要条件不成立 综上，“43m =”是“直线420x my m -+-=与圆224x y +=相切”的充分不必要条件本题正确选项：A【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，关键是能够掌握直线与圆位置关系的判定方法，明确当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径. 8.B【详解】此题考查正弦定理、余弦定理、向量的数量积、两角和与差正余弦公式的灵活应用、三角函数求最值问题的综合知识；设圆的圆心是O ，在等腰AOB ∆中，1,OA OB AB ===12060AOB ACB ∠=⇒∠=o o ，根据正弦定理得：222sin sin ACR AC B B==⇒= 所以12cos(120)cos )2AB AC B B B B B ⋅=⨯-=-o u u u v u u u v23sin cos B B B =-33(1cos 2)260)22B B B =--=+o ，当105B =o 时，AB AC ⋅uu u r uuu r 的最大值为32，选B9.A 【分析】利用复数的运算法则，分子分母同时乘以(2i)-，得出34i 55z =-，再利用共轭复数的定义即可得出。
高中数学--高考模拟测试卷精选6(含答案)
高中数学--高考模拟测试卷精选一 、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.（08年重点中学模拟文） 已知x 、y 满足条件的最大值为 （ ）A ．3B ．C ．5D ．2.（09年宣武区二模文）直线013=+-y x 的倾斜角为（ ）A ．6πB ．π65C ．π32D ．3π3.右图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是（ ）A ．B ．C ．D ．4.如图所示给出的是计算111124620++++的值的一个程序框图，其中判断框内填入的条件是 A. 10i > B. 10i < C. 20i > D. 20i <5.（09年临沭县模块考试理）已知点F 是双曲线（a ＞0，b ＞0）的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直与x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是钝角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是 （ ）A ．（1，+∞）B ．（1，2）C ．（2，+∞）D ．（2，1+）6.已知()f x 是R 上的偶函数，且当0x ≥时，12()22xf x x =-，有a 是函数2()ln(1)g x x x=+-的零点，则(2),(),(1,5)f f a f -的大小关系是A.(1.5)()(2)f f a f <<-B.(2)(1.5)()f f f a -<<C.()(1.5)(2)f a f f <<-D.(0.5)(2)()f f f a <-<7.下面的茎叶图表示柜台记录的一天销售额情况(单位:元),则销售额中的中位数是( )A.30.5B.31C.31.5D.328.（08年聊城市一模） 若复数是纯虚数，则实数a 的值为 （ ）A ．6B ．—6 C ．5 D ．—4 9.右上图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于（ ）A ．1B ．43 C ．53 D ．2321324354姓名：__________班级：__________考号：__________ ●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●10.函数x xx xe ey e e --+=-的图像大致为( ).二 、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11.①在极坐标系中，点A(2,3π-)到直线l ：1)6cos(=-πθρ的距离为 ②(不等式选讲选做题) 设函数f(x)=|x-2|+x ，g(x)=|x+1|，则g(x)<f(x)成立时x 的取值范围 12.若体积为8的正方体的各个顶点均在一球面上，则该球的体积为 （结果保留π）．13.设P 是直线:2l y x =且在第一象限上的一点，点(2,2),Q 则直线PQ 与直线l 及x 轴在第一象限围成的三角形面积最小值为 ▲ ．14.（08年聊城市三模） 已知点（O 为原点）的最大值为 .15.在极坐标系中，圆心为(1,)2π，且过极点的圆的方程是____________.16.（08年惠州一中四模理） 在的展开式中,的系数是17.过椭圆左焦点且不垂直于x 轴的直线交椭圆于A 、B 两点，AB 的垂直平分线交x 轴于点，则 ；18.已知a 、b 为非零向量，()m a tb t R =+∈，若1,2a b ==，当且仅当14t =时，m 取得最小值，则向量a 、b 的夹角为___________.三 、解答题（本大题共4小题，共36分）19.（08年洛阳市统一考试理）（12分）已知函数l ()2n f x ax b x x +=-在1x =-和12x =处都取得极值, (1)求a ，b 的值；(2)若对1[,4]4x ∈时,()f x c >恒成立，求c 的取值范围.20.已知向量，，设函数.（Ⅰ）求函数的解析式，并求在区间上的最小值； （Ⅱ）在中，分别是角的对边，为锐角，若，，的面积为，求.21.（09年湖南十二校文）(13分)对于数列{},n a 定义数列{}1n n a a ++为{}n a 的“和数列”（1）若{}n a 的“和数列”的通项为2n+1，11a =，求23,a a ，并写出{}n a 的通项公式。
2021新高考数学全真模拟卷6附答案解析(新高考专用)
2021高考数学全真模拟卷（新高考专用）第六模拟注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．（2020·浙江杭州市·高一期末）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是()2,1-，则i z ⋅=（ ） A ．12i +B ．2i -+C ．12i -D ．12i --2．（2020·山东聊城市·高三期中）已知集合{10}A xx =->∣，{}21xB y y ==-∣，则A B =（ ）A ．(1,)+∞B ．(1,)-+∞C ．(,1)-∞-D ．(,1)-∞3．（2020·江苏常州市·高三期中）已知函数2()ln f x a x x =+，0a >，若曲线()y f x =在点(1,1)处的切线是曲线()y f x =的所有切线中斜率最小的，则a =（ ）A ．12B ．1C ．2D ．24．（2020·宁夏银川市·银川一中高三月考（文））如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -，若 AB BC =，E 、F 分别是1AB 、1BC 的中点，则下列结论中不成立的是（ ）A ． EF 与1BB 垂直B ．EF ⊥平面11BDD BC ．EF 与1CD 所成的角为45︒D ． //EF 平面1111D C B A5．（2020·云南昆明市·昆明一中高三月考（理））“石头、剪刀、布”，又称“猜丁壳”，是一种流传多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世界.其游戏规则是：“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”.若所出的拳相同，则为和局.小明和小华两位同学进行三局两胜制的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则小华获胜的概率是（ ）A ．19B ．29C ．427D ．7276．（2020·江苏泉山区·徐州一中高二期中）已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-，则22212n a a a +++=（ ） A ．()221n -B ．()1213n- C ．41n -D ．()1413n- 7．（2020·山东聊城市·高三期中）若函数()f x 为定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(2)0f =，则不等式(1)0xf x ->的解集为（ ）A ．(,2)(0,2)-∞-⋃B ．(1,1)(3,)-+∞C ．(1,0)(3,)-⋃+∞D ．(2,0)(2,)-+∞8．（2020·全国高三其他模拟（文））已知1,0A ，()3,0B 为ABC 的两个顶点，点C 在抛物线24x y =上，且到焦点的距离为13，则ABC 的面积为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．15二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．（2020·全国高三月考）中国的华为公司是全球领先的ICT （信息与通信）基础设施和智能终端提供商，其致力于把数字世界带给每个人、每个家庭、每个组织，构建万物互联的智能世界.其中华为的5G 智能手机是全世界很多年轻人非常喜欢的品牌.为了研究某城市甲、乙两个华为5G 智能手机专卖店的销售状况，统计了2020年4月到9月甲、乙两店每月的营业额（单位：万元），得到如下的折线图，则下列说法正确的是（ ）A ．根据甲店的营业额折线图可知，该店月营业额的平均值在[]31,32内B ．根据乙店的营业额折线图可知，该店月营业额总体呈上升趋势C ．根据甲、乙两店的营业额折线图可知乙店的月营业额极差比甲店小D ．根据甲、乙两店的营业额折线图可知7、8、9月份的总营业额甲店比乙店少10．（2020·山东东港区·日照一中高三月考）在ABC 中，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，AE 与BD 交于O ，且AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅，2AB AC AE +=，2CD DA =，1AB =，则（ ）A ．0AC BD ⋅=B ．0OA OE ⋅=C ．34OA OB OC ++=D ．ED 在BA 方向上的正射影的数量为71211．（2020·山东东港区·日照一中高三月考）设函数()ln 21ln 21f x x x =+--，则()f x （ ） A ．是偶函数B ．是奇函数C ．在11,22⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 D ．在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减 12．（2020·沙坪坝区·重庆八中高三月考）已知椭圆22:163x y C +=的左、右两个焦点分别为12,F F ，直线(0)y kx k =≠与C 交于A ，B 两点，AE x ⊥轴，垂足为E ，直线BE 与C 的另一个交点为P ，则下列结论正确的是（ ）A ．四边形12AF BF 为平行四边形B ．1290F PF ︒∠<C ．直线BE 的斜率为12k D ．90PAB ︒∠>三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．（2020·浙江高三期中） ABC 中，()3cos cos 2A B C -+=，2c ab =，则角C =__________，cos cos A B =__________.四、填空题14．（2020·河南高三月考）世界四大历史博物馆之首卢浮宫博物馆始建于1204年，原是法国的王宫，是法国文艺复兴时期最珍贵的建筑物之一，以收藏丰富的古典绘画和雕刻而闻名于世，卢浮宫玻璃金字塔为正四棱锥，且该正四棱锥的高为21米，底面边长为30米，是华人建筑大师贝聿铭设计的.若玻璃金字塔五个顶点恰好在一个球面上，则该球的半径为______米.15．（2020·全国高三专题练习（理））设1F 、2F 分别为椭圆1C ：22221x y a b+=(0a b >>)与双曲线2C ：2222111x y a b -=(110>>a b )的公共焦点，设椭圆1C 与双曲线2C 在第一象限内交于点M ，且1290F MF ∠=，若椭圆1C的离心率1343e ，⎡∈⎢⎣⎦，则双曲线2C 的离心率2e 的取值范围是________.16．（2020·东湖区·江西师大附中高一期中）已知函数21(2)()3(2)1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪-⎩，若关于x 的方程2()2()220f x af x a +++=有五个不同的实根，则实数a 的取值范围为_________．四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．（2020·山东聊城市·高三期中）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(cos cos )()cos a B C b c A +=+，ABCS=（1）若ABC 还同时满足下列三个条件中的两个：①7a =，②10b =，③8c =，请指出这两个条件，并说明理由；（2）若a =ABC 的周长.18．（2020·河南洛阳市·高三月考（文））已知数列{}n a 的首项12a =，前n 项和为n S 且满足()1*22N n n a S n +=+∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()3log 1n n n b a S =⋅+，求数列{}n b 的前项和n T ．19．（2020·河南高三月考（理））如图，矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，60ABE ∠=︒，G 为BE 的中点.（1）求证：平面AGC ⊥平面ADF ； （2）若3AB =1BC =，求直线CF 与平面ACG 所成角的正弦值.20．（2020·全国高三专题练习）药监部门要利用小白鼠扭体实验，对某厂生产的某药品的镇痛效果进行检测．若用药后的小白鼠扭体次数没有减少，扭体时间间隔没有变长，则认定镇痛效果不明显．（1）若该药品对雌性小白鼠镇痛效果明显的概率为23，对雄性小白鼠镇痛效果明显的概率为45，药监部门要利用2只雌性和2只雄性小白鼠检测该药药效，对4只小白鼠逐一检测．若在检测过程中，1只小白鼠用药后镇痛效果明显，记录积分为1，镇痛效果不明显，则记录积分为-1．用随机变量X 表示检测4只小白鼠后的总积分，求随机变量X 的分布列和数学期望()E X ；（2）若该药品对每只雌性小白鼠镇痛效果明显的概率均为p ，现对6只雌性小白鼠逐一进行检测，当检测到镇痛效果不明显的小白鼠时，停止检测．设至少检测5只雌性小白鼠才能发现镇痛效果不明显的概率为()f p ，求()f p 最大时p 的值．21．（2020·广东清远市·高三月考）已知函数()()2ln f x x a x a =++. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()1212,x x x x <是2()()g x f x x ax =++的两个极值点，证明：()21g x x >.22．（2020·南昌市新建区第二中学高二期中（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点12(2,1),,P A A 分别是椭圆C 的左右顶点，且直线1PA 与直线2PA 的斜率之积为12-． （1）求椭圆C 的方程；（2）设不过点P的直线l与椭圆C相交于M，N两点，若直线PM与直线PN斜率之积为1，试问直线l 是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，说明理由．。
2020高考数学全真模拟试卷含答案(6)
常数），且函数 f x 与 g x 的图象在 y 轴上的截距相等
⑴求 a 的
值；
⑵求函数 f x g x 的单调递增区间
21 (文科学生做（本题满分 12 分）已知函数 f x 3x k k为常数 ， A 2k，2 是函数 y f 1 x 图像上的点 的值及函数 y f 1 x 的表达式
A ．增函数且最小值是 5
B．增函数且最大值是
5．
C．减函数且最小值是 5
D．减函数且最大值是 5
*6 （理科学生做） 函数 f ( x) ax2 1 在 (0, ) 上是增函数， 那么实数 a 的
x
取值范围是（
）
A． a 0
B． a 0 C． a 0 D ． a 0
| x 1| 2,| x | 1,
，A C
，求实数 a 的
值
18 （本题满分 12 分）设函数 f (x) log a x a 0且 a 1 ，函数
g( x)
x 2 bx c且 f 2
2
f 21
1 ,
g
x
的图
像过点
A( 4， 5 ) 及
2
B( 2， 5 )，
(1) 求 f (x) 和 g x 的表达式；
（2）求函数 f g x 的定义域和值域
A
a c或 b c B
a c且b c
a c或 b c
C a c且 b c
D
*2 （理科学生做）已知 c 0 , 在下列不等式中成立的一个是（
）
A c 2c
B c (1)c
2
C 2c ( 1 )c
2
D 2c ( 1 )c
2
3 （文科学生做） 二次函数 y ax 2 bx c 中，若 ac 0 ，则其图象与 x 轴
2023年新高考数学全真模拟卷六
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2230M x x x =--<，{}0N x x x =-=，则M N =（ ）A ．{}0,1B ．[)0,1C ．()0,3D ．[)0,32.复数 21−i(i 为虚数单位)的共轭复数是( )A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i3..能使y=√3sin(2x+θ)+cos(2x+θ)为奇函数,且在[0,π4]上是减函数的θ的一个值是( ).A.5π6B.11π6C.4π3D.2π34袋中装有标号分别为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个小球,从袋子中一次性摸出两个球,记下号码并放回,若两个号码的和是3的倍数,则获奖,若有5人参与摸球,则恰有2人获奖的概率是( ). A.40243 B.70243 C.80243D.1002435.设P 是双曲线x 2a2-y 24=1(a>0)上除顶点外的任意一点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,△PF1F2的内切圆与边F1F2相切于点M,则F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ). A.√2B.2C.2√2D.46.已知定义在R 上的奇函数f(x)在[-1,0]上单调递增,令a=ln 2,b=e0-1,c=cos π,则f(a),f(b),f(c)的大小关系为( ). A.f(b)<f(c)<f(a) B.f(a)<f(c)<f(b) C.f(c)<f(b)<f(a) D.f(c)<f(a)<f(b)7.(x+1)3(y-2)5的展开式中,满足m+n=2的xmyn 的系数之和为( ). A.64 B.46 C.40 D.388.《乌鸦喝水》是《伊索寓言》中一个寓言故事,通过讲述一只乌鸦喝水的故事,告诉人们遇到困难要运用智慧,认真思考才能让问题迎刃而解的道理.如图所示,乌鸦想喝水,发现有一个锥形瓶,上面部分是圆柱体,下面部分是圆台,瓶口直径为3 cm,瓶底直径为9 cm,瓶口距瓶颈为2√3 cm,瓶颈到水位线距离和水位线到瓶底距离均为3√32cm,现将一颗石子投入瓶中,发现水位线上移√32cm,若只有当水位线到达瓶口时乌鸦才能喝到水,则乌鸦共需要投入的石子数量至少是( ).(假设所有石子体积相等) A.2颗 B.3颗 C.4颗 D.5颗二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9．已知某圆锥的母线长为2，其轴截面为直角三角形，则下列关于该圆锥的说法中正确的有 A ．圆锥的体积为223π B ．圆锥的表面积为22πC ．圆锥的侧面展开图是圆心角为2π的扇形D ．圆锥的内切球表面积为()24162π-10．已知a ，b ，c 为实数，且0a b >>，则下列不等式不一定．．．成立的是 A ．22ac bc >B ．b aa b< C ．()222log log ab b ->D ．1122a b< 11．设正实数x ，y 满足21x y +=，则 A ．10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．xy 的最大值为14C ．22x y +的最小值为15D ．42x y +的最小值为412．设函数()πsin 5f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0>ω），若()f x 在[]0,π有且仅有5个极值点，则A ．()f x 在()0,π有且仅有3个极大值点B ．()f x 在()0,π有且仅有4个零点C ．ω的取值范围是4353,1010⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()f x 在π0,20⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．二项式(√x 3+12x)8的展开式的常数项是_________________________14．23()33xf x +且11(0())(1)n n a f f f f n N n n *-⎛⎫⎛⎫=++⋯++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则数列{}n a 的通项公式为________．15.对任意11m -≤≤，不等式22538a a m --+a 的取值范围为___________.16．对于函数()f x 与()g x ，若存在0x ，使()()00f x g x =-，则称点()()00,A x f x ，()()00,B x g x 是函数()f x 与()g x 图象的一对“靓点”．已知函数()2ln ,022,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，()g x kx =，若函数()f x 与()g x 恰有两对“靓点”，则k 的取值范围为______四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第16题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。
22023年高三数学对接新高考全真模拟试卷6(云南,安徽,黑龙江,山西,吉林五省通用)(解析版)
2023年高三数学对接新高考全真模拟试卷（06）（云南，安徽，黑龙江，山西，吉林五省通用）数学（新高考卷）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．已知集合{}2230A x x x =+-<，{}310B x x =+>，则A B =（ ）A ．133x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭B ．113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．{}31x x -<<D ．133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【详解】A ，则为（）A ．20,10x x x ∃<-+≤B ．20,10x x x ∃<-+>C ．20,10x x x ∃>-+≤D ．20,10x x x ∃>-+>【答案】C【分析】由全称命题的否定判定.【详解】由题意得p ⌝为20,10x x x ∃>-+≤. 故选：C3．意大利数学家斐波那契()17701250，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿简等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛得应用.已知斐波那契数列{}n a 满足：11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，若2357959k a a a a a a a ++++++=，则k =（ ）A ．2020B ．2021C ．59D ．60【答案】D【解析】利用21n n n a a a ++=+化简得出235795960a a a a a a a ++++++=，即可得出结果.【详解】由于21n n n a a a ++=+，则2357959795945a a a a a a a a a a a +++++=++++++67959585960a a a a a a a ++++==+==，因此，60k =. 故选：D.4．下列四个函数中，以π为最小正周期且在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的函数是（ ）A ．sin 2y x =B ．cos y x =C ．cos 2xy =D ．tan y x =ππ⎛⎫A ．8B ．C ．9D ．6．定义在上的函数满足：对12,0,x x ∀∈+∞，且12x x ≠，都有()()2112120x f x x f x x x ->-成立，且()24f =，则不等式()2f x x>的解集为（ ）A ．()4,+∞B ．()0,4C ．()0,2D ．()2,+∞7．已知1F 、2F 分别为双曲线()2210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，且122b F F a=，点P为双曲线右支一点，I 为12PF F △的内心，若1212IPF IPF IF F S S S △△△成立，给出下列结论：∴点I 的横坐标为定值a ； ∴离心率e = ∴λ=； ∴当2PF x ⊥轴时，1230PF F ∠=︒．上述结论正确的是（ ） A ．∴∴ B ．∴∴C ．∴∴∴D ．∴∴∴121212111,,2222IPF IPF IF F S PF r S PF r S c r =⋅=⋅=⋅⋅，1212IPF IF F S S △△，121112222PF r PF r c r λ⋅=⋅+⋅⋅⋅， 12151PF PF a --====，所以∴正确，8．《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α、β，且小正方形与大正方形面积之比为4:9，则()cos αβ-的值为（ ）A ．59B ．49C ．23D ．0符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知向量()1,2a =-，()1,b m =，则（ ） A ．若a 与b 垂直，则12m =B ．若//a b ，则m 的值为2-C ．若a b =，则2m =D ．若3m =，则a 与b 的夹角为45°夹角的坐标表示计算判断C 、D ；【详解】解：因为()1,2a =-，()1,b m =，对于：若a 与b 垂直，则12a b ⋅=-+正确；：若//a b ，则12m -⨯=⨯，解得m B 正确； a b =，则()22121-+=+2m =±，故C 错误；：若3m =，则()1,3b =，设a 与b 的夹角为()222112322121a b a b⋅-⨯+⨯==-+⨯+，因为θABD10．如图，在正方体1111ABCD A B D -中，M ，N 分别是11的中点，则（）A ．四点A ，M ，N ，C 共面B ．MN ∥CDC ．1AD ∥平面1BCDD ．若1MN =，则正方体1111ABCD A B C D -外接球的表面积为12π11．函数()3sin(2)f x x ϕ=+的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．2π3⎛⎫⎪⎝⎭f 是()f x 的最小值C ．()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．把函数()y f x =的图象上所有点向右平移π12个单位长度，可得到函数3sin 2y x =的图象，π0,2x ⎡∈⎢⎣3sin(2=，函数y =A ．不等式121x x >-的解集为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．已知x y z >>，且0x y z ++=，则xy xz >C ．正数a ，b 满足191a b+=，若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是(],6-∞D ．若不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为(]3,0-()2min 418a b x x m +≥-++-，因为()1999+=++=++102+10=16a ba ba b a b a b bab a≥⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭当且仅当=4a ，12b =时取等号，所以241186x x m ≥-++-，()242x x m --≥-()2二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13．若1tan 3α=-，则3sin 2cos 2sin cos αααα+=-_______. 【答案】35【分析】利用同角三角函数的基本关系，分子、分母同除以【详解】将原式分子、分母同除以2cos 3tan cos 2αα=故答案为：35【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系、齐次式，属于基础题14．如图，四边形ABCD 为平行四边形，11,22AE AB DF FC ==，若AF AC DE λμ=+，则λμ-的值为_________．【分析】选取,AB AD 为基底将向量AF 进行分解，然后与条件对照后得到【详解】选取,AB AD 为基底，则13AF AD DF AB AD=+=+， 又()()122AF AC DE AB AD AB AD AB AD μλμλμλλμ⎛⎫⎛⎫=+=++-=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将以上两式比较系数可得1λμ-=． 故答案为：1.．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D 上，点Р到直线1CC 的距离的最小值为_______.则(0,4,0),(0,0,4),(2,4,0),(0,4,4)C D E C ，11(2,0,0),(0,0,4),(2,4,4)CE CC ED ===--， ，1(2,4,4)EP ED λλλλ==--， (2CP CE EP =+=-，向量CP 在向量1CC 上投影长为11||4||CP CC d CC λ⋅==而2||(22)CP λ=-，则点Р到直线1CC 的距离2221445||25()555h CP d λ=-=-+≥，当且仅当15=时取“=”，所以点Р到直线CC 45. 故答案为：45．新能源汽车是战略性新兴行业之一，发展新能源汽车是中国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，某汽车企业为了适应市场需求引进了新能源汽车生产设备，2019年该企业新能源汽车的销售量逐月平稳增长，1，2，3月份的销售量分别为1.2千台，1.4千台，1.8千台，为估计以后每个月的销售量，以这三个月的销售量为依据，用一个函数模拟汽车的月销售量y （单位：千台）和月份x 之间的函数关系，有以下两个函数模型可供选择： ∴2()(0)f x ax bx c a =++≠；∴()(0,1)x g x pq r q q ≠，如果4月份的销售量为2.3千台，选择一个效果较好的函数进行模拟，则估计5月份的销售量为________千台.17．在等差数列{}n a 中，已知 12318a a a ++=且45654a a a =++． (1)求{}n a 的通项公式；(2)设14n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ．解：4n n b a =⋅11122n ⎡⎛⎛=-++ ⎢-⎝⎝⎣18．如图，在四边形ABCD 中，112CA CD AB ===，sin 5BCD ∠=．且______；在∴、∴、∴中选一个作为条件，解答下列问题；∴222AB AC BC AB AC +-=⋅；∴2sin ACB=；∴1AB AC ⋅=．(1)求四边形ABCD 的面积； (2)求sin D 的值．ACDSABCS，相加后求出四边形面积；∴：求出得到ACB ∠ACDS与ABCS，相加后求出四边形面积；SACDS，相加后求出四边形面积；ABC）先求出【详解】（S=ACDS=ABC故四边形AC在ABC中，B=︒所以30由余弦定理得：BC>结合0因为2+BC ACACDS =ABCS=故四边形∴：1AB AC ⋅=，cos AB AC BAC ⋅∠因为()0,πBAC ∠∈，所以因为12CA CD AB ==由余弦定理得：ACDS =ABCS=故四边形由图可知ACD 为锐角三角形，由余弦定理得：cos 0>，解得：学年推行“52+”课后服务.为缓解教师压力，在2021年9月10日教师节大会上该校就是否实行“弹性上下班”进行了调查.另外，为鼓舞广大教职工的工作热情，该校评出了十位先进教师进行表彰﹑并从他们中间选出三名教师作为教师代表在教师节大会上发言.(1)调查结果显示：有23的男教师和35的女教师支持实行“弹性上下班”制，请完成下列22⨯列联表﹒并判断是否有90%的把握认为支持实行“弹性上下班”制与教师的性别相关？(2)已知十位先进教师足按“分层抽样”的模式评选的，用X 表示三位发言教师的女教师人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.参考公式：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：将数据代入公式()()()()2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，计算得2125 2.315 2.70654K =≈<， 据此可知没有90%的把握认为支持实行“弹性上下班”制与教师的性别相关. (2)依题意，在此十名优秀教师中男教师6人､女教师4人.若用X 表示三位发言教师的女教师人数，则X 的可能取值为：0,1,2,3，其概率分别为：()034631010;6C C P X C ⋅=== ()124631011;2C C P X C ⋅=== ()214631032;10C C P X C ⋅=== ()304631013;30C C P X C ⋅=== 随机变量X 的分布列如下： 随机变量X 的数学期望为：1316123210305EX =⨯+⨯+⨯=20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧棱P A ∴底面ABCD ，点E 为棱PD 的中点，1AB =，2AD AP ==．(1)求证：PB ∴平面ACE ；(2)求平面ACE 与平面P AB 夹角的余弦值；(3)若F 为棱PC 的中点，则棱P A 上是否存在一点G ，使得PC ∴平面EFG ．若存在，求线段AG 的长；若不存在，请说明理由． ,,AB AD AP 所在直线分别为标系，求出平面ACE 的一个法向量为n ，利用向量法证明即可；）易得(0,2,0AD =的一个法向量，利用向量求出求解即可；与PC 不垂直，则不可能垂直平面1）因为底面是矩形， AD ， 平面ABCD 平面ABCD1⎛⎫所以()()(1,2,0,0,1,1,1,0,AC AE PB ===-设平面ACE 的一个法向量为(),,n x y z =，200n AC x y n AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，即2x y y z =-⎧⎨=-⎩，令1y =，则()2,1,1n =--，又2020n PB ⋅=-++=PB ⊄平面ACE 所以//PB 平面ACE ；2）由（1）可知AB PA AB A =，所以AD ⊥平面PAB ，所以()0,2,0AD =是平面的一个法向量， 设平面PAB 与平面2cos ,6AD n AD n AD n⋅===⋅， 所以平面PAB 与平面ACE 的夹角的余弦值为）因为1,0,02EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(1,2,PC =所以11002EF PC ⋅=+≠， EF 与PC 不垂直，EF ⊂平面EFG ，PC 不可能垂直平面EFG ，所以棱PA 上不存在点21.已知椭圆：)0(1:2222>>=+b a by a x E 的一个顶点为)1,0(A ，焦距为32．∴1∴求椭圆E 的方程；∴2∴过点(2,1)P -作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，当||2MN =时，求k 的值．【答案】（1）2214x y +=（2）4k =- 【解析】【分析】（1）依题意可得22212b c c a b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，即可求出a ，从而求出椭圆方程；（2）首先表示出直线方程，设()11,B x y 、()22,C x y ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线AB 、AC 的方程，表示出M x 、N x ，根据N M MN x x =-得到方程，解得即可； 【小问1详解】解：依题意可得1b =，2c =222c a b =-，所以2a =，所以椭圆方程为2214x y +=；【小问2详解】解：依题意过点()2,1P -的直线为()12y k x -=+，设()11,B x y 、()22,C x y ，不妨令1222x x -≤<≤，由()221214y k x x y ⎧-=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()()22221416816160k x k k x k k +++++=， 所以()()()222216841416160k kk k k ∆=+-++>，解得0k <，所以212216814k k x x k ++=-+，2122161614k kx x k+⋅=+， 直线AB 的方程为1111y y x x --=，令0y =，解得111M xx y =-，直线AC 的方程为2211y y x x --=，令0y =，解得221N xx y =-，所以212111N M x x MN x x y y =-=--- ()()2121121121x x k x k x =--++-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()212122x x k x k x =+-++ ()()()()2121212222x x x x k x x +-+=++()()12212222x x k x x -==++， 所以()()122122x x k x x -=++， ()212124k x x x x ⎡⎤=+++⎣⎦ 22221616168241414k k k k k kk ⎡⎤⎛⎫++=+-+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦即()()22221616216841414k k k k k k k ⎡⎤=+-+++⎣⎦+ 整理得4k =，解得4k =-22．已知函数2()e .=--x f x ax b(1)记()()g x f x '=，讨论()g x 的单调性；(2)若对R x ∀∈，都有(1)()0x f x -≥，求实数a 的取值范围．。
2023年普通高等学校招生全国统一考试新高考仿真模拟卷数学(六)答案
2023年普通高等学校招生全国统一考试·仿真模拟卷数学（六）注意事项：1．本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知集合{}210A x x =-≤，{}20B x x a =-≥，若A B B ⋃=，则实数a 的取值范围是（）A.(],2-∞- B.[)2,-+∞C.1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D.1,2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】求出{}11A x x =-≤≤，{}2B x x a =≥，根据A B B ⋃=，得到A B ⊆，从而得到不等式，求出实数a 的取值范围.【详解】{}{}21011A x x x x =-≤=-≤≤，{}{}202B x x a x x a =-≥=≥，因为A B B ⋃=，所以A B ⊆，故21a ≤-，解得：12a ≤-，故选：C2.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数()i 3i z a =-为“等部复数”，则实数a 的值为（）A.-1B.0C.3D.-3【答案】C【解析】【分析】利用复数的乘法法则得到3i z a =+，从而得到3a =.【详解】()2i 3i i 3i 3i z a a a =-=-+=+，故3a =.故选：C3.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，且过点()2,2A ，则双曲线方程为（）A.2212y x -= B.22124x y -=C.22142x y -= D.22136x y -=【答案】B 【解析】【分析】通过已知得出a 与b 的两个关系式，即可联立求解，代入双曲线方程即可得出答案.【详解】 双曲线()222210,0x ya b a b-=>>ca∴=，222a b c += ，2223a b a+∴=，即222a b =， 双曲线()222210,0x y a b a b-=>>过点()2,2A ，22441a b∴-=，则由222a b =与22441a b -=联立解得：a =，2b =，∴双曲线的方程为：22124x y -=，故选：B.4.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，[]y x =也被称为“高斯函数”，例如[]2.12=，[]33=，[]1.52-=-，设0x 为函数()33log 1f x x x =-+的零点，则[]0x =（）A.2B.3C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断0x 所在区间，最后根据高斯函数的定义计算可得.【详解】解：因为3log y x =与31y x =-+在()0,∞+上单调递增，所以()33log 1f x x x =-+在()0,∞+上单调递增，又()33313log 3103144f =-=-=>+，()3332log 2log 21021f =-=-<+，所以()f x 在()2,3上存在唯一零点0x ，即()02,3x ∈，所以[]02x =.故选：A5.已知点P 是圆(()22:34C x y -+-=上一点，若点P 到直线2y =-的距离为1，则满足条件的点P 的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据圆心到直线的距离即可求解.【详解】由题意可知圆心为)C,所以)C到2y =-的距离为1d ==，故与直线2y =-平行且过圆心的直线与圆相交的两个交点即为满足条件的点P ，此时有两个，又圆的半径为2，故当过圆心且与2y =-垂直的直线与圆的下半部分相交的一个点也符合，故共有3个.故选:C6.已知ππ,42α⎛⎫∈⎪⎝⎭，且25cos 10sin 29αα+=，则tan α=（）A.29B.2C.12D.92【答案】B 【解析】【分析】由已知利用二倍角公式，平方关系22sin cos 1αα+=代换，可得25209t ta an 1n αα+=+，根据α的范围即可求解.【详解】由25cos 10sin 29αα+=，得25cos 20sin cos 9ααα+=，则2225cos 20sin cos 9sin cos ααααα+=+，即25209t ta an 1n αα+=+，得29tan 20tan 40αα-+=，则()()9tan 2tan 20αα--=，得2tan 9α=或tan 2α=，又ππ42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以tan 1α>，故tan 2α=.故选：B7.随着北京冬奥会的开幕，吉祥物“冰墩墩”火遍国内外，现有甲、乙、丙、丁4名运动员要与1个“冰墩墩”站成一排拍照留恋，已知“冰墩墩”在最中间，甲、乙、丙、丁4名运动员随机站于两侧，则甲、乙2名运动员站“冰墩墩”同一侧的概率为（）A.14B.12C.13 D.16【答案】C 【解析】【分析】先求出甲、乙、丙、丁4名运动员与1个“冰墩墩”排成一排，且“冰墩墩”在最中间的所有排法的所有排法，再求甲、乙2名运动员站“冰墩墩”同一侧的排法，根据古典概型概率公式求概率.【详解】甲、乙、丙、丁4名运动员与1个“冰墩墩”排成一排，且“冰墩墩”在最中间的所有排法有44A =24种，甲、乙2名运动员站“冰墩墩”同一侧的排法有22222A A =8种，由古典概型的概率公式可得甲、乙2名运动员站“冰墩墩”同一侧的概率：81243P ==，故选：C .8.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1BD 上运动（包含端点），则直线1B P 与1C D 所成角的取值范围是（）A.ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】要求直线所成角，转化为方向向量所成角，建立如图所示空间直角坐标系，所以1111B P B B BP B B BD λ=+=+ (,,1)λλλ=---+（01λ≤≤），又1(0,1,1)DC =，设则直线1B P 与1C D 所成角为θ，则11cos cos ,B P DC θ=，结合λ的范围即可得解.【详解】以1,,DA DC DD 为,,x y z 建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则(1,1,0)B ，1(0,0,1)D ，1(0,1,1)C ，1(1,1,1)B ，所以1111B P B B BP B B BD λ=+=+(0,0,1)(1,1,1)(,,1)λλλλ=-+--=---+（01λ≤≤）1(0,1,1)DC =，则设直线1B P 与1C D 所成角为π20θθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，则111111cos cos ,B P DC B P DC B P DC θ⋅===⋅ ，由01λ≤≤，所以221223213,2333λλλ⎛⎫⎡⎤-+=-+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，13cos ,22θ⎡∈⎢⎣⎦，所以ππ,63θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.圆柱的侧面展开图是长4cm ，宽2cm 的矩形，则这个圆柱的体积可能是（）A.38πcmB.38cm πC.316cm πD.34cm π【答案】BD 【解析】【分析】由已知中圆柱的侧面展开图是长4cm ，宽2cm 的矩形，我们可以分圆柱的底面周长为4cm ，高为2cm 的和圆柱的底面周长为2cm ，高为4cm ，两种情况分别由体积公式即可求解.【详解】 侧面展开图是长4cm ，宽2cm 的矩形，若圆柱的底面周长为4cm ，则底面半径2cm πR =，2cm h =，此时圆柱的体积238πcm πV R h ==若圆柱的底面周长为2cm ，则底面半径1cm πR =，4cm h =，此时圆柱的体积23πcm π4V R h ==故选：BD10.已知随机变量X 服从二项分布()4,B p ，其方差()1D X =，随机变量Y 服从正态分布(),4N p ，且()()21P X P Y a =+<=，则（）A.12p =B.()328P X ==C .()38P Y a <=D.()118P Y a >-=【答案】AB 【解析】【分析】根据二项分布的方差公式得到方程求出p ，再根据独立重复试验的概率公式求出()2P X =，即可判断A 、B 、C ，最后根据正态分布的性质判断D.【详解】解：因为随机变量X 服从二项分布()4,B p ，且其方差()1D X =，所以()()411D X p p =-=，解得12p =，故A 正确；所以()22241132C 1228P X ⎛⎫⎛⎫==⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()()21P X P Y a =+<=，所以()58P Y a <=，所以B 正确，C 错误；所以1,42Y N ⎛⎫⎪⎝⎭，则正态曲线关于12x =对称，因为()11122a a -=--，所以()()518P Y a P Y a >-=<=，故D 错误.故选：AB11.已知直线1y x =+交椭圆22:163x yC +=于A ，B 两点，P 是直线AB 上一点，O 为坐标原点，则（）A.椭圆C 的离心率为22B.423AB =C.2OA OB ⋅=-D.若1F ，2F 是椭圆C 的左，右焦点，则21PF PF -≤【答案】AD 【解析】【分析】根据椭圆方程求出a 、b 、c ，即可求出离心率，即可判断A ，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，根据弦长公式判断B ，求出()()121211y y x x =++，根据数量积的坐标表示判断C，设()1F 关于直线AB 的对称点为(,)E e f ，求出对称点的坐标，再根据221P P F F F E -≤，即可判断D.【详解】解：因为椭圆22:163x y C +=，所以26a =，23b =，则a =，c ==所以离心率22c e a ===，故A 正确；设()11,A x y ，()22,B x y ，由221163y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得23440+-=x x ，显然0∆>，所以1243x x +=-，1243x x =-，所以12823AB x =-==，故B 错误；又()()1212121251113y y x x x x x x =++=+++=-，所以12123OA OB x x y y ⋅=+=-，故C 错误；设()1F 关于直线AB 的对称点为(,)E e f ，则13122f e =-+⎪=+⎪⎩，解得11e f =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，即(1,1E --，则1PF PE =，2221PF P P F E F E P F =--≤，当且仅当P ，E ，2F 三点共线时取等号，所以21PF PF -的最大值为2EF =，即21PF PF -≤，故D 正确，故选：AD12.已知函数()()3e xf x x =-，若经过点()0,a 且与曲线()y f x =相切的直线有两条，则实数a 的值为（）A.3-B.2- C.e- D.2e -【答案】AC【解析】【分析】设出切点并根据导函数性质设出过切点的切线方程，参变分离构建新函数，求导画出草图即可根据条件得出答案.【详解】设切点为()(),3e tt t -，由()()3e xf x x =-，得()()()e 3e 2e xxxf x x x ='+-=-，则过切点的切线方程为：()()()3e 2etty t t x t --=--，把()0,a 代入，得()()()3e 2e 0tta t t t --=--，即()2e 33ta t t -=-+，令()()2e33xg x x x =-+，则()()2e xg x x x ='-，则当()(),01,x ∞∞∈-⋃+时，()0g x '>，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x ∴的增区间为(),0∞-与()1,+∞，减区间为()0,1，做出草图如下：因为过点()0,a 且与曲线()y f x =相切的直线有两条，则e a -=或3a -=，则3a =-或e a =-，故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量(a = ，(b =-，则a b b ⋅-= ______．【答案】0【解析】【分析】根据向量的数量积和向量的模长公式，直接进行计算即可.【详解】((4,1,4620a b b ⋅-=⋅---+-=，故答案为：014.写出一个同时满足下列条件的非常数函数______．①在[)0,∞+单调递增②值域[)1,+∞③()()=f x f x -【答案】()21f x x =+（不唯一）【解析】【分析】结合函数的性质选择合适函数即可.【详解】由()()=f x f x -得函数为偶函数，关于y 轴对称，结合单调性及值域，可以为()21f x x =+.故答案为：()21f x x =+（不唯一）.15.“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中，能被3除余1且被4除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为______．【答案】169【解析】【分析】根据题意可知所求数为能被12除余1，得出数列{}n a 的通项公式，然后再求解项数即可.【详解】解：因为能被3除余1且被4除余1的数即为能被12除余1的数，故1211,(N )n a n n *=-∈，又2022n a ≤，即12112022n -≤，解得203312n ≤，又*N n ∈，所以1169n ≤≤且*N n ∈.故答案为：169.16.函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图中实线所示，A ，C 为()f x 的图象与x 轴交点，且1,06A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，M ，N 是()f x 的图象与圆心为C 的圆（虚线所示）的交点，且点M 在y 轴上，N 点的横坐标为23，则圆C 的半径为______．【答案】3【解析】【分析】根据函数()2sin()f x x ωϕ=+的图象以及圆C 的对称性可得函数的周期，结合1,06A ⎛⎫- ⎪⎝⎭可得π()2sin(2π3f x x =+，进而求解M 的坐标，由勾股定理即可求解半径.【详解】根据函数()2sin()f x x ωϕ=+的图象以及圆C 的对称性，可得M ，N 两点关于圆心(,0)C c 对称，所以13c =，于是11π12π2622T c ωω=+=⇒=⇒=，由2πω=及1,06A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，得ππ0π,Z π,Z 33k k k k ϕϕ-+=+∈⇒=+∈，由于π2ϕ<，所以π3ϕ=，所以π()2sin(2π)3f x x =+，(0)f =，从而M ，故半径为3CM ==,故答案为：273四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列{}n a 满足11a =，()()1102n n n a na n ---=≥．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n nn b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（1）n a n =（2）()1122n n S n +=-⋅+【解析】【分析】（1）由题意得数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列，可数列{}n a 的通项公式；（2）利用错位相减法求数列前n 项和.【小问1详解】由()()1102n n n a na n ---=≥，得()121n n a a n n n -=≥-，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列，有111n a a n ==，∴n a n =【小问2详解】22n n n n b a n =⋅=⋅，()123122232122n n n S n n -=+⨯+⨯++-+⋅ ，()2341222232122n n n S n n +=+⨯+⨯++-+⋅ ，两式相减，()()12311121222222212212n n n n n n S n n n +++--=++++-⋅=-⋅=-⋅-- ，所以()1122n n S n +=-⋅+18.如图，在ABC 中，4AB =，2AC =，π6B =，点D 在边BC 上，且cos 7ADB ∠=-．（1）求BD ；（2）求ABC 的面积．【答案】（1（2）【解析】【分析】（1）由cos 7ADB ∠=-求出sin ADB ∠，再由正弦定理即可求出BD（2）根据余弦定理可求出BC ，进而求出ABC 的面积.【小问1详解】在ADB中，cos 7ADB ∠=-，则sin 7ADB ∠=，π6B =，所以1sin sin 6272714BAD ADB π⎛⎫⎛⎫∠=+∠=⨯-+⨯= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦定理可得：sin sin BD ABBAD ADB=∠∠2127147BD =⇒=.【小问2详解】在ABC 中，由余弦定理可得：23164cos30224BC BC +-︒==⋅，解得：BC =.所以ABC的面积11422S =⨯⨯=.19.近年来，师范专业是高考考生填报志愿的热门专业．某高中随机调查了本校2022年参加高考的100位文科考生首选志愿（第一个院校专业组的第一个专业）填报情况，经统计，首选志愿填报与性别情况如下表：（单位：人）首选志愿为师范专业首选志愿为非师范专业女性4515男性2020假设考生选择每个科目的可能性相等，且他们的选择互不影响．（1）根据表中数据，能否有99%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关？（2）若以上表中的频率代替概率，从该校考生中随机选择8位女生，试估计选择师范专业作为首选志愿的人数．参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：()20P K k ≥0.100.050.0100.0010k 2.7063.8416.63510.828【答案】（1）没有99%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关；（2）6.【解析】【分析】（1）首先利用数据求得()2210045201520 6.593 6.63560406535K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，对照表格数据即可得解；（2）根据人数可得女生中首选志愿为师范专业的概率0.75P =，设该校考生中随机选择8位女生中选择师范专业作为首选志愿的人数为x ，所以(8,0.75)x B ，利用二项分布即可得解.【小问1详解】根据所给数据求得()2210045201520 6.593 6.63560406535K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有99%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关.【小问2详解】100名高考考生中有60名女生，首选志愿为师范专业有45人，故首选志愿为师范专业的概率0.75P =，设该校考生中随机选择8位女生，选择师范专业作为首选志愿的人数为x ，所以(8,0.75)x B ，所以()80.756E x =⨯=，所以随机选择8位女生计选择师范专业作为首选志愿的人数为6.20.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB CD ∥，AB AD ⊥，1PA =，2BC CD ==，3AB =，点E 在棱PC 上．（1）证明：平面AED ⊥平面PAB ；（2）已知点E 是棱PC 上靠近点P 的三等分点，求二面角C AE D --的余弦值．【答案】（1）见解析（2）14【解析】【分析】（1）由题意可证得PA AD ⊥，又AB AD ⊥，由线面垂直的判定定理可得AD ⊥平面PAB ,再由面面垂直的判定定理即可得证；（2）以A 为原点,AD ,AB ,AP 分别为x ,y ,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面CAE 和平面AED 的法向量，再由二面角公式即可得出答案.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABCD ,AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥，又AB AD ⊥，PA AB A = ，PA AB Ì，平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ,又AD ⊂平面ADE ，所以平面AED ⊥平面PAB .【小问2详解】以A 为原点,AD ,AB ,AP 分别为x ,y ,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系，过C 作//CG AD ，交AB 于点G ，则易知四边形ADCG 是矩形，所以AD CG ===，则(0,0,0)A ,(3,0,0)B ,(0,0,1)P,(2C,D ,E 是棱PC 上靠近点P 的三等分点，所以设(),,E x y z ，则13PE PC = ，所以()()1,,113x y z -=-，则232,,333x y z ===，则232,,333E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，232,,333AE AD ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭,设平面ADE 的法向量为(,,)n x y z = ,则0n AD ⋅= 且0n AE ⋅= ,0=且2320333x y z ++=,∴0y =,令1x =,则1z =-,∴平面ADE 的一个法向量()1,0,1n =-,设平面ACE 的法向量为111(,,)m x y z =,()()0,0,1,AP AC == 则0m AC ⋅= 且0m AP ⋅=,∴10z =且1120x =,∴令x ==2y -,∴平面ACE的一个法向量)2,0m =-,∴cos ,14m n m n m n⋅===,二面角C AE D --的余弦值为14.21.已知直线220x y +-=过抛物线()2:20C x py p =>的焦点．（1）求抛物线C 的方程；（2）动点A 在抛物线C 的准线上，过点A 作抛物线C 的两条切线分别交x 轴于M ，N 两点，当AMN 的面积是时，求点A 的坐标．【答案】（1）24x y =（2）()1,1A -或()1,1--【解析】【分析】（1）求出焦点坐标为()0,1，从而得到2p =，求出抛物线方程；（2）设出(),1A m -，过点A 的抛物线的切线方程设为()1y k x m =-+-，与抛物线方程联立，根据Δ0=得到21616160k mk --=，设过点A 的抛物线的两条切线方程的斜率分别为12,k k ，求出1212,1k k m k k +==-，表达出1221MN x x k k =-=-，AMN S =52=，求出1m =±，得到点A 的坐标.【小问1详解】220x y +-=中令0x =得：1y =，故焦点坐标为()0,1，故12p=，解得：2p =，故抛物线方程为24x y =；【小问2详解】抛物线准线方程为：1y =-，设(),1A m -，过点A 的抛物线的切线方程设为()1y k x m =-+-，联立24x y =得：24440x kx km -++=，由21616160k mk ∆=--=，设过点A 的抛物线的两条切线方程的斜率分别为12,k k ，故1212,1k k m k k +==-，令()1y k x m =-+-中，令0y =得：1x m k=+，不妨设121211,x m x m k k =+=+，故211221121211k k MN x x k k k k k k -=-=-==-，则211151222AMN S MN k k =⨯=-===，解得：1m =±，故点A 的坐标为()1,1A -或()1,1--.【点睛】已知抛物线方程22y px =，点()00,A x y 为抛物线上一点，则过点()00,A x y 的抛物线切线方程为()00y y p x x =+，若点()00,A x y 在抛物线外一点，过点()00,A x y 作抛物线的两条切线，切点弦方程为()00y y p x x =+.22.已知函数()e xf x x =，()2ln22xg x =+．（1）求函数()f x 的最值；（2）若关于x 的不等式()()f x g x kx -≥恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）最小值为1(1)f e-=-，无最大值.（2）2k ≤【解析】【分析】(1)利用导函数讨论函数的单调性即可求最值；(2)分离参变量，构造函数22()e ln 2x x g x x x=--，利用导数结合单调性讨论其最小值即可求解.【小问1详解】因为()e xf x x =，所以()e e (1)e xxxf x x x '=+=+，令()(1)e 0xf x x '=+>解得1x >-，令()(1)e 0xf x x '=+<解得1x <-，所以()e xf x x =在(),1-∞-单调递减，在()1,-+∞单调递增，所以当=1x -时，()f x 有最小值为1(1)f e-=-，无最大值.【小问2详解】由()2ln22xg x =+的定义域可得()0,x ∈+∞，()()f x g x kx -≥即e 2ln 22x xx kx --≥，等价于22e ln (0)2xx k x x x≤-->恒成立，令22()e ln 2x x h x x x=--，所以222222e 2ln22222()e ln e ln 22x x x x x x xh x x x xx x +⎡⎤⎛⎫'=--++=+=⎪⎢⎝⎭⎣⎦，令2()e 2ln,02xxF x x x =+>，所以()2()2e 02xxF x x x '=++>在()0,x ∈+∞恒成立，所以2()e 2ln,2xxF x x =+单调递增，1e(1)e ln 40,()ln16024F F =->=->，所以存在唯一01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得0()0F x =，即0200e 2ln 02x x x +=，所以当()000,x x ∈时，()0<F x ，即()0h x '<，()h x 单调递减，()00,x x ∈+∞时，()0F x >，即()0h x '>，()h x 单调递增，所以00min 00022()()e ln ,2x x h x h x x x ==--由0200e 2ln 02x x x +=得00002e ln02x x x x +=，也即002ln 002e ln e x x x x =，即002()(ln )f x f x =，由(1)知()f x 在()1,-+∞单调递增，所以002lnx x =，00002e ,ln 2x x x x =-=，所以000min 00000022222()()e ln ln 222xx x g x g x x x x x x ==--=-=，所以2k ≤.【点睛】方法点睛：分离参变量是求参数取值范围常用的方法，本题第二问对不等式等价变形为22e ln (0)2xx k x x x ≤-->,从而min 22e ln 2x x k x x ⎛⎫≤-- ⎪⎝⎭，构造函数讨论单调性及最值是常用的方法，解决的关键在于利用零点的存在性定理得0200e 2ln02xx x +=，再根据（1）得()e xf x x =的单调性，进一步得到002lnx x =，00002e ,ln 2x x x x =-=，等量代换求出最小值.。
2022高考数学全真模拟卷(新高考专用)(原卷6)
2022高考数学全真模拟卷（新高考专用）模拟注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知()3i i 142z ⋅=+-，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 2．已知集合{}2log 1A x x =<，{}2,0x B y y x ==≥，则A B =（ ）A ．∅B ．{}12x x <<C ．{}12x x ≤<D ．{}12x x <≤ 3．在ABC 中，90C ∠=︒，3AC =，2BC =，D 为BC 的中点，E ，F 都在线段AB 上，且AE EF =FB =，则DE CF ⋅=（ ）A ．149B ．229C ．-2D ．24．大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第20项与21项的和为（ ）A ．380B ．410C ．420D ．462 5．已知0x >，0y >，且121x y+=，则xy x y ++的最小值为（ ）A．6+B ．7+ C ．6+ D ．7+6．三棱柱111ABC A B C -中，侧面与底面垂直，底面是边长为2的等边三角形，若直线1AB 与平面11ACC A 所成角为45，则棱柱的高为（ ）A ．B ．2CD ．17．已知某药店只有A ，B ，C 三种不同品牌的N95口罩，甲、乙两人到这个药店各购买一种品牌的N95口罩，若甲、乙买A 品牌口罩的概率分别是0.2，0.3，买B 品牌口罩的概率分别为0.5，0.4，则甲、乙两人买相同品牌的N95口罩的概率为（ ）A ．0.7B ．0.65C ．0.35D ．0.268．已知椭圆22142x y +=上有相异的三点A ，B ，C ，则S △ABC 的最大值为 （ ）A ．2B ．CD ．多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．设函数()()sin f x x ωϕ=+(0>ω，2πϕ<)，5012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，213f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且()f x 在,312ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调，则下列结论正确的是（ ） A ．7,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 B ．函数()f x 的图象关于直线6x π=对称C ．函数()f x 在区间,244ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为22⎣⎦D ．先将sin y x =的图象的横坐标缩短为原来的12，然后向左平移12π个单位得到()f x 的图象 10．已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X 服从正态分布(100,100)N ，其中90分为及格线，120分为优秀线．下列说法正确的是（ ）．附：随机变量ξ服从正态分布()2,N u σ，则()0.6826P u μσξσ-<<+=，()220.9544P μσξμσ-<<+=，()330.9974P u σξμσ-<<+=A ．该市学生数学成绩的期望为100B ．该市学生数学成绩的标准差为100C ．该市学生数学成绩及格率超过0.8D ．该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等11．已知双曲线()22*1x y n n n-=∈N ，不与x 轴垂直的直线l 与双曲线右支交于点B ，C ，（B 在x 轴上方，C 在x 轴下方），与双曲线渐近线交于点A ，D（A 在x 轴上方），O 为坐标原点，下列选项中正确的为（ ） A ．AC BD =恒成立B ．若13BOC AOD S S =△△，则AB BC CD ==C ．AOD △面积的最小值为1D ．对每一个确定的n ，若AB BC CD ==，则AOD △的面积为定值12．对于定义在1D 上的函数()f x 和定义在2D 上的函数()g x ，若直线y kx b =+(),k b R ∈同时满足：①1x D ∀∈，()f x kx b ≤+，②2x D ∀∈，()g x kx b ≥+，则称直线y kx b =+为()f x 与()g x 的“隔离直线”.若()ln x f x x=，()1x g x e -=，则下列为()f x 与()g x 的隔离直线的是（ ） A ．y x = B ．12y x =-C ．3e x y =D ．1122y x =-填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．如图，某班体重为70kg 的体育老师在做引体向上示范动作，两只胳膊的夹角为60︒，拉力大小均为F ，若使身体能向上移动，则拉力F 的最小整数值为______N ．（取重力加速度大小为2g 10m /s = 1.732≈）14．对任意的实数x ，[]x 表示不大于x 的最大整数，则函数()[]21f x x x =--的零点为______. 15．曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为11e+，该切线的方程为________. 16．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，12BC =，9AC =，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．设DA a =，DB b =，DC c =，则a c ⋅的最大值是_______；2||3||a b +的最小值是__________．四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．据相关数据统计，2019年底全国已开通5G 基站13万个，部分省市的政府工作报告将“推进5G 通信网络建设”列入2020年的重点工作，今年一月份全国共建基站3万个.（1）如果从2月份起，以后的每个月比上一个月多建设2000个，那么，今年底全国共有基站多少万个.（精确到0.1万个）（2）如果计划今年新建基站60万个，到2022年底全国至少需要800万个，并且，今后新建的数量每年比上一年以等比递增，问2021年和2022年至少各建多少万个オ能完成计划？（精确到1万个）18．在ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边.在①(2)cos cos a c B b C -=；=2ABCBC S →→⋅△；①sin sin 3B B π⎛⎫++= ⎪⎝⎭. （1）求角B 的值；（2）若ABC 为锐角三角形，且1b =，求ABC 的面积的取值范围.19．如图，底边ABCD 是边长为3的正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD ，//,,AF DE AD DE AF DE ⊥==（1）求证：平面ACE ⊥平面BED ；（2）在线段AF 上是否存在点M ，使得二面角M BE D --的大小为60°？若存在，求出AM AF的值；若不存在，请说明理由.20．某单位共有员工45人，其中男员工27人，女员工18人．上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核．（1）求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；（2）考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈．设选出的3人中女员工人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望；（3）考核分笔试和答辩两项．5名员工的笔试成绩分别为78，85，89，92，96；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为95，88，102，106，99．这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记21s ，22s 试比较21s 与22s 的大小．（只需写出结论）21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，其左､右焦点分别为1F ，2F ，点()00,P x y 是坐标平面内一点，且||2OP =，1234PF PF ⋅=(O 为坐标原点). （1）求椭圆C 的方程；（2）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A ，B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M 的坐标，若不存在，说明理由.22．已知函数()2xf x xe ax a =-+. （1）当4a =时，求()f x 在()()1,1f 处的切线方程；（2）设()22x g x e ax =-，若()()()h x f x g x =-有两个零点，求a 的取值范围.。
2020届江苏省高三高考全真模拟(六)数学试题(wd无答案)
2020届江苏省高三高考全真模拟(六)数学试题一、填空题(★) 1. 已知集合，，则______.(★) 2. 复数（ i为虚数单位）的实部为______.(★) 3. 某新媒体就我国提前进入“5 G移动通信技术”商用元年的欢迎程度进行调查，参加调查的总人数为1000其中持各种态度的人数如下表：该媒体为进一步了解被调查者的具体想法，打算从中抽取50人进行更为详细的调查，则应抽取持“很欢迎”态度的人数为______.(★★) 4. 执行如图所示的伪代码，则输出的 S的值为 ______ .(★) 5. 从3，4，12这3个数中随机取出2个数（逐个、不放回），分别记为 a， b，则“ 是整数”的概率为______.(★★) 6. 已知长方体的体积为72，则三棱锥的体积为______.(★★) 7. 在平面直角坐标系 xOy中，已知双曲线 C的渐近线方程为，且它的一个焦点为，则双曲线 C的一条准线与两条渐近线所成的三角形的面积为______.(★★)8. 在平面直角坐标系xOy中，过点作斜率为（e为自然对数的底数）的直线，与曲线相切于点 T，则实数 t的值为______.(★★★) 9. 设等比数列的公比为其前 n项和为，若，，则正整数 m的值为 ______ .(★★) 10. 已知是定义在 R上的偶函数，且在上单调递减，则满足不等式的实数 a的取值集合为______.(★★★) 11. 在中，已知，，.若点 C， D满足，，则的值为______.(★★★) 12. 在中角 A， B， C的对边分別为 a， b， c，且，则的值为______.(★★★) 13. 已知函数，若函数恰好有2个不同的零点，则实数 m的取值范围是______.(★★★) 14. 在平面直角坐标系 xOy中，已知圆，直线，过直线 l上一点 P作圆 O的两条切线，切点分別为 S、 T，且，则实数 a的最小值是______.二、解答题(★★★) 15. 已知向量，，函数.（1）求函数图象的对称轴方程；（2）求函数在上的最大值和最小值以及相应的 x的值.(★★★) 16. 如图，在四面体 A- BCD中，已知平面平面 BCD，为正三角形，为等腰直角三角形，其中 C为直角顶点， E， F分别为校 AC， AD的中点.（1）求证：平面 BEF；（2）求证：平面 ACA．(★★★) 17. 为了打击海盗犯罪，甲、乙、丙三国海军进行联合军事演习，分别派出一艘军舰A， B，演习要求：任何时刻军舰 A、 B、 C均不得在同一条直线上.（1）如图1，若演习过程中， A、 B间的距离始终保持， B， C间的距离始终保持，求的最大值.（2）如图2，若演习过程中， A， C间的距离始终保持， B、 C间的距离始终保持.且当变化时，模拟海盗船 D始终保持：到 B的距离与 A、 B间的距离相等，，与 C在直线 AB的两侧，求 C与 D间的最大距离.A．(★★★) 18. 在平面直角坐标系 xOy中已知椭圆，焦点在 x轴上的椭圆与的离心率相同，且椭圆的外切矩形 ABCD（两组对边分别平行于 x轴、 y轴）的顶点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程.（2）设为椭圆上一点（不与点 A、 B、 C、 D重合）.①若直线：，求证：直线 l与椭圆相交；②记①中的直线 l与椭圆 C 1的交点为 S、 T，求证的面积为定值.(★★★★) 19. 已知函数，其中，.（1）若，求函数的单调减区间；（2）若数的极值点是，求 b、 c的值；（3）若，曲线在处的切线斜率为，求证：的极大值大于. (★★★★) 20. 已知数列的各项均为正数，其前 n项的积为，记，.（1）若数列为等比数列，数列为等差数列，求数列的公比.（2）若，，且①求数列的通项公式.②记，那么数列中是否存在两项，（ s， t均为正偶数，且），使得数列，，，成等差数列？若存在，求 s， t的值；若不存在，请说明理由.(★★★) 21. 已知矩阵的特征值为3和，对应的一个特征向量分别为，.（1）求矩阵 M；（2）设矩阵 M的逆矩阵为，，，且，求实数 m， n的值. (★★★) 22. 已知圆 C的坐标方程为.（1）求圆心 C的极坐标；（2）现以极点 O为坐标原点，极轴为 x轴的正半轴，建立平面直角坐标系 xOy，求直线（ l为参数）被圆 C截得的弦长.(★★★) 23. 已知，且，求实数的最大值.(★★★) 24. 如图，在空间直角坐标系中，已知正四棱锥 P- ABCD的所有棱长均为6，正方形 ABCD的中心为坐标原点 O， AD， BC平行于 x轴， AB、 CD平行于 y轴，顶点 P在 z轴的正半轴上，点 M、 N分别在 PA， BD上，且.（1）若，求直线 MN与 PC所成角的大小；（2）若二面角 A- PN- D的平面角的余弦值为，求λ的值.(★★★) 25. 已知集合，从 P中任取2个元素，分别记为 a， b.（1）若，随机变量 X表示 ab被3除的余数，求的概率；（2）若（且），随机变量 Y表示被5除的余数，求 Y的概率分布及数学期望.。
海南省2023届高三高考全真模拟(六)数学试题
3 2
< 14
f
(2)
二、多选题 9．如果 a > b > c ，那么下列不等式错误的是（ ）
试卷第21 页，共33 页
A． a - c > b - c
B．
2
a b
<
b
2c
C． a2 > b2
D． ab > bc
10．已知向量
ar
=
(1,
2)
，
r b
=
(1,
-3)
，
r c
=
(
2,
t
)
，则下列说法正确的是（
答案第21 页，共22 页
第一步：从下层的 18 个手办摆件中抽 2 个，有 C128 = 153 种方法， 第二步：将抽取的两个手办摆件依次放入上层，有两种方式， 第一种方式：两个手办摆件不相邻，则有 A125 = 210 种方法，
且切线的斜率为 1，则 b 的最大值为___.
16．已知椭圆 C :
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
> b > 0) 的下顶点为 A
，右焦点为 F
，直线 AF 交椭圆 C
于
B
点，
uuur AF
=
uuur l FB
，若
l
³
3
，则椭圆
C
的离心率的取值范围是______．
四、解答题
17．已知等差数列{an} 满足 (n +1)an = n2 + 2n + k ，数列{log3 bn} 是以 1 为首项，1 为公
，
uuur CK
=
1 2